두 점 [eqn: rm A(2,~4)], [eqn: rm B(6,~-2)]에 대하여

01 평면좌표

00  수학Ⅰ

Ⅲ. 도형의 방정식  00

1

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1：2]로 내분하는 점의 좌표를

구하여라.

두 점 [eqn: rm A(2,~3)], [eqn: rm B(5,~6)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2：3]으로 외분하는 점의 좌표를 구하여라.

2

두 점 [eqn: rm A(-1,~it -a)], [eqn: rm B(it a,~-6)] 사이의 거리가 [eqn: 5]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

3

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

두 점 [eqn: rm A(1, ~-1)], [eqn: rm B(3, ~-1)]에서 같은 거리에 있는 직선 [eqn: y=2x-2] 위의 점 [eqn: rm P]의 좌표를 구하여라.

4

세 점 [eqn: rm A(1,~0)], [eqn: rm B(3,~4)], [eqn: rm C( it x,~5)]에 대하여 [eqn: rm bar AC = bar BC]일 때, [eqn: x]의 값은?

5

① [eqn: -2]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -22]	⑤ [eqn: -23]

수직선 위의 세 점 [eqn: rm A(2)], [eqn: rm B(3)], [eqn: rm C( it x)]에 대하여 [eqn: rm bar AC + bar BC =5]일 때, 양수 [eqn: x]의 값을 구하여라.

6

두 점 [eqn: rm A(0, ~1)], [eqn: rm B(4, ~3)]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm {bar AP}^2 + {bar BP}^2]이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: rm P]의 좌표를 구하여라.

7

세 점 [eqn: rm A(-1,~7)], [eqn: rm B(1,~ it a)], [eqn: rm C(4, ~2)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서

8

[eqn: rm ∠B=90ﾟ]일 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a＞1])

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

세 점 [eqn: rm A( it a, ~0)], [eqn: rm B(-4, ~4)], [eqn: rm C(-2, ~8)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심 [eqn: rm G]의 좌표가 [eqn: (1, ~b)]일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하여라.

9

다음 그림에서 평행사변형 [eqn: rm ABCD]의 네 꼭짓점의 좌표가[eqn: rm A(5,~ it a)],[eqn: rm B( it b, ~3)],
[eqn: rm C(1, ~5)], [eqn: rm D(1, ~2)]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

10

① [eqn: 1]          ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]          ⑤ [eqn: 9]

세 점 [eqn: rm A(2, ~4)], [eqn: rm B(-2, ~6)], [eqn: rm C(6, ~8)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 세 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC], [eqn: rm CA]의 중점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라고 하자. 삼각형 [eqn: rm PQR]의 무게중심의 좌표를 [eqn: (a, ~b)]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

11

세 점 [eqn: rm A(-1, ~2)], [eqn: rm B(1,~ 5)], [eqn: rm C(5,~ it k)]에 대하여 [eqn: rm bar AB ： bar BC = 1 ： 2]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

12

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

세 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(it a, ~ b)], [eqn: rm B(2,~3)]에 대하여 [eqn: sqrt {(a-2)^2 +(b-3)^2} +sqrt{a^2 +b^2 }]의 최솟값을 구하여라.

13

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

두 점 [eqn: rm A(0, ~1)], [eqn: rm B(6, ~4)]에 대하여 [eqn: rm bar AB]를 [eqn: 1：2]로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 1：2]로 외분하는 점을 [eqn: rm Q]라고 할 때, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리를 구하여라.

14

세 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A( it a,~0)], [eqn: rm B(1,~it b)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OAB]가 정삼각형일 때, 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

15

01 평면좌표

[eqn: LEFT ( 10over3 ,~ 2 RIGHT )]

답

[eqn: LEFT ( {1 TIMES 6+2 TIMES 2} over {1+2} ,~ {1 TIMES (-2)+2 TIMES 4} over {1+2} RIGHT )`=` LEFT ( 10over3 , 2 RIGHT )]

풀이

2    [eqn: (-4, ~-3)]

답

[eqn: LEFT ( {2 TIMES 5-3 TIMES 2} over {2-3} ,~ {2 TIMES 6-3 TIMES 3} over {2-3} RIGHT ) `=` LEFT ( -4 ` ,-3 RIGHT )]

풀이

3   ③

답

[eqn: rm bar {AB} =sqrt{it (a+1)^2 +(-6+a)^2 }=5]

풀이

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a^2 -5a+6=0], [eqn: (a-2)(a-3)=0]

[eqn: a=2] 또는 [eqn: a=3]

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 5]이다.

4   [eqn: rm P(2, ~2)]

답

직선 위의 점 P의 좌표를 [eqn: (x,y)]라 하면

풀이

[eqn: rm {bar PA} = {bar PB}]이므로 [eqn: rm {bar PA}^2 = {bar PB}^2]

[eqn: (x-1)^2 +(y+1)^2 =(x-3)^2 +(y+1)^2]

[eqn: 4x=8], [eqn: x=2]

[eqn: x=2]를 [eqn: y=2x-2]에 대입하면 [eqn: y=2]

5   ③

답

[eqn: rm {bar AC} = {bar BC}]에서 [eqn: rm {bar AC}^2 = {bar BC}^2]이므로

풀이

[eqn: (x-1)^2 +25=(x-3)^2 +1]

[eqn: x^2 -2x+26=x^2 -6x+10]

[eqn: 4x=-16], [eqn: x=-4]

6   [eqn: 5]

답

[eqn: rm {bar AC} +{bar BC} = it vert x-2 vert + vert x-3 vert =5]

풀이

(i) [eqn: x＜2]일 때,
[eqn: -x+2-x+3=5], [eqn: x=0]

(ii) [eqn: 2 LEQ x ＜3]일 때,
[eqn: x-2-x+3=5], [eqn: 1=5] (모순)

(iii) [eqn: x GEQ 3]일 때,
[eqn: x-2+x-3=5], [eqn: x=5]

이상에서 구하는 양수 [eqn: x]의 값은 [eqn: 5]이다.

7   [eqn: rm P(2, ~0)]

답

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (x, ~0)]으로 놓으면

풀이

[eqn: rm {bar AP}^2 +{bar BP}^2]

[eqn: = left {(x-0)^2 +(0-1)^2 right }+ left {(x-4)^2 +(0-3)^2 right}]

[eqn: =(x^2 +1)+(x^2 -8x+16+9)]

[eqn: =2x^2 -8x+26]

[eqn: =2(x-2)^2 +18]

따라서 [eqn: x=2]일 때, [eqn: rm {bar AP}^2 +{bar BP}^2]이 최소가 되므로 점 [eqn: rm P]의 좌표는

[eqn: rm P(2, ~0)]

8   ⑤

답

[eqn: rm △ABC]는 [eqn: rm ∠B=90ﾟ]직각삼각형이므로

풀이

[eqn: rm {bar AC}^2 ={bar AB}^2 +{bar BC}^2]

[eqn: 50=(a^2 -14a+53)+(a^2 -4a+13)]

[eqn: a^2 -9a+8=0], [eqn: (a-1)(a-8)=0]

[eqn: a＞1]이므로   [eqn: a=8]

9   [eqn: a=9], [eqn: b=4]

답

[eqn: left( {a+(-4)+(-2)}over3 ,` `{0+4+8}over3 right)`=`(1,``b)]

풀이

이므로 [eqn: a-6`=`3 ```````` THEREFORE``a=9`,```b=4]

0   ③

답

[eqn: rm bar AC]의 중점과 [eqn: rm bar BD]의 중점이 일치하므로

풀이

[eqn: {5+1}over2 = {1+b}over2], [eqn: {a+5}over2 = {2+3}over2]

[eqn: 1+b=6], [eqn: a+5=5]

따라서 [eqn: a=0], [eqn: b=5]이므로

[eqn: a+b=5]

1   8

답

[eqn: rm △ABC]의 무게중심과 [eqn: rm △PQR]의 무게중심은 일치하므로

풀이

[eqn: a= {2+(-2)+6}over3 =2], [eqn: b= {4+6+8}over3 =6]

따라서 [eqn: a+b=8]

2   ④

답

[eqn: rm 4 {bar AB}^2 ={bar BC}^2]이므로

풀이

[eqn: 4(2^2 +3^2 )=4^2 +(k-5)^2]

[eqn: k^2 -10k-11=0], [eqn: (k-11)(k+1)=0]

[eqn: k]는 양수이므로

[eqn: k=11]

3   [eqn: sqrt13]

답

[eqn: sqrt {(a-2)^2 +(b-3)^2 }+ sqrt {a^2 +b^2 }]

풀이

[eqn: = rm {bar AB} + {bar OA}]

점 [eqn: rm A]가 [eqn: rm bar OB] 위에 있을 때, [eqn: rm bar AB + bar OA]의 값이 최소가 되므로 구하는 최솟값은

[eqn: rm {bar OB} = sqrt {4+9} = sqrt{13}]

4  [eqn: 4sqrt 5]

답

[eqn: rm P LEFT ( {1 times 6 + 2 times 2}over{1+2},~ {1times4 + 2 times 1}over {1+2} RIGHT )]

풀이

즉, [eqn: rm P(2, ~2)]	…… ㉮

[eqn: rm Q LEFT ( {1 times 6 - 2 times 0}over{1-2},~{1times4 - 2 times 1}over{1-2} RIGHT )]

즉, [eqn: rm Q(-6, ~-2)]	…… ㉯

따라서 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리는

[eqn: rm {bar PQ}][eqn: = sqrt {(-6-2)^2 +(-2-2)^2 }]
[eqn: = sqrt 80]
[eqn: = 4sqrt 5]	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	점 [eqn: rm P]의 좌표를 구한다.	30%
㉯	점 [eqn: rm Q]의 좌표를 구한다.	30%
㉰	두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리를 구한다.	40%

5   7

답

[eqn: rm {bar OA} = {bar OB}={bar AB}]이므로

풀이

[eqn: rm {bar OA}^2 = {bar OB}^2 = {bar AB}^2]

[eqn: rm {bar OA}^2 ={bar OB}^2]에서   [eqn: a^2 =1^2 +b^2]	…… ㉠

[eqn: rm {bar OB}^2 ={bar AB}^2]에서

[eqn: 1^2 +b^2 =(a-1)^2 +b^2]	…… ㉮

[eqn: a^2 -2a=0], [eqn: a(a-2)=0]

[eqn: a＞0]이므로   [eqn: a=2]	…… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면   [eqn: 2^2 =1^2 +b^2]

[eqn: b＞0]이므로   [eqn: b=sqrt 3]	…… ㉯

따라서   [eqn: a^2 +b^2 =4+3=7]	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	정삼각형일 조건을 이용하여 식을 세운다.	30%
㉯	식을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구한다.	50%
㉰	[eqn: a^2 +b^2]의 값을 구한다.	20%