다음은 다항식을 인수분해한 것이다.  안에 알맞은 식을 써넣어라.

03 인수분해

00  수학Ⅰ

Ⅰ.다항식  00

1

⑴ [eqn: x ^{3} -27y ^{3}][eqn: =x ^{3} -(3y) ^{3}]
[eqn: =(x-3y)(][eqn: )]

⑵ [eqn: 27a^3 +54a^2 +36a+8]
[eqn: =(3a)^3 +3 cdot (3a)^2 +3 cdot 3a cdot 2^2 +2^3]
[eqn: =(][eqn: )^3]

다음 식을 인수분해하여라.
⑴ [eqn: a^2 +b^2 +c^2 +2ab-2bc-2ca]
⑵ [eqn: x^3 -9x^2 +27x-27]

2

다항식 [eqn: x^4 +2x^2 -8]을 인수분해하여라.

3

다음 중 다항식 [eqn: x^3 +2x^2 +2x+1]의 인수인 것은?
① [eqn: x^2 -1]	② [eqn: x^2 +1]
③ [eqn: x^2 -x+1]	④ [eqn: x^2 +x+1]
⑤ [eqn: x^2 +x-1]

4

다음 식을 인수분해하여라.
⑴ [eqn: x^6 -y^6]
⑵ [eqn: x^4 -2x^3 -x+2]

5

다음 식을 인수분해하여라.
⑴ [eqn: (x^2 -x)^2 +2x^2 -2x-15]
⑵ [eqn: (x^2 +2x-4)(x^2 +2x+2)+5]

6

다항식 [eqn: (a-b)^3 -b^3]을 인수분해하면?
① [eqn: a(a^2 -3ab+3b^2 )]
② [eqn: a(a^2 +3ab+3b^2 )]
③ [eqn: (a-b)(a^2 +ab+b^2 )]
④ [eqn: (a-2b)(a^2 -ab+b^2 )]
⑤ [eqn: (a-2b)(a^2 -ab-b^2 )]

7

다항식 [eqn: f(x)=x^3 +2x^2 +px+q]가 [eqn: x+1]과 [eqn: x-2]를 인수로 가질 때, 다음 중 다항식 [eqn: f(x)]의 또 다른 인수인 것은?
① [eqn: x-4]	② [eqn: x-3]	③ [eqn: x-1]
④ [eqn: x+2]	⑤ [eqn: x+3]

8

부피가 [eqn: (x^3 +7x^2 -17x+9) pi]인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 밑면의 반지름의 길이와 높이가 각각 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 일차식으로 나타내어질 때, 이 원기둥의 겉넓이는? (단, [eqn: x＞1])
① [eqn: 4pi x(x-1)]	② [eqn: 4pi (x-1)(x+2)]
③ [eqn: 4pi (x-1)(x+4)]	④ [eqn: 4pi (x+1)(x+2)]
⑤ [eqn: 4pi (x+1)(x+4)]

9

[eqn: f(x)=x^3 +x^2 -5x+3]일 때, 인수분해를 이용하여 [eqn: f(11)]의 값을 구하면?
① [eqn: 1400]	② [eqn: 1600]	③ [eqn: 1800]
④ [eqn: 2000]	⑤ [eqn: 2200]

10

밑면이 정사각형인 직육면체 모양의 우유갑의 부피가 [eqn: x^3 +9x^2 +24x+20]([eqn: x＞0])일 때, 높이를 [eqn: x]에 대한 식으로 나타내어라. (단, 밑면의 한 변의 길이와 우유갑의 높이는 모두 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 일차식이다.)

11

이차식 [eqn: f(x)]에 대하여 다항식
[eqn: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k]가 [eqn: left {f(x) right }^2] 꼴로 인수분해될 때, 상수 [eqn: k]의 값은?
① [eqn: -24]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 64]

12

[eqn: A=98^3 +6 cdot 98^2 +12 cdot 98+8]의 값을 구하려고 한다. 다음 물음에 답하여라.

13

⑴ [eqn: 98]을 [eqn: a]로 놓고 [eqn: A]를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타내어 그 식을 인수분해하여라.

⑵ ⑴을 이용하여 [eqn: A]의 값을 구하여라.

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

다항식 [eqn: f(x)=x^3 -(a+2)x^2 +4x-2]가
[eqn: x-a]로 나누어떨어지도록 [eqn: a]의 값을 정하고, 이때의 [eqn: f(x)]를 인수분해하여라.

14

다항식 [eqn: x^4 -18x^2 +81]이 [eqn: (x+a)^2 (x+b)^2]으로 인수분해될 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a＞b])

15

03 인수분해

⑴ [eqn: x^2 +3xy+9y^2]     ⑵ [eqn: 3a+2]

답

2   ⑴ [eqn: (a+b-c)^2]     ⑵ [eqn: (x-3)^3]

답

3   [eqn: (x^2 -2)(x^2 +4)]

답

[eqn: x^2 =X]로 놓으면

풀이

[eqn: x^4 +2x^2 -8][eqn: =X^2 +2X-8]
[eqn: =(X-2)(X+4)]
[eqn: =(x^2 -2)(x^2 +4)]

4   ④

답

[eqn: x^3 +2x^2 +2x+1=(x+1)(x^2 +x+1)]
따라서 인수인 것은 ④ [eqn: x^2 +x+1]이다.

풀이

5   ⑴ [eqn: (x+y)(x-y)(x ^{2} +xy+y ^{2} )(x ^{2} -xy+y ^{2} )]
⑵ [eqn: (x-1)(x-2)(x^2 +x+1)]

답

6   ⑴ [eqn: (x^2 -x+5)(x^2 -x-3)]
⑵ [eqn: (x+3)(x-1)(x+1)^2]

답

7   ④

답

[eqn: (a-b)^3 -b^3]
[eqn: = left {(a-b)-b right } left {(a-b)^2 +(a-b)b+b^2 right }]
[eqn: =(a-2b)(a^2 -ab+b^2 )]

풀이

8   ⑤

답

[eqn: f(-1)=0], [eqn: f(2)=0]이므로
[eqn: -p+q+1=0], [eqn: 2p+q+16=0]
위의 두 식을 연립하여 풀면  [eqn: p=-5], [eqn: q=-6]
주어진 다항식은 [eqn: x^3 +2x^2 -5x-6]이므로
[eqn: x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x-2)(x+3)]
따라서 다항식 [eqn: f(x)]의 또 다른 인수인 것은 ⑤ [eqn: x+3]이다.

풀이

9   ③

답

[eqn: (x^3 +7x^2 -17x+9)pi =(x-1)^2 (x+9)pi]이므로 주어진 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 [eqn: x-1], 높이는 [eqn: x+9]이다.
따라서 구하는 원기둥의 겉넓이는
[eqn: 2pi (x-1)(x+9)+2pi(x-1)^2]
[eqn: =2pi (x-1)(x+9+x-1)]
[eqn: =4pi (x-1)(x+4)]

풀이

0   ①

답

[eqn: f(x)][eqn: =(x-1)(x^2 +2x-3)][eqn: =(x-1)^2 (x+3)]

풀이

이므로   [eqn: f(11)=10^2 cdot 4=1400]

1   [eqn: x+5]

답

[eqn: x^3 +9x^2 +24x+20=(x+2)^2 (x+5)]이므로
직육면체의 밑면인 정사각형의 한 변의 길이는
[eqn: x+2]이고, 높이는 [eqn: x+5]이다.

풀이

2   ③

답

[eqn: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k]
[eqn: =(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+k]
[eqn: =(x^2 +8x+7)(x^2 +8x+15)+k]
[eqn: x^2 +8x=X]로 놓으면
[eqn: (X+7)(X+15)+k][eqn: =X^2 +22X+105+k]
이 식이 완전제곱식이 되려면
[eqn: 105+k=11^2], [eqn: k=121-105=16]

풀이

3   ⑴ [eqn: (a+2) ^{3}]    ⑵ [eqn: 1000000]

답

⑴ [eqn: A=a^3 +6a^2 +12a+8=(a+2)^3]
⑵ ⑴의 식에 [eqn: a=98]을 대입하면
[eqn: A=(98+2)^3 =1000000]

풀이

4   [eqn: (x-1)(x ^{2} -2x+2)]

바른 답 ․ 알찬 풀이

답

[eqn: f(a)=0]이므로
[eqn: f(a)=a^3 -(a+2)a^2 +4a-2=0]	…… ㉮
위의 식을 정리하면
[eqn: a^2 -2a+1=0], [eqn: (a-1)^2 =0]
[eqn: a=1]	…… ㉯
따라서 주어진 다항식은
[eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +4x-2]이므로 인수분해하면

풀이

[eqn: f(x)][eqn: =x^3 -3x^2 +4x-2]
[eqn: =(x-1)(x^2 -2x+2)]	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	[eqn: f(x)]가 [eqn: x-a]로 나누어떨어짐을 이용하여 식을 세운다.	40%
㉯	[eqn: a]의 값을 구한다.	20%
㉰	[eqn: f(x)]를 인수분해한다.	40%

5   [eqn: 6]

답

[eqn: x^4 -18x^2 +81][eqn: =(x^2 -9)^2]
[eqn: =(x+3)^2 (x-3)^2]	…… ㉮

풀이

이때 [eqn: a＞b]이므로   [eqn: a=3], [eqn: b=-3]	…… ㉯
따라서   [eqn: a-b=6]	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	주어진 식을 인수분해한다.	50%
㉯	[eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구한다.	30%
㉰	[eqn: a-b]의 값을 구한다.	20%