이차함수 [eqn: y=x^2 -4x+a]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

02 이차방정식과 이차함수

00  수학Ⅰ

Ⅰ.다항식  00

1

이차함수 [eqn: y=-x^2 +3x]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

2

이차방정식 [eqn: ax^2 -2ax+b=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 하자. [eqn: -1＜ alpha ＜0]일 때, [eqn: beta]의 값의 범위는? (단, [eqn: a＞0])

3

① [eqn: beta＜-3]	② [eqn: -2＜beta＜2]   ③ [eqn: beta＞0]

④ [eqn: 2＜beta＜3]	⑤ [eqn: beta＞2]

직선 [eqn: y=2x+a]가 이차함수 [eqn: y=x^2 -1]의 그래프에 접할 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

4

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: -1 leq x leq 1]일 때, 이차함수 [eqn: y=-x^2 +ax]의 최댓값이 [eqn: 4]이다. 이때 상수 [eqn: a]의 값은?

5

(단, [eqn: a GEQ 2])

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]      ③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b]에 대하여 [eqn: f(-4)=f(2)]가 성립한다. [eqn: -2 leq x leq 4]일 때, [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값을 차례로 적은 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

6

① [eqn: f(2)], [eqn: f(-2)]	② [eqn: f(4)], [eqn: f(-2)]

③ [eqn: f(-1)], [eqn: f(-2)]   ④ [eqn: f(2)], [eqn: f(-1)]

⑤ [eqn: f(4)], [eqn: f(-1)]

이차방정식 [eqn: x^2 +2kx+3k+4=0]의 서로 다른 두 근 사이에 [eqn: -1]이 있을 때, 정수 [eqn: k]의 최댓값은?

7

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

이차함수 [eqn: y=x^2 -3x+2]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-3]의 위치 관계를 말하여라.

8

주어진 범위에서 다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 각각 구하여라.

9

⑴ [eqn: y=x^2 -6x+3] ([eqn: 0 LEQ x LEQ 4])

⑵ [eqn: y=-x^2 +2x+3] ([eqn: -2 LEQ x LEQ 0])

이차함수 [eqn: y=x^2 +6x+k]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

10

이차함수 [eqn: y=x^2 +ax+b]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: (-2, ~0)], [eqn: (5, ~0)]에서 만날 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하여라.

11

이차함수 [eqn: y=x^2 +x+2]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+m]이 만나지 않도록 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 정하여라.

12

재훈이는 불우 이웃 돕기 성금을 마련하기 위하여 친구들과 함께 카드를 만들어 팔기로 하였다. 한 개당 [eqn: 1000]원의 이익을 남기고 팔면 하루에 [eqn: 64]개를 팔 수 있는데, 한 개당 이익금을 [eqn: 100]원 줄일 때마다 하루에 [eqn: 8]개씩 더 팔린다고 한다. 재훈이가 하루의 이익을 최대로 하기 위해서는 한 개당 얼마의 이익을 남기고 팔아야 하는지 구하여라.

13

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

[eqn: -1 leq x leq 1]일 때, 이차함수

14

[eqn: y=-x^2 +2x+a]의 최댓값이 [eqn: 5]이다. 이 함수의 최솟값을 구하여라. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 이차함수 [eqn: y=x^2 -4x+k]의 최솟값이 [eqn: 5]일 때, 최댓값을 구하여라. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

15

02 이차방정식과 이차함수

[eqn: a＜4]

답

이차방정식 [eqn: x^2 -4x+a=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면   [eqn: D over 4 =4-a＞0], [eqn: a＜4]

풀이

2   [eqn: k ＜ 9over4]

답

이차방정식 [eqn: -x^2 +3x=k], 즉

풀이

[eqn: x^2 -3x+k=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D=9-4k＞0], [eqn: k＜ 9over4]

3   ④

답

[eqn: y=ax^2 -2ax+b][eqn: (a＞0)]로 놓으면

풀이

[eqn: y=a(x-1)^2 -a+b]

이므로 대칭축은 [eqn: x=1]

이다.

따라서 오른쪽 그림에서

[eqn: -1＜alpha＜0]이면

[eqn: 2＜ beta ＜3]

4   ①

답

이차방정식 [eqn: x^2 -1=2x+a], 즉

풀이

[eqn: x^2 -2x-(a+1)=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D over 4 =(-1)^2 +(a+1)=0], [eqn: a=-2]

5   ④

답

[eqn: y=-x^2 +ax=- LEFT ( x- a over2 RIGHT ) ^2 +{a^2 }over4]에서 대칭축은

풀이

[eqn: x= a over 2]

그런데 [eqn: a GEQ2]이므로

[eqn: a over 2 GEQ1]

따라서 [eqn: x=1]일 때,

최댓값 [eqn: 4]를 가지므로

[eqn: -1+a=4], [eqn: a=5]

6   ⑤

답

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b]에서

풀이

[eqn: f(-4)=f(2)]이므로 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 대칭축은   [eqn: x=-1]

따라서 [eqn: -2 LEQ x LEQ 4]일 때, 이차함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(4)]이고, 최솟값은 [eqn: f(-1)]이다.

7   ①

답

이차방정식 [eqn: x^2 +2kx+3k+4=0]의 두 근 사이에 [eqn: -1]이 있으므로

풀이

[eqn: f(x)=x^2 +2kx+3k+4]로 놓으면 [eqn: y=f(x)]

의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다.

즉, [eqn: f(-1)＜0]이므로

[eqn: 1-2k+3k+4＜0]

[eqn: k＜-5]

따라서 정수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: -6]이다.

8   만나지 않는다.

답

9   ⑴ 최댓값: [eqn: 3], 최솟값: [eqn: -6]

답

⑵ 최댓값: [eqn: 3], 최솟값: [eqn: -5]

0   [eqn: k＜9]

답

1   [eqn: a=-3], [eqn: b=-10]

답

2   [eqn: m＜1]

답

3   [eqn: 900] 원

답

한 개당 이익금을 [eqn: 100x]원씩 줄인다고 하면 한 개당 이익은 [eqn: (1000-100x)]원이고, 하루에 팔리는 카드의 수는 [eqn: 64+8x]이므로 하루 동안의 이익 [eqn: y]원은

풀이

[eqn: y][eqn: =(1000-100x)(64+8x)]
[eqn: =-800(x-1)^2 +64800]

따라서 [eqn: x=1]일 때 [eqn: y]가 최대이므로 한 개당

[eqn: 1000-100 times 1=900] (원)

의 이익을 남기고 팔아야 한다.

4   [eqn: 1]

답

[eqn: y][eqn: =-x^2 +2x+a]
[eqn: =-(x-1)^2 +a+1]	…… ㉮

풀이

[eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 최댓값은 [eqn: x=1]일 때 [eqn: a+1]이므로 [eqn: a+1=5]에서

[eqn: a=4]	…… ㉯

따라서 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]일 때 [eqn: y=-(x-1)^2 +5]는 [eqn: x=-1]에서 최솟값 [eqn: 1]을 갖는다.	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	주어진 이차함수의 식을 완전제곱식의 꼴로 변형한다.	40%
㉯	[eqn: a]의 값을 구한다.	30%
㉰	이차함수의 최솟값을 구한다.	20%

5   [eqn: 9]

답

[eqn: y=x^2 -4x+k]를 변형하면

풀이

[eqn: y=(x-2)^2 +k-4]	…… ㉮

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 주어진 함수는 [eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: k-4]를 갖는다. 이때 최솟값이 [eqn: 5]이므로

[eqn: k-4=5], [eqn: k=9]	…… ㉯

따라서 [eqn: y=x^2 -4x+9]이므로 [eqn: x=0]에서 최댓값 [eqn: 9]를 갖는다.	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	이차함수의 식을 완전제곱식의 꼴로 변형한다.	40%
㉯	[eqn: k]의 값을 구한다.	30%
㉰	이차함수의 최댓값을 구한다.	30%