DAY 10. 실전 대비 평가

10

실전 대비 평가

06~09

	2016학년도 10월 교육청 가형 18

[eqn: rm bar AB = 8], [eqn: rm bar BC =6]인 직사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여 네 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rmCD], [eqn: rmDA], [eqn: rmBD]의 중점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG], [eqn: rmH]라 하자. 선분 [eqn: rmCF]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여

[eqn: |` vec{rmEG} + vec{rmHP} `|]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 2+2 sqrt {10}]	③ [eqn: 2+2 sqrt {11}]

④ [eqn: 2+4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 2+2 sqrt {13}]

정답 ②

	2014학년도 사관학교 B형 3

두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여 [eqn: |` vec{a} `|=2], [eqn: |` vec{b} `|=3], [eqn: |`3 vec{a} -2 vec{b} `|=6]일 때, 내적 [eqn: vec{a} cdot vec{b}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ③

	2010년 이전 사관학교 자연

그림과 같은 [eqn: {rmbarAD}=1], [eqn: rmbarAB = sqrt { 6}], [eqn: rmangle ADB =90DEG]인 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: vec{rmAD} = vec{a}], [eqn: vec{rmAB} = vec{b}]라 놓는다. 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE]라 할 때, 벡터 [eqn: vec{rmAE} =k( vec{a} + vec{b} )]를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {5} over {18}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {6}]

정답 ②

	2010년 이전 교육청 자연

다음은 삼각형 [eqn: rmABC]의 변 [eqn: RMBC]의 중점을 [eqn: RMM]이라고 할 때,

[eqn: {RMBARAB} ^{2} +{RMBARAC} ^{2} =2({RMBARAM} ^{2} +{RMBARBM} ^{2} )]

임을 증명하는 과정이다.

오른쪽 그림과 같이

[eqn: vec{RMMA} = vec{a}], [eqn: vec{rmMB} = vec{b}]라 하면

[eqn: vec{rmBA} = vec{a} - vec{b}]

[eqn: vec{rmCA} =box{~~㈎~~}]

∴[eqn: {RMBARAB} ^{2} +{RMBARAC} ^{2}]

[eqn: =|` vec{a} - vec{b} `|` ^{2} +|`box{~~㈎~~}`|` ^{2}]

[eqn: =|` vec{a} `|` ^{2} -2` BOX{~~㈏~~} +|` vec{b} `|` ^{2}]

[eqn: +|` vec{a} `|` ^{2} +2` BOX{~~㈏~~} +|` vec{b} `|` ^{2}]

[eqn: =2(|` vec{a} `|` ^{2} +|` vec{b} `|` ^{2} )]

[eqn: =2( rm bar{AM} it ^{2} +{RMBARBM} ^{2} )]

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?  [2점]

① [eqn: vec{a} - vec{b}], [eqn: vec{a} cdot vec{b}]	② [eqn: vec{a} - vec{b}], [eqn: |` vec{a} `|``|` vec{b} `|]

③ [eqn: vec{a} + vec{b}], [eqn: vec{a} cdot vec{b}]	④ [eqn: vec{a} + vec{b}], [eqn: |` vec{a} `|``|` vec{b} `|]

⑤ [eqn: vec{a} + vec{b}], [eqn: {|` vec{a} `|} over {|` vec{b} `|}]

정답 ③

	2010학년도 10월 교육청 가형 11

그림은 [eqn: RM BAR AB =2], [eqn: RM BAR AD = 2ROOT3]인 직사각형 [eqn: RMABCD]와 이 직사각형의 한 변 [eqn: RMCD]를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]에 대하여 두 벡터 [eqn: RM VEC AC], [eqn: RM VEC AP]의 내적 [eqn: RM VEC {AC} CDOT VEC{AP]의 최댓값은? (단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.) [4점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

정답 ④

	2010년 이전 예비평가 가형

두 위치벡터 [eqn: vec{RMOA} =(2,~5)]와 [eqn: vec{RMOB} =(4,~3)]이 주어졌을 때,

[eqn: vec{RMCA} CDOT vec{RMCB} =0]을 만족시키는 점 [eqn: RMC]에 대한 위치벡터 [eqn: vec{RMOC}]의 크기의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD10]

	2010년 이전 교육청 가형

삼각형 [eqn: RMABC] 넓이를 [eqn: S _{1}], 삼각형 [eqn: RMABC]의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: S _{2}]라고 할 때, 다음은 [eqn: S _{1}]과 [eqn: S _{2}] 사이에 일정한 비가 성립함을 증명한 것이다.

삼각형 [eqn: RMABC]의 각 변의 중점을 [eqn: RMP], [eqn: RMQ], [eqn: RMR]로 놓고 그림과 같이 [eqn: vec{RMPC} = vec{RMBT}]가 되도록 점 [eqn: RMT]를 잡는다.

점 [eqn: RMQ]는 평행사변형 [eqn: RMPBTC]의 대각선 [eqn: RMBC]의 중점이므로

[eqn: RM vec{PQ} = vec{QT}]	……㉠

또 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여

[eqn: RM vec{PQ} = {1} over {2} vec{AC}]이므로

[eqn: RM vec{PQ} = vec{AR}]	……㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: RM vec{AR} = vec{QT}]

∴[eqn: BOX{~~~~㈎~~~~}]

따라서 삼각형 [eqn: RMRBT]는 삼각형 [eqn: RMABC]의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형이다. 한편 두 선분 [eqn: RMBC]와 [eqn: RMRT]의 교점을 [eqn: RMM]이라고 하면, [eqn: rm bar{AQ} ⫽{RMBARRT}]이고 점 [eqn: RMR]가 선분 [eqn: RMAC]의 중점이므로 점 [eqn: RMM]은 선분 [eqn: RMCQ]의 중점이다.

[eqn: rm {ANGLE R MB}= ANGLE AQB]이므로

[eqn: RM TRIANGLE RBT = 1 OVER2 BAR RT TIMES BAR MB TIMES sin(ANGLE RM R M B )]

[eqn: = BOX{~~~~㈏~~~~} RMTRIANGLEABC]

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은? [4점]

㈎	㈏

① [eqn: rm vec{AQ} = vec{RT}]	[eqn: {2} over {3}]

② [eqn: RM vec{AP} = vec{CT}]	[eqn: {2} over {3}]

③ [eqn: RM vec{AQ} = vec{RT}]	[eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: RM vec{AP} = vec{CT}]	[eqn: {3} over {4}]

⑤ [eqn: RM vec{CT} = vec{PB}]	[eqn: {4} over {5}]

정답 ③

	2010년 이전 수능 가형

좌표평면 위에 원점 [eqn: RMO]를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터 [eqn: vec{RMOP}], [eqn: RM vec{OQ}]가 있다. 두 벡터의 종점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 점을 각각 [eqn: RMP'], [eqn: RMQ']이라 할 때, |보기|에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: |``RM vec{OP} - vec{OP'} `|= sqrt {10}]

ㄴ. [eqn: |` rm vec{OP} - vec{OQ} `|=|` vec{OP'} - vec{OQ'} `|]

ㄷ. [eqn: RM vec{OP} CDOT vec{OQ} = vec{OP'} CDOT vec{OQ'}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③