확률과 통계	Ⅲ. 통계		2. 통계적 추정			반 / 번호
	01 모집단과 표본					이름

01

[eqn: 1,~ 3,~ 5,~ 7]의 숫자가 각각 적힌 [eqn: 4]개의 구슬이 들어 있는 주머니에서 크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: X]의 평균은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

02

정규분포 [eqn: rmN(20,~ 3^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가[eqn: 16]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: X]의 평균과 표준편차의 곱은?

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

03

정규분

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

포
[eqn: rmN(50,~ 6^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: X]에 대하여 [eqn: rmP(47 le it bar{X` `} le 56)]의 값은?

① [eqn: 0.53]	② [eqn: 0.62]	③ [eqn: 0.69]

④ [eqn: 0.77]	⑤ [eqn: 0.82]

04

정규분포 [eqn: rmN(60,~ 4^2 )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 [eqn: 64]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여[eqn: rmP(59 le it bar{X``} le k)=0.96]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

(단, [eqn: rmP(0 le it Z le 2)=0.48])

① [eqn: 57]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 59]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 61]

05

[eqn: 1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5]의 숫자가 하나씩 적힌 카드 [eqn: 5]장이 들어 있는 상자에서 복원추출로 [eqn: 3]장의 카드를 꺼낼 때, 세 카드에 적힌 숫자의 평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하자. 이때, 확률변수 [eqn: 3bar{X``}-10]의 평균과 분산의 합은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06

정규분포 [eqn: rmN(4,~ 1^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 추출하여 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하자. 다음 중 함수 [eqn: f ( n )=rmE(it{bar{X``}}^2 -2bar{X``}-8)]의 그래프의 개형으로 알맞은 것은?

①	②

③	④

⑤

07

어느 회사에서 생산되는 음료수의 용량은 평균이 [eqn: 1000~rm mL], 표준편차가 [eqn: 100~rm mL]인 정규분포를 따른다고 한다. 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출하여 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때,
[eqn: rmP(985 le itbar{X``} le 1010)]의 값은?

[eqn: (단,~ & rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)=0.3413,# rm & P(0 LEQ it Z LEQ 1.5)=0.4332)]

① [eqn: 0.6826]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8413]

④ [eqn: 0.8664]	⑤ [eqn: 0.9332]

08

정규분포 [eqn: rmN(76,~ 6^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여[eqn: rmP(74 le itbar{X``} le78) ge 0.95]인 [eqn: n]의 최솟값은?

(단, [eqn: rmP( 0le it Z le 2)=0.475])

① [eqn: 16]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 64]

09

어느 공장에서 판매하는 초콜릿 한 개의 무게는 평균이 [eqn: 100~rmg], 표준편차가 [eqn: 10~rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 [eqn: n^2]개의 초콜릿을 임의추출하여 한 상자에 포장할 때, 초콜릿 한 상자의 무게가 [eqn: 3.6~ rmkg] 이상이 될 확률이 [eqn: 0.5]가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값은? (단, 상자의 무게는 생각하지 않는다.)

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

10

[eqn: 2,~ 2,~ 3,~ 5]의 숫자가 각각 쓰여진 [eqn: 4]개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때 공에 적힌 숫자를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 크기가 [eqn: 3]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균과 분산의 합을 구하여라.

11

모집단에서 표본을 임의로 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대한 다음 의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.] 표본평균의 평균 [eqn: rm E( bar{itX``} )]는 표본의 크기에 관계없이 모평균과 일치한다.

[eqn: ㄴ.] 표본평균의 표준편차 [eqn: sigma(bar{itX``})]는 표본의 크기에 모표준편차를 곱한 값과 일치한다.

[eqn: ㄷ.] 표본의 크기를 [eqn: 4]배로 하면 표본평균의 표준편차 [eqn: sigma(bar{itX``})]는 반으로 줄어든다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

12

모집단의 확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rmN(10,~ 4)]를 따른다. 이 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 복원추출하여 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rmP (itX ge a)=rmP(it bar{X``}ge b)]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a,~ b] 사이의 관계식으로 옳은 것은?

① [eqn: a+b+1=0]	② [eqn: a-b+10=0]

③ [eqn: a-2b+10=0]	④ [eqn: a+b=0]

⑤ [eqn: a^2 +b^2 =0]

13

어느 공장에서 생산되는

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

비누의 무게는 평균이 [eqn: 120~rm g]이고, 표준편차가 [eqn: 10~ rm g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 비누 중에서 [eqn: 100]개를 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 [eqn: rmP(it bar{ X``} ge 118)]의 값은?

① [eqn: 0.48]	② [eqn: 0.69]	③ [eqn: 0.84]

④ [eqn: 0.93]	⑤ [eqn: 0.98]

14

모집 정원이 [eqn: 7]명인 어느 시험에 [eqn: 100]명이 응시하였다. [eqn: 100]명의 시험 점수가 평균이 [eqn: 70]점, 표준편차가 [eqn: 2]점인 정규분포를 따른다고 할 때, 합격자의 최저 점수는 몇 점인가?

(단, [eqn: rmP(it 0 le Z le 1.5)=0.43])

① [eqn: 70]점	② [eqn: 71]점	③ [eqn: 72]점

④ [eqn: 73]점	⑤ [eqn: 74]점

15

모평균이 [eqn: 10], 모분산이 [eqn: 8]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 [eqn: rmE( it {bar{X``} }^2 )]의 값은?

① [eqn: 98]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 102]

④ [eqn: 104]	⑤ [eqn: 106]

16

모집단의 확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 아래의 표와같다. 이 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균과 분산의 곱은?

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rmP(itX=x)]	[eqn: 4 over 10]	[eqn: 3 over 10]	[eqn: 2 over 10]	[eqn: 1 over 10]	[eqn: 1]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 2 over 5]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 3 over 5]

17

정규분포 [eqn: rmN(10,~ 25)]를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출할 때 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 [eqn: rm rmP(it bar{X``} ge k ) = 0.9772]를 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: rmP(0le it Z le 2)=0.4772])

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

18

모집단의 확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음과 같다. 모집단에서 크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출하여 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rm E( it bar{X``} ^{2} )]의 값은?

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	합계
[eqn: rmP(itX=x)]	[eqn: {1} over 6]	[eqn: 1 over 3]	[eqn: 1 over2]	[eqn: 1]

① [eqn: 5 over 36]	② [eqn: 7 over 36]	③ [eqn: {5} over 18]

④ [eqn: 7 over 18]	⑤ [eqn: 4 over 9]

19

어느 공장에서

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 3]	[eqn: 0.4987]

생산되는 제품의 무게는 평균이 [eqn: 11], 표준편차가 [eqn: 2]인 정규분포를 따른다고 한다. [eqn: rm A,~B] 두 사람이 각각 크기가 [eqn: 4]인 표본을 독립적으로 임의추출하였을 때, [eqn: rm A,~B]가 추출한 표본의 표본평균이 모두 [eqn: 10] 이상 [eqn: 14] 이하가 될 확률은?

① [eqn: 0.2944]	② [eqn: 0.5228]	③ [eqn: 0.6587]

④ [eqn: 0.7056]	⑤ [eqn: 0.8123]

20

정규분포 [eqn: rm N(76,~6 ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 [eqn: rm P(74 LEQ it bar{X``} LEQ 78) ge0.6826]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값은? (단, [eqn: rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)=0.3413])

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

21

[eqn: 2,~ 2,~ 3,~ 5]의 숫자가 각각 쓰여진 [eqn: 4]개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 나온 공에 적힌 숫자를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 여기서 크기가 [eqn: 3]인 표본을 복원추출할 때 표본평균[eqn: bar{X``}]의 평균과 분산의 곱을 구하여라.

22

모평균이 [eqn: 80], 모표준편차가 [eqn: 10]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 [eqn: rmP(78 le bar{itX``}le 82)]의값은? (단, [eqn: rmP(0 le it Z le 1)=0.34])

① [eqn: 0.32]	② [eqn: 0.34]	③ [eqn: 0.66]

④ [eqn: 0.68]	⑤ [eqn: 0.84]

23

수박 한 통에 들어 있는 씨의 개수가 [eqn: 40 `]개 이하일 때 씨 없는 수박이라 하고, 씨 없는 수박은 다른 수박에 비해 가격이 비싸다고 한다. 수박 한 통에 들어 있는 씨의 개수가 평균이 [eqn: 32], 표준편차가 [eqn: 8]인 정규분포를 따르는 [eqn: rmA] 품종의 수박 [eqn: 500]통을 재배한 농부가 이 수박을 씨 없는 수박으로 도매상에게 팔려고 한다. 도매상은 이 수박 중 임의 추출한 4개의 수박에 들어 있는 씨의 개수의 합이 [eqn: 160] 이하이면 [eqn: 500]통 전체를 씨 없는 수박의 가격에 사기로 약속하였다. 이때, 이 농부가 [eqn: 500]통의 수박을 씨 없는 수박으로 팔 확률은?

(단, [eqn: rmP(0 le it Z le 2)=0.48])

① [eqn: 0.48]	② [eqn: 0.5]	③ [eqn: 0.52]

④ [eqn: 0.96]	⑤ [eqn: 0.98]

24

정규분포 [eqn: rm N(30,~5 ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균 [eqn: rmE(itbar{X``})]와 분산 [eqn: rm V( it bar{X``} )]의 값을 구하여라.

25

주머니 속에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3]이 적힌 [eqn: 8]개의 공이 들어 있다. 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 복원추출하여 공에 적힌 수의 평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하자. 이때 [eqn: bar{X``}]의 평균과 분산의 합 [eqn: rm E( it bar{X``} )+rm V( it bar{X``} )] 의 값은?

① [eqn: 9 over 4]	② [eqn: 35 over 12]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7 over 2]	⑤ [eqn: 4]

26

모평균이 [eqn: 50], 모표준편차가 [eqn: 10]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균 [eqn: rmE(itbar{X``})]와 분산 [eqn: rm V( it bar{X``} )]를 차례로 적으면?

① [eqn: 50,~4]	② [eqn: 50,~5]	③ [eqn: 50,~10]

④ [eqn: 60,~4]	⑤ [eqn: 60,~5]

27

모평균이 [eqn: 10], 모분산이 [eqn: 8]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 복원추출할 때, 그 표본의 합을 [eqn: Y]라고 하자. [eqn: rmE(itY) + rmV(itY)]의 값을 구하여라.

28

[eqn: rm K] 회사에서

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.55]	[eqn: 0.440]
[eqn: 1.65]	[eqn: 0.450]
[eqn: 1.75]	[eqn: 0.460]
[eqn: 1.96]	[eqn: 0.475]

생산되는 형광등의 수명은 평균이 [eqn: 5000]시간, 표준편차가 [eqn: 300]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제품 중에서 임의로 [eqn: n`]개의 표본을 뽑아 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rm P(4950 LEQ it bar{X``} LEQ 5050)ge 0.9]를 만족시키는 결과가 나오게 하려면 [eqn: n]의 값을 최소한 얼마로 하여야 하는지 구하여라.

29

모평균이 [eqn: 30], 모표준편차가 [eqn: 6]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 9]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]가 [eqn: 28] 이상 [eqn: 32] 이하일 확률은?

(단, [eqn: rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)=0.34])

① [eqn: 0.34]	② [eqn: 0.48]	③ [eqn: 0.54]

④ [eqn: 0.68]	⑤ [eqn: 0.72]

30

모평균이 [eqn: 20], 모표

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.65]	[eqn: 0.450]
[eqn: 1.96]	[eqn: 0.475]
[eqn: 2.17]	[eqn: 0.485]
[eqn: 2.33]	[eqn: 0.490]
[eqn: 2.58]	[eqn: 0.495]

준편차가 [eqn: 4]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여
[eqn: rmP( it{bar{X``} ge 20+k )=f(k)]라고 하자. 이때, [eqn: f(k) le 0.025]를 만족시키는 [eqn: k]의 최솟값은?

① [eqn: 1.65]	② [eqn: 1.96]	③ [eqn: 2.17]

④ [eqn: 2.33]	⑤ [eqn: 2.58]

31

어느 자동판

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.55]	[eqn: 0.440]
[eqn: 1.65]	[eqn: 0.450]
[eqn: 1.75]	[eqn: 0.460]
[eqn: 1.96]	[eqn: 0.475]

매기에서 판매되는 커피의 용량은 평균이 [eqn: 100`rmmL], 표준편차가 [eqn: 5`rmmL]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자동판매기에서 임의로 [eqn: n]개의 커피를 뽑아 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rmP(99 le it bar{X``} le 101 ) ge 0.9]를 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값은?

① [eqn: 60]	② [eqn: 63]	③ [eqn: 66]

④ [eqn: 69]	⑤ [eqn: 72]

32

모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 [eqn: 6]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때,
[eqn: rmP( ` |`itbar{X``} -m ` | le 0.98 ) ge 0.95]를 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라.

(단, [eqn: rm P(0 LEQ it Z LEQ 1.96)=0.475])

33

모집단의 확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같다. 이 모집단에서 크기가 [eqn: 9]인 표본을 복원추출할 때, 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하자. 이때 분산 [eqn: rm V( it bar{X``} )]의 값은?

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rmP(itX=x)]	[eqn: 4 over 10]	[eqn: 3 over 10]	[eqn: 2 over 10]	[eqn: 1 over 10]	[eqn: 1]

① [eqn: 1 over 9]	② [eqn: 1 over 8]	③ [eqn: 1 over 6]

④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 1 over 3]

34

어느 비누회사에서 생산하는 비

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

누의 용량은 평균이 [eqn: 100`rmg], 표준편차가 [eqn: 5`rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사 비누 [eqn: 400]개를 임의추출하여 그 표본평균 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rmP( 99.4 le itbar{X``} le 100.25 )]의 값은?

① [eqn: 0.5328]	② [eqn: 0.6826]	③ [eqn: 0.7745]

④ [eqn: 0.8185]	⑤ [eqn: 0.9544]

35

숫자 [eqn: 1,~2,~3]이 각각 적힌 [eqn: 3]장의 카드에서 카드 [eqn: 2]장을 복원추출하는 방법의 수를 구하여라.

36

정규분포 [eqn: rmN(5,~4^2 )]을 따르는 모집단에서 크기 [eqn: n=16]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균과 표준편차를 구하여라.

37

모평균이 [eqn: 6], 모표준편차가 [eqn: 2]인 모집단에서 크기 [eqn: n=100]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 분포를 구하여라.

38

정규분포 [eqn: rmN(30,~5^2 )]을 따르는 모집단에서 크기 [eqn: 100]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균과 분산을 구하여라.

39

평균이 [eqn: 50], 표준편차가 [eqn: 10]인 정규분포를 따르는 어떤 모집단에서 킉 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균과 분산을 구하여라.

40

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5]의 숫자가 하나씩 적힌 구슬이 [eqn: 5]개 들어 있는 주머니에서 복원추출로 [eqn: 2]개의 구슬을 꺼내어 그 구슬에 적힌 숫자의 평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rmE(itbar{X``})]와 [eqn: rm V( it bar{X``} )]를 구하여라.

41

어떤 회사에서 생산

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]

하는 통조림의 무게는 평균이 [eqn: 500``rmg], 표준편차가 [eqn: 10``rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 중에서 [eqn: 25]개의 통조림을 임의추출할 때, 무게의 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 다음 확률을 구하여라.
(1) [eqn: rm P( it bar{X``} LEQ 496)]
(2) [eqn: rm P(498 LEQ bar{it X`` rm} LEQ 502)]

42

[eqn: 1,~3,~5,~7]의 숫자가 하나씩 적힌 공 [eqn: 4]개 들어 있는 주머니에서 세 개의 공을 임의로 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균과 표준편차를 구하여라.

43

어느 농장

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 3]	[eqn: 0.4987]

에서 재배되는 고구마의 무게 [eqn: X]의 분포는 정규분포 [eqn: rmN(230,~30^2 )]을 따른다고 한다. 이 중에서 임의추출한 [eqn: 100]개의 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, 다음 확률을 구하여라.
(1) [eqn: rmP(227 le itbar{X``} le 236 )]
(2) [eqn: rmP(bar{itX``} le 221)]

44

다음 표는 모집단의 확률변수 [eqn: X]의 확률분포표이다. 이 모집단에서 크기가 [eqn: 9]인 표본을 복원추출할 때, 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하자. 이때 [eqn: rm E( it bar{X``} )+rm V( it bar{X``} )]의 값을 구하여라.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rmP(itX=x)]	[eqn: 4 over 10]	[eqn: 3 over 10]	[eqn: 2 over10]	[eqn: 1 over 10]	[eqn: 1]

45

어떤 자동 판매기에서 판매되

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

는 음료수의 양은 모평균 [eqn: 150``rmml], 모표준편차 [eqn: 7``rmml]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자동 판매기에서 [eqn: 196]개를 임의로 추출하여 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rmP(149 le bar{itX``} le 151 )]의 값을 구하여라.

46

정규분포 [eqn: rmN(10,~4)]를 따르는 모집단에서 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하자. [eqn: rm P(9 LEQ bar{it X`` rm} LEQ 11)`ge`0.95]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라.

(단, [eqn: rm P(`□` it Z```□` LEQ `1.96`)`=0.95])

47

모평균이 [eqn: 10], 모분산이 [eqn: 1]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 복원추출할 때, 표본의 합을 [eqn: Y]라 하자. 이때, [eqn: rmE(itY) + rmV(itY)]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 55]

48

모집단의 확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같다. 이 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: it bar {X``}]의 평균과 분산의 곱을 구하시오.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rmP(itX)]	[eqn: 4 over10]	[eqn: {3} over 10]	[eqn: 2 over 10]	[eqn: 1 over 10]	[eqn: 1]

49

[eqn: z]	[eqn: rmP(0leq itZ leq z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

정규분포 [eqn: rm N(50 ,~6^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: it bar {X``}]에 대하여

[eqn: rmP(47 leqit bar {X``} leq 56 )]의 값은?

① [eqn: 0.53]	② [eqn: 0.62]	③ [eqn: 0.72]

④ [eqn: 0.77]	⑤ [eqn: 0.82]

50

정규분포 [eqn: rmN(10,~ 25)]를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출할 때 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 [eqn: rm rmP(it bar{X``} ge k ) = 0.9772]를 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값은?

(단, [eqn: rmP(0le it Z le 2)=0.4772])

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

51

모집단의 확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음과 같다. 모집단에서 크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출하여 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rm E( it bar{X``} ^{2} )]의 값은?

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	합계
[eqn: rmP(itX=x)]	[eqn: {1} over 6]	[eqn: 1 over 3]	[eqn: 1 over2]	[eqn: 1]

① [eqn: 5 over 36]	② [eqn: 7 over 36]	③ [eqn: {5} over 18]

④ [eqn: 7 over 18]	⑤ [eqn: 2 over 9]

52

모집단에서 표본을 임의로 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: it bar{X``}]에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.] 모집단이 정규분포를 따를 때만 표본평균

[eqn: it bar{X``}]가 정규분포를 따른다.

[eqn: ㄴ.~]표본평균의 평균 [eqn: rmE(it bar{X``})]는 표본의 크기에         관계없이 모평균과 일치한다.

[eqn: ㄷ.] 표본평균의 표준편차 [eqn: sigma(it bar {X``})]는 표본의 크기       에 모표준편차를 곱한 값과 일치한다.

[eqn: ㄹ.] 표본의 크기를 [eqn: 4]배 하면 표본평균의 표준편       차 [eqn: sigma(it bar{X``})]는 반으로 줄어든다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄹ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄹ

53

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 3]	[eqn: 0.4987]

어느 공장에서 생산되는 제품의 무게는 평균이 [eqn: 11]이고, 표준편차가 [eqn: 2]인 정규분포를 따른다고 한다. [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 두 사람이 각각 크기가 [eqn: 4]인 표본을 독립적으로 임의추출하였을 때 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 추출한 표본의 평균이 모두 [eqn: 10] 이상 [eqn: 14] 이하가 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하면?

① [eqn: 0.2944]	② [eqn: 0.5228]	③ [eqn: 0.6587]

④ [eqn: 0.7056]	⑤ [eqn: 0.8123]

54

정규분포 [eqn: rmN(76 ,~ 6^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: it bar{X``}]에 대하여 [eqn: rmP(74 leq it bar {X``} leq 78) geq 0.95]를 만족하는 [eqn: n]의 최소값을 구하시오. (단, [eqn: rmP(0 leq it Z leq 2) = 0.475])

55

전국연합 학력평가 후 응시생 [eqn: 1600]명을 임의로 추출하여 가채점하였더니 수리영역 점수의 표준편차가 [eqn: 16]점이었다. 전체 수험생의 수리영역의 평균 점수 [eqn: m]을 [eqn: 95%]의 신뢰도로 추정한 신뢰구간이 [eqn: alpha leq m leq beta]일 때, [eqn: beta-alpha]의 값은?

(단, [eqn: rmP(0 leq itZ leq 1.96) = 0.475])

① [eqn: 0.784]	② [eqn: 1.568]	③ [eqn: 2.352]

④ [eqn: 3.136]	⑤ [eqn: 3.920]

56

표준편차가 [eqn: 4]인 모집단의 평균을 신뢰도 [eqn: 95%]로 추정하려고 한다. 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2] 이하가 되도록 할 때, 표본의 크기의 최솟값을 구하시오.

(단, [eqn: rmP(it|`Z```| le 2)=0.95])

57

표준편차가 [eqn: sigma]인 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 모평균을 추정할 때, 다음 중 모평균의 신뢰구간의 길이가 가장 긴 것은?

① [eqn: n=36 ,~ sigma=4]	② [eqn: n=36 ,~ sigma=9]

③ [eqn: n=81 ,~ sigma=12]     ④ [eqn: n=81 ,~ sigma=12]

⑤ [eqn: n=100 ,~ sigma=12]

58

어느 고등학교 학생들의 키는 표준편차가 [eqn: 5cm]인 정규분포를 따른다고 한다. 신뢰도 [eqn: 95%]로 모평균과 표본평균의 차가 [eqn: 2cm] 이하가 되도록 하려면 몇 명 이상의 학생을 조사해야 하는가?

(단, [eqn: rmP(it|`Z```| le 2)=0.95])

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

59

정규분포를 따르는 어떤 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 모평균을 추정할 때, 신뢰도 [eqn: 95%]인 신뢰구간의 길이는 [eqn: 1]이다. 이와 같은 신뢰도에서 신뢰구간의 길이는 [eqn: 0.2] 이하로 하기 위한 표본의 크기의 최솟값은?
(단, [eqn: rmP(it|`Z```| le 1.96)=0.95])

① [eqn: 25]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 125]

[eqn: z]	[eqn: rmP(0leq itZ leq z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

60

어느 공장에서 생산되는 비누의 무게는 평균이 [eqn: 120g]이고, 표준편차가 [eqn: 10g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산하는 비누 중에서 [eqn: 100]개를 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: it bar {X``}]에 대하여 [eqn: rmP(it bar {X``} geq 118)]의 값은?

① [eqn: 0.69]	② [eqn: 0.74]	③ [eqn: 0.84]

④ [eqn: 0.93]	⑤ [eqn: 0.98]

61

모평균이 [eqn: 80], 모표준편차가 [eqn: 10]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 [eqn: rmP(78 le bar{itX``}le 82)]의값을 구하시오. (단, [eqn: rmP(0 le it Z le 1)=0.34])

62

어느 회사에서 생산되는 제품의 무

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.49]

게는 평균이 [eqn: 80~rm g], 표준편차가 [eqn: rm8~g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사의 제품 중에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의로 뽑아 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, [eqn: rmP (it bar{X``} le 8 4)=0.99]를 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하여라.

63

다음의 조사 내용은 전수조사와 표본조사 중 어느 방법이 적당한지 말하여라.
(1) 우리 학교 학생들에 대한 체격 조사
(2) 어느 회사에서 생산되는 형광등의 수명 조사
(3) 방송국의 프로그램에 대한 시청률 조사
(4) 매년 국세청에서 실시하는 국민 소득 조사

64

평균이 [eqn: 60], 표준편차가 [eqn: 10]인 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때, 다음을 구하여라.
(1) 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균 [eqn: rm E(` bar{it X`` }`)]
(2) 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 표준편차 [eqn: sigma ( bar{X``})]

65

어느 회사에서

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

만들어진 건전지의 평균 수명은 [eqn: rm mp3] 재생시 평균 [eqn: 8]시간, 표준편차 [eqn: 2]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사 제품 중 [eqn: 16]개를 임의추출하여 검사할 때, 이들 건전지의 수명이 [eqn: 7]시간 이상 [eqn: 9]시간 이하일 확률은?

① [eqn: 0.3830]	② [eqn: 0.6826]	③ [eqn: 0.8664]

④ [eqn: 0.9544]	⑤ [eqn: 0.9876]

66

모평균이 [eqn: 120], 모표준편차가 [eqn: 40]

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균이 [eqn: 110] 이상일 확률은?

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.8413]	③ [eqn: 0.9332]

④ [eqn: 0.9772]	⑤ [eqn: 0.9938]

67

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]의 숫자가 하나씩 적힌 공이 [eqn: 6]개 들어 있는 주머니에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 분산 [eqn: rm V( it bar{X``} )]를 구하여라.

68

정규분포 [eqn: RMN(20,~9^2)]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 9]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여 [eqn: RMP(IT bar{X``} LEQ23)]은?

(단, [eqn: rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)=0.34,]

[eqn: rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)=0.48)]

① [eqn: 0.16]	② [eqn: 0.34]	③ [eqn: 0.64]

④ [eqn: 0.84]	⑤ [eqn: 0.98]

확률과 통계	Ⅲ. 통계		2. 통계적 추정			반 / 번호
	02 모평균의 추정					이름

01

어느 수학 시험에서 응시생 [eqn: 1600]명을 임의로 뽑았더니 성적의 표본평균이 [eqn: bar{X``}], 표준편차가 [eqn: 16]점이었다. 응시생 전체의 평균 점수 [eqn: m]을 [eqn: 95~ %]의 신뢰도로 추정한 신뢰구간이 [eqn: alpha LEQ m LEQ beta]일 때, [eqn: b-a]의 값은?

(단, [eqn: P( 0 le itZ le 1.96 ) =0.475])

① [eqn: 0.784]	② [eqn: 1.568]	③ [eqn: 2.352]

④ [eqn: 3.136]	⑤ [eqn: 3.920]

02

어느 과수원에서 생산되는 사과의 무게는 표준편차가 [eqn: 10~ g]인 정규분포를 따른다고 한다. 신뢰도 [eqn: 95~ %]로 모평균 [eqn: m]을 추정할 때, 신뢰구간의 길이를 [eqn: 4~ g] 이하로 하려면 표본의 크기를 적어도 얼마 이상으로 해야 하는가?

(단, [eqn: rmP(it|`Z```|le2)=0.95])

① [eqn: 36]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 100]

03

모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 신뢰도 [eqn: 95~ %]로 모평균을 추정하였더니 신뢰구간의 길이는 [eqn: 4d]가 되었다. 표본의 크기를 [eqn: 16n]으로 하여 신뢰도 [eqn: 99~ %]로 모평균을 추정할 때, 신뢰구간의 길이는?

(단, [eqn: rmP(it|`Z```|le2)=0.95,~ rmP(it|`Z```|le3)=0.99])

① [eqn: 3 over 2 d]	② [eqn: 2d]	③ [eqn: 5 over 2 d]

④ [eqn: 3d]	⑤ [eqn: 7 over 2 d]

04

표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출하여 모평균을 추정하였더니 신뢰구간의 길이가 [eqn: l]이었다. 신뢰도를 바꾸지 않고 신뢰구간의 길이가 [eqn: l over 4]이 되도록 할 때, 표본의 크기 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 169]	② [eqn: 196]	③ [eqn: 225]

④ [eqn: 256]	⑤ [eqn: 289]

05

표준편차가 [eqn: 1]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 모평균을 추정하였더니 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2]였다. 같은 신뢰도에서 신뢰구간의 길이가 [eqn: 0.4] 이하이도록 하는 표본의 크기의 최솟값은?

① [eqn: 36]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 100]

06

표준편차가 [eqn: 4]인 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 [eqn: n]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}]에서 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95~ %]로 추정하려고 한다. 신뢰구간의 길이가 [eqn: 1]일 때, [eqn: n]의 값은?

(단, [eqn: rmP(-2 le it Z le 2)=0.95])

① [eqn: 125]	② [eqn: 256]	③ [eqn: 350]

④ [eqn: 420]	⑤ [eqn: 516]

07

어느 공장에서 생산되는 양초의 무게는 표준편차가 [eqn: 60~rm g]인 정규분포를 이룬다고 한다. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99~ %]의 신뢰구간의 길이가 [eqn: 24] 이 하가 되도록 하는 표본의 크기의 최솟값은?

(단, [eqn: rmP(it |`Z`|le3)=0.99])

① [eqn: 169]	② [eqn: 196]	③ [eqn: 225]

④ [eqn: 256]	⑤ [eqn: 289]

08

표준편차가 [eqn: 4]인 모집단에서 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95 %]로 추정하려고 한다. 신뢰구간의 길이가 [eqn: 1] 일 때, 표본의 크기 [eqn: n]의 값은?

(단, [eqn: rmP(-2 leq itZ le 2)=0.95])

① [eqn: 125]	② [eqn: 256]	③ [eqn: 350]

④ [eqn: 420]	⑤ [eqn: 516]

09

표준편차가 [eqn: 4]인 모집단의 평균을 신뢰도 [eqn: 99~ %]로 추정하려고 한다. 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2] 이하가 되도록 할 때, 표본의 크기의 최솟값은?

(단, [eqn: rmP(it|`Z```| le 3)=0.99])

① [eqn: 144]	② [eqn: 145]	③ [eqn: 146]

④ [eqn: 147]	⑤ [eqn: 148]

10

어느 고등학교에서 학생들의 키는 표준편차가 [eqn: 5~rm cm]인 정규분포를 따른다고 한다. 신뢰도 [eqn: 95~ %]로 추정할 때, 모평균과 표본평균의 차가 [eqn: 2~rm cm] 이하가 되도록 하려면 최소한 몇 명의 학생을 조사해야 하는가? (단, [eqn: rmP(it|`Z``| le 2)=0.95])

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

11

어느 고등학교에서 [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 100]명을 임의추출하여 키를 측정한 결과 평균 [eqn: 172.5~rm cm], 표준편차 [eqn: 6.1~rm cm]를 얻었다. 이 학교의 [eqn: 3]학년 전체 학생의 키의 평균에 대하여 신뢰도 [eqn: 99~ %]의 신뢰구간을 구하여라. (단, [eqn: rmP(it|`Z``|le 3)=0.99])

12

모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 [eqn: 10]인 어떤 모집단에서 [eqn: 100]개의 표본을 추출하여 얻은 표본평균이 [eqn: 52]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대하여 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간을 구하여라.

13

어느 고등학교 [eqn: 3]학년 학생 중에서 [eqn: 100]명의 수리영역 점수를 임의추출하여 보니 평균이 [eqn: 60]점, 표준편차가 [eqn: 10]점이었다. [eqn: 3]학년 학생 전체의 수리영역 점수의 평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95~%]로 추정하면 신뢰구간은? (단, [eqn: rm P( it -2` LEQ `Z` LEQ 2)=0.95])

① [eqn: 55 le m le 59]

② [eqn: 56 le m le 60]

③ [eqn: 57 le m le 61]

④ [eqn: 58 le m le 62]

⑤ [eqn: 59 le m le 63]

14

어느 고등학교 학생 중에서 [eqn: 100]명의 학생을 임의추출하여 수학 점수를 조사하였더니 평균이 [eqn: 70]점, 표준편자가 [eqn: 15]점이었다. 학생 전체의 수학 점수의 평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 99~%], [eqn: 95~%]로 각각 추정할 때, 그 신뢰구간의 길이의 차는?

(단, [eqn: rm P(□` it Z```□ LEQ 2)=0.95], [eqn: rm P(□` it Z```□ LEQ 3)=0.99])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

15

어느 고등학교 학생 중에서 [eqn: 64]명을 임의추출하여 키를 측정하였더니 평균이 [eqn: 168`rmcm], 표준편차가 [eqn: 6`rmcm]이었다. 학생 전체의 키의 평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95~%]로 추정하면
[eqn: 168- box{~~~~} le m le 168 + box {~~~~}]
이다. 이때 □ 안에 알맞은 값은?

(단, [eqn: rm P(□` it Z```□ LEQ 2)=0.95])

① [eqn: 0.5]	② [eqn: 1.0]	③ [eqn: 1.5]

④ [eqn: 2.0]	⑤ [eqn: 2.5]

16

모표준편차가 [eqn: sigma]로 알려진 어느 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 모집단의 모평균 [eqn: m]의 값을 신뢰도 [eqn: alpha~%]로 추정할 때,  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: rm P(`|` it Z```| LEQ 2)=0.95])

[eqn: ㄱ.] [eqn: bar{X``}]의 평균은 [eqn: 30]시간이다.

[eqn: ㄴ.] [eqn: bar{X``}]의 표준편차는 [eqn: 5]시간이다.

[eqn: ㄷ.] [eqn: |` bar{X``} -30`□le 1]일 확률은 [eqn: 95~%]이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ`]	③ [eqn: ㄱ,~ㄴ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

17

모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 [eqn: 2]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하자. 이때 확률 [eqn: rm P left(`|` it bar{X``} -m`| LEQ {1} over {2} right)]이 [eqn: 95~%] 이상이 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라.

(단, [eqn: rm P(□` it Z```□ LEQ 1.96)=0.95])

18

[eqn: rmA]농장에서 생산되는 어느 과일 [eqn: 100]개를 임의추출하여 그 무게를 조사하였더니 평균은 [eqn: 165`rmg], 표준편차는 [eqn: 10`rmg]이었다. [eqn: rmA]농장에서 생산되는 과일 전체의 무게의 평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 99~%]로 추정하면 신뢰구간은? (단, [eqn: rmP( |`itZ ``| ge 3 ) =0.01])

① [eqn: 162 le m le 168]

② [eqn: 163 le m le 167]

③ [eqn: 164 le m le 166]

④ [eqn: 165 le m le 167]

⑤ [eqn: 166 le m le 168]

19

정규분포를 따르는 모집단에서 표본을 추출하여 표본평균으로 모평균을 추정할 때, 신뢰구간의 길이를 [eqn: 2]로 하려면 표본의 크기가 [eqn: 40]이어야 한다. 이와 신뢰도는 같게 하면서 신뢰구간의 길이를 [eqn: 0.5]가 되게 하려면 표본의 크기는 얼마로 하여야 하는지 구하여라.

20

정규분포를 따르는 모집단에서 표본을 추출하여 표본평균으로 모평균을 추정할 때 신뢰도 [eqn: 95`%]인 신뢰구간의 길이는 모표준편차의 [eqn: 1over 5] 이하로 하려고 한다. 이때 표본의 크기의 최솟값을 구하여라.

(단, [eqn: rm P(`|` it Z```| LEQ 1.96)=0.95])

21

어느 고등학교 [eqn: 2]학년 학생 중에서 [eqn: 100]명을 임의추출하여 [eqn: 100 ``rm m] 달리기 시간을 측정한 결과 평균 [eqn: 13.8]초, 표준편차 [eqn: 1.6]초를 얻었다. 이 학교 [eqn: 2]학년 전체의 [eqn: 100``rmm] 달리기 시간의 평균에 대하여 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간을 구하여라.

22

전국 수학 경시대회에서 학생 [eqn: 100]명의 답안을 임의추출하여 채점하였더니 평균이 [eqn: 50]점, 표준편차가 [eqn: 16]점이었다. 이때 대회에 참가한 전체 학생의 평균에 대하여 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간과 그 길이를 구하여라.

23

어느 공장에서 생산하

[eqn: z]	[eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.96]	[eqn: 0.4750]
[eqn: 2.00]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.33]	[eqn: 0.4901]
[eqn: 2.58]	[eqn: 0.4951]

는 빵의 무게는 정규분포를 따른다고 한다. 빵 [eqn: 25]개를 임의추출하여 무게를 조사하였더니 평균이 [eqn: 52.2`rmg], 표준편차가 [eqn: 7.5`rmg]이었다. 이때 빵의 평균 무게에 대하여 신뢰구간의 길이가 [eqn: 6]이라면 신뢰도 몇 %로 추정한 것인가?

24

어느 회사에서 생산하는 음료수 [eqn: 400]병을 임의추출하여 [eqn: rmA]성분의 함유량을 검사한 결과 평균 [eqn: 25.5rmmg], 표준편차 [eqn: 4.8``rmmg]을 얻었다. 이 음료수 [eqn: 1]병에 담긴 [eqn: rmA]성분의 평균 함유량에 대하여 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간을 구하여라.

25

표준편차가 [eqn: 1]인 정규분포를 따르는 모집단의 평균에 대하여 일정한 신뢰도의 신뢰구간의 길이를 [eqn: 2]로 하려면 표본의 크기가 [eqn: 16]이어야 한다. 신뢰구간의 길이를 [eqn: 0.5]로 하려고 할 때 필요한 표본의 크기를 구하여라.

26

어느 공장에서 생산되는 전구의 수명을 조사하기 위하여 표본을 임의추출하여 수명을 측정한 결과 표본평균이 [eqn: 1500]시간, 표본표준편차가 [eqn: 100]시간이었다. 표준정규분포표를 이용하여 다음 물음에 답하여라.
(1) 표본의 크기가 [eqn: 100]일 때, 신뢰도 [eqn: 95~%]로 이전구의 평균 수명을 추정하여라.
(2) 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간의 길이가 [eqn: 25]시간 이하가 되도록 하려면 표본의 크기가 [eqn: n]은 얼마 이상으로 해야 하는가?

27

어느 고등학교 [eqn: 2]학년 학생 중에서 [eqn: 100]명을 임의추출하여 키를 조사하였더니 평균이 [eqn: 172``rmcm`], 표준편차가 [eqn: 5`rmcm]이었다. 이 학교 [eqn: 2]학년 학생 전체의 키의 평균을 신뢰도 [eqn: 99~%]로 추정하여라.

28

어느 과수원에서 생산된 사과의 무게는 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원의 사과 중에서 크기 [eqn: 100]인 표본을 임의추출하여 무게를 조사하였더니 표본평균 [eqn: 48.35``rmg], 표본표준편차가 [eqn: 2.45rmg]이었다. 이 과수원에서 생산되는 사과의 무게의 평균에 대하여 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간을 구하여라.

29

어떤 회사에서 생산되는 제품의 무게는 표준편차 [eqn: 5``rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 모평균 [eqn: m]에 대한 [eqn: 95~%]인 신뢰구간의 길이가 [eqn: 0.6``rmg] 이하로 되게 하려면 표본의 크기를 얼마로 하여야 하는가?

30

평균이 [eqn: m], 분산이 [eqn: 4]인 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출된 크기 [eqn: n]인 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 할 때, 확률 [eqn: rmP left(` |`bar{itX``} -itm` | le 1 over 2 right)]이 [eqn: 95~%] 이상이 될 때, [eqn: n]의 최솟값을 구하여라.

(단, [eqn: rmP(` |itZ`` | le 1.96 ) =0.95])

31

모표준편차가 [eqn: 20]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 평균을 구하였더니 [eqn: 40]이었다. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간을 구하여라.

32

정규분포표를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출하여 평균과 표준편차를 계산한 결과 평균이 [eqn: 80], 표준편차가 [eqn: 20]이었다. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰구간을 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: 78.04 LEQm LEQ81.96]

② [eqn: 77.42 LEQm LEQ82.58]

③ [eqn: 76.08 LEQm LEQ83.92]

④ [eqn: 75.41 LEQm LEQ84.59]

⑤ [eqn: 74.84 LEQm LEQ85.16]

33

모표준편차가 [eqn: 2]인 정규분포를 이루는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 그 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하자. 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95] %로 추정할 때, 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2] 이하가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

34

모표준편차가 [eqn: 4]인 정규분포를 이루는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간의 길이가 [eqn: 4] 이하가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

35

라면 제조업체에서 만든 라면 중 [eqn: 400]개를 임의추출하여 무게를 잰 결과 평균이 [eqn: 120rmg], 표준편차가 [eqn: 10rmg]이었다. 이 회사에서 만든 라면의 무게가 정규분포를 이룰 때, 라면의 무게 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰구간은?

① [eqn: 118 LEQm LEQ122]

② [eqn: 119LEQm LEQ121]

③ [eqn: 119.5 LEQm LEQ120.5]

④ [eqn: 119.8 LEQm LEQ120.2]

⑤ [eqn: 119.9 LEQm LEQ120.1]

36

정규분포를 이루는 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출할 때, 일정한 신뢰도의 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대한 신뢰구간의 길이가 [eqn: 6]이었다. 같은 신뢰도로 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대한 신뢰구간의 길이를 [eqn: 3]이 되게 할 때, 임의추출할 표본의 크기를 구하여라.

37

정규분포 [eqn: rm N(itm,~3 ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하였을 때, 모평균[eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99] %의 신뢰구간의 길이는?

(단, [eqn: rmP(-3 LEQITZ LEQ3)=0.99)]

① [eqn: 1.8]	② [eqn: 2.4]	③ [eqn: 3.6]

④ [eqn: 4.5]	⑤ [eqn: 5.6]

확률과 통계	Ⅲ. 통계		2. 통계적 추정			반 / 번호
	03 모비율의 추정					이름

01

어느 고등학교에서 [eqn: 300]명을 임의추출하여 신종플루 검사를 하였더니 [eqn: 75]명이 양성 반응을 일으켰다. 이 학교의 신종플루 양성 반응률을 [eqn: 95~ %]의 신뢰도로 추정한 신뢰구간은?

(단, [eqn: rmP(it|`Z``|le 1.96)=0.95])

① [eqn: [0.201,~0.299]]	② [eqn: [0.210,~0.320]]

③ [eqn: [0.220,~0.335]]	④ [eqn: [0.225,~0.375]]

⑤ [eqn: [0.235,~ 0.379]]

02

어느 고등학교에서 [eqn: 3]학년 학생 중 [eqn: 100]명에게 어떤 문제에 대한 찬반 의견을 물었더니 [eqn: 64]명이 찬성이라고 답하였다. 이 문제에 대한 [eqn: 3]학년 학생 전체의 찬성률 [eqn: p]를 신뢰도 [eqn: 95~ %]로 추정하면?

(단, [eqn: rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)=0.475])

① [eqn: 0.523 le p le 0.756]

② [eqn: 0.534 LEQ p LEQ 0.746]

③ [eqn: 0.544 LEQ p LEQ 0.736]

④ [eqn: 0.554 LEQ p LEQ 0.726]

⑤ [eqn: 0.564 LEQ p LEQ 0.716]

03

어느 공장에서 생산되는 전구 중 [eqn: 100]개를 임의추출하여 조사하였더니 그중 [eqn: 10]개가 불량품이었다. 전구의 불량률을 신뢰도 [eqn: 99~%]로 추정할 때, 신뢰구간의 길이가 [eqn: 3~%] 이하가 되도록 하려면 전구를 몇 개 이상 조사해야 하는가?

(단, [eqn: rmP(it |`Z``| le 2.58)=0.99])

① [eqn: 2460]	② [eqn: 2663]	③ [eqn: 2813]

④ [eqn: 3026]	⑤ [eqn: 3254]

04

어떤 품종의 발아율을 알아보기 위하여 씨앗 [eqn: 500]개를 임의추출하여 심었더니 그중에서 [eqn: 200]개가 발아하였다. 이 품종의 발아율을 신뢰도 [eqn: 99~ %]로 추정할 때, 신뢰구간의 길이를 [eqn: 0.06] 이하로 하려면 표본의 크기는 얼마 이상으로 하여야 하는가?

(단, [eqn: rmP(it |`Z``| le 3)=0.99])

① [eqn: 1200]	② [eqn: 1600]	③ [eqn: 2000]

④ [eqn: 2400]	⑤ [eqn: 2800]

05

한 개의 주사위를 [eqn: n]번 던져서 [eqn: 1] 또는 [eqn: 3]의 눈이 나오는 비율이 구간 [eqn: left[ 7 over 30 ,~ 13 over 30 right]]의 범위에 있을 확률이 [eqn: 0.95] 이상이라고 한다. 이때, 자연수 [eqn: n]의 최솟값은?

(단, [eqn: rmP(it|`Z``| le 1.96)=0.95,~ sqrt { 2}=1.5])

① [eqn: 96]	② [eqn: 97]	③ [eqn: 98]

④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 100]

06

어느 도시의 주민 중 과체중인 사람의 비율을 알아보기 위하여 [eqn: 1000]명을 임의추출하여 조사하였더니 [eqn: 100]명이 과체중인 것으로 나타냈다. 전체 주민 중 과체중인 사람의 비율을 신뢰도 [eqn: 99~ %]로 추정할 때 신뢰구간의 길이를 [eqn: 5~ %] 이하로 하려면 표본의 크기는 최소한 얼마로 해야 하는가?

(단, [eqn: rmP(it|`Z``| le 3)=0.99])

① [eqn: 1024]	② [eqn: 1089]	③ [eqn: 1156]

④ [eqn: 1225]	⑤ [eqn: 1296]

확률과 통계	Ⅲ. 통계		2. 통계적 추정			정답
	01 모집단과 표본

01

②

답

해

설

[eqn: rm E( it X)= & 1 CDOT {1} over {16} +2 CDOT {2} over {16} +3 CDOT {3} over {16} +4 CDOT {4} over {16} +5 CDOT {3} over {16}# & +6 CDOT {2} over {16} +7 CDOT {1} over {16} = {64} over {16} =4]

02

①

답

해

설

[eqn: rmN(20,~ 3^2 )]에서 [eqn: m=20,~ sigma=3]이고, [eqn: n=16]이므로

[eqn: rmE(it X)=m=20,~ sigma( X) = sigma over sqrt { n} = 3 over sqrt { 16 }= 3 over 4]

따라서 구하는 곱은　[eqn: 20times 3 over 4 =15]

03

⑤

답

해

설

[eqn: rmE (itX)=50,~sigma( X) = sqrt { 36over4}= 3]이므로 [eqn: X]는 정규분

포 [eqn: rmN(50,~ 3^2 )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE rm P(47 LEQ it X LEQ 56) & = rm P LEFT ( {47-50} over {3} LEQ it Z LEQ {56-50} over {3} RIGHT )# &=rmP( -1 le itZ le 2)#&=0.34+0.48=0.82]

04

⑤

답

해

설

[eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 60,~left(1 over 2 right) ^2 right)]을 따르므로

[eqn: rm P(59 LEQ it X LEQ k) & = rm P(-2 LEQ it Z LEQ 2(k-60))=0.96# & = rm P(-2 LEQ it Z le2)]

[eqn: ∴ 2(k-60)=2 ~~~∴ k=61]

05

⑤

답

해

설

모집단의 평균과 분산은 각각 [eqn: 3,~2]이고, 표본의 크기가 [eqn: 3]이므로　 [eqn: rmE (itbar{X``})=3,~ rmV(itbar{X``}) = 2over3]

[eqn: rm THEREFORE E( it 3 bar{X``} -10)=3 rm E( it bar{X``} )-10=3 CDOT 3-10=-1,]

[eqn: rmV(3 bar{itX``} -10)=3^2 V(itbar{X``})=9 cdot 2 over 3 = 6~~~ THEREFORE -1+6=5]

06

③

답

해

설

[eqn: RM E it(bar{X``})=rmE(itX) =4,~rm V(itbar{X``}) = {rmV(itX) }over{itn} = 1 over n]이므로

[eqn: rmE ({bar{itX``}}^2 )=V(itbar{X``})+left{rmE(itbar{X``})right}^2 = 1 over n + 16]

[eqn: f(n) & = rm E( it bar{X``} ^{2} -2 bar{X``} -8)# & = rm E( it bar{X``} ^{2} )-2 rm E( it bar{X``} )-8)= {1} over {n}]

이므로 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ③이다.

07

②

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(1000,~ 10^2 )]을 따르므로

[eqn: rm P(985 LEQ bar{it X`` rm} LEQ 1010)# =rmP LEFT ( {985-1000} over {10} LEQ it Z LEQ {1010-1000} over {10} RIGHT )# =rm P(-1.5 le it Z le 1)=0.4332+0.3413=0.7745]

08

③

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 76 ,~ { 6^3 } over {itn} right)]을 따르므로

[eqn: rm P(74 LEQ it bar{X``} LEQ 78) & = rm P LEFT ( {74-76} over {{6} over {sqrt {it n rm}}} LEQ it Z LEQ {78-76} over {{6} over {sqrt {it n}}} RIGHT )# & = rm P LEFT ( - {sqrt {it n rm}} over {3} LEQ it Z LEQ {sqrt {it n rm }} over {3} RIGHT )# & = rm 2P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ {sqrt {it n rm }} over {3} RIGHT )ge0.95]

[eqn: rmP LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ {sqrt {it n rm }} over {3} RIGHT )ge0.475]에서

[eqn: sqrt { n }over 3 ge 2 ,~ sqrt { n} ge 6~~~therefore n ge 36]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 36]이다.

09

①

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 100,~ 10^2 over {itn^2} right)]을 따르고, [eqn: n^2]개의 초콜릿의 무게의 합이 [eqn: 3.6~rm kg] 이상이려면 [eqn: n^2 bar{X``} ge 3600], 즉 [eqn: bar{X``} ge 3600 over n^2]이어야 하므로

[eqn: rm P LEFT ( it Z GEQ {360} over {n} -10n RIGHT ) =0.5]

[eqn: {360} over {n} -10n=0]에서　 [eqn: n^2 =36]

[eqn: thereforen=6] (∵[eqn: n]은 자연수)

10

[eqn: 7 over 2]

답

해

설

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	합계
[eqn: rmP(itX =x)]	[eqn: 1over2]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1]

[eqn: rmE(itX)= 2 times 1 over 2 + 3 times 1 over 4 + 5 times 1 over 4 = 3]

[eqn: rm V( it X) & = rm E( it X ^{2} `)- LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2}# & =2 ^{2} TIMES {1} over {2} +3 ^{2} TIMES {1} over {4} +5 ^{2} TIMES {1} over {4} -3 ^{2}# & = {21} over {2} -9= {3} over {2}]

[eqn: THEREFORE rmE(itbar{X``} ) = rmE(itX) =3,~rmV(itbar{X``} )= { rmV(itX) } over 3 = { 3 over 2 } over 3 = 1 over2]

[eqn: THEREFORE rm E( it bar{X``} )+ rm V( it bar{X``} )=3+ 1 over2 = 7 over 2]

11

③

답

해

설

모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 [eqn: sigma]인 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여

ㄱ. 표본의 크기 [eqn: n]의 값에 관계없이 [eqn: rmE(itbar{X``})=m]이다.

(참)

ㄴ. [eqn: sigma(bar{itX``}) = sigma over sqrt { n}] (거짓)

ㄷ. 크기가 [eqn: 4n]인 표본의 표본평균을 하면 [eqn: bar{Y```}]라고 하면　 [eqn: sigma(bar{itY```}) = sigma over sqrt { 4n} = 1 over2 ,~ sigma over sqrt { n} = 1 over 2 sigma(bar{X``})] (참)

12

③

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(10,~ 4)]을 따르고, [eqn: Z_1 = itX-10 over 2 ,~ Z_2 = bar{itX``} -10]으로 놓으면

[eqn: rmP left( itZ_1 ge a-10 over2 right) =rm P(it Z_2 ge b-10)]에서

[eqn: a-10 over 2 =b-10~~~ ∴ a-2b+10=0]

13

⑤

답

해

설

비누의 무게를 [eqn: X]라고 하면 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN(120,~ 10^2 )]을 따르므로 크기가 [eqn: 100]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 120,~{ 10^2 over 100 right)], 즉 [eqn: rmN(120,~ 1^2 )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE rm P( it bar{X``} GEQ 118) & = rm P LEFT ( it Z GEQ {118-120} over {1} RIGHT )# & = rm P LEFT ( it Z GEQ -2 RIGHT )# & =0.5+ rm P(-2 LEQ it Z LEQ 0)# & =0.5+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)#&=0.5 + 0.48 =0.98]

14

④

답

해

설

시험 점수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN(70,~ 2^2 )]을 따른다. 이때, 합격자의 최저 점수를 [eqn: k `]점이라고 하면 [eqn: rmP it (X ge k) = 7 over 1000 =0.07]에서

[eqn: rmP left( it{Z ge { k-70 } over 2 right) }=0.07,]

[eqn: ~ 0.5-rm P left ( 0 le it Z le { k-70 over 2 right) }=0.07]

[eqn: ∴ k-70 over 2 =1.5~~~ ∴ k=73]

따라서 합격자의 최저 점수는 [eqn: 73]점이다.

15

③

답

해

설

[eqn: rmE(itbar{X``})=10,~ rmV(itbar{X``})=2]이므로

[eqn: rmE({itbar{X``}}^2 )=V(itbar{X``})+left{rmE(itbar{X``})right}^2 =2+10^2 =102]

16

④

답

해

설

[eqn: rmE(itX)=2,~ rmV(itX)=1]이므로 크기가 [eqn: 4]인 표본평균

[eqn: bar{X``}]의 평균과 분산은  [eqn: rmE(itbar{X``})=2,~rm V(itbar{X``})= 1 over 4]

∴ [eqn: rmE( itbar{X``})times rm V(it bar{X``})=2times 1 over 4 = 1 over 2]

17

⑤

답

해

설

[eqn: rmE(it bar{X``})=10,~rm V(it bar{X``})= 25 over 100 = 1 over 4]

[eqn: rm THEREFORE P( it bar{X``} GEQ k) & = rm P( it Z GEQ 2(k-10))# & =0.9772# & =0.5+rmP(0 le it Z le 2) #&=0.5rm+P(-2 le it Z le 0)#& =rm P(it Z ge -2)]

[eqn: ∴ 2(k-10)=-2~~~∴k=9]

18

④

답

해

설

[eqn: rmE(itX)= 1 over 3 ,~ rmV(itX)= 5 over 9]이고, 표본의 크기가 [eqn: 2]이므로 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균과 분산은

[eqn: rm E( it bar{X``} )= {1} over {3} ,~ rm V( it bar{X``} )= {5} over {18}]

[eqn: THEREFORE rm E( it bar{X``} ^{2} )= rm V( it bar{X``} )+ LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2} = {7} over {18}]

19

④

답

해

설

[eqn: rm E( it bar{X``} )=11,~ rm V( it bar{X``} )= {4} over {4} =1]이므로 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(11,~1^2 )]를 따른다.

[eqn: THEREFORE rm P(10 LEQ it bar{X``} LEQ 14) & = rm P LEFT ( {10-11} over {1} LEQ it Z LEQ {14-11} over {1} RIGHT )# & = rm P(-1 LEQ it Z LEQ 3)# & = rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 3)# & =0.84]

따라서 구하는 확률은  [eqn: 0.84 times 0.84=0.7056]

20

⑤

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rm N left( 76 ,~ 6^2 over {itn} right)]을 따르므로

[eqn: rm P(74 LEQ it bar{X``} LEQ 78) & = rm P LEFT ( {74-76} over {{6} over {sqrt {it n rm}}} LEQ it Z LEQ {78-76} over {{6} over {sqrt {it n}}} RIGHT )# & = rm P LEFT ( - {sqrt {it n rm}} over {3} LEQ it Z LEQ {sqrt {it n rm }} over {3} RIGHT )# rm & =2P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ {sqrt {it n rm }} over {3} RIGHT )# & ge 0.6826]

즉, [eqn: rmP LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ {sqrt {it n rm }} over {3} RIGHT )GEQ 0.3413]에서

[eqn: sqrt { n } over 3 ge 1 ~~~therefore n ge 9]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 9]이다.

21

[eqn: 3 over 2]

답

해

설

확률변수 [eqn: X]의 확률분포는 다음과 같으므로

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	합계
[eqn: rmP(itX=x)]	[eqn: 1 over2]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1]

[eqn: rmE(it X)=2 TIMES {1} over {2} +3 TIMES {1} over {4} +5 TIMES {1} over {4} =3]

[eqn: rmV(itX)=2^2 times 1 over 2 + 3^2 times 1over 4 + 5^2 times 1 over 4 -3^2 = 3 over2]

이때, 표본의 크기가 [eqn: 3]이므로

[eqn: rm E( it bar{X``} )=3,~ rm V( it bar{X``} )= {{3} over {2}} over {3} = 1 over 2]

[eqn: THEREFORE rm E( it bar{X``} ) TIMES ` rm V( it bar{X``} )= {3} over {2}]

22

④

답

해

설

모집단이 정규분포 [eqn: rmN(80,~ 10^2 )]을 따르므로 크기가 [eqn: 25]인 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(80,~ 2^2 )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE rm P(78 LEQ it bar{X``} LEQ 82) & = rm P LEFT ( {78-80} over {2} LEQ it Z LEQ {82-80} over {2} RIGHT )# & = rm P(-1 LEQ it Z LEQ 1)# & =2 times rm P(0 le it Z le 1)=} 0.68]

23

⑤

답

해

설

[eqn: rmA] 품종의 수박 한 통에 들어 있는 씨의 개수를 [eqn: X]라고 하면 크기가 [eqn: 4]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포

[eqn: rmN left(32,~ 8^2 over 4 right)], 즉 [eqn: rmN(32,~ 4^2 )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE rm P( it bar{X``} LEQ 40) & = rm P LEFT ( it Z LEQ {40-32} over {4} RIGHT )# & = rm P( it Z LEQ 2)# & =0.5+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)# & =0.98]

24

[eqn: rmE(itbar{X``})=30,~rm V( it bar{X``} )= 0.25]

답

25

①

답

해

설

주머니 속에서 [eqn: 1]개의 공을 임의추출할 때, 공에 적힌 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면, [eqn: X]의 확률분포는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(itX=x)]	[eqn: 3 over 8]	[eqn: 2 over 8]	[eqn: 3 over 8]	[eqn: 1]

[eqn: rm E( it X)= {1 TIMES 3+2 TIMES 2+3 TIMES 3} over {8} = {16} over {8} =2= m]

[eqn: rmV(itX) = { 1^2 times 3 + 2^2 times 2 + 3^2 times 3 } over 8 - 2^2 = 3 over 4 = sigma^2]

[eqn: therefore rmE(it{bar{X``} ) =m = 2,~rmV(it{bar{X``} ) = sigma^2 overn = {3over4 } over 3 = 1 over 4]

[eqn: therefore rmE(it{bar{X``} ) + rmV( itbar{X ``} )= 2+ 1 over 4 = 9 over 4]

26

①

답

해

설

[eqn: m=50,~sigma=10,~n=25]이므로

[eqn: rm E( it bar{X``} )=m=50,~rm V( it bar{X``} )= sigma^2 over n = 10^2 over 25 = 4]

27

[eqn: 72]

답

해

설

표본평균을 [eqn: bar{X``}]라고 하면 [eqn: Y= 4 bar{X``}]이므로

[eqn: rm E( it Y)+ rm V( it X) & = rm E(4 it bar{X``} )+ rm V(4 it bar{X``} )# & =4 rm E( it bar{X``} )+16 rm V( it bar{X``} )# & =4times 10 + 16 times 8 over 4 = 72]

28

[eqn: 99]

답

해

설

모집단이 정규분포 [eqn: rm N( 5000,~300^2 )]을 따르고 표본의 크기가 [eqn: n]이므로 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 5000,~ 300^2 over {itn} right)]을 따른다.

[eqn: THEREFORE rm & P(4950 LEQ it bar{X``} LEQ 5050)# & = rm P LEFT ( {4950-5000} over {{300} over {sqrt {it n rm}}} LEQ it Z LEQ {5050-5000} over {{300} over {sqrt {it n rm }}} RIGHT )# & =rmP left(0 le it Z le 1 over 6 sqrt { n} right) ge 0.9]

[eqn: therefore rmP left( 0 le itZ le 1 over 6 sqrt { n} right) ge 0.45]

한편 [eqn: rm P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ 1.65 RIGHT ) =0.45]이므로

[eqn: 1 over 6 sqrt { n} ge 1.65~~~therefore n ge 98.01]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 99]이다.

29

④

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(30,~2^2 )]을 따르므로

[eqn: rmP( 28 le itbar{X``} le 32 ) = rmP(-1 le itZ le 1 ) = 0.68]

30

②

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(20,~1^2 )]을 따르므로

[eqn: f(k) = rmP( it{Bar{X``} ge 20+ k ) = rmP(it Z ge k) le 0.025]

[eqn: THEREFORE & 0.5- rm P(0 LEQ it Z LEQ k) LEQ 0.025,~ rm# & rmP(0 LEQ it Z LEQ k) GEQ 0.475]

[eqn: therefore k ge 1.96]

31

④

답

해

설

모집단이 정규분포 [eqn: rmN(100,~5^2 )]을 따르고 표본의 크기가 [eqn: n]이므로 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 100,~ 5^2 over {itn} right)]을 따른다.

[eqn: THEREFORE & rm P(99 LEQ it bar{X``} LEQ 101)# & = rm P LEFT ( {99-100} over {{5} over {sqrt {it n rm}}} LEQ it Z LEQ {101-100} over {{5} over {sqrt {it n rm }}} RIGHT )# & = rm P LEFT ( - {sqrt {it n rm}} over {5} LEQ it Z LEQ {sqrt {it n rm }} over {5} RIGHT )# & = rm 2P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ {sqrt {it n rm }} over {5} RIGHT ) GEQ 0.9]

[eqn: THEREFORE rmP left( 0 le it Z le sqrt { n}over 5 right) ge 0.45 ~~~therefore sqrt { n } over 5 ge 1.65]

[eqn: therefore n ge 68.0625]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 69]이다.

32

[eqn: 144]

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( itm,~ 6^2 over n right)]을 따르므로

[eqn: rm P(`|` it bar{X``} -m`| LEQ 0.98) & = rm P LEFT ( `|` it Z```| LEQ {0.98 sqrt {n}} over {6} RIGHT )# & = rm 2P LEFT ( `0 LEQ ` it Z`` LEQ {0.98 sqrt {n}} over {6} RIGHT )# & GEQ 0.95]

[eqn: therefore rmP LEFT ( `0 LEQ ` it Z`` LEQ {0.98 sqrt {n}} over {6} RIGHT ) GEQ 0.475]

[eqn: THEREFORE {0.98 sqrt {n}} over {6} GEQ 1.96~~~therefore n ge 144]

33

①

답

해

설

[eqn: rmV(itbar{X``} ) = sigma^2 over n = 1 over9]

34

④

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 100,~left( 1 over 4 right) ^2 right)]을 따르므로
[eqn: rm P(99.5 le it bar{X``} le 100.25 ) = rmP( -2 le itZ le 1 ) = 0. 8185]

35

[eqn: 9]

답

해

설

첫 번째에 [eqn: 3]가지, 두 번째에 [eqn: 3]가지를 뽑는 경우이므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 9]가지이다.

36

[eqn: (평균)=5,~(표준편차)=1]

답

해

설

[eqn: rmN(5,~4^2 )]에서 [eqn: m=5,~sigma = 4,~n=16]이므로

[eqn: rmE(itbar{X``}) =m=5,~sigma(bar{X``})= sigma over sqrt { n}= 4 over sqrt { 16}=1]

37

[eqn: rmN left( 6,~ 1 over25 right)]

답

[eqn: rm E( bar{it X`` rm} )= it m=6,~ rm V( bar{it X`` rm} )= it {sigma ^{2}} over {n} = {4} over {100} = {1} over {25}]이고, 표본의 크기 [eqn: n=100]은 충분히 크므로 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 분포는 정규분포 [eqn: rmN left( 6,~ 1 over25 right)]를 따른다.

해

설

38

[eqn: (평균)=30,~(분산)= 1over 4]

답

해

설

[eqn: rmN(30,~5^2 )]에서 [eqn: m=30,~sigma^2 = 5^2 ,~n=100]이므로

[eqn: rm E( it bar{X``} )=m=30,~rm V( it bar{X``} )= sigma^2 over n = 5^2 over 100 = 1 over 4]

39

[eqn: (평균)=50,~(분산)=4]

답

해

설

[eqn: m=50,~sigma=10,~n=25]이므로

[eqn: rm E( it bar{X``} )=m = 50]

[eqn: rm V( it bar{X``} ) = sigma^2 overn = 100 over 25 = 4]

40

[eqn: rmE(itbar{X``})=3], [eqn: rm V( it bar{X``} )=1]

답

해

설

모평균을 [eqn: m], 모분산을 [eqn: sigma^2]이라고 하면

[eqn: m={1} over { 5 }`(1+2+3+4+5)=3]

[eqn: sigma^2 = 1 over 5 (1^2 +2^2 +3^2 + 4^2 + 5^2 ) -3^2 = 2]

표본의 크기가 [eqn: 2]이므로

[eqn: rmE(itbar{X``})=3], [eqn: rm V( it bar{X``} )= 2 over 2 =1]

41

(1) [eqn: 0.0228]   (2) [eqn: 0.6826]

답

해

설

(1) [eqn: rm P( it bar{X``} LEQ 496) & = rm P LEFT ( {bar{it X`` rm} -500} over {2} LEQ {496-500} over {2} RIGHT )# & =rmP ( itZ le -2 ) = rmP(it Z ge 2)#&=0.5- rmP(0 le itZ le 2 ) #&=0.5-0.4772#&=0.0228]
(2) [eqn: rm P(498 LEQ bar{it X`` rm} LEQ 502)# = rm P LEFT ( {498-500} over {2} LEQ {bar{it X`` rm} -500} over {2} LEQ {502-500} over {2} RIGHT )# = rm P(-1` LEQ ` it Z` LEQ `1)`=2 rm P(0` LEQ ` it Z` LEQ 1)# =2` TIMES ` 0.3413 = 0.6 826]

42

[eqn: (평균)=4,~(표준편차)= sqrt { 15 } over3]

답

해

설

모평균을 [eqn: m], 모분산을 [eqn: sigma^2]이라고 하면

[eqn: m= 1 over 4 ( 1+3+5+7)= 4]

[eqn: sigma^2 = 1 over4 (1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 ) -4^2 = 5]

표본의 크기가 [eqn: 3]이므로

[eqn: rmE(itbar{X``})=4,~sigma(itbar{X``})= sqrt { 5} over sqrt { 3} = sqrt { 15} over3]

43

(1) [eqn: 0.8185]   (2) [eqn: 0.0013]

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균 [eqn: rm E( it bar{X``} )=m=230], 표준편차 [eqn: sigma ( it bar{X``} )= sigma over sqrt { n} = 30 over sqrt { 100}=3]이므로 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(230,~3^2 )]을 따른다.

(1) [eqn: rm P(227 LEQ it bar{X``} LEQ 236)# = rm P LEFT ( {227-230} over {3} LEQ it Z LEQ {236-230} over {3} RIGHT )# = rm P(-1 LEQ it Z LEQ 2)# = rm P(-1 LEQ it Z LEQ 1)+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)# =0.3413+0.4772=0.8185]

(2) [eqn: rm P( bar{it X`` rm} LEQ 221) & = rm P LEFT ( it Z LEQ {221-230} over {3} RIGHT )# & = rm P( it Z` LEQ `-3)# & = rm P( it Z` GEQ `3)# & =0.5-0.4987# & =0.0013]

44

[eqn: 19 over 9]

답

해

설

모평균을 [eqn: m], 모분산을 [eqn: sigma^2]이라고 하면

[eqn: m= 1 times 4 over 10 + 2times 3 over 10 + 3 times 2 over 10 + 4 times 1 over 10 =2]

[eqn: sigma^2 = 1 ^2 times 4 over 10 + 2^2 times 3 over 10 + 3^2 times 2 over 10 + 4^2 times 1 over 10 -2^2 =1]

[eqn: therefore][eqn: rmE(itbar{X``})+rm V( it bar{X``} )= m + sigma^2 overn =2+ 1 over 9 = 19 over 9]

45

[eqn: 0.9544]

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 [eqn: rmN left( 150,~ 7^2 over196 right)]을 따르므로

[eqn: rm P(149 LEQ bar{it X`` rm} LEQ 151)# rm =P LEFT ( {149-150} over {{1} over {2}} LEQ it Z LEQ {151-150} over {{1} over {2}} RIGHT )# =rmP(-2 le itZ le 2 ) = 2rmP(0 le it Z le 2 ) #=2 times 0.4772 = 0.9544]

46

[eqn: 16]

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 10,~ {4over{itn}{ right)]를 따르므로

[eqn: rm P(9 LEQ bar{it X`` rm} LEQ 11)` & = rm P LEFT ( {9-10} over {{2} over {sqrt {it n rm}}} LEQ it Z LEQ {11-10} over {{2} over {sqrt {it n}}} RIGHT )# & =rmP left( - sqrt { itn} over2 le it Z le sqrt { n} over2 right) #&=rmP left( `` |`itZ``` | le sqrt { n} over2 right) ge 0.95]

[eqn: sqrt { n} over 2 ge 1.96]에서  [eqn: n ge 15.3664]

[eqn: therefore n=16]

47

④

답

해

설

표본평균을 [eqn: bar{X``}]라 하면 [eqn: Y = 4 bar{X``]

[eqn: rmE(it bar {X``} ) = 10 ,~ rmV(it bar {X``} )= 1over 4 # therefore ~rmE(it {Y``} )+ rmV(it {Y``} ) = 4rmE(it bar {X``} ) + 4^2 rmV(it bar {X``} ) =44]

48

[eqn: 1over2]

답

해

설

[eqn: rmE(itX) =2 ,~ rmV(itX) =1]이므로

[eqn: rm E( it bar{X``} )=2,~ rm V( it bar{X``} )= {sigma ^{2}} over {n} = {1} over {4}# ```````THEREFORE ` rm E( it bar{X``} ) CDOT rm V( it bar{X``} )=2 CDOT {1} over {4} = {1} over {2}]

49

⑤

답

해

설

[eqn: rm THEREFORE P(47 leq it X LEQ 56) rm & =P LEFT ( 47-50 over3 LEQ itZ leq{56-50} over {3} RIGHT )## & =rmP(0 leqit Z leq 1) + rmP(0 leqit Z leq 2)## &=0.34 + 0.48 = 0.82]

50

⑤

답

해

설

[eqn: rmE(it bar{X``})=10,~rm V(it bar{X``})= 25 over 100 = 1 over 4]

[eqn: rm THEREFORE P( it bar{X``} GEQ k) & = rm P( it Z GEQ 2(k-10))# & =0.9772# & =0.5+rmP(0 le it Z le 2) #&=0.5rm+P(-2 le it Z le 0)#& =rm P(it Z ge -2)]

[eqn: ∴ 2(k-10)=-2~~~∴k=9]

51

④

답

해

설

[eqn: rmE(itX)= 1 over 3 ,~ rmV(itX)= 5 over 9]이고, 표본의 크기가 [eqn: 2]이므로 표본평균 [eqn: bar{X``}]의 평균과 분산은

[eqn: rm E( it bar{X``} )= {1} over {3} ,~ rm V( it bar{X``} )= {5} over {18}]

[eqn: THEREFORE rm E( it bar{X``} ^{2} )= rm V( it bar{X``} )+ LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2} = 5 over 18 + left(1 over 3 right)^2 = {7} over {18}]

52

⑤

답

해

설

ㄱ. 표본의 크기 [eqn: n]이 충분히 크면 [eqn: it bar{X``}]는 정규분포

[eqn: rmN left(m ,~ sigma^2 over n right)]을 따른다. (거짓)

ㄷ. [eqn: sigma( it bar {X``}) = sigma over sqrt { n}] (거짓)

53

④

답

해

설

표본평균 [eqn: it bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(11 ,~1^2 )]을 따른다.

[eqn: therefore ~ rmP(10 leq it bar {X``} leq 14) = rmP(-1 leq itZ leq 3) ## = 0.3413 + 0.4987 = 0.84~~~ therefore ~0.84 times 0.84 = 0.7056]

54

[eqn: 36]

답

해

설

[eqn: rm P(74 LEQ it bar{X``} LEQ 78)= rm P LEFT ( - {sqrt {n}} over {3} LEQ it Z LEQ {sqrt {n}} over {3} RIGHT ) ##=2 rm P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ {sqrt {n}} over {3} RIGHT ) GEQ 0.95]

[eqn: P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ {sqrt {n}} over {3} RIGHT ) GEQ 0.475 ,~ {sqrt {n}} over {3} geq 2 ## therefore~ n geq36]

55

②

답

해

설

[eqn: bar{X``}-1.96 16 over sqrt { 1600} leq m leq bar{X``} +1.96 16 over sqrt { 1600}# therefore beta-alpha = 2 times 1.96 16 over sqrt { 1600} = 1.568]

56

[eqn: 64]

답

해

설

[eqn: 2 cdot 2 cdot 4 over sqrt { n } le 2 ,~ sqrt { n} ge 8~~~therefore n ge 64]

따라서 표본의 크기의 최솟값은 [eqn: 64]이다.

57

②

답

해

설

모평균의 신뢰구간의 길이는

[eqn: 2k cdot sigma over sqrt { n }(k는~신뢰계수)]이므로 [eqn: sigma over sqrt { n}]의 값이

가장 큰 ②의 신뢰구간의 길이가 가장 길다.

58

②

답

해

설

[eqn: it bar {X``}-2 sigma over sqrt { n} leq m leq it bar {X``} + 2 sigma over sqrt { n },~ 2 times 5 over sqrt { n} le 2 ## therefore n ge 25]

59

④

답

해

설

[eqn: 2 times 1.96 times sigma over sqrt { 4 }=1]에서 [eqn: sigma = 1 over 1.96`]

신뢰구간의 길이를 [eqn: 0.2] 이하로 하기 위한 표본의 크기를 [eqn: n]이라 하면

[eqn: 2 times 1.96 times sigma over sqrt { n} leq 0.2 ~~~~~ therefore n geq 100]

60

⑤

답

해

설

표본평균 [eqn: it bar {X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(120 ,~ 1^2 )`]을 따른다.

[eqn: therefore~ rm P( it X GEQ 118) & = rm P( it Z GEQ -2)## & =0.5 + rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)## & =0.5 + 0.48 = 0.98]

따라서 합격자의 수는  [eqn: 1000times 0.02=20]

61

[eqn: 0.68]

답

해

설

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(80,~ 2^2 )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE rm P(78 LEQ it bar{X``} LEQ 82) & = rm P LEFT ( {78-80} over {2} LEQ it Z LEQ {82-80} over {2} RIGHT )# # & = rm P(-1 LEQ it Z LEQ 1)# # & =2 rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)## & =2 times 0.34=0.68]

62

[eqn: 25]

답

해

설

모집단이 정규분포 [eqn: rmN(80,~ 8^2 )]을 따르므로

[eqn: rmE it (bar{X``})=80,~sigma( bar{X``} ) = 8 over sqrt { n}]에서 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 80 ,~left( 8 over sqrt { itn } right)^2 right)]을 따른다.

이때, [eqn: itZ= { {bar{X``} - 80 } over {8 over sqrt { n }}}]이라고 하면 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~ 1)]을 따르므로

[eqn: rm P( it bar{X``} LEQ 84)= rm P LEFT ( it Z LEQ {84-80} over {{8} over {sqrt {n}}} RIGHT ) & = rm P( it Z LEQ {sqrt {n}} over {2} )# & =0.99]

[eqn: rmP (0 le it Z le 2.5)=0.49]에서
[eqn: rmP (Z le 2.5)=0.5+0.49=0.99]

이므로　 [eqn: sqrt { n} over 2.5], [eqn: sqrt { n} = 5 ~~~therefore n =25]

63

(1) 전수조사 (2) 표본조사
(3) 표본조사 (4) 전수조사

답

64

(1) [eqn: 60]   (2) [eqn: 2]

답

65

④

답

해

설

모집단은 정규분포 [eqn: rmN(8,~2^2 )]을 따르고 표본의 크기가 [eqn: n=16]이므로 표본평균 [eqn: bar{X``}]에 대하여

[eqn: rm E( it bar{X``} )=m=8,] [eqn: rm V( it bar{X``} )= {sigma^2 } over n = 4 over 16 = left( 1 over 2 right) ^2]

즉, [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( 8,~ left( 1 over 2 right) ^2 right)]을 따른다.

이때 [eqn: Z = { bar{X``} -8 } over {1 over 2 }]로 놓으면 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~1)]을 따른다.

[eqn: THEREFORE rm P(7 LEQ bar{it X`` rm} LEQ 9) & = rm P LEFT ( {7-8} over {{1} over {2}} LEQ it X LEQ {9-8} over {{1} over {2}} RIGHT )# & =rmP(-2 le it Z le 2 ) #&=2 rmP( 0 le itZ le 2 ) #&=2 times0.4772 #&=0.9544]

66

⑤

답

해

설

[eqn: rm E( it bar{X``} )=120], [eqn: rm sigma ( it bar{X``} )= {40} over {sqrt {100}} =4]에서 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(120,~4 ^{2`} )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE rm P( bar{it X`` rm} GEQ 110) & = rm P LEFT ( it Z GEQ {110-120} over {4} RIGHT )# & = rm P LEFT ( it Z GEQ -2.5 RIGHT )# & =0.5+0.4938=0.9938]

67

[eqn: 35 over 48]

답

해

설

주머니 속에 [eqn: 6]개의 공이 들어 있으므로 그중 한 개를 꺼낼 때, 나오는 수를 [eqn: X]라고 하면

[eqn: rm E( it X)=m= sum _{k=1} ^{6} LEFT ( k TIMES {1} over {6} RIGHT ) = {7} over {2}]

[eqn: rm V( it X)= sigma ^{2} = sum _{k=1} ^{6} LEFT ( k ^{2} TIMES {1} over {6} RIGHT ) - LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) ^{2} = {35} over {12}]

[eqn: therefore rm V( it bar{X``} )= {35 over 12 } over 4 = 35 over 48]

68

④

답

해

설

[eqn: rm E( it bar{X``} )=20,~rm sigma( it bar{X``} )= { 9} over { sqrt { 9} }=3]이므로 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN(20,~3^2 )]을 따른다.

[eqn: rm P( it bar{X``} LEQ 23) & = rm P LEFT ( it Z LEQ {23-20} over {3} RIGHT )# & = rm P( it Z LEQ 1)# & =0.5+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)# & =0.5+0.34`=0.84]

확률과 통계	Ⅲ. 통계		2. 통계적 추정			정답
	02 모평균의 추정

01

②

답

해

설

[eqn: alpha = bar{X``} - 1.96 16 over sqrt { 1600},~beta = bar{X``}+ 1.96 16 over sqrt { 1600}]

[eqn: ∴ beta-alpha=2times 1.96 {16}over sqrt { 1600} =2times1.96times 2 over 5 =1.568]

02

⑤

답

해

설

표본의 크기를 [eqn: n]이라고 하면

[eqn: 2times2times 10 over sqrt { n } le4,~ sqrt { n} ge 10~~~ ∴ n ge 100]

따라서 표본의 크기를 적어도 [eqn: 100] 이상으로 해야 한다.

03

①

답

해

설

모표준편차를 [eqn: sigma]라고 하면 표본의 크기가 [eqn: n]일 때,

[eqn: 2times2times sigma over sqrt { n} =4d~~~ ∴ d= sigma over sqrt { n}]

따라서 표본의 크기가 [eqn: 16n]일 때, 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 99~%]의 신뢰구간의 길이는

[eqn: 2 TIMES 3 TIMES {sigma } over {sqrt {16n}} =2 TIMES 3 TIMES {sigma } over {4 sqrt {n}} = 3 over 2 TIMES {sigma } over { sqrt {n}}= 3 over 2 d]

04

④

답

해

설

표본의 크기가 [eqn: 16]일 때, 신뢰구간의 길이가 [eqn: l]이므로 상수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: l=2timesk times sigma over sqrt { 16}~~~ ∴ l= 1over 2 k sigma]	㉠

신뢰구간의 길이가 [eqn: l over 4]이 되도록 하는 표본의 크기를 [eqn: n]이라고 하면

[eqn: l over 4 = 2 times k times sigma over sqrt { n}~~~therefore l = {8k sigma } over sqrt { n}]	㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 1 over 2 k sigma={ 8k sigma}over sqrt { n} ,~ sqrt { n}=16~~~ ∴ n=256]

05

⑤

답

해

설

표본의 크기가 [eqn: 4]일 때, 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2]이므로 상수 [eqn: k]에 대하여　 [eqn: 2=2times k times 1 over sqrt { 4}~~~ ∴ k=2]

이때, 신뢰구간의 길이가 [eqn: 0.4] 이하이어야 하므로 표본의 크기를 [eqn: n]이라고 하면

[eqn: 0.4 GEQ 2 TIMES k TIMES {1} over {sqrt {n}} =2 TIMES 2 TIMES {1} over {sqrt {n}}]

[eqn: ~ sqrt {n} GEQ {4} over {0.4} =10~~~ THEREFORE n ge 100]

따라서 구하는 표본의 크기의 최솟값은 [eqn: 100]이다.

06

②

답

해

설

모표준편차가 [eqn: 4]이고 [eqn: rmP(-2 le it Z le 2)=0.95]이므로 신뢰도가 [eqn: 95~ %]일 때, 모평균 [eqn: m]의 신뢰구간은

[eqn: bar{X``} - 2 4 over sqrt { n} le m le bar{X``} + 2 4 over sqrt { n}]

이때, 신뢰구간의 길이가 [eqn: 1]이어야 하므로

[eqn: 2times 2times 4 over sqrt { n } =1,~ sqrt { n} =16 ~~~∴ n=256]

07

③

답

해

설

표본의 크기를 [eqn: n]이라고 하면 신뢰도 [eqn: 99~ %]일 때, 모평균 [eqn: m]의 신뢰구간의 길이는 　[eqn: 2 times 3 times 60 over sqrt { n}]

[eqn: 2 TIMES 3 TIMES {60} over {sqrt {n}} le 24]에서 　[eqn: sqrt { n } ge 15~~~therefore n ge 225]

따라서 구하는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 225]이다.

08

②

답

해

설

[eqn: 2 times 2 times 4 over sqrt { n } le 1 ,~ sqrt { n} =16~~~therefore~ n=256]

09

①

답

해

설

[eqn: 2 times 3 times 4 over sqrt { n } le 2 ,~ sqrt { n} ge 12~~~therefore n ge 144]

따라서 표본의 크기의 최솟값은 [eqn: 144]이다.

10

②

답

해

설

신뢰도 [eqn: 95~ %]로 모평균 [eqn: m]을 추정하면

[eqn: bar{X``} - 2 sigma over sqrt { n} le m le bar{X``} + 2 sigma over sqrt { n}]

[eqn: 2 times 5 over sqrt { n} le 2]에서 [eqn: sqrt { n} ge 5], 즉 [eqn: n ge 25]이므로 최소한 [eqn: 25]명의 학생을 조사해야 한다.

11

[eqn: 170.67le m le174.33]

답

해

설

표본의 크기 [eqn: 100]이 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편차 [eqn: 6.1]을 사용할 수 있다.

이때 표본평균이 [eqn: 172.5]이므로 모평균 [eqn: m]에 대하여 신뢰도 [eqn: 99~%]의 신뢰구간은

[eqn: 172.5-3 cdot 6.1 over sqrt { 100}le m le 172.5+3 cdot 6.1 over sqrt { 100}]

[eqn: ∴ 170.67le m le174.33]

12

[eqn: 50.04 le m le 53. 96]

답

13

④

답

해

설

[eqn: n=100,~itbar{X``}= 60,~sigma=10]이고

[eqn: rmP(-2 le it Z le 2 ) =0.95]이므로

[eqn: 3]학년 학생 전체의 수리영역 점수의 평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간은

[eqn: bar{X``} - 2 times sigma over sqrt { n} le m le bar{X``} + 2 times sigma over sqrt { n}]에서

[eqn: 60-2 TIMES {10} over {sqrt {100}} LEQ m LEQ 60+2 TIMES {10} over {sqrt {100}}]

[eqn: 60-2` LEQ `m` le 60+2]

[eqn: therefore 58 le m le 62]

14

③

답

해

설

[eqn: 2` TIMES `3 TIMES {sigma } over {sqrt {n}} -2 TIMES 2 TIMES {sigma } over {sqrt {n}} & =2 TIMES {sigma } over {sqrt {n}}# & =2 TIMES {15} over {sqrt {100}} =3]

15

③

답

해

설

[eqn: □= 2 times sigma over sqrt { n } = 2 times 6 over sqrt { 64 } = 1.5]

16

④

답

해

설

ㄱ. [eqn: rmE(itbar{X``}) = 30](시간)

ㄴ. [eqn: sigma(itbar{X``} ) = 5 over sqrt { 100}= 0.5](시간)

ㄷ. [eqn: rm P(`|` it bar{X``} -30`| LEQ 1) & = rm P LEFT ( {`|` it bar{X``} -30`| rm} over {0.5} LEQ 2 RIGHT )# & = rm P(`|` it Z``| LEQ 2)=0.95]

17

[eqn: 62]

답

해

설

[eqn: rm P LEFT ( `|` it bar{X``} -m`| LEQ {1} over {2} RIGHT ) = rm P LEFT ( `|` it Z`| LEQ {sqrt {n}} over {4} RIGHT ) ge 0.95]

[eqn: therefore sqrt { n} over4 ge 1.96]

[eqn: therefore n ge 61.4656]    [eqn: therefore]([eqn: n]의 최솟값)=[eqn: 62]

18

①

답

해

설

[eqn: n=100,~bar{X``} = 165,~sigma =10]이므로

[eqn: 165 - 3 times 10 over sqrt { 100} le m le 165 + 3 times 10 over sqrt { 100}]

[eqn: therefore 162 le m le 168]

19

[eqn: 640]

답

해

설

신뢰구간을 [eqn: bar{X``} -k TIMES {sigma } over {sqrt {n}} LEQ m LEQ bar{X``} +k TIMES {sigma } over {sqrt {n}}]라고 하면 신뢰구간의 길이는  [eqn: l=2` TIMES `k times sigma over sqrt { n}]

[eqn: n=40]일 때 [eqn: l=2]이므로
[eqn: 2 = 2k sigma over sqrt { 40}~~~~therefore k sigma = sqrt { 40}]

[eqn: l=0. 5]일 때 [eqn: n]을 구하면

[eqn: 0.5 = 2 times sqrt { 40} over sqrt { n}~~~therefore n=640]

20

[eqn: 385]

답

해

설

[eqn: 2 times 1.96 times sigma over sqrt { n} le 1 over 5 sigma,~ 2 times 1.96 times 5 le sqrt { n }]

[eqn: thereforen ge 384. 16]

[eqn: therefore]([eqn: n]의 최솟값)=[eqn: 385]

21

[eqn: 13.4864 le m le 14.1136]

답

해

설

[eqn: n=100,~bar{X``}=13.8,~sigma=1.6]이므로

모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간은

[eqn: 13.8-1.96 times 1.6 over sqrt { 100} le m le13.8+1.96 times 1.6 over sqrt { 100}]

[eqn: therefore 13.4864 le m le 14.1136]

22

[eqn: 46.864 le m le 53.136], [eqn: 6.272]

답

해

설

[eqn: n=100,~bar{X``}=50,~sigma=16]이므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간은

[eqn: 50-1.96 TIMES {16} over {sqrt {100}} LEQ m LEQ 50+1.96 TIMES {16} over {sqrt {100}}]

[eqn: therefore46.864 LEQ m LEQ 53.136]

또한 신뢰구간의 길이는

[eqn: 53.136-46.864 = 6.272]

23

[eqn: 95.44~%]

답

해

설

[eqn: n=25,~ sigma =7.5]이므로 신뢰계수를 [eqn: k]라고 하면 신뢰구간의 길이는

[eqn: 2times k times 7.5 over sqrt { 25} = 6]

[eqn: therefore k=2]

따라서 빵의 평균 무게에 대하여 신뢰도 [eqn: 95.44~%]로 추정한 것이다.

24

[eqn: 25.0296`le`m`le`25.9704]

답

해

설

[eqn: n=400,~ bar{X``}=25.5 ,~sigma= 4.8]이므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간은

[eqn: 25.5- 1.96 times 4.8 over sqrt { 400 } le m le25.5+.96 times 4.8 over sqrt { 400 }]

[eqn: therefore25.0296` LEQ `m` LEQ `25.9704]

25

[eqn: 256]

답

해

설

신뢰구간의 길이는 [eqn: {2k sigma } over sqrt { n}]이므로 [eqn: {2k cdot 1 } over sqrt { 16} =2]에[eqn: k=4]

따라서 [eqn: 2cdot4cdot1 over sqrt { n} = 0.5]에서  [eqn: n=256]

26

(1) [eqn: 1480.4 le m le 1519.6]

답

해

설

(2) [eqn: 246] 이상

(1) 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 [eqn: rmN left( 1500,~ 100^2 over100 right)]을 따르므로
[eqn: 1500-1.96 times 10 le m le 1500+ 1.96 times10]
[eqn: 1480.4 le m le 1519.6]

(2) 신뢰구간의 길이는 [eqn: 25]시간 이하이므로
[eqn: 2times 1.96 times 100 over sqrt { n } le 25]
[eqn: sqrt { n} ge 15.68]에서  [eqn: n ge 245.8624]
따라서 표본의 크기 [eqn: n]은 [eqn: 246] 이상으로 해야 한다.

27

[eqn: 170.71 le m le 173 .29]

답

해

설

[eqn: n=100,~bar{X``}=172,~sigma=5]이므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 99~%]의 신뢰구간은

[eqn: 172-2.58 TIMES {5} over {sqrt {100}} LEQ m`le`172+2.58 TIMES {5} over {sqrt {100}}]

[eqn: therefore 170.71 LEQ m LEQ 173.29]

28

[eqn: 47.8698 le m le 48.8302]

답

해

설

[eqn: n=100,~bar{X``}= 48.35,~sigma = 2.45]이므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간은

[eqn: 48.35-1.96 TIMES {2.45} over {sqrt {100}} LEQ m LEQ 48.35+1.96 TIMES {2.45} over {sqrt {100}}]

[eqn: therefore 47.8698 LEQ m LEQ 48.8302]

29

[eqn: 1068] 이상

답

해

설

[eqn: 2 times 1.96 times 5 over sqrt { n} le 0.6]에서

[eqn: sqrt { n} ge 196 over 6 =32.66cdots]

[eqn: therefore n ge 1067.11cdots]

따라서 표본의 크기를 [eqn: 1068] 이상으로 하여야 한다.

30

[eqn: 62]

답

해

설

[eqn: rm P LEFT ( `|` bar{it X`` rm} - it m`| LEQ {1} over {2} RIGHT ) ge 0.95]	㉠

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: rmN left( itm,~ 4 over n right)]를 따르므로 ㉠에서

[eqn: rm P LEFT ( {`|` bar{it X`` rm} - it m`| rm} over {{2} over {sqrt {it n rm}}} LEQ {{1} over {2}} over {{2} over {sqrt {it n rm}}} RIGHT ) GEQ 0.95]

[eqn: thereforerm P LEFT ( |` it Z```| LEQ {sqrt {it n rm }} over {4} RIGHT ) GEQ 0.95]

[eqn: sqrt { n} over 4 ge 1.96]에서  [eqn: n GEQ 61.4656]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 62]이다.

31

[eqn: 20.4 LEQ m le59.6]

답

32

③

답

해

설

[eqn: bar{X``}=80,~sigma =20,~n=100]이므로 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간은

[eqn: 80- 1.96 { 20} over { sqrt { 100} } le m le80+ 1.96 { 20} over { sqrt { 100} }]

[eqn: therefore 76.08 le m le 83.92]

33

④

답

해

설

모표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 이루는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]인 신뢰구간의 길이를 [eqn: l]이라 하면
[eqn: l= 2 times 1. 96 { sigma} over { sqrt { n} }]이므로

[eqn: l= 2 times 1.96 { 2} over { sqrt { n} } le 2]

[eqn: sqrt n{ } ge 3.92 ~~~therefore n ge 15.3664]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 16]이다.

34

⑤

답

해

설

[eqn: 2 times 2.58 { 4} over { sqrt { n} } le 4]에서  [eqn: sqrt { n} ge 5.16]

[eqn: THEREFORE n GEQ 26.6256]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 27]이다.

35

②

답

해

설

[eqn: 120-`2` CDOT ` {10} over {sqrt {400}} LEQ m LEQ 120+`2` CDOT ` {10} over {sqrt {400}}]

[eqn: THEREFORE `119`le m le121]

36

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: 6=2k CDOT {sigma } over {sqrt {4}}]에서  [eqn: k` sigma =6]

[eqn: 3 = 2k cdot { sigma} over { sqrt { n} }]에서

[eqn: sqrt { n} = { 2k sigma} over {3 } =4]

[eqn: therefore n= 16]

37

③

답

해

설

신뢰구간의 길이 [eqn: l]은

[eqn: l= 2 cdot 3 cdot 3 over sqrt { 25} = 18 over 5 = 3.6]

확률과 통계	Ⅲ. 통계		2. 통계적 추정			정답
	03 모비율의 추정

01

①

답

해

설

[eqn: hat {p } = 75 over 300 = 0.25]이므로 구하는 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ 0.25-1.96 sqrt {{0.25 TIMES 0.75} over {300}} ,~0.25+1.96 sqrt {{0.25 TIMES 0.75} over {300}} RIGHT ]# = LEFT [0. 201,~0.299 RIGHT ]]

02

③

답

해

설

표본의 크기가 [eqn: 100]인 표본비율이 [eqn: hat { p} = 64 over 100]이므로 신뢰도 [eqn: 95~%]인 모비율 [eqn: p]의 신뢰구간은

[eqn: hat { p} -2 sqrt { {hat { p}(hat { p}-1) } overn} le p le hat { p} +2 sqrt { {hat { p}(hat { p}-1) } overn}]

[eqn: {64} over {100} -2 sqrt {{{64} over {100} CDOT {36} over {100}} over {100}} LEQ p LEQ {64} over {100} +2 sqrt {{{64} over {100} CDOT {36} over {100}} over {100}}]

[eqn: THEREFORE 0.544 LEQ p LEQ 0.736]

03

②

답

해

설

표본비율이 [eqn: hat{p} = {10} over {100} = 1 over 10]이므로

[eqn: 2 TIMES `2.58 sqrt {{{1} over {10} CDOT {9} over {10}} over {n}} LEQ ` {3} over {100}]

[eqn: THEREFORE sqrt {n} GEQ 51.6,~n GEQ 2662.56]

따라서 [eqn: 2663]개 이상 조사해야 한다.

04

④

답

해

설

[eqn: 500]개 중 [eqn: 200]개가 발아하였으므로 표본비율 [eqn: hat p]은

[eqn: hat p = `2000 over 500 = 2 over 5]

이때, [eqn: 2times 3 times sqrt { {hatp times(1-hatp )}over n}le0.06]에서

[eqn: 2 TIMES 3 TIMES sqrt {{{2} over {5} TIMES LEFT ( 1- {2} over {5} RIGHT )} over {n}} LEQ 0.06 ,~ sqrt { n}ge 20 sqrt { 6}]

[eqn: therefore n ge 2400]

따라서 표본의 크기는 [eqn: 2400] 이상으로 하여야 한다.

05

②

답

해

설

[eqn: 1] 또는 [eqn: 3]의 눈이 나올 확률을 [eqn: p]라고 하면 [eqn: p= 1 over 3]이고, 시행횟수를 [eqn: n]으로 했을 때의 표본비율 [eqn: hat p]에 대하여[eqn: rmP left( 7 over 30 le hat p le 13 over 30 right) ge 0.95], [eqn: rmP left( - {3 sqrt {it n}}over{10 sqrt { 2}} le it Z le {3 sqrt { n }} over{10 sqrt { 2}} } right) ge 0.95]이므로

[eqn: {3 sqrt {n}} over {10 sqrt {2}} GEQ 1.96~~~therefore n ge 96.04]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 97]이다.

06

⑤

답

해

설

[eqn: hat p = 100 over 1000 =0.1]이므로 모비율에 대한 신뢰도 [eqn: 99~ %]의 신뢰구간의 길이를 [eqn: 5~ %] 이하로 하려면

[eqn: 2times3 times sqrt { 0.1times0.9 over n} le 0.05,~ sqrt { n} ge 36`]

[eqn: thereforen ge 1296]