DAY 05. 실전 대비 평가

05

실전 대비 평가

01~04

	2010년 이전 수능 나형

[eqn: lim _{n->inf} {` {n} over {sqrt {4n ^{2} +1} + sqrt {n ^{2} +2}}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

정답 ③

	2012학년도 3월 교육청 가형, 나형 27

수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때,

[eqn: S= {6n} over {n+1}]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} +a _{n+1} )]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold9]

	2013학년도 4월 교육청 A형 6

수열 [eqn: left{left( {2x-1} over {5} right) ^{n} right}]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ⑤

	2010학년도 4월 교육청 나형 28

수렴하는 수열만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: LEFT { LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]

ㄴ. [eqn: LEFT { {5 ^{n+1} -3 ^{n}} over {5 ^{n} +4 ^{n}} RIGHT }]

ㄷ. [eqn: LEFT { {sqrt {n ^{2} +n} -n} over {n} RIGHT }]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	EBS 연계 2015학년도 수능 A형 28

자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {`} {left( {6} over {k} right) ^{n+1}} over {left( {6} over {k} right) ^{n} +1}]

이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} k`a _{k}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold33]

	2013학년도 6월 평가원 나형 20

[eqn: -2 le x le 5]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{n->inf} {` {|`nf(a)-1`|-nf(a)} over {2n+3} =1}]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 개수는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

	2015학년도 3월 교육청 B형 10

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x^2 + y^2 = n^2]과 직선

[eqn: y= 1over n x]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 중심으로 하고 [eqn: x]축에 접하는 원의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: pi over4]	② [eqn: { pi} over {2 }]	③ [eqn: 3over 4 pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: 5over 4 pi]

정답 ④

	2011학년도 7월 교육청 나형 17

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= {2} over {x}]와 직선 [eqn: y=-x+2n]의 두 교점을 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]이라 하고 선분 [eqn: rmA _{itn} B _{itn}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {l _{n}} over {n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: sqrt {10}]

④ [eqn: 2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 4]

정답 ①

	2015학년도 사관학교 A형 15

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에 점 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]을 다음과 같은 규칙으로 정한다.

㈎ 점 [eqn: rmA _{1}]의 좌표는 [eqn: (1,~2)]이다.

㈏ 점 [eqn: RMB _{ITn}]은 점 [eqn: RMA _{ITn}]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 다음 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 점이다.

㈐ 점 [eqn: rmA _{itn+1}]은 점 [eqn: rmB _{itn}]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 다음 [eqn: x]축과 [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 점이다.

[eqn: lim _{n->inf} {` {bar{rmA _{itn} rmB _{itn} }} over {n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

정답 ②

	2012학년도 9월 평가원 가형, 나형 28

첫째항이 [eqn: 12]이고 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 수열 [eqn: left{b _{n} right}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

㈎ [eqn: b _{1} =1]

㈏ [eqn: n`ge1]일 때, [eqn: b _{n+1}]은 점 [eqn: rm P _{it n rm} (-itb _{itn} ,~itb _{itn} ^{2} )]을 지나고 기울기가 [eqn: a _{n}]인 직선과 곡선 [eqn: y=x ^{2}]의 교점 중에서 [eqn: rmP _{itn}]이 아닌 점의 [eqn: x]좌표이다.

[eqn: lim _{n->inf} {`b _{n}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold19]

	2014학년도 3월 교육청 A형 30

좌표평면 위에 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]가 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]축 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: n]인 점을 [eqn: rmP _{itn}], 직선 [eqn: y= sqrt {3} x] 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: {1} over {n}]인 점을 [eqn: rmQ _{itn}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmOP _{itn} Q _{itn}]의 내접원의 중심에서 [eqn: x]축까지의 거리를 [eqn: a _{n}], 삼각형 [eqn: rmOP _{itn} Q _{itn}]의 외접원의 중심에서 [eqn: x]축까지의 거리를 [eqn: b _{n}]이라 할 때

[eqn: lim _{n->inf} {`a _{n} `b _{n}} =L]이다. [eqn: 100L]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

정답 [eqn: bold25]

	EBS 연계 2015학년도 수능 A형 24

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =4], [eqn: sum _{n=1} ^{inf} b _{n} =10]

일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} +5b _{n} )]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold54]

	2011학년도 9월 평가원 나형 11

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left(a _{n} - {3n} over {n+1} right)]과 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} +b _{n} )]이 모두 수렴할 때,

[eqn: lim _{n->inf} {` {3-b _{n}} over {a _{n}}}]의 값은? (단, [eqn: a _{n} !=0]) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

	2010년 이전 평가원 나형

수열 [eqn: left{a _{n} right}]은 첫째항 [eqn: 1], 공비 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열이고, 수열 [eqn: left{b _{n} right}]은 첫째항 [eqn: 1], 공비 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이다. 수렴하지 않는 급수는? [3점]

① [eqn: sum _{n=1} ^{inf} 2a _{n}]	② [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} -b _{n} )]	③ [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (-1) ^{n} b _{n}]

④ [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} b _{n}]	⑤ [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {b _{n}} over {a _{n}}]

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 나형

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 관한 이차방정식

[eqn: (4n ^{2} -1)x ^{2} -4nx+1=0]의 두 근이 [eqn: alpha _{n}], [eqn: beta _{n}]일 때 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (alpha _{n} -beta _{n} )]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ①

	2015학년도 3월 교육청 A형 28

연립부등식

[eqn: {cases{eqalign{`x ^{2} +y ^{2} le left( 1over n right)^2# #`|`x`|+|`y`| ge 1over n][eqn: (n ge 1)]

의 해 [eqn: (x,~y)]가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때

[eqn: {20} over {pi-2} sum _{n=1} ^{inf} sqrt {S _{n} S _{n+2}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold15]

	2011학년도 4월 교육청 나형 20

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]에서 [eqn: a _{n} = {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}]일 때

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n}]은 발산한다.

ㄴ. 두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 각각 수렴하면

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} b _{n} = sum _{n=1} ^{inf} a _{n} ` sum _{n=1} ^{inf} b _{n}]이다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1} = {1} over {n+1} a _{n}] [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {a _{n+2}} over {a _{n}} = {1} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

	2013학년도 3월 교육청 A형 16

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{1}]을 그리고, 반원 [eqn: O _{1}] 위에 [eqn: RMANGLEC _{1} A _{1} B _{1} =30DEG]가 되도록 점 [eqn: RMC _{1}]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: RMA _{1} B _{1} C _{1}]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.

선분 [eqn: RMA _{1} C _{1}]의 중점을 [eqn: RMA _{2}]라 하고, 호 [eqn: RMA _{1} B _{2}]와 호 [eqn: RMC _{1} B _{2}]의 길이가 같도록 점 [eqn: RMB _{2}]를 정한다. 선분 [eqn: RMA _{2} B _{2}]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{2}]를 그리고, 반원 [eqn: O _{2}] 위에 [eqn: RMANGLEC _{2} A _{2} B _{2} =30DEG]가 되도록 점 [eqn: RMC _{2}]를 정한다. 이때 삼각형 [eqn: RMA _{2} B _{2} C _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.

선분 [eqn: RMA _{2} C _{2}]의 중점을 [eqn: RMA _{3}]이라 하고, 호 [eqn: RMA _{2} B _{3}]과 호 [eqn: RMC _{2} B _{3}]의 길이가 같도록 점 [eqn: RMB _{3}]을 정한다. 선분 [eqn: RMA _{3} B _{3}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{3}]을 그리고, 반원 [eqn: O _{3}] 위에 [eqn: RMANGLEC _{3} A _{3} B _{3} =30DEG]가 되도록 점 [eqn: RMC _{3}]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: RMA _{3} B _{3} C _{3}]의 넓이를 [eqn: S _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 삼각형 [eqn: RMA _{itn} B _{itn} C _{itn}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: {32 sqrt {3}} over {15}]	③ [eqn: {34 sqrt {3}} over {15}]

④ [eqn: {12 sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: {38 sqrt {3}} over {15}]

정답 ②

	2013학년도 10월 교육청 A형 19

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmABCD] 안에 꼭짓점 [eqn: RMA], [eqn: RMC]를 중심으로 하고 선분 [eqn: RMAB], [eqn: RMCD]를 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 두 사분원의 호로 둘러싸인 부분에 내접하는 가장 큰 원을 그리고, 그 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 두 꼭짓점 [eqn: RMA], [eqn: RMC]로부터 두 사분원의 호와 원이 접하는 두 점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 [eqn: 2]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1}]에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 2]개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에 있는 작은 두 정사각형에서 두 꼭짓점으로부터 사분원과 원의 접점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 [eqn: 4]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1}]에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 4]개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: (3-2 sqrt {2} )pi]	② [eqn: (2- sqrt {3} )pi]

③ [eqn: ( sqrt {2} -1)pi]	④ [eqn: (4-2 sqrt {3} )pi]

⑤ [eqn: (2- sqrt {2} )pi]

정답 ③

	2010년 이전 수능 나형

아래와 같이 가로의 길이가 [eqn: 6]이고 세로의 길이가 [eqn: 8]인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1} over {3}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 직사각형의 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 [eqn: 4]개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1} over {3}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에 있는 합동인 [eqn: 4]개의 직사각형 각각에서 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 [eqn: 4]개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1} over {3}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 있는 모든 원의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은?

(단, 모든 직사각형의 가로와 세로는 각각 서로 평행하다.)[4점]

① [eqn: {37} over {9} pi]	② [eqn: {34} over {9} pi]	③ [eqn: {31} over {9} pi]

④ [eqn: {28} over {9} pi]	⑤ [eqn: {25} over {9} pi]

정답 ⑤