DAY 08. 평면벡터의 내적의 활용

08

평면벡터의 내적의 활용

	2013학년도 수능 가형 26

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAH] 위를 움직일 때, [eqn: | ` rm vec {PA} cdot vec{PB } `|]의 최댓값은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold7]

	2011학년도 수능 가형 22

그림과 같이 평면 위에 정삼각형 [eqn: RMABC]와 선분 [eqn: RMAC]를 지름으로 하는 원 [eqn: RMO]가 있다. 선분 [eqn: RMBC] 위의 점 [eqn: RMD]를 [eqn: RMANGLEDAB= pi over 15]가 되도록 정한다. 점 [eqn: RMX]가 원 [eqn: RMO] 위를 움직일 때, 두 벡터 [eqn: RM VEC AD], [eqn: RM VEC CX]의 내적 [eqn: RM VEC{AD} CDOT VEC{CX}]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: RMX]를 점 [eqn: RMP]라 하자. [eqn: RM ANGLEACP= it q over p pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold17]

	2010년 이전 평가원 가형

평면 위의 두 점 [eqn: rmO _{1}], [eqn: rmO _{2}] 사이의 거리가 [eqn: 1]일 때, [eqn: rmO _{1}], [eqn: rmO _{2}]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 두 원의 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 호 [eqn: rmAO _{2} B] 위의 점 [eqn: RMP]와 호 [eqn: RMAO _{1} B] 위의 점 [eqn: RMQ]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{RMO _{1} P}], [eqn: RM vec{O _{2} Q}]의 내적 [eqn: vec{RMO _{1} P} CDOT vec{RMO _{2} Q}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ②

	2015학년도 사관학교 B형 29

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: RMABCD]에서 변 [eqn: RMAB]와 변 [eqn: RMAD]에 모두 접하고 점 [eqn: RMC]를 지나는 원을 [eqn: O]라 하자. 원 [eqn: O] 위를 움직이는 점 [eqn: RMX]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{RMAB}], [eqn: vec{RMCX}]의 내적 [eqn: vec{rm AB it} CDOT vec{RMCX}]의 최댓값은 [eqn: a-b sqrt {2}]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold80]

	2016학년도 7월 교육청 가형 19

그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 꼭짓점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: vec{rmCA} cdot vec{rmCH}]의 값은? [4점]

㈎ 점 [eqn: rmH]가 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분한다.

㈏ [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rmAC} =40]

㈐ 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: 30]이다.

① [eqn: 36]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 40]

정답 ①

	2017학년도 6월 평가원 가형 28

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rm bar AE = bar DB = 2]인 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]가 있다. 두 선분 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]가 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고, 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rm bar {O_1 A }= rm bar {O_2 B } =1]인 두 점을 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]라 하자.

호 [eqn: rmAC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 호 [eqn: rmDC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: |` vec{rmO _{1} P} + vec{rmO _{2} Q} `|]의 최솟값이 [eqn: {1} over {2}]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: 1<rmbar{O _{1} O _{2} }<2]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold19]

	2017학년도 사관학교 가형 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원 [eqn: C`]와 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선 [eqn: l]이 있다. 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmbar{AB}=24]를 만족시키는 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: vec{rmPA} cdot vec{rmPB}]의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold180]

	2010년 이전 교육청 가형

좌표평면 위에 세 점 [eqn: rmO(0,~0)], [eqn: RMA(2,~0)], [eqn: RMB(0,~2)]가 있다. 점 [eqn: RMP(ITx,~ITy)]가 두 조건

[eqn: vec{RMPA} CDOT vec{RMPB} LE0], [eqn: vec{RMOP} CDOT( vec{RMOA} + vec{RMOB} )LE4]

를 만족할 때, 점 [eqn: RMP]가 존재하는 영역의 넓이는? [4점]

① [eqn: pi]	② [eqn: sqrt {2} + pi]	③ [eqn: 2+pi]

④ [eqn: 3+pi]	⑤ [eqn: 2pi]

정답 ①

	2010년 이전 수능 자연

좌표평면 위의 점 [eqn: rmA]가 부등식 [eqn: y ge 1over 4 x^2 +3]이 나타내는 영역에서 움직일 때, 벡터 [eqn: vec{rm OB it} = {vec{rm OA it}} over {|` vec{rm OA it} `|}]의 종점 [eqn: RMB]가 나타내는 도형의 길이는? (단, [eqn: RMO]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: {pi} over {3}]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: {2} over {3} pi]	⑤ [eqn: 3]

정답 ①

	2010년 이전 평가원 자연

그림과 같이 한 평면 위에서 서로 평행한 세 직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}], [eqn: l _{3}]가 평행한 두 직선 [eqn: m _{1}], [eqn: m _{2}]와 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMX], [eqn: RMO], [eqn: RMY]에서 만나고 있다. [eqn: vec{RMOA} = vec{ITa}], [eqn: vec{RMOB} = vec{ITb}], [eqn: vec{RMOC} = vec{ITc}]라고 할 때,

[eqn: vec{RMAP} =( vec{c} - vec{b} - vec{a} )t] ([eqn: t]는 실수)

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형은? [2점]

① 직선 [eqn: RMAY]	② 직선 [eqn: RMAO]	③ 직선 [eqn: RMAX]

④ 직선 [eqn: RMAB]	⑤ 직선 [eqn: RMCX]

정답 ①

	2014학년도 사관학교 B형 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {3}]인 부채꼴 [eqn: RMOAB]에서 선분 [eqn: RMOA]의 중점을 [eqn: RMM]이라 하자. 점 [eqn: RMP]는 두 선분 [eqn: RMOM]과 [eqn: RMBM] 위를 움직이고, 점 [eqn: RMQ]는 호 [eqn: RMAB] 위를 움직인다. [eqn: vec{RMOR} = vec{RMOP} + vec{RMOQ}]를 만족시키는 점 [eqn: RMR]가 나타내는 영역 전체의 넓이는? [4점]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3}]

정답 ③

	2011학년도 9월 평가원 가형 14

평면에서 그림과 같이 [eqn: RM BAR AB =1]이고 [eqn: RM BAR BC = sqrt { 3}]인 직사각형 [eqn: RM ABCD]와 정삼각형 [eqn: RMEAD]가 있다. 점 [eqn: RMP]가 선분 [eqn: RMAE] 위를 움직일 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: RM |` vec {CB } - vec { CP} `|]의 최솟값은 [eqn: 1]이다.

ㄴ. [eqn: RM vec { CA} CDOT vec { CP}]의 값은 일정하다.

ㄷ. [eqn: RM |` vec { DA} CDOT vec { CP} `|]의 최솟값은 [eqn: 7OVER 2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2017학년도 9월 평가원 가형 16

직사각형 [eqn: rmABCD]의 내부의 점 [eqn: rmP]가

[eqn: vec{rmPA} + vec{rmPB} + vec{rmPC} + vec{rmPD} = vec{rmCA}]

를 만족시킨다. |보기|에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: vec{rmPB} + vec{rmPD} =2 vec{rmCP}]

ㄴ. [eqn: vec{rmAP} = {3} over {4} vec{rmAC}]

ㄷ. 삼각형 [eqn: rmADP]의 넓이가 [eqn: 3]이면 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2010년 이전 수능 가형

평면에서 그림의 오각형 [eqn: RMABCDE]가

[eqn: rm bar{AB} = BAR BC], [eqn: RM BAR AE = BAR ED], [eqn: RM ANGLE B = ANGLE E=90DEG]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 선분 [eqn: RMBE]의 중점 [eqn: RMM]에 대하여 [eqn: RM vec{AB} + vec{AE}]와 [eqn: vec{RMAM}]은 서로 평행하다.

ㄴ. [eqn: RM vec{AB} CDOT vec{AE} =- vec{BC} CDOT vec{ED}]

ㄷ. [eqn: RM|` vec{BC} + vec{ED} `|=|` vec{BE} `|]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2010년 이전 교육청 가형

그림은 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 12]개를 붙여 만든 도형이다. [eqn: 20]개의 꼭짓점 중 한 점을 시점으로 하고 다른 한 점을 종점으로 하는 모든 벡터들의 집합을 [eqn: S]라 하자. 집합 [eqn: S]의 두 원소 [eqn: vec{x}], [eqn: vec{y}]에 대하여 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: vec{x} cdot vec{y} =0]이면 [eqn: |` vec{x} `|], [eqn: |` vec{y} `|]의 값은 모두 정수이다.

ㄴ. [eqn: |` vec{x} `|= sqrt {5}], [eqn: |` vec{y} `|= sqrt {2}]이면 [eqn: vec{x} cdot vec{y} !=0]이다.

ㄷ. [eqn: vec{x} cdot vec{y}]는 정수이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

	2010년 이전 사관학교 자연

[eqn: RMANGLEBAC=60DEG]이고 [eqn: RMANGLEBCA>90DEG]인 둔각삼각형 [eqn: RMABC]가 있다. 그림과 같이 [eqn: RMANGLEBAC]의 이등분선과 선분 [eqn: RMBC]의 교점을 [eqn: RMD], [eqn: RMANGLEBAC]의 외각의 이등분선과 선분 [eqn: RMBC]의 연장선의 교점을 [eqn: RME]라 할 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: RM vec{AB} + vec{AC} =2 vec{AD}]

ㄴ. [eqn: RM vec{AB} CDOT vec{AD} > vec{AC} CDOT vec{AE}]

ㄷ. [eqn: RM vec{AB} CDOT vec{AC} > vec{AD} CDOT vec{AE}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ④