점 [eqn: (-2, ~1)]을 지나고 [eqn: x]절편이 [eqn: -4]인 직선의 방정식을 [eqn: y=ax+b]라고 할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값을 구하여라.

02 직선의 방정식

00  수학Ⅰ

Ⅲ. 도형의 방정식  00

1

점 [eqn: (1, ~3)]을 지나고 직선 [eqn: x-2y-1=0]에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.

2

두 점 [eqn: rm A(1,~ 2)], [eqn: rm B(-3, ~4)]를 지나는 직선에 평행하고, [eqn: y]절편이 [eqn: -1]인 직선의 방정식을 [eqn: y=ax+b]라고 할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

3

① [eqn: -2]	② [eqn: - 3over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

세 점 [eqn: rm A(2,~ 3)], [eqn: rm B(1, ~ it k+5)], [eqn: rm C(-2, ~7)]이 일직선 위에 있을 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

4

두 직선

5

[eqn: x+ky-1=0], [eqn: kx+(2k+3)y-3=0]

이 서로 평행할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]       ⑤ [eqn: 3]

두 직선 [eqn: ax-2y+2=0], [eqn: x+by+c=0]이 점 [eqn: (2, ~4)]에서 수직으로 만난다. 이때 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: abc]의 값을 구하여라.

6

점[eqn: (1, ~-1)]과 직선 [eqn: 3x-4y+3=0] 사이의 거리를 구하여라.

7

원점과 직선 [eqn: 2x-y+a=0] 사이의 거리가 [eqn: 1]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

8

점 [eqn: (1, ~-1)]에서 직선 [eqn: ax+by=0]까지의 거리가 [eqn: sqrt 2]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b] 사이의 관계는?(단, [eqn: a != 0], [eqn: b != 0])

9

① [eqn: a-b=2]	② [eqn: a-b= sqrt 2]

③ [eqn: a+b=0]      ④ [eqn: a+b=2]

⑤ [eqn: ab= sqrt 2]

세 직선 [eqn: l_1]: [eqn: x+ay+1=0], [eqn: l_2]: [eqn: 2x-by+1=0], [eqn: l_3]: [eqn: x-(b-3)y-1=0]에 대하여 [eqn: l_1], [eqn: l_2]는 서로 수직이고, [eqn: l_1], [eqn: l_3]은 서로 평행하다. 이때 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

10

평행한 두 직선 [eqn: l_1]: [eqn: 3x+4y-4=0], [eqn: l_2]: [eqn: 3x+4y-24=0] 사이의 거리를 구하여라.

11

오른쪽 그림에서

12

네 점 [eqn: rm A(-1, ~0)],

[eqn: rm B(3,~0)], [eqn: rm C(4,~ 2)],
[eqn: rm D(0, ~2)]를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 [eqn: rm ABCD]가 있다.

두 선분 [eqn: rm AD], [eqn: rm BC] 사이의 거리는?

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt 5]	③ [eqn: {8 sqrt 5}over5]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {8 sqrt5 }over3]

직선 [eqn: (1+k)x+(k-1)y=2k]에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 골라라. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

13

보기

ㄱ. [eqn: k=0]일 때, 직선 [eqn: y=x]와 일치한다.

ㄴ. [eqn: k != 0]일 때, 직선 [eqn: y=-x+2]와 일치한다.

ㄷ. [eqn: k]의 값에 관계없이 점 [eqn: (1,~1)]을 지난다.

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

다음 그림과 같이 두 직선 [eqn: l_1], [eqn: l_2]가 점 [eqn: (4, ~0)]에서 서로 수직으로 만난다. 직선 [eqn: l_1]의 [eqn: y]절편이 [eqn: 6]일 때, 직선 [eqn: l_2]의 [eqn: y]절편을 구하여라.

14

다음 그림과 같이 직선 [eqn: x over a + y over b = 1]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 9]이다. 원점과 이 직선 사이의 거리가 [eqn: 3]이 되도록 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

15

02 직선의 방정식

1

답

두 점 [eqn: (-2, ~1)], [eqn: (-4, ~0)]을 지나므로 직선의 방정식은

풀이

[eqn: y-1={0-1}over{-4-(-2)}(x+2)]

[eqn: y= 1over2 x +2]

따라서 [eqn: a= 1over2], [eqn: b=2]이므로

[eqn: ab=1]

2    [eqn: y`=`-2x+5]

답

직선 [eqn: x-2y-1=0에서```` y`=`1over2 x- 1over2]

풀이

이므로 수직인 직선의 기울기는 –2이다.

따라서 구하는 직선의 방정식은

[eqn: y-3`=`-2(x-1)`,``y`=`-2x+5]

3   ②

답

[eqn: a= {4-2}over{-3-1}= - 1over2], [eqn: b=-1]이므로

풀이

[eqn: a+b=- 3over2]

4   [eqn: -1]

답

[eqn: {k+5-3}over{1-2} = {7-k-5 }over {-2-1}]

풀이

[eqn: -k-2 = {2-k }over {-3}], [eqn: 3k+6`=`2-k``````````` THEREFORE``k=``-1]

5   ③

답

[eqn: 1 over k = {k}over{2k+3} != -1 over -3]이어야 하므로

풀이

[eqn: 1over k = k over{2k+3}]에서

[eqn: 2k+3=k^2], [eqn: k^2 -2k-3=0]

[eqn: (k+1)(k-3)=0]

[eqn: k=-1] 또는 [eqn: k=3]

[eqn: k=3]일 경우는 두 직선이 일치하므로 평행한 경우는   [eqn: k=-1]

6   -36

답

두 직선이 점 [eqn: (2, ~4)]를 지나므로

풀이

[eqn: 2a-8+2=0]	…… ㉠

[eqn: 2+4b+c=0]	…… ㉡

또, 두 직선이 서로 수직이므로

[eqn: a-2b=0]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면

[eqn: a=3], [eqn: b= 3over2], [eqn: c=-8]

따라서   [eqn: abc=-36]

7   [eqn: 2]

답

[eqn: {vert 3 cdot 1 - 4 cdot(-1) + 3 vert}over {sqrt {3^2 + (-4)^2}} =`10over5 `=`2]

풀이

8   [eqn: sqrt5]

답

직선과  원점 [eqn: (0, ~0)] 사이의 거리가 [eqn: 1]이므로

풀이

[eqn: {vert a vert}over {sqrt {2^2 + (-1)^2}} =1`,`{vert a vert}`=` sqrt { 5}]

[eqn: THEREFORE` a= sqrt { 5} `( BECAUSE`a는``양수)]

9   ③

답

[eqn: {vert a cdot 1 + b cdot (-1) vert } over {sqrt {a^2 +b^2}} = sqrt {2}]이므로

풀이

[eqn: vert a-b vert = sqrt {2} sqrt {a^2 +b^2 }]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a^2 +2ab+b^2 =0], [eqn: (a+b)^2 =0]

[eqn: a+b=0]

0   5

답

직선 [eqn: l_1], [eqn: l_2]가 수직이므로

풀이

[eqn: 2-ab=0]

직선 [eqn: l_1], [eqn: l_3]이 평행하므로

[eqn: 1over1 = a over{-(b-3)} != 1over {-1}]

즉, [eqn: a+b=3], [eqn: ab=2]이므로

[eqn: a^2 +b^2][eqn: =(a+b)^2 -2ab]
[eqn: =9-4]
[eqn: =5]

1   [eqn: 4]

답

직선 [eqn: l_1] 위의 점 (0,1)과

풀이

직선 [eqn: l_2`:`3x+4y-24`=`0] 사이의 거리는

[eqn: {vert 3 cdot 0 + 4 cdot1 -24 vert}over {sqrt {3^2 + 4^2}} =`20over5 `=`4]

2   ③

답

직선 [eqn: rm AD]의 방정식을 구하면

풀이

[eqn: y=2x+2], 즉 [eqn: 2x-y+2=0]

점 [eqn: rm B(3, ~0)]과 직선 [eqn: 2x-y+2=0] 사이의 거리가 두 선분 [eqn: rm AD], [eqn: rm BC] 사이의 거리이므로

[eqn: {vert 2 cdot 3 - 0 + 2 vert }over{sqrt{2^2 +(-1)^2}} = 8 over{sqrt5} = {8sqrt5}over5]

3   ㄱ.ㄷ

답

ㄱ. [eqn: k=0]이면 주어진 직선은 [eqn: x-y=0]으로 직선 [eqn: y=x]와 일치한다. (참)

풀이

ㄴ. (i) [eqn: k != 0], [eqn: k != 1]이면 주어진 직선은

[eqn: y=- {k+1}over{k-1} x+ {2k}over{k-1}]

(ii) [eqn: k != 0], [eqn: k = 1]이면   [eqn: x=1]

(i), (ii)에서 [eqn: k != 0]일 때, 주어진 직선은 직선 [eqn: y=-x+2]와 일치한다고 할 수 없다.

(거짓)

ㄷ. 주어진 식을 [eqn: k]에 대하여 정리하면

[eqn: (x+y-2)k+(x-y)=0]

[eqn: x+y-2=0], [eqn: x-y=0]이면 [eqn: k]의 값에 관계없이 주어진 식이 항상 성립한다.

즉, 주어진 직선은 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: (1, ~1)]을 지난다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

4   [eqn: - 8over3]

바른 답 ․ 알찬 풀이

답

직선 [eqn: l_1]의 기울기는   [eqn: - 6over4 = - 3over2]

풀이

직선 [eqn: l_2]의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 두 직선 [eqn: l_1], [eqn: l_2]가 서로 수직이므로

[eqn: m cdot LEFT ( - 3over2 RIGHT ) = -1], [eqn: m = 2over3]	…… ㉮

직선 [eqn: l_2]는 기울기가 [eqn: 2over3]이고, 점 [eqn: (4, ~0)]을 지나므로 그 방정식은

[eqn: y= 2over3 (x-4)]

[eqn: y= 2over3 x - 8over3]	…… ㉯

따라서 직선 [eqn: l_2]의 [eqn: y]절편은 [eqn: - 8over3]이다.	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	직선 [eqn: l_2]의 기울기를 구한다.	40%
㉯	직선 [eqn: l_2]의 방정식을 구한다.	40%
㉰	직선 [eqn: l_2]의 [eqn: y]절편을 구한다.	20%

5   [eqn: 6sqrt { 2}]

답

[eqn: 1over2 ab = 9]이므로   [eqn: ab=18]	…… ㉮

풀이

[eqn: x over a + y over b = 1]에서   [eqn: bx+ay-ab=0]

원점과 이 직선 사이의 거리가 [eqn: 3]이므로

[eqn: {vert -ab vert }over{sqrt{a^2 +b^2 }}=3], [eqn: { 18 }over{sqrt{a^2 +b^2 }}=3]

[eqn: sqrt {a^2 +b^2} =6], [eqn: a^2 +b^2 =36]	…… ㉯

[eqn: (a+b)^2 =a^2 +b^2 +2ab]이므로 ㉠, ㉡에 의하여

[eqn: (a+b)^2 =36+2 times 18=72]

그런데 [eqn: a＞0], [eqn: b＞0]이므로

[eqn: a+b=6sqrt 2]                    …… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	삼각형의 넓이를 이용하여 a,b에 대한식을 세운다.	30%
㉯	원점과 직선 사이의 거리를 이용하여 a,b에 대한 식을 세운다.	50%
㉰	[eqn: a+b]의 값을 구한다.	20%