두 다항식 [eqn: A=2x^2 -3x+1], [eqn: B=x^2 +x-4]에 대하여 다음을 계산하여라.
⑴ [eqn: A+B]	⑵ [eqn: B-(A-2B)]

00  수학Ⅰ

Ⅰ.다항식  00

1

다항식 [eqn: 2x^2 -xy+y^2 -2(x^2 -2xy+y^2 )]을
간단히 하면?
① [eqn: 3xy+y^2]	② [eqn: 3xy-y^2]
③ [eqn: -3xy+y^2]	④ [eqn: 4x^2 +3xy+y^2]
⑤ [eqn: 4x^2 -3xy+y^2]

2

두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]가 다음 식을 만족할 때, 다항식 [eqn: B]는?
① [eqn: 2x+1]	② [eqn: 2x+2]	③ [eqn: 3x]
④ [eqn: 3x+1]	⑤ [eqn: 3x+2]

3

[eqn: A+B=x^2 +4x+5], [eqn: A-B=x^2 -2x+1]

다음 식을 전개하여라.
⑴ [eqn: (a-b+c)^2]
⑵ [eqn: (c-2)(c^2 +2c+4)]

4

[eqn: (2x-3y)^3]을 전개한 식에서 [eqn: x^2 y]의 계수는?
① [eqn: -36]	② [eqn: -18]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 36]

5

다항식 [eqn: 1+(x-1)(x+1)(x^2 +1)]을 간단히 하면?
① [eqn: x^4]	② [eqn: x^4 -1]
③ [eqn: x^4 +1]	④ [eqn: x^4 +x^2 -1]
⑤ [eqn: x^4 +x^2 +1]

6

[eqn: a+b=4], [eqn: ab=-1]일 때, 다음 식의 값을 구하여라. (단, [eqn: a＞b])
⑴ [eqn: a^3 +b^3]	⑵ [eqn: a^3 -b^3]

7

[eqn: x+y+z=0], [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =7]일 때,
[eqn: x^2 y^2 +y^2 z^2 +z^2 x^2 = q over p]이다. 이때 [eqn: p+q]의
값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)
① [eqn: 50]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 52]
④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 54]

8

다음 두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A]를 [eqn: B]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 구하여라.
⑴ [eqn: A=x^3 +2x-1], [eqn: B=x-2]
⑵ [eqn: A=2x^3 -x^2 -x+11], [eqn: B=x^2 +x+1]

9

다항식 [eqn: 4x^3 +2x^2 -3x+5]를 다항식
[eqn: x^2 -2x+4]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 구하여라.

10

다항식 [eqn: x^3 +4x-3]을 다항식 [eqn: A]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: x+1]이고, 나머지가
[eqn: 2x-6]이다. 이때 다항식 [eqn: A]를 구하여라.

11

다음은 [eqn: x]에 대한 삼차식을 일차식으로 나누는 과정을 나타낸 것이다. 다섯 개의 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]에 대하여
[eqn: a+b+c+d+e]의 값을 구하여라.

12

	[eqn: x^2]			[eqn: +]	[eqn: c]
[eqn: ax+1]	[eqn: -2x^3]	[eqn: +]	[eqn: x^2]	[eqn: -]	[eqn: 4x]	[eqn: +]	[eqn: 6]
	[eqn: ~bx^3]	[eqn: +]	[eqn: x^2]
				[eqn: -]	[eqn: 4x]	[eqn: +]	[eqn: 6]
					[eqn: dx]	[eqn: +]	[eqn: e]
							[eqn: 4]

)

다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: a-1]인 정육면체의 부피를 [eqn: A], 한 모서리의 길이가 [eqn: a+1]인 정육면체의 부피를 [eqn: B]라고 할 때, 두 정육면체의 부피의 합 [eqn: A+B]를 간단히 하면?

① [eqn: 2a^3 +6a]	② [eqn: 2a^3 -6a]
③ [eqn: 2a^3]	④ [eqn: 2a^3 +6a^2 +6a+2]
⑤ [eqn: 2a^3 -6a^2 +6a-2]

01 다항식의 연산

13

서술형 문제    [풀이 과정을 자세히 서술하여라.]

다항식 [eqn: x^3 +4x]를 다항식 [eqn: f(x)]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: x+1]이고, 나머지가
[eqn: 2x-3]일 때, 다항식 [eqn: f(x)]와 [eqn: f(2)]의 값을 각각 구하여라.

14

오른쪽 그림과 같이 서로 외접하는 작은 두 구가 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 큰 구에 내접하고 있다. 작은 두 구의 부피의 합이 [eqn: 96pi]일 때, 작은 두 구의 겉넓이의 합을 구하여라.

15

01 다항식의 연산

⑴ [eqn: 3x^2 -2x-3]    ⑵ [eqn: x^2 +6x-13]

답

2   ②

답

[eqn: 2x^2 -xy+y^2 -2(x^2 -2xy+y^2 )]
[eqn: =2x^2 -xy+y^2 -2x^2 +4xy-2y^2]
[eqn: =3xy-y^2]

풀이

3   ⑤

답

주어진 두 식을 변끼리 빼면   [eqn: 2B=6x+4]
따라서   [eqn: B=3x+2]

풀이

4   ⑴ [eqn: a^2 +b^2 +c^2 -2ab-2bc+2ca]
⑵ [eqn: c^3 -8]

답

5   ①

답

[eqn: (2x-3y)^3 =8x^3 -36x^2 y+54xy^2 -27y^3]
따라서 [eqn: x^2 y]의 계수는 [eqn: -36]이다.

풀이

6   ①

답

[eqn: 1+(x-1)(x+1)(x^2 +1)]
[eqn: =1+(x^2 -1)(x^2 +1)]
[eqn: =1+(x^4 -1)=x^4]

풀이

7   ⑴ [eqn: 76]    ⑵ [eqn: 34 sqrt {5}]

답

⑵ [eqn: (a-b)^2 =(a+b)^2 -4ab=4^2 +4=20]
이때 [eqn: a＞b]이므로
[eqn: a-b= {sqrt20}=2 {sqrt5}]
따라서

풀이

[eqn: a^3 -b^3][eqn: =(a-b)^3 +3ab(a-b)]
[eqn: =40{sqrt5}-6{sqrt5}=34{sqrt5}]

8   ④

답

[eqn: (x+y+z)^2 =x^2 +y^2 +z^2 +2(xy+yz+zx)]
에서   [eqn: xy+yz+zx=- 7over2]
[eqn: (xy+yz+zx)^2]
[eqn: =x^2 y^2 +y^2 z^2 +z^2 x^2 +2xyz(x+y+z)]
에서   [eqn: x^2 y^2 +y^2 z^2 +z^2 x^2 = 49over4]
따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=49]이므로   [eqn: p+q=53]

풀이

9   ⑴ 몫: [eqn: x^2 +2x+6], 나머지: [eqn: 11]
⑵ 몫: [eqn: 2x-3], 나머지: [eqn: 14]

답

0   몫: [eqn: 4x+10], 나머지: [eqn: x-35]

답

몫: [eqn: 4x+10], 나머지: [eqn: x-35]

풀이

	[eqn: 4x]	[eqn: +]	[eqn: 10]
[eqn: x^2 -2x+4]	[eqn: 4x^3]	[eqn: +]	[eqn: ~2x^2]	[eqn: -]	[eqn: ~3x]	[eqn: +]	[eqn: ~5]
	[eqn: 4x^3]	[eqn: -]	[eqn: ~8x^2]	[eqn: +]	[eqn: 16x]
			[eqn: 10x^2]	[eqn: -]	[eqn: 19x]	[eqn: +]	[eqn: ~5]
			[eqn: 10x^2]	[eqn: -]	[eqn: 20x]	[eqn: +]	[eqn: 40]
					[eqn: ~~x]	[eqn: -]	[eqn: 35]

)

1   [eqn: x^2 -x+3]

답

2   [eqn: -4]

답

[eqn: a=-2], [eqn: b=-2], [eqn: c=2], [eqn: d=-4], [eqn: e=2]이므로
[eqn: a+b+c+d+e=-4]

풀이

3   ①

답

[eqn: A=(a-1)^3], [eqn: B=(a+1)^3]이므로

풀이

[eqn: A+B][eqn: =(a-1)^3 +(a+1)^3]
[eqn: =(a^3 -3a^2 +3a-1)]
[eqn: +(a^3 +3a^2 +3a+1)]
[eqn: =2a^3 +6a]

4   [eqn: f(x)=x^2 -x+3], [eqn: f(2)=5]

답

다항식 [eqn: x^3 +4x]를 다항식 [eqn: f(x)]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: x+1]이고, 나머지가 [eqn: 2x-3]이므로
[eqn: x^3 +4x=f(x)(x+1)+2x-3]	…… ㉮
따라서

풀이

[eqn: f(x)][eqn: =left {x^3 +4x-(2x-3) right } div (x+1)]
[eqn: =x^2 -x+3]	…… ㉯

이므로 [eqn: f(2)=2^2 -2+3=5]	…… ㉰

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	주어진 조건을 [eqn: A=BQ+R] 꼴로 나타낸다.	40%
㉯	[eqn: f(x)]를 구한다.	40%
㉰	[eqn: f(2)]의 값을 구한다.	20%

5   [eqn: 80 pi]

답

작은 두 구의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라고 하면
[eqn: a+b=6]	…… ㉮
작은 두 구의 부피의 합이 [eqn: 96pi]이므로
[eqn: 4over3 pi (a^3 +b^3 )=96pi]
[eqn: a^3 +b^3 =72]	…… ㉯
[eqn: (a+b)^3 =a^3 +b^3 +3ab(a+b])에서
[eqn: 6^3 =72+3ab cdot 6], [eqn: ab=8]	…… ㉰
따라서 작은 두 구의 겉넓이의 합은

풀이

[eqn: 4pi (a^2 +b^2 )][eqn: =4pi left{(a+b)^2 -2ab right }]
[eqn: =4pi (6^2 -2 cdot 8 )=80pi]	…… ㉱

단계	채점 요소	배점 비율
㉮	작은 두 구의 반지름의 길이의 합을 구한다.	10%
㉯	작은 두 구의 반지름의 길이의 세제곱의 합을 구한다.	30%
㉰	작은 두 구의 반지름의 길이의 곱을 구한다.	30%
㉱	작은 두 구의 겉넓이의 합을 구한다.	30%