DAY 02. 타원

02

타원

	2016학년도 7월 교육청 가형 10

타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rm F prime]이라 하자. 타원 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm angle FPF' = pi over 2]를 만족시킬 때, 삼각형 [eqn: rmFPF']의 넓이는? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ④

	2016학년도 10월 교육청 가형 20

타원 [eqn: x^2 over a ^2 + y^2 over b^2 =1]의 두 초점 [eqn: rmF(6,~0)], [eqn: rmF' (-6,~0)]에 대하여 선분 [eqn: rmF'F]를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 원 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 5pi over 6]일 때, 타원의 장축의 길이는?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 0 < sqrt { 2 }b <a]인 상수이다.) [4점]

① [eqn: 5+6 sqrt { 3}]	② [eqn: 6+6 sqrt { 3}]	③ [eqn: 7+6 sqrt { 3}]

④ [eqn: 6+7 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 7+7 sqrt { 3}]

정답 ②

	2016학년도 4월 교육청 가형 17

그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over a ^2 + y^2 over b^2 =1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF], 음수인 점을 [eqn: rmF']이라 하자. 타원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPF']의 중점 [eqn: rmM]의 좌표가 [eqn: (0,~1)]이고 [eqn: rm bar PM = bar PF]일 때, [eqn: a^2 + b ^2]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

정답 ②

	2016학년도 6월 평가원 B형 12

그림과 같이 두 점 [eqn: rm F (itc,~0)], [eqn: rmF' (it-c,~0)][eqn: (c>0)]을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 4]인 타원이 있다. 점 [eqn: rmF]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: c]인 원이 타원과 점 [eqn: rmP]에서 만난다. 점 [eqn: rmP]에서 원에 접하는 직선이 점 [eqn: rmF']을 지날 때, [eqn: c]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt { 2}]	② [eqn: sqrt {10} - sqrt {3}]	③ [eqn: sqrt {6} -1]

④ [eqn: 2 sqrt {3} -2]	⑤ [eqn: sqrt {14} - sqrt {5}]

정답 ④

	2015학년도 10월 교육청 B형 14

그림과 같이 좌표평면에 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']과

점 [eqn: rmP(0,~itn)]([eqn: n>0])이 있다. 삼각형 [eqn: rmPF'F]는 [eqn: rm ANGLE FPF'= {pi} over {2}]인 직각이등변삼각형이다.

두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 초점으로 하고 점 [eqn: rmP]를 지나는 타원과 직선 [eqn: rmPF']이 만나는 점 중점 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 삼각형 [eqn: rmFPQ]의 둘레의 길이가 [eqn: 12 sqrt {2}]일 때, 삼각형 [eqn: rmFPQ]의 넓이는? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ②

	2015학년도 수능 B형 27

타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {4} =1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF], 음수인 점을 [eqn: rmF']이라 하자. 이 타원 위의 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmangleFPF'= {pi} over {2}]가 되도록 제[eqn: 1]사분면에서 잡고, 선분 [eqn: rmFP]의 연장선 위에 [eqn: y]좌표가 양수인 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rm bar{FQ} =6]이 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: rm Q F'F]의 넓이를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold12]

	2015학년도 6월 평가원 B형 17

그림과 같이 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이 [eqn: x]축 위에 있는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {49} + {y ^{2}} over {a} =1] 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm bar FP = 9]를 만족시킨다.

점 [eqn: rmF]에서 선분 [eqn: rmPF']에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]에 대하여 [eqn: rm bar FH = 6 root 2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 29]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 33]

정답 ②

	EBS 연계 2014학년도 수능 B형 27

그림과 같이 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rm A(0,~ita)]와 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 초점으로 하는 타원 [eqn: x^2 over 25 + y^2 over 9 =1] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다.

[eqn: rm bar AP - bar FP]의 최솟값이 [eqn: 1]일 때, [eqn: a^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold105]

	2013학년도 10월 교육청 B형 27

그림과 같이 점 [eqn: rmA(-5,~0)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원과 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {16} =1]의 한 교점을 [eqn: rmP]라 하자.

점 [eqn: rmB(3,~0)]에 대하여 [eqn: rm bar{PA} + bar PB = 10]일 때, [eqn: 10r]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold26]

	2014학년도 9월 평가원 B형 9

타원 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1]의 한 초점을 [eqn: rmF(itc,~0)][eqn: (c>0)], 이 타원이 [eqn: x]축과 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 음수인 점을 [eqn: rmA], [eqn: y]축과 만나는 점 중에서 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmB]라 하자.

[eqn: rm angle AFB= pi over 3]이고 삼각형 [eqn: rmAFB]의 넓이는 [eqn: 6 root 3]일 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

정답 ④

	2013학년도 7월 교육청 B형 28

그림 [eqn: 1]]과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]과 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: RMABC]가 있다. 변 [eqn: RMAB]는 [eqn: x]축 위에 있고 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rmC]는 타원 위에 있다. 한 변이 [eqn: x]축 위에 놓이도록 정삼각형 [eqn: rmABC]를 [eqn: x]축을 따라 양의 방향으로 미끄러짐 없이 회전시킨다. 처음 위치에서 출발한 후 변 [eqn: rmBC]가 두 번째로 [eqn: x]축 위에 놓이고 꼭짓점 [eqn: rmC]는 타원 위에 놓일 때가 [그림 [eqn: 2]]이다.

[eqn: a ^{2} +3b ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold50]

	2013학년도 6월 평가원 가형 27

두 점 [eqn: rmF(5,~0)], [eqn: rmF' (-5,~0)]을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 원점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: RMPF]와 선분 [eqn: RMQF']에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RMH]와 [eqn: RMI]라 하자. 점 [eqn: RMH]와 점 [eqn: RMI]가 각각 선분 [eqn: RMPF]와 선분 [eqn: RMQF']의 중점이고, [eqn: RM BAR OH TIMES BAR OI =10]일 때, 이 타원의 장축의 길이를 [eqn: l]이라 하자. [eqn: l^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm bar OH != bar OI]) [4점]

정답 [eqn: bold180]

	2011학년도 9월 평가원 가형 20

좌표평면에서 두 점 [eqn: rmA(5,~0)], [eqn: rmB(-5,~0)]에 대하여 장축이 선분 [eqn: rmAB]인 타원의 두 초점을 [eqn: RMF], [eqn: RMF']'이라 하자. 초점이 [eqn: RMF]이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]라 하자. [eqn: rm bar{PQ}= 2root 10]일 때, 두 선분 [eqn: RMPF]와 [eqn: RMPF']의 길이의 곱 [eqn: RM BAR PF TIMES BAR PF']의 값은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

정답 [eqn: bold103]

	2010년 이전 평가원 가형

타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {16} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 이 타원 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm bar{OP} =barOF]를 만족시킬 때, [eqn: rm bar PF times bar PF']의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

정답 [eqn: bold32]

	2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {100} + {y ^{2}} over {36} =1]의 장축을 [eqn: 10]등분한 후 장축의 양 끝점을 제외하고 각 등분점에서 장축에 수직인 직선을 그어 [eqn: x]축 위쪽 부분에 있는 타원과의 교점을 차례로 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: cdots], [eqn: rmP _{9}]라 하자. 타원의 한 초점을 [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{9} rmbar{FP _{itk}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold90]

	2017학년도 9월 평가원 가형 27

그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over 36 + y^2 over 27 =1]의 두 초점은 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이고, 제[eqn: 1]사분면에 있는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: rm bar PF =2]

㈏ 점 [eqn: rmQ]는 직선 [eqn: rmPF']과 타원의 교점이다.

삼각형 [eqn: rmPFQ]의 둘레의 길이와 삼각형 [eqn: rmPF'F]의 둘레의 길이의 합을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold22]

	2017학년도 수능 가형 19

두 양수 [eqn: k], [eqn: p]에 대하여 점 [eqn: rmA( - itk ,~0)]에서 포물선 [eqn: y^2 = 4px]에 그은 두 접선이 [eqn: y]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmF'], 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: rm angle PAQ= pi over 3]이다. 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 초점으로 하고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 지나는 타원의 장축의 길이가 [eqn: 4 root 3 + 12]일 때, [eqn: k+p]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

정답 ①

	EBS 연계 2012학년도 수능 가형 11

한 변의 길이가 [eqn: 10]인 마름모 [eqn: RMABCD]에 대하여 대각선 [eqn: RMBD]를 장축으로 하고, 대각선 [eqn: RMAC]를 단축으로 하는 타원의 두 초점 사이의 거리가 [eqn: 10 ROOT 2]이다. 마름모 [eqn: RMABCD]의 넓이는? [3점]

① [eqn: 55 sqrt { 3}]	② [eqn: 65 sqrt { 2}]	③ [eqn: 50 sqrt { 3}]

④ [eqn: 45 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 45 sqrt { 2}]

정답 ③

	2010년 이전 수능 가형

오른쪽 그림은 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]의 각 변을 장축으로 하고, 단축의 길이가 같은 타원 [eqn: 6]개를 그린 것이다. 그림과 같이 정육각형의 꼭짓점과 이웃하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼각형 [eqn: 6]개의 넓이의 합이 [eqn: 6root3]일 때 타원의 단축의 길이는? [3점]

① [eqn: 4 sqrt {2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 6 sqrt {2}]

정답 ④

	2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 각각 [eqn: (10,~0)], [eqn: (-10,~0)], [eqn: (0,~6)], [eqn: (0,~-6)]이고 반지름의 길이가 모두 같은 [eqn: 4]개의 원에 동시에 접하고, 초점이 [eqn: x]축 위에 있는 타원이 있다.

이 타원의 두 초점 사이의 거리가 [eqn: 4root 10]일 때, 장축의 길이를 구하시오. (단, 네 원의 중심은 타원의 외부에 있다.) [4점]

정답 [eqn: bold14]

	2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF(itc,~0)], [eqn: rmF'(-itc,~0)]을 초점으로 하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {16} =1]과 직선 [eqn: x=c]의 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 두 점 [eqn: rmC(ita,~0)], [eqn: rmD(-ita,~0)]에 대하여 사각형 [eqn: rmADBC]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: c]는 양수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold32]

	2010년 이전 수능 가형

타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {20} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF]와 [eqn: rmF']이라 하고, 초점 [eqn: rmF]에 가장 가까운 꼭짓점을 [eqn: rmA]라 하자. 이 타원 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm angle PFF' = pi over 3]일 때 [eqn: rm {bar PA} ^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold39]

	2010년 이전 수능 자연

그림과 같이 원점을 중심으로 하는 타원의 한 초점을 [eqn: rmF]라 하고, 이 타원이 [eqn: y]축과 만나는 한 점을 [eqn: rmA]라고 하자. 직선 [eqn: rmAF]의 방정식이 [eqn: y= {1} over {2} x-1]일 때 이 타원의 장축의 길이는? [2점]

① [eqn: 4 sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {7}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 2 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

정답 ⑤

	2014학년도 6월 평가원 B형 19

직선 [eqn: y=2] 위의 점 [eqn: rmP]에서 타원 [eqn: x^2 + y^2 over 2 =1]에 그은 두 접선의 기울기의 곱이 [eqn: 1 over 3]이다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: k^2]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ②

	2014학년도 7월 교육청 B형 20

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 타원 [eqn: 3x^2 + 4y^2 =12] 위를 움직이는 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선 [eqn: l]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmP]에서 접선 [eqn: l]과 수직인 직선을 그어 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. 세 삼각형 [eqn: RMPRF], [eqn: RMPF'R], [eqn: RMPFQ]의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 [eqn: RMP]의 [eqn: x]좌표는? [4점]

① [eqn: {13} over {12}]	② [eqn: {7} over {6}]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {12}]

정답 ④

	2012학년도 6월 평가원 가형 28

점 [eqn: (0,~2)]에서 타원 [eqn: x^2 over 8 + y^2 over 2 =1]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, 타원의 두 초점 중 하나를 [eqn: rmF]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmPFQ]의 둘레의 길이는 [eqn: a root 2 +b]이다. [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold32]

	2011학년도 수능 가형 5

좌표평면에서 점 [eqn: rmA(0,~4)]와 타원 [eqn: x^2 over 5 + y^2 =1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmP]를 지나는 직선이 원 [eqn: x^2 + (y-3)^2 =1]과 만나는 두 점 중에서 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 타원 위의 모든 점을 지날 때, 점 [eqn: rmQ]가 나타내는 도형의 길이는? [3점]

① [eqn: pi over 6]	② [eqn: pi over 4]	③ [eqn: pi over 3]

④ [eqn: 2 over 3 pi]	⑤ [eqn: 3 over 4 pi]

정답 ④