DAY 13. 도함수의 활용 ⑵

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도함수의 활용⑵

	2016학년도 6월 평가원 A형 27

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -9x+3]이 열린 구간 [eqn: (-a,~a)]에서 감소할 때, 양수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold3]

	2012학년도 6월 평가원 나형 15

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +2ax]가 구간 [eqn: (-inf,~inf)]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M]이라 하고, 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

정답 ④

	2012학년도 9월 평가원 나형 18

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -ax ^{2} +3ax]의 역함수가 존재하도록 하는 상수 [eqn: a]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

정답 ①

	2010학년도 10월 교육청 가형 6

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +6x ^{2} +15`|`x-2a`|+3]이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

정답 ①

	2015학년도 10월 교육청 A형 27

함수 [eqn: f(x)=x ^{4} -16x ^{2}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]값의 제곱의 합을 구하시오. [4점]

㈎ 구간 [eqn: (k,~k+1)]에서 [eqn: f`'(x)<0]이다.

㈏ [eqn: f`'(k)f`'(k+2)<0]

정답 [eqn: bold17]

	2014학년도 예비평가 A형 25

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -9x ^{2} +24x+5]의 극댓값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold25]

	2010년 이전 평가원 가형

함수 [eqn: f(x)=2x ^{3} -9x ^{2} +12x+2]의 극댓값을 [eqn: M], 극솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: Mm]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold42]

	2015학년도 6월 평가원 A형 16

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -9x ^{2} +24x+a]의 극댓값이 [eqn: 10]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

정답 ②

	2013학년도 10월 교육청 A형 11

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -5x+k]의 극댓값이 [eqn: 20]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

정답 ⑤

	2015학년도 9월 평가원 A형 17

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +a]의 모든 극값의 곱이 [eqn: -4]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

정답 ①

	EBS 연계 2014학년도 수능 A형 25

함수 [eqn: f(x)=2x ^{3} -12x ^{2} +ax-4]가 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: M]을 가질 때, [eqn: a+M]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold22]

	2010년 이전 평가원 가형

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +9x+b]가 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: 0]을 가질 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold24]

	2016학년도 9월 평가원 A형 13

함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가 [eqn: f`'(x)=x ^{2} -1]이고, 함수 [eqn: g(x)=f(x)-kx]가 [eqn: x=-3]에서 극값을 가질 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정답 ⑤

	2010년 이전 교육청 가형

직선 [eqn: x=a]가 곡선 [eqn: f(x)=x ^{3} -ax ^{2} -100x+10]의 극대가 되는 점과 극소가 되는 점 사이를 지날 때, 정수 [eqn: a]의 개수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold19]

	2015학년도 사관학교 A형 6

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +(a+6)x+2]가 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

정답 ③

	2015학년도 7월 교육청 A형 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[eqn: g(x)=|`f(x)`|]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하고 [eqn: g(1)=g`'(1)]이다.

㈏ [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-1], [eqn: x=0], [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: g(2)]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

정답 ③

	2016학년도 6월 평가원 A형 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 다음 조건을 만족시키는 삼차함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: a _{n}]이라 하자.

㈎ [eqn: f(n)=0]

㈏ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x+n)f(x)ge0]

[eqn: a _{n}]이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ③

	EBS 연계 2015학년도 수능 A형 29

두 다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x)=(x^3 +2) f(x)]

를 만족시킨다. [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 24]를 가질 때,

[eqn: f(1)- f`'(1)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold16]

	2012학년도 3월 교육청 가형 7

다항함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: lim _{x->inf} {` {f(x)} over {x ^{3}} =1}]

㈏ [eqn: x=-1]과 [eqn: x=2]에서 극값을 갖는다.

[eqn: lim _{h->0} {` {f(3+h)-f(3-h)} over {h}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 가형

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} -3x]는 [eqn: x=a]에서 극솟값 [eqn: b]를 가진다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: (2,~f(2))]에서 접하는 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 점 [eqn: (a,~b)]에서 직선 [eqn: l]까지의 거리가 [eqn: d]이다. [eqn: 90d ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold16]

	2010년 이전 평가원 가형

사차함수 [eqn: f(x)=x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+6]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하시오. [4점]

㈎ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다.

㈏ 함수 [eqn: f(x)]는 극솟값 [eqn: -10]을 갖는다.

정답 [eqn: bold15]

	2010년 이전 교육청 가형

원점을 지나는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: y=f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

㈎ [eqn: f(2+x)=f(2-x)]

㈏ [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

이때 [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: a]라 할 때, [eqn: a ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold64]

	2016학년도 9월 평가원 A형 21

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x=t]가 두 함수

[eqn: y=x ^{4} -4x ^{3} +10x-30], [eqn: y=2x+2]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: RMA], [eqn: RMB]라 할 때, 점 [eqn: RMA]와 점 [eqn: RMB] 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 하자.

[eqn: lim _{h->0+} {` {f(t+h)-f(t)} over {h} times lim _{h->0-} {` {f(t+h)-f(t)} over {h} le0}}]

을 만족시키는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

정답 ④

	2017학년도 6월 평가원 나형 18

삼차함수 [eqn: y=f(x)]와 일차함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f`'(b)=f`'(d)=0]이다.

함수 [eqn: y=f(x)g(x)]는 [eqn: x=p]와 [eqn: x=q]에서 극소이다. 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: p<q]) [4점]

① [eqn: a<p<b]이고 [eqn: c<q<d]

② [eqn: a<p<b]이고 [eqn: d<q<e]

③ [eqn: b<p<c]이고 [eqn: c<q<d]

④ [eqn: b<p<c]이고 [eqn: d<q<e]

⑤ [eqn: c<p<d]이고 [eqn: d<q<e]

정답 ②

	2014학년도 6월 평가원 B형 16

실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^3] 위의 점 [eqn: (t,~t^3 )]과 직선

[eqn: y=x+6] 사이의 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. |보기|에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: 0]이 아닌 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=2]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

	2016학년도 7월 교육청 나형 18

그림과 같이 두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)], [eqn: y=g`'(x)]의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a], [eqn: b][eqn: (0<a<b)]이다. 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]

라 할 때, |보기|에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: f`'(0)=7], [eqn: g`'(0)=2]) [4점]

ㄱ. 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. [eqn: h(b)=0]이면 방정식 [eqn: h(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. [eqn: 0< alpha < beta <b]인 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여

[eqn: h(beta)- h (alpha) - 5 (beta - alpha)]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2012학년도 10월 교육청 가형 19

그림과 같이 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]의 그래프가 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고 [eqn: x>0]일 때 위로 볼록하다.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f`'(-1)=f`'(0)=f`'(1)=0]) [4점]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극값을 갖는다.

ㄴ. [eqn: f(0)=0]이면 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 합은 [eqn: 0]이다.

ㄷ. [eqn: f(1)<0]이면 방정식 [eqn: f(x)=0]은 오직 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2013학년도 7월 교육청 B형 18

실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하고 도함수 [eqn: f`'(x)]가 연속이다. [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]뿐인 함수

[eqn: g(x)= {f`'(x) } over x]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 열린 구간 [eqn: (b,~0)]에서 증가한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=b]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [a,~e]]에서 [eqn: 4]개의 극값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

	2017학년도 6월 평가원 나형 21

삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y= f `'(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, |보기|에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: f(0)<0]이면 [eqn: |``f(0)``|<|``f(2)``|]이다.

ㄴ. [eqn: f(0)f(2)ge0]이면 함수 [eqn: |``f(x)``|]가 [eqn: x=a]에서 극소인 [eqn: a]의 값의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. [eqn: f(0)+f(2)=0]이면 방정식 [eqn: |``f(x)``|=f(0)]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤