사차방정식 [eqn: x^4 +x^3 -5x^2 -3x+2=0]의 실근 중 무리수인 두 근의 곱은?

03 여러 가지 방정식

00  수학Ⅰ

Ⅰ.다항식  00

1

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

삼차방정식 [eqn: x^3 -ax^2 +3x+2=0]의 세 근을 [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수이다.)

2

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]      ③ [eqn: 29]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

삼차방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할

3

때, [eqn: omega+ omega^3 + omega^5 + omega^7 + omega^9 + omega^11 + omega^13 + omega^15]

을 간단히 하면?

① [eqn: omega]	② [eqn: 1]      ③ [eqn: -omega]

④ [eqn: - omega ^2]	⑤ [eqn: -1]

연립방정식 [eqn: cases{ ax+y+bz = 14 # bx+y-cz=5 # cx-4y+bz =3]의 해가 [eqn: x=3], [eqn: y=1], [eqn: z=2]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은?

4

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

연립방정식 [eqn: cases{ x+y+z=1 # x+2y-5z=3 # ax+3y-4z=-2]의 해가 없을 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

5

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]     ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

연립방정식 [eqn: cases{ a-2b+c=2 # 2a-b+c=-1 # a+b+2c=1}]을 풀어라.

6

연립방정식 [eqn: cases{ x^2 +xy=6 # x^2 +2xy-3y^2 =0]을 만족시키는 양의 실수 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍을 [eqn: (alpha ,~ beta )]라고 할 때, [eqn: alpha^2 + beta^2]의 값은?

7

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

연립방정식 [eqn: cases{ x+y=4 # xy= a]를 만족하는 실수 [eqn: x], [eqn: y]가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

8

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]의 모든 근이 방정식 [eqn: x^2 +x-2=0]의 모든 근과 일치한다. 다항식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c]를 [eqn: x^2 +x-2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: Q(100)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이고, [eqn: c＞0]이다.)

9

① [eqn: 97]	② [eqn: 98]	③ [eqn: 99]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 101]

지름의 길이가 [eqn: 13]인 원에 내접하는 직사각형의 둘레의 길이가 [eqn: 34]일 때, 이 직사각형의 가로, 세로 중 긴 변의 길이는?

10

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

어떤 농구 경기에서 선수 [eqn: rm A]가 [eqn: 18]개의 슛을 성공시켜 [eqn: 33]득점을 하였다. 성공시킨 [eqn: 18]개의 슛 중 자유투의 개수와 [eqn: 3]점 슛의 개수의 합이 [eqn: 2]점 슛의 개수와 같았다고 한다. 이 경기에서 선수 [eqn: rm A]가 성공시킨 자유투, [eqn: 2]점 슛, [eqn: 3]점 슛의 개수를 각각 구하여라. (단, 자유투는 [eqn: 1]점 슛이다.)

11

연립방정식 [eqn: cases{ 2x+y=1 # 2x-y-z=a # by+z=3 }]의 해가 무수히 많을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하여라.

12

어느 편의점에서 음료수 [eqn: rm A]의 하루 평균 매출액은 [eqn: 30]만 원이다. 음료수 [eqn: rm A]의 개당 판매 가격을 [eqn: 100]원 인하하였더니 하루 평균 판매량이 [eqn: 200]개 증가하여 하루 평균 매출액이 [eqn: 35]만 원이 되었다. 가격을 인하하기 전의 음료수 [eqn: rm A]의 개당 판매 가격을 구하여라.

13

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

삼차방정식 [eqn: x^ 3 -x^2 +ax-1=0]의 한 근이 [eqn: -1]일 때, 실수 [eqn: a]의 값과 나머지 두 근을 각각 구하여라.

14

오른쪽 그림과 같은 한 모서리의 길이가 [eqn: x] cm인 정육면체에서 밑면의 가로와 세로의 길이를 각각 [eqn: 2] cm,

15

[eqn: 1] cm 줄이고, 높이를 [eqn: 2] cm 늘여서 직육면체를 만들었더니 그 부피가 [eqn: 10] cm³가 되었다. 이때 [eqn: x]의 값을 구하여라.

03 여러 가지 방정식

⑤

답

[eqn: f(x)=x^4 +x^3 -5x^2 -3x+2]로 놓으면

풀이

[eqn: f(-1)=0], [eqn: f(2)=0]이므로

[eqn: -1]	[eqn: 1]		[eqn: 1]	[eqn: -]	[eqn: 5]		[eqn: -]	[eqn: 3]			[eqn: 2]
		[eqn: -]	[eqn: 1]		[eqn: 0]			[eqn: 5]		[eqn: -]	[eqn: 2]
[eqn: 2]	[eqn: 1]		[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 5]			[eqn: 2]			[eqn: 0]
			[eqn: 2]		[eqn: 4]		[eqn: -]	[eqn: 2]
	[eqn: 1]		[eqn: 2]	[eqn: -]	[eqn: 1]			[eqn: 0]

[eqn: (x+1)(x-2)(x^2 +2x-1)=0]

무리수인 두 근은 [eqn: x^2 +2x-1=0]의 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 두 근의 곱은 [eqn: -1]이다.

2   ③

답

[eqn: x=1]이 방정식 [eqn: x^3 -ax^2 +3x+2=0]의 근이므로   [eqn: 1-a+3+2=0], [eqn: a=6]

풀이

주어진 삼차방정식은

[eqn: x^3 -6x^2 +3x+2=0]

[eqn: (x-1)(x^2 -5x-2)=0]

이므로 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 이차방정식 [eqn: x^2 -5x-2=0]의 두 근이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta =5], [eqn: alpha beta =-2]이므로

[eqn: alpha ^2 + beta^2 =( alpha + beta )^2 -2 alpha beta =29]

3   ④

답

[eqn: omega^3 =1], [eqn: omega^2 +omega+1=0]이므로

풀이

[eqn: omega+omega^3 +omega^5 +omega^7 +omega^9 +omega^11 +omega^13 +omega^15]

[eqn: =(omega+1+omega^2 )+(omega+1+omega^2 )+omega+1]

[eqn: =omega+1=-omega^2]

4   ⑤

답

[eqn: x=3], [eqn: y=1], [eqn: z=2]를 주어진 연립방정식에 대입하면

풀이

[eqn: cases{ 3a + 2b=13 # 3b-2c =4 # 2b+3c=7]

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

㉡, ㉢을 연립하여 풀면   [eqn: b=2], [eqn: c=1]

[eqn: b=2]를 ㉠에 대입하면   [eqn: a=3]

따라서 [eqn: a+b+c=6]이다.

5   ⑤

답

풀이

[eqn: cases{ x+y+z=1 # x+2y-5z=3 # ax+3y-4z=-2]

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

[eqn: 5 times ㉠+㉡]을 하면   [eqn: 6x+7y=8]	…… ㉣

[eqn: 4 times ㉠+㉢]을 하면

[eqn: (a+4)x+7y=2]	…… ㉤

㉤[eqn: -]㉣을 하면   [eqn: (a-2)x=-6]

위의 일차방정식의 해가 없으므로   [eqn: a=2]

6   [eqn: a=-2], [eqn: b=-1,~c=2]

답

풀이

[eqn: cases{ a-2b+c=2 # 2a-b+c=-1 # a+b+2c=1]

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

㉡[eqn: -]㉠을 하면   [eqn: a+b=-3]	…… ㉣

[eqn: 2 times ㉡-㉢]을 하면

[eqn: 3a-3b=-3], [eqn: a-b=-1]	……㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면   [eqn: a=-2], [eqn: b=-1]

이것을 ㉠에 대입하면   [eqn: c=2]

7   ①

답

풀이

[eqn: cases{ x^2 +xy=6 # x^2 +2xy -3y^2 =0]

…… ㉠

…… ㉡

㉡에서   [eqn: (x+3y)(x-y)=0]

(i) [eqn: x=-3y]일 때,
㉠에서   [eqn: (-3y)^2 +(-3y)y=6]
[eqn: y^2 =1], [eqn: y= +- 1]
[eqn: cases{ x=3 # y=-1] 또는 [eqn: cases{ x=-3 # y=1]

(ii) [eqn: x=y]일 때,
㉠에서   [eqn: x^2 +x^2 =6], [eqn: x^2 =3], [eqn: x= +- 3]
[eqn: cases{ x= sqrt3 # y= sqrt3] 또는 [eqn: cases{ x=- sqrt3 # y= -sqrt3]

(i), (ii)에서

[eqn: cases{ x=3 # y=-1] 또는 [eqn: cases{ x=-3 # y=1]

또는 [eqn: cases{ x= sqrt3 # y= sqrt3] 또는 [eqn: cases{ x=- sqrt3 # y= -sqrt3]

따라서 [eqn: alpha =sqrt 3], [eqn: beta = sqrt3]이므로

[eqn: alpha ^2 + beta ^2 =6]

8   ②

답

[eqn: x], [eqn: y]를 근으로 갖고, 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: t]에 대한 이차방정식은

풀이

[eqn: t^2 -(x+y)t+xy=0], [eqn: t^2 -4t+a=0]

이 이차방정식이 실근을 가져야 하므로 판별식을 [eqn: D]라고 하면   [eqn: D over 4 = 2^2 -a GEQ0], [eqn: a LEQ 4]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

9   ③

답

방정식 [eqn: x^2 +x-2=0]에서

풀이

[eqn: (x+2)(x-1)=0]

[eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1]

즉, 방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]의 해도

[eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1]이어야 하므로

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=(x+2)^2 (x-1)]

또는 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=(x+2)(x-1)^2]

이때 [eqn: c＞0]이므로

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=(x+2)(x-1)^2]

따라서 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c]를 [eqn: x^2 +x-2],

즉 [eqn: (x+2)(x-1)]로 나누었을 때의 몫이

[eqn: x-1]이므로   [eqn: Q(x)=x-1]

따라서 [eqn: Q(100)=100-1=99]

0   ⑤

답

직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x], 세로의 길이를 [eqn: y]라고 하면

풀이

[eqn: cases{ 2x +2y =34 # x^2 +y^2 =13^2]

…… ㉠

…… ㉡

㉠에서   [eqn: y=17-x]	…… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: x^2 +(17-x)^2 =169]

[eqn: x^2 -17x+60=0]

[eqn: (x-5)(x-12)=0]

[eqn: x=5] 또는 [eqn: x=12]

이것을 ㉢에 대입하며 해를 구하면

[eqn: cases{ x=5 # y=12] 또는 [eqn: cases{ x=12 # y=5]

따라서 가로, 세로 중 긴 변의 길이는 [eqn: 12]이다.

1   자유투: [eqn: 6], [eqn: 2]점 슛: [eqn: 9], [eqn: 3]점 슛: [eqn: 3]

답

성공시킨 자유투, [eqn: 2]점 슛, [eqn: 3]점 슛의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라고 하면

풀이

[eqn: cases{ x+y+z=18 # x+2y+3z =33 # x+z=y]

이 연립방정식을 풀면   [eqn: x=6], [eqn: y=9], [eqn: z=3]

따라서 자유투 [eqn: 6]개, [eqn: 2]점 슛 [eqn: 9]개, [eqn: 3]점 슛 [eqn: 3]개를 성공시켰다.

2   [eqn: a=-2], [eqn: b=2]

답

풀이

[eqn: cases{ 2x+y=1 # 2x-y-z=a # by+z=3}]

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

㉡[eqn: +]㉢에서   [eqn: 2x+(b-1)y=a+3]	…… ㉣

㉠, ㉣에서 해가 무수히 많으므로

[eqn: 2over2 = {b-1}over1 = {a+3}over1]

따라서 [eqn: a=-2], [eqn: b=2]이다.

3    [eqn: 600]원

답

가격을 인하하기 전의 음료수 [eqn: rm A]의 개당 판매 가격을 [eqn: x]원, 판매 개수를 [eqn: y]라고 하면

풀이

[eqn: cases{ xy=300000 # (x-100)(y+200)=350000}]

이것을 정리하면

[eqn: cases{ xy=300000 # 2x-y=700 }]

…… ㉠

…… ㉡

㉡에서   [eqn: y=2x-700]

이것을 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: x^2 -350x-150000=0]

[eqn: (x+250)(x-600)=0]

[eqn: x＞0]이므로   [eqn: x=600]

따라서 구하는 판매 가격은 [eqn: 600]원이다.

4   [eqn: a=-3], 나머지 두 근: [eqn: x=1 +- sqrt 2]

바른 답 ․ 알찬 풀이

답

[eqn: x^3 -x^2 +ax-1=0]에 [eqn: x=-1]을 대입하면

풀이

[eqn: (-1)^3 -(-1)^2 -a-1=0], [eqn: a=-3]	…… ㉮

[eqn: x^3 -x^2 -3x-1=0]에서

[eqn: (x+1)(x^2 -2x-1)=0]이므로	…… ㉯

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x= 1 +- sqrt2]

따라서 나머지 두 근은 [eqn: x=1 +- sqrt 2]이다.

…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	한 근이 [eqn: -1]임을 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.	30%
㉯	방정식의 좌변을 인수분해한다.	40%
㉰	나머지 두 근을 구한다.	30%

5   [eqn: 3]

답

부피가 [eqn: 10] cm³인 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이는 각각

풀이

[eqn: (x-2)] cm, [eqn: (x-1)] cm, [eqn: (x+2)] cm

…… ㉮

따라서 직육면체의 부피는

[eqn: (x-2)(x-1)(x+2)=10]

[eqn: x^3 -x^2 -4x-6=0]	…… ㉯

[eqn: (x-3)(x^2 +2x+2)=0]

[eqn: x=3] 또는 [eqn: x=-1 +- i]	…… ㉰

그런데 [eqn: x＞0]이므로   [eqn: x=3]	…… ㉱

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	부피가 [eqn: 10] cm³인 직육면체의 가로, 세로의 길이와 높이를 [eqn: x]에 대하여 나타낸다.	20%
㉯	부피가 [eqn: 10] cm³인 직육면체의 부피를 [eqn: x]에 대한 식으로 나타낸다.	35%
㉰	㉯의 방정식을 푼다.	35%
㉱	[eqn: x]의 값을 구한다.	10%