DAY 01. 포물선

01

포물선

	EBS 연계 2015학년도 수능 B형 10

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =12x]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선과 포물선이 만나는 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 준선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rm bar{AC}=4]일 때 선분 [eqn: rmBD]의 길이는? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 25over 2]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 27 over 2]	⑤ [eqn: 14]

정답 ①

	2017학년도 9월 평가원 가형 25

좌표평면에서 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: x^2 =4y] 위의 점 [eqn: rmA]가 [eqn: rm bar AF = 10]을 만족시킨다. 점 [eqn: rmB(0,~-1)]에 대하여 [eqn: rm bar AB = it a]일 때, [eqn: a^2]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold136]

	2016학년도 7월 교육청 가형 28

두 양수[eqn: m], [eqn: p]에 대하여 포물선 [eqn: y^2 = 4px]와 직선 [eqn: y=m(x-4)]가 만나는 두 점 중 제[eqn: 1]사분면 위의 점을 [eqn: rmA], 포물선의 준선과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: rmB], 직선 [eqn: y=m(x-4)]와 [eqn: y]축이 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심이 포물선의 초점 [eqn: rmF]와 일치할 때, [eqn: rm bar AF + bar BF]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold14]

	2016학년도 4월 교육청 가형 13

그림과 같이 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y^2 = 8x] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPFH]의 넓이가 [eqn: 3 root 10]일 때, 선분 [eqn: rmPF]의 길이는?

(단, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표보다 크다.) [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

정답 ③

	2017학년도 사관학교 가형 10

그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 = 4x] 위의 한 점 [eqn: rmP]를 중심으로 하고 준선과 점 [eqn: rmA]에서 접하는 원이 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자. 부채꼴 [eqn: rmPBC]의 넓이가 부채꼴 [eqn: rmPAB]의 넓이의 [eqn: 2]배일 때, 원의 반지름의 길이는? (단, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]보다 크고, 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 크다.) [3점]

① [eqn: 2+2 sqrt { 3}]	② [eqn: 3+2 sqrt { 2}]	③ [eqn: 3+2 sqrt { 3}]

④ [eqn: 4+2 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 4+2 sqrt { 3}]

정답 ④

	2015학년도 6월 평가원 B형 28

좌표평면에서 포물선 [eqn: C_1 : x^2 =4y]의 초점을 [eqn: rmF_1], 포물선 [eqn: C_2 : y^2 = 8x]의 초점을 [eqn: rmF_2]라 하자. 점 [eqn: rmP]는 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 중심이 [eqn: C_1]위에 있고 점 [eqn: rmF_1]을 지나는 원과 중신이 [eqn: C_2]위에 있고 점 [eqn: rmF_2]를 지나는 원의 교점이다.

㈏ 제[eqn: 3]사분면에 있는 점이다.

원점 [eqn: rmO]에 대하여 [eqn: rm {barOP }^{2}]의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold5]

	EBS 연계 2013학년도 수능 가형 18

자연수 [eqn: n]에 대하여 포물선 [eqn: y^2 = x over n]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자.

[eqn: rm bar PF =1]이고 [eqn: rm bar FQ = it a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 210]	② [eqn: 205]	③ [eqn: 200]

④ [eqn: 195]	⑤ [eqn: 190]

정답 ①

	2012학년도 10월 교육청 가형 13

그림과 같이 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y ^{2} =12x] 위에

[eqn: angle rmOFA = angle AFB = pi over 3]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있다. 삼각형 [eqn: rmAFB]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이고 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.) [4점]

① [eqn: 8root 3]	② [eqn: 10 sqrt { 3}]	③ [eqn: 12 sqrt { 3}]

④[eqn: 14 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 16 sqrt { 3}]

정답 ③

	2013학년도 9월 평가원 가형 26

그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 [eqn: rmO]이고 초점이 [eqn: rmF]인 포물선과 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 선분 [eqn: rmAF]를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 2]일 때 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: a+b sqrt { 2}]이다. [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold 128]

	2013학년도 6월 평가원 가형 20

포물선 [eqn: y^2 =4x]의 초점을 [eqn: rmF], 준선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmP]를 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l]이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rm bar FA `:` bar FB = 1:2]일 때 직선 [eqn: l]의 기울기는? [4점]

① [eqn: {2 sqrt {6}} over {7}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {3}]	③ [eqn: {4} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]

정답 ⑤

	2012학년도 6월 평가원 가형 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {3}]인 정삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심 [eqn: rmG]가 [eqn: x]축 위에 있다. 꼭짓점이 [eqn: rmO]이고 초점이 [eqn: rmG]인 포물선과 직선 [eqn: rmGB]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 선분 [eqn: rmGP]의 길이를 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

정답 [eqn: bold8]

	2011학년도 수능 가형 14

그림과 같이 좌표평면에서 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 꼭짓점이 [eqn: rmA]인 포물선 [eqn: p _{1}]과 꼭짓점이 [eqn: rmB]인 포물선 [eqn: p _{2}]가 다음 조건을 만족시킨다. 이때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? [4점]

㈎ [eqn: p _{1}]의 초점은 [eqn: rmB]이고, [eqn: p _{2}]의 초점은 원점 [eqn: rmO]이다.

㈏ [eqn: p _{1}]과 [eqn: p _{2}]는 [eqn: y]축 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]에서 만난다.

㈐ [eqn: rm bar AB =2]

① [eqn: 4( sqrt {2} -1)]	② [eqn: 3( sqrt {3} -1)]	③ [eqn: 2( sqrt {5} -1)]

④ [eqn: sqrt {3} +1]	⑤ [eqn: sqrt {5} +1]

정답 ③

	2010년 이전 수능 가형

초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y ^{2} =x]위에 [eqn: rm bar FP =4]인 점 [eqn: rmP]가 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rmFP]의 연장선 위에 [eqn: rm bar FP = bar PQ]가 되도록 점 [eqn: rmQ]를 잡을 때, 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는? [3점]

① [eqn: {29} over {4}]	② [eqn: 7]	③ [eqn: {27} over {4}]

④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: {25} over {4}]

정답 ①

	2016학년도 9월 평가원 B형 12

그림과 같이 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]위의 한 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2]이다. [eqn: cos(angle rmPFO)]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: - {5} over {12}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {6}]	⑤ [eqn: - {1} over {12}]

정답 ②

	2015학년도 10월 교육청 B형 25

좌표평면에서 포물선 [eqn: y ^{2} =16x]에 접하는 기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 직선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold64]

	2016학년도 6월 평가원 B형 24

포물선 [eqn: y ^{2} =20x]에 접하고 기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 직선의 [eqn: y]절편을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold10]

	2015학년도 9월 평가원 B형 11

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=nx+(n+1)]이 꼭짓점의 좌표가 [eqn: (0,~0)]이고 초점이 [eqn: (a _{n} ,~0)]인 포물선에 접할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: 70]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 74]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 78]

정답 ①

	2014학년도 6월 평가원 B형 29

좌표평면에서 포물선 [eqn: y ^{2} =16x] 위의 점 [eqn: rmA]에 대하여 점 [eqn: rmB]는 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 점 [eqn: rmA]가 원점이면 점 [eqn: rmB]도 원점이다.

㈏ 점 [eqn: rmA]가 원점이 아니면 점 [eqn: rmB]는 점 [eqn: rmA], 원점 그리고 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이다.

점 [eqn: rmA]가 포물선 [eqn: y^2 =16x] 위를 움직일 때, 점 [eqn: rmB]가 나타내는 곡선을 [eqn: C`]라 하자. 점 [eqn: (3,~0)]을 지나는 직선이 곡선 [eqn: C`]와 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 만나고 [eqn: rm bar PQ = 20]일 때 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 값의 합을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold14]

	EBS 연계 2012학년도 수능 가형 26

포물선 [eqn: y^2 = nx]의 초점과 포물선 위의 점 [eqn: (n,~n)]에서의 접선 사이의 거리를 [eqn: d]라 하자. [eqn: d ^{`2} GEQ 40]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold12]

	2011학년도 7월 교육청 가형 25

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =4px]의 초점을 [eqn: rmF]라 하고, [eqn: rm bar FA = 10]을 만족시키는 포물선 위의 점 [eqn: rmA(ita,~b)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABF]의 넓이가 [eqn: 40]일 때 [eqn: ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a<p]이다.) [4점]

정답 [eqn: bold16]

	2010년 이전 수능 가형

포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 점 [eqn: rmP(ita,~b)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm bar PQ = 4 sqrt { 5}]일 때, [eqn: a^2 + b ^2]의 값은? [3점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 77]

정답 ②

	2010년 이전 수능 자연

포물선 [eqn: y=(x-a)^2 +b] 위의 두 점 [eqn: rmP(it s+a,~s^2 + b)]와

[eqn: rmQ(itt+a,~t^2 +b )]에서 각각 그은 이 포물선의 접선은 서로 수직이다. 이 두 접선과 위 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: A]라고 하자. 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: s<0<t]) [2점]

ㄱ. [eqn: s]가 증가하면 [eqn: t]도 증가한다.

ㄴ. [eqn: a]가 증가하면 넓이 [eqn: A]도 증가한다.

ㄷ. [eqn: b]가 변하면 넓이 [eqn: A]도 변한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ①

	2010년 이전 수능

선 [eqn: y=3x+2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동시킨 직선이 포물선 [eqn: y^2 =4x]에 접할 때, [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {5} over {9}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {2} over {9}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

정답 ①

	2010년 이전 사관학교 자연

점 [eqn: rmA(-2,~4)]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에 그은 두 접선의 기울기의 곱은? [2점]

① [eqn: - {1} over {4}]	② [eqn: - {3} over {8}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: - {5} over {8}]	⑤ [eqn: - {3} over {4}]

정답 ③