등식 [eqn: (a-3)x+b+1=0]이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값은?
① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

02 나머지정리

00  수학Ⅰ

Ⅰ.다항식  00

1

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 각각 정하여라.
⑴ [eqn: (x-2)(x+a)=bx^2 -3x+c]
⑵ [eqn: 3x ^{2} -5=a(x-1)(x+1)+b(x+1)+c(x-1)]

2

등식 [eqn: (b-1)x+a(b+1)-4=0]이 [eqn: x]의 값에 관계없이 항상 참이 될 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

3

등식 [eqn: (k-2)x+3ky-(4+k)=0]이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 참이 될 때, 상수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x^2 +y^2]의 값을 구하여라.

4

다항식 [eqn: f(x)=x^3 +3x^2 -5x+2]를 [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지는?
① [eqn: -16]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -4]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

5

다항식 [eqn: f(x)=x^3 +2x^2 -4x+1]을 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.
⑴ [eqn: x-1]	⑵ [eqn: 2x+1]

6

다항식 [eqn: f(x)=x^7 +3x^3 +ax-1]이 [eqn: x+1]로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a]의 값은?
① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]
④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

7

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 13]일 때, [eqn: (x-2)f(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지는?
① [eqn: 13]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 39]

8

다항식 [eqn: f(x)=x^2 -ax+5]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R_1], [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R_2]라고 하자.
[eqn: R_1 -R_2 =28]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?
① [eqn: -28]	② [eqn: -14]	③ [eqn: -6]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 14]

9

[eqn: t]년 후의 어느 나무의 높이를 [eqn: h]([eqn: t]) m라고 하면 [eqn: 1 LEQ t LEQ 7]일 때,
[eqn: h(t)= 1over100 (-t^3 +12t^2 +13t-5)]
인 관계식이 성립한다고 한다. 다음 물음에 답하여라.

10

⑴ [eqn: h(t)]를 [eqn: t-2]로 나누었을 때의 나머지를 구하고, 이 나머지는 몇 년 후의 나무의 높이인지 구하여라.

⑵ [eqn: 4]년 후의 나무의 높이는 [eqn: h(t)]를 [eqn: t-a]로 나누었을 때의 나머지와 같다고 할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

다항식 [eqn: f(x)-2]가 [eqn: x^2 -4]로 나누어떨어질 때, 다항식 [eqn: f(x+1)]을 [eqn: x^2 +2x-3]으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

11

삼차식 [eqn: f(x)]가 다음을 모두 만족시킨다. 이때 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -3x+2]로 나누었을 때의 나머지는?

① [eqn: x]	② [eqn: x+1]	③ [eqn: x+2]
④ [eqn: x+3]	⑤ [eqn: x+4]

12

㈎ [eqn: f(0)=5]  ㈏ [eqn: f(x+1)=f(x)+x^2]

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

등식 [eqn: x^4 +ax^3 +x+b=(x+1)(x-2)f(x)]가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하여라.

13

다항식 [eqn: 2x^3 -3x^2 +ax+b]가 [eqn: x+1]과
[eqn: 2x-1]로 모두 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

14

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 이차식 [eqn: f(x)]가 서로 다른 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: f(a)=f(b)=0], [eqn: f(0)=7]
을 만족시킨다. 이때 다항식 [eqn: f(x)]를
[eqn: x-5]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

15

02 나머지정리

①

답

[eqn: a-3=0], [eqn: b+1=0]에서 [eqn: a=3], [eqn: b=-1]이므로
[eqn: a^2 +b^2 =9+1=10]

풀이

2   ⑴ [eqn: a=-1], [eqn: b=1], [eqn: c=2]
⑵ [eqn: a=3], [eqn: b=-1], [eqn: c=1]

답

3   [eqn: 3]

답

[eqn: a=2], [eqn: b=1]이므로   [eqn: a+b=3]

풀이

4   [eqn: 5]

답

[eqn: x=-2], [eqn: y=1]이므로   [eqn: x^2 +y^2 =5]

풀이

5   ⑤

답

[eqn: f(-2)=-8+12+10+2=16]

풀이

6   ⑴ [eqn: 0]    ⑵ [eqn: 27over8]

답

7   ③

답

[eqn: f(-1)=0]이므로
[eqn: -1-3-a-1=0], [eqn: a=-5]

풀이

8   ③

답

[eqn: f(4)=13]이므로 [eqn: (x-2)f(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지는
[eqn: (4-2)f(4)=2f(4)=2 times 13=26]

풀이

9   ②

답

[eqn: R_1 =f(1)=6-a]
[eqn: R_2 = f(-1)=6+a]
[eqn: R_1 - R_2 = -2a=28]
따라서   [eqn: a=-14]

풀이

0   ⑴ [eqn: 2]년 후    ⑵ [eqn: 4]

답

⑴ 나머지정리에 의하여 [eqn: h(t)]를 [eqn: t-2]로 나누었을 때의 나머지는

풀이

[eqn: h(2)][eqn: = 1over100 (-2^3 +12 cdot 2^2 +13 cdot 2 -5)]
[eqn: = 61over100]

이 나머지는 [eqn: t=2]일 때 [eqn: h(t)]의 값이므로 [eqn: 2]년 후의 나무의 높이이다.

⑵ [eqn: 4]년 후의 나무의 높이는 [eqn: h(4)] m이고, 이것은 [eqn: h(t)]를 [eqn: t-4]로 나누었을 때의 나머지이므로  [eqn: a=4]

1   [eqn: 2]

답

[eqn: g(x)=f(x)-2]로 놓으면 [eqn: g(x)]가 [eqn: x^2 -4], 즉
[eqn: (x-2)(x+2)]로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여
[eqn: g(2)=f(2)-2=0]
[eqn: g(-2)=f(-2)-2=0]
즉, [eqn: f(2)=f(-2)=2]이다.
[eqn: f(x+1)]을 [eqn: x^2 +2x-3]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

풀이

[eqn: f(x+1)][eqn: =(x^2 +2x-3)Q(x)+ax+b]
[eqn: =(x-1)(x+3)Q(x)+ax+b]

항등식의 성질에 의하여
[eqn: f(2)=a+b=2]	…… ㉠
[eqn: f(-2)=-3a+b=2]	…… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면   [eqn: a=0], [eqn: b=2]
따라서 구하는 나머지는 [eqn: 2]이다.

2   ⑤

답

[eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -3x+2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

풀이

[eqn: f(x)][eqn: =(x^2 -3x+2)Q(x)+ax+b]
[eqn: =(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b]

㈎, ㈏에 의하여
[eqn: f(1)=f(0)+0=5], [eqn: f(2)=f(1)+1=6]
이므로
[eqn: f(1)=a+b=5], [eqn: f(2)=2a+b=6]
위의 두 식을 연립하여 풀면   [eqn: a=1], [eqn: b=4]
따라서 구하는 나머지는   [eqn: x+4]

3   [eqn: 7]

답

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면
[eqn: 1-a-1+b=0]
[eqn: a=b]                 …… ㉠
주어진 등식의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면
[eqn: 16+8a+2+b=0]
[eqn: 8a+b+18=0]        …… ㉡	…… ㉮
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
[eqn: a=-2], [eqn: b=-2]	…… ㉯
따라서 주어진 등식은
[eqn: x^4 -2x^3 +x-2=(x+1)(x-2)f(x)]
이 등식의 양변에 [eqn: x=3]을 대입하면
[eqn: 81-54+3-2=4f(3)], [eqn: 28=4f(3)]
[eqn: f(3)=7]	…… ㉰

풀이

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	항등식의 성질을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b]에 대한 방정식을 세운다.	40%
㉯	[eqn: a], [eqn: b]의 값을 구한다.	30%
㉰	[eqn: f(3)]의 값을 구한다.	30%

4   [eqn: -1]

답

[eqn: f(x)=2x^3 -3x^2 +ax+b]로 놓으면
[eqn: f(-1)=0]이므로
[eqn: 2 cdot (-1)^3 -3 cdot (-1)^2 +a cdot (-1)+b=0]
[eqn: -a+b-5=0]     …… ㉠	…… ㉮
[eqn: f LEFT ( 1over2 RIGHT ) =0]이므로
[eqn: 2 cdot LEFT ( 1over2 RIGHT )^3 - 3 cdot LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 + a cdot 1over2 + b =0]
[eqn: 1over2 a + b - 1over2 = 0]    …… ㉡	…… ㉯
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-3], [eqn: b=2]이므로
[eqn: a+b=-1]	…… ㉰

풀이

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	주어진 식이 [eqn: x+1]로 나누어떨어짐을 이용하여 식을 세운다.	40%
㉯	주어진 식이 [eqn: 2x-1]로 나누어떨어짐을 이용하여 식을 세운다.	40%
㉰	[eqn: a+b]의 값을 구한다.	20%

5   [eqn: -8]

답

[eqn: f(a)=f(b)=0]이므로
[eqn: f(x)=(x-a)(x-b)]
로 놓자.	…… ㉮
[eqn: f(0)=7]에서   [eqn: ab=7]
[eqn: a], [eqn: b]는 서로 다른 자연수이므로
[eqn: a=1], [eqn: b=7] 또는 [eqn: a=7], [eqn: b=1]	…… ㉯
따라서 [eqn: f(x)=(x-1)(x-7)]이므로 다항식
[eqn: f(x)]를 [eqn: x-5]로 나누었을 때의 나머지는
[eqn: f(5)=4 cdot (-2)=-8]	…… ㉰

풀이

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	[eqn: f(a)=f(b)=0]임을 이용하여 [eqn: f(x)]의 식을 세운다.	40%
㉯	[eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구한다.	40%
㉰	[eqn: f(5)]의 값을 구한다.	20%