DAY 03. 급수의 합과 성질

03

급수의 합과 성질

	2016학년도 9월 평가원 A형 9

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{4} -a _{2} =4]일 때

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} {2} over {n`a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

정답 ①

	2015학년도 9월 평가원 A형 12

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{n} cdot5 ^{n+1}]의 모든 양의 약수의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {1} over {a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

정답 ①

	2010학년도 10월 교육청 나형 26

수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} +2n]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {2} over {a _{n} `a _{n+1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {7}]

정답 ①

	2013학년도 7월 교육청 A형 10

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: left{a _{n} right}]은 다음 두 조건을 만족시킨다. 이때 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n}]의 값은? [3점]

㈎ [eqn: a _{n} !=0]

㈏ [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: a _{n} x ^{2} +a _{n} x+2]를 [eqn: x-n]으로 나눈 나머지가 [eqn: 20]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

정답 ⑤

	2010년 이전 교육청 나형

정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2 ^{a} times3 ^{b} = sum _{n=1} ^{inf} {1} over {n(n+2)}]가 성립할 때 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold5]

	2016학년도 4월 교육청 나형 21

자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: S _{n} =left{x``|``x는``3n``이하의``자연수right}]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 [eqn: 2n]보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n->inf} {` {1} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

정답 ②

	2014학년도 3월 교육청 A형 8

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left(a _{n} - {5n} over {n+1} right)]이 수렴할 때

[eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n} +3} over {a _{n} -1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정답 ⑤

	2014학년도 7월 교육청 A형 22

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} -7)=2014]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {a _{n}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold7]

	2015학년도 6월 평가원 A형 25

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left(a _{n} - {5n} over {n+1} right)]이 수렴할 때

[eqn: lim _{n->inf} {`a _{n}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold5]

	2015학년도 4월 교육청 A형 8

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left(a _{n} - {3n+1} over {n} right)]이 수렴할 때

[eqn: lim _{n->inf} {`a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ③

	2016학년도 6월 평가원 A형 26

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {a _{n}} over {n}]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n} +9n} over {n}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold9]

	2015학년도 7월 교육청 B형 6

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} -2)=4]일 때

[eqn: lim _{n->inf} {`left(4a _{n} - {3n ^{2} -1} over {n ^{2} +1} right)}]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

정답 ②

	2015학년도 4월 교육청 B형 8

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left( {a _{n}} over {n+1} - {1} over {2} right)]이 수렴할 때

[eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n}} over {4n+1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

정답 ⑤

	2013학년도 10월 교육청 A형 24

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {3-a _{n}} over {2} =1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{4n`a _{n} +5} over {n-3}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

	EBS 연계 2013학년도 수능 나형 19

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left(na _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} right)=3]일 때

[eqn: lim _{n->inf} {`(a _{n} ^{2} +2a _{n} +2)}]의 값은? [4점]

① [eqn: {13} over {4}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {11} over {4}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

정답 ①

	2014학년도 4월 교육청 A형 10

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left(2- {a _{n}} over {9 ^{n}} right)=1] 일 때 [eqn: lim _{n->inf} {` {9 ^{n}} over {2a _{n} +1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ②

	2011학년도 6월 평가원 가형, 나형 21

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (3 ^{n} a _{n} -2)]가 수렴할 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {6a _{n} +5cdot4 ^{-n}} over {a _{n} +3 ^{-n}}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold4]

	2010년 이전 수능 나형

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {a _{n}} over {4 ^{n}} =2]일 때 [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n} +4 ^{n+1} -3 ^{n-1}} over {4 ^{n-1} +3 ^{n+1}}}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold16]

	2016학년도 사관학교 A형 9

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left( {a _{n}} over {3 ^{n}} -4right)=2]일 때 [eqn: lim _{n->inf} {` {a _{n} +2 ^{n}} over {3 ^{n-1} +4}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

정답 ②

	2010학년도 4월 교육청 나형 11

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} left(a _{n} - {1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} +cdots+n ^{3}} over {n ^{4}} right)]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

정답 ①

	2014학년도 3월 교육청 B형 12

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 1+2+2 ^{2} +cdots+2 ^{n-1} <a _{n} <2 ^{n}]

[eqn: {3n-1} over {n+1} < sum _{k=1} ^{n} b _{k} < {3n+1} over {n}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {` {8 ^{n} -1} over {4 ^{n-1} a _{n} +8 ^{n+1} b _{n}}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

정답 ③

	2013학년도 4월 교육청 A형 10

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {`a _{n}}]의 값은?

[3점]

㈎ [eqn: {2n ^{3} +3} over {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +cdots+n ^{2}} <a _{n} <2b _{n}] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots])

㈏ [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (b _{n} -3)=2]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

정답 ④

	2010학년도 3월 교육청 가형 29

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]에 대하여 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =1], [eqn: sum _{n=1} ^{inf} b _{n} =2]이면 [eqn: lim _{n->inf} {`a _{n} < lim _{n->inf} {`b _{n}}}]이다.

ㄴ. 두 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} +b _{n} )], [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} -b _{n} )]이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]도 모두 수렴한다.

ㄷ. 두 수열 [eqn: LEFT { `|`a _{n} +b _{n} `| RIGHT }], [eqn: LEFT { `|`a _{n} -b _{n} `| RIGHT }]이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]도 모두 수렴한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ①

	2016학년도 수능 B형 25

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: r] ([eqn: r>1])인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]일 때 [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {S _{n}}} = {3} over {4}]이다. [eqn: r]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold4]

	2015학년도 수능 A형 11

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{2} =1]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} ) ^{2}]의 값은? [3점]

① [eqn: {81} over {8}]	② [eqn: {83} over {8}]	③ [eqn: {85} over {8}]

④ [eqn: {87} over {8}]	⑤ [eqn: {89} over {8}]

정답 ①

	2015학년도 6월 평가원 B형 25

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]이

[eqn: a _{1} +a _{2} =20], [eqn: sum _{n=3} ^{inf} a _{n} = {4} over {3}]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{1}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold16]

	2012학년도 4월 교육청 나형 6

등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {(3 ^{a} +1) ^{n}} over {6 ^{3n}}]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

정답 ③

	2014학년도 3월 교육청 A형 9

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: a _{1} =1]이고 [eqn: 2a _{n+1} =7a _{n}][eqn: (n`ge1)]을 만족시킬 때, 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {10} over {a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ④

	2010년 이전 수능 나형

공비가 같은 두 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{1} -b _{1} =1]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =8], [eqn: sum _{n=1} ^{inf} b _{n} =6]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} b _{n}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold16]

	2010학년도 9월 평가원 나형 21

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: a _{5} =2 ^{8}], [eqn: a _{8} =2 ^{5}]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=9} ^{inf} a _{n}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold32]

	2011학년도 3월 교육청 나형 12

첫째항이 [eqn: 1]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =3]일 때

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{3n-2} -a _{3n-1} )]의 값은? [3점]

① [eqn: {7} over {19}]	② [eqn: {8} over {19}]	③ [eqn: {9} over {19}]

④ [eqn: {10} over {19}]	⑤ [eqn: {11} over {19}]

정답 ③

	2010년 이전 수능 나형

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: a _{2} = {1} over {2}], [eqn: a _{5} = {1} over {6}]을 만족시킨다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `a _{n+1} `a _{n+2} = {q} over {p}]일 때 [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold19]

	2013학년도 10월 교육청 B형 28

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: a _{1} = {1} over {8}]이고,

[eqn: a _{n} a _{n+1} =2 ^{n}] [eqn: (n`ge1)]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {1} over {a _{2n-1}}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold16]

	2011학년도 6월 평가원 나형 12

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이

[eqn: 7a _{1} +7 ^{2} a _{2} +cdots+7 ^{n} a _{n} =3 ^{n} -1]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {a _{n}} over {3 ^{n-1}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

정답 ①

	2013학년도 6월 평가원 가형, 나형 18

[eqn: 2]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: (-3) ^{n-1}]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=3} ^{inf} {a _{n}} over {2 ^{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {5} over {12}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

정답 ①

	2010학년도 3월 교육청 가형 24

수열 [eqn: left{a _{n} right}]을 다음과 같이 정의한다.

㈎ [eqn: a _{1} =2]

㈏ [eqn: a _{n+1} =(a _{n} ^{2} +a _{n} 을``5로``나눈``나머지)] [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} {a _{n}} over {3 ^{n}} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold15]

	2010학년도 4월 교육청 나형 13

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 대각선의 길이가 [eqn: a _{n}]인 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n} = {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은?

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

정답 ④

	2010년 이전 평가원 나형

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에서 [eqn: a _{1} =1]이고, 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} `a _{n+1} =left( {1} over {5} right) ^{n}]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{2n}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

정답 ③

	2014학년도 6월 평가원 A형 14

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`x+2~~```(x` LEQ 0)# # `- {1} over {2} x~~(x>0)}}}]

의 그래프가 그림과 같다.

수열 [eqn: left{a _{n} right}]은 [eqn: a _{1} =1]이고

[eqn: a _{n+1} =f(f(a _{n} ))] [eqn: (n`ge1)]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n->inf} {`a _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

정답 ④