DAY 07. 평면벡터의 내적

07

평면벡터의 내적

	2010년 이전 수능 자연

두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]에 대하여 [eqn: |`` vec{a} ``|=2], [eqn: |`` vec{b} ``|=3], [eqn: |`` vec{a} -2 vec{b} ``|=6]일 때, 내적 [eqn: vec{a} cdot vec{b}]의 값은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 1]

정답 ⑤

	2016학년도 7월 교육청 가형 9

두 평면벡터 [eqn: vec a], [eqn: vecb]가

[eqn: |`vec a `|=1], [eqn: |`vecb `| =3], [eqn: |` 2 vec a + vec b `|=4]

를 만족시킬 때, 두 평면벡터 [eqn: vec { a}], [eqn: vec { b}]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos ` theta]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {3} over {16}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {5} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {8}]

정답 ③

	2017학년도 9월 평가원 가형 8

두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여 [eqn: |` vec{a} `|=1], [eqn: |` vec{b} `|=3]이고, 두 벡터

[eqn: 6 vec{a} + vec{b}]와 [eqn: vec{a} - vec{b}]가 서로 수직일 때, [eqn: vec{a} cdot vec{b}]의 값은? [3점]

① [eqn: - {3} over {10}]	② [eqn: - {3} over {5}]	③ [eqn: - {9} over {10}]

④ [eqn: - {6} over {5}]	⑤ [eqn: - {3} over {2}]

정답 ②

	2015학년도 9월 평가원 B형 5

서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: vec { a}], [eqn: vec { b}]에 대하여 [eqn: |` vec { a}`|=2]이고 [eqn: vec { a} cdot vec { b} =2]일 때, 두 벡터 [eqn: vec { a}]와 [eqn: vec { a} -t vec { b}]가 서로 수직이 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

	2010년 이전 수능 자연

두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각이 [eqn: 60DEG]이다. [eqn: vec{b}]의 크기는 [eqn: 1]이고, [eqn: vec{a} -3 vec{b}]의 크기가 [eqn: sqrt {13}]일 때, [eqn: vec{a}]의 크기는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

정답 ③

	2011학년도 사관학교 자연 3

두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 [eqn: |`` vec{a} ``|=3], [eqn: |`` vec{b} ``|=5], [eqn: |`` vec{a} + vec{b} ``|=7]을 만족시킬 때, [eqn: (2 vec{a} +3 vec{b} )cdot(2 vec{a} - vec{b} )]의 값은? [2점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -9]

정답 ⑤

	2016학년도 9월 평가원 B형 6

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm O (0,~0)], [eqn: rmA(4,~2)], [eqn: rmB(0,~2)], [eqn: rmC(2,~0)]에 대하여 [eqn: vec{rmOA} CDOT vec{rmBC}]의 값은? [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

정답 ⑤

	2012학년도 9월 평가원 가형 2

두 벡터 [eqn: vec { a} =(x+1,~2)], [eqn: vec { b} = (1,~-x)]가 서로 수직일 때, [eqn: x]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ①

	2014학년도 예비평가 B형 23

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(1,~ita)], [eqn: rmB(ita,~2)]에 대하여 [eqn: rm vec{OB } cdot vec{AB} =14]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

정답 [eqn: bold5]

	2010년 이전 교육청 가형

두 벡터 [eqn: vec{a} =(1,~-2)], [eqn: vec{b} =(-2,~2)]에 대하여 내적 [eqn: vec{a} cdot( vec{a} -2 vec{b} )]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold17]

	2010년 이전 평가원 가형

크기가 [eqn: 1]인 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 [eqn: |`` vec{a} - vec{b} ``|=1]을 만족할 때, [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각 [eqn: theta]의 크기는? (단, [eqn: 0 LEQ theta le pi]) [3점]

① [eqn: {pi} over {6}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: {pi} over {3}]

④ [eqn: {pi} over {2}]	⑤ [eqn: pi]

정답 ③

	2010년 이전 수능 자연

두 벡터 [eqn: vec{a} =(-1,~3)]과 [eqn: vec{b} =(2,~1)]에 대하여 내적

[eqn: vec{a} cdot LEFT ( vec{a} + vec{b} RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

정답 ①

	2014학년도 10월 교육청 B형 27

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 반원의 호를 [eqn: 6]등분하여 양 끝점과 각 분점을 왼쪽부터 차례로

[eqn: rmP _{0}], [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: rmP _{4}], [eqn: rmP _{5}], [eqn: rmP _{6}]

이라 하자. 이 [eqn: 7]개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmP _{iti}], [eqn: rmP _{itj}]([eqn: 0 le i le j le 6])이라 하고, 선분 [eqn: rmP_0 P_6]의 중점을 [eqn: rmO]라 하자. 두 벡터 [eqn: vec{rmOP _{iti}}], [eqn: vec{rmOP _{itj}}]의 내적 [eqn: vec{rm OP _{iti} it} CDOT vec{rm OP _{it j rm} it}]의 값을 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: rm E( it X)= {q sqrt {3}} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold23]

	2016학년도 10월 교육청 가형 25

그림과 같이 [eqn: rm bar AB = 15]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rmI]라 하고, 점 [eqn: rmI]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rm bar BD = 8]일 때, [eqn: vec{rmBA} cdot vec{rmBI}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold120]

	2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]가 있다. 두 벡터 [eqn: vec{rmAD}], [eqn: vec{rmAE}]의 내적 [eqn: vec{rmAD} cdot vec{rmAE}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

	2010년 이전 평가원 자연

오른쪽 그림의 어두운 영역에 속하는 모든 점 [eqn: rmA]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{rmOA}]와 [eqn: vec{rmOB}]의 내적이

[eqn: vec{rmOA} cdot vec{rmOB} le0]

을 만족시키는 점 [eqn: rmB]가 있다. 이러한 모든 점 [eqn: rmB]의 영역을 좌표평면 위에 바르게 나타낸 것은?

(단, 어두운 부분의 경계선은 포함한다.) [3점]

①	②

③	④

⑤

정답 ⑤

	2010년 이전 예비평가 가형

다음은 [eqn: rm angle A = pi over 2]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmBC]의 삼등분점을 각각 [eqn: rmD]와 [eqn: rmE]라고 할 때,

[eqn: rm {bar AD} ^2 + {rmbar AE} ^2 + {rmbar DE} ^2 = 2over 3 {bar BC}^2]이 성립함을 벡터를 이용하여 증명한 것이다.

[eqn: vec{rmAB} = vec{ita}], [eqn: vec{rmAC} = vec{itb}]로 놓으면 [eqn: vec{rmBC} =it vec{b} - vec{a}]이고 다음이 성립한다.

[eqn: vec{rm AD it} = BOX{``㈎``}], [eqn: vec{rm AE it} = BOX{``㈏``}], [eqn: {vec{rm DE it}} = {1} over {3} {vec{rm BC it}} = {1} over {3} ( {vec{b}} - {vec{a}} )]

그러므로 다음을 얻는다.

[eqn: |`` vec{rm AD it} ``|` ^{2} = BOX{``㈐``}], [eqn: |`` vec{rmAE} ``|` ^{2} =box{``㈑``}],

[eqn: |`` vec{rm DE it} ``| ^{2} = {1} over {9} (|` vec{a} `|` ^{2} -2 vec{a} CDOT vec{b} +|` vec{b} `|` ^{2} )]

[eqn: |`` vec{rmAD} ``|` ^{2} +|`` vec{rmAE} ``|` ^{2} +|`` vec{rmDE} ``|` ^{2} = {2} over {3} (|` vec{a} `|` ^{2} +|` vec{b} `|` ^{2} + vec{a} cdot vec{b} )]

[eqn: |` vec{rmBC} `|` ^{2} =|` vec{b} `|` ^{2} +|` vec{a} `|` ^{2} -2 vec{a} cdot vec{b}]

이때 [eqn: vec{a} BOT vec{b}]이므로 [eqn: vec{a} cdot vec{b} =0]이고 다음이 성립한다.

[eqn: |`` vec{rmAD} ``|` ^{2} +|`` vec{rmAE} ``|+|`` vec{RMDE} ``|` ^{2} = {2} over {3} |`` vec{RMBC} ``|` ^{2}]

따라서 [eqn: RM{BARAD} ^{2} +{BARAE} ^{2} +{BARDE} ^{2} = {2} over {3} {BARBC} ^{2}]

위의 증명에서 ㈎와 ㈑에 알맞은 것은? [3점]

㈎	㈑

① [eqn: {2} over {3} vec{a} + {1} over {3} vec{b}]	[eqn: {1} over {9} (|` vec{a} `|` ^{2} +4 vec{a} CDOT vec{b} +4`|` vec{b} `|` ^{2} )]

② [eqn: {2} over {3} vec{a} + {1} over {3} vec{b}]	[eqn: {1} over {9} (4`|` vec{a} `|` ^{2} +4 vec{a} CDOT vec{b} +|` vec{b} `|` ^{2} )]

③ [eqn: {2} over {3} vec{a} + {1} over {3} vec{b}]	[eqn: {1} over {9} (|` vec{a} `|` ^{2} +2 vec{a} CDOT vec{b} +|` vec{b} `|` ^{2} )]

④ [eqn: {1} over {3} vec{a} + {2} over {3} vec{b}]	[eqn: {1} over {9} (|` vec{a} `|` ^{2} +4 vec{a} CDOT vec{b} +4`|` vec{b} `|` ^{2} )]

⑤ [eqn: {1} over {3} vec{a} + {2} over {3} vec{b}]	[eqn: {1} over {9} (4`|` vec{a} `|` ^{2} +4 vec{a} CDOT vec{b} +4`|` vec{b} `|` ^{2} )]

정답 ①

	2010년 이전 사관학교 자연

다음은 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: vec{rmBC} = vec{ita}], [eqn: vec{rmCA} = vec{b}], [eqn: vec{rmAB} = vec{itc}]라 할 때,

[eqn: ( vec{b} cdot vec{c} ) vec{a} +( vec{c} cdot vec{a} ) vec{b} +( vec{a} cdot vec{b} ) vec{c} = vec{0}]

이면 삼각형 [eqn: rmABC]는 정삼각형임을 증명한 것이다.

(단, [eqn: vec{x} cdot vec{y}]는 두 벡터 [eqn: vec{x}], [eqn: vec{y}]의 내적이다.)

[eqn: vec{c} =box{~~㈎~~}]를 주어진 조건식에 대입하여 정리하면

[eqn: ( vec{b} CDOT BOX{~~㈎~~} `) vec{a} +(` BOX{~~㈎~~} ` vec{a} ) vec{b} +( vec{a} CDOT vec{b} ) BOX{~~㈎~~}]

[eqn: =(` BOX{~~㈏~~} `- vec{b} CDOT vec{b} ) vec{a} +(` BOX{~~㈏~~} `- vec{a} CDOT vec{a} ) vec{b} = vec{0}]

[eqn: vec{a}]와 [eqn: vec{b}]는 평행하지 않으므로

[eqn: {cases{` BOX{~~㈏~~} `- vec{b} CDOT vec{b} =0# `{box{~~㈏~~} `- vec { a } cdot vec { a} =0]

위의 두 식에서 [eqn: vec{a} cdot vec{a} = vec{b} cdot vec{b}]	∴[eqn: |` vec{a} `|=|` vec{b} `|]

같은 방법으로, [eqn: vec{b} =box{~~㈐~~}]를 주어진 조건식에 대입하여 정리하면 [eqn: |` vec{a} `|=|` vec{c} `|]가 얻어진다.

따라서 [eqn: rmtriangleABC]는 정삼각형이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐`에 알맞은 것은? [3점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: - vec{a} - vec{b}]	[eqn: -2 vec{a} cdot vec{b}]	[eqn: - vec{a} - vec{c}]

② [eqn: vec{a} + vec{b}]	[eqn: -2 vec{a} cdot vec{b}]	[eqn: vec{a} + vec{c}]

③ [eqn: vec{a} + vec{b}]	[eqn: vec{a} cdot vec{b}]	[eqn: - vec{a} - vec{c}]

④ [eqn: - vec{a} - vec{b}]	[eqn: - vec{a} cdot vec{b}]	[eqn: vec{a} + vec{c}]

⑤ [eqn: vec{a} - vec{b}]	[eqn: 2` vec{a} cdot vec{b}]	[eqn: - vec{a} - vec{c}]

정답 ①