다음 원의 방정식을 구하여라.

03 원의 방정식

00  수학Ⅰ

Ⅲ. 도형의 방정식  00

1

⑴ 중심의 좌표가 [eqn: (5, ~1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원

⑵ 중심이 원점이고 점 [eqn: (2, ~3)]을 지나는 원

다음 방정식이 나타내는 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 각각 구하여라.

2

⑴ [eqn: x^2 +y^2 =5]

⑵ [eqn: (x+2)^2 +(y-3)^2 =9]

원 [eqn: x^2 +y^2 +6x-8y=0]의 중심의 좌표는 [eqn: (a, ~b)]이고 반지름의 길이는 [eqn: r]이다. 이때 [eqn: a+b+r]의 값은?

3

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

원 [eqn: x^2 +y^2 =5]와 직선 [eqn: 2x-y+k=0]이 한 점에서 만날 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

4

중심의 좌표가 [eqn: (3, ~2)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원이 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 [eqn: rm A( it a,~ 0)], [eqn: rm B( it b, ~0)]이라고 할 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

5

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 이차방정식

6

[eqn: x^2 +y^2 +2kx-4y+k+1=0]이 반지름의 길이가 [eqn: sqrt5]인 원의 방정식이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

원 [eqn: x^2 +y^2 =5] 위의 점 [eqn: rm P(2, ~1)]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

7

세 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(3,~0)], [eqn: rm B(1, ~2)]를 지나는 원의 중심이 [eqn: rm C( it p,~ q)]일 때, [eqn: p+q]의 값은?

8

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

원 [eqn: x^2 +y^2 =r^2]과 직선 [eqn: x-y+2=0]이 만나서 생기는 현의 길이가 [eqn: 2]일 때, 원의 반지름의 길이 [eqn: r]의 값을 구하여라.

9

원 [eqn: x^2 +y^2 -4x+6y+9=0] 위의 점 [eqn: rm P]와 직선 [eqn: x-2y+2=0] 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 하자. 이때 [eqn: Mm]의 값을 구하여라.

10

두 점 [eqn: rm A(-3, ~0)], [eqn: rm B(0, ~3)]에 대하여 [eqn: rm bar {AP} ： bar {BP} = 2：1]을 만족하는 점 [eqn: rm P]가 있다. 이때 삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이의 최댓값은?

11

① [eqn: 4 sqrt 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 2 sqrt {10}]

④ [eqn: 3 sqrt 5]	⑤ [eqn: 7]

원 [eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =r^2]과 원 밖의 점 [eqn: rm A(5, ~4)]가 있다. 점 [eqn: rm A]에서 원에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, [eqn: r]의 값은?

12

① [eqn: 3]	② [eqn: sqrt 10]	③ [eqn: sqrt 11]

④ [eqn: 2 sqrt 3]	⑤ [eqn: sqrt 13]

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: (n, ~0)]에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]에 접선을 그을 때, 제[eqn: 1]사분면에 있는 접점을 [eqn: ( x_n , ~y_n )]이라고 하자. 이때 [eqn: y_2 times y_3 times cdots times y_8]의 값은?

13

(단, [eqn: n GEQ2]인 자연수이다.)

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]       ③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: 1]

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

원 [eqn: x^2 +y^2 -4ax+2ay+10a-15=0]의 넓이가 최소가 되도록 이 원의 중심의 좌표를 정하여라.

14

원 [eqn: (x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2]이 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: (-1, ~0)], [eqn: (7, ~0)]에서 만나고, [eqn: y]축과 두 점 [eqn: (0, ~1+2 sqrt {2})], [eqn: (0, ~1-2 sqrt {2})]에서 만나도록 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: r]의 값을 정할 때, [eqn: a+b+r^2]의 값을 구하여라.

15

03 원의 방정식

⑴ [eqn: (x-5)^2 +(y-1)^2 =9]

답

⑵ [eqn: x^2 +y^2 =13]

2   ⑴ 중심의 좌표: [eqn: (0, ~0)], 반지름의 길이: [eqn: sqrt 5]

답

⑵ 중심의 좌표: [eqn: (-2, ~3)], 반지름의 길이: [eqn: 3]

3   ①

답

[eqn: a=-3], [eqn: b=4], [eqn: r=5]이므로 [eqn: a+b+r=6]

풀이

4   [eqn: 5]

답

원의 중심인 점 [eqn: (0, ~0)]과 직선 [eqn: 2x-y+k=0] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 [eqn: sqrt 5]와 같으므로

풀이

[eqn: { vert k vert }over{sqrt{2^2 +(-1)^2}} = {vert k vert } over {sqrt5} = sqrt 5],

[eqn: vert k vert =5]

[eqn: k=5] 또는 [eqn: k=-5]

그런데 [eqn: k]는 양수이므로 [eqn: k=5]

5   [eqn: 42]

답

6   ④

답

주어진 방정식을 변형하면

풀이

[eqn: (x+k)^2 +(y-2)^2 =k^2 -k+3]

반지름의 길이가 [eqn: sqrt 5]이므로

[eqn: k^2 -k+3=5], [eqn: (k+1)(k-2)=0]

[eqn: k=-1] 또는 [eqn: k=2]

따라서 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -1+2=1]

7   [eqn: y=-2x+5]

답

8   ②

답

세 점 [eqn: rm O(0, ~0)], [eqn: rm A(3, ~0)], [eqn: rm B(1, ~2)]를 지나는 원의 방정식을

풀이

[eqn: x^2 +y^2 +ax+by+c=0]

으로 놓으면

[eqn: c=0]	…… ㉠

[eqn: 9+3a+c=0]	…… ㉡

[eqn: 5+a+2b+c=0]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면

[eqn: a=-3], [eqn: b=-1], [eqn: c=0]

세 점 [eqn: rm O], [eqn: rm A], [eqn: rm B]를 지나는 원의 방정식은

[eqn: x^2 +y^2 -3x-y=0]

[eqn: LEFT ( x - 3over2 RIGHT )^2 + LEFT ( y - 1over2 RIGHT )^2 = 5over2]

이므로 원의 중심의 좌표는 [eqn: rm C LEFT ( 3over2 ,~ 1over2 RIGHT )]

따라서 [eqn: p= 3over2], [eqn: q= 1over2]이므로

[eqn: p+q=2]

9   [eqn: root3]

답

원의 중심인 점 [eqn: (0, ~0)]에서 직선 [eqn: x-y+2=0]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하고, 원과 직선의 두 교점을 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라고 하면

풀이

[eqn: rm bar {AH} =1], [eqn: rm {bar OH} = {vert 2 vert }over{sqrt {1^2 +(-1)^2}}= sqrt 2]

직각삼각형 [eqn: rm OAH]에서

[eqn: r= rm {bar OA} = {sqrt 1^2 +({sqrt2})^2} = {sqrt3}]

0   [eqn: 16]

답

[eqn: x^2 +y^2 -4x+6y+9=0]을 변형하면

풀이

[eqn: (x-2)^2 +(y+3)^2 =4]

원의 중심인 점 [eqn: (2, ~-3)]과 직선

[eqn: x-2y+2=0] 사이의 거리는 [eqn: 2 sqrt 5]이고, 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2]이므로

[eqn: M=2 sqrt {5}+2]

[eqn: m=2 sqrt {5}-2]

따라서 [eqn: Mm=16]

1   ②

답

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (x, ~y)]로 놓으면

풀이

[eqn: rm {bar AP}：{bar BP}=2：1]이므로

[eqn: {sqrt (x+3)^2 +y^2} ：sqrt{x^2 +(y-3)^2} =2：1]

[eqn: 4{x^2 +(y-3)^2 }=(x+3)^2 +y^2]

[eqn: x^2 +y^2 -2x-8y+9=0]

[eqn: (x-1)^2 +(y-4)^2 =(2{sqrt 2})^2]

[eqn: rm △PAB]의 높이를 [eqn: h]라고 하면 다음 그림에서

[eqn: rm △PAB]의 넓이는 [eqn: 1over2 times rm {bar AB} times it h]

따라서 [eqn: rm {bar AB} = 3 sqrt{2}]이고, [eqn: h=2 sqrt{2}]일 때

[eqn: rm △PAB]의 넓이가 최대이므로 구하는 최댓값은

[eqn: 1over2 times 3 {sqrt 2} times 2{sqrt 2}=6]

2   ②

답

오른쪽 그림과 같 이 원의 중심을 [eqn: rm C]라 하고, 점 [eqn: rm A]에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rm T_1], [eqn: rm T_2]라고 하면 사각형

풀이

[eqn: rm AT_1 CT_2]는 정사각형이다.

이때 [eqn: rm {bar CA} = 2 sqrt5]이고, [eqn: rm {bar CT_1}：{bar CA} =1：sqrt{2}]이므로

[eqn: rm {bar CT}_1 = 1over {sqrt2} {bar CA} = sqrt 10]

따라서 구하는 반지름의 길이는 [eqn: sqrt10]이다.

3   ④

답

원의 중심인 점 [eqn: (0,~ 0)]과 접점 [eqn: (x_n ,~ y_n )]을 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {y_n}over{x_n}]이므로 점 [eqn: (x_n ,~ y_n )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -{x_n}over{y_n}]이다.

풀이

따라서 접점 [eqn: (x_n ,~ y_n )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=- {x_n}over{y_n} (x-x_n )+ y_n]	…… ㉠

이때 접점 [eqn: (x_n ,~ y_n )]은 원 위의 점이므로

[eqn: x_n `^2 + y_n `^2 =1]	…… ㉡

직선 ㉠이 점 [eqn: (n, ~0)]을 지나므로

[eqn: 0= - {x_n}over{y_n} (n- x_n )+ y_n]

[eqn: -nx_n + x_n `^2 + y_n `^2 =0]

이 식에 ㉡을 대입하면 [eqn: x_n = 1over n]	…… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: y_n `^2][eqn: = 1- x_n `^2 = 1 - 1over{n^2}]
[eqn: = {n^2 -1}over n^2 = {n-1}over n times {n+1}overn]

따라서

[eqn: (y_2 times y_3 times cdots times y_8 )^2]

[eqn: = LEFT ( 1over2 times 3over2 RIGHT )times LEFT ( 2over3 times 4over3 RIGHT ) times cdots times LEFT ( 7over8 times 9over8 RIGHT )]

[eqn: = 9over16]

이므로 [eqn: y_2 times y_3 times cdots times y_8 = 3over4]

4   [eqn: (2, ~-1)]

답

[eqn: x^2 +y^2 -4ax+2ay+10a-15=0]을 변형하면

풀이

[eqn: (x-2a)^2 +(y+a)^2 =5a^2 -10a+15]	…… ㉮

반지름의 길이가 최소일 때 원의 넓이도 최소이므로

[eqn: 5a^2 -10a+15=5(a-1)^2 +10]

따라서 [eqn: a=1]일 때 원의 넓이가 최소이다.

…… ㉯

원의 중심의 좌표는 [eqn: (2a, ~-a)]이므로 원의 넓이가 최소일 때의 중심의 좌표는 [eqn: (2, ~-1)]

…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	주어진 원의 방정식을 표준형으로 변형한다.	30%
㉯	원의 넓이가 최소일 때의 a의 값을 구한다.	40%
㉰	넓이가 최소일 때의 원의 중심의 좌표를 구한다.	30%

5   [eqn: 21]

답

[eqn: x]축과 만나는 두 점을 이은 선분의 수직이등분선이 원의 중심을 지나므로

풀이

[eqn: a= {-1+7}over2 =3]	…… ㉮

또, [eqn: y]축과 만나는 두 점을 이은 선분의 수직이등분선이 원의 중심을 지나므로

[eqn: b= {1+ 2 sqrt {2} +1-2 sqrt{2} }over2 =1]	…… ㉯

이때 중심 [eqn: (3, ~1)]과 점 [eqn: (7, ~0)] 사이의 거리는 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: r^2 =(7-3)^2 +(0-1)^2 =17]	…… ㉰

따라서 [eqn: a+b+r^2 =21]	…… ㉱

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	원의 중심의 [eqn: x]좌표를 구한다.	30%
㉯	원의 중심의 [eqn: y]좌표를 구한다.	30%
㉰	[eqn: r^2]의 값을 구한다.	20%
㉱	[eqn: a+b+r^2]의 값을 구한다.	20%