DAY 05. 실전 대비 평가

05

실전 대비 평가

01~04

[1~2] 그림과 같이 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=e ^{x+k}]의 그래프와 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]가 있다. 1번과 2번의 두 물음에 답하시오.

	2016학년도 4월 교육청 가형 11

[eqn: k=1]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 포물선 [eqn: y^2 = 4x]의 준선, [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① [eqn: e-2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: e- 1over 2]

④ [eqn: e- 1over e]	⑤ [eqn: e- 1 over 2e]

정답 ②

	2016학년도 4월 교육청 가형 12

포물선 [eqn: y^2 = 4x] 위의 점 [eqn: (4,~4)]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 지날 때, [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: ln`2]	② [eqn: ln` {7} over {3}]	③ [eqn: ln` {8} over {3}]

④ [eqn: ln`3]	⑤ [eqn: ln` {10} over {3}]

정답 ①

	2015학년도 7월 교육청 B형 17

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =8x] 위의 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여 두 선분 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmCD]가 각각 [eqn: y]축과 평행하다. 사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의 교점이 포물선의 초점 [eqn: rmF]와 일치하고 [eqn: rmbar DF =6]일 때 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는? [4점]

①[eqn: 14 sqrt { 2}]	② [eqn: 15 sqrt { 2}]	③ [eqn: 16 sqrt { 2}]

④ [eqn: 17 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 18 sqrt { 2}]

정답 ⑤

	2014학년도 예비평가 B형 27

포물선 [eqn: y^2 = 4px] ([eqn: p>0])의 초점을 [eqn: rmF], 포물선의 준선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 포물선 위의 점 [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: rmbar AB =7]이고 [eqn: rm bar BF =5]가 되도록 하는 [eqn: p]의 값이 [eqn: a] 또는 [eqn: b]일 때 [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a != b]이다.) [4점]

정답 [eqn: bold13]

	EBS 연계 2014학년도 수능 B형 8

좌표평면에서 포물선 [eqn: y^2 = 8x]에 접하는 두 직선 [eqn: l_1], [eqn: l_2]의 기울기가 각각 [eqn: m_1], [eqn: m_2]이다. [eqn: m_1], [eqn: m_2]가 방정식 [eqn: 2x^2 -3x +1=0]의 서로 다른 두 근일 때, [eqn: l_1]과 [eqn: l_2]의 교점의 [eqn: x]좌표는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

	2010년 이전 평가원 가형

좌표평면에서 원 [eqn: x^2 + y^2 =36] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP(ita,~b)]와 점 [eqn: rm A(4,~0)]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 [eqn: rmQ] 전체의 집합을 [eqn: X]라 하자. (단, [eqn: b!=0])

㈎ 점 [eqn: rmQ~]는 선분 [eqn: rmOP] 위에 있다.

㈏ 점 [eqn: rmQ]를 지나고 직선 [eqn: rmAP]에 평행한 직선이 [eqn: rm angle OQA]를 이등분한다.

집합의 포함 관계로 옳은 것은? [4점]

① [eqn: X SUBSET LEFT { (x,~y)`` LEFT | `` {(x-1) ^{2}} over {9} - {(y-1) ^{2}} over {5} =1right} RIGHT . RIGHT .]

② [eqn: LEFT . X SUBSET LEFT { (x,~y)`` LEFT | `` {(x-2) ^{2}} over {9} + {(y-1) ^{2}} over {5} =1 RIGHT } RIGHT . RIGHT .]

③ [eqn: LEFT . X SUBSET LEFT { (x,~y)`` LEFT | `` {(x-1) ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {5} =1 RIGHT }]

④ [eqn: LEFT . X SUBSET LEFT { (x,~y)`` LEFT | `` {(x-1) ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} =1 RIGHT }]

⑤ [eqn: LEFT . X SUBSET LEFT { (x,~y)`` LEFT | `` {(x-2) ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} =1 RIGHT }]

정답 ⑤

	2014학년도 10월 교육청 B형 18

중심이 [eqn: (0,~3)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원이 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 이 원과 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]이 만나는 점 중 한 점을 [eqn: rmP]라 할 때, [eqn: rm bar AP times bar BP]의 값은? [4점]

① [eqn: {41} over {4}]	② [eqn: {21} over {2}]	③ [eqn: {43} over {4}]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: {45} over {4}]

정답 ⑤

	2012학년도 9월 평가원 가형 13

두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이고, 장축의 길이가 [eqn: 10], 단축의 길이가 [eqn: 6]인 타원이 있다. 중심이 [eqn: rmF]이고 점 [eqn: rmF']을 지나는 원과 이 타원의 두 교점 중 한 점을 [eqn: rmP]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPFF']의 넓이는? [3점]

① [eqn: 2 sqrt {10}]	② [eqn: 3 sqrt {5}]	③ [eqn: 3 sqrt {6}]

④ [eqn: 3 sqrt {7}]	⑤ [eqn: sqrt {70}]

정답 ④

	2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] ([eqn: 0<b<a])에 내접하는 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 타원의 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이 각각 선분 [eqn: rmAC], [eqn: rmAB] 위에 있을 때 [eqn: {b} over {a}]의 값은? (단, 점 [eqn: rmA]는 [eqn: y]축 위에 있다.) [3점]

① [eqn: {3} over {5}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 자연

케플러의 법칙에 의하여 다음 사실이 알려져 있다.

행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도를 따라 공전한다. 태양으로부터 행성까지의 거리를 [eqn: r], 행성의 속력을 [eqn: v]라 하면 장축과 공전궤도가 만나는 두 지점에서 거리와 속력의 곱 [eqn: rv]의 값은 서로 같다.

초점 사이의 거리가 [eqn: 2c]인 타원궤도를 따라 공전하는 행성이 있다. 단축과 공전궤도가 만나는 한 지점과 태양 사이의 거리가 [eqn: a]이다. 장축과 공전궤도가 만나는 두 지점에서의 속력의 비가 [eqn: 3:5]일 때 [eqn: c over a]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

정답 ③

	2010년 이전 수능 가형

타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1]의 네 꼭짓점을 연결하여 만든 사각형에 내접하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이 있다. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 두 초점이 [eqn: rmF(itb,~0)], [eqn: rmF'(-itb,~0)]일 때 [eqn: a ^{2} b ^{2} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold17]

	2016학년도 9월 평가원 B형 19

두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 over 3 =1]위의 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면에 있다.

㈏ 삼각형 [eqn: rmPF'F]가 이등변삼각형이다.

삼각형 [eqn: rmPF'F]의 넓이를 [eqn: a]라 할 때, 모든 [eqn: a]의 값의 곱은? [4점]

① [eqn: 3 sqrt {77}]	② [eqn: 6 sqrt {21}]	③ [eqn: 9 sqrt {10}]

④ [eqn: 21 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {105}]

정답 ⑤

	2010년 이전 수능 가형

쌍곡선 [eqn: x^2 over 5 - y^2 over 4 =1]의 두 초점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하고, 꼭짓점이 아닌 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]의 원점에 대한 대칭인 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 사각형 [eqn: rmF'QFP]의 넓이가 [eqn: 24]가 되는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 할 때, [eqn: |``a``|+|``b``|]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

정답 ①

	2012학년도 6월 평가원 가형 13

원 [eqn: (x-4) ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]과 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -2y ^{2} =1]이 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 양수 [eqn: r]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정답 ②

	2015학년도 7월 교육청 B형 9

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =8]과 쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 =1]이 서로 다른 네 점에서 만나고 이 네 점은 원의 둘레를 [eqn: 4]등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y= root 2 x]일 때 [eqn: a^2 + b ^2]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정답 ③

	2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF(itk,~0)], [eqn: rmF' (-itk ,~0)]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: x^2 over a ^2 - y^2 over b ^2 =1]과 점 [eqn: rmF]를 초점으로 하는 포물선 [eqn: y^2 = 56 (x+c)]가 있다. 쌍곡선 위의 임의의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: |``rm bar PF - bar PF' ``|=10]이 성립하고, 포물선의 꼭짓점 [eqn: rmA]에 대하여 [eqn: rm bar AF' : bar FF' = 1: 6]이 성립한다. 이때 [eqn: c^2 over { a^2 -b^2 }]의 값은? (단, [eqn: 0<k<c]이다.) [4점]

① [eqn: {53} over {14}]	② [eqn: {55} over {14}]	③ [eqn: {30} over {7}]

④ [eqn: {32} over {7}]	⑤ [eqn: {34} over {7}]

정답 ④

	2012학년도 10월 교육청 가형 5

쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {3} =1] 위의 점 [eqn: (2,~3)]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표는? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ①

	2010년 이전 평가원 가형

쌍곡선 [eqn: 9x ^{2} -16y ^{2} =144]의 초점을 지나고 점근선과 평행한 [eqn: 4]개의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [3점]

① [eqn: {75} over {16}]	② [eqn: {25} over {4}]	③ [eqn: {25} over {2}]

④ [eqn: {75} over {4}]	⑤ [eqn: {75} over {2}]

정답 ⑤

	2010년 이전 평가원 가형

쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 =1]에 대한 설명으로 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. 점근선의 방정식은 [eqn: y=x], [eqn: y=-x]이다.

ㄴ. 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선이 존재한다.

ㄷ. 포물선 [eqn: y^2 = 4px] ([eqn: p!=0])는 쌍곡선과 항상 두 점에서 만난다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

	2011학년도 9월 평가원 가형 4

좌표평면 위의 점 [eqn: (-1,~0)]에서 쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 =2]에 그은 접선의 방정식을 [eqn: y=mx+n]이라 할 때, [eqn: m^2 + n^2]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다.) [3점]

① [eqn: { 5} over {2 }]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

정답 ④

	2010년 이전 수능 자연

곡선 [eqn: x ^{3} -xy ^{2} =10] 위의 점 [eqn: (-2,~3)]에서의 접선의 기울기는? [3점]

① [eqn: - {1} over {4}]	② [eqn: - {1} over {6}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

정답 ①

	2010년 이전 사관학교 자연

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP(ita,~b)]

([eqn: a>1], [eqn: b>0])에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 직선과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: S(a)]라 할 때, [eqn: S(a)]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

정답 ①

	2017학년도 6월 평가원 가형 17

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2 } = 4x] 위의 점 [eqn: rmA( itt^2 ,~2t)]에서 이 포물선의 준선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라 하자.

다음은 점 [eqn: rmA]에서의 접선과 직선 [eqn: rmOB]가 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하는 과정이다. (단, [eqn: t!=0]이고 [eqn: rmO]는 원점이다.)

포물선의 방정식 [eqn: y ^{2 } = 4x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하여 정리하면

[eqn: {dy} over {dx} =box{~~㈎~~}] (단, [eqn: y!=0])

이므로 점 [eqn: rm A ( it t ^2 ,~2t)]에서의 접선의 방정식을 구하면

[eqn: y= box {~~㈏~~} times x + t]	…… ㉠

이다.

[eqn: rm B(` BOX{~~㈐~~} `,~2 it t)]이므로 직선 [eqn: rmOB]의 방정식은

[eqn: y= {2t} over {box{~~㈐~~}} x]	…… ㉡

이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하면

[eqn: left(`box{~~㈐~~}`times {t ^{2}} over {2t ^{2} +1} ,~ {2t ^{3}} over {2t ^{2} +1} right)]

이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(y)], [eqn: g(t)]라 하고, ㈐에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: f(a) times g (a)]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

정답 ①

	2010년 이전 평가원 가형

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]이고 반지름의 길이가 [eqn: 10]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]에서 출발하여 호 [eqn: rmAB]를 따라 매초 [eqn: 2]의 일정한 속력으로 움직일 때, [eqn: rm angle AOP = 30DEG]가 되는 순간 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표의 시간(초)에 대한 변화율은? [3점]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

정답 ④

	2014학년도 4월 교육청 B형 24

좌표평면에서 곡선 [eqn: 3x^3 - xy^2 = 6] 위의 점 [eqn: (2,~3)]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: 40m]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold90]

	2010년 이전 수능 가형

지점 [eqn: rmO]와 지점 [eqn: rmE] 사이의 거리는 [eqn: 40~rmm]이다. 그림과 같이 갑은 지점 [eqn: rmO]에서 출발하여 선분 [eqn: rmOE]에 수직인 반직선 [eqn: rmOS]를 따라 초속 [eqn: 3~rmm]의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발한 지 [eqn: 10]초가 되는 순간 지점 [eqn: rmE]에서 출발하여 선분 [eqn: rmOE]에 수직인 반직선 [eqn: rmEN]을 따라 초속 [eqn: 4~rmm]의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 [eqn: rmOE]가 만나서 이루는 각을 [eqn: theta](라디안)라 할 때, 갑이 출발한 지 [eqn: 20]초가 되는 순간 [eqn: theta]의 변화율은? [4점]

① [eqn: {21} over {290} 라디안/초]	② [eqn: {13} over {290} 라디안/초]

③ [eqn: {7} over {290} 라디안/초]	④ [eqn: {3} over {290} 라디안/초]

⑤ [eqn: {1} over {290} 라디안/초]

정답 ③