부등식[eqn: x^2 -2x LEQ 2x^2 -6x+21]을 풀어라.

04 여러 가지 부등식

00  수학Ⅰ

II.방정식과 부등식  00

1

이차부등식 [eqn: x^2 +3x-4 leq 0]을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는?

2

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다음 연립부등식을 풀어라.

3

[eqn: cases{ x^2 -4x-5 LEQ 0 # 3x^2 +5x-2 ＞0 }]

다음 중 연립부등식

4

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

[eqn: cases{ x^2 -3x-4 leq 0 # 3x^2 +x-2 GEQ 0]

의 해가 될 수 없는 것은?

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

부등식 [eqn: 2 vert x+1 vert -3 vert x-2 vert GEQ 1]을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는?

5

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

이차부등식 [eqn: 2x^2 +ax+b＜0]의 해가 [eqn: 3over2 ＜x＜4]가 되도록 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 정하여라.

6

부등식 [eqn: x^2 -5 vert x vert -6＜0]의 해와 부등식 [eqn: x^2 +ax+b＜0]의 해가 서로 같을 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

7

① [eqn: -36]	② [eqn: -25]     ③ [eqn: -16]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -1]

이차부등식 [eqn: ax^2 +bx+c GEQ 0]의 해가 [eqn: x=2]뿐일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 부호를 바르게 나타낸 것은?

8

① [eqn: a＜0], [eqn: b＜0], [eqn: c＞0]

② [eqn: a＜0], [eqn: b＞0], [eqn: c＜0]

③ [eqn: a＜0], [eqn: b＞0], [eqn: c＞0]

④ [eqn: a＞0], [eqn: b＜0], [eqn: c＞0]

⑤ [eqn: a＞0], [eqn: b＞0], [eqn: c＜0]

연립부등식 [eqn: cases{ x^2 +2x-8 LEQ 0 # 1 LEQ [x] LEQ3]을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

9

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

두 이차방정식 [eqn: x^2 +2ax-3a+10=0], [eqn: x^2 -2x+a^2 -1=0]이 모두 허근을 갖도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

10

연립부등식 [eqn: cases{ x^2 -3x-4 ＞0 # x^2 -(a+5)x+ 5a LEQ 0 }]의 해가 [eqn: 4＜x LEQ 5]가 되도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

11

[eqn: x]에 대한 이차방정식

12

[eqn: x^2 +(a^2 -5a+4)x-a+2=0]이 서로 다른 부호의 두 실근을 갖는다. 음수인 근의 절댓값이 양수인 근보다 클 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: a＞4]	② [eqn: a＞2]    ③ [eqn: 1＜a＜2]

④ [eqn: 2＜a＜4] ⑤ [eqn: a＜1] 또는 [eqn: a＞4]

[eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 이차부등식

13

[eqn: x^2 -2x+1 LEQ -x^2 +k]가 항상 성립할 때,

실수 [eqn: k]의 최솟값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 7over2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9over2]	⑤ [eqn: 5]

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

[eqn: x]에 대한 다항식

14

[eqn: f(x)=2x^3 -3ax^2 +(a^2 -1)x-5]

를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 0] 이상이 되도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

다음 그림과 같이 [eqn: rm bar AC = bar BC = 15]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 빗변 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm P]에서 변 [eqn: rm BC]와 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라고 할 때, 직사각형 [eqn: rm PQCR]의 넓이는 두 삼각형 [eqn: rm APR], [eqn: rm PBQ] 각각의 넓이보다 크다. [eqn: rm bar {QC} = it a]일 때, 자연수 [eqn: a]의 값들의 합을 구하여라.

15

04 여러 가지 부등식

해는 모든 실수

답

[eqn: x^2 -2x LEQ 2x^2 -6x+21]에서

풀이

[eqn: x^2 -4x+21`=`(x-2)^2 +17>0]

이므로  해는 모든 실수

2   ④

답

[eqn: x^2 +3x-4 LEQ 0]에서

풀이

[eqn: (x+4)(x-1) LEQ0]

[eqn: -4 LEQ x LEQ 1]

따라서 주어진 부등식을 만족하는 정수 [eqn: x]는

[eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]의 [eqn: 6]개이다.

3   [eqn: 1over3 ＜ x LEQ5]

답

[eqn: cases{ x^2 -4x-5 LEQ 0 # 3x^2 +5x-2 ＞0 }]에서

풀이

[eqn: x^2 -4x-5 LEQ 0]⇒ [eqn: -1 LEQ x LEQ5]

[eqn: 3x^2 +5x-2 ＞0]⇒ [eqn: x < -2], [eqn: x > 1over3]

∴ [eqn: 1over3 ＜ x LEQ5]

4   ②

답

[eqn: x^2 -3x-4 LEQ 0]에서

풀이

[eqn: (x+1)(x-4) LEQ 0]

[eqn: -1 LEQ x LEQ 4]	…… ㉠

[eqn: 3x^2 +x-2 GEQ0]에서

[eqn: (x+1)(3x-2) GEQ 0]

[eqn: x LEQ 1] 또는 [eqn: x GEQ 2over 3]	…… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분은

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: 2over3 LEQ x LEQ 4]

이므로 보기 중 해가 될 수 없는 것은 ② [eqn: 0]이다.

5   ④

답

(i) [eqn: x＜-1]일 때,
[eqn: -2(x+1)+3(x-2) GEQ1], [eqn: x GEQ 9]
그런데 [eqn: x＜-1]이므로 해는 없다.

풀이

(ii) [eqn: -1 LEQ x ＜2]일 때,
[eqn: 2(x+1)+3(x-2) GEQ 1], [eqn: x GEQ 1]
그런데 [eqn: -1 LEQ x ＜2]이므로   [eqn: 1 LEQ x ＜2]

(iii) [eqn: x GEQ 2]일 때,
[eqn: 2(x+1)-3(x-2) GEQ 1], [eqn: x LEQ 7]
그런데 [eqn: x GEQ2]이므로   [eqn: 2 LEQ x LEQ 7]

(i), (ii), (iii)에서 부등식의 해는   [eqn: 1 LEQ x LEQ 7]

따라서 주어진 부등식을 만족하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]의 [eqn: 7]개이다.

6   [eqn: a=-11], [eqn: b=12]

답

[eqn: 3over2 ＜x＜4]를 해로 갖고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차부등식은

풀이

[eqn: LEFT ( x - 3over2 RIGHT ) (x-4)＜0]

위의 부등식의 양변에 [eqn: 2]를 곱하여 정리하면

[eqn: 2x^2 -11x+12＜0]이므로

[eqn: a=-11], [eqn: b=12]

7   ①

답

[eqn: x^2 -5 vert x vert -6＜0]에서

풀이

(i) [eqn: x GEQ0]일 때, [eqn: x^2 -5x-6＜0]이므로
[eqn: (x+1)(x-6)＜0], [eqn: -1＜x＜6]
그런데 [eqn: x GEQ 0]이므로   [eqn: 0 LEQ x ＜6]

(ii) [eqn: x＜0]일 때, [eqn: x^2 +5x-6＜0]이므로
[eqn: (x+6)(x-1)＜0], [eqn: -6＜x＜1]
그런데 [eqn: x＜0]이므로   [eqn: -6＜x＜0]

(i), (ii)에서   [eqn: -6＜x＜6]	…… ㉠

㉠을 해로 갖고, [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차부등식은

[eqn: (x+6)(x-6)＜0], [eqn: x^2 -36＜0]

따라서 [eqn: a=0], [eqn: b=-36]이므로 [eqn: a+b=-36]

8   ②

답

주어진 이차부등식의 해가

풀이

[eqn: x=2]뿐이려면 이차함수	[eqn: y=ax^2 +bx+c]의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉, [eqn: a＜0]이고, [eqn: x=2]에서 [eqn: x]축과 접해야 하므로 이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c]는

[eqn: y=a(x-2)^2]으로 나타낼 수 있다.

즉, 주어진 부등식은

[eqn: a(x-2)^2 GEQ 0], [eqn: ax^2 -4ax+4a GEQ 0]

따라서 [eqn: b=-4a], [eqn: c=4a]이므로   [eqn: b＞0], [eqn: c＜0]

9   ②

답

[eqn: x^2 +2x-8 LEQ 0]에서

풀이

[eqn: (x+4)(x-2) LEQ 0], [eqn: -4 LEQ x LEQ 2]	…… ㉠

[eqn: 1 LEQ [x] LEQ3]에서

[eqn: [x]=1] 또는 [eqn: [x]=2] 또는 [eqn: [x]=3]

[eqn: 1 LEQ x ＜2] 또는 [eqn: 2 LEQ x ＜3] 또는 [eqn: 3 LEQ x ＜4]

즉,   [eqn: 1 LEQ x ＜4]	…… ㉡

따라서 ㉠, ㉡의 공통부분은 [eqn: 1 LEQ x LEQ 2]이므로 주어진 연립부등식을 만족하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2]의 [eqn: 2]개이다.

0   [eqn: -5＜a＜- {sqrt 2}] 또는 [eqn: {sqrt 2}＜a＜2]

답

1   [eqn: -1 LEQ a LEQ 4]

답

주어진 연립부등식에서

풀이

[eqn: cases{ (x+1)(x-4) ＞0 # (x-a)(x-5) LEQ 0]

…… ㉠

…… ㉡

이 연립부등식의 해가 [eqn: 4＜x LEQ 5]이려면 [eqn: a]의 위치가 다음 그림과 같아야 한다.

따라서 [eqn: -1 LEQ a LEQ 4]이다.

2   ①

답

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

풀이

(두 근의 합)[eqn: =-(a^2 -5a+4)＜0]	…… ㉠

(두 근의 곱)[eqn: =-a+2＜0]	…… ㉡

㉠에서 [eqn: a^2 -5a+4＞0]이므로

[eqn: (a-1)(a-4)＞0], [eqn: a＜1] 또는 [eqn: a＞4]

㉡에서   [eqn: a＞2]

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면   [eqn: a＞4]

3   ⑤

답

[eqn: x^2 -2x+1 LEQ -x^2 +k]에서

풀이

[eqn: 2x^2 -2x+1-k LEQ 0]

[eqn: f(x)=2x^2 -2x+1-k]로 놓으면

[eqn: f(x)=2 LEFT ( x- 1over2 RIGHT )^2 + 1over2 -k]

이므로 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서
[eqn: f(x) LEQ 0]이 항상 성립하려면 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다.

즉, [eqn: f(-1) LEQ 0]이어야 하므로

[eqn: f(-1)=5-k LEQ 0], [eqn: k GEQ 5]

따라서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

4   [eqn: a LEQ - 1] 또는 [eqn: a GEQ 4]

답

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: f(1)]이므로

풀이

[eqn: f(1)][eqn: =2-3a+a^2 -1-5]
[eqn: =a^2 -3a-4]	…… ㉮

나머지가 [eqn: 0] 이상이 되어야 하므로

[eqn: a^2 -3a-4 GEQ 0]	…… ㉯

[eqn: (a+1)(a-4) GEQ 0]

[eqn: a LEQ - 1] 또는 [eqn: a GEQ 4]	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 구한다.	50%
㉯	나머지가 [eqn: 0] 이상이 되도록 이차부등식을 세운다.	20%
㉰	[eqn: a]의 값의 범위를 구한다.	30%

5   [eqn: 30]

답

[eqn: rm △ABC]∽[eqn: rm △APR]([eqn: rm AA]닮음)이므로

풀이

[eqn: rm {bar PR } = {bar AR} = it a]

즉, [eqn: rm {bar QC } = {bar PR} = {bar AR} = it a]이므로

[eqn: rm {bar RC } = {bar PQ}= {bar BQ} = 15- it a]	…… ㉮

직사각형 [eqn: rm PQCR]의 넓이가 삼각형 [eqn: rm APR]의 넓이보다 크므로

[eqn: a(15-a)＞ 1over2 a^2] 　　	…… ㉠

직사각형 [eqn: rm PQCR]의 넓이가 삼각형 [eqn: rm PBQ]의 넓이보다 크므로

[eqn: a(15-a)＞ 1over 2 (15-a)^2]	…… ㉡	…… ㉯

㉠에서

[eqn: 2a(15-a)＞a^2], [eqn: 3a^2 -30a＜0]

[eqn: 3a(a-10)＜0]

[eqn: 0＜a＜10]	…… ㉢

㉡에서

[eqn: 2a(15-a)＞(15-a)^2],

[eqn: a^2 -20a+75＜0], [eqn: (a-5)(a-15)＜0]

[eqn: 5＜a＜15]	…… ㉣	…… ㉰

㉢, ㉣에서   [eqn: 5＜a＜10]

따라서 자연수 [eqn: a]의 값들의 합은

[eqn: 6+7+8+9=30]	…… ㉱

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	변의 길이를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타낸다.	20%
㉯	부등식을 세운다.	30%
㉰	부등식을 각각 푼다.	30%
㉱	공통부분을 구하고 자연수 [eqn: a]의 값들의 합을 구한다.	20%