등식 [eqn: (x+2i)(2-i)=6+yi]를 만족하는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은?

01 복소수와 이차방정식

00  수학Ⅰ

Ⅰ.다항식  00

1

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: alpha =a-2i], [eqn: beta =3+bi]일 때, [eqn: alpha + bar { beta } = 5-6i]를 만족하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: bar { beta }]는 [eqn: beta]의 켤레복소수이다.)

2

[eqn: LEFT ( {1-i}over{i} RIGHT )^4 + LEFT ( {1+i}over {i} RIGHT )^4]의 값은?

3

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

[eqn: z=1+i]일 때, [eqn: {z bar { z} }over{z- bar { z} }]의 값은? (단, [eqn: bar { z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

4

① [eqn: -2i]	② [eqn: -1-i]	③ [eqn: -i]

④ [eqn: i]	⑤ [eqn: 1+i]

이차방정식 [eqn: x^2 -10x-2=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: (alpha - beta )^2]의 값은?

5

① [eqn: 92]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 104]	⑤ [eqn: 108]

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]의 두 근이 [eqn: a], [eqn: b]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: ab != 0])

6

이차방정식 [eqn: x^2 -ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 3+i]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

7

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

이차방정식 [eqn: 2x^2 +ax+b=0]에서 [eqn: a]의 값을 잘못 보고 풀었더니 두 근이 [eqn: 1], [eqn: 3]이 되었고, [eqn: b]의 값을 잘못 보고 풀었더니 두 근이 [eqn: -1], [eqn: 2]가 되었다. 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

8

[eqn: x]에 대한 이차방정식

9

[eqn: x^2 +(a^2 -3a-4)x-a+2=0]의 두 실근의 절댓값이 서로 같고 부호가 다를 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha+ beta=1], [eqn: alpha beta=6]일 때, 이차방정식 [eqn: f(2x-1)=0]의 두 근의 곱은?

10

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]     ③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

이차방정식 [eqn: x^2 +x-3=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: f( alpha )=f( beta )=1]을 만족하는 이차식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(3)]의 값은? (단, [eqn: f(x)]의 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: 1]이다.)

11

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

이차방정식 [eqn: x^2 +3x-2=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, 다음을 두 근으로 갖고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하여라.

12

⑴ [eqn: alpha +1], [eqn: beta+1]

⑵ [eqn: alpha + beta], [eqn: alpha beta]

복소수 [eqn: z={1+i}over{sqrt2}]에 대하여 [eqn: z^1014 = a+bi]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

13

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

이차방정식 [eqn: x^2 -x-5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: alpha+ beta]와 [eqn: alpha beta]를 두 근으로 갖고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 [eqn: x^2 +ax+b=0]이라고 하자. 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

14

이차방정식 [eqn: x^2 -2x+2k-5=0]이 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

15

01 복소수와 이차방정식

④

답

[eqn: (x+2i)(2-i)][eqn: =(2x+2)+(4-x)i]
[eqn: =6+yi]

풀이

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: 2x+2=6], [eqn: 4-x=y]

따라서 [eqn: x=2], [eqn: y=2]이므로   [eqn: x+y=4]

2   6

답

[eqn: beta =3+bi]이므로   [eqn: bar { beta }= 3-bi]

풀이

[eqn: alpha + bar { beta }][eqn: =(a-2i)+(3-bi)]
[eqn: =(a+3)-(b+2)i]
[eqn: =5-6i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a+3=5], [eqn: b+2=6]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=4]이므로   [eqn: a+b=6]

3   ②

답

[eqn: LEFT ( {1-i}over i RIGHT )^2 = {-2i}over{-1}= 2i]

풀이

[eqn: LEFT ( {1+i}over i RIGHT )^2 = {2i}over{-1}= -2i]

[eqn: LEFT ( {1-i}over i RIGHT )^4 + LEFT ( {1+i}over i RIGHT )^4][eqn: = (2i)^2 +(-2i)^2]
[eqn: =(-4)+(-4)=-8]

4   ③

답

[eqn: z=1+i]이므로   [eqn: bar { z} =1-i]

풀이

[eqn: {z bar { z} }over{z- bar { z} }][eqn: = {(1+i)(1-i)}over{1+i-(1-i)}= 2 over 2i]
[eqn: = 1over i = -i]

5   ⑤

답

[eqn: x^2 -10x-2=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

풀이

[eqn: alpha+ beta =10], [eqn: alpha beta =-2]

따라서 [eqn: (alpha - beta )^2][eqn: =( alpha + beta )^2 -4 alpha beta]
[eqn: =10^2 -4 cdot (-2)=108]

6   [eqn: 5]

답

[eqn: x^2 +ax+b=0]의 두 근이 [eqn: a], [eqn: b]이므로

풀이

[eqn: a+b=-a], [eqn: ab=b]

[eqn: ab=b]에서   [eqn: (a-1)b=0]

이때 [eqn: b != 0]이므로   [eqn: a=1]

[eqn: a+b=-a]에서 [eqn: b=-2a=-2]이므로

[eqn: a^2 +b^2 =1^2 +(-2)^2 =5]

7   ③

답

계수가 실수인 이차방정식 [eqn: x^2 -ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 3+i]이므로 다른 한 근은 [eqn: 3-i]이다.

풀이

따라서 두 근의 합은

[eqn: a=(3+i)+(3-i)=6]

두 근의 곱은

[eqn: b=(3+i)(3-i)=9+1=10]

이므로   [eqn: a+b=6+10=16]

8   [eqn: 40]

답

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 2]이고, 두 수 [eqn: 1], [eqn: 3]을 근으로 갖는 이차방정식은

풀이

[eqn: 2(x-1)(x-3)=0], [eqn: 2x^2 -8x+6=0]

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 2]이고, 두 수 [eqn: -1], [eqn: 2]를 근으로 갖는 이차방정식은

[eqn: 2(x+1)(x-2)=0], [eqn: 2x^2 -2x-4=0]

따라서 [eqn: a=-2], [eqn: b=6]이므로   [eqn: a^2 +b^2 =40]

9   [eqn: 4]

답

두 실근의 절댓값이 서로 같고 부호가 다르므로 두 근의 합은 [eqn: 0]이어야 한다.

풀이

즉, [eqn: -(a^2 -3a-4)=0]이므로

[eqn: (a+1)(a-4)=0]

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=4]	…… ㉠

또, 두 근의 곱은 음수이므로

[eqn: -a+2＜0], [eqn: a＞2]

따라서 ㉠에서   [eqn: a=4]

0   ③

답

이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

풀이

[eqn: f(x)][eqn: =a(x- alpha )(x- beta )]
[eqn: =a left {x^2 -( alpha + beta )x+ alpha beta right }]
[eqn: =a(x^2 -x+6)(a != 0)]

위 식에 [eqn: x] 대신 [eqn: 2x-1]을 대입하면

[eqn: f(2x-1)][eqn: =a left {(2x-1)^2 -(2x-1)+6 right]
[eqn: =a(4x^2 -6x+8)]

따라서 이차방정식 [eqn: f(2x-1)=0]은

[eqn: a(4x^2 -6x+8)=0]

이므로 두 근의 곱은   [eqn: 8over4 =2]

1   ①

답

[eqn: f( alpha )-1=f( beta )-1=0]이므로 이차방정식

풀이

[eqn: f(x)-1=0]의 두 근은 [eqn: alpha], [eqn: beta]이다.

[eqn: f(x)]의 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x)-1=(x- alpha )(x- beta )]

이때 [eqn: alpha + beta =-1], [eqn: alpha beta =-3]이므로

[eqn: f(x)-1][eqn: =x^2 -( alpha + beta )x+ alpha beta]
[eqn: =x^2 +x-3]

따라서 [eqn: f(x)=x^2 +x-2]이므로   [eqn: f(3)=10]

2   ⑴ [eqn: x^2 +x-4=0]

답

⑵ [eqn: x^2 +5x+6=0]

3   [eqn: -1]

답

[eqn: z^2 = LEFT ( {1+i}over {sqrt2 } RIGHT ) ^2 = 2i over 2 =i]이므로

풀이

[eqn: z^4 =-1], [eqn: z^8 =1]

[eqn: z^1014]을 구하면

[eqn: z^ 1014 = (z^8 )^ 126 cdot z^6 = z^6 = z^4 cdot z^2 = -i]

따라서 [eqn: a=0], [eqn: b=-1]이므로

[eqn: a+b=-1]

4   [eqn: -1]

답

[eqn: x^2 -x-5=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

풀이

[eqn: alpha + beta =1], [eqn: alpha beta =-5]	…… ㉮

[eqn: alpha + beta]와 [eqn: alpha beta]의 합과 곱을 각각 구하면

[eqn: (alpha + beta )+ alpha beta =-4], [eqn: (alpha + beta ) alpha beta =-5]	…… ㉯

따라서 [eqn: alpha + beta]와 [eqn: alpha beta]를 두 근으로 갖고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은

[eqn: x^2 -(-4)x-5=0]

[eqn: x^2 +4x-5=0]	…… ㉰

따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=-5]이므로

[eqn: a+b=-1]	…… ㉱

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	[eqn: alpha + beta], [eqn: alpha beta]의 값을 각각 구한다.	30%
㉯	[eqn: (alpha + beta )+ alpha beta], [eqn: (alpha + beta ) alpha beta]의 값을 구한다.	30%
㉰	[eqn: alpha + beta]와 [eqn: alpha beta]를 두 근으로 갖고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구한다.	30%
㉱	[eqn: a+b]의 값을 구한다.	10%

5   [eqn: 3]

답

이차방정식 [eqn: x^2 -2x+2k-5=0]의 판별식을 [eqn: D]

풀이

라고 하면 [eqn: D over4][eqn: =(-1)^2 -1 cdot (2k-5)]
[eqn: =6-2k]	…… ㉮

주어진 이차방정식이 실근을 가지려면 [eqn: D over 4 GEQ 0]이어야 하므로

[eqn: 6-2k GEQ0], [eqn: k LEQ 3]	…… ㉯

따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	주어진 이차방정식의 판별식을 구한다.	50%
㉯	실근을 갖기 위한 [eqn: k]의 값의 범위를 구한다.	30%
㉰	[eqn: k]의 최댓값을 구한다.	20%