학교 시험

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수학Ⅱ

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단원 차례

집합과 명제

Ⅰ

1. 집합

2. 명제

함수

Ⅱ

1. 함수

2. 유리함수와 무리함수

수열

Ⅲ

1. 수열

2. 수학적 귀납법

지수와 로그

Ⅳ

1. 지수

2. 로그

정답 및 풀이

★★★

Ⅰ

1. 집합

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 수 있다.	상	집합을 다양한 방식으로 표현하고 관련된 기호를 정확하게 사용할 수 있다.	3	2
	중	집합에서 원소인 것과 아닌 것을 구별하여 기호로 표현할 수 있다.	2	1
	하	집합인 것과 아닌 것을 구별할 수 있다.	1

2 두 집합 사이의 포함 관계를 기호를 사용하여 나타낼 수 있다.	상	두 집합 사이의 포함 관계를 기호를 사용하여 표현하고 예를 들어 설명할 수 있다.	5, 6, 7	6
	중	조건제시법으로 표현된 두 집합 사이의 포함 관계를 기호를 사용하여 표현할 수 있다.	4	5, 13
	하	벤 다이어그램이나 원소나열법으로 표현된 두 집합 사이의 포함 관계를 기호를 사용하여 나타낼 수 있다.		3, 4

3 집합의 연산을 할 수 있다.	상	집합의 연산에 대한 성질을 이용하여 집합의 연산을 할 수 있다.	11, 12, 13, 14	11, 12, 14
	중	주어진 집합에 대하여 교집합, 합집합, 여집합과 차집합의 연산을 할 수 있다.	8, 9, 10	7, 8, 9, 10
	하	벤 다이어그램으로 표현된 두 집합의 교집합과 합집합을 말할 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

[성취기준1-하]

1

다음 중 집합이 아닌 것은?

① 우리 반에서 안경 쓴 학생들의 모임

② 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모임

③ 제곱하여 [eqn: 1]이 되는 유리수의 모임

④ 아주 큰 숫자들의 모임

⑤ [eqn: 1]보다 작은 정수들의 모임

Ⅰ. 집합과 명제

1. 집합 - ①회

중단원 평가 문제

[성취기준1-중]

2

집합 [eqn: A=][eqn: LEFT { x`|`x]는 [eqn: 6]의 약수[eqn: "}"]에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: 1 IN A]	② [eqn: 2 IN A]

③ [eqn: 3 NOTIN A]	④ [eqn: 5 NOTIN A]

⑤ [eqn: 6 IN A]

[성취기준1-상]

3

자연수를 원소로 갖는 집합 [eqn: A]에 대하여

‘[eqn: x IN A]이면 [eqn: 4-x IN A]’

를 만족시키는 집합 [eqn: A]의 개수를 구하시오.

(단, [eqn: A != EMPTYSET])

[성취기준2-중]

4

세 집합

[eqn: A= LEFT { -1,~0,~1 RIGHT }],

[eqn: B= LEFT { x`□`x]는 [eqn: -1<x<1]인 정수[eqn: "}"],

[eqn: C= LEFT { `-1,~0,~1,~`2 RIGHT }]

사이의 포함 관계를 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: A SUBSET B SUBSET C]	② [eqn: A SUBSET C SUBSET B]

③ [eqn: B SUBSET A SUBSET C]	④ [eqn: B SUBSET C SUBSET A]

⑤ [eqn: C SUBSET B SUBSET A]

[성취기준2-상]

5

집합 [eqn: A= rm LEFT { EMPTYSET ,~0,~1,~ LEFT { 0,~1 RIGHT } RIGHT } rm]일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: ∅∈ A]	② [eqn: ∅⊂ A]

③ [eqn: rm LEFT { 0,~1 RIGHT } rm IN it A]	④ [eqn: rm LEFT { 0,~1 RIGHT } rm SUBSET it A]

⑤ [eqn: rm LEFT { LEFT { 0,~1 rm RIGHT } RIGHT } IN it A]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

1. 집합 - ①회

Ⅰ. 집합과 명제

6

두 집합

[eqn: A= LEFT { x-1,~y+5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x-y,~x+3y RIGHT }]

에 대하여 [eqn: A=B]일 때,  [eqn: x+y]의 값은?

(단, [eqn: x], [eqn: y]는 양수이다.)

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-상]

7

집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]의 부분집합 중 [eqn: 2]를 원소로 갖고, [eqn: 1]을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 구하시오.

[성취기준3-중]

8

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`|`x]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: "}"]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: A= LEFT { x`□`x]는 홀수[eqn: "}"], [eqn: B= LEFT { x`□`x]는 소수[eqn: "}"]

일 때, 집합 [eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT )]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[성취기준3-중]

9

전체집합 [eqn: U]의 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: A CUP A ^{C} =U]

② [eqn: (A ^{C} ``) ^{C} =A]

③ [eqn: A- EMPTYSET =A]

④ [eqn: (A CUP B) CUP C=A CUP (B CUP C)]

⑤ [eqn: A CUP (B SMALLINTER C)=(A CUP B) SMALLINTER C]

[성취기준3-중]

10

다음은 전체집합 [eqn: U]의 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여

[eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) -C=A-(B CUP C)]

가 성립함을 보이는 과정이다.

[eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) -C=(`box{~㈎~}`)][eqn: SMALLINTER C ^{C}]

[eqn: =A SMALLINTER (B ^{C} SMALLINTER C ^{C} `)] ←[eqn: box{~㈏~]

[eqn: =A SMALLINTER][eqn: box{~㈐~}] ←드모르간의 법칙

[eqn: =A-(B CUP C`)]

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 바르게 나열한 것은?

① [eqn: A SMALLINTER B ^{C}], 결합법칙, [eqn: (B CUP C) ^{C}]

② [eqn: A SMALLINTER B ^{C}], 결합법칙, [eqn: (B SMALLINTER C) ^{C}]

③ [eqn: A SMALLINTER B ^{C}], 분배법칙, [eqn: (B SMALLINTER C) ^{C}]

④ [eqn: A CUP B ^{C}], 결합법칙, [eqn: (B CUP C) ^{C}]

⑤ [eqn: A CUP B ^{C}], 분배법칙, [eqn: (B CUP C) ^{C}]

[성취기준3-상]

중단원 평가 문제

1. 집합 - ①회

Ⅰ. 집합과 명제

11

오른쪽 벤 다이어그램에서 색칠한 부분을 나타내는 집합은?

① [eqn: A- LEFT ( B SMALLINTER C RIGHT )]

② [eqn: A- LEFT ( B CUP C RIGHT )]

③ [eqn: B- LEFT ( A SMALLINTER C RIGHT )]

④ [eqn: B- LEFT ( A CUP C RIGHT )]

⑤ [eqn: C- LEFT ( A SMALLINTER C RIGHT )]

[성취기준3-상]

12

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: n LEFT ( U RIGHT ) =30], [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =8],

[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)=17]

일 때, [eqn: n(A)+n(B)]의 값은?

① [eqn: 20]                ② [eqn: 21]                  ③ [eqn: 30]

④ [eqn: 31]                ⑤ [eqn: 36]

서술형 문제

[성취기준3-상]

13

두 집합

[eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT } rm], [eqn: B= rm LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: A ∩ X = X], [eqn: (A-B) ∪ X = X]를 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오.

[성취기준3-상]

14

준기네 반은 토요일과 일요일에 봉사 활동을 하기로 하였다. 토요일에 참여하는 학생은 [eqn: 14]명, 일요일에 참여하는 학생은 [eqn: 11]명, 토요일에도 참여하지 않고 일요일에도 참여하지 않는 학생은 [eqn: 17]명이고, 준기네 반 학생은 [eqn: 35]명일 때, 토요일과 일요일 모두 봉사 활동에 참여하는 학생 수를 구하시오.

[성취기준1-중]

Ⅰ. 집합과 명제

1. 집합 - ②회

중단원 평가 문제

1

다음 중 옳은 것은?

① [eqn: n LEFT ( LEFT { 0,~1,~2 RIGHT } RIGHT ) -n LEFT ( LEFT { 1,~2 RIGHT } RIGHT ) =0]

② [eqn: n LEFT ( EMPTYSET RIGHT ) =1]

③ [eqn: LEFT . n( LEFT { x`□`x RIGHT . RIGHT .]는 [eqn: 12]의 약수[eqn: "}")=6]

④ [eqn: n LEFT ( LEFT { x,~y,~z RIGHT } RIGHT ) -n LEFT ( LEFT { x,~y RIGHT } RIGHT ) =z]

⑤ [eqn: n LEFT ( LEFT { 0 RIGHT } RIGHT ) =0]

[성취기준1-상]

2

집합 [eqn: A= left.LEFT { x` |``|x| le1]인 정수[eqn: "}"]에 대하여 집합

[eqn: B= LEFT { x`|`x=a+b,~a IN A,~b IN A RIGHT }]

일 때, 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은?

① [eqn: -2]            ② [eqn: -1]              ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]               ⑤ [eqn: 2]

[성취기준2-하]

3

다음 중 집합 [eqn: A= LEFT { 3,~5,~7 RIGHT }]과 서로소인 집합은?

① [eqn: LEFT { 3 RIGHT }]

② [eqn: LEFT { 1,~3,~7 RIGHT }]

③ [eqn: LEFT . LEFT { x`□`x]는 [eqn: 9] 이하의 홀수[eqn: "}"]

④ [eqn: LEFT . LEFT { x`□`x]는 [eqn: 5]의 약수[eqn: "}"]

⑤ [eqn: LEFT . LEFT { x`□`x]는 [eqn: 7] 이하의 [eqn: 2]의 배수[eqn: "}"]

[성취기준2-하]

4

다음 중 두 집합 [eqn: A], [eqn: B] 사이의 포함 관계가 오른쪽 벤 다이어그램과 같은 것은?

① [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }],

[eqn: B= LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }]

② [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6 RIGHT }],

[eqn: B= LEFT { x`□``x]는 [eqn: 6]의 약수[eqn: "}"]

③ [eqn: A= LEFT { x`□`x]는 홀수[eqn: "}"],

[eqn: B= LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }]

④ [eqn: A= LEFT { x`□`x]는 [eqn: 20]의 약수[eqn: "}"],

[eqn: B= LEFT { x`□``x]는 [eqn: 10]의 약수[eqn: "}"]

⑤ [eqn: A= LEFT { x`□`x]는 [eqn: 10]보다 작은 자연수[eqn: "}"],

[eqn: B= LEFT { x`□``x]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: "}"]

[성취기준2-중]

5

두 집합

[eqn: A= LEFT { 1,~2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x`|`x]는 [eqn: 18]의 약수[eqn: "}"]

에 대하여 [eqn: A SUBSET X SUBSET B]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수는?

① [eqn: 4]                  ② [eqn: 8]                    ③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]                ⑤ [eqn: 64]

[성취기준2-상]

6

집합 [eqn: A= LEFT { 0,~1,~ LEFT { 2 RIGHT } ,~ LEFT { 2,~3 RIGHT } RIGHT }]에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?

중단원 평가 문제

1. 집합 - ②회

Ⅰ. 집합과 명제

① [eqn: 0 IN A]                        ② [eqn: 1 IN A]

③ [eqn: LEFT { 0,~1 RIGHT } SUBSET A]              ④ [eqn: LEFT { 1,~3 RIGHT } SUBSET A]

⑤ [eqn: n(A)=4]

[성취기준3-중]

7

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT } rm],

[eqn: (A`` CUP `B)`` SMALLINTER `(A ^{C} `` CUP `B ^{C} `)= rm LEFT { 2,~4,~5,~7 RIGHT } rm]

일 때, 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[성취기준3-중]

8

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: A SUBSET B]일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: A CUP B=B]	② [eqn: A SMALLINTER B=A]

중단원 평가 문제

1. 집합 - ②회

Ⅰ. 집합과 명제

③ [eqn: A-B= EMPTYSET]	④ [eqn: B ^{C} SUBSET A ^{C}]

⑤ [eqn: A SMALLINTER B ^{C} =U]

[성취기준3-중]

9

다음 벤 다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: U]는 전체집합이다.)

	<보기>
ㄱ. [eqn: (A SMALLINTER C) SMALLINTER B ^{C}] ㄴ. [eqn: (A SMALLINTER C)-(A SMALLINTER B SMALLINTER C)] ㄷ. [eqn: (A-B) SMALLINTER (C-B)]

① ㄱ                 ② ㄴ                   ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준3-중]

10

두 집합

[eqn: A= LEFT { 1,~ it a ^{2} -5a+4 RIGHT } rm],

[eqn: B= LEFT { a ^{2} -1,~a-2,~-a RIGHT } rm]

에 대하여 [eqn: A∩B = \{ -2 \}]일 때, 집합 [eqn: B-A]는?

① [eqn: rm LEFT { -3,~8 RIGHT } rm]     ② [eqn: rm LEFT { -3,~0 RIGHT } rm]       ③ [eqn: rm LEFT { -2,~0 RIGHT } rm]

④ [eqn: rm LEFT { -2,~3 RIGHT } rm]     ⑤ [eqn: rm LEFT { 0,~3 RIGHT } rm]

[성취기준3-상]

중단원 평가 문제

1. 집합 - ②회

Ⅰ. 집합과 명제

11

자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: A _{k} =][eqn: LEFT { x`□`x]는 [eqn: k]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: k-1]

인 자연수[eqn: "}"]

라 할 때, [eqn: A _{2} SMALLINTER A _{3} SMALLINTER A _{6} =A _{n}]을 만족시키는 집합 [eqn: A _{n}]의 원소 중 최솟값은?

① [eqn: 5]                 ② [eqn: 11]                  ③ [eqn: 27]

④ [eqn: 34]               ⑤ [eqn: 139]

[성취기준3-상]

12

어느 반 학생 [eqn: 40]명에 대하여 국어와 수학의 방과후 학교 신청 과목을 조사하였다. 국어를 선택한 학생이 [eqn: 23]명, 수학을 선택한 학생이 [eqn: 27]명일 때, 두 과목을 모두 선택한 학생 수의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

서술형 문제

[성취기준2-중]

13

집합 [eqn: A= LEFT { a,~b,~c,~d RIGHT }]의 부분집합의 개수를 [eqn: m], 진부분집합의 개수를 [eqn: n]이라 할 때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

14

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: n(U)=30], [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =12],

[eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =17], [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =9]

일 때, [eqn: n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B ^{C} ` RIGHT )]의 값을 구하시오.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅰ

2. 명제

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 명제와 조건의 뜻을 알고, ‘모든’, ‘어떤’을 포함한 명제를 이해한다.	상	조건의 진리집합을 구하고, ‘모든’, ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓을 판단하여 그 이유를 설명할 수 있다.	3, 13	4
	중	조건의 진리집합을 구할 수 있다.	2	2, 3
	하	명제와 조건을 구분할 수 있다.	1	1

2 명제의 역과 대우를 이해한다.	상	명제의 역과 대우를 말하고, 참, 거짓을 판단할 수 있다.	5	6
	중	명제의 역과 대우를 말할 수 있다.	4	5
	하	명제의 역을 말할 수 있다.

3 대우를 이용한 증명법과 귀류법을 이해한다.	상	귀류법 또는 대우를 이용하여 주어진 명제를 증명할 수 있다.
	중	주어진 명제를 귀류법 또는 대우를 이용하여 증명하는 과정을 완성할 수 있다.	6	7
	하	명제의 부정 또는 대우를 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있다.

4 필요조건과 충분조건을 이해한다.	상	충분조건, 필요조건, 필요충분조건을 판별하고, 조건의 진리집합 사이의 관계를 설명할 수 있다.	9, 10, 14	9, 10, 13
	중	충분조건, 필요조건, 필요충분조건을 판별할 수 있다.	7, 8	8
	하	충분조건, 필요조건, 필요충분조건의 뜻을 말할 수 있다.

5 절대부등식의 의미를 이해하고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.	상	절대부등식의 의미를 이해하고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.	11, 12	12, 14
	중	절대부등식인 것과 아닌 것을 구분할 수 있다.		11
	하	절대부등식의 뜻을 말할 수 있다.

[성취기준1-하]

Ⅰ. 집합과 명제

2. 명제 - ①회

중단원 평가 문제

1

다음 중 거짓인 명제는?

① [eqn: x>0]이면 [eqn: x ^{2} >0]이다.

② [eqn: x ^{2} =1]이면 [eqn: x=1]이다.

③ [eqn: x]가 [eqn: 6]의 배수이면 [eqn: x]는 [eqn: 3]의 배수이다.

④ [eqn: x>0], [eqn: y>0]이면 [eqn: xy>0]이다.

⑤ [eqn: x], [eqn: y]가 홀수이면 [eqn: xy]도 홀수이다.

[성취기준1-중]

2

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`□`x]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: "}"]에 대하여 조건 ‘[eqn: p] : [eqn: x]는 소수이다.’의 진리집합을 구하

시오.

[성취기준1-상]

3

다음 중 명제

‘어떤 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x LEQ -2]이거나 [eqn: x>3]이다.’

의 부정은?

① 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x LEQ -2]이거나 [eqn: x GEQ 3]이다.

② 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x < -2]이거나 [eqn: x> 3]이다.

③ 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -2< x LEQ 3]이다.

④ 어떤 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x LEQ -2]이거나 [eqn: x GEQ 3]이다.

⑤ 어떤 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x < -2]이거나 [eqn: x> 3]이다.

[성취기준2-중]

4

다음 중 명제

‘[eqn: x ^{2} =4]이면 [eqn: x=2]이다.’

의 대우는?

① [eqn: x ^{2} != 4]이면 [eqn: x != 2]이다.

② [eqn: x ^{2} =4]이면 [eqn: x != 2]이다.

③ [eqn: x ^{2} != 4]이면 [eqn: x=2]이다.

④ [eqn: x != 2]이면 [eqn: x ^{2} != 4]이다.

⑤ [eqn: x=2]이면 [eqn: x ^{2} =4]이다.

[성취기준2-상]

5

명제 [eqn: SIM p` -> `q]의 역이 참일 때, 다음 명제 중 반드시 참인 것은?

① [eqn: p` ->`q]	② [eqn: q` -> `p]

③ [eqn: p` -> ` SIM q]	④ [eqn: SIM p` ->` SIM q]

⑤ [eqn: SIM q` -> ` SIM p]

[성취기준3-중]

중단원 평가 문제

2. 명제 - ①회

Ⅰ. 집합과 명제

6

다음은 [eqn: sqrt {2}]가 무리수임을 증명한 것이다.

	<증명>
[eqn: sqrt {2}]가 유리수라 가정하면 [eqn: box{~㈎~}]인 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {2} = {n} over {m}] 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 양변을 제곱하면 [eqn: 2= {n ^{2}} over {m ^{2}}]이므로 [eqn: n ^{2} =2m ^{2}]이다. 즉, [eqn: box{~㈏~}]은 [eqn: 2]의 배수이므로 [eqn: box{~㈏~}][eqn: =2k]로 놓으면 [eqn: n ^{2} =2m ^{2}]에서 [eqn: box{~㈐~}][eqn: {} ^{2} =2k ^{2}]이다. 따라서 [eqn: box{~㈐~}]도 [eqn: 2]의 배수가 되어 [eqn: m], [eqn: n]이 [eqn: box{~㈎~}]라는 가정에 모순이므로 [eqn: sqrt {2}]는 무리수이다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 바르게 나열한 것은?

① 서로소, [eqn: m], [eqn: n]             ② 서로소, [eqn: n], [eqn: m]

③ 홀수, [eqn: m], [eqn: n]                ④ 홀수, [eqn: n], [eqn: m]

⑤ 짝수, [eqn: n], [eqn: m]

[성취기준4-중]

7

[eqn: a], [eqn: b]가 실수일 때, 다음 중 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것을 모두 고르면?

(정답 [eqn: 2]개)

① [eqn: p] : [eqn: a=b]	[eqn: q] : [eqn: a ^{2} =b ^{2}]

② [eqn: p] : [eqn: a<0]이고 [eqn: b>0]	[eqn: q] : [eqn: ab<0]

③ [eqn: p] : [eqn: a+b>2]	[eqn: q] : [eqn: a>1]이고 [eqn: b>1]

④ [eqn: p] : [eqn: a ^{2} -5a=0]	[eqn: q] : [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=5]

⑤ [eqn: p] : [eqn: a<1]	[eqn: q] : [eqn: a ^{2} <1]

[성취기준4-중]

8

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하자. [eqn: p`]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건일 때, 다음 중 항상 참인 것은? (단, [eqn: U]는 전체집합이다.)

① [eqn: P∩Q = P]	② [eqn: P ∪Q = U]

③ [eqn: P∩Q ^C = ∅]	④ [eqn: P∪Q^C = U]

⑤ [eqn: P^C - Q = ∅]

[성취기준4-상]

9

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합이 각각

[eqn: P= LEFT { x`|`x GEQ a RIGHT }],

[eqn: Q= LEFT { x`□`-1 LEQ x LEQ 2] 또는 [eqn: x GEQ 4 RIGHT }]

이고, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건일 때, 상수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오.

[성취기준4-상]

10

네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`], [eqn: s]에 대하여 [eqn: ～p`]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건, [eqn: ～r]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건, [eqn: r`]는 [eqn: s`]이기 위한 충분조건일 때, 다음 명제 중 참이라고 할 수 없는 것은?

① [eqn: p ``->`` r]	② [eqn: p ``->`` s]

③ [eqn: p ``->`` ～q]	④ [eqn: ～p ``->`` q]

⑤ [eqn: ～ r ``->`` ～p]

[성취기준5-상]

11

[eqn: x>2]일 때, [eqn: 4x+ {1} over {x-2}]의 최솟값은?

① [eqn: 4]                  ② [eqn: 6]                    ③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]                ⑤ [eqn: 12]

[성취기준5-상]

12

다음은 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: x], [eqn: y]가 실수일 때, 부등식

[eqn: (a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} ) GEQ (ax+by) ^{2}]

이 성립함을 증명한 것이다.

	<증명>
[eqn: (a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} )-(ax+by) ^{2}] [eqn: =(a ^{2} x ^{2} +a ^{2} y ^{2} +b ^{2} x ^{2} +b ^{2} y ^{2} )] [eqn: -(a ^{2} x ^{2} +2abxy+b ^{2} y ^{2} )] [eqn: =(][eqn: box{~㈎~}][eqn: ) ^{2} GEQ 0] [eqn: THEREFORE (a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} ) GEQ (ax+by) ^{2}] (단, 등호는 [eqn: box{~㈏~}]일 때 성립)

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 순서대로 바르게 나열한 것은?

① [eqn: ax-by,``ax=by]	② [eqn: ax-by,``ax=bx]

③ [eqn: ay-bx,``ax=by]	④ [eqn: ay-bx,``ay=bx]

⑤ [eqn: ab-xy,``ay=bx]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

두 조건

[eqn: p`:`-3<x LEQ 2], [eqn: q`:` LEFT | x-2 RIGHT | LEQ a]

에 대하여 명제 ‘[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.’가 참이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

[성취기준4-상]

14

[eqn: x-1 != 0]은 [eqn: x ^{2} -ax+3 != 0]이기 위한 필요조건일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅰ. 집합과 명제

2. 명제 - ②회

중단원 평가 문제

1

다음 <보기>에서 명제인 것의 개수는?

	<보기>
ㄱ. 남자는 힘이 세다. ㄴ. [eqn: 3+4=7] ㄷ. 모든 소수는 홀수이다. ㄹ. 오늘은 날씨가 좋다. ㅁ. 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 [eqn: 180°] 이다.

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준1-중]

2

다음 중 조건 ‘[eqn: -1 LEQ x<3]’의 부정은?

① [eqn: x < - 1]

② [eqn: x LEQ -1] 또는 [eqn: x>3]

③ [eqn: x < -1] 또는 [eqn: x>3]

④ [eqn: x < - 1] 또는 [eqn: x GEQ 3]

⑤ [eqn: x GEQ 3]

[성취기준1-중]

3

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 할 때, 다음 중 명제 [eqn: p`` -> ``q]가 거짓임을 보이는 원소가 속하는 집합은?

① [eqn: P SMALLINTER Q]	② [eqn: P SMALLINTER Q ^{C}]

③ [eqn: P ^{C} SMALLINTER Q]	④ [eqn: P ^{C} SMALLINTER Q ^{C}]

⑤ [eqn: P ^{C} CUP Q]

[성취기준1-상]

4

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하자. 명제 [eqn: p` -> ` SIM q]가 참일 때, 다음 중 옳은 것은?

(단, [eqn: U]는 전체집합이다.)

① [eqn: P SMALLINTER Q=P]	② [eqn: P SMALLINTER Q=Q]

③ [eqn: P SMALLINTER Q ^{C} =P]	④ [eqn: P ^{C} CUP Q=U]

⑤ [eqn: P ^{C} CUP Q= EMPTYSET]

[성취기준2-중]

5

다음 중 명제

‘정삼각형은 모든 각이 [eqn: 60°]이다.’

의 대우는?

① 모든 각이 [eqn: 60°]인 삼각형은 정삼각형이다.

② [eqn: 60°]가 아닌 각이 있어도 정삼각형이 될 수 있다.

③ 정삼각형이 아니면 모든 각이 [eqn: 60°]가 아니다.

④ 정삼각형이 아니면 [eqn: 60°]가 아닌 각이 적어도 한 개 있다.

⑤ 적어도 한 각이 [eqn: 60°]가 아닌 삼각형은 정삼각형이 아니다.

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

2. 명제 - ②회

Ⅰ. 집합과 명제

6

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 두 명제 [eqn: p` -> `q], [eqn: q` -> ` SIM r]가 모두 참일 때, 다음 중 항상 참인 명제는?

① [eqn: q`` -> ``p]	② [eqn: p`` -> ``r]

③ [eqn: r`` -> `` SIM p]	④ [eqn: SIM r`` -> ``p]

⑤ [eqn: SIM q`` -> `` SIM r]

[성취기준3-중]

7

다음은 명제

‘자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n ^{2}]이 짝수이면 [eqn: n]도 짝수이다.’

를 증명한 것이다.

	<증명>
주어진 명제의 대우 ‘자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n]이 [eqn: box{~㈎~}]이면 [eqn: n ^{2}]도 [eqn: box{~㈏~}]이다.’가 참임을 증명하면 된다. [eqn: n=2k+1] ([eqn: k]는 [eqn: 0] 또는 자연수)로 놓으면 [eqn: n ^{2} =(2k+1) ^{2} =4k ^{2} +4k+1] [eqn: =2(2k ^{2} +2k)+1] 즉, [eqn: n ^{2}]은 [eqn: box{~㈐~}]이다. 따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제는 참이다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 말을 써넣으시오.

[성취기준4-중]

8

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 어느 것도 [eqn: 0]이 아니기 위한 필요충분조건인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: abc != 0] ㄴ. [eqn: a+b+c != 0] ㄷ. [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} != 0]

① ㄱ                 ② ㄴ                   ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ            ⑤ ㄴ, ㄷ

[성취기준4-상]

9

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건, [eqn: r]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: SIM r`` RARROW `` SIM q] ㄴ. [eqn: SIM p`` RARROW `` SIM q] ㄷ. [eqn: SIM q`` RARROW `` SIM r] ㄹ. [eqn: SIM q`` RARROW `` SIM p]

① ㄱ, ㄴ            ② ㄴ, ㄷ             ③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ       ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

[성취기준4-상]

10

어떤 사건의 수사에서 다음과 같은 결론을 내렸다.

㈎ 범인은 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 세 사람 중에 있다.

㈏ [eqn: rmC]가 범인이면 꼭 공범이 있다.

㈐ [eqn: rmA]는 범행을 하지 않았다.

위의 사실로부터 추론해 낼 수 있는 것은?

① [eqn: rmB]는 반드시 범인이다.

② [eqn: rmC]만 범인이다.

③ [eqn: rmC]는 반드시 범인이다.

④ [eqn: rmC]는 범인이 아니다.

⑤ [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 모두 범인이다.

[성취기준5-중]

중단원 평가 문제

2. 명제 - ②회

Ⅰ. 집합과 명제

11

다음 <보기>에서 절대부등식인 것의 개수는?

(단, [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 모두 실수이다.)

	<보기>
ㄱ. [eqn: x ^{2} -xy+y ^{2} GEQ 0] ㄴ. [eqn: x ^{2} +4x GEQ -4] ㄷ. [eqn: |`x`|+|`y`| GEQ |`x-y`|] ㄹ. [eqn: x ^{2} >0] ㅁ. [eqn: xy+yz+zx GEQ x ^{2} +y ^{2} +z ^{2}]

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준5-상]

12

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: \2``cm]인 원에 내접하는 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은?

① [eqn: 4root2``\cm]

② [eqn: 6root2``\cm]

③ [eqn: 6root3``\cm]

④ [eqn: 8root2``\cm]

⑤ [eqn: 8root3``\cm]

서술형 문제

[성취기준4-상]

13

실수 [eqn: x]에 대하여 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]가

[eqn: p] : [eqn: -1 LEQ x LEQ 3] 또는 [eqn: x GEQ 4],

[eqn: q] : [eqn: x>a],

[eqn: r] : [eqn: x>b]

일 때, [eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건이고, [eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 충분조건이다. 이때 [eqn: a]의 최댓값과 [eqn: b]의 최솟값의 합을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.)

[성취기준5-상]

14

네 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: a^2 +b^2 =2], [eqn: x^2 +y^2 =8]

일 때, [eqn: ax+by]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

3 이차방정식에 서 근과 계수의 관계를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.	상	이차방정식의 근의 공식으로부터 근과 계수의 관계를 이용하는 실생활과 관련된 문제를 해결하고 그 과정을 설명할 수 있다.	14	12
	중	이차방정식의 근의 공식으로부터 근과 계수의 관계를 이끌어내고, 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.	12, 13	11, 13
	하	근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 포함한 식의 값을 구할 수 있다.	11

2 이차방정식의 실근과 허근의 뜻을 알고, 판별식의 의미를 설명할 수 있다.	상	이차방정식의 판별식을 이용한 실생활 관련 문제를 해결하고 그 과정을 설명할 수 있다.	10
	중	이차방정식의 근을 판별하고, 판별식의 의미를 설명할 수 있다.	9	4
	하	판별식을 이용하여 이차방정식의 근을 판별할 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅱ

1. 함수

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 함수의 뜻을 알고, 그 그래프를 이해한다.	상	일상생활 또는 대응 그림과 그래프를 보고 함수인 것을 찾아 그 이유를 설명할 수 있다.
	중	대응 그림과 그래프를 보고 함수인 것을 찾을 수 있다.	1, 2	2
	하	대응 그림을 보고 함수인 것을 찾을 수 있다.		1

2 함수의 합성을 이해하고, 합성함수를 구할 수 있다.	상	함수의 합성이 정의될 조건을 설명하고, 합성함수를 구할 수 있다.	6, 7, 8, 13	5, 6, 7, 13
	중	간단한 두 함수의 합성함수를 구할 수 있다.	4, 5	4
	하	합성함수의 함숫값을 구할 수 있다.	3	3

3 역함수의 뜻을 알고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.	상	역함수의 존재 조건을 설명하고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.	12, 14	11, 12, 14
	중	간단한 함수의 역함수를 구할 수 있다.	10, 11	9, 10
	하	역함수의 함숫값을 구할 수 있다.	9	8

[성취기준1-중]

Ⅱ. 함수

1. 함수 - ①회

중단원 평가 문제

1

다음 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지 말하시오.

⑴

⑵

[성취기준1-중]

2

두 집합

[eqn: X= LEFT { -1,~0,~1 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { -2,~0,~1,~`3 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(x)= |`` x``|] ㄴ. [eqn: f(x)=3x+1] ㄷ. [eqn: f(x)=1] ㄹ. [eqn: f(x)=x ^{2}]

① ㄱ, ㄹ            ② ㄴ, ㄷ             ③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ                 ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

[성취기준2-하]

3

실수 전체의 집합 [eqn: R]에서 [eqn: R]로의 함수 [eqn: f]를

[eqn: f(x)= {cases{-2x ^{2} ``&(x는~유리수)#```````2x ^{2 ^{`}} ``````&(x는~무리수) ^{` ^{`}}}}]

으로 정의할 때, [eqn: (f CIRC f)( sqrt {5} )]의 값을 구하시오.

[성취기준2-중]

4

정의역이 자연수 전체의 집합인 두 함수 [eqn: f], [eqn: rmg it]를

[eqn: f(x)= {cases{-4x+5``&(x GEQ 1)#````````````````1````````^`^`&(x`<1)^`^`}}], [eqn: rm g it (x)=2x-1]

로 정의할 때, [eqn: (f CIRC rmg)(0)]의 값은?

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-중]

5

두 함수 [eqn: f(x)=3x－1], [eqn: rm g it (x)=x ^{2} +1]에 대하여 [eqn: (f CIRC rm g)it(x)]는?

① [eqn: 3x ^{2} +2]                     ② [eqn: 3x ^{2} －2]

③ [eqn: 9x ^{2} －6x]                       ④ [eqn: 9x ^{2} +6x]

⑤ [eqn: 9x ^{2} +1]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

1. 함수 - ①회

Ⅱ. 함수

6

세 함수

[eqn: f(x)=x ^{2} +1], [eqn: rmg(itx)=x-1], [eqn: h(x)=2x+1]

에 대하여 [eqn: (h CIRC (rmg CIRC itf)`)(2)]의 값은?

① [eqn: 2]                  ② [eqn: 7]                    ③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]                ⑤ [eqn: 18]

[성취기준2-상]

7

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +1]에 대하여 [eqn: (f CIRC f CIRC f`)(x)]를 [eqn: x－1]로 나누었을 때의 나머지는?

① [eqn: 20]                ② [eqn: 23]                  ③ [eqn: 26]

④ [eqn: 29]                ⑤ [eqn: 32]

[성취기준2-상]

8

두 함수 [eqn: f(x)=2x+6], [eqn: \g it(x)=ax-1]에 대하여 [eqn: f CIRC \g=g CIRCit f]를 만족시키는 상수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: { 5} over {6 }]              ② [eqn: 1]                  ③ [eqn: { 7} over {6 }]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {11} over {6 }]

[성취기준3-하]

9

함수 [eqn: f(x)=3x-a]에 대하여 [eqn: f ^{-1} (2)=3]일 때, [eqn: f(4)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 3]                    ③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]                  ⑤ [eqn: 9]

[성취기준3-중]

10

함수 [eqn: f(x)=ax+b(a` != `0)]의 역함수가

[eqn: f ^{-1} (x)=-2x+5]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준3-중]

중단원 평가 문제

1. 함수 - ①회

Ⅱ. 함수

11

두 함수 [eqn: f(x)=x+2], [eqn: {rmg}(x)=2x－1]에 대하여
[eqn: (f CIRC ({rmg} CIRC f`) ^{-1} )(2)]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]                ② [eqn: {3} over {2}]                  ③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]                  ⑤ [eqn: {7} over {2}]

[성취기준3-상]

12

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 오른쪽 그림과 같을 때,

[eqn: (f CIRC f`)^-1 (c)]의 값은?

① [eqn: a]                  ② [eqn: b]

③ [eqn: c]                      ④ [eqn: d]

⑤ [eqn: e]

서술형 문제

[성취기준2-상]

13

두 함수 [eqn: f(x)=2x+4], [eqn: rm g it (x)=x-3]에 대하여 [eqn: ({h} CIRC \g)( itx)=f(x)]를 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]를 구하시오.

[성취기준3-상]

14

두 집합

[eqn: X= LEFT { x``|``2 LEQ x LEQ 6 RIGHT }],

[eqn: Y= LEFT { y``|``a LEQ y LEQ b RIGHT }]

에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f(x)=2x-3]의 역함수가 존재할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅱ. 함수

1. 함수 - ②회

중단원 평가 문제

1

다음 대응이 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수인지 확인하고, 그 이유를 말하시오.

⑵

⑴

[성취기준1-중]

2

<보기>의 함수의 그래프 중 일대일 대응인 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이다.)

		<보기>
	ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. ㅁ.

① ㄱ, ㄴ            ② ㄱ, ㄷ             ③ ㄱ, ㄴ, ㅁ

④ ㄴ, ㄷ, ㄹ       ⑤ ㄷ, ㄹ, ㅁ

[성취기준2-하]

3

함수 [eqn: f(x)=-2x+5]에 대하여 다음 함숫값을 구하시오.

⑴ [eqn: f(2)]                          ⑵ [eqn: (f CIRC f)(2)]

[성취기준2-중]

4

두 함수 [eqn: f(x)=x+5], [eqn: rm g it (x)=-2x ^{2} +1]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: (f CIRC rm g it )(x)]                ⑵ [eqn: ({rmg} CIRC f)(x)]

[성취기준2-상]

5

두 함수 [eqn: f(x)=x+7], [eqn: rm g it (x)=2x-3]에 대하여 [eqn: ({rmg} CIRC h)(x)=f(x)]라 할 때, [eqn: h(4)]의 값은?

① [eqn: 3]                  ② [eqn: 5]                    ③  [eqn: 7]

④ [eqn: 9]                  ⑤ [eqn: 11]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

1. 함수 - ②회

Ⅱ. 함수

6

함수 [eqn: f LEFT ( {x-1} over {2} RIGHT ) =3x+2]일 때, [eqn: f LEFT ( {5x-3} over {6} RIGHT )]을 구하시오.

[성취기준2-상]

7

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f``:``X`` -> ``X]를 [eqn: f(x)= {cases{``x+2`&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#``x-1 ^{` ^{` ^{`}}}&LEFT ( x>2 RIGHT ) ^{` ^{` ^{`}}}}}]로 정의한다.

[eqn: f ^{1} =f],  [eqn: f` ^{n+1} =f CIRC f ^{`n}] ([eqn: n]은 자연수)일 때,

[eqn: f` ^{200} (1)]의 값을 구하시오.

[성취기준3-하]

8

함수 [eqn: f`(x`)]가

[eqn: f`(x) = cases { ~~~~x _`_` &(x GEQ 1) _`_` # -x^2 + 2x ``&(x``＜`1) }]

일 때, [eqn: (f circ f``) (2) + f`^-1 (-3)]의 값은?

① [eqn: -6]              ② [eqn: -5]                ③ [eqn: -3]

④ [eqn: -1]              ⑤ [eqn: 1]

[성취기준3-중]

9

실수 전체의 집합에서 정의된 일차함수

[eqn: f(x)=ax+b]에 대하여

[eqn: f ^{-1} (2)=5], [eqn: (f CIRC f)(5)=-4]

일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[성취기준3-중]

10

함수 [eqn: f(x)=ax+3] [eqn: (a` != `0)]의 역함수가

[eqn: \g it(x)=bx+1]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: a-3b]의 값은?

① [eqn: -2]              ② [eqn: -1]                ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]                  ⑤ [eqn: 2]

[성취기준3-상]

11

두 함수 [eqn: f(x)=x+2], [eqn: {rmg}(x)=2x－1]에 대하여

[eqn: (f CIRC ( rm g it rm ^{-1} CIRC it f`) ^{-1} CIRC f)(k)=3]

일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: - {1} over {2}]             ② [eqn: 0]                   ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]                  ⑤ [eqn: {3} over {2}]

[성취기준3-상]

12

집합 [eqn: A= LEFT { x``|``0 LEQ x LEQ 1 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: {rmg}(x)]라 할 때,

[eqn: rm(g CIRC g) LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: a]                  ② [eqn: b]                    ③ [eqn: c]

④ [eqn: d]                  ⑤ [eqn: e]

서술형 문제

[성취기준2-상]

13

양의 실수 전체의 집합에서 세 함수 [eqn: f], [eqn: \g], [eqn: h]를

[eqn: f(x)= {cases{~x&``` LEFT ( x는~"유리수" RIGHT )#~1 ^{` ^{` ^{`}}}&``` LEFT ( x는~"무리수" RIGHT ) ^{` ^{` ^{`}}}}}],

[eqn: \g it(x)=rootx],

[eqn: h(x)=(f CIRC rm g) it (x)]

로 정의할 때, [eqn: h(1)+h(2)+h(3)+cdots +h(25)]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

14

함수 [eqn: f(x)=- {1} over {2} x+3]의 그래프와 그 역함수

[eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프의 교점의 좌표가 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]일

때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅱ

2. 유리함수와 무리함수

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 유리함수 [eqn: y= {ax+b} over {cx+d}]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 설명할 수 있다.	상	유리함수 [eqn: y= {ax+b} over {cx+d}]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.	5, 6, 13	3, 4, 5, 6, 13
	중	유리함수 [eqn: y= {k} over {x-p} +q]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 말할 수 있다.	1, 2, 3, 4	2
	하	유리함수 [eqn: y= {k} over {x}]의 그래프를 그릴 수 있다.		1

2 무리함수 [eqn: y= sqrt {ax+b} +c] 의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 설명할 수 있다.	상	무리함수 [eqn: y= sqrt {ax+b} +c]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.	10, 11, 12, 14	9, 10, 11, 12, 14
	중	무리함수 [eqn: y= sqrt {x-p} +q]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 말할 수 있다.	8, 9	7, 8
	하	무리함수 [eqn: y= sqrt {ax}]의 그래프를 그릴 수 있다.	7

[성취기준1-중]

1

유리함수 [eqn: y= {1} over {x-3} +2]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. 점 [eqn: (3,~2)]에 대하여 대칭이다. ㄴ. 제[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]사분면을 지난다. ㄷ. [eqn: x]축과의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~ {5} over {2} RIGHT )]이다.

① ㄱ                 ② ㄷ                   ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

Ⅱ. 함수

2. 유리함수와 무리함수 - ①회

중단원 평가 문제

[성취기준1-중]

2

다음 함수의 그래프 중 평행이동하여 함수 [eqn: y= {2} over {x}]

의 그래프와 겹쳐질 수 있는 것은?

① [eqn: y= {2x-1} over {x-1}]               ② [eqn: y= {2x} over {x-1}]

③ [eqn: y= {2x+1} over {x-1}]               ④ [eqn: y= {2x} over {2x-1}]

⑤ [eqn: y= {2x} over {2x+1}]

[성취기준1-중]

3

유리함수 [eqn: y= {3} over {x+2} +1]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동하면 [eqn: y= {3x-6} over {x-3}]의 그래프와 일치한다. 이때 [eqn: pq]의 값을 구하시오.

[성취기준1-중]

4

유리함수 [eqn: y= {－x+4} over {x－3}]에 대하여 정의역이

[eqn: LEFT { x``|``-1 LEQ x LEQ 2 RIGHT }]일 때, 이 함수의 치역은?

① [eqn: LEFT { y` `LEFT | ``y LEQ-{5} over {4} RIGHT }]

② [eqn: LEFT { y` `LEFT | ``-2 LEQ y LEQ -{5} over {4} RIGHT }]

③ [eqn: LEFT { y`` LEFT | ``-2 LEQ y LEQ {5} over {4} RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { y`` LEFT | `` {5} over {4} LEQ y LEQ 2 RIGHT }]

⑤ [eqn: LEFT { y`` LEFT | ``y GEQ {5} over {4} RIGHT }]

[성취기준1-상]

5

유리함수 [eqn: y= {2x+3} over {x+4}]의 그래프는 점 [eqn: (p,~q)]에 대하여 대칭이고, 동시에 직선 [eqn: y=x+r`]에 대하여 대칭이다. 이때 [eqn: p+q+r`]의 값은?

(단, [eqn: r]는 상수이다.)

① [eqn: 2]                  ② [eqn: 4]                    ③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]                  ⑤ [eqn: 10]

[성취기준1-상]

6

두 유리함수 [eqn: f`(x)= {2x+a} over {x+b}], [eqn: rm g( it x)= {-x-1} over {x+c}]

에 대하여 [eqn: (f rm CIRC g it `)(x)=x]가 성립할 때,

[eqn: a+b+c]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이다.)

[성취기준2-하]

중단원 평가 문제

2. 유리함수와 무리함수 - ①회

Ⅱ. 함수

7

무리함수 [eqn: y=- sqrt {ax} `][eqn: (a != 0)]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

		<보기>
	ㄱ. [eqn: a >0]일 때, 정의역은 [eqn: LEFT { x`|`x LEQ 0 RIGHT }]이다. ㄴ. [eqn: a<0]일 때, 그래프는 제[eqn: 3]사분면을 지난다. ㄷ. [eqn: |`a`|]의 값이 클수록 그래프는 [eqn: x]축에서 멀어진다.

① ㄱ                 ② ㄷ                   ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준2-중]

8

무리함수 [eqn: y= sqrt {x+1 }} －3]의 그래프는 무리함수 [eqn: y= sqrt {x }]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동한 그래프일 때, [eqn: pq]의 값을 구하시오.

[성취기준2-중]

9

다음 중 무리함수 [eqn: y= sqrt {x+1} -2]의 그래프가 지나는 사분면만을 모두 고른 것은?

① 제[eqn: 1], [eqn: 2]사분면              ② 제[eqn: 1], [eqn: 4]사분면

③ 제[eqn: 2], [eqn: 3]사분면              ④ 제[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면

⑤ 제[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면

[성취기준2-상]

10

유리함수
[eqn: y= {b} over {x-a} +c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 중 무리함수
[eqn: y= sqrt {ax+b} +c]의그래프의 개형으로 옳은 것은?

①		②
③		④
⑤

[성취기준2-상]

11

무리함수 [eqn: y= sqrt {x } －1`]의 그래프와 직선

[eqn: y=x+k`]가 한 점에서 만날 때, 상수 [eqn: k]의 값이 될 수 없는 것은?

① [eqn: - {3} over {4}]             ② [eqn: -1]               ③ [eqn: -2]

④ [eqn: -3]                       ⑤ [eqn: -4]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

2. 유리함수와 무리함수 - ①회

Ⅱ. 함수

12

정의역 [eqn: LEFT { x``|``x >1 RIGHT }]에서 정의된 두 함수

[eqn: f(x)= {x+2} over {x－1}], [eqn: {rmg}(x)= sqrt {2x+1 }]

에 대하여 [eqn: (f CIRC ({rmg} CIRC f ) ^{-1} )(2)]의 값은?

① [eqn: -2]              ② [eqn: - {1} over {2}]              ③ [eqn: 0]

④ [eqn: {3} over {2}]                ⑤ [eqn: 2]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

유리함수 [eqn: f(x)= {ax－1} over {bx+1}]과 그 역함수

[eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프가 모두 점 [eqn: (1,~-3)]을 지날 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-9b]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

14

무리함수

[eqn: y= sqrt {ax+b } +c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을

구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅱ. 함수

2. 유리함수와 무리함수 - ②회

중단원 평가 문제

1

유리함수 [eqn: y= {k} over {x} ``(k != 0)]에 대한 설명으로 다음 중 옳지 않은 것은?

① 정의역과 치역은 [eqn: 0]을 제외한 실수 전체의 집합이다.

② [eqn: k>0]일 때, 그래프는 제[eqn: 1], [eqn: 3]사분면을 지난다.

③ 그래프는 원점과 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=－x]에 대하여 대칭이다.

④ 그래프의 점근선은 [eqn: x]축과 [eqn: y]축이다.

⑤ [eqn: |`k`|]의 값이 클수록 그래프는 원점에 가까워진다.

[성취기준1-중]

2

유리함수 [eqn: y= {c} over {x+a} +b`]의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 원점을 지날 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오.

[성취기준1-상]

3

유리함수 [eqn: y= {ax+4} over {x+3}]의 그래프가 점 [eqn: (b,~7)]에 대하여 대칭일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]는 상수이다.)

[성취기준1-상]

4

유리함수 [eqn: y= {ax-2} over {x+b}]의 그래프의 점근선이 두 직선 [eqn: x=-2], [eqn: y=1]일 때, [eqn: a+b`]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준1-상]

5

함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c]의

그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 유리함수

[eqn: y= {ax－b} over {x－c}]의 그래프의

개형은?

①		②
③		④
⑤

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 유리함수와 무리함수 - ②회

Ⅱ. 함수

6

함수 [eqn: f`(x`)= {x+1} over {x-1}]에 대하여

[eqn: f ` ^{1} =f], [eqn: f ` ^{n+1} (x)=(f` ^{n} CIRC f)(x)]

로 정의할 때, [eqn: f` ^{200} (5)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: n]은 자연수이다.)

[성취기준2-중]

7

무리함수 [eqn: y= sqrt {x-2} +4]의 그래프에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

① 점 [eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT )]를 지난다.

② 정의역은 [eqn: LEFT { x ``|`` x GEQ 2 RIGHT }]이다.

③ 치역은 [eqn: LEFT { y ``|`` y GEQ 2 RIGHT }]이다.

④ 제[eqn: 1]사분면을 지난다.

⑤ [eqn: y= root x]의 그래프를 평행이동한 것이다.

[성취기준2-중]

8

무리함수 [eqn: y=- sqrt {ax}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동한 후, [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 무리함수

[eqn: y= sqrt {3(x+b)} +c]의 그래프와 일치한다. 이때 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

9

정의역이 [eqn: LEFT { x``|``2 LEQ x LEQ a RIGHT }]일 때, 무리함수

[eqn: y= sqrt {3x－2 } －5]의 최솟값이 [eqn: m], 최댓값이 [eqn: 2]이다. 이때 [eqn: a+m]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a > 2])

[성취기준2-상]

10

무리함수 [eqn: y= - root{a(x+b)}+c]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 부호로 옳은 것은?

① [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]

② [eqn: a>0], [eqn: b<0], [eqn: c>0]

③ [eqn: a<0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]

④ [eqn: a<0], [eqn: b>0], [eqn: c<0]

⑤ [eqn: a<0], [eqn: b<0], [eqn: c<0]

[성취기준2-상]

11

무리함수 [eqn: f(x)= sqrt {ax+b}]와 그 역함수

[eqn: y=f` ^{-1} (x)]의 그래프가 모두 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]를 지날 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: -10]                   ② [eqn: -7]                ③ [eqn: -3]

④ [eqn: 7]                  ⑤ [eqn: 10]

중단원 평가 문제

2. 유리함수와 무리함수 - ②회

Ⅱ. 함수

[성취기준2-상]

12

무리함수  [eqn: y = root {2x+ a}]와 그 역함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 [eqn: a`]의 값의 범위는? (단, [eqn: a LEQ 0])

① [eqn: -1 LEQ a LEQ 0]	② [eqn: -1< a LEQ 0]

③ [eqn: -2<` a LEQ 0]	④ [eqn: -2 LEQ a LEQ 0]

⑤ [eqn: -4< a LEQ 0]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

유리함수 [eqn: f(x)= {ax-4} over {x+1}]와 그 역함수 [eqn: f ^{`-1} (x)]에 대하여 [eqn: f(x)=f` ^{-1} (x)]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

14

두 집합

[eqn: A= LEFT { (x,~y)``|``y= sqrt {x+1} ` RIGHT }],

[eqn: `B= LEFT { (x,~y)``|``y=x+k` RIGHT }]

에 대하여 [eqn: n(A SMALLINTER B)=2]일 때, 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 수열의 뜻을 설명할 수 있다.	상	수열의 규칙을 파악하여 일반항을 구할 수 있다.		1
	중	주어진 수열의 규칙을 찾을 수 있다.
	하	주어진 수열의 일반항을 이용하여 특정한 항을 구할 수 있다.

Ⅲ

1. 수열

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

2 등차수열의 뜻을 알고, 일반항을 구할 수 있다.	상	등차수열의 일반항을 구하고, 그 과정을 설명할 수 있다.	4, 5	4, 5, 6
	중	등차수열의 첫째항과 공차가 주어질 때 일반항을 구할 수 있다.	1, 2, 3	3
	하	등차수열인 것을 찾고 공차를 구할 수 있다.		2

3 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.	상	등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구하고, 일반항과 합의 관계를 설명할 수 있다.	7	18
	중	등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.	6	7, 8
	하	등차수열의 합의 공식을 말할 수 있다.

4 등비수열의 뜻을 알고, 일반항을 구할 수 있다.	상	등비수열의 일반항을 구하고, 그 과정을 설명할 수 있다.	9	10, 19
	중	등비수열의 첫째항과 공비가 주어질 때 일반항을 구할 수 있다.	8, 18, 19	9
	하	등비수열인 것을 찾고 공비를 구할 수 있다.

5 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.	상	등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구하고, 일반항과 합의 관계를 설명할 수 있다.	11, 12	13
	중	등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.	10	11, 12
	하	등비수열의 합의 공식을 말할 수 있다.

6 [eqn: sum _{} ^{}]의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.	상	[eqn: sum _{} ^{}]의 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있다.	14	15
	중	등차수열과 등비수열의 합을 기호 [eqn: sum _{} ^{}]를 이용하여 나타낼 수 있다.	13	14
	하	합의 기호 [eqn: sum _{} ^{}]의 뜻을 말할 수 있다.

7 여러 가지 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.	상	여러 가지 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구할 수 있다.	17, 20	17, 20
	중	자연수의 거듭제곱의 합을 구할 수 있다.	15, 16	16
	하	자연수 [eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 합을 구할 수 있다.

[성취기준2-중]

Ⅲ. 수열

1. 수열 - ①회

중단원 평가 문제

1

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =2], [eqn: a _{1} +a _{5} =14]일 때, [eqn: a _{9}]의 값은?

① [eqn: 22]                ② [eqn: 26]                  ③ [eqn: 29]

④ [eqn: 32]                ⑤ [eqn: 37]

[성취기준2-중]

2

첫째항이 [eqn: -2], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열에서 [eqn: 103]은 제 몇 항인가?

① 제[eqn: 32]항          ② 제[eqn: 33]항           ③ 제[eqn: 34]항

④ 제[eqn: 35]항          ⑤ 제[eqn: 36]항

[성취기준2-중]

3

[eqn: 2]와 [eqn: 26] 사이에 [eqn: 5]개의 수 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}], [eqn: a _{5}]를 넣은 수열

[eqn: 2], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}], [eqn: a _{5}], [eqn: 26]

이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 공차를 구하시오.

[성취기준2-상]

4

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)=x^2 +ax+2a^2]을

[eqn: x-1], [eqn: x+2], [eqn: x+3]으로 나누었을 때의 나머지가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준2-상]

5

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} -x+k=0]의 세 근이 등차수열을 이룰 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 3]                  ② [eqn: 6]                    ③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]                ⑤ [eqn: 15]

[성취기준3-중]

중단원 평가 문제

1. 수열 - ①회

Ⅲ. 수열

6

[eqn: a _{2} =4], [eqn: a _{5} =1]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{10}]의 값은?

① [eqn: 6]                  ② [eqn: 5]                    ③ [eqn: 4]

④ [eqn: 3]                  ⑤ [eqn: 2]

[성취기준3-상]

7

첫째항이 [eqn: 9]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{10} =0]일 때, [eqn: S _{n}]의 최댓값은?

① [eqn: 10]                ② [eqn: 15]                  ③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]                ⑤ [eqn: 30]

[성취기준4-중]

8

모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{3} =3], [eqn: a _{6} =192]일 때, [eqn: a _{8}]의 값은?

① [eqn: 3][eqn: `·`][eqn: 4 ^{3}]            ② [eqn: 4 ^{4}]                  ③ [eqn: 3][eqn: `·`][eqn: 4 ^{4}]

④ [eqn: 4 ^{5}]                 ⑤ [eqn: 3][eqn: `·`][eqn: 4 ^{5}]

[성취기준4-상]

9

[eqn: -3]과 [eqn: 24] 사이에 두 실수를 넣어 전체가 등비수열을 이루도록 할 때, 이 두 실수의 합은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]              ③ [eqn: 2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

[성취기준5-중]

10

첫째항이 [eqn: a], 공비가 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 728]일 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준5-상]

중단원 평가 문제

1. 수열 - ①회

Ⅲ. 수열

11

첫째항이 [eqn: 1]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서

[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} + CDOTS +a _{2k-1} =5],

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} + CDOTS +a _{2k} =10]

을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[성취기준5-상]

12

[eqn: rmA] 도시의 인구는 매년 일정한 비율로 증가하여 [eqn: 10]년 후에는 [eqn: 1]만 명, [eqn: 20]년 후에는 [eqn: 2]만 명이 될 것으로 예상된다. 이때 [eqn: rmA] 도시의 현재 인구를 구하시오.

[성취기준6-중]

13

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 5], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{6} ``a _{k}]의 값은?

① [eqn: 311]              ② [eqn: 313]                ③ [eqn: 315]

④ [eqn: 317]              ⑤ [eqn: 319]

[성취기준6-상]

14

두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} +b _{1} =6], [eqn: a _{10} +b _{10} =12]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} b _{k}]의 값은?

① [eqn: 70]                ② [eqn: 80]                  ③ [eqn: 90]

④ [eqn: 100]              ⑤ [eqn: 110]

[성취기준7-중]

15

[eqn: sum _{k=1} ^{5} k(k+1)(k+2)]의 값은?

① [eqn: 400]              ② [eqn: 420]                ③ [eqn: 440]

④ [eqn: 460]              ⑤ [eqn: 480]

[성취기준7-중]

16

다음 수열의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합은?

[eqn: 1 ^{2} +1],  [eqn: 2 ^{2} +2],  [eqn: 3 ^{2} +3],  [eqn: 4 ^{2} +4],  [eqn: cdots]

① [eqn: 425]              ② [eqn: 440]                ③ [eqn: 465]

④ [eqn: 485]              ⑤ [eqn: 500]

[성취기준7-상]

17

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2 ^{}} -n]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{2n} a _{2k}]는?

① [eqn: 2n ^{2}]	② [eqn: 2n ^{2} +2n]

③ [eqn: 4n ^{2} +2n]	④ [eqn: 8n ^{2}]

⑤ [eqn: 8n ^{2} -4]

서술형 문제

[성취기준4-중]

18

세 수 [eqn: -3], [eqn: a], [eqn: 7]이 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: a], [eqn: 6], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[성취기준4-중]

19

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} =16],

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} =32]

일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 구하시오.

[성취기준7-상]

20

다음 식의 값을 구하시오.

[eqn: {1} over {1 `·` 2} + {1} over {2`·` 3} + {1} over {3 `·` 4} + CDOTS + {1} over {100`·` 101}]

[성취기준1-상]

Ⅲ. 수열

1. 수열 - ②회

중단원 평가 문제

1

수열 [eqn: 1], [eqn: 8], [eqn: 27], [eqn: 64], [eqn: 125], [eqn: CDOTS]의 제[eqn: 8]항은?

① [eqn: 216]              ② [eqn: 343]                ③ [eqn: 512]

④ [eqn: 729]              ⑤ [eqn: 1024]

[성취기준2-하]

2

다음 <보기>의 수열에서 등차수열인 것의 개수는?

(단, [eqn: n=][eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

	<보기>
ㄱ. [eqn: LEFT { 2 RIGHT }] ㄴ. [eqn: LEFT { 2n RIGHT }] ㄷ. [eqn: LEFT { 2n ^{2} RIGHT }] ㄹ. [eqn: LEFT { 4n-3 RIGHT }] ㅁ. [eqn: LEFT { 1-n RIGHT }] ㅂ. [eqn: LEFT { 3 ^{n+1} RIGHT }]

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-중]

3

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서

[eqn: a _{2} +a _{5} =12], [eqn: a _{3} +a _{7} =18]

일 때, [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

4

첫째항이 [eqn: - {4} over {3}]이고, 공차가 [eqn: {1} over {6}]인 등차수열에서

처음으로 자연수가 되는 항은 제 몇 항인가?

① 제[eqn: 14]항          ② 제[eqn: 15]항           ③ 제[eqn: 16]항

④ 제[eqn: 17]항          ⑤ 제[eqn: 18]항

[성취기준2-상]

5

네 수 [eqn: 2], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: 4y+z=7x]가 성립할 때, [eqn: x+y+z]의 값은?

① [eqn: 12]                ② [eqn: 14]                  ③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]                ⑤ [eqn: 20]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

1. 수열 - ②회

Ⅲ. 수열

6

[eqn: 300]과 [eqn: 400] 사이에 있는 자연수 중 [eqn: 4]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 3]인 수의 개수를 구하시오.

[성취기준3-중]

7

등차수열 {[eqn: a_n]}에서 [eqn: a_3 = 4], [eqn: a_9 =16]일 때,

[eqn: a_1 +a_2 + a_3 +CDOTS+a_10]의 값은?

① [eqn: 70]                                ② [eqn: 80]                 ③ [eqn: 90]

④ [eqn: 100]                     ⑤ [eqn: 110]

[성취기준3-중]

8

첫째항이 [eqn: -18], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열 {[eqn: a_n]}에서　첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_n]의 최솟값은?

① [eqn: -52]            ② [eqn: -50]                       ③ [eqn: -48]

④ [eqn: -46]            ⑤ [eqn: -44]

[성취기준4-중]

9

모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{1} =4]이고, [eqn: a _{2} :a _{5} =1:27]일 때, [eqn: a _{6}]의 값은?

① [eqn: 960]              ② [eqn: 972]                ③ [eqn: 984]

④ [eqn: 996]              ⑤ [eqn: 1008]

[성취기준4-상]

10

공비가 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: {a _{6}} over {a _{3}} =2], [eqn: a _{4} +a _{7} =12]일 때, [eqn: a _{16}]의 값은?

① [eqn: 32]                ② [eqn: 40]                  ③ [eqn: 52]

④ [eqn: 64]                ⑤ [eqn: 80]

[성취기준5-중]

11

첫째항이 [eqn: 1]이고, 제[eqn: 2]항이 [eqn: 3]인 등비수열에서 첫째항부터 제[eqn: 7]항까지의 합을 구하시오.

[성취기준5-중]

중단원 평가 문제

1. 수열 - ②회

Ⅲ. 수열

12

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서

[eqn: { a}_{1 } + { a}_{ 2} + { a}_{ 3} +CDOTS + { a}_{10 } =4],

[eqn: a _{11} +a _{12} +a _{13} + CDOTS +a _{20} =20]

일 때, [eqn: a_21 + a_22 + CDOTS + a_30]의 값은?

① [eqn: 136]	② [eqn: 124]             ③ [eqn: 120]

④ [eqn: 115]	⑤ [eqn: 100]

[성취기준5-상]

13

바름이는 [eqn: 2017]년부터 매년 초에 [eqn: 100]만 원씩 적금을 넣고 있다. 연이율이 [eqn: 3``%]이고, [eqn: 1]년마다 복리로 이자가 계산된다고 할 때, [eqn: 2026]년 말의 원리합계를 구하시오. (단, [eqn: 1.03 ^{10} =1.3]으로 계산한다.)

[성취기준6-중]

14

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} =20], [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} ` ^{2} =80]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} (a _{k} -1) ^{2}]

의 값은?

① [eqn: 40]                ② [eqn: 41]                  ③ [eqn: 50]

④ [eqn: 51]                ⑤ [eqn: 60]

[성취기준6-상]

15

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT ) =n ^{2} +2n]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값

은?

① [eqn: 25]                ② [eqn: 30]                  ③ [eqn: 35]

④ [eqn: 40]                ⑤ [eqn: 45]

[성취기준7-중]

16

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k RIGHT ) - sum _{n=1} ^{5} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} 2k RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 120]              ② [eqn: 128]                ③ [eqn: 136]

④ [eqn: 142]              ⑤ [eqn: 150]

[성취기준7-상]

17

[eqn: sum _{k=1} ^{30} {1} over {LEFT ( 2k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k+1 RIGHT )} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은?

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

① [eqn: 91]                ② [eqn: 101]                ③ [eqn: 111]

④ [eqn: 121]              ⑤ [eqn: 131]

서술형 문제

[성취기준3-상]

18

첫째항이 [eqn: 37]이고, 공차가 정수인 등차수열 [eqn: LEFT{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3], [eqn: cdots] 중에서 가장 큰 값은 [eqn: S_10]이다. 이때 [eqn: S_10]의 값을 구하시오.

[성취기준4-상]

19

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 수 [eqn: a], [eqn: 4], [eqn: b+4]는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: b], [eqn: 2], [eqn: {6} over {a+6}]은 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 이때 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[성취기준7-상]

20

첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{40} {1} over {sqrt {a _{k}} + sqrt {a _{k+1}}}]의 값을 구하시오.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅲ

2. 수학적 귀납법

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 수열의 귀납적 정의를 이해한다.	상	수열과 관련된 실생활 문제에서 인접한 항 사이의 관계를 파악하고, 이를 귀납적 정의를 이용하여 표현할 수 있다.	5	4
	중	관계가 간단한 수열을 귀납적으로 표현할 수 있다.	2, 3, 4, 8	1, 2, 3
	하	귀납적으로 정의된 수열에서 특정한 항을 구할 수 있다.	1	8

2 수학적 귀납법의 원리를 이해하고, 이를 이용하여 자연수에 관한 명제를 증명할 수 있다.	상	수학적 귀납법의 원리를 이해하고, 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 [eqn: n]에 관한 명제를 증명할 수 있다.	7	6, 7, 9
	중	수학적 귀납법에 의한 증명 과정을 완성할 수 있다.	6, 9	5
	하	자연수에 관한 명제에 대하여 초깃값이 성립함을 확인할 수 있다.

[성취기준1-하]

Ⅲ. 수열

2. 수학적 귀납법 - ①회

중단원 평가 문제

1

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{n+1} =a _{n} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}]

([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

으로 정의될 때, [eqn: a _{5}]의 값은?

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준1-중]

2

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{n+1} =a _{n} +2] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

로 정의될 때, [eqn: a _{15}]의 값은?

① [eqn: 30]                ② [eqn: 31]                  ③ [eqn: 32]

④ [eqn: 33]                ⑤ [eqn: 34]

[성취기준1-중]

3

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{n+1} `` ^{2} =a _{n} a _{n+2}]

([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

로 정의될 때, [eqn: a _{12}]의 값은 [eqn: 3 ^{x}]이다. 이때 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[성취기준1-중]

4

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a_2 =2a_1], [eqn: a_10 =50],

[eqn: a_n+2 -2a_n+1 +a_n =0] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

으로 정의될 때, [eqn: a _{7]의 값은?

① [eqn: 12]                ② [eqn: 18]                  ③ [eqn: 24]

④ [eqn: 30]                ⑤ [eqn: 35]

[성취기준1-상]

5

다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 삼각형에 색칠한다. 다시 한 변의 길이가 [eqn: 1over2]인 나머지 [eqn: 3]개의 삼각형에서 각 변의 중점을 연결하여 만든 삼각형에 색칠한다. 이와 같은 과정을 반복할 때, [eqn: n]번째 단계에 색칠되어 있는 모든 삼각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하면

[eqn: a _{n+1} = a _{n} + f(n)] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

인 관계가 성립한다. 이때 [eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

[성취기준2-중]

중단원 평가 문제

2. 수학적 귀납법 - ①회

Ⅲ. 수열

6

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

[eqn: 1+2+3+ cdots +n= n(n+1) over 2]    [eqn: cdotscdots]㉠

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명>
(ⅰ) [eqn: n=1]일 때 (좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =][eqn: box{~㈎~}]이므로 등식 ㉠이 성립 한다. (ⅱ) [eqn: n=k]일 때 등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: 1+2+3+ CDOTS +k= {k(k+1)} over {2}] [eqn: cdotscdots]㉡ 등식 ㉡의 양변에 [eqn: box{~㈏~}]을 더하면 [eqn: 1+2+3+ cdots +k+][eqn: box{~㈏~}] [eqn: = k(k+1) over 2 +][eqn: box{~㈏~}] [eqn: =][eqn: box{~㈐~}] 이므로 [eqn: n=k+1]일 때에도 등식 ㉠이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식 ㉠이 성 립한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 써넣으시오.

[성취기준2-상]

7

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식

[eqn: (1+h )^n > 1+nh] ([eqn: h>0])

가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

서술형 문제

[성취기준1-중]

8

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a _{n+2} -a _{n+1} =a _{n+1} -a _{n}] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

으로 정의되고 [eqn: a _{5} =12], [eqn: a _{9} =32]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값을 구하시오.

[성취기준2-중]

9

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 11^n -4^n]이 [eqn: 7]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명>
(ⅰ) [eqn: n=1]일 때 [eqn: 11-4=7]이므로 [eqn: 7]의 배수이다. (ⅱ) [eqn: n=k]일 때 [eqn: 11^k -4^k =7p] ([eqn: p]는 자연수)라 가정하자. 주어진 식에 [eqn: n=k+1]을 대입하면 [eqn: 11 ^{k+1} -4 ^{k+1}] [eqn: =11 `·` 11 ^{k} -4 `·` 4 ^{k}] [eqn: = 11]([eqn: `box{~㈎~}`])[eqn: +][eqn: box{~㈏~}][eqn: `·` 4^k] [eqn: =][eqn: box{~㈐~}][eqn: p+][eqn: box{~㈏~}][eqn: `·` 4^k] [eqn: =7]([eqn: `box{~㈑~}`]) ([eqn: `box{~㈑~}]은 자연수) 이므로 [eqn: 7]의 배수이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 11^n -4^n] 은 [eqn: 7]의 배수이다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑에 알맞은 것을 써넣으시오.

[성취기준1-중]

Ⅲ. 수열

2. 수학적 귀납법 - ②회

중단원 평가 문제

1

수열 {[eqn: a _{n}]}이

[eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{n+1} =3a _{n} -2] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

로 정의될 때, [eqn: a_{ 6} =3 ^{p} +1]이다. 이때 [eqn: p]의 값은?

① [eqn: 3]                  ② [eqn: 4]                    ③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]                  ⑤ [eqn: 7]

[성취기준1-중]

2

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: a _{1} =27], [eqn: a _{n} =3a _{n+1}] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

로 정의될 때, [eqn: a _{7}]의 값은?

① [eqn: {1} over {81}]              ② [eqn: {1} over {27}]                ③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: 27]                ⑤ [eqn: 81]

[성취기준1-중]

3

수열 {[eqn: a_n]}이

[eqn: a _{1} =5], [eqn: a _{n+1}= {n}over{n+2} a_n] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

으로 정의될 때, [eqn: a_10]의 값은?

① [eqn: 1over55]	② [eqn: 1 over12]	③ [eqn: 1over 11]

④ [eqn: 1 over10]	⑤ [eqn: 2over11]

[성취기준1-상]

4

물통에 물 [eqn: 30``rm L]가 들어 있다. 전날 물통에 들어 있던 물의 반을 버리고 [eqn: 10``rm L]의 물을 매일 새로 넣을 때, [eqn: 10]일 후에 물통에 물을 넣은 뒤 남아 있는 물의 양을 구하시오.

[성취기준2-중]

5

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

[eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {n+1} RIGHT ) = {n+2} over {2}]

가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명>
(ⅰ) [eqn: n=1]일 때 (좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =][eqn: box{~㈎~}] 이므로 주어진 등식이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k]일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 [eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {k+1} RIGHT )] [eqn: = {k+2} over {2}] [eqn: cdotscdots]㉠ ㉠의 양변에 [eqn: box{~㈏~}]을 곱하면 [eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {k+1} RIGHT )] [eqn: times][eqn: LEFT ( pile{`#`}] [eqn: box{~㈏~}][eqn: pile{`#`} right)] [eqn: = {k+2} over {2} ` LEFT ( pile{`#`}] [eqn: box{~㈏~}][eqn: pile{`#`} right)][eqn: =][eqn: box{~㈐~}] 따라서 [eqn: n=k+1]일 때에도 주어진 등식이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 써넣으시오.

[성취기준2-상]

6

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n ^{3} -n]이 [eqn: 3]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

2. 수학적 귀납법 - ②회

Ⅲ. 수열

7

자연수 [eqn: n]에 대하여 명제 [eqn: p(n)]이 다음 조건을 모두 만족시킨다고 한다.

㈎ [eqn: p(3)]은 참이다.

㈏ [eqn: p(n)]이 참이면 [eqn: p(2n+1)]도 참이다.

㈐ [eqn: p(n)]과 [eqn: p(m)]이 모두 참이면 [eqn: p(n+m)]도 참

이다.

아래 <보기>에서 참인 것의 개수는?

	<보기>
ㄱ. [eqn: p(4)] ㄴ. [eqn: p(7)] ㄷ. [eqn: p(10)] ㄹ. [eqn: p(21)] ㅁ. [eqn: p(25)]

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

서술형 문제

[성취기준1-하]

8

수열 [eqn: left {a_n right }]이

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1} = {3a _{n} -1} over {4a _{n} -1}] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

로 정의될 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2k-1)a _{k}]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

9

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + {1} over {4 ^{2}} + CDOTS + {1} over {n ^{2}} <2- {1} over {n}]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

수이므로 2

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅳ

1. 지수

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 거듭제곱과 거듭제곱근의 뜻과 그 성질을 설명할 수 있다.	상	[eqn: y=x ^{n}]의 그래프를 통해 거듭제곱근 중 실수인 것이 한 개, 또는 두 개 뿐임을 이해하고, 거듭제곱근의 성질을 이용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다.	4	2, 3, 4, 5
	중	거듭제곱근의 성질을 이용하여 주어진 식을 간단히 나타낼 수 있다.	2, 3
	하	실수의 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수를 구할 수 있으며, 거듭제곱근 기호를 사용하여 표현할 수 있다.	1	1

2 지수가 유리수, 실수까지 확장될 수 있음을 이해하고, 식을 간단히 나타낼 수 있다.	상	지수가 실수까지 확장될 수 있음을 이해하고 식을 간단히 나타낼 수 있다.	6	7
	중	지수가 유리수까지 확장될 수 있음을 이해하고 식을 간단히 나타낼 수 있다.
	하	지수가 정수까지 확장될 수 있음을 이해하고 식을 간단히 나타낼 수 있다.	5	6

3 지수법칙을 이해하고, 이를 이용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다.	상	지수법칙을 설명할 수 있고, 이를 이용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다.	10, 11, 12, 14	10, 11, 12, 14
	중	지수가 유리수인 식을 간단히 나타낼 수 있다.	7, 8, 9, 13	9, 13
	하	밑이 같고 지수가 정수인 식을 간단히 나타낼 수 있다.		8

[성취기준1-하]

Ⅳ. 지수와 로그

1. 지수 - ①회

중단원 평가 문제

1

다음 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a]는 실수이다.)

	<보기>
ㄱ. [eqn: 10]의 네제곱근 중 실수인 것은 [eqn: root {4} of {10}]뿐이다. ㄴ. [eqn: a]의 세제곱근 중 실수인 것은 항상 존재한다. ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: x ^{n} =a]의 실근은 [eqn: root {n} of {a}]이다.

① ㄱ                 ② ㄴ                   ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ                   ⑤ ㄴ, ㄷ

[성취기준1-중]

2

[eqn: 81]의 세제곱근 중 실수인 것을 [eqn: a], [eqn: root {3} of {9}]의 제곱근 중 양수인 것을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 3 root {3} of {3}]           ② [eqn: 2 root {3} of {3}]             ③ [eqn: root {3} of {3}]

④ [eqn: 3 sqrt {3}]           ⑤ [eqn: 3]

[성취기준1-중]

3

다음 중 옳지 않은 것은?

①[eqn: ` root {3} of {3} TIMES root {4} of {3} = root {12} of {3 ^{7}}]

②[eqn: root {3} of {- sqrt {3 ^{6}}} =-3]

③[eqn: root {3} of {` root {4} of {8}} = root {7} of {2} ``]

④[eqn: {root {3} of {-64}} over {root {3} of {-27}} = root {3} of {{64} over {27}}]

⑤[eqn: LEFT ( root {3} of {5} TIMES {`1} over {sqrt {5}} RIGHT ) ^{6} = {1} over {5}]

[성취기준1-상]

4

양수 [eqn: a]에 대하여[eqn: root {5} of {{root {4} of {a}} over {sqrt {a}}} TIMES root {4} of {{sqrt {a}} over {root {5} of {a}}} TIMES ` sqrt {{root {5} of {a}} over {root {4} of {a}}}]

를 간단히 하면?

① [eqn: 1]                  ② [eqn: sqrt {a}]               ③ [eqn: {1} over {sqrt {a}}]

④ [eqn: root {4} of {a}]             ⑤ [eqn: root {5} of {a}]

[성취기준2-하]

5

다음 중 옳지 않은 것은? (단, [eqn: a>0], [eqn: a != 1])

① [eqn: a ^{3} ÷a ^{-2} TIMES a ^{5} =a ^{10}]

② [eqn: LEFT ( a ^{-2} RIGHT ) ^{3} TIMES LEFT ( a ^{4} RIGHT ) ^{-2} =a ^{-14}]

③ [eqn: {LEFT ( a ^{3} RIGHT ) ^{-4}} over {a ^{6} TIMES a ^{-2}} =a ^{-16}]

④ [eqn: {a ^{3} TIMES a ^{-4}} over {a ^{-1} TIMES a ^{2}} =a ^{-1}]

⑤ [eqn: {a TIMES a ^{-3}} over {a ^{2} TIMES a ^{-4}} =1]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

1. 지수 - ①회

Ⅳ. 지수와 로그

6

[eqn: 3 ^{sqrt {2} +3} TIMES 3 ^{sqrt {2} -2} ÷9 ^{sqrt {2} +1}]을 간단히 하면?

① [eqn: {1} over {3}]                ② [eqn: {1} over {2}]                  ③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: 3]                  ⑤ [eqn: 9]

[성취기준3-중]

7

[eqn: a>0], [eqn: a != 1]이고 [eqn: root {5} of {a root {4} of {a root {3} of {a}}} =a ^{{m} over {n}}]일 때,

[eqn: m+n]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.)

[성취기준3-중]

8

[eqn: (2 ^{{1} over {2}} +2 ^{- {1} over {2}} ) ^{2} -(2 ^{{1} over {2}} +2 ^{- {1} over {2}} )(2 ^{{1} over {2}} -2 ^{- {1} over {2}} )]을 간

단히 하면?

① [eqn: {1} over {4}]                ② [eqn: {1} over {2}]                  ③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]                  ⑤ [eqn: 3]

[성취기준3-중]

9

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때,

[eqn: LEFT ( a ^{2} b ^{-3} RIGHT ) ^{{1} over {6}} TIMES ( a ^{{4} over {3}} b ^{{3} over {2}} ) ^{3} ÷ LEFT ( {1} over {2} ab ^{- {3} over {2}} RIGHT ) ^{4}]

을 간단히 하면?

① [eqn: a ^{{1} over {3}} b ^{10}]           ② [eqn: 2a ^{{1} over {3}} b ^{10}]          ③ [eqn: {16a ^{{1} over {3}}} over {b ^{10}}]

④ [eqn: 16a ^{{1} over {2}} `b ^{10}]       ⑤ [eqn: 16a ^{{1} over {3}} `b ^{10}]

[성취기준3-상]

10

[eqn: a ^{2x} =3]일 때, [eqn: {a ^{x} -a ^{-x}} over {a ^{x} +a ^{-x}}]의 값은? (단, [eqn: a>0])

① [eqn: {1} over {9}]                ② [eqn: {1} over {6}]                  ③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]                ⑤ [eqn: {1} over {2}]

이│공

[성취기준3-상]

중단원 평가 문제

1. 지수 - ①회

Ⅳ. 지수와 로그

11

[eqn: 3 ^{6} `=`A], [eqn: 8` ^{2} `=`B]일 때, [eqn: 12 ^{13}]을 [eqn: A], [eqn: B]로 나타내면?

① [eqn: A ^{{13} over {2}} `B ^{{13} over {3}}]                 ② [eqn: A ^{{13} over {3}} `B ^{{13} over {2}}]

③ [eqn: A ^{{13} over {3}} `B ^{{13} over {6}}]                 ④ [eqn: A ^{{13} over {6}} `B ^{{13} over {3}}]

⑤ [eqn: A ^{{13} over {6}} `B ^{{13} over {6}}]

[성취기준3-상]

12

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+2=0]의 두 근을 [eqn: 3 ^{alpha }], [eqn: 3 ^{beta }]이라 할 때, [eqn: 27 ^{alpha } +27 ^{beta }]의 값은?

① [eqn: 36]                ② [eqn: 40]                  ③ [eqn: 44]

④ [eqn: 48]                ⑤ [eqn: 52]

서술형 문제

[성취기준3-중]

13

[eqn: 2^x = 3^y = 6^z]일 때, [eqn: 1overx + 1overy - 1overz]의 값을 구하시오. (단, [eqn: xyz`!= `0])

[성취기준3-상]

14

[eqn: a>0]이고 [eqn: a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} =3]일 때, [eqn: a ^{{3} over {2}} +a ^{- {3} over {2}}]의 값을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅳ. 지수와 로그

1. 지수 - ②회

중단원 평가 문제

1

다음 설명 중 옳은 것은?

① [eqn: 8]의 세제곱근은 한 개이다.

② [eqn: -1]의 세제곱근 중 실수는 존재하지 않는다.

③ [eqn: -81]의 네제곱근 중 실수인 것은 [eqn: ±3]이다.

④ [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: 3]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것은

한 개이다.

⑤ [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: 16]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것은

한 개이다.

[성취기준1-상]

2

실수 [eqn: x]와 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]의 [eqn: n]제

곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: N LEFT ( x,~n RIGHT )]이라 하자.

이때 [eqn: N LEFT ( 2,~2 RIGHT ) +N LEFT ( sqrt {2} ,~5 RIGHT ) +N LEFT ( - sqrt {2} ,~4 RIGHT )]의

값을 구하시오.

[성취기준1-상]

3

다음 중 옳은 것은?

① [eqn: root {4} of {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{4}} =-2]

② [eqn: root {9} of {-512} =2]

③ [eqn: root {3} of {root {4} of {3 ^{24}}} =6]

④ [eqn: root {6} of {sqrt {5 ^{12}}} =5]

⑤ [eqn: {root {3} of {27} TIMES sqrt {sqrt {16}}} over {sqrt {6 ^{4}}} =1]

[성취기준1-상]

4

[eqn: LEFT ( root {3} of {3} - root {3} of {2} RIGHT ) LEFT ( root {3} of {9} + root {3} of {6} + root {3} of {4} RIGHT )]를 간단히 하면?

① [eqn: 1]                  ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                  ⑤ [eqn: 5]

[성취기준1-상]

5

다음 중 세 수 [eqn: A= sqrt {2}], [eqn: B= root {3} of {3}], [eqn: C= root {12} of {60}]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]

③ [eqn: B<C <A]	④ [eqn: C<A<B]

⑤ [eqn: C<B<A]

[성취기준2-하]

6

[eqn: 4 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{-3} + LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{0} -2 ^{-1}]을 간단히 하면?

① [eqn: -2]                     ② [eqn: -1]                ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]                  ⑤ [eqn: 2]

[성취기준2-상]

7

다음 식을 간단히 하면?

[eqn: {1} over {2 ^{-5} +1} + {1} over {2 ^{-4} +1} + CDOTS + {1} over {2 ^{-1} +1}]

[eqn: + {1} over {2 ^{0} +1} + {1} over {2 ^{1} +1} + CDOTS][eqn: + {1} over {2 ^{4} +1} + {1} over {2 ^{5} +1}]

① [eqn: {1} over {2}]                ② [eqn: 2]                  ③  [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 5]                          ⑤ [eqn: {11} over {2}]

10

[성취기준3-하]

중단원 평가 문제

1. 지수 - ②회

Ⅳ. 지수와 로그

8

[eqn: 5 ^{sqrt {2}} TIMES ( sqrt {5} ) ^{{2} over {sqrt {2}}} ÷5 ^{2 sqrt {2}} TIMES 5 ^{2}]을 간단히 하면?

① [eqn: 20]                ② [eqn: 25]                  ③ [eqn: 50]

④ [eqn: 75]                ⑤ [eqn: 125]

[성취기준3-중]

9

[eqn: a=2,~b=4]일 때, [eqn: (a ^{- {1} over {3}} b ^{{1} over {2}} ) ^{6} ÷ sqrt {a ^{2} b ^{3}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]                         ② [eqn: {1} over {2}]                 ③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]                 ⑤ [eqn: 4]

[성취기준3-상]

[eqn: x= {3 ^{{1} over {6}} +3 ^{- {1} over {6}}} over {2}]일 때, [eqn: LEFT ( `x+ sqrt {x ^{2} -1} ` RIGHT ) ^{6}]의 값

은?

① [eqn: 3 ^{{1} over {6}}]               ② [eqn: 3 ^{{1} over {3}}]                 ③ [eqn: 3 ^{{1} over {2}}]

④  [eqn: 3 ^{{2} over {3}}]              ⑤ [eqn: 3]

[성취기준3-상]

중단원 평가 문제

1. 지수 - ②회

Ⅳ. 지수와 로그

11

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_n = 3 ^{1 over{ n{(n+1)}]일 때,

[eqn: a_1 times a_2 times a_3 times a_4]의 값은?

① [eqn: 3 ^{{1} over {5}]               ② [eqn: 3 ^{{4} over {5}]                 ③ [eqn: 3]

13

④ [eqn: 3 ^{{6} over {5}]               ⑤ [eqn: 3 ^{{9} over {5}]

[성취기준3-상]

12

[eqn: 2 ^{2x-1} =a], [eqn: 7 ^{1-x} =b]일 때, [eqn: LEFT ( {1} over {28} RIGHT ) ^{x}]을 [eqn: a], [eqn: b]로 나타내면?

14

① [eqn: {a} over {14b}]             ② [eqn: {b} over {14a}]             ③ [eqn: {7a} over {2b}]

④ [eqn: {7b} over {2a}]                      ⑤ [eqn: {14b} over {a}]

서술형 문제

[성취기준3-중]

[eqn: 2 LEFT { LEFT ( {16} over {9} RIGHT ) ^{{3} over {4}} RIGHT } ^{{2} over {3}} ÷ LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{{2} over {7}} RIGHT } ^{- {7} over {4}} = {a sqrt {6}} over {b}]일 때,

[eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.)

[성취기준3-상]

[eqn: 64 ^{{1} over {n}}]과 [eqn: LEFT ( {1} over {81} RIGHT ) ^{- {1} over {n}}]의 값이 모두 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅳ

2. 로그

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 로그의 뜻을 설명할 수 있다.	상	로그의 정의로부터 밑과 진수의 조건을 이해하고, 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.	2	3
	중	로그의 정의를 이용하여 간단한 로그의 값을 구할 수 있다.	1	1, 2, 13
	하	로그의 뜻을 말할 수 있다.

2 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 할 수 있다.	상	로그의 뜻과 지수법칙을 이용하여 로그의 성질을 이끌어내고, 이를 이용하여 식을 간단히 할 수 있다.	5, 6, 7, 8, 9	6, 7, 8
	중	로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 할 수 있다.	3, 4, 13	4, 5
	하	로그의 성질을 말할 수 있다.

3 상용로그를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.	상	로그의 성질과 상용로그를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.	11, 12, 14	10, 11, 12, 14
	중	로그의 성질과 상용로그표를 이용하여 간단한 상용로그의 값을 구할 수 있다.		9
	하	[eqn: 10`]의 거듭제곱에 대한 상용로그의 값을 구할 수 있다.	10

[성취기준1-중]

Ⅳ. 지수와 로그

2. 로그 - ①회

중단원 평가 문제

1

[eqn: log` _{2} `3=a], [eqn: log _{`b} `3=-1]일 때, [eqn: 8 ^{ab}]의 값은?

(단, [eqn: b>0], [eqn: b != 1])

① [eqn: 3]                  ② [eqn: 6]                    ③ [eqn: 9]

④ [eqn: 18]                ⑤ [eqn: 27]

[성취기준1-상]

2

[eqn: log _{`x-2} ` LEFT ( -x ^{2} +7x-6 RIGHT )]이 정의되도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[성취기준2-중]

3

[eqn: {3} over {2} `log` _{2} `12-log` _{2} `3 root {`} of {3} +log` _{2} `4]를 간단히 하면?

① [eqn: 3]                  ② [eqn: 4]                    ③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]                  ⑤ [eqn: 7]

[성취기준2-중]

4

[eqn: log` _{10} `2=a], [eqn: log` _{10} `3=b]라 할 때, [eqn: log` _{5} ` sqrt {48}]의

값을 [eqn: a], [eqn: b]로 나타내면?

① [eqn: {2a+b} over {1-a}]        ② [eqn: {a+b} over {2 LEFT ( 1-a RIGHT )}]       ③ [eqn: {2a+b} over {2 LEFT ( 1-a RIGHT )}]

④ [eqn: {4a+b} over {1-a}]        ⑤ [eqn: {4a+b} over {2 LEFT ( 1-a RIGHT )}]

[성취기준2-상]

5

다음은 지수법칙 [eqn: a ^{p} `a ^{q} =a ^{p+q}]으로부터 모든 양수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: log` _{a} `MN=log` _{a} `M+log` _{a} `N]

이 성립함을 증명한 것이다.

(단, [eqn: a>0], [eqn: a != 1], [eqn: M>0], [eqn: N>0])

	<증명>
[eqn: log` _{a} M=p], [eqn: log` _{a} N=q]라 하면 로그의 정의에 의하여 [eqn: M=a ^{p}], [eqn: N=][eqn: box{~㈎~}]이므로 [eqn: MN=a ^{p} a ^{q} =][eqn: box{~㈏~}]에서 [eqn: box{~㈐~}][eqn: =p+q=log` _{a} M+log` _{a} N]

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 써넣으시오.

[성취기준2-상]

6

[eqn: LEFT [ log _{2} ` {1} over {2} RIGHT ] + LEFT [ log _{2} ` {1} over {3} RIGHT ] + LEFT [ log _{2} ` {1} over {4} RIGHT ] +cdots]

[eqn: + LEFT [ log _{2} ` {1} over {10} RIGHT ]]

의 값은?

(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: -25]	② [eqn: -24]	③ [eqn: -23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

중단원 평가 문제

2. 로그 - ①회

Ⅳ. 지수와 로그

[성취기준2-상]

[eqn: 9 ^{`log` _{3} `` {1} over {5} -2`log` _{3} `4-log` _{{1} over {3}} `20}]의 값을 구하시오.

7

[성취기준2-상]

8

[eqn: 16 ^{x} =9 ^{y} =12]일 때, [eqn: {1} over {x} + {1} over {y}]의 값은?

① [eqn: 1]                 ② [eqn: 2]                    ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]                 ⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-상]

9

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

[eqn: log _{2} LEFT ( alpha + beta ^{-1} RIGHT ) +log _{2} LEFT ( beta + alpha ^{-1} RIGHT )][eqn: +log _{2} alpha beta]

의 값을 구하시오.

[성취기준3-하]

10

[eqn: log``1.63=0.2122]일 때, 다음 중 옳지 않은 것

은?

① [eqn: log``16.3=1.2122]

② [eqn: log``163=2.2122]

③ [eqn: log``1630=3.2122]

④ [eqn: log``0.163=-0.7878]

⑤ [eqn: log``0.0163=-1.2122]

[성취기준3-상]

중단원 평가 문제

2. 로그 - ①회

Ⅳ. 지수와 로그

11

[eqn: log``2=0.3010], [eqn: log``3=0.4771]일 때, [eqn: 12 ^{30}]은

몇 자리 정수인가?

① [eqn: 31]                ② [eqn: 32]                  ③ [eqn: 33]

④ [eqn: 34]                ⑤ [eqn: 35]

[성취기준3-상]

12

[eqn: log``x]의 정수 부분은 [eqn: 2]이고, [eqn: log``x]와 [eqn: log`` root {3} of {x}]의 소수 부분의 합이 [eqn: 1]일 때, [eqn: x]의 값은?

① [eqn: 10 root {4} of {10}]        ② [eqn: 10 root {4} of {100}]       ③ [eqn: 10 root {4} of {1000}]

④ [eqn: 100 root {4} of {10}]      ⑤ [eqn: 100 root {4} of {100}]

서술형 문제

[성취기준2-중]

13

[eqn: sum _{k=1} ^{80} `log` _{3} ` LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

14

지진의 에너지는 지진의 규모에 따라 달라지며, 지진의 규모 [eqn: M`]과 지진에 의해 발생되는 지진의 에너지 [eqn: E] 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[eqn: log`E=11.4+1.5M]

이때 규모 [eqn: 5]의 지진은 규모 [eqn: 4]의 지진에 비해 에너지가 몇 배 더 강한지 구하시오.

[성취기준1-중]

Ⅳ. 지수와 로그

2. 로그 - ②회

중단원 평가 문제

1

[eqn: log _{`x} 9= {1} over {2}]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]                ② [eqn: 3]                    ③ [eqn: 9]

④ [eqn: 27]                ⑤ [eqn: 81]

[성취기준1-중]

2

[eqn: log _{3} ` LEFT ( log _{2} `x RIGHT ) =0], [eqn: log _{2} ` LEFT ( log _{5} `y RIGHT ) =1]일 때, [eqn: x+y]

의 값을 구하시오.

[성취기준1-상]

3

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log _{`3} ` LEFT ( x ^{2} -2ax-a+6 RIGHT )]이 정의되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: -3<a < - 2]           ② [eqn: -3<a<2]

③ [eqn: 2<a<3]                     ④ [eqn: 2<a<6]

⑤ [eqn: 3<a<6]

[성취기준2-중]

4

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -x`log _{3} a+log _{3} b=0]의 두 근이 [eqn: 1], [eqn: 3]일 때, 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 3]                  ② [eqn: 9]                    ③  [eqn: 27]

④ [eqn: 54]                ⑤ [eqn: 81]

[성취기준2-중]

5

다음 <보기> 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: log` _{2} ` {1} over {3} +3log` _{2} ` root {3} of {12} =2] ㄴ. [eqn: LEFT ( log` _{2} `9+log` _{8} `3 RIGHT ) ` LEFT ( log` _{3} `2+log` _{9} `4 RIGHT ) =4] ㄷ. [eqn: log` _{4} `25][eqn: `·`][eqn: log` _{5} `3][eqn: `·`][eqn: log` _{9} `16= {3} over {2}]

① ㄱ                 ② ㄴ                   ③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ            ⑤ ㄴ, ㄷ

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

2. 로그 - ②회

Ⅳ. 지수와 로그

6

세 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여

[eqn: log` _{3} `x+2`log` _{9} `y+3`log` _{27} `z=1`]

일 때, [eqn: LEFT { LEFT ( 3 ^{x} RIGHT ) ^{y} RIGHT } ^{z}]의 값은?

① [eqn: sqrt {3}]                 ② [eqn: 3]                    ③ [eqn: 3 sqrt {3}]

④ [eqn: 9]                  ⑤ [eqn: 27]

[성취기준2-상]

7

[eqn: a= {1} over {sqrt {2} -1}]일 때,

[eqn: log` _{2} ` LEFT ( a ^{3} -1 RIGHT ) -log` _{2} ` LEFT ( a ^{2} +a+1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]                  ② [eqn: {1} over {2}]                  ③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]                ⑤ [eqn: {1} over {5}]

[성취기준2-상]

8

[eqn: 3 ^ { 1 over x} =a], [eqn: 3 ^ { y} =b], [eqn: 3 ^ { z} =c]일 때, [eqn: log_{sqrt a} ``bc^2]을 [eqn: x],

[eqn: y], [eqn: z]로 나타내면?

① [eqn: x(y+z)]	② [eqn: x(y+2z)]

③ [eqn: 2x(y+z)]	④ [eqn: 2x(y+2z)]

⑤ [eqn: 2x(3y+2z)]

[성취기준3-중]

9

[eqn: log``5.41=a]일 때, [eqn: 5410 TIMES 0.0541]의 상용로그

의 값을 [eqn: a]로 나타내면?

① [eqn: a-1]      ② [eqn: a+1]        ③ [eqn: 2a]

④ [eqn: 2a+1]         ⑤ [eqn: 2(a+1)]

[성취기준3-상]

10

[eqn: 6 ^{40}]은 [eqn: a]자리 정수이고, [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}]은 소수점 아래 [eqn: b]

째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자가 나타난다.

이때 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: log``2=0.3010], [eqn: log``3=0.4771])

[성취기준3-상]

중단원 평가 문제

2. 로그 - ②회

Ⅳ. 지수와 로그

11

두 자연수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x ^{8}]은 [eqn: 25]자리 수, [eqn: y ^{5}]은 [eqn: 16]

자리 수일 때, [eqn: xy]는 [eqn: n]자리 수이다. 이때 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 5]                  ② [eqn: 6]                    ③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]                  ⑤ [eqn: 9]

[성취기준3-상]

12

광원으로부터 [eqn: d][eqn: rm ``m] 떨어진 지점에서 사람이 느끼는 감각 강도를 [eqn: P]라 하면

[eqn: P=k`log _{} {h} over {d ^{2}}] ([eqn: k], [eqn: h]는 상수)

인 관계가 성립한다고 한다. 광원으로부터 [eqn: 4][eqn: rm ``m] 떨어진 지점에서 느끼는 감각 강도를 [eqn: P _{1}], [eqn: 5][eqn: rm ``m] 떨어진 지점에서 느끼는 감각 강도를 [eqn: P _{2}]라 할 때,

[eqn: P _{1} -P _{2}]를 간단히 하면?

(단, [eqn: log``2=0.3], [eqn: log``5=0.7])

① [eqn: 0.1k]             ② [eqn: 0.2k]              ③ [eqn: 0.3k]

④ [eqn: 0.4k]             ⑤ [eqn: 0.5k]

서술형 문제

[성취기준1-중]

13

[eqn: x=log _{3} ``(4- sqrt {15} )]일 때, [eqn: 3 ^{x} +3 ^{-x}]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

14

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+8=0]의 두 근이 [eqn: log` _{} `a], [eqn: log` _{} `b]일 때, [eqn: log` _{a} `b+log` _{b} `a]의 값을 구하시오.

정답 및 풀이

수학Ⅱ

앞서 제시한 문제의 정답과 풀이를 수록하였습니다.

학교 시험 출제에 문제를 이용할 때 참조하십시오.

바른답 • 알찬풀이

Ⅰ. 집합과 명제

1. 집합 - ①회

중단원 평가 문제

1. ④	2. ③          3. [eqn: 3]

4. ③	5. ⑤	6. ④	7. [eqn: 8]	8. [eqn: 12]	9. ⑤

10. ①	11. ④          12. ②

13. [eqn: 8]          14. [eqn: 7]

1

④ 아주 큰 숫자들의 모임은 그 대상을 분명하게 알 수 없으므로 집합이 아니다.

2

집합 [eqn: A]를 원소나열법으로 나타내면 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~6 RIGHT }]이므로 ③ [eqn: 3 IN A]이다.

3

[eqn: 1 IN A]이면 [eqn: 3 IN A],

[eqn: 2 IN A]이면 [eqn: 2 IN A],

[eqn: 3 IN A]이면 [eqn: 1 IN A]

(ⅰ) 원소의 개수가 [eqn: 1]인 집합 [eqn: A]는

[eqn: LEFT { 2 RIGHT }]

(ⅱ) 원소의 개수가 [eqn: 2]인 집합 [eqn: A]는

[eqn: LEFT { 1,~3 RIGHT }]

(ⅲ) 원소의 개수가 [eqn: 3]인 집합 [eqn: A]는

[eqn: LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: A]는

[eqn: LEFT { 2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]의 [eqn: 3]개이다.

4

[eqn: A= LEFT { -1,~0,~1 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 0 RIGHT }], [eqn: C= LEFT { -1,~0,~1,~2 RIGHT }]

따라서 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]  사이의 포함 관계는

[eqn: B SUBSET A SUBSET C]

5

⑤ [eqn: \{\{ 0,```1 \}\} subset it A]

6

[eqn: A=B]이므로 두 집합의 원소는 같다.

(ⅰ) [eqn: x-1=x-y], [eqn: y+5=x+3y]일 때

[eqn: y=1], [eqn: x=-2y+5]

[eqn: THEREFORE `x=3], [eqn: y=1]

(ⅱ) [eqn: x-1=x+3y], [eqn: y+5=x-y]일 때

[eqn: 3y=-1], [eqn: x=2y+5]

[eqn: THEREFORE `x= {13} over {3}], [eqn: y=- {1} over {3}]

[eqn: x], [eqn: y]가 양수이므로

[eqn: x=3], [eqn: y=1]

[eqn: THEREFORE `x+y=4]

7

[eqn: n(A)=5]이므로 [eqn: 2]를 원소로 갖고, [eqn: 1]을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는

[eqn: 2 ^{5- LEFT ( 1+1 RIGHT )} =2 ^{3} =8]

8

[eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10 RIGHT }]이므로

[eqn: A= LEFT { 1,~3,~5,~7,~9` RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,~3,~5,~7 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE `(A-B) CUP (B-A)= LEFT { 1,~9 RIGHT } CUP LEFT { 2 RIGHT }]

[eqn: = LEFT { 1,~2,~9 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: (A-B) CUP (B-A)]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+2+9=12]

9

⑤ [eqn: A CUP (B SMALLINTER `C)=(A CUP B) SMALLINTER (A CUP C)]

10

[eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) -C=(`box{``A SMALLINTER B ^{C}``}`)][eqn: SMALLINTER C ^{C}]

[eqn: =A SMALLINTER (B ^{C} SMALLINTER C ^{C} `)] ←

결합법칙

[eqn: =A SMALLINTER box{``LEFT ( B CUP C RIGHT ) ^{C}``]  ←드모르간의 법칙

[eqn: =A-(B CUP C)]

11

벤 다이어그램의 색칠한 부분은 집합 [eqn: B]에는 속하지만 집합 [eqn: A]와 집합 [eqn: C]에는 속하지 않는 원소로 이루어진 집합이다.

따라서 색칠한 부분을 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]로 나타내면

[eqn: B-(A∪C)]

12

[eqn: n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B ^{C} ` RIGHT ) =n LEFT ( (A CUP B) ^{C} ` RIGHT )]이므로

[eqn: n(A CUP B)=n(U)-n left((A CUP B) ^{C} `right)]

[eqn: =30-17]

[eqn: =13]

[eqn: n(A CUP B)=n(A)+n(B)-n(A SMALLINTER B)]에서

[eqn: 13=n(A)+n(B)-8]

[eqn: THEREFORE `n(A)+n(B)=21]

13

[eqn: A cap X = X]에서

[eqn: X subset A]

[eqn: (A-B) cup X=X]에서

[eqn: (A-B) subset X]

즉, [eqn: (A-B)subset X subset A]에서

[eqn: \{2], [eqn: 4 \}][eqn: subset X subset][eqn: \{1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5 \}]

따라서 집합 [eqn: X]의 개수는

[eqn: 2^5-2 = 2^3 =8]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	집합 [eqn: X]의 조건 알기	50 %
답 구하기	집합 [eqn: X]의 개수 구하기	50 %

14

준기네 반 학생 전체의 집합을 [eqn: U], 토요일에 봉사 활동에 참여하는 학생의 집합을 [eqn: A], 일요일에 봉사 활동에 참여하는 학생의 집합을 [eqn: B]라 하면

[eqn: n LEFT ( U RIGHT ) =35], [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =14], [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =11]

봉사 활동에 참여하지 않는 학생의 집합은

[eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C} =(A CUP B) ^{C}]이므로

[eqn: n((A CUP B) ^{C} `)=17]

[eqn: THEREFORE `n(A CUP B)=n(U)-n left((A CUP B) ^{C`}right )]

[eqn: =35-17]

[eqn: =18]

따라서 토요일과 일요일 모두 봉사 활동에 참여하는 학생 수는

[eqn: n(A SMALLINTER B)=n(A)+n(B)-n(A CUP B)]

[eqn: =`14+11-18]

[eqn: =7]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	주어진 조건을 집합으로 나타내기	30 %
	토요일 또는 일요일에 참여하는 학생 수 구하기	40 %
답 구하기	토요일과 일요일 모두 참여하는 학생 수 구하기	30 %

1. 집합 - ②회

중단원 평가 문제

1. ③	2. ③          3. ⑤

4. ⑤	5. ③          6. ④	7. ③	8. ⑤	9. ⑤

10. ⑤	11. ①          12. [eqn: 33]

13. [eqn: 31]        14. [eqn: 10]

1

① [eqn: n LEFT ( LEFT { 0,~1,~2 RIGHT } RIGHT ) -n LEFT ( LEFT { 1,~2 RIGHT } RIGHT ) =3-2=1]

② [eqn: n LEFT ( EMPTYSET RIGHT ) =0]

③ [eqn: LEFT . n( LEFT { x`□`x RIGHT . RIGHT .]는 [eqn: 12]의 약수[eqn: "}")]

[eqn: =n LEFT ( LEFT { 1,~2,~3,~4,~6,~12 RIGHT } RIGHT ) =6]

④ [eqn: n LEFT ( LEFT { x,~y,~z RIGHT } RIGHT ) -n LEFT ( LEFT { x,~y RIGHT } RIGHT ) =3-2=1]

⑤ [eqn: n LEFT ( LEFT { 0 RIGHT } RIGHT ) =1]

2

[eqn: A="{"-1,~0,~1"}"]이므로 집합 [eqn: A]의 두 원소 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 모두 구하면

[eqn: -2,~-1,~0,~1,~2]

[eqn: THEREFORE B= LEFT { -2,~-1,~0,~1,~2 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은

[eqn: (-2)+(-1)+0+1+2=0]

3

⑤ [eqn: LEFT { 2,~4,~6 RIGHT } SMALLINTER A= EMPTYSET]이므로 서로소이다.

4

주어진 벤 다이어그램에서 두 집합 [eqn: A], [eqn: B] 사이의 포함 관계는 [eqn: A SUBSET B]이다.

① [eqn: B SUBSET A]

② [eqn: B= LEFT { 1,~2,~3,~6 RIGHT }]이므로 [eqn: B SUBSET A]

③ [eqn: A= LEFT { 1,~3,~5,~ CDOTS RIGHT }]이므로 [eqn: B SUBSET A]

④ [eqn: A= LEFT { 1,~2,~4,~5,~10,~20 RIGHT }],

[eqn: B= LEFT { 1,~2,~5,~10 RIGHT }]

이므로 [eqn: B SUBSET A]

⑤ [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~ CDOTS ,~9 RIGHT }],

[eqn: B= LEFT { 1,~2,~3,~ CDOTS ,~10 RIGHT }]

이므로 [eqn: A SUBSET B]

따라서 [eqn: A SUBSET B]인 것은 ⑤이다.

5

[eqn: B="{"1,~2,~3,~6,~9,~18"}"]이므로 집합 [eqn: X]는 집합 [eqn: B]의 부분집합 중 원소 [eqn: 1,~2]를 포함하는 부분집합이다.

따라서 집합 [eqn: X]의 개수는

[eqn: 2 ^{6-2} =2 ^{4} =16]

6

④ [eqn: 3]은 집합 [eqn: A]의 원소가 아니므로

[eqn: LEFT { 1,~3 RIGHT } NSUBSET A]

7

[eqn: (A cupB)cap(A^C cupB^C `)=(A cupB) cap(A capB)^C]

[eqn: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(A cup B) -(A capB)]

[eqn: =left{2,~4,~5,~7 right]

이므로 [eqn: A capB=left{1,~3right},~B-A=left{5,~7 right]

[eqn: therefore`B=(A capB) cup(B-A)]

[eqn: =left{1,~3,~5,~7right]

따라서 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+3+5+7=16]

8

⑤ [eqn: A SMALLINTER B ^{C} =A-B= EMPTYSET]

9

벤 다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합은

[eqn: (A SMALLINTER C)-B]

ㄱ. [eqn: (A SMALLINTER C) SMALLINTER B ^{C} =(A SMALLINTER C)-B]

ㄴ. [eqn: (A SMALLINTER C)-(A SMALLINTER B SMALLINTER C)]

[eqn: =(A SMALLINTER C) SMALLINTER (A SMALLINTER B SMALLINTER C) ^{C}]

[eqn: =(A SMALLINTER C) SMALLINTER (A ^{C} CUP B ^{C} CUP C ^{C} `)]

[eqn: =(A SMALLINTER C SMALLINTER A ^{C} `) CUP (A SMALLINTER C SMALLINTER B ^{C} `) CUP (A SMALLINTER C SMALLINTER C ^{C} `)]

[eqn: = EMPTYSET CUP (A SMALLINTER C SMALLINTER B ^{C} `) CUP EMPTYSET]

[eqn: =(A SMALLINTER C) SMALLINTER B ^{C`}]

[eqn: =(A SMALLINTER C)-B]

ㄷ. [eqn: (A-B) SMALLINTER (C-B)=(A SMALLINTER B ^{C} `) SMALLINTER (C SMALLINTER B ^{C} `)]

[eqn: =(A SMALLINTER C) SMALLINTER B ^{C}]

[eqn: =(A SMALLINTER C)-B]

따라서 벤 다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

10

[eqn: -2 IN A]이므로 [eqn: a^2 -5a+4=-2]

[eqn: (a-2)(a-3)=0]

[eqn: therefore`a=2] 또는 [eqn: a=3]

(ⅰ) [eqn: a=2]일 때,

[eqn: A=left{-2,~1right},~B=left{-2,~0,~3right]

[eqn: therefore][eqn: A capB =left{-2right]

(ⅱ) [eqn: a=3]일 때,

[eqn: A=left{-2,~1right},~B=left{-3,~1,~8right]

[eqn: therefore][eqn: A capB =left{1right]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a=2]이므로

[eqn: B-A=left{0,~3right]

11

[eqn: A _{k} = LEFT { x`□`x RIGHT .]는 [eqn: k]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: k-1]인 자연수[eqn: "}"]

이므로

[eqn: A _{2} = LEFT { 1,~3,~5,~7,~9,~ CDOTS RIGHT }],

[eqn: A _{3} = LEFT { 2,~5,~8,~11,~14,~ CDOTS RIGHT }],

[eqn: A _{6} = LEFT { 5,~11,~17,~23,~ CDOTS RIGHT }]

따라서 [eqn: A_{ 2}∩A_{ 3}∩A_{ 6}]을 만족시키는 원소 중 최솟값은 [eqn: 5]이다.

12

국어를 선택한 학생의 집합을 [eqn: A], 수학을 선택한 학생의 집합을 [eqn: B]라 하면

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =23], [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =27]

두 과목을 모두 선택한 학생의 집합은

[eqn: A SMALLINTER B]

(ⅰ) [eqn: A SUBSET B]인 경우

[eqn: n(A SMALLINTER B)]는 최대이고

[eqn: n(A SMALLINTER B)`=`n(A)`=23]

(ⅱ) [eqn: n(A CUP B)=40]인 경우

[eqn: n(A SMALLINTER B)]는 최소이고

[eqn: n(A SMALLINTER B)=n(A)+n(B)-n(A CUP B)]

[eqn: =`23+27-40]

[eqn: =10]

따라서 최댓값과 최솟값의 합은

[eqn: 23+10=33]

13

집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수는

[eqn: m=2 ^{4} =16]

집합 [eqn: A]의 진부분집합의 개수는

[eqn: n=2 ^{4} -1=15]

따라서 [eqn: m=16], [eqn: n=15]이므로

[eqn: m+n=31]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: m]의 값 구하기	40 %
	[eqn: n]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: m+n]의 값 구하기	20 %

14

[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)=n LEFT ( (A CUP B) ^{C} RIGHT )]

[eqn: =n(U)-n(A CUP B)]

[eqn: n(A CUP B)][eqn: =n(A)+n(B)-n(A SMALLINTER B)]이므로

[eqn: n(A CUP B)][eqn: =12+17-9]

[eqn: =20]

[eqn: THEREFORE `n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)][eqn: =n(U)-n(A CUP B)]

[eqn: =30-20]

[eqn: =10]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)][eqn: =n(U)-n(A CUP B)] 임을 알기	30 %
	[eqn: n(A CUP B)]의 값 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)]의 값 구하기	40 %

2. 명제 - ①회

중단원 평가 문제

1. ②	2. [eqn: LEFT { 2,~3,~5,~7 RIGHT }]

3. ③          4. ④               5. ③

6. ②	7. ③, ⑤      8. ④

9. [eqn: -1]        10. ④	11. ⑤

12. ④         13. [eqn: 5]                 14. [eqn: 4]

1

② [eqn: x=-1]이면 [eqn: x ^{2} =(-1) ^{2} =1]이지만 [eqn: x != 1]이므로
주어진 명제는 거짓이다.

2

[eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10 RIGHT }]

따라서 조건 [eqn: p]의 진리집합은 [eqn: LEFT { 2,~3,~5,~7 RIGHT }]

3

‘어떤’의 부정은 ‘모든’이므로 주어진 명제의 부정은

‘모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -2 < x le 3]이다.’

4

명제 [eqn: p`` -> ``q]의 대우는 [eqn: SIM q` -> ` SIM p]이므로 주어진 명제의 대우는 ‘[eqn: x != 2]이면 [eqn: x ^{2}≠4]이다.’

5

주어진 명제의 역 [eqn: q` -> ` SIM p]가 참이면 그 대우 [eqn: p` -> ` SIM q]도 참이다.

6

[eqn: sqrt {2}]가 유리수라 가정하면 [eqn: box{~서로소~}]인 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {2} = {n} over {m}] 꼴로 나타낼 수 있다.

이때 양변을 제곱하면 [eqn: 2= {n ^{2}} over {m ^{2}}]이므로 [eqn: n ^{2} =2m ^{2}]이다.

즉, [eqn: box{~n~]은 [eqn: 2]의 배수이므로 [eqn: box{~n~][eqn: =2k]로 놓으면

[eqn: n ^{2} =2m ^{2}]에서 [eqn: box{~m~}][eqn: {} ^{2}][eqn: =2k ^{2}]이다.

따라서 [eqn: box{~m~}]도 [eqn: 2]의 배수가 되어 [eqn: m], [eqn: n]이

[eqn: {BOX{~서로소~}}]라는 가정에 모순이므로 [eqn: sqrt {2}]는 무리수이다.

7

① 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

(반례) [eqn: a=1], [eqn: b=-1]이면 [eqn: a ^{2} =b ^{2} =1]이지만

[eqn: a != b]이다.

② 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

(반례) [eqn: a=1], [eqn: b=-1]이면 [eqn: ab=-1<0]이지만

[eqn: a>0]이고 [eqn: b<0]이다.

③ 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

(반례) [eqn: a=3], [eqn: b=0]이면 [eqn: 3+0>2]이지만

[eqn: 3>1], [eqn: 0<1]이다.

④ 필요충분조건이다.

⑤ 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

(반례) [eqn: a=-2]이면 [eqn: -2<1]이지만

[eqn: (-2)^2 =4>1]이다.

따라서 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ③, ⑤이다.

8

[eqn: q~ RARROW~p]이므로 [eqn: Q subsetP]

① [eqn: P capQ=Q]	② [eqn: P cupQ=P]

③ [eqn: P capQ^C]가 [eqn: EMPTYSET]인지 아닌지 알 수 없다.

⑤ [eqn: P^C -Q=P^C]

9

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q SUBSET P]이다.

[eqn: THEREFORE `a LEQ -1]

따라서 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: -1]이다.

10

[eqn: q~ RARROW ~ SIM p], [eqn: SIM r~ RARROW ~q], [eqn: r~ RARROW ~s]에서

[eqn: SIM r~ -> ~q,~q~ -> ~ SIM p]가 참이므로

[eqn: simr~->~simp] (⑤)도 참이고, 그 대우인

[eqn: p~->~r] (①)도 참이다.

[eqn: p~->~r,~r~->~s]가 참이므로 [eqn: p~->~s] (②)도 참이다.

[eqn: q~->~simp]가 참이므로 그 대우인

[eqn: p~->~simq] (③)도 참이다.

11

[eqn: x>2]이므로 [eqn: x-2>0]

따라서 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: 4x+ {1} over {x-2} =4(x-2)+8+ {1} over {x-2}]

[eqn: GEQ 2 sqrt {4(x-2)`·` {1} over {x-2}} +8][eqn: =4+8][eqn: =12]

[eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, 등호는 [eqn: x= {3} over {2}] 또는 [eqn: x= {5} over {2}]일 때 성립[eqn: pile{`#`} right)]

따라서 [eqn: 4x+ {1} over {x-2}]의 최솟값은 [eqn: 12]이다.

12

[eqn: (a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} )-(ax+by) ^{2}]

[eqn: =(a^2 x^2 +a^2 y^2 +b^2 x^2 +b^2 y^2 )][eqn: -(a^2 x^2 +2abxy+b^2 y^2 )]

[eqn: =a ^{2} y ^{2} -2abxy+b ^{2} x ^{2}][eqn: =(][eqn: box{``ay-bx``][eqn: ) ^{2} GEQ 0]

[eqn: THEREFORE `(a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} ) GEQ (ax+by) ^{2}]

(단, 등호는 [eqn: box{``ay=bx ``]일 때 성립)

13

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 하면 [eqn: P SUBSET Q]이어야 한다.

[eqn: LEFT | x-2 RIGHT | LEQ a]에서 [eqn: -a LEQ x-2 LEQ a]

[eqn: THEREFORE `-a+2 LEQ x LEQ a+2]

[eqn: P SUBSET Q]이어야 하므로

(ⅰ) [eqn: -a+2 LEQ -3]    [eqn: THEREFORE a GEQ 5]

(ⅱ) [eqn: a+2 ge2]    [eqn: THEREFORE a GEQ 0]

따라서 양수 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: `a GEQ 5]이므로 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합 [eqn: P], [eqn: Q] 사이의 포함 관계 알기	30 %
	[eqn: a]의 값의 범위 구하기	50 %
답 구하기	[eqn: a]의 최솟값 구하기	20 %

14

[eqn: x-1 != 0]은 [eqn: x ^{2} -ax+3 != 0]이기 위한 필요조건이므로 명제 ‘[eqn: x ^{2} -ax+3 != 0]이면 [eqn: x-1 != 0]이다.’가 참이다.
따라서 참인 명제의 대우도 참이므로 명제 ‘[eqn: x-1=0]이면 [eqn: x ^{2} -ax+3=0]이다.’도 참이다.

[eqn: x=1]을 [eqn: x ^{2} -ax+3=0]에 대입하면

[eqn: 1-a+3=0]     [eqn: THEREFORE` a=4]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	참인 명제의 대우 구하기	40 %
	[eqn: x=1]을 [eqn: x ^{2} -ax+3=0]에 대입하기	30 %
답 구하기	[eqn: a]의 값 구하기	30 %

2. 명제 - ②회

중단원 평가 문제

1. ③	2. ④          3.  ②

4. ③          5. ⑤	6. ③

7. ㈎ 홀수  ㈏ 홀수  ㈐ 홀수

8. ①          9. ②	10. ①

11. ③	12. ④	13. [eqn: 2]

14. [eqn: 0]

1

ㄱ, ㄹ.  참, 거짓을 명확히 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.

ㄴ, ㅁ. 참인 명제이다.

ㄷ. [eqn: 2]는 소수이지만 홀수가 아니므로 거짓인  명제이다.

따라서 명제인 것의 개수는 ㄴ, ㄷ, ㅁ의 [eqn: 3]이다.

2

조건 ‘[eqn: -1 LEQ x<3]’은 ‘[eqn: x GEQ -1]이고 [eqn: x<3]’와 같다.

따라서 주어진 조건의 부정은

‘[eqn: x< - 1] 또는 [eqn: x GEQ 3]’

3

명제 [eqn: p`` -> ``q]가 거짓인 경우는 집합 [eqn: P]의 원소이지만 집합 [eqn: Q]의 원소가 아닌 것이 존재할 때이다.

따라서 구하는 집합은 [eqn: P SMALLINTER Q ^{C}]이다.

4

명제 [eqn: p`` -> `` SIM q]가 참이면 [eqn: P SUBSET Q ^{C}]이다.

①, ② [eqn: P SMALLINTER Q= EMPTYSET]

④, ⑤ [eqn: P ^{C} CUP Q=P ^{C}]

따라서 옳은 것은 ③이다.

5

명제 [eqn: p`` -> ``q]의 대우는 [eqn: SIM `q`` -> `` SIM p]이므로 주어진 명제의 대우는 ‘어떤 각이 [eqn: 60°]가 아닌 삼각형은 정삼각형이 아니다.’

즉, ‘적어도 한 각이 [eqn: 60°]가 아닌 삼각형은 정삼각형이 아니다.’

6

명제 [eqn: p`` -> ``q], [eqn: q`` -> `` SIM r]가 모두 참이므로 명제 [eqn: p`` -> `` SIM r]가 참이다. 따라서 참인 명제의 대우도 항상 참이므로 [eqn: r`` -> `` SIM p]도 항상 참이다.

7

주어진 명제의 대우 ‘자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n]이 [eqn: box{~홀수~]이면 [eqn: n ^{2}]도 [eqn: box{~홀수~]이다.’가 참임을 증명하면 된다.

[eqn: n=2k+1] ([eqn: k]는 [eqn: 0] 또는 자연수)로 놓으면

[eqn: n ^{2} =(2k+1) ^{2} =4k ^{2} +4k+1]

[eqn: =2(2k ^{2} +2k)+1]

즉, [eqn: n ^{2}]은 [eqn: box{~홀수~]이다.

따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제는 참이다.

8

ㄴ. (반례) [eqn: a=2], [eqn: b=0], [eqn: c=0]이면 [eqn: 2+0+0 != 0]이지만
[eqn: b=0], [eqn: c=0]이다.

ㄷ. (반례) [eqn: a=-2], [eqn: b=-1], [eqn: c=0]이면

[eqn: (-2) ^{2} +(-1) ^{2}+0≠0]이지만 [eqn: c=0]이다.

따라서 필요충분조건인 것은 ㄱ뿐이다.

9

[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건, [eqn: r]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: q`` RARROW ``p], [eqn: r`` RARROW ``q]     [eqn: THEREFORE r`` RARROW ``p]

즉, [eqn: r`` RARROW ``q], [eqn: q`` RARROW ``p], [eqn: r`` RARROW ``p]이므로

[eqn: SIM q`` RARROW `` SIM r], [eqn: SIM p`` RARROW `` SIM q], [eqn: SIM p`` RARROW `` SIM r]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

10

세 사람 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C] 중 [eqn: rm A]는 범행을 하지 않았고, [eqn: rm C]가 범인이면 공범이 있으므로 [eqn: rm B]는 반드시 범인이다.

또, [eqn: rm C]가 범인이 아니면 [eqn: rm B]는 반드시 범인이다.

따라서 [eqn: rm B]는 반드시 범인이다.

11

ㄹ. [eqn: x ^{2} GEQ 0]

ㅁ. [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -xy-yz-zx GEQ 0]

따라서 절대부등식인 것의 개수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 [eqn: 3]이다.

12

직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x``\cm], 세로의 길이를 [eqn: y``\cm]라 하면 원의 지름이 직사각형의 대각선이므로

[eqn: x^2 +y^2 =16]

[eqn: x], [eqn: y]가 실수이므로

[eqn: (x+y)^2 le (1^2 +1^2 )(x^2 +y^2 ) = 2·16 =32]

(단, 등호는 [eqn: x=y]일 때 성립)

[eqn: THEREFORE 0<x+y LEQ 4 sqrt {2}] ([eqn: BECAUSE x+y>0])

직사각형의 둘레의 길이는 [eqn: 2(x+y)``\cm]이므로

[eqn: 0 <2(x+y) le 8root2]

따라서 구하는 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은

[eqn: 8root2 ``\cm]이다.

13

조건 [eqn: p]의 진리집합을 [eqn: P], 조건 [eqn: q]의 진리집합을 [eqn: Q], 조건 [eqn: r]의 진리집합을 [eqn: R]라 하면 [eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 필요조건이고, [eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 충분조건이므로

[eqn: P SUBSET Q], [eqn: R SUBSET P]    [eqn: therefore][eqn: R SUBSET P SUBSET Q]

[eqn: THEREFORE][eqn: a< -1], [eqn: b GEQ 4]

따라서 정수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: -2]이고, 정수 [eqn: b]의 최솟값은 [eqn: 4]이므로 구하는 값은

[eqn: -2+4=2]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	세 조건의 진리집합 사이의 관계 알기	30 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값의 범위 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a]의 최댓값과 [eqn: b]의 최솟값의 합 구하기	30 %

14

[eqn: (a^2 + b^2 ) (x^2 + y^2 ) ge (ax+by)^2]이므로

[eqn: 2 `·` 8 ge (ax+by)^2]

∴[eqn: -4 le ax+by le 4] (단, 등호는 [eqn: ay=bx]일 때 성립)

따라서 [eqn: ax+by]의 최댓값은 [eqn: 4], 최솟값은 [eqn: -4]이므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 4+(-4)=0]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	코시-슈바르츠의 부등식을 이용하여 [eqn: ax+by]의 값의 범위 구하기	40 %
	[eqn: ax+by]의 최댓값과 최솟값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: ax+by]의 최댓값과 최솟값 의 합 구하기	20 %

Ⅱ. 함수

1. 함수 - ①회

중단원 평가 문제

1. ⑴ 함수의 그래프이다.

⑵ 함수의 그래프가 아니다.

2. ④          3. [eqn: -200]       4. ①

5. ①	6. ③	7. ③

8. ①	9. ③	10. ②

11. ②         12. ⑤

13. [eqn: h(x)=2x+10]	14. [eqn: 10]

1

⑴

[eqn: x=k]

[eqn: y]축에 평행한 직선 [eqn: x=k]를 그었을 때, 한 점에서 만나므로 주어진 그래프는 함수의 그래프이다.

⑵

[eqn: x=k]

[eqn: y]축에 평행한 직선 [eqn: x=k``(k<0)]를 그었을 때, 서로 다른 두 점에서 만나므로 주어진 그래프는 함수의 그래프가 아니다.

2

ㄱ. [eqn: f(-1)=1], [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=1]에서 [eqn: 0], [eqn: 1]은 공역의 원소이므로 함수이다.

ㄴ. [eqn: f(-1)=-2], [eqn: f(0)=1], [eqn: f(1)=4]에서 [eqn: 4]는 공역의 원소가 아니므로 함수가 아니다.

ㄷ. [eqn: f(-1)=f(0)=f(1)=1]에서 [eqn: 1]은 공역의 원소이므로 함수이다.

ㄹ. [eqn: f(-1)=1], [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=1]에서 [eqn: 0], [eqn: 1]은 공역의 원소이므로 함수이다.

따라서 함수인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

3

[eqn: sqrt {5}]는 무리수이므로

[eqn: f( sqrt {5} )=2 TIMES LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2}][eqn: =10]

[eqn: 10]은 유리수이므로

[eqn: f(10)=-2 TIMES 10 ^{2}][eqn: =-200]

[eqn: THEREFORE `(f CIRC f)( sqrt {5} )=-200]

4

[eqn: (f CIRC {rmg})(0)=f({rmg}(0))=f(-1)=1]

5

[eqn: (f CIRC {rmg})(x)=f({rmg}(x))]

[eqn: =3{rmg}(x)-1]

[eqn: =3(x ^{2} +1)-1]

[eqn: =3x ^{2} +2]

6

[eqn: (h circ( \g it circf))(2) =(h CIRC rm g CIRC it f`)(2)]

[eqn: =h(rmg(itf(2)))]

[eqn: =h( \g(5))]

[eqn: =h(4)=9]

7

[eqn: (f CIRC f CIRC f)(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: (f CIRC f CIRC f)(1)]의 값과 같다.

[eqn: (f CIRC f CIRC f)(1)=f(f(f(1)))]

[eqn: =f(f(2))]

[eqn: =f(5)=26]

8

[eqn: (f CIRC rmg)( it x )=2(ax-1)+6]

[eqn: =2ax`+4]

[eqn: ( \g CIRC it f)(x)=a(2x+6)-1]

[eqn: =2ax+6a-1]

따라서 [eqn: 6a-1=4]이므로 [eqn: a= 5over6]

9

[eqn: f ` ^{-1} (2)=3]이므로 [eqn: f(3)=2]

[eqn: f(3)=3 TIMES 3-a=2]    [eqn: THEREFORE `a=7]

[eqn: f(x)=3x-7]이므로

[eqn: f(4)=3 TIMES 4-7=5]

10

[eqn: y=ax+b~(a` != `0)]로 놓고 [eqn: x]에 관하여 풀면

[eqn: x= {1} over {a} y- {b} over {a}]

[eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면

[eqn: y= {1} over {a} x- {b} over {a}]

[eqn: f ` ^{-1} (x)= {1} over {a} x- {b} over {a}]가 [eqn: f` ^{-1} (x)=-2x+5]이어야 하므로

[eqn: {1} over {a} =-2], [eqn: - {b} over {a} =5]

따라서 [eqn: a=- {1} over {2}], [eqn: b= {5} over {2}]이므로

[eqn: a+b=2]

11

[eqn: (f CIRC ({rmg} CIRC f) ^{-1} )(2)=(f CIRC f ` ^{-1} CIRC {rmg} ` ^{-1} )(2)]

[eqn: ={rmg}` ^{-1} (2)]

[eqn: {rmg} ^{-1} (2)=t]라 하면

[eqn: {rmg}(t)=2]

[eqn: 2t-1=2]

[eqn: THEREFORE `t= {3} over {2}]

[eqn: THEREFORE `(f CIRC ({rmg}CIRC f) ^{-1} )(2)= {3} over {2}]

12

[eqn: (f circf)^-1 (c)= (f`^-1 circ f`^-1 )(c)]

[eqn: = f`^-1 (f`^-1 (c))]    [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: f`^-1 (c) =k] ([eqn: k]는 상수)라 하면 [eqn: f(k)=c]

[eqn: f(d) =c]이므로 [eqn: k=d]    [eqn: thereforef`^-1 (c)=d]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: (f circ f)^-1 (c) =f`^-1 (d)]            [eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: f`^-1 (d) =p] ([eqn: p]는 상수)라 하면 [eqn: f(p)=d]

[eqn: f(e)=d]이므로 [eqn: p=e]    [eqn: therefore f`^-1 (d)=e]

이를 ㉡에 대입하면

[eqn: (f circ f)^-1 (c) =e]

13

[eqn: (h circ \g)( itx)=f(x)]에서

[eqn: h( \g( it x))=f(x)]

[eqn: therefore h(x-3) =2x+4]    [eqn: cdotscdots]㉠

이때 [eqn: x-3 =t]로 놓으면 [eqn: x=t+3]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: h(t)= 2(t+3)+4 =2t+10]

[eqn: therefore h(x)=2x+10]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: h( \g(itx))] 구하기	40 %
	[eqn: \g( it x)=t]로 치환하기	30 %
답 구하기	[eqn: h(x)] 구하기	30 %

14

함수 [eqn: f]의 역함수가 존재하면 [eqn: f]는 일대일 대응이다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 기울기가 양수이므로

[eqn: f(2)=a], [eqn: f(6)=b]

이때 [eqn: f(2)=2 TIMES 2-3=1], [eqn: f(6)=2 TIMES 6-3=9]

이므로 [eqn: a=1], [eqn: b=9]

[eqn: THEREFORE a+b=10]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	함수 [eqn: f]의 역함수가 존재할 조건 알기	40 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	20 %

1. 함수 - ②회

중단원 평가 문제

1. 풀이 참조   2. ①

3. ⑴ [eqn: 1]  ⑵ [eqn: 3]

4. ⑴ [eqn: (f CIRC rm g) it (x)=-2x ^{2} +6]

⑵ [eqn: ( rm g it CIRC f)(x)=-2x ^{2} -20x-49]

5. ③          6. [eqn: 5x+2]      7. [eqn: 2]

8. ⑤          9. [eqn: -6]            10. ①

11. ②         12. ①         13. [eqn: 35]

14. [eqn: 4]

1

⑴ 집합 [eqn: X]의 원소 [eqn: 4]에 대응되는 집합 [eqn: Y]의 원소가 없으므로 함수가 아니다.

⑵ 집합 [eqn: X]의 각 원소에 집합 [eqn: Y]의 원소가 오직 하나씩 대응되므로 함수이다.

2

주어진 각 그래프 위에 [eqn: x]축에 평행한 직선 [eqn: y=k] ([eqn: k]는 실수)를 그어 교점이 [eqn: 1]개인 것을 찾는다.

ㄱ, ㄴ. 주어진 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점이 [eqn: 1]개이고, 치역과 공역이 같으므로 일대일 대응이다.

ㄷ, ㄹ. 주어진 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점이 [eqn: 1]개가 아닌 경우가 존재하므로 일대일 대응이 아니다.

ㅁ. 주어진 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점이 [eqn: 1]개이지만 치역과 공역이 같지 않으므로 일대일 대응이 아니다.

따라서 일대일 대응인 것은 ㄱ, ㄴ이다.

3

⑴ [eqn: f(2)=-2 TIMES 2+5][eqn: =1]

⑵ [eqn: (f CIRC f)(2)=f(f(2))][eqn: =f(1)][eqn: =-2 TIMES 1+5][eqn: =3]

4

⑴ [eqn: (f CIRC rm g it )(x)=f(rmg(itx))][eqn: =f(-2x ^{2} +1)][eqn: =-2x ^{2} +6]

⑵ [eqn: ( rm g it CIRC f)(x)=rmg(itf(x))][eqn: = rm g(itx+5)]

[eqn: =-2(x+5) ^{2} +1][eqn: =-2x ^{2} -20x-49]

5

[eqn: ({rmg} CIRC h)(x)=f(x)]에서 [eqn: {rmg}(h(x))=f(x)]

[eqn: f(x)=x+7], [eqn: rm g it (x)=2x-3]이므로

[eqn: `2h(x)-3=x+7]    [eqn: therefore][eqn: `h(x)= {1} over {2} x+5]

[eqn: therefore][eqn: h(4)= {1} over {2} TIMES 4+5=7]

6

[eqn: {x-1} over {2} =t]로 놓으면

[eqn: x-1=2t]     [eqn: THEREFORE `x=2t+1]

[eqn: f(t)=3(2t+1)+2=6t+5]이므로

[eqn: f LEFT ( {5x-3} over {6} RIGHT ) =6 LEFT ( {5x-3} over {6} RIGHT ) +5][eqn: =5x+2]

7

[eqn: f(1)], [eqn: f ` ^{2} (1)], [eqn: f ` ^{3} (1)], [eqn: f `^{4} (1)], [eqn: CDOTS]을 차례대로 구하면

[eqn: f(1)=3]

[eqn: f ` ^{2} (1)=(f CIRC f)(1)][eqn: =f(f(1))=f(3)=2]

[eqn: f ` ^{3} (1)=(f CIRC f ` ^{2} )(1)=f(f ` ^{2} (1))][eqn: =f(2)=4]

[eqn: f ` ^{4} (1)=(f CIRC f` ^{3} )(1)=f(f `^{3} (1))][eqn: =f(4)=3]

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: f ^{`n} (1)]의 값은 [eqn: 3,~2,~4]가 이 순서대로 반복된다.

이때 [eqn: 200=3 TIMES 66+2]이므로 [eqn: f ` ^{200} (1)=f ` ^{2} (1)=2]

8

[eqn: (f CIRC f)(2)=f(f(2))=f(2)=2]

[eqn: f ^{-1} (-3)=a] ([eqn: a]는 상수)라 하면 [eqn: f(a)=-3]이므로

[eqn: -a^2 +2a=-3], [eqn: a^2 -2a -3=0]

[eqn: (a+1)(a-3)=0]    ∴[eqn: a=-1] (∵[eqn: a<1])

∴[eqn: (f CIRC f)(2)+f ^{-1} (-3)=2+(-1)=1]

9

[eqn: f ^{-1} (2)=5]에서 [eqn: f(5)=2]

[eqn: THEREFORE 5a+b=2]             [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: (f CIRC f)(5)=f(f(5))][eqn: =f(2)][eqn: =-4]

[eqn: THEREFORE 2a+b=-4]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=2], [eqn: b=-8]

[eqn: THEREFORE a+b=2+(-8)=-6]

10

[eqn: y=ax+3]으로 놓고 [eqn: x]에 관하여 정리하면

[eqn: x= {1} over {a} y- {3} over {a}]

[eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면 [eqn: y= {1} over {a} x- {3} over {a}]

따라서 역함수 [eqn: f ` ^{-1}]는 [eqn: f ` ^{-1} (x)= {1} over {a} x- {3} over {a}]

[eqn: {rmg}(x)=f ` ^{-1} (x)]이므로 [eqn: bx+1= {1} over {a} x- {3} over {a}]

[eqn: THEREFORE `a=-3], [eqn: b=- 1over3]

[eqn: thereforea-3b= -3 +1 =-2]

11

[eqn: (f CIRC ( rm g it rm ^{-1} CIRC it f`) ^{-1} CIRC f)(k)][eqn: =(f CIRC f it rm ^{`-1} CIRC it rm g` CIRC it f)(k)]

[eqn: =( rm g CIRC it f)(k)]

[eqn: = rm g( it f(k))][eqn: =3]

이때 [eqn: f(x)=x+2], [eqn: rm g it (x)=2x－1]이므로

[eqn: rm g( it f(k))=] [eqn: rm g(itk+2)=3], [eqn: 2(k+2)-1=3]

[eqn: 2k+3=3]    [eqn: THEREFORE k=0]

12

[eqn: {rmg} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =t]라 하면 [eqn: `f(t)= {1} over {2}]    [eqn: THEREFORE t=b]

[eqn: {rmg}(b)=k`]라 하면 [eqn: f(k)=b]    [eqn: THEREFORE k=a]

[eqn: THEREFORE `( rm g it CIRC rm g it ) LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = rm g it LEFT ( rm g it LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) RIGHT )][eqn: = rm g it (b)][eqn: =a]

13

[eqn: h(x) = (f circ \g)it (x) =f( \g it(x)) = f(rootx )]이므로

[eqn: h(x)= {cases{~ sqrt {x}&~ LEFT ( sqrt {x} 는~"유리수" RIGHT )#~~1 ^{` ^{` ^{`}}}&~ LEFT ( sqrt {x} 는~"무리수" RIGHT ) ^{` ^{` ^{`}}}}}]

따라서 [eqn: 1 le x le25]를 만족시키는 자연수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: rootx]가 유리수인 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 9], [eqn: 16], [eqn: 25]이고, [eqn: rootx]가 무리수인 [eqn: x]의 값은 이들을 제외한 [eqn: x]의 값이므로

[eqn: therefore h(1) +h(2)+h(3)+ cdots +h(25)]

[eqn: = root1 +root4 +root9 +root16 +root25 +1 times20]

[eqn: = 1+2+3+4+5+20 =35]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: h(x)] 구하기	40 %
	[eqn: 1 le x le25]에서 [eqn: rootx]가 유 리수인 [eqn: x]의 값과 무리수인 [eqn: x]의 값 찾기	30 %
답 구하기	[eqn: h(1)+h(2)+cdots+h(25)]의 값 구하기	30 %

14

함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 두 함수의 그래프의 교점의 좌표는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]의 교점의 좌표와 같다. 즉, [eqn: - {1} over {2} x+3=x]    [eqn: THEREFORE x=2]

따라서 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~2 RIGHT )]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=2]

[eqn: THEREFORE `a+b=4]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	교점의 좌표 구하기	40 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	20 %

2. 유리함수와 무리함수 - ①회

중단원 평가 문제

1. ③          2. ②          3. [eqn: 10]

4. ②	5. ②	6. [eqn: -2]	7. ④	8. [eqn: 3]	9. ④

10. ④	11. ②         12. ④

13. [eqn: 2]              14. [eqn: -6]

1

ㄷ. [eqn: y= {1} over {x-3} +2]에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 0= {1} over {x-3} +2]    [eqn: THEREFORE `x= {5} over {2}]

즉, [eqn: x]축과의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {5} over {2} ,~0 RIGHT )]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

2

② [eqn: y= {2x} over {x-1} = {2(x-1)+2} over {x-1} = {2} over {x-1} +2]

3

[eqn: y= {3} over {x+2-p} +1+q]                                [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: y= {3x-6} over {x-3}][eqn: = {3(x-3)+3} over {x-3}][eqn: = {3} over {x-3} +3]  [eqn: cdotscdots]㉡

㉠과 ㉡이 같으므로 [eqn: p=5], [eqn: q=2]    [eqn: THEREFORE pq=10]

4

[eqn: y= {-x+4} over {x-3}][eqn: = {-(x-3)+1} over {x-3}][eqn: = {1} over {x-3} -1]

즉, [eqn: -1 LEQ x LEQ 2]에서 [eqn: -4 LEQ x-3 LEQ -1]

[eqn: -1 LEQ {1} over {x-3} LEQ - {1} over {4}], [eqn: -2 LEQ {1} over {x-3} -1 LEQ - {5} over {4}]

따라서 이 함수의 치역은 [eqn: LEFT { y` LEFT | `-2 LEQ y LEQ - {5} over {4} RIGHT . RIGHT }]

5

[eqn: y= {2x+3} over {x+4}][eqn: = {2(x+4)-5} over {x+4}][eqn: = {-5} over {x+4} +2]

이므로 주어진 함수의 그래프는 점 [eqn: (-4,~2)]에 대하여 대칭이고, 점 [eqn: (-4,~2)]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선에 대하여 대칭이다. 이때 이 직선의 방정식은

[eqn: y-2=x+4]    [eqn: THEREFORE `y=x+6]

따라서 [eqn: p=-4], [eqn: q=2], [eqn: r=6]이므로 [eqn: `p+q+r=4]

6

[eqn: f` ^{-1} (x)= {-bx+a} over {x-2}]이고, [eqn: f ^{-1} =rmg]이므로

[eqn: {-bx+a} over {x-2} = {-x-1} over {x+c}]

[eqn: THEREFORE a=-1], [eqn: b=1], [eqn: c=-2]

[eqn: THEREFORE a+b+c=-2]

7

ㄱ. [eqn: a>0]일 때, 정의역은 [eqn: LEFT { x`|`x GEQ 0 RIGHT }]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

8

[eqn: y= sqrt {x+1 } －3]의 그래프는 [eqn: y= sqrt {x _{`}}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: p=-1], [eqn: q=-3]

[eqn: THEREFORE `pq=3]

9

[eqn: y= sqrt {x+1} -2]의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면을 지난다.

10

주어진 그래프로부터 [eqn: a<0], [eqn: b<0], [eqn: c>0]

[eqn: y= sqrt {ax+b} +c= sqrt {a LEFT ( x+ {b} over {a} RIGHT )} +c]에서

[eqn: a<0], [eqn: ` {b} over {a} >0], [eqn: c>0]

따라서 함수 [eqn: y= sqrt {ax+b} +c]의 그래프는 함수

[eqn: y= sqrt {ax}]의 그래프를 [eqn: x]축의 음의 방향으로 [eqn: {b} over {a}]만큼,

[eqn: y]축의 양의 방향으로 [eqn: c]만큼 평행이동한 그래프이므로 ④와 같다.

11

[eqn: y= sqrt {x} -1]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]의 위치 관계는 오른쪽 그림과 같다.

(ⅰ) 함수 [eqn: y= sqrt {x} -1]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]가 접할 때, [eqn: x+k= sqrt {x} -1]에서

[eqn: x ^{2} +(2k+1)x+(k+1) ^{2} =0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=(2k+1) ^{2} -4(k+1) ^{2} =0]에서

[eqn: -4k-3=0]    [eqn: THEREFORE `k=- {3} over {4}]

(ⅱ) 접하지 않고 교점이 [eqn: 1]개일 때, [eqn: y=x+k]에서

[eqn: k]는 [eqn: y]절편을 의미하므로 [eqn: k< -1]

따라서 함수 [eqn: y= sqrt {x} -1]의 그래프와 직선

[eqn: y=x+k]가 한 점에서 만나려면

[eqn: k=- {3} over {4}] 또는 [eqn: k< -1]

따라서 [eqn: k]의 값이 될 수 없는 것은 ② [eqn: -1]이다.

12

[eqn: ({rmg} CIRC f) ^{-1} =f ` ^{-1} CIRC {rmg}` ^{-1}]이므로

[eqn: (f CIRC ({rmg} CIRC f) ^{-1} )(2)=(f CIRC (f ` ^{-1} CIRC {rmg}` ^{-1} ))(2)]

[eqn: ={rmg} ` ^{-1} (2)]

[eqn: {rmg}` ^{-1} (2)=t]라 하면 [eqn: {rmg}(t)=2]

즉, [eqn: {rmg}(t)= sqrt {2t+1} =2]이므로

[eqn: 2t+1=4]    [eqn: THEREFORE `t= {3} over {2}]

[eqn: THEREFORE `(f CIRC ( rm g it CIRC f) ^{-1} )(2)= rm g it ` ^{-1} (2)= {3} over {2}]

13

점 [eqn: (1,~-3)]이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y= f ^{-1} it (x)]의 그래프 위에 있으므로

[eqn: f(1)=-3], [eqn: f` ^{-1} (1)=-3`]

따라서 [eqn: f(1)=-3], [eqn: f(-3)=1]이므로

[eqn: f(1)= {a-1} over {b+1} =-3]    [eqn: THEREFORE `a+3b=-2]                 [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: f(-3)= {-3a-1} over {-3b+1} =1]    [eqn: THEREFORE `3a-3b=-2]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-1], [eqn: b=- {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE `a-9b=-1-9 `·` LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) =2]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: a], [eqn: b] 사이의 관계식 구하기	40 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a-9b]의 값 구하기	20 %

14

주어진 함수의 그래프는 [eqn: y= sqrt {ax}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 것이므로 함수의 식을

[eqn: y= sqrt {a(x-3)} -2]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

로 놓으면 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 5,~0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 0= sqrt {a(5-3)} -2], [eqn: 2a=4]

[eqn: THEREFORE `a=2]

이때 [eqn: y= sqrt {2(x-3)} -2= sqrt {2x-6} -2]이므로

[eqn: b=-6], [eqn: c=-2]

따라서 [eqn: `a=2], [eqn: b=-6], [eqn: c=-2]이므로

[eqn: a+b+c=-6]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	평행이동한 식을 이용하여 [eqn: a]의 값 구하기	40 %
	[eqn: b], [eqn: c]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a+b+c]의 값 구하기	20 %

2. 유리함수와 무리함수 - ②회

중단원 평가 문제

1. ⑤          2. [eqn: -1]         3. [eqn: 4]

4. ③	5. ②	6. [eqn: 5]

7. ③	8. [eqn: -3]	9. [eqn: 14]

10. ④	11. ①         12. ②

13. [eqn: -1]            14. [eqn: 1 LEQ k< {5} over {4}]

1

⑤ [eqn: |`` k ``|]의 값이 클수록 그래프는 원점으로부터 멀어진다.

2

[eqn: y= {c} over {x+a} +b]의 그래프의 점근선의 방정식이

[eqn: x=-2], [eqn: y=3]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=3]

이때 [eqn: y= {c} over {x+2} +3]의 그래프가 원점 [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 0= {c} over {2} +3]    [eqn: THEREFORE `c=-6]

[eqn: THEREFORE `a+b+c=-1]

3

[eqn: y= {ax+4} over {x+3} = {a(x+3)-3a+4} over {x+3}][eqn: = {-3a+4} over {x+3} +a]

따라서 점근선의 방정식은

[eqn: x=-3], [eqn: y=a]

이때 주어진 함수의 그래프는 점근선의 교점에 대하여 대칭이므로 [eqn: a=7], [eqn: b=-3]    [eqn: THEREFORE `a+b=4]

4

점근선의 방정식은 [eqn: x=-b], [eqn: y=a]이므로

[eqn: a=1], [eqn: b=2]

∴[eqn: a+b=3]

5

이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c]의 그래프가 아래로 볼록하므로 [eqn: a>0]

축이 [eqn: y]축의 오른쪽에 있으므로 [eqn: - {b} over {2a} >0]    [eqn: therefore][eqn: b<0]

[eqn: y]절편이 양수이므로 [eqn: c>0]

[eqn: y= {ax-b} over {x-c} = {ac-b} over {x-c} +a]에서 주어진 함수의 그래프는
[eqn: y= {ac-b} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: c]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동한 것이다.

이때 [eqn: a>0], [eqn: b<0], [eqn: c>0]이므로 [eqn: ac-b>0]

즉, 유리함수 [eqn: y= {ax-b} over {x-c}]의 그래프의 개형은 ②이다.

6

[eqn: f`(x`)= {x+1} over {x-1}]에서

[eqn: f `^{2} (x)=(f CIRC f)(x)=f(f(x))]

[eqn: = {{x+1} over {x-1} +1} over {{x+1} over {x-1} -1}][eqn: = {{2x} over {x-1}} over {{2} over {x-1}}][eqn: =x]

따라서 함수 [eqn: f` ^{2} (x)=f` ^{4} (x)=f` ^{6} (x)= CDOTS =f` ^{2n} (x)]

([eqn: n]은 자연수)는 항등함수이므로

[eqn: f ` ^{200} (x)][eqn: =f` ^{2} (x)][eqn: =x]    ∴[eqn: f ` ^{200} (5)=5]

7

③ 치역은 [eqn: LEFT { y``|``y GEQ 4 RIGHT }]이다.

8

[eqn: y=- sqrt {ax}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동하면 [eqn: y=- sqrt {a(x-1)} +5]

이 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: y= sqrt {a(x-1)} -5]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b=-1], [eqn: c=-5]이므로 [eqn: a+b+c=-3]

9

주어진 함수의 그래프는 [eqn: y= sqrt {3x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {2} over {3}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -5]만큼 평행이동한 것이다. 따라서 함수 [eqn: y= sqrt {3x-2} -5]의 그래프를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

정의역이 [eqn: 2 LEQ x LEQ a]이므로 주어진 무리함수는

(ⅰ) [eqn: x=2]일 때 최솟값 [eqn: m]을 갖는다.

[eqn: m= sqrt {3`·`2-2} -5][eqn: =2-5][eqn: =-3]

(ⅱ) [eqn: x=a]일 때 최댓값 [eqn: 2]를 갖는다.

[eqn: sqrt {3a-2} -5=2]에서 [eqn: 3a-2=49]

[eqn: 3a=51]    [eqn: THEREFORE `a=17]

따라서 [eqn: a=17], [eqn: m=-3]이므로 [eqn: a+m=14]

10

주어진 함수의 그래프는 [eqn: y=- rootax] ([eqn: a<0])의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동한 것이므로 함수의 식을 [eqn: y=-root{a(x-p)}+q]로 놓으면 이 함수가 [eqn: y=- root{a(x+b)}+c]와 같다.

즉, [eqn: b=-p], [eqn: c=q]

이때 주어진 함수의 그래프에서 [eqn: p<0], [eqn: q<0]이므로

[eqn: a<0], [eqn: b>0], [eqn: c<0]

11

[eqn: f(1)= sqrt {a+b} =2]이므로 [eqn: a+b=4]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: f `^{-1} (1)=2]이므로 [eqn: f(2)=1]

[eqn: sqrt {2a+b} =1]    [eqn: THEREFORE `2a+b=1]              [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-3], [eqn: b=7]

[eqn: THEREFORE a-b=-10]

12

무리함수 [eqn: y=sqrt{2x+a}]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 서로   다른 두 점에서 만나야 하므로 [eqn: sqrt {2x+a} =x]에서

[eqn: 2x+a=x^2]    [eqn: therefore][eqn: x^2 - 2x -a=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over4 =1+a>0]    ∴ [eqn: a>-1]

이때 [eqn: a le 0]이므로 [eqn: -1 < a le 0]

13

[eqn: y= {ax-4} over {x+1}]로 놓고 [eqn: x]에 관하여 풀면

[eqn: x= {-y-4} over {y-a}]

[eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면 [eqn: y= {-x-4} over {x-a}]

즉, [eqn: f ^{`-1} (x)= {-x-4} over {x-a}]

이때 [eqn: f(x)=f ^{`-1} (x)]이므로

[eqn: {ax-4} over {x+1} = {-x-4} over {x-a}]    ∴[eqn: a=-1]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: y= {ax-4} over {x+1}]로 놓고 [eqn: x]에 관하여 풀기	30 %
	[eqn: f ^{`-1} (x)] 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a]의 값 구하기	30 %

14

[eqn: n(A SMALLINTER B)=2]이므로 함수 [eqn: y= sqrt {x+1}]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]는 두 점에서 만난다.

함수 [eqn: y= sqrt {x+1}]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 것이므로 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

(ⅰ) 직선이 점 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )]을 지날 때,

[eqn: 0=-1+k]    [eqn: THEREFORE k=1]

(ⅱ) 직선이 무리함수의 그래프에 접할 때,

[eqn: sqrt {x+1} =x+k]에서

[eqn: x ^{2} +(2k-1)x+k ^{2} -1=0] [eqn: (x GEQ -1)]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=(2k-1) ^{2} -4(k ^{2} -1)=0]    [eqn: THEREFORE `k= {5} over {4}]

(ⅰ), (ⅱ)에서  [eqn: 1 LEQ k< {5} over {4}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	직선이 점 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: k]의 값 구하기	40 %
	직선이 무리함수의 그래프와 접할 때, [eqn: k]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: k]의 값의 범위 구하기	20 %

Ⅲ. 수열

1. ⑤	2. ⑤          3. [eqn: 4]

4. ③          5. ①	6. ②

7. ④	8. ⑤	9. ①

10. ②	11. [eqn: 2]          12. [eqn: 5000]명

13. ③         14. ③         15. ②

16. ②         17. ④         18. [eqn: 20]

19. [eqn: 2]         20. [eqn: {100} over {101}]

1. 수열 - ①회

중단원 평가 문제

1

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} =2]이므로 [eqn: a+d=2]    [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: a _{1} +a _{5} =14]이므로 [eqn: a+a+4d=14]

즉, [eqn: a+2d=7]                  [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-3], [eqn: d=5]

[eqn: THEREFORE a _{9} =-3+8 `·` 5=37]

2

첫째항이 [eqn: -2], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열의 일반항 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n} =-2+(n-1)`·`3=3n-5]

제[eqn: k]항이 [eqn: 103]이라 하면

[eqn: 3k-5=103], [eqn: 3k=108]

[eqn: THEREFORE ``k=36]

따라서 [eqn: 103]은 제[eqn: 36]항이다.

3

등차수열 [eqn: 2], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}], [eqn: a _{5}], [eqn: 26]의 공차를 [eqn: d]라 하면 첫째항이 [eqn: 2], 제[eqn: 7]항이 [eqn: 26]이므로

[eqn: 2+6d=26], [eqn: 6d=24]

∴[eqn: d=4]

따라서 공차는 [eqn: 4]이다.

4

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+2a^2]을 [eqn: x-1], [eqn: x+2], [eqn: x+3]으로 나누었을 때의 나머지는 각각 다음과 같다.

[eqn: f(1) = 1+a+2a^2]

[eqn: f(-2)= 4 -2a+ 2a^2]

[eqn: f(-3) = 9 -3a+2a^2]

[eqn: f(1)], [eqn: f(-2)], [eqn: f(-3)]은 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2(4-2a+2a ^{2} )= (1+a+2a ^{2}) +(9 -3a+2a^2 )]

[eqn: 2a=-2]    ∴ [eqn: a=-1]

5

삼차방정식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} -x+k=0]의 세 근이 등차수열을 이루므로 세 근을 [eqn: alpha -d], [eqn: alpha], [eqn: alpha +d]라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: LEFT ( alpha -d` RIGHT ) + alpha + LEFT ( alpha +d `RIGHT ) =3], [eqn: 3 alpha =3]

[eqn: THEREFORE `` alpha =1]

[eqn: LEFT ( 1-d` RIGHT ) `·`1+1`·` LEFT ( 1+d` RIGHT ) + LEFT ( 1-d `RIGHT ) LEFT ( 1+d `RIGHT ) =-1]

[eqn: d ^{2} =4]    [eqn: THEREFORE ``d=±2]

따라서 세 근은 [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: 3]이므로

[eqn: -k= LEFT ( -1 RIGHT ) `·`1 `·` 3=-3]

[eqn: THEREFORE ``k=3]

6

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} =a+d=4]            [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{5} =a+4d=1]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=5], [eqn: d=-1]

∴ [eqn: S _{10} = {10`` LEFT { 2`·`5+9`·`(-1) RIGHT }} over {2} =5]

7

공차를 [eqn: d]라 하면 첫째항이 [eqn: 9], [eqn: S _{10} =0]이므로

[eqn: {10 LEFT ( 2`·`9+9d RIGHT )} over {2} =0], [eqn: 9d=-18]

[eqn: THEREFORE ``d=-2]

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]은

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 2`·`9+ LEFT ( n-1 RIGHT ) `·` LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT }} over {2}]

[eqn: =-n ^{2} +10n]

[eqn: =- LEFT ( n-5 RIGHT ) ^{2} +25]

따라서 [eqn: n=5]일 때 최댓값 [eqn: 25]를 갖는다.

8

첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{3} =ar ^{2} =3]        [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{6} =ar ^{5} =192]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡[eqn: ÷]㉠을 하면 [eqn: r ^{3} =64]    [eqn: THEREFORE r=4]

[eqn: r=4]를 ㉠에 대입하면 [eqn: 16a =3]    [eqn: therefore][eqn: a= {3} over {16}]

[eqn: THEREFORE a _{8} =ar ^{7} = {3} over {16} `·` 4 ^{7} =3 `·` 4 ^{5}]

9

두 실수를 [eqn: a,~b]라 하면 [eqn: -3,~a,~b,~24]가 등비수열을 이루므로 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: -3 timesr^3 =24], [eqn: r^3 =-8]

[eqn: therefore`r=-2]

따라서 [eqn: a=6,~b=-12]이므로

[eqn: a+b=-6]

10

[eqn: {a(3 ^{6} -1)} over {3-1} =728], [eqn: 728a=1456]

∴ [eqn: a=2]

11

공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} + CDOTS +a _{2k-1} =1+r ^{2} +r ^{4} + CDOTS +r ^{2k-2}]

[eqn: = {LEFT { LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{k} -1 RIGHT }} over {r ^{2} -1}]

[eqn: = {r ^{2k} -1} over {r ^{2} -1} =5]       [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} + CDOTS +a _{2k} =r+r ^{3} +r ^{5} + CDOTS +r ^{2k-1}]

[eqn: = {r LEFT { LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{k} -1 RIGHT }} over {r ^{2} -1}]

[eqn: = {r LEFT ( r ^{2k} -1 RIGHT )} over {r ^{2} -1} =10]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡[eqn: ÷]㉠을 하면 [eqn: r= {10} over {5} =2]

[eqn: r=2]를 ㉠에 대입하면 [eqn: {4 ^{k} -1} over {4-1} =5], [eqn: 4 ^{k} =16]

[eqn: THEREFORE ``k=2]

12

[eqn: rmA] 도시의 현재 인구를 [eqn: a], 인구 증가율을 [eqn: r]라 하면

[eqn: 10]년 후의 인구는 [eqn: 1]만 명이므로

[eqn: a LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{10} =10 ^{4}]                     [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: 20]년 후의 인구는 [eqn: 2]만 명이므로

[eqn: a LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{20} =2`·`10 ^{4}]                 [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡[eqn: ÷]㉠을 하면 [eqn: LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{10} =2`]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: 2a=10 ^{4}]    [eqn: THEREFORE ``a=5000]

따라서 [eqn: rmA] 도시의 현재 인구는 [eqn: 5000]명이다.

13

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k}]는 첫째항이 [eqn: 5], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k}][eqn: = {5(2 ^{6} -1)} over {2-1}][eqn: =315]

14

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 등차수열이므로 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }]도 등차수열이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }]의 첫째항은 [eqn: a _{1} +b _{1} =6]이고, 제[eqn: 10]항은 [eqn: a _{10} +b _{10} =12]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} b _{k} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]

[eqn: = {10 LEFT ( 6+12 RIGHT )} over {2}]

[eqn: =90]

15

[eqn: sum _{k=1} ^{5} k(k+1)(k+2)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( k ^{3} +3k ^{2} +2k RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{5} k ^{3} +3 sum _{k=1} ^{5} k ^{2} +2 sum _{k=1} ^{5} k]

[eqn: = LEFT ( {5`·`6} over {2} RIGHT ) ^{2} +3`·` {5`·`6`·`11} over {6}][eqn: +2`·` {5`·`6} over {2}]

[eqn: =225+165+30]

[eqn: =420]

16

일반항이 [eqn: a _{n} =n ^{2} +n]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} +k)= sum _{k=1} ^{10} k ^{2} + sum _{k=1} ^{10} k]

[eqn: = {10`·`11`·`21} over {6} + {10`·`11} over {2}]

[eqn: =385+55]

[eqn: =440]

17

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2 ^{}} -n=S _{n}]이라 하면 [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]이므로

[eqn: a _{n} =n ^{2} -n- LEFT { LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =2n-2~ LEFT ( n=2,~3,~4,~ CDOTS RIGHT )]

이때 [eqn: a _{1} =S _{1} =0]이므로 [eqn: n=1]일 때에도 성립한다.

따라서 [eqn: a _{2n} =2`·`2n-2=4n-2]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{2n} a _{2k} = sum _{k=1} ^{2n} (4k-2)]

[eqn: =4`·` {2n LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {2} -2`·`2n]

[eqn: =8n ^{2} +4n-4n]

[eqn: =8n ^{2}]

18

세 수 [eqn: -3], [eqn: a], [eqn: 7]이 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: a= {-3+7} over {2} =2]

또, 세 수 [eqn: a], [eqn: 6], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: ab = 6^2 = 36]에서 [eqn: b=18]

∴[eqn: a+b=20]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	등차중항을 이용하여 [eqn: a]의 값 구하기	40 %
	등비중항을 이용하여 [eqn: b]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	20 %

19

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} =16]에서

[eqn: a _{1} +a _{1} r ^{2} +a _{1} r ^{4} =16]             [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} =32]에서

[eqn: a _{1} r+a _{1} r ^{3} +a _{1} r ^{5} =32]

∴ [eqn: r(a _{1} +a _{1} r ^{2} +a _{1} r ^{4} )=32]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 [eqn: r=2]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	공비를 [eqn: r]로 놓고 식 세우기	70 %
답 구하기	공비 구하기	30 %

20

[eqn: {1} over {1 `·` 2} + {1} over {2 `·` 3} + {1} over {3`·`4} + CDOTS + {1} over {100 `·` 101}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{100} {1} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )} = sum _{k=1} ^{100} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {100} - {1} over {101} RIGHT )]

[eqn: =1- {1} over {101}]

[eqn: = {100} over {101}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	주어진 식을 [eqn: sum _{} ^{}]를 이용하여 나타내기	30 %
	[eqn: {1} over {AB} = {1} over {B-A} LEFT ( {1} over {A} - {1} over {B} RIGHT )]임을 이용하여 식 간단히 하기	40 %
답 구하기	주어진 식의 값 구하기	30 %

1. ③	2. ④          3. [eqn: 19]

4. ②          5. ①	6. [eqn: 25]

7. ③	8. ②	9. ②

10. ④	11. [eqn: 1093]       12. ⑤

13. [eqn: 1030]만 원                14. ⑤

15. ③              16. ⑤              17. ①

18. [eqn: 190]         19. [eqn: 4]               20. [eqn: 4]

1. 수열 - ②회

중단원 평가 문제

1

주어진 수열의 일반항 [eqn: a _{n}]은 [eqn: a _{n} =n ^{3}]
따라서 제[eqn: 8]항은 [eqn: a _{8} =8 ^{3} =512]

2

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 등차수열이면 [eqn: a _{n}]은 [eqn: n]에 대한 일차 이하의 다항식이다.

ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { 2 RIGHT }]는 공차가 [eqn: 0]인 등차수열이다.

ㄴ. [eqn: 2n]은 [eqn: n]에 대한 일차식이므로 수열 [eqn: LEFT { 2n RIGHT }]은 등차수열이다.

ㄷ. [eqn: 2n ^{2}]은 [eqn: n]에 대한 일차식이 아니므로 수열 [eqn: LEFT { 2n ^{2} RIGHT }]은 등차수열이 아니다.

ㄹ. [eqn: 4n-3]은 [eqn: n]에 대한 일차식이므로 수열 [eqn: LEFT { 4n-3 RIGHT }]은 등차수열이다.

ㅁ. [eqn: 1-n]은 [eqn: n]에 대한 일차식이므로 수열 [eqn: LEFT { 1-n RIGHT }]은 등차수열이다.

ㅂ. [eqn: 3 ^{n+1}]은 [eqn: n]에 대한 일차식이 아니므로 수열 [eqn: LEFT { 3 ^{n+1} RIGHT }]은 등차수열이 아니다.

따라서 등차수열인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ의 [eqn: 4]개이다.

3

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} +a _{5} =12]에서 [eqn: (a+d)+(a+4d)=12]

∴[eqn: 2a+5d=12]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{3} +a _{7} =18]에서 [eqn: (a+2d)+(a+6d)=18]

∴[eqn: 2a+8d=18]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=1], [eqn: d=2]

∴[eqn: a _{10} =1+9`·`2=19]

4

첫째항이 [eqn: - {4} over {3}]이고, 공차가 [eqn: {1} over {6}]이므로 일반항 [eqn: a _{n}]은
[eqn: a _{n} = LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT ) `·` {1} over {6} = {1} over {6} LEFT ( n-9 RIGHT )]

이때 [eqn: a _{n}]이 자연수가 되려면 [eqn: LEFT ( n-9 RIGHT )]가 [eqn: 6]의 배수가 되어야 한다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 처음으로 자연수가 되는 항은 제[eqn: 15]항이다.

5

[eqn: 2], [eqn: x], [eqn: y]에서 [eqn: 2x=2+y]                                 [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에서 [eqn: 2y=x+z]            [eqn: cdotscdots]㉡

주어진 조건에서 [eqn: 4y+z=7x]    [eqn: cdotscdots]㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 [eqn: x=3], [eqn: y=4], [eqn: z=5]

[eqn: THEREFORE x+y+z=12]

6

[eqn: 303], [eqn: 307], [eqn: 311], [eqn: CDOTS], [eqn: 399]이므로 이 수들은 첫째항이

[eqn: 303], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: 399]를 제[eqn: n]항이라 하면

[eqn: 303+(n-1)` ·`4=4n+299=399], [eqn: 4n=100]

[eqn: THEREFORE n=25]

따라서 [eqn: 4]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: 3]인 수는 [eqn: 25]개이다.

7

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a+2d =4], [eqn: a+ 8d =16]

위의 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=0], [eqn: d=2]

∴[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} = {10(2 `·` 0+ 9 `·` 2)} over {2} =90]

8

[eqn: S _{n}][eqn: = {n LEFT { 2`·` LEFT ( -18 RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT ) `·`4 RIGHT }} over {2}]

[eqn: = 2n ^{2} - 20n]

[eqn: = 2(n-5)^2 -50]

따라서 [eqn: S_n]의 최솟값은 [eqn: n=5]일 때, [eqn: -50]이다.

9

첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{1} =a=4]

[eqn: a _{2} :a _{5} =1:27]에서

[eqn: ar:ar ^{4} =1:27], [eqn: r ^{3} =27]    [eqn: THEREFORE r=3]

[eqn: THEREFORE a _{6} =4 `·`3 ^{5} =972]

10

첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {a _{6}} over {a _{3}} =2]에서 [eqn: {ar ^{5}} over {ar ^{2}} =2]

∴[eqn: r ^{3} =2]                 [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{4} +a _{7} =12]에서 [eqn: ar ^{3} +ar ^{6} =12]

[eqn: ar ^{3} (1+r ^{3} )=12]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 [eqn: 6a=12]    ∴[eqn: a=2]

∴[eqn: a _{16}][eqn: =ar ^{15}][eqn: =2(r ^{3} ) ^{5} =2`·`2 ^{5} =64]

11

첫째항이 [eqn: 1], 제[eqn: 2]항이 [eqn: 3]이므로 공비는 [eqn: {3} over {1} =3]

따라서 첫째항부터 제[eqn: 7]항까지의 합은

[eqn: {1 LEFT ( 3 ^{7} -1 RIGHT )} over {3-1} = {2187-1} over {2} =1093]

12

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: S_10 ={a(r^10 -1)}overr-1 =4]                                       [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: S_20 ={a(r^20 -1)}overr-1 = {a(r^10 -1)(r^10 +1)} over r-1 =24]  [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡[eqn: div]㉠을 하면 [eqn: r^10 +1 =6]     [eqn: therefore`r^10 =5]

[eqn: THEREFORE `a _{21} +a _{22} + CDOTS +a _{30}]

[eqn: =S_30 -S_20][eqn: ={a(r^30 -1)}overr-1 -24]

[eqn: = {a(r ^{10} -1)(r ^{20} +r ^{10} +1)} over {r-1} -24]

[eqn: =4(r^20 +r^10 +1)-24]

[eqn: =4(5^2 +5+1) -24]

[eqn: =100]

13

매년 초에 [eqn: 100]만 원씩 [eqn: 10]년 동안 적립한 원리합계는

[eqn: 10 ^{6} LEFT ( 1+0.03 RIGHT ) +10 ^{6} LEFT ( 1+0.03 RIGHT ) ^{2} + CDOTS +10 ^{6} LEFT ( 1+0.03 RIGHT ) ^{10}]

[eqn: = {10 ^{6} `·`1.03 LEFT ( 1.03 ^{10} -1 RIGHT )} over {1.03-1}]

[eqn: = {10 ^{6} `·`1.03`·`0.3} over {0.03}]

[eqn: =10300000]

따라서 [eqn: 2026]년 말의 원리합계는 [eqn: 1030]만 원이다.

14

[eqn: sum _{k=1} ^{20} (a _{k} -1) ^{2}][eqn: = sum _{k=1} ^{20} (a _{k} ` ^{2} -2a _{k} +1)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{20} a _{k} ` ^{2} -2 sum _{k=1} ^{20} a _{k} + sum _{k=1} ^{20} 1]

[eqn: =80-2`·`20+1`·`20][eqn: =60]

15

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10}]

[eqn: = LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT ) + LEFT ( a _{3} +a _{4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( a _{9} +a _{10} RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT )]

[eqn: =5 ^{2} +2`·`5][eqn: =35]

16

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k RIGHT ) - sum _{n=1} ^{5} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} 2k RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10} {n^2 +n }over2 - sum _{n=1} ^{5} {(n^2 +n ) }]

[eqn: = 1 over 2 left( {10`·`11`·`21} over 6 + {10`·`11 } over 2 right) - left( {5`·`6`·`11} over 6 + {5`·`6} over 2 right)]

[eqn: = 1over2 TIMES (385+55) - (55+15)]

[eqn: =220-70][eqn: =150]

17

[eqn: sum _{k=1} ^{30} {1} over {LEFT ( 2k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k+1 RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {2} sum _{k=1} ^{30} LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {59} - {1} over {61} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 1- {1} over {61} RIGHT )][eqn: = {30} over {61}]

따라서 [eqn: p=61], [eqn: q=30]이므로 [eqn: p+q=91]

18

[eqn: S_n]이 최댓값을 가지므로 주어진 등차수열 [eqn: left{a_n right}]은 공차가 음수이고 주어진 조건에서 최댓값은 [eqn: S_10]이므로 제[eqn: 10]항까지는 모두 양수이고, 제[eqn: 11]항부터 음수이다.

즉, 첫째항이 [eqn: 37]이므로 공차를 [eqn: d] ([eqn: d<0])라 하면

[eqn: a_n =37+(n-1)d]

이때 [eqn: a_10 >0], [eqn: a_11 <0]이므로

[eqn: a _10 =37+9d>0]    [eqn: THEREFORE d>-4.1 it rm 11cdots]

[eqn: a_11 =37+10d <0]    [eqn: therefore d< -3.7]

따라서 [eqn: -4.111 CDOTS <d< -3.7]을 만족시키는 정수 [eqn: d]는

[eqn: -4]이므로 [eqn: d=-4]

[eqn: therefore S_10 = {10 left{2`·`37 +9`·`(-4) right}} over 2 =190]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	수열 [eqn: left{a_n right}]의 특징을 알고 일반항의 식 세우기	40 %
	공차 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: S_10]의 값 구하기	30 %

19

[eqn: a], [eqn: 4], [eqn: b+4]는 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 4 ={a+b+4} over 2]    [eqn: THEREFORE ``a+b=4]            [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: b], [eqn: 2], [eqn: {6} over {a+6}]은 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: 2 ^{2} =b `·` {6} over {a+6}]    [eqn: THEREFORE ``2a-3b=-12]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=0], [eqn: b=4]

[eqn: THEREFORE ``a+b=4]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	등차중항을 이용하여 식 세 우기	30 %
	등비중항을 이용하여 식 세 우기	30 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	20 %

20

[eqn: a _{n} =1+(n-1)`·`2=2n-1]

[eqn: sum _{k=1} ^{40} {1} over {sqrt {a _{k}} + sqrt {a _{k+1}}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{40} {1} over {sqrt {2k-1} + sqrt {2k+1}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{40} {sqrt {2k-1} - sqrt {2k+1}} over {(2k-1)-(2k+1)}]

[eqn: =- {1} over {2} sum _{k=1} ^{40} `( sqrt {2k-1} - sqrt {2k+1} )]

[eqn: =- {1} over {2} LEFT { (1- sqrt {3} )+( sqrt {3} - sqrt {5} )+cdots RIGHT .]

[eqn: LEFT. +( sqrt {79} - sqrt {81} ) RIGHT }]

[eqn: =- {1} over {2} (1- sqrt {81} )=4]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	일반항 [eqn: a _{n}]구하기	30 %
	분모의 유리화를 이용하여 주어진 식 변형하기	40 %
답 구하기	주어진 수열의 합 구하기	30 %

2. 수학적 귀납법 - ①회

중단원 평가 문제

1. ③	2. ②          3. [eqn: 11]

4. ⑤          5. [eqn: 243]

6. ㈎ [eqn: 1]  ㈏ [eqn: k+1]  ㈐ [eqn: {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )} over {2}]

7. 풀이 참조   8. [eqn: 145]

9. ㈎ [eqn: 11 ^{k} -4 ^{k}]  ㈏ [eqn: 7]

㈐ [eqn: 77]       ㈑ [eqn: 11p+4 ^{k}]

1

[eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{n+1} =a _{n} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}]이므로 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]를 차례대로 대입하면

[eqn: a _{2} =a _{1} -1=2]

[eqn: a _{3} =a _{2} +1=3]

[eqn: a _{4} =a _{3} -1=2]

[eqn: THEREFORE ``a _{5} =a _{4} +1=3]

2

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2], [eqn: a _{n+1} -a _{n} =2]

이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 3]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

[eqn: THEREFORE ``a _{15} =3+14`·`2=31]

3

[eqn: a _{n+1} `` ^{2} =a _{n} a _{n+2}]이므로 주어진 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 등비수열이다.

공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =3]이므로

[eqn: 1`·`r=3]    [eqn: THEREFORE ``r=3]

[eqn: THEREFORE ``a _{12} =3 ^{11}]

[eqn: THEREFORE `x=11]

4

[eqn: a_n+2 -2a_n+1 +a_n =0]에서

[eqn: 2a_n+1 = a_n +a_n+2]

이므로 수열 [eqn: left{a_n right}]은 등차수열이다.

이때 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_2 =2a_1]에서

[eqn: a+d =2a]

[eqn: therefore d=a]         [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a_10 =50]에서

[eqn: a+9d =50]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=5], [eqn: d=5]

[eqn: therefore a_7 =a+6d]

[eqn: =5 +6`·`5 =35]

5

[eqn: a_1 =1]

[eqn: a_2 = a_1 +3]

[eqn: a_3 = a_2 +9]

[eqn: VDOTS]

[eqn: therefore][eqn: a_n+1 = a_n +3^n]

따라서 [eqn: f(n) = 3^n]이므로

[eqn: f(5) = 3^ 5 = 243]

6

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =box{``1``}]이므로 등식 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때

등식 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+2+3+ CDOTS +k= {k(k+1)} over {2}]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

등식 ㉡의 양변에 [eqn: box{``k+1``}]을 더하면

[eqn: 1+2+3+ CDOTS +k+][eqn: box{``k+1``}]

[eqn: = {k(k+1)} over {2} +][eqn: box{``k+1``}]

[eqn: =][eqn: box{``{LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )}^`^` over {2}``}]

이므로 [eqn: n=k+1]일 때에도 등식 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식 ㉠이 성립한다.

7

[eqn: (1+h )^ n > 1+nh]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때

(좌변)[eqn: =(1+h)^2 =1+2h+h^2]

(우변)[eqn: = 1+2h]

따라서 (좌변)[eqn: -](우변)[eqn: =h^2 >0]이므로 부등식 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] ([eqn: k GEQ 2])일 때

부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: (1+h)^k >1+kh]

위의 식의 양변에 [eqn: 1+h]를 곱하면 [eqn: 1+h>0]이므로

[eqn: (1+h) ^k (1+h )>(1+kh)(1+h)]

[eqn: =1+(k+1)h+kh^2]

[eqn: >1+(k+1)h] [eqn: (because kh^2 >0])

따라서 [eqn: n=k+1]일 때에도 부등식 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 ㉠이 성립한다.

8

[eqn: a _{n+2} -a _{n+1} =a _{n+1} -a _{n}]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 등차수열이다.

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a _{5} =12], [eqn: a _{9} =32]이므로

[eqn: a+4d=12], [eqn: a+8d=32]

위의 두 식을 연립하여 풀면
[eqn: a=-8], [eqn: d=5]
따라서 일반항 [eqn: a _{n}]은
[eqn: a _{n} =-8+ LEFT ( n-1 RIGHT ) `·`5=5n-13]
[eqn: THEREFORE `` sum _{k=1} ^{10} `a _{k} = sum _{k=1} ^{10} ` LEFT ( 5k-13 RIGHT )]

[eqn: =5 sum _{k=1} ^{10} `k- sum _{k=1} ^{10} `13]

[eqn: =5`·` {10`·`11} over {2} -13`·`10]

[eqn: =145]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 등차수열임을 알기	20 %
	첫째항과 공차 구하기	20 %
	일반항 [eqn: a _{n}] 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: sum _{k=1} ^{10} `a _{k}]의 값 구하기	40 %

9

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

[eqn: 11-4=7]이므로 [eqn: 7]의 배수이다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때

[eqn: 11 ^{k} -4 ^{k} =7p] ([eqn: p]는 자연수)라 가정하자.

주어진 식에 [eqn: n=k+1]을 대입하면

[eqn: 11 ^{k+1} -4 ^{k+1} =11 · 11 ^{k} -4 · 4 ^{k}]

[eqn: =11 left(`box{``11 ^{k} -4 ^{k}``} `right)][eqn: +][eqn: box{``7``}``·`4 ^{k}]

[eqn: =][eqn: box{``77``}``p+][eqn: box{``7``}``·`4 ^{k}]

[eqn: =7 left(`box{``11 {p} +4 ^{k}``} `right)]

([eqn: box{``11 {p}+4 ^{k}``}]은 자연수)

이므로 [eqn: 7]의 배수이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 11 ^{n} -4 ^{n}]은 [eqn: 7]의 배수이다.

평가 내용	채점 기준	배점
답 구하기	㈎에 알맞은 것 써넣기	25 %
	㈏에 알맞은 것 써넣기	25 %
	㈐에 알맞은 것 써넣기	25 %
	㈑에 알맞은 것 써넣기	25 %

중단원 평가 문제

2. 수학적 귀납법 - ②회

1. ③	2. ②          3. ③

4. [eqn: {10245} over {512} ``rmL]

5. ㈎ [eqn: {3} over {2}]  ㈏ [eqn: 1+ {1} over {k+2}]  ㈐ [eqn: {k+3} over {2}]

6. 풀이 참조   7. ④          8. [eqn: 55]

9. 풀이 참조

1

[eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{n+1} =3a _{n} -2]이므로 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]를 차례대로 대입하면

[eqn: a_2 =3a_1 -2=3` ·`2-2=4=3^1 +1]

[eqn: a_3 =3a_2 -2 =3`·`4 -2=10=3^2 +1]

[eqn: a_4 =3a_3 -2=3`·`10 -2 =28=3^3 +1]

[eqn: a_5 =3a_4 -2=3`·`28-2=82=3^4 +1]

[eqn: a_6 =3a_5 -2=3`·`82-2 =244=3^5 +1]

[eqn: thereforep=5]

2

[eqn: a _{n} =3a _{n+1}], [eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} = {1} over {3}]

이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 27]이고 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ``a _{7} =27][eqn: `·`][eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{6} = {1} over {3 ^{3}} = {1} over {27}]

3

[eqn: a _{1} =5], [eqn: a _{n+1}= {n}over{n+2} a_n]이므로

[eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: 9]를 차례대로 대입하면

[eqn: a_2 = 1over3 a_1]

[eqn: a _{3} = {2} over {4} a _{2}]

[eqn: a _{4} = {3} over {5} a _{3}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{10} = {9} over {11} a _{9}]

이때 [eqn: a_1 =5]이므로

[eqn: a _{10} =][eqn: {9} over {11} TIMES {8} over {10} TIMES {7} over {9} TIMES CDOTS TIMES {3} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES {1} over {3} TIMES a _{1}]

[eqn: = {1 TIMES 2} over {10 TIMES 11} a _{1}]

[eqn: = {1} over {55} TIMES 5= {1} over {11}]

4

[eqn: 1]일 후에 남아있는 물의 양은

[eqn: {1} over {2} `·`30+10=25]

[eqn: n]일 후에 남아있는 물의 양을 [eqn: a _{n}]이라 하면 [eqn: n+1]일 후에 남아있는 물의 양 [eqn: a _{n+1}]은

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +10]

[eqn: a _{n+1} -20= {1} over {2} LEFT ( a _{n} -20 RIGHT )]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} -20 RIGHT }]은 첫째항이

[eqn: a _{1} -20=25-20=5], 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} -20=5`·` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE ``a _{n} =5`·` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} +20] ([eqn: n=][eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: CDOTS])

[eqn: THEREFORE ``a _{10} =5`·` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{9} +20= {10245} over {512}]

즉, [eqn: 10]일 후에 물통에 물을 넣은 뒤 남아 있는 물의 양은 [eqn: {10245} over {512} ``rmL]이다.

5

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: =](우변)[eqn: = box{``3 over 2``}]

이므로 주어진 등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때

주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {k+1} RIGHT ) = {k+2} over {2}]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

㉠의 양변에 [eqn: box{``1+ {1} over {k+2}``}]을 곱하면

[eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {k+1} RIGHT )][eqn: left(`` box{``1+ {1} over {k+2}``}`right)]

[eqn: = {k+2} over {2} LEFT ( `` {BOX{``1+ {1} over {k+2}}} ``` RIGHT )]

[eqn: =box{``{k+3} over {2}``}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때에도 주어진 등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

6

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때

[eqn: 2 ^{3} -2=6]이므로 [eqn: 3]의 배수이다.

(ⅱ) [eqn: n=k] ([eqn: k GEQ 2])일 때

[eqn: k ^{3} -k=3p] ([eqn: p]는 자연수)라 가정하자.

주어진 식에 [eqn: n=k+1]을 대입하면

[eqn: LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{3} - LEFT ( k+1 RIGHT )]

[eqn: =k ^{3} +3k ^{2} +3k+1-k-1]

[eqn: =k ^{3} -k+3k _{} ^{2} +3k]

[eqn: =k ^{3} -k+3 LEFT ( k _{} ^{2} +k RIGHT )]

[eqn: =3p+3 LEFT ( k ^{2} +k RIGHT )]

[eqn: =3 LEFT ( p+k ^{2} +k RIGHT )] ([eqn: p+k ^{2} +k]는 자연수)

이므로 [eqn: 3]의 배수이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n ^{3} -n]은 [eqn: 3]의 배수이다.

7

ㄴ. [eqn: p LEFT ( 3 RIGHT )]이 참이므로 ㈏에 의하여
[eqn: p LEFT ( 2`·`3+1 RIGHT ) =p LEFT ( 7 RIGHT )]
따라서 [eqn: p LEFT ( 7 RIGHT )]은 참이다.

ㄷ. [eqn: p LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: p LEFT ( 7 RIGHT )]이 참이므로 ㈐에 의하여
[eqn: p LEFT ( 3+7 RIGHT ) =p LEFT ( 10 RIGHT )]
따라서 [eqn: p LEFT ( 10 RIGHT )]은 참이다.

ㄹ. [eqn: p LEFT ( 10 RIGHT )]이 참이므로 ㈏에 의하여
[eqn: p LEFT ( 2`·`10+1 RIGHT ) =p LEFT ( 21 RIGHT )]
따라서 [eqn: p LEFT ( 21 RIGHT )]은 참이다.

ㅁ. [eqn: p LEFT ( 7 RIGHT )]이 참이므로 ㈏에 의하여
[eqn: p LEFT ( 2`·`7+1 RIGHT ) =p LEFT ( 15 RIGHT )]는 참이다.
이때 [eqn: p LEFT ( 10 RIGHT )], [eqn: p LEFT ( 15 RIGHT )]가 참이므로 ㈐에 의하여

[eqn: p LEFT ( 10+15 RIGHT ) =p LEFT ( 25 RIGHT )]
따라서 [eqn: p LEFT ( 25 RIGHT )]는 참이다.

그러므로 참인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ의 [eqn: 4]개이다.

8

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1} = {3a _{n} -1} over {4a _{n} -1}] 이므로

[eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: CDOTS], [eqn: 9]를 차례대로 대입하면

[eqn: a _{2} = {3a _{1} -1} over {4a _{1} -1} = {3 `·` 1-1} over {4 `·` 1-1} = {2} over {3}]

[eqn: a _{3} = {3a _{2} -1} over {4a _{2} -1} = {3 `·` {2} over {3} -1} over {4`·` {2} over {3} -1} = {3} over {5}]

[eqn: a _{4} = {3a _{3} -1} over {4a _{3} -1} = {3 `·` {3} over {5} -1} over {4 `·` {3} over {5} -1} = {4} over {7}]

[eqn: a _{5} = {3a _{4} -1} over {4a _{4} -1} = {3 `·` {4} over {7} -1} over {4 `·` {4} over {7} -1} = {5} over {9}]

[eqn: VDOTS]

이와 같은 방법으로 나머지 항을 구하면

[eqn: a _{6} = {6} over {11}], [eqn: a _{7} = {7} over {13}], [eqn: a _{8} = {8} over {15}], [eqn: a _{9} = {9} over {17}], [eqn: a _{10} = {10} over {19}]

따라서 구하는 값은

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) a _{k}]
[eqn: =a _{1} +3a _{2} +5a _{3} +7a _{4} +9a _{5}]

[eqn: +11a _{6} +13a _{7} +15a _{8} +17a _{9} +19a _{10}]

[eqn: =1+2+3+4+5][eqn: +6+7+8+9+10]
[eqn: = {10 LEFT ( 1+10 RIGHT )} over {2}][eqn: =55]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: a _{1}]과 주어진 관계식을 이용하여 각 항의 값 구하기	70 %
답 구하기	[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) a _{k}]의 값 구하기	30 %

9

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때

(좌변)[eqn: =1+ {1} over {2 ^{2}} = {5} over {4}], (우변)[eqn: =2- {1} over {2} = {3} over {2}]

(좌변)[eqn: <](우변)이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] [eqn: LEFT ( k GEQ 2 RIGHT )]일 때

주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {k ^{2}} <2- {1} over {k}]

위의 부등식의 양변에 [eqn: {1} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}}]을 더하면

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {k ^{2}} + {1} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: <2- {1} over {k} + {1} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}}]

이때 우변의 식을 정리하면

[eqn: 2- {1} over {k} + {1} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}} =2- LEFT { {1} over {k} - {1} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT }]

[eqn: =2- {k ^{2} +k+1} over {k LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: <2- {k ^{2} +k} over {k LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: =2- {1} over {k+1}]

[eqn: THEREFORE `1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}} <2- {1} over {k+1}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때에도 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: n=2]일 때 주어진 부등식이 성립함을 보이기	30 %
	[eqn: n=k+1]일 때 주어진 부등식이 성립함을 보이기	50 %
답 구하기	[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립함을 보이기	20 %

Ⅵ. 지수와 로그

1. 지수 - ①회

중단원 평가 문제

1. ②          2. ②          3. ③

4. ①	5. ④	6. ①	7. [eqn: 19]          8. ⑤	9. ⑤

10. ⑤	11. ④         12. ②

13. [eqn: 0]         14. [eqn: 18]

1

ㄱ. [eqn: 10]의 네제곱근 중 실수인 것은 [eqn: root {4} of {10}], [eqn: - root {4} of {10}]

이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: n]이 짝수이고 [eqn: a<0]인 경우에 [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중

실수인 것은 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

2

[eqn: a= root {3} of {81} = root {3} of {3 ^{4 ^{}}} =3 root {3} of {3}]

[eqn: b= sqrt {root {3} of {9}} = root {3} of {3}]

[eqn: THEREFORE ``a-b=3 root {3} of {3} - root {3} of {3} =2 root {3} of {3}]

3

① [eqn: root {3} of {3} TIMES root {4} of {3} = root {12} of {3 ^{4}} TIMES root {12} of {3 ^{3}}][eqn: = root {12} of {3 ^{4} TIMES 3 ^{3}} = root {12} of {3 ^{7}}]

② [eqn: root {3} of {- sqrt {3 ^{6}}} = root {3} of {-3 ^{3}} = root {3} of {-27} =-3]

③ [eqn: root {3} of {root {4} of {8}} = root {4} of {root {3} of {2 ^{3}}} = root {4} of {2}]

④ [eqn: {root {3} of {-64}} over {root {3} of {-27}} = {root {3} of {(-4) ^{3}}} over {root {3} of {(-3) ^{3}}} = {-4} over {-3} = {4} over {3}]

[eqn: root {3} of {{64} over {27}} = root {3} of {LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{3}} = {4} over {3}]

∴[eqn: {root {3} of {-64}} over {root {3} of {-27}} = root {3} of {{64} over {27}}]

⑤ [eqn: LEFT ( root {3} of {5`} TIMES {`1} over {sqrt {5}} RIGHT ) ^{6} = LEFT ( root {3} of {5`} RIGHT ) ^{6} ` TIMES {`1} over {LEFT ( sqrt {5`} RIGHT ) ^{6}}]

[eqn: = LEFT { LEFT ( root {3} of {5`} RIGHT ) ^{3} RIGHT } ^{2} TIMES {1} over {LEFT { LEFT ( sqrt {5`} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{3}} ``]

[eqn: =5 ^{`2} TIMES {`1} over {5 ^{`3}}]

[eqn: = {1} over {5}]

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

4

[eqn: root {5} of {{root {4} of {a}} over {sqrt {a}}} ` TIMES ` root {4} of {{sqrt {a}} over {root {5} of {a}}} ` TIMES ` sqrt {{root {5} of {a}} over {root {4} of {a}}}][eqn: = {root {5} of {root {4} of {a}}} over {root {5} of {sqrt {a}}} TIMES {root {4} of {sqrt {a}}} over {root {4} of {root {5} of {a}}} TIMES {sqrt {root {5} of {a}}} over {sqrt {root {4} of {a}}}]	[eqn: = {root {20} of {a}} over {root {10} of {a}} TIMES {root {8} of {a}} over {root {20} of {a}} TIMES {root {10} of {a}} over {root {8} of {a}}]

[eqn: =1]

5

① [eqn: a ^{3} ÷a ^{-2} TIMES a ^{5} =a ^{3-(-2)+5} =a ^{10}]

② [eqn: LEFT ( a ^{-2} RIGHT ) ^{3} TIMES LEFT ( a ^{4} RIGHT ) ^{-2} =a ^{-6+(-8)} =a ^{-14}]

③ [eqn: {LEFT ( a ^{3} RIGHT ) ^{-4}} over {a ^{6} TIMES a ^{-2}} = {a ^{-12}} over {a ^{4}} =a ^{-12-4} =a ^{-16}]

④ [eqn: {a ^{3} TIMES a ^{-4}} over {a ^{-1} TIMES a ^{2}} = {a ^{-1}} over {a}][eqn: =a ^{-1-1}][eqn: =a ^{-2}]

⑤  [eqn: {a TIMES a ^{-3}} over {a ^{2} TIMES a ^{-4}} = {a ^{-2}} over {a ^{-2}} =1]

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

6

[eqn: 3 ^{sqrt {2} +3} TIMES 3 ^{sqrt {2} -2} ÷9 ^{sqrt {2} +1}]

[eqn: =3 ^{sqrt {2} +3+ sqrt {2} -2} ÷ LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{sqrt {2} +1}]

[eqn: =3 ^{2 sqrt {2} +1} ÷3 ^{2 sqrt {2} +2}]

[eqn: =3 ^{2 sqrt {2} +1- LEFT ( 2 sqrt {2} +2 RIGHT )}]

[eqn: =3 ^{-1}]

[eqn: = {1} over {3}]

7

주어진 식의 좌변을 간단히 하면

[eqn: root {5} of {a root {4} of {a root {3} of {a}}} =a ^{{1} over {5}}][eqn: `·`][eqn: a ^{{1} over {20}}][eqn: `·`][eqn: a ^{{1} over {60}}]

[eqn: =a ^{{12+3+1} over {60}}][eqn: =a ^{{16} over {60}}][eqn: =a ^{{4} over {15}}]

따라서 [eqn: m=4], [eqn: n=15]이므로

[eqn: m+n=19]

8

[eqn: (2 ^{{1} over {2}} +2 ^{- {1} over {2}} ) ^{2} -(2 ^{{1} over {2}} +2 ^{- {1} over {2}} )(2 ^{{1} over {2}} -2 ^{- {1} over {2}} )]

[eqn: =(2 ^{{1} over {2}} ) ^{2} +2`·`2 ^{{1} over {2}} `·`2 ^{- {1} over {2}} +(2 ^{- {1} over {2}} ) ^{2} - LEFT { (2 ^{{1} over {2}} ) ^{2} -(2 ^{- {1} over {2}} ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =2+2+2 ^{-1} -(2-2 ^{-1} )]

[eqn: =2`·`2 ^{-1} +2=3]

9

[eqn: LEFT ( a ^{2} b ^{-3} RIGHT ) ^{{1} over {6}} TIMES ( a ^{{4} over {3}} b ^{{3} over {2}} ) ^{3} ÷ LEFT ( {1} over {2} ab ^{- {3} over {2}} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: = ( a ^{{1} over {3}} b ^{- {1} over {2}} ) TIMES ( a ^{4} b ^{{9} over {2}} ) ÷ LEFT ( {1} over {16} a ^{4} b ^{-6} RIGHT )]

[eqn: =16a ^{{1} over {3} +4-4} b ^{- {1} over {2} + {9} over {2} +6}][eqn: =16a ^{{1} over {3}} b ^{10}]

10

[eqn: {a ^{x} -a ^{-x}} over {a ^{x} +a ^{-x}}]의 분모, 분자에 각각 [eqn: a ^{x}]을 곱하면

[eqn: {a ^{x} LEFT ( a ^{x}-a ^{-x} RIGHT )} over {a ^{x} LEFT ( a ^{x} +a ^{-x} RIGHT )} = {a ^{2x} -1} over {a ^{2x} +1}][eqn: = {3-1} over {3+1}][eqn: = {1} over {2}]

11

[eqn: 3 ^{6} `=`A]에서 [eqn: 3=A ^{{1} over {6}}]

[eqn: 8 ^{2} =B]에서 [eqn: (2 ^{3} ) ^{2} =B], [eqn: 2 ^{6} =B]

∴[eqn: 2=B ^{{1} over {6}}]

[eqn: THEREFORE 12 ^{13} =(2 ^{2} TIMES 3) ^{13} =2 ^{26} TIMES 3 ^{13}]

[eqn: =(B ^{{1} over {6}} ) ^{26} TIMES (A ^{{1} over {6}} ) ^{13}]

[eqn: =A ^{{13} over {6}} B ^{{13} over {3}}]

12

이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+2=0]의 두 근이 [eqn: 3 ^{alpha }], [eqn: 3 ^{beta }]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: 3 ^{alpha } +3 ^{beta } =4], [eqn: 3 ^{alpha }` 3 ^{beta } =2]

[eqn: 3 ^{alpha } =A], [eqn: 3 ^{beta } =B]라 하면

[eqn: `27 ^{alpha } +27 ^{beta } = LEFT ( 3 ^{3} RIGHT ) ^{alpha } + LEFT ( 3 ^{3} RIGHT ) ^{beta }][eqn: = LEFT ( 3 ^{alpha } RIGHT ) ^{3} + LEFT ( 3 ^{beta } RIGHT ) ^{3}]

[eqn: =A ^{3} +B ^{3}][eqn: = LEFT ( A+B RIGHT ) ^{3} -3AB LEFT ( A+B RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 3 ^{alpha } +3 ^{beta } RIGHT ) ^{3} -3`·`3 ^{alpha }` 3 ^{beta } LEFT ( 3 ^{alpha } +3 ^{beta } RIGHT )]

[eqn: =4 ^{3} -3`·`2`·`4][eqn: =40]

13

[eqn: 2^x = 3^y = 6^z =k] ([eqn: k>0])라 하면 [eqn: xyz != 0]이므로

[eqn: k !=1]

따라서 [eqn: 2 = k^ {1over x}], [eqn: 3 = k^ {1over y}], [eqn: 6 = k^ {1over z}]이므로

[eqn: k ^{{1} over {x} + {1} over {y} - {1} over {z}} =k^ {1 over x} times k^{1 over y } div k^{1 over z}]

[eqn: =2 TIMES 3÷6=1]

∴ [eqn: 1over x + 1over y - 1over z =0]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: 2^x][eqn: =][eqn: 3^y][eqn: =][eqn: 6^z][eqn: =k]로 놓고 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 6]을 각각 [eqn: k]를 이용하여 나타내기	60 %
	[eqn: k ^{{1} over {x} + {1} over {y} - {1} over {z}]의 값 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: {{1} over {x} + {1} over {y} - {1} over {z}]의 값 구하기	20 %

14

[eqn: a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} =3]의 양변을 제곱하면

[eqn: a+2+a ^{-1} =9]

[eqn: THEREFORE ``a+a ^{-1} =7]

[eqn: THEREFORE ``a ^{{3} over {2}} +a ^{- {3} over {2}} = ( a ^{{1} over {2}} ) ^{3} + ( a ^{- {1} over {2}} ) ^{3}]

[eqn: = ( a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} ) ( a-1+a ^{-1} )]

[eqn: =3`·`LEFT ( 7-1 RIGHT )][eqn: =18]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: `a+a ^{-1}]의 값 구하기	30 %
	[eqn: a ^{{3} over {2}} +a ^{- {3} over {2}}]을 인수분해하기	30 %
답 구하기	[eqn: a ^{{3} over {2}} +a ^{- {3} over {2}}]의 값 구하기	40 %

[다른 풀이]

[eqn: a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} =3]의 양변을 세제곱하면

[eqn: ( a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} ) ^{3} =a ^{{3} over {2}} +3a`a ^{- {1} over {2}} +3a ^{{1} over {2}} `a ^{-1} +a ^{- {3} over {2}}]

[eqn: =a ^{{3} over {2}} +3a ^{{1} over {2}} +3a ^{- {1} over {2}} `+a ^{- {3} over {2}}]

[eqn: =a ^{{3} over {2}} +3 ( a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} ) `+a ^{- {3} over {2}}]

[eqn: =a ^{{3} over {2}} +9`+a ^{- {3} over {2}}]

[eqn: =3 ^{3} =27]

[eqn: THEREFORE ``a ^{{3} over {2}} +a ^{- {3} over {2}} =27-9=18]

1. 지수 - ②회

중단원 평가 문제

1. ④          2. [eqn: 3]           3. ④

4. ①	5. ④	6. ③	7. ⑤	8. ②          9. ③

10. ⑤	11. ②         12. ②

13. [eqn: 7]         14. [eqn: 3]

1

① [eqn: 8]의 세제곱근을 [eqn: x]라 하면

[eqn: x ^{3} =8], [eqn: x ^{3} -8=0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+4 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ``x=2] 또는 [eqn: x=-1± sqrt {3} `i]

따라서 [eqn: 8]의 세제곱근은 세 개이다.

② [eqn: -1]의 세제곱근을 [eqn: x]라 하면

[eqn: x ^{3} =-1], [eqn: x ^{3} +1=0]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ``x=-1] 또는 [eqn: x= {1± sqrt {3} `i} over {2}]

따라서 [eqn: -1]의 세제곱근 중 실수 [eqn: -1]이 존재한다.

③ [eqn: -81]의 네제곱근 중 실수인 것은 존재하지 않는다.

⑤ [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: 16]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것은 두 개이다.

따라서 옳은 것은 ④이다.

2

[eqn: 2]의 제곱근 중 실수인 것은 방정식 [eqn: x ^{2} =2]의 실근이므로 [eqn: 2]개가 존재한다.

[eqn: THEREFORE ``N` LEFT ( 2,~2 RIGHT ) =2]

[eqn: sqrt {2}]의 [eqn: 5]제곱근 중 실수인 것은 방정식 [eqn: x ^{5} = sqrt {2}]의 실근이므로 [eqn: 1]개가 존재한다.

[eqn: THEREFORE ``N` LEFT ( sqrt {2} ,~5 RIGHT ) =1]

[eqn: - sqrt {2}]의 [eqn: 4]제곱근 중 실수인 것은 방정식

[eqn: x ^{4} =- sqrt {2}]의 실근이므로 존재하지 않는다.

[eqn: THEREFORE ``N` LEFT ( - sqrt {2} ,~4 RIGHT ) =0]

따라서 구하는 값은

[eqn: N` LEFT ( 2,~2 RIGHT ) +N` LEFT ( sqrt {2} ,~5 RIGHT ) +N` LEFT ( - sqrt {2} ,~4 RIGHT )]

[eqn: =2+1+0=3]

3

① [eqn: root {4} of {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{4}} = root {4} of {2 ^{4}} =2]

② [eqn: root {9} of {-512} = root {9} of {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{9}} =-2]

③ [eqn: root {3} of {root {4} of {3 ^{24}}} = root {12} of {LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{12}} =3 ^{2} =9]

④ [eqn: root {6} of {sqrt {5 ^{12}}} = root {12} of {5 ^{12}} =5]

⑤ [eqn: {root {3} of {27} TIMES sqrt {sqrt {16}}} over {sqrt {6 ^{4}}} = {root {3} of {3 ^{3}} TIMES root {4} of {2 ^{4}}} over {sqrt {6 ^{4}}}][eqn: = {3 TIMES 2} over {6 ^{2}} = {1} over {6}]

따라서 옳은 것은 ④이다.

4

[eqn: LEFT ( root {3} of {3} - root {3} of {2} RIGHT ) LEFT ( root {3} of {9} + root {3} of {6} + root {3} of {4} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( root {3} of {3} - root {3} of {2} RIGHT ) LEFT { LEFT ( root {3} of {3} RIGHT ) ^{2} + root {3} of {3} `·` root {3} of {2} + LEFT ( root {3} of {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( root {3} of {3} RIGHT ) ^{3} - LEFT ( root {3} of {2} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: =3-2=1]

5

[eqn: A= sqrt {2} = 2^ {1 over 2}]

[eqn: = ( 2^6 )^{ 1 over 12}]

[eqn: = 64 ^{1 over 12}]

[eqn: B= root {3} of {3} = 3^{1 over 3 }]

[eqn: = (3^4 )^{1 over 12}]

[eqn: =81^ {1 over12}]

[eqn: C= root {12} of {60} = 60^ {1 over 12}]

이때 [eqn: 60<64<81]이므로

[eqn: C<A<B]

6

[eqn: 4 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{-3} + LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{0} -2 ^{-1}]

[eqn: =4 TIMES LEFT ( - {1} over {8} RIGHT ) +1- {1} over {2}]

[eqn: = LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +1- {1} over {2}]

[eqn: =0]

7

[eqn: {1} over {2 ^{-5} +1} = {1} over {{1} over {2 ^{5}} +1} = {1} over {{1+2 ^{5}} over {2 ^{5}}}][eqn: = {2 ^{5}} over {2 ^{5} +1}]

[eqn: {1} over {2 ^{-4} +1} = {1} over {{1} over {2 ^{4}} +1} = {1} over {{1+2 ^{4}} over {2 ^{4}}}][eqn: = {2 ^{4}} over {2 ^{4} +1}]

[eqn: VDOTS]

∴ (주어진 식)

[eqn: = {2 ^{5} +1} over {2 ^{5} +1} + {2 ^{4} +1} over {2 ^{4} +1} + {2 ^{3} +1} over {2 ^{3} +1}]

[eqn: + {2 ^{2} +1} over {2 ^{2} +1} + {2 ^{1} +1} over {2 ^{1} +1} + {1} over {2 ^{0} +1}]

[eqn: =(1+1+1+1+1)+ {1} over {2}]

[eqn: = {11} over {2}]

8

[eqn: 5 ^{sqrt {2}} TIMES ( sqrt {5} ) ^{{2} over {sqrt {2}}} ÷5 ^{2 sqrt {2}} TIMES 5 ^{2}]

[eqn: = 5^{sqrt2} times 5^{sqrt2} div 5^{2sqrt2} times 5^2]

[eqn: = 5^{sqrt2 +sqrt2 - 2sqrt2 +2]

[eqn: = 5^2 =25]

9

[eqn: (a ^{- {1} over {3}} b ^{{1} over {2}} ) ^{6} ÷ sqrt {a ^{2} b ^{3}} = {a ^{-2} b ^{3}} over {ab ^{{3} over {2}}} =a ^{-3} b ^{{3} over {2}}]

[eqn: =2 ^{-3} `·`4 ^{{3} over {2}} =2 ^{-3} `·`2 ^{3}]

[eqn: =1]

[eqn: x= {3 ^{{1} over {6}} +3 ^{- {1} over {6}}} over {2}]이므로

10

13

[eqn: x ^{2} -1= LEFT ( {3 ^{{1} over {6}} +3 ^{- {1} over {6}}} over {2} RIGHT ) ^{2} -1]

[eqn: = {3 ^{{1} over {3}} +2 `·` 3 ^{{1} over {6}} `·` 3 ^{- {1} over {6}} +3 ^{`- {1} over {3}}} over {4} -1]

[eqn: = {3 ^{{1} over {3}} +2+3 ^{- {1} over {3}} -4} over {4}]

[eqn: = {3 ^{{1} over {3}} -2+3 ^{- {1} over {3}}} over {4}]

[eqn: = LEFT ( {3 ^{{1} over {6}} -3 ^{- {1} over {6}}} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: THEREFORE `` sqrt {x ^{2} -1} = {3 ^{{1} over {6}} -3 ^{- {1} over {6}}} over {2}]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( x+ sqrt {x ^{2} -1} ` RIGHT ) ^{6}]

[eqn: = LEFT ( {3 ^{{1} over {6}} +3 ^{- {1} over {6}}} over {2} + {3 ^{{1} over {6}} -3 ^{`- {1} over {6}}} over {2} RIGHT ) ^{6}]

[eqn: = ( 3 ^{{1} over {6}} ) ^{6}][eqn: =3]

11

[eqn: 1 overn(n+1) = 1 over n - 1 over n+1]이므로

[eqn: a_1 times a_2 times a_3 times a_4]

[eqn: = 3 ^{1 over 1·2} times 3^ {1 over 2·3} times 3^{1 over 3·4} times 3 ^ {1 over{4·5}]

[eqn: =3^ {left(1 - 1 over 2 right)+left(1 over 2 - 1 over 3 right) + left(1 over 3 - 1 over 4 right) +left( 1 over 4 - 1over 5 right)]

[eqn: =3^{1- 1 over 5 }][eqn: =3^{ 4 over 5}]

12

[eqn: 2 ^{2x-1} =a]에서  [eqn: 2 ^{2x} `·`2 ^{-1} =a]

[eqn: THEREFORE ``2 ^{2x} =2a]

[eqn: 7 ^{1-x} =b]에서  [eqn: 7`·`7 ^{-x} =b]

[eqn: THEREFORE ``7 ^{x} = {7} over {b}]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( {1} over {28} RIGHT ) ^{x} = LEFT ( {1} over {2 ^{2} `·`7} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: = {1} over {2 ^{2x} `·`7 ^{x}}]

[eqn: = {b} over {14a}]

[eqn: 2 LEFT { LEFT ( {16} over {9} RIGHT ) ^{{3} over {4}} RIGHT } ^{{2} over {3}} ÷ LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{{2} over {7}} RIGHT } ^{- {7} over {4}}]

[eqn: =2 LEFT ( {16} over {9} RIGHT ) ^{{1} over {2}} ÷ LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{- {1} over {2}}]

[eqn: =2 LEFT { LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{{1} over {2}} TIMES LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {2}}]

[eqn: =2 TIMES {4} over {3} TIMES LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {2}}]

[eqn: = {8} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {sqrt {2}}]

[eqn: = {4 sqrt {6}} over {3}]

따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=3]이므로

[eqn: a+b=7]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	주어진 식 간단히 하기	60 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	20 %

14

[eqn: 64 ^{{1} over {n}} =(2 ^{6} ) ^{{1} over {n}} =2 ^{{6} over {n}}]

[eqn: LEFT ( {1} over {81} RIGHT ) ^{- {1} over {n}} =81 ^{{1} over {n}} =(3 ^{4} ) ^{{1} over {n}} =3 ^{{4} over {n}}]

[eqn: 64 ^{{1} over {n}}]과 [eqn: LEFT ( {1} over {81} RIGHT ) ^{- {1} over {n}}]의 값이 모두 자연수가 되려면 [eqn: n]은 [eqn: 6]과 [eqn: 4]의 공약수이어야 한다.

즉, 주어진 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: `1+2=3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: 64 ^{{1} over {n}}]의 밑을 [eqn: 2]로, [eqn: LEFT ( {1} over {81} RIGHT ) ^{- {1} over {n}}]의 밑을 [eqn: 3]으로 나타내기	40 %
	[eqn: n]의 값의 조건 구하기	30 %
	모든 [eqn: n]의 값 구하기	20 %
답 구하기	주어진 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합 구하기	10 %

2. 로그 - ①회

중단원 평가 문제

1. ①          2. [eqn: 9]           3. ③

4. ⑤

5. ㈎ [eqn: a ^{q}]  ㈏ [eqn: a ^{p+q}]  ㈐ [eqn: log` _{a} `MN]

6. ①          7. [eqn: {1} over {16}]         8. ②

9. [eqn: 4]               10. ⑤         11. ③

12. ④             13. [eqn: 4]          14. [eqn: 10 sqrt {10}]

1

[eqn: log _{2} `3=a]에서

[eqn: 3=2 ^{a}]

[eqn: log` _{b} `3=-1]에서

[eqn: 3=b ^{-1}]

[eqn: THEREFORE ``b= {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE 8 ^{ab} =(2 ^{3} ) ^{ab} =(2 ^{a} ) ^{3b} =3 ^{3`·` {1} over {3}} =3]

2

로그의 밑의 조건에 의해

[eqn: x>2], [eqn: x !=3]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

로그의 진수의 조건에 의해

[eqn: -x ^{2} +7x-6>0]

[eqn: x ^{2} -7x+6<0], [eqn: ` LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) <0]

[eqn: THEREFORE ``1<x<6]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 2<x<3] 또는 [eqn: 3<x<6]

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 값은 [eqn: 4], [eqn: 5]이므로 그 합은

[eqn: 4+5=9]

3

[eqn: {3} over {2} `log` _{2} `12-log` _{2} `3 root {`} of {3} +log` _{2} `4]

[eqn: = {3} over {2} `log` _{2} ` LEFT ( 2 ^{2} TIMES 3 RIGHT ) -log` _{2} `3 ^{{3} over {2}} +log` _{2} `2 ^{2}]

[eqn: = {3} over {2} ` LEFT ( log` _{2} ``2 ^{2} +log` _{2} `3 RIGHT ) - {3} over {2} `log` _{2} `3+2]

[eqn: = {3} over {2} ` LEFT ( 2+log` _{2} `3 RIGHT ) - {3} over {2} `log` _{2} `3 ^{} +2]

[eqn: =3+2=5]

[다른 풀이]

[eqn: {3} over {2} `log` _{2} `12-log` _{2} `3 root {`} of {3} +log` _{2} `4]

[eqn: =log` _{2} `12 ^{{3} over {2}} -log` _{2} `3 ^{{3} over {2}} +log`` _{2} `2 ^{2}]

[eqn: =log` _{2} ` {12 ^{{3} over {2}}} over {3 ^{{3} over {2}}} +2][eqn: =log` _{2} `4 ^{{3} over {2}} +2]

[eqn: =log` _{2} `2 ^{3} +2]

[eqn: =3+2=5]

4

[eqn: log` _{5} ` sqrt {48} = {1} over {2} `log` _{5} `48= {1} over {2} ``·` {log` _{10} `48} over {log` _{10} `5}]

[eqn: = {1} over {2} `·` {log` _{10} `(2 ^{4} TIMES 3)} over {log` _{10} ` {10} over {2}}]

[eqn: = {1} over {2} `·` {4`log` _{10} `2+log` _{10} `3} over {1-log` _{10} `2}]

[eqn: = {1} over {2} `·` {4a+b} over {1-a}]

[eqn: = {4a+b} over {2 LEFT ( 1-a RIGHT )}]

5

[eqn: log` _{a} M=p], [eqn: log` _{a} N=q]라 하면 로그의 정의에 의하여

[eqn: M=a ^{p}], [eqn: N=box{``a ^{q}``}]이므로

[eqn: MN=a^p a^q =box{``a^p+q``}]에서

[eqn: box{``log` _{a} `MN`^```}][eqn: =p+q=log` _{a} M+log` _{a} N]

6

[eqn: left[log _{2}`{1} over {2}right ]+left[log _{2}` {1} over {3}right ]+left[log _{2} `{1} over {4} right]+ CDOTS +left[log _{2} `{1} over {10} right]][eqn: =(-1)+(-2)times2+(-3)times4+(-4)times2]

[eqn: =-25]

[eqn: 9 ^{`log` _{3} `` {1} over {5} -2`log` _{3} `4-log` _{{1} over {3}} `20} =9 ^{`log` _{3} `` {1} over {5} -log` _{3} `4 ^{2} +log` _{3} `20}]

7

[eqn: =9 ^{`log` _{3} `` {20} over {5 TIMES 16}}]

[eqn: =3 ^{`2log` _{3} `` {1} over {4}}]

[eqn: =3 ^{`log` _{3} `` {1} over {16}}]

[eqn: = {1} over {16}]

8

[eqn: 16 ^{x} =12]에서 [eqn: x=log` _{16} `12]

[eqn: THEREFORE `` {1} over {x} = {1} over {log` _{16} `12} =log` _{12} `16]

[eqn: 9 ^{y} =12]에서 [eqn: y=log` _{9} `12]

[eqn: THEREFORE `` {1} over {y} = {1} over {log` _{9} `12} =log` _{12} `9]

[eqn: THEREFORE `` {1} over {x} + {1} over {y} =log` _{12} `16+log` _{12} `9]

[eqn: =log` _{12} `(16 TIMES 9)]

[eqn: =log` _{12} `12 ^{2}][eqn: =2]

9

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha beta =3]이므로

[eqn: log _{2} LEFT ( alpha + beta ^{-1} RIGHT ) +log _{2} LEFT ( beta + alpha ^{-1} RIGHT )][eqn: +log _{2} alpha beta]

[eqn: =log _{2} LEFT { ( alpha + beta ^{-1} )( beta + alpha ^{-1} ) alpha beta RIGHT }]

[eqn: =log _{2} LEFT { LEFT ( alpha beta +2+ alpha ^{-1} beta ^{-1} RIGHT ) alpha beta RIGHT }]

[eqn: =log _{2} LEFT { LEFT ( 3+2+3 ^{-1} RIGHT ) TIMES 3 RIGHT }]

[eqn: =log _{2} `16=4]

10

[eqn: log``1.63=0.2122]이므로

① [eqn: log``16.3=log``(1.63 TIMES 10)]

[eqn: =0.2122+1][eqn: =1.2122]

② [eqn: log``163=log`` LEFT ( 1.63 TIMES 10 ^{2} RIGHT )]

[eqn: =0.2122+2][eqn: =2.2122]

③ [eqn: log``1630=log`` LEFT ( 1.63 TIMES 10 ^{3} RIGHT )]

[eqn: =0.2122+3][eqn: =3.2122]

④ [eqn: log``0.163=log`` LEFT ( 1.63 TIMES 10 ^{-1} RIGHT )]

[eqn: =0.2122-1][eqn: =-0.7878]

⑤ [eqn: log``0.0163=log`` LEFT ( 1.63 TIMES 10 ^{-2} RIGHT )]

[eqn: =0.2122-2][eqn: =-1.7878]

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

11

[eqn: log``2=0.3010], [eqn: log``3=0.4771]이므로

[eqn: log` _{} 12 ^{30} =30`log` _{} `12]

[eqn: =30`log` _{} (2 ^{2} TIMES 3)]

[eqn: =30`(2`log` _{} `2+`log` _{} 3)]

[eqn: =30`(2 TIMES 0.3010+`0.4771)]

[eqn: =32.373]

따라서 [eqn: log` _{} 12 ^{30}]의 정수 부분이 [eqn: 32]이므로 [eqn: 12 ^{30}]은 [eqn: 33]자리 정수이다.

12

[eqn: log``x]의 정수 부분이 [eqn: 2]이므로 소수 부분을

[eqn: alpha]([eqn: 0 LEQ alpha <1])라 하면

[eqn: log`` _{} x=2+ alpha]

[eqn: 2 LEQ log``x<3]    [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: log``x]와 [eqn: log`` root {3} of {x}]의 소수 부분의 합이 [eqn: 1]이므로

[eqn: log`` _{} x+log`` root {3} of {x} =log`` _{} x+ {1} over {3} `log`` _{} x= {4} over {3} `log`` _{} x]

는 정수이다.

㉠에서 [eqn: {8} over {3} LEQ {4} over {3} `log``x<4]

이때 [eqn: {4} over {3} `log` _{} `x]는 정수이므로

[eqn: {4} over {3} `log` _{} `x=3], [eqn: log` _{} x= {9} over {4}]

[eqn: THEREFORE ``x=10 ^{{9} over {4}} =100 root {4} of {10}]

13

[eqn: sum _{k=1} ^{80} `log` _{3} ` LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT )]

[eqn: =log` _{3} `2+log` _{3} ` LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) +log` _{3} ` LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) +cdots]

[eqn: +log` _{3} ` LEFT ( 1+ {1} over {80} RIGHT )]

[eqn: =log` _{3} ` LEFT { 2` LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {80} RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: =log` _{3} ` LEFT ( 2 TIMES {3} over {2} TIMES {4} over {3} TIMES {5} over {4} TIMES CDOTS TIMES {81} over {80} RIGHT ) `]

[eqn: =log` _{3} ``81]

[eqn: =log`` _{3} `3 ^{4}]

[eqn: =4]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	로그의 합의 꼴로 나타내기	30 %
	로그의 성질을 이용하기	40 %
답 구하기	[eqn: sum _{k=1} ^{80} `log` _{3} ` LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT )]의 값 구하기	30 %

14

규모 [eqn: 5]의 지진의 에너지를 [eqn: E` _{1}], 규모 [eqn: 4]의 지진의 에너지를 [eqn: E` _{2}]라 하면

[eqn: log`E` _{1} =11.4+1.5 TIMES 5]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: log`E` _{2} =11.4+1.5 TIMES 4]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: log`E` _{1} -log`E` _{2} =1.5]

[eqn: log` {E` _{1}} over {E` _{2}} =1.5]

[eqn: therefore][eqn: {E` _{1}} over {E` _{2}} =10 ^{1.5} =10 sqrt {10}]

따라서 규모 [eqn: 5]의 지진은 규모 [eqn: 4]의 지진에 비해 에너지가 [eqn: 10 sqrt {10}]배 더 강하다.

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	규모 [eqn: 5]의 지진의 에너지에 관한 식 세우기	30 %
	규모 [eqn: 4]의 지진의 에너지에 관한 식 세우기	30 %
답 구하기	규모 [eqn: 5]의 지진의 에너지와 규모 [eqn: 4]의 지진의 에너지 비교하기	40 %

2. 로그 - ②회

중단원 평가 문제

1. ⑤          2. [eqn: 27]          3. ②

4. ④	5. ①	6. ⑤	7. ②	8. ④          9. ④

10. [eqn: 63]	11. ③         12. ②

13. [eqn: 8]          14. [eqn: {5} over {2}]

1

[eqn: log _{`x} 9= {1} over {2}]에서 [eqn: x ^{{1} over {2}} =9]

[eqn: THEREFORE x=81]

2

[eqn: log _{3} ` LEFT ( log _{2} `x RIGHT ) =0]에서

[eqn: log` _{2} `x=3 ^{0} =1]

[eqn: THEREFORE ``x=2 ^{1} =2]

[eqn: log _{2} ` LEFT ( log _{5} `y RIGHT ) =1]에서

[eqn: log` _{5} `y=2 ^{1} =2]

[eqn: THEREFORE ``y=5 ^{2} =25]

[eqn: THEREFORE ``x+y=2+25=27]

3

[eqn: x ^{2} -2ax-a+6=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( -a RIGHT ) ^{2} -(-a+6)=a ^{2} +a-6<0]

[eqn: (a+3)(a-2)<0]

[eqn: THEREFORE -3<a<2]

4

두 근이 [eqn: 1], [eqn: 3]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: log _{3} a=4]이므로

[eqn: a=3 ^{4} =81]

[eqn: log _{3} b=3]이므로

[eqn: b=3 ^{3} =27]

[eqn: THEREFORE `a-b=81-27=54]

5

ㄱ. [eqn: log` _{2} ` {1} over {3} +3log` _{2} ` root {3} of {12}]

[eqn: =log` _{2} ` {1} over {3} +log` _{2} `12]

[eqn: =log` _{2} ` LEFT ( {1} over {3} TIMES 12 RIGHT )]

[eqn: =log` _{2} ``4=2] (참)

ㄴ. [eqn: LEFT ( log` _{2} `9+log` _{8} `3 RIGHT ) ` LEFT ( log` _{3} `2+log` _{9} `4 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( log` _{2} `9+ {1} over {3} `log` _{2} `3 RIGHT ) ` LEFT ( log` _{3} `2+`log` _{3} ``2 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( log` _{2} `9+log` _{2} ` root {3} of {3} RIGHT ) ` LEFT ( log` _{3} `2+log` _{3} `2 RIGHT )]

[eqn: =log` _{2} ` LEFT ( 9 root {3} of {3} RIGHT )][eqn: `·`][eqn: log _{3} 4]

[eqn: = {log` _{10} ` LEFT ( 9 root {3} of {3} RIGHT )} over {log` _{10} ``2}][eqn: `·`][eqn: {log` _{10} `4} over {log` _{10} `3} `]

[eqn: = {7`log` _{10} `3} over {3`log` _{10} ``2}][eqn: `·`][eqn: {2`log` _{10} `2} over {log` _{10} `3} `]

[eqn: = {14} over {3}] (거짓)

ㄷ. [eqn: log` _{4} `25][eqn: `·`][eqn: log` _{5} `3][eqn: `·`][eqn: log` _{9} `16]

[eqn: =log` _{2} `5][eqn: `·`][eqn: log` _{5} `3][eqn: `·`][eqn: 2`log` _{3} `2]

[eqn: =2] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

6

[eqn: log` _{3} `x+2`log` _{9} `y+3`log` _{27} `z=1`]에서

[eqn: log` _{3} ``x+`log` _{3} ``y+`log` _{3} ``z=1`]

[eqn: log` _{3} ``xyz=1`]

[eqn: THEREFORE ``xyz=3]

[eqn: THEREFORE `` LEFT { LEFT ( 3 ^{x} RIGHT ) ^{y} RIGHT } ^{z} =3 ^{xyz} =3 ^{3} =27]

7

[eqn: log` _{2} ` LEFT ( a ^{3} -1 RIGHT ) -log` _{2} ` LEFT ( a ^{2} +a+1 RIGHT )]

[eqn: =log` _{2} `` {a ^{3} -1} over {a ^{2} +a+1}]

[eqn: =log` _{2} `` {LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +a+1 RIGHT )} over {a ^{2} +a+1}]

[eqn: =log` _{2} `` LEFT ( a-1 RIGHT )]

이때 [eqn: a= {1} over {sqrt {2} -1 } = sqrt {2} +1]이므로

[eqn: log` _{2} `` LEFT ( a-1 RIGHT ) =log` _{2} `` LEFT ( sqrt {2} +1-1 RIGHT )]

[eqn: =log` _{2} `` sqrt {2}]

[eqn: = {1} over {2}]

8

[eqn: {1} over {x} =log _{3} `a], [eqn: y=log _{3} `b], [eqn: z=log _{3} `c]이므로

[eqn: log _{sqrt {a}} ``bc ^{2} = {log _{3} ``bc ^{2}} over {log _{3} `` sqrt {a}}]

[eqn: = {log _{3} ``b+2`log _{3} ``c} over {{1} over {2} `log _{3} ``a}]

[eqn: = {y+2z} over {{1} over {2} times 1overx }]

[eqn: = 2x(y+2z)]

9

[eqn: log LEFT ( 5410 TIMES 0.0541 RIGHT )]

[eqn: =log`5410+log`0.0541]

[eqn: =log(5.41 TIMES 10 ^{3} )+log(5.41 TIMES 10 ^{-2} )]

[eqn: =log`5.41+3+log`5.41+(-2)]

[eqn: =2log`5.41+1]

[eqn: =2a+1]

10

[eqn: log` _{} `6 ^{40} =40`log` _{`} `6]

[eqn: =40 LEFT ( log` _{`} `2+log` _{`} `3 RIGHT )]

[eqn: =40(0.3010+0.4771)]

[eqn: =31.124]

따라서 [eqn: log` _{} `6 ^{40}]의 정수 부분이 [eqn: 31]이므로 [eqn: 6 ^{40}]은 [eqn: 32]자리 정수이다.

[eqn: THEREFORE ``a=32]

[eqn: log` _{} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100} =log` _{} `2 ^{-100}][eqn: =-100log``2]

[eqn: =-100` TIMES 0.3010][eqn: =-30.1]

[eqn: =-31+0.9]

따라서 [eqn: log` _{} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}]의 정수 부분은 [eqn: -31]이므로 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}]은 소수점 아래 [eqn: 31]째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자가 나타난다.

[eqn: THEREFORE ``b=31]

[eqn: THEREFORE ``a+b=32+31=63]

11

[eqn: x ^{8}]은 [eqn: 25]자리 수이므로 [eqn: 10 ^{24} LEQ x ^{8} <10 ^{25}]에서

[eqn: 24 LEQ log`x ^{8} <25]이므로

[eqn: 3 LEQ log`x< {25} over {8}]

또, [eqn: y ^{5}]은 [eqn: 16]자리 수이므로 [eqn: 10 ^{15} LEQ y ^{5} <10 ^{16}]에서

[eqn: 15 LEQ log`y ^{5} <16]이므로

[eqn: 3 LEQ log`y< {16} over {5}]

즉, [eqn: 6 le log`x + log`y < 253 over 40]

[eqn: THEREFORE `6 LEQ log`xy< {253} over {40}]

따라서 [eqn: 10^6 le xy <10^7]이므로 [eqn: xy]는 [eqn: 7]자리 수이다.

[eqn: therefore`n=7]

12

광원으로부터 [eqn: 4][eqn: rm ``m] 떨어진 지점에서 느끼는 감각 강도 [eqn: P _{1}]과 [eqn: 5][eqn: rm ``m] 떨어진 지점에서 느끼는 감각 강도 [eqn: P _{2}]는

[eqn: P _{1} =k`log _{} ` {h} over {16}][eqn: =k LEFT ( log _{} `h-`log _{} `16 RIGHT )]

[eqn: P _{2} =k`log _{} ` {h} over {25}][eqn: =k LEFT ( log _{} `h-log _{} `25 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``P _{1} -P _{2} =k LEFT ( log _{} `h-log _{} `16 RIGHT ) -k LEFT ( log _{} `h-`log _{} `25 RIGHT )]

[eqn: =k LEFT ( log _{} ``25-log _{} `16 RIGHT )]

[eqn: =k LEFT ( 2`log _{} `5-4log _{} `2 RIGHT )]

[eqn: =k LEFT ( 2` TIMES 0.7-4 TIMES 0.3 RIGHT )]

[eqn: =0.2k]

13

[eqn: x=log _{3} ``(4- sqrt {15} )]에서

[eqn: 3 ^{x} =4- sqrt {15}]

∴[eqn: 3 ^{x} +3 ^{-x}][eqn: =4- sqrt {15} + {1} over {4- sqrt {15}}]

[eqn: =4- sqrt {15} +4+ sqrt {15}]

[eqn: =8]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: 3 ^{x}]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: 3 ^{x} +3 ^{-x}]의 값 구하기	60 %

14

이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+8=0]의 두 근이

[eqn: log` _{} `a], [eqn: log` _{} `b]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: log` _{} `a+log` _{} `b=6]

[eqn: log` _{} `a `·`log` _{} `b=8]

[eqn: THEREFORE ``log` _{a} `b+log` _{b} `a]

[eqn: = {log` _{} `b} over {log` _{} `a} + {log` _{} `a} over {log` _{} `b}]

[eqn: = {LEFT ( log` _{} `b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log` _{} `a RIGHT ) ^{2}} over {log` _{} `a ``·`` log` _{} `b}]

[eqn: = {LEFT ( log` _{} `a+`log` _{} `b RIGHT ) ^{2} -2`log` _{} `a ``·`` log` _{} `b} over {log` _{} `a ``·`` log` _{} `b}]

[eqn: = {6 ^{2} -2`·` 8} over {8}][eqn: = {5} over {2}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: log` _{} `a+log` _{} `b], [eqn: log` _{} `a ``·`` log` _{} `b] 의 값 구하기	30 %
	[eqn: `log` _{a} `b+log` _{b} `a]의 식 변형하기	40 %
답 구하기	[eqn: `log` _{a} `b+log` _{b} `a]의 값 구하기	30 %