확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		2. 분할과 이항정리			반 / 번호
	01 분할					이름

01

서로 다른 사탕 [eqn: 4]개를 서로 같은 접시 [eqn: 3]개에 빈 접시가 없도록 나누어 담는 방법의 수를 구하여라.

02

[eqn: 5]명의 학생을 [eqn: 4]팀으로 나누는 방법의 수를 구하여라.

03

서로 같은 [eqn: 2]인용 오리 보트가 있다. [eqn: 3]명의 학생이 [eqn: 2]대 이상의 오리 보트에 나누어 타는 방법의 수를 구하여라.

04

자연수 [eqn: 210]을 [eqn: 1]보다 큰 두 자연수의 곱으로 나타내는 방법의 수를 구하여라.

05

자연수 [eqn: 330]을 [eqn: 1]보다 큰 세 자연수의 곱으로 나타내는 방법의 수를 구하여라.

06

[eqn: 8]을 [eqn: 4]개의 자연수의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하여라.

07

서로 같은 구슬 [eqn: 7]개를 서로 같은 상자 [eqn: 3]개에 나누어 담으려고 한다. 다음을 구하여라.
(1) 빈 상자가 없도록 나누어 넣는 방법의 수
(2) 빈 상자가 [eqn: 1]개 이하가 되도록 나누어 넣는 방법의 수

08

다음 값을 구하여라.
(1) [eqn: S``(4,~1)]
(2) [eqn: S``(5,~2)]

09

다음 값을 구하여라.
(1) [eqn: P``(3,~1)]
(2) [eqn: P``(6,~4)]

10

□ 안에 알맞은 수를 써넣어라.
(1) [eqn: S``(3,~ BOX{~~}`) =S``(2,~1)+2S``(2,~2)]
(2) [eqn: P``(4,~ BOX{~~} `)=P``(2,~1)+P``(2,~2)]

11

다음을 구하여라.
(1) 자연수 [eqn: 770]을 [eqn: 1]보다 큰 세 자연수의 곱으로 나타내는 방법의 수
(2) 자연수 [eqn: 7]을 [eqn: 4]개의 자연수의 합으로 나타내는 방법의 수

12

서로 같은 구슬 [eqn: 11]개를 서로 같은 상자 [eqn: 3]개에 나누어 넣으려고 한다. 각 상자마다 [eqn: 2]개 이상의 구슬을 넣는 방법의 수를 구하여라.

13

[eqn: S``(4,~2)=a,~P``(4,~2)=b]일 때, [eqn: 2a+b]의 값을 구하여라.

14

자연수 [eqn: 2310]을 [eqn: 1]보다 큰 세 자연수의 곱으로 나타내는 방법의 수를 구하여라.

15

서로 같은 빵 [eqn: 6]개를 [eqn: 3]개 이하의 서로 같은 접시에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라.

(단, 빈 접시가 있을 수 있다.)

16

다음을 구하여라.
(1) [eqn: P``(8,~3)]
(2) [eqn: P``(7,~7)]

17

[eqn: 7]의 분할의 수를 구하여라.

18

[eqn: (x+x^2 + x^3 ) ^3]의 전개식에서 [eqn: x^5]이 계수를 구하여라.

19

[eqn: S``(5,~3)]의 값을 구하여라.

20

다음을 구하여라.
(1) [eqn: S``(4,~2)]
(2) [eqn: S``(6,~3)]

21

다음을 구하여라.
(1) [eqn: P``(4,~2)]
(2) [eqn: P``( 6,~5)]

22

[eqn: 4]의 분할의 수를 구하여라.

23

다음을 구하여라.
(1) [eqn: S``(5,~2)]
(2) [eqn: S``(6,~2)]

24

똑같은 사탕 [eqn: 9]개를 똑같은 봉투 [eqn: 4]개에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라.

(단, 각 봉투에는 적어도 한 개의 사탕을 담는다.)

25

똑같은 [eqn: 7]개의 공을 똑같은 상자 [eqn: 3]개에 넣을 때, 각 상자에 공이 [eqn: 4]개 이하가 되도록 하는 방법의 수를 구하여라. (단, 빈 상자는 없다.)

26

다음 값을 구하여라.
(1) [eqn: S``(4,~3)]
(2) [eqn: S``(5,~2)]

27

똑같은 [eqn: 3]개의 접시에 서로 다른 [eqn: 5]개의 빵을 나누어 담을 때, 빈 접시가 없도록 담는 모든 방법의 수를 구하여라.

28

똑같은 [eqn: 4]개의 상자에 서로 다른 [eqn: 6]개의 공을 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 모든 방법의 수를 구하여라.

29

다음 값을 구하여라.
(1) [eqn: P``(6,~4)]
(2) [eqn: P``(8,~5)]

30

똑같은 [eqn: 4]개의 쇼핑백에 똑같은 [eqn: 9]벌의 옷을 나누어 담을 때, 빈 쇼핑백이 없도록 담는 모든 방법의 수를 구하여라.

31

똑같은 [eqn: 3]개의 상자에 똑같은 [eqn: 10]개의 공을 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 모든 방법의 수를 구하여라.

32

자연수 [eqn: 9]를 순서를 생각하지 않고 [eqn: 3]개의 자연수의 합으로 나타내는 모든 방법의 수를 구하여라.

33

똑같은 [eqn: 3]개의 봉지에 서로 다른 종류의 사탕 [eqn: 7]개를 나누어 넣을 때, 빈 봉지가 없도록 넣는 모든 방법의 수를 구하여라.

34

집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6right}]을 공집합이 아닌 서로소인 [eqn: 5]개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수를 구하여라.

35

자연수 [eqn: 9]를 순서를 생각하지 않고 [eqn: 5]개의 자연수의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하여라.

36

똑같은 [eqn: 2]개의 상자에 서로 다른 [eqn: 7]개의 공을 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 모든 방법의 수를 구하여라.

37

똑같은 [eqn: 4]개의 상자에 똑같은 [eqn: 11]개의 공을 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 모든 방법의 수를 구하여라.

38

집합 [eqn: A= left{ a,~b,~c,~d,~e right}]에 대하여 집합 [eqn: A]의 분할인 것을 모두 골라라.
(1) [eqn: left{a,~b right} cup left{c,~d,~e right}]
(2) [eqn: LEFT { a RIGHT } CUP LEFT { b,~c RIGHT } CUP LEFT { e RIGHT }]
(3) [eqn: LEFT { a,~b,~c RIGHT } CUP LEFT { d RIGHT } CUP LEFT { c,~e RIGHT }]
(4) [eqn: LEFT { a,~e RIGHT } CUP LEFT { b RIGHT } CUP LEFT { c,~d RIGHT }]

39

다음 물음에 답하여라.
(1) 집합 [eqn: A= LEFT { a,~b,~c,~d right}]에 대하여 집합 [eqn: A]를 [eqn: 2]개의 서로소인 부분집합으로 나누는 집합의 분할을 모두 구하여라.
(2) [eqn: S``(4,~2)]를 구하여라.

40

집합 [eqn: A= LEFT { a,~b,~c,~d right}]에 대하여 집합 [eqn: A]를 [eqn: 3]개의 서로소인 부분집합으로 나누는 집합의 분할을 모두 구하고, [eqn: S``(4,~3)]을 구하여라.

41

서로 다른 [eqn: 5]개의 구슬을 같은 종류의 [eqn: 4]개의 주머니에 빈 주머니가 없도록 넣는 방법의 수를 구하여라. 또 이를 이용하여 [eqn: S``(5,~4)]를 구하여라.

42

[eqn: 5]명의 학생을 [eqn: 3]개의 모둠으로 나누는 방법의 수를 구하여라.

43

[eqn: 6]명의 학생을 [eqn: 4]개의 팀으로 나누는 방법의 수를 구하여라.

44

다음을 구하여라.
(1) 서로 다른 [eqn: 7]개의 공을 같은 종류의 [eqn: 2]개의 상자에 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수
(2) 서로 다른 [eqn: 7]개의 공을 같은 종류의 [eqn: 2]개의 상자에 넣는 방법의 수 (단, 빈 상자가 있는 경우도 생각한다.)

45

다음을 구하여라.
(1) [eqn: P``(4,~2)]
(2) [eqn: P``(5,~5)]
(3) [eqn: P``(8,~1)]
(4) [eqn: P``(9,~4)]

46

같은 종류의 사탕 [eqn: 7]개를 같은 종류의 봉지에 나누어 담으려고 한다. 나누어 담는 방법의 수를 구하여라.

47

[eqn: 6]의 분할을 모두 구하고, [eqn: P``(6,~k)]
[eqn: (k=1,~2,~3,~4,~5,~6)]의 값을 구하여라.

48

다음 물음에 답하여라.
(1) 같은 종류의 [eqn: 9]개의 공을 같은 종류의 [eqn: 3]개의 상자에 나누어 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수를 구하여라.
(2) 같은 종류의 [eqn: 9]개의 공을 같은 종류의 [eqn: 3]개의 상자에 나누어 넣는 방법의 수를 구하여라.

(단, 빈 상자가 있는 경우도 생각한다.)

49

다음을 구하여라.
(1) [eqn: S``(2,~2)]
(2) [eqn: S``(4,~1)]
(3) [eqn: S``(5,~2)]

50

집합 [eqn: A=` LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 right}]에 대하여 집합 [eqn: A]를 원소의 개수가 [eqn: 2,~2,~3]의 [eqn: 3]개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수를 구하여라.

51

다음을 구하여라.
(1) [eqn: P``(3,~3)]
(2) [eqn: P``(4,~3)]
(3) [eqn: P``(9,~2)]

52

[eqn: 3]개의 자연수의 합으로 나타내어지는 [eqn: 10]의 분할을 모두 구하여라.

53

서로 다른 종류의 [eqn: 6]개의 사탕을 두 뭉치로 나누는 방법의 수를 구하여라.

54

크기가 각각 [eqn: 300` rm MiB,~350` rm MiB,~450` rm MiB,] [eqn: 500` rm MiB,~600` rm MiB]인 [eqn: 5]개의 동영상 파일을 용량이 각각 [eqn: 5rmGiB]이고 서로 구별이 안 되는 두 개의 [eqn: rmUSB]에 나누어 저장하려고 한다. 각 파일은 하나의 [eqn: rmUSB]에만 저장하고 파일을 저장하는 순서는 고려하지 않는다고 할 때, 파일을 저장하는 방법의 수를 구하여라.

(단, [eqn: 1 rm GiB=1024MiB]로 계산한다.)

55

두 집합 [eqn: X=LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6 right}], [eqn: Y= LEFT { a,~b,~c,~d,~e RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:~X``` ->` Y]일 때, 다음을 구하여라.
(1) 집합 [eqn: X]를 공집합이 아닌 [eqn: 5]개의 서로소인 집합으로 분할하는 방법의 수
(2) 치역이 집합 [eqn: Y]인 함수의 개수

56

같은 종류의 [eqn: 7]개의 통조림을 같은 종류의 [eqn: 3]개의 상자에 나누어 넣으려고 할 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: 3]개의 상자에 빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수
(2) [eqn: 3]개의 상자에 넣는 방법의 수

(단, 빈 상자가 있는 경우도 생각한다.)

57

[eqn: 10]의 분할 중에서 홀수로만 이루어지는 분할은 몇 가지인지 구하여라.

58

같은 종류의 [eqn: 11]개의 구슬을 같은 종류의 [eqn: 3]개의 주머니에 넣을 때, 각 주머니에 [eqn: 2]개 이상의 구슬이 있도록 넣는 방법의 수를 구하여라.

59

볼링장에 간 은주가 차례가 되어 공을 던졌는데 남은 핀의 번호의 합이 [eqn: 10]이었다고 한다. 핀이 남아 있는 상황은 몇 가지인지 구하여라. (단, 각 볼링핀은 놓인 자리에 따라 [eqn: 1]에서 [eqn: 10]까지의 번호가 각각 하나씩 붙여져 있다.)

60

자연수 [eqn: 30030]을 [eqn: 1]보다 큰 세 자연수의 곱으로 나타내는 방법의 수를 구하여라.

61

같은 종류의 [eqn: 5]개의 사탕을 [eqn: 3]명의 아이에게 [eqn: 1]개 이상씩 나누어 주고, 같은 종류의 [eqn: 5]개의 초콜릿을 [eqn: 1]개의 사탕을 받은 아이에게만 [eqn: 1]개 이상씩 나누어 주려고 한다. 사탕과 초콜릿을 남김없이 나누어 주는 방법의 수를 구하여라.

62

서로 다른 [eqn: 6]권의 수학책을 같은 종류의 [eqn: 3]개의 가방에 나누어 담으려고 한다. 빈 가방이 없도록 나누어 담는 방법의 수를 구하여라.

63

집합 [eqn: X= left{ 1,~2,~3,~4,~5 right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 중 치역의 원소가 [eqn: 3]개인 함수의 개수를 구하여라.

64

주연이네 반 학생 [eqn: 8]명은 [eqn: 2]개의 모둠으로 나누어 산을 등반하기로 하였다. 조사하여 보니 [eqn: 8]명 중 등산로를 알고 있는 학생은 [eqn: 3]명이었다. [eqn: 8]명을 [eqn: 2]개의 모둠으로 나눌 때, 각 모둠에 등산로를 아는 학생이 한 명 이상 포함되고, 각 모둠의 구성원이 [eqn: 3]명 이상이 되도록 하는 방법의 수를 구하여라.

65

길이가 [eqn: 10`rmm]인 밧줄을 길이가 [eqn: 2`rmm] 이상 [eqn: 8`rmm] 이하의 정수인 토막으로 자르려고 한다. 이때 밧줄을 자르는 방법의 수를 구하여라. (단, [eqn: 3`rmm,~3`m,~4`m]로 자르는 경우와 [eqn: 3`rmm,~4`rmm,~3`rmm]으로 자르는 경우는 한 가지로 센다.)

66

다음 중 옳은 것을 모두 찾아라.

[eqn: ㄱ.~P``(6,~4) = 2]

[eqn: ㄴ.~ & P``(10,~3)# & =P``(7,~1)+P``(7,~2)+P``(7,~3)]

[eqn: ㄷ.~k_1 <k_2 <n]을 만족시키는 세 자연수 [eqn: k_1], [eqn: k_2], [eqn: n]에 대하여
[eqn: P``(n,~k_1 ) le P``(n,~k_2 )]

확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		2. 분할과 이항정리			반 / 번호
	02 이항정리					이름

01

[eqn: LEFT ( 2x^3 + 1 over x right) ^8]의 전개식에서 상수항은?

① [eqn: 96]	② [eqn: 102]	③ [eqn: 108]

④ [eqn: 112]	⑤ [eqn: 118]

02

[eqn: log ``_{4} ( _{16} rm C _{0 rm} + _{16} rm C _{1 rm} + _{16} rm C _{2 rm} +cdots + _{16} rm C _{16rm} )]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

03

[eqn: (x^2 -2x +3 )^4]의 전개식에서 [eqn: x^5]의 계수는?

① [eqn: -104]	② [eqn: -98]	③ [eqn: -94]

④ [eqn: -88]	⑤ [eqn: -82]

04

[eqn: (1-x)(1+2x)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

① [eqn: 40]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 80]

05

[eqn: (1+x) ^n]을 [eqn: x]에 대한 오름차순으로 전개하면 [eqn: 10]번째 항과 [eqn: 26]번째 항의 계수가 같다. 이때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

06

[eqn: left{a+(b+c)^2 right}^8 } "�]의 전개식에서 [eqn: a^7 bc]의 계수는?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

07

[eqn: LEFT ( x - a over x ^2 right) ^6]의 전개식에서 상수항이 [eqn: 240]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

08

[eqn: 11 ^{10}- 1]을 [eqn: 100]으로 나눈 나머지는?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 99]

09

[eqn: (1+x)+(1+x)^2 +(1+x)^3 +cdots+(1+x)^10]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?

① [eqn: 125]	② [eqn: 135]	③ [eqn: 145]

④ [eqn: 155]	⑤ [eqn: 165]

10

[eqn: (x+y+z)^ 7]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 [eqn: m]이라 하고, [eqn: xy^2 z^4 ,~ x^3 yz^3 ,~ x^3 y^4 z]와 같이 [eqn: x,~ y,~ z]의 각 문자에 대하여 일차 이상인 항의 개수를 [eqn: n]이라고 하자. 이때, [eqn: m-n]의 값은?

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

11

[eqn: (x^2 +2)^6]의 전개식에서 [eqn: x^6]의 계수는?

① [eqn: 120]	② [eqn: 130]	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 160]

12

[eqn: left(3x- 1 overx^2 right) ^{6}]의 전개식에서 상수항은?

① [eqn: 15]	② [eqn: -81]	③ [eqn: 81]

④ [eqn: -1215]	⑤ [eqn: 1215]

13

다음 중 [eqn: {} _{3} rm C _{0 rm} + _{4} rm C _{1 rm} + _{5} rm C _{2 rm} + _{6} rm C _{3 rm} + CDOTS + _{20} rm C _{17 rm}]의 값과 같은 것은?

① [eqn: {} _{20} rm C _{16 rm}]	② [eqn: {} _{20} rm C _{17 rm}]	③ [eqn: {} _{21} rm C _{15 rm}]

④ [eqn: {} _{21} rm C _{16 rm}]	⑤ [eqn: {} _{21} rm C _{17 rm}]

14

[eqn: log`` _{2} LEFT ( sum _{r=0} ^{9} ` _{19} rm C _{2 it r rm} ` RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

15

[eqn: 2000< _{n} rm C _{1 rm} + _{it n rm} rm C _{2 rm} + _{it n rm} rm C _{3 rm}+ CDOTS + _{itn} rm C _{itn rm} < 3000]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

16

[eqn: (x ^{2} -x+2) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수는?

① [eqn: -200]	② [eqn: -100]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 200]

17

[eqn: (1-i) ^{16}]의 전개식을 이용하여
[eqn: {} _{16} rm C _{0 rm} - _{it 16 rm} rm C _{2} + _{it 16 rm} rm C _{4} - CDOTS + _{16} rm C _{16 rm} it]의 값을 구하면?

(단, [eqn: i= sqrt {-1}])

① [eqn: 0]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 128]

④ [eqn: 256]	⑤ [eqn: 512]

18

[eqn: LEFT ( x- {1} over {x} RIGHT ) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{`n-4}]의 계수를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: sum _{k=2} ^{INF } 1 over a_k]의 값은?

(단, [eqn: n]은 [eqn: n ge2]인 자연수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

19

[eqn: (1+x)^5 (2+x)^2]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

20

[eqn: (1+x) +(1+x) ^{2}+cdots +(1+x) ^{8}]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?

① [eqn: 72]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 88]

21

[eqn: 11 ^11]의 백의 자리의 숫자를 [eqn: a], 십의 자리의 숫자를 [eqn: b], 일의 자리의 숫자를 [eqn: c]라고 할 때,
[eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

22

[eqn: log _{2} (` _{n} rm C _{0 rm} +7 CDOT _{it n rm} rm C _{1 rm} +7 ^{2} ` CDOT _{it n rm} rm C _{2} + CDOTS + it 7 ^{n} ` CDOT _{n} rm C _{it n rm})]을 간단히 하면?

① [eqn: 3n]	② [eqn: 3^n]	③ [eqn: 3^ n+1]

④ [eqn: 7n]	⑤ [eqn: 7^n]

23

[eqn: left{a+(b+c)^2 right}^8]의 전개식에서 [eqn: a^7 b c]의 계수는?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

24

[eqn: LEFT ( ax ^{3} + {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 6]일 때, 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라.

25

[eqn: 11^100 - 1]의 끝자리에 연속하여 나타나는 [eqn: 0]의 개수는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

26

[eqn: int (1+2x) ^10 dx]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

① [eqn: 240]	② [eqn: 250]	③ [eqn: 260]

④ [eqn: 270]	⑤ [eqn: 280]

27

[eqn: d over dx left( x^2 + k over x right) ^ 6]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: -480]일 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

28

[eqn: (1+x)+(1+x) ^{2} +(1+x) ^{3} + CDOTS +(1+x) ^{10}]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는?

① [eqn: 10]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 55]

29

다항식 [eqn: 2(x+a) ^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수와 다항식 [eqn: (x-1)(x+a) ^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 [eqn: (a,~n)]에 대하여 [eqn: an]의 최댓값을 구하여라.

30

[eqn: (a+b+c) ^{8}]의 전개식에서 [eqn: a ^{3} b ^{2`} c ^{3}]의 계수는?

① [eqn: 440]	② [eqn: 480]	③ [eqn: 520]

④ [eqn: 560]	⑤ [eqn: 600]

31

[eqn: (1+x+x^2 ) left( x+ 1 over x right) ^ 8]의 전개식에서 상수항은?

① [eqn: 110]	② [eqn: 126]	③ [eqn: 134]

④ [eqn: 152]	⑤ [eqn: 164]

32

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (a+b) ^4]
(2) [eqn: (a+b) ^5]

33

다음 □ 안에 알맞은 수를 써넣어라.
(1) [eqn: {} _{6} rm C _{3} + _{6} rm C _{4} = _{□} rmC _4]
(2) [eqn: {} _{10} rm C _{5} = _{9} rm C _{4} + _{□} rm C _{5}]

34

[eqn: (1+x)` ^{10}]의 전개식을 이용하여 다음 이항계수의 합을 구하여라.
(1) [eqn: {}_ 10 rmC _ 0 +{}_ 10 rmC _ 1 +{}_ 10 rmC _ 2 +cdots + {}_ 10 rmC _ 10]
(2) [eqn: {} _{10} rm C _{0} - _{10} rm C _{1} + _{10} rm C _{2} - CDOTS + _{10} rm C _{10}]
(3) [eqn: {} _{10} rm C _{0} + _{10} rm C _{2} + _{10} rm C _{4} + CDOTS + _{10} rm C _{10}]
(4) [eqn: {} _{10} rm C _{1} + _{10} rm C _{3} + _{10} rm C _{5} + CDOTS + _{10} rm C _{9}]

35

이항정리를 이용하여 다음 값을 구하여라.
(1) [eqn: (a+b)` ^{`8}]의 전개식에서 [eqn: a ^{3} b^ 5 ,~a^7 b]의 계수
(2) [eqn: (x-2) ^6]의 전개식에서 [eqn: x^3 ,~x^2]의 계수

36

[eqn: n]이 자연수일 때, 다음을 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하여라.
[eqn: 500`< _{n} rm C _{1} + _{itn} rm C _{2}+ _{itn} rm C _{3}+cdots + _{itn} rm C _{itn}<1000]

37

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (a+b) ^ 6]
(2) [eqn: (x-1) ^5]
(3) [eqn: (2x-3y) ^4]

38

[eqn: (a+b) ^10]의 전개식에서 [eqn: a^4 b ^6], [eqn: a^2 b^8]의 계수를 구하여라.

39

다음 이항계수의 합을 구하여라.
(1) [eqn: {} _{5} rm C _{0} + _{5} rm C _{1} + _{5} rm C _{2} + _{5} rm C _{3} + _{5} rm C _{4} + _{5} rm C _{5}]
(2) [eqn: {} _{5} rm C _{0} - _{5} rm C _{1} + _{5} rm C _{2} - _{5} rm C _{3} + _{5} rm C _{4} - _{5} rm C _{5}]

40

다음의 전개식에서 [eqn: [~~]] 안의 계수를 구하여라.
(1) [eqn: (3x+2)` ^{`6} ~~[`x ^{3`} ]]
(2) [eqn: (2a^2 -b) ^5 ~~[`a^6 b^2 ]]

41

[eqn: LEFT ( 2x^2 - 1 overx right) ^10]의 전개식에서 [eqn: 1 over x]의 계수를 구하여라.

42

다음의 전개식에서 [eqn: [~~]] 안의 계수를 구하여라.
(1) [eqn: (2x-3y) ^{8} ~~[`x ^{5} y ^{3} `]]
(2) [eqn: (x ^{2} -3) ^{4} ~~[`x ^{6} ]]

43

[eqn: LEFT ( 2x- {5} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수를 구하여라.

44

[eqn: (1+x ^{2} )+(1+x ^{2} ) ^{2`} +(1+x ^{2} ) ^{3`} + CDOTS +(1+x ^{2} ) ^{20}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4}]의 계수를 구하여라.

45

[eqn: (1+2x)` ^{3} (3+x)` ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수를 구하여라.

46

[eqn: (1+x)+(1+x) ^{2`} +(1+x) ^{3`} + CDOTS +(1+x) ^{10}]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수를 구하여라.

47

[eqn: (2x+1)` ^{4} (x-3)` ^{2}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수를 구하여라.

48

[eqn: (a+b+c) ^6]의 전개식에서 [eqn: a^3 b^2 c]의 계수를 구하여라.

49

[eqn: (a+b+c) ^{8}]의 전개식에서 [eqn: a ^{5} b ^{2} c]의 계수를 구하여라.

50

[eqn: (a-2b-c) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: a ^{2} b ^{2} c]의 계수를 구하여라.

51

[eqn: A= _{20} rm C _{0} +2 CDOT _{20} rm C _{1} +2 ^{2} CDOT _{20} rm C _{2} + CDOTS +2 ^{20} CDOT _{20} rm C _{20}]일 때, [eqn: log _{3} A]의 값을 구하여라.

52

[eqn: (1+i) ^16]의 전개식을 이용하여
[eqn: {} _{16} rm C _{0} - _{16} rm C _{2} + _{16} rm C _{4} - _{16} rm C _{6} + CDOTS - _{16} rm C _{14} + _{16} rm C _{16}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

53

[eqn: n]이 자연수일 때, 다음 값을 구하여라.
[eqn: log _{2} ( ``_{n} rmC_0 +7 cdot _{itn} rmC_1 + 7^2 cdot _{itn} rmC_2 +cdots+ 7^{itn} cdot _{itn} rmC_{itn})]

54

[eqn: (1+x) ^10]의 제곱의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수에 주목하여 다음을 증명하여라.
[eqn: ( _{10} rm C _{0} ) ^{2} +( _{10} rm C _{1} ) ^{2} +( _{10} rm C _{2} ) ^{2} + CDOTS +( _{10} rm C _{10} ) ^{2} = _{20} rm C _{10}]

55

[eqn: (1+3x) ^4 (1-x) ^5]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하여라.

56

[eqn: (x+y) ^9]의 전개식에서 최대의 이항계수를 구하여라.

57

[eqn: 11^11]을 [eqn: 100]으로 나눌 때의 나머지를 구하여라.

58

[eqn: (0.99) ^{10]의 값을 이항정리를 이용하여 구할 때, 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내면?

① [eqn: 0.9011]	② [eqn: 0.9019]	③ [eqn: 0.9027]

④ [eqn: 0.9035]	⑤ [eqn: 0.9044]

59

[eqn: (x-2y+3z ) ^6]의 전개식에서 [eqn: x^2 y z^3]의 계수를 구하여라.

60

[eqn: left{a+(b+c)^2 right}^8]을 [eqn: a,~b,~c]에 대한 다항식으로 전개할 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: a^3 b^6 c^4]의 계수
(2) 모든 항의 계수의 총합

61

[eqn: (1+x+x^2 ) ^6]의 전개식에서 [eqn: x^6]의 계수를 구하여라.

62

[eqn: sum _{ r=0} ^{10 } `{}_15 rmC _ {itr } cdot {}_20 rmC _ {10-itr}]와 같은 것을 고르면?

① [eqn: {}_20 rmC _10]	② [eqn: {} _{20} rm C _{15]	③ [eqn: {} _{35} rm C _{10}]

④ [eqn: {} _{35} rm C _{15}]	⑤ [eqn: {} _{35} rm C _{20}]

63

[eqn: (x^2 + 2 ) ^6]의 전개식에서 [eqn: x^8]의 계수를 구하여라.

64

[eqn: left( x^2 - 1 over x right)^9]의 전개식에서 상수항을 구하여라.

65

다항식 [eqn: (x+1) ^5 (x+2) ^2]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수를 구하여라.

66

이항정리를 이용하여 [eqn: (1+x) ^ 8 +(1-x)^8]을 전개하여라. 또 이것을 이용하여
[eqn: 2^7 = {}_ 8 rmC _0 + {}_ 8 rmC _2 + {}_ 8 rmC _4 + {}_ 8 rmC _6 + {}_ 8 rmC _8]이 성립함을 밝혀라.

67

[eqn: 21^21]을 [eqn: 40]으로 나눌 때의 나머지를 구하여라.

68

[eqn: log_2 left( sum _{ r=0} ^{ 9}` {}_19 rmC _{it2r} right)]의 값을 구하여라.

69

다음 □ 안에 들어갈 알맞은 값을 구하여라.
[eqn: {}_{itk} rmC _{itk}+{}_{itk+1} rmC _{itk}+{}_{itk+2} rmC _{itk}+cdots +{}_{itn} rmC _{itk}={}_{□} rmC _{itk+1}]
(단, [eqn: k le n])

70

[eqn: 1]에서 [eqn: 10]까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를 임의로 선택할 때, 선택된 두 수의 곱이 짝수가 되는 경우의 수를 구하여라.

71

오른쪽 그림과 같이 반원 위에 [eqn: 7]개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는?

① [eqn: 34]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 30]

72

다항식 [eqn: (1+2x)^6 (1-x)]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

① [eqn: 40]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 80]

73

[eqn: {}_20 rm C_0 + _20 C_1 + _20 C_2 + cdots+ _20 C_20]은 몇 자리 자연수인가? (단, [eqn: log2=0.3010])

① [eqn: 6]자리	② [eqn: 7]자리	③ [eqn: 8]자리

④ [eqn: 9]자리	⑤ [eqn: 10]자리

74

[eqn: (x^2 - x + a)^4]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수가 [eqn: - 1over2]일 때, 실 수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

75

[eqn: (1 + 2x )^4 (1-x )^5]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하시오.

76

[eqn: 11^10 -1]을 [eqn: 100]으로 나눈 나머지를 구하시오.

77

[eqn: (-1 + x)^5 (1+ 2x)^2]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수를 구하시오.

78

[eqn: (x+1) ^10]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수를 구하여라.

79

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (x+2y) ^ 5]
(2) [eqn: (2x-3) ^4]

80

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (a-b) ^5]
(2) [eqn: (2a+b) ^4]

81

다음 식의 전개식에서 [ ] 안의 계수를 구하여라.
(1) [eqn: (x+1) ^6] [[eqn: x^3]]
(2) [eqn: (3x+2) ^5] [[eqn: x^4]]

82

다음 식의 값을 구하여라.
[eqn: {} _{10} rm C _{0} + _{10} rm C _{1} + _{10} rm C _{2} + _{10} rm C _{3} + CDOTS + _{10} rm C _{10}]

83

[eqn: LEFT( 2x+ 1over x right) ^8]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

① [eqn: 448]	② [eqn: 512]	③ [eqn: 896]

④ [eqn: 1792]	⑤ [eqn: 3584]

84

[eqn: LEFT ( 3x ^{2} - {1} over {x} RIGHT ) ^{eqalign{6 }}]의 전개식에서 상수항은?

① [eqn: 36]	② [eqn: 135]	③ [eqn: 162]

④ [eqn: 657]	⑤ [eqn: 1215]

85

[eqn: log _{`2``} LEFT ( ``` sum _{k=8} ^{15} `` _{15} rm C _{it k rm} `` RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

86

[eqn: (a+b) ^{n} = & _{n} rm C _{0} it `a ^{it n} + _{n} rm C _{1} it `a ^{it n-1} b+ _{n} rm C _{2} it `a ^{it n-2} b ^{2}# & + CDOTS + _{it n} rm C _{it r rm} it `a ^{it n-r} it b ^{it r} + CDOTS + _{it n} rm C _{it n rm} `` it b ^{it n}]을 이용하여 다음 식의 값을 구하여라.

[eqn: {} _{6}rmC _ 0 + 1over 2 cdot {}_ 6 rmC _ 1 + 1 over 2^2 cdot {}_ 6 rmC _ 2 +cdots + 1 over 2^6 cdot{}_ 6 rmC _ 6]

87

[eqn: LEFT ( 2x- {1} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?

① [eqn: -80]	② [eqn: -16]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 80]

88

[eqn: (2x+1) ^{4`} (x-2) ^{3`}]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는?

① [eqn: -244]	② [eqn: -52]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 122]	⑤ [eqn: 244]

89

[eqn: 21^10]을 [eqn: 20]으로 나눌 때의 나머지는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 19]

90

[eqn: 1000<{}_n rmC_ 1 + {}_ {itn} rmC_ 2 + {}_ {itn} rmC _ 3 +cdots +{}_{itn} rmC _{itn} <2000]을 만족시키는 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

91

[eqn: LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{12}]의 전개식을 이용하여 다음 식의 값을 구하면? (단, [eqn: i= sqrt {-1``}])

[eqn: {}_ 12 rmC_0 - {}_12 rmC_ 2 +{}_12 rmC_ 4 - {}_12 rmC_ 6 +cdots - {}_12 rmC_10 +{}_12 rmC_12]

① [eqn: 64]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -32]	⑤ [eqn: -64]

92

다음의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?
[eqn: (1+x)+(1+x) ^{2} +(1+x) ^{3} + CDOTS +(1+x) ^{10}]

① [eqn: 55]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 165]	⑤ [eqn: 180]

확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		2. 분할과 이항정리			정답
	01 분할

01

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: S`(`4,~3)=6]

02

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: S``(5,~4)=10]

03

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: S``(3,~2)+S``(3,~3) = 3+1=4]

04

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: 210]을 소인수분해하면  [eqn: 210=2times 3 times 5 times 7]

따라서 구하는 방법의 수는 집합 [eqn: left{2,~3,~5,~7right}]을 [eqn: 2]개로 분할하는 방법의 수 [eqn: S``(4,~2)]와 같으므로

[eqn: S``(4,~2)=7]

05

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: 330]을 소인수분해하면  [eqn: 330= 2 times 3 times 5 times11]

따라서 구하는 방법의 수는 집합 [eqn: left{2,~3,~5,~11right}]을 [eqn: 3]개로 분할하는 방법의 수 [eqn: S``(4,~3)]와 같으므로

[eqn: S``(4,~3) =6]

06

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: 8]을 [eqn: 4]개의 자연수의 합으로 나타내면

[eqn: 8 & =5+1+1+1#&=4+2+1+1 #&=3+3+1+1 #&=3+2+2+1 #&=2+2+2+2]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: P``(8,~4)]이므로

[eqn: P``(8,~4)=5]

07

(1) [eqn: 4]   (2) [eqn: 7]

답

해

설

(1) [eqn: 7 & =5+1+1=4+2+1#&=3+3+1=3+2+2]
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: P``(7,~3)=4]

(2) [eqn: P``(7,~2)+P``(7,~3)=3+4=7]

08

(1) [eqn: 1]   (2) [eqn: 15]

답

해

설

(2) [eqn: S``(5,~2) & =S``(4,~1)+2S``(4,~2)# & =S``(4,~1)+2 LEFT { S``(3,~1)+2S``(3,~2) RIGHT }# & =1+2 CDOT 1+4S``(3,~2)# & =1+2+4 LEFT { S``(2,~1)+2S``(2,~2) RIGHT }# & =3+4(1+2 CDOT 1)# & =15]

09

(1) [eqn: 1]   (2) [eqn: 2]

답

해

설

(2) [eqn: P``(6,~4)=P``(2,~1)+P``(2,~2)=1+1=2]

10

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 2]

답

11

(1) [eqn: 6]   (2) [eqn: 3]

답

해

설

(1) [eqn: 770=2` TIMES 5times7 times11]이므로
[eqn: S``(4,~3) = 6]

(2) [eqn: P``(7,~4) = 3]

12

[eqn: 5]

답

해

설

구하는 방법의 수는 [eqn: 3]개의 상자에 구슬을 [eqn: 1]개씩 넣고, 나머지 [eqn: 8]개의 구슬을 빈 상자가 없도록 [eqn: 3]개의 상자에 나누어 넣는 방법의 수와 같으므로

[eqn: P``(8,~3)=5]

13

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: S``(4,~2)` & =`S``(3,~1)`+2S``(3,~2)# & =1+2 LEFT { `S``(2,~1)+2`S``(2,~2) RIGHT }# & =1+2(1+2)=7]

[eqn: P``(4,~2)`=`P``(2,~1)+P``(2,~2 )=1+1=2]

이므로  [eqn: a=7,~b=2]

따라서 [eqn: 2a+b= 2times7+2=16]이다.

14

[eqn: 25]

답

해

설

[eqn: 2310= 2times 3 times 5times 7 times11]

따라서 구하는 방법의 수는 집합 [eqn: left{2,~3,~5,~7,~11right}]을 [eqn: 3]개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수 [eqn: S``(5,~3)]과 같으므로

[eqn: S``(5,~3)= 25]

15

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: P``(6,~1)+P``(6,~1)+P``(6,~3) = 1+3+3=7]

16

(1) [eqn: 5]   (2) [eqn: 1]

답

17

[eqn: 15]

답

18

[eqn: 6]

답

19

[eqn: 25]

답

해

설

[eqn: S``(5,~3)]은 원소의 개수가 [eqn: 5]인 집합을 세 개의 집합으로 분할하는 방법의 수이므로, 세 집합의 원소가 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 3]개인 경우와 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 2]개인 경우로 나눌 수 있다.

(i) 세 집합의 원소가 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 3]개인 경우
[eqn: 5]개의 원소 중에서 [eqn: 3]개를 택하고, 남은 [eqn: 2]개의 원소는 그 각각의 부분집합으로 나타내면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: {} _{5}rmC_3 = 10]

(ii) 세 집합의 원소가 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 2]개인 경우
[eqn: 5]개의 원소 중에서 먼저 [eqn: 2]개를 택하고, 남은 [eqn: 3]개의 원소에서 [eqn: 2]개를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_5 rmC_ 2 cdot {}_ 3 rmC_2]
그런데 같은 경우가 [eqn: 2!]가지씩 있으므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_ 5 rmC _ 2 cdot {}_ 3 rmC _ 3 cdot 1 over 2! = 10 cdot 3 cdot 1 over 2 = 15]

(i), (ii)에서

[eqn: S``(5,~3)= 10+15=25]

20

(1) [eqn: 7]   (2) [eqn: 90]

답

21

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 1]

답

해

설

(1) [eqn: 4=3+1=2+2]
[eqn: thereforeP``(4,~2)=2]

(2) [eqn: 6=2+1+1+1+1]
[eqn: therefore P``(6,~5)=1]

22

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: 4&=4 #&=3+1=2+2 #&=2+1+1#&=1+1+1+1]

이므로

[eqn: P``(4,~1)=1,~P``(4,~2)=2,~P``(4,~3) = 1,~P``(4,~4)=1]

[eqn: P``(4,~1) +P``(4,~2)+P``(4,~3) + P``(4,~4) #=1+2+1+1=5]

23

(1) [eqn: 15]   (2) [eqn: 31]

답

해

설

(1)

(i) 두 집합의 원소가 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 4]개인 경우의 수는 [eqn: {}_ 5 rmC_4 =5]

(ii) 두 집합의 원소가 각각 [eqn: 2]개, [eqn: 3]개인 경우의 수는
[eqn: {}_ 5 rmC_ 3 = 10]

(i), (ii)에서  [eqn: S``(5,~2)=5+10=15]

(2)

(i) 두 집합의 원소가 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 5]개인 경우의 수는
[eqn: {}_6 rmC_ 5 = 6]

(ii) 두 집합의 원소가 각각 [eqn: 2]개, [eqn: 4]개인 경우의 수는
[eqn: {}_ 6 rmC_ 4 =15]

(iii) 두 집합의 원소가 각각 [eqn: 3]개, [eqn: 3]개인 경우의 수는
[eqn: {}_ 6 rmC_ 3 cdot 1 over2! = 10]

(i), (ii), (iii)에서

[eqn: S``(6,~2) = 6+15+10=31]

24

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: 9 & =6+1+1+1=5+2+1+1=4+3+1+1# & =4+2+2+1=3+3+2+1=3+2+2+2]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 6]이다.

25

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: 7=4+2+1=3+3+1=3+2+2]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 3]이다.

26

(1) [eqn: 6]   (2) [eqn: 15]

답

27

[eqn: 25]

답

해

설

똑같은 [eqn: 3]개의 접시에 서로 다른 [eqn: 5]개의 빵을 나누어 담을 때, 빈 접시가 없도록 담는 방법은 ([eqn: 3]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개), ([eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개)로 두 가지 경우가 있다. 이것은 원소의 개수가 [eqn: 5]인 집합을 공집합이 아닌 [eqn: 3]개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수와 같으므로 [eqn: S``(5,~3)]

이다.

([eqn: 3]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {}_ 5 rmC _ 3 times {}_ 2 rmC_ 1 times {}_ 1 rmC_1 times 1 over 2! = 10]

([eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{5} rm C _{2} TIMES _{3} rm C _{2} TIMES _{1} rm C _{1} TIMES {1} over {2!} =15]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: S``(5,~3)=10+15=25]

28

[eqn: 65]

답

해

설

똑같은 [eqn: 4]개의 상자에 서로 다른 [eqn: 6]개의 공을 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 방법은 ([eqn: 3]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개), ([eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개)로 두 가지 경우가 있다. 이것은 원소의 개수가 [eqn: 6]인 집합을 공집합이 아닌 [eqn: 4]개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수와 같으므로 [eqn: S``(6,~4)]이다.

([eqn: 3]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{6} rm C _{3} TIMES _{3} rm C _{1} TIMES _{2} rm C _{1} TIMES _{1} rm C _{1} TIMES {1} over {3!}# =20` TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1 TIMES {1} over {6}# =20]

([eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{6} rm C _{2} TIMES _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{1} TIMES _{1} rm C _{1} TIMES {1} over {2!} TIMES {1} over {2!}# =15` TIMES 6 TIMES 2 TIMES 1 TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2}# =45]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: S``(6,~4)=20+45=65]

29

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 3]

답

30

[eqn: 6]

답

해

설

똑같은 [eqn: 4]개의 쇼핑백에 똑같은 [eqn: 9]벌의 옷을 나누어 담을 때, 빈 쇼핑백이 없도록 담는 모든 방법의 수는 자연수 [eqn: 9]를 [eqn: 4]개의 자연수의 합으로 분할하면

[eqn: 9 & =6+1+1+1=5+2+1+1=4+3+1+1# & =4+2+2+1=3+3+2+1=3+2+2+2]

이므로 구하는 방법의 수는  [eqn: P``(9,~4)=6]

31

[eqn: 8]

답

해

설

똑같은 [eqn: 3]개의 상자에 똑같은 [eqn: 10]개의 공을 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 모든 방법의 수는 자연수 [eqn: 10]를 [eqn: 3]개의 자연수의 합으로 분할하면

[eqn: 10 & =8+1+1=7+2+1=6+3+1=5+4+1# & =6+2+2=5+3+2=4+4+2=4+3+3]

이므로 구하는 방법의 수는  [eqn: P``(10,~3)=8]

32

[eqn: 7]

답

33

[eqn: 301]

답

해

설

구하는 모든 방법의 수는 [eqn: S``(7,~3)]이다.

원소의 개수가 [eqn: 7]인 집합을 공집합이 아닌 [eqn: 3]개의 집합으로 분할하는 방법은 ([eqn: 5]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개), ([eqn: 4]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개), ([eqn: 3]개, [eqn: 3]개, [eqn: 1]개), ([eqn: 3]개, [eqn: 2]개, [eqn: 2]개)로 [eqn: 4]가지 경우가 있다.

([eqn: 5]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{7} rm C _{5} TIMES _{2} rm C _{1} TIMES _{1} rm C _{1} TIMES {1} over {2!} =21]

([eqn: 4]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{7} rm C _{4} TIMES _{3} rm C _{2} TIMES _{1} rm C _{1} =105]

([eqn: 3]개, [eqn: 3]개, [eqn: 1]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{7} rm C _{3} TIMES _{4} rm C _{3} TIMES _{1} rm C _{1} TIMES {1} over {2!} =70]

([eqn: 3]개, [eqn: 2]개, [eqn: 2]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{7} rm C _{3} TIMES _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{2} TIMES {1} over {2!} =105]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: S``(7,~3)=21+105+70+105=301]

34

[eqn: 15]

답

35

[eqn: 5]

답

36

[eqn: 63]

답

해

설

구하는 모든 방법의 수는 [eqn: S``(7,~2)]이다.

원소의 개수가 [eqn: 7]인 집합을 공집합이 아닌 [eqn: 2]개의 집합으로 분할하는 방법은 ([eqn: 6]개, [eqn: 1]개), ([eqn: 5]개, [eqn: 2]개), ([eqn: 4]개, [eqn: 3]개)로 [eqn: 3]가지 경우가 있다.

([eqn: 6]개, [eqn: 1]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {}_7 rmC_ 6 times {}_1 rmC_ 1 = 7]

([eqn: 5]개, [eqn: 2]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{7} rm C _{5} TIMES _{2} rm C _{2} =21]

([eqn: 4]개, [eqn: 3]개)로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {} _{7} rm C _{4} TIMES _{3} rm C _{3} =35]

따라서 구하는 모든 방법의 수는

[eqn: S``(7,~2)=7+21+35=63]

37

[eqn: 11]

답

해

설

구하는 모든 방법의 수는 [eqn: P``(11,~4)]이다.

자연수 [eqn: 11]을 [eqn: 4]개의 자연수의 합으로 분할하면

[eqn: 11 & =8+1+1+1=7+2+1+1# & =6+3+1+1=6+2+2+1# & =5+4+1+1=5+3+2+1# & =5+2+2+2=4+4+2+1# & =4+3+3+1=4+3+2+2# & =3+3+3+2]

따라서 구하는 모든 방법의 수는  [eqn: P``(11,~4)=11]

38

(1), (4)

답

39

풀이 참조

답

해

설

(1) [eqn: LEFT { a RIGHT } CUP LEFT { b,~c,~d RIGHT } ,~ LEFT { b RIGHT } CUP LEFT { a,~c,~d RIGHT } ,# LEFT { c RIGHT } CUP LEFT { a,~b,~d RIGHT } ,~ LEFT { d RIGHT } CUP LEFT { a,~b,~c RIGHT } ,# LEFT { a,~b RIGHT } CUP LEFT { c,~d RIGHT } ,~ LEFT { a,~c RIGHT } CUP LEFT { b,~d RIGHT } ,# LEFT { a,~d RIGHT } CUP LEFT { b,~c RIGHT }]
(2) [eqn: 7]

40

풀이 참조

답

해

설

[eqn: LEFT { a RIGHT } CUP LEFT { b RIGHT } CUP LEFT { c,~d RIGHT } ,~ LEFT { a RIGHT } CUP LEFT { c RIGHT } CUP LEFT { b,~d RIGHT } ,# LEFT { a RIGHT } CUP LEFT { d RIGHT } CUP LEFT { b,~c RIGHT } ,~ LEFT { b RIGHT } CUP LEFT { c RIGHT } CUP LEFT { a,~d RIGHT } ,# LEFT { b RIGHT } CUP LEFT { d RIGHT } CUP LEFT { a,~c RIGHT } ,~ LEFT { c RIGHT } CUP LEFT { d RIGHT } CUP LEFT { a,~b RIGHT }]

[eqn: S``(4,~3)=6]

41

[eqn: 10,~S``(5,~4)=`10]

답

42

[eqn: 25]

답

해

설

[eqn: 5]명의 학생을 [eqn: LEFT { a,~b,~c,~d,~e right}]라고 하면 구하는 방법의 수는 원소의 개수가 [eqn: 5]인 집합을 공집합이 아닌 [eqn: 3]개의 서로소인 부분집합으로 분할하느느 방법의 수 [eqn: S``(5,~3)]과 같다.

이때 원소의 개수가 [eqn: 5]인 집합을 공집합이 아닌 [eqn: 3]개의 서로소인 부분집합으로 나누는 방법은 세 부분집합의 원소의 개수가 각각 [eqn: 1,~1,~3]이거나 [eqn: 1,~2,~2]인 두 경우가 있다.

(i) 원소의 개수가 각각 [eqn: 1,~`1,~3]인 세 부분집합으로 나누는 방법의 수
[eqn: {{}_ 5 rmC _ 1 times {}_ 4 rmC _ 1 times{}_ 3 rmC_ 3 } over2! = 10]

(ii) 원소의 개수가 각각 [eqn: 1,~2,~2]인 세 부분집합으로 나누는 방법의 수
[eqn: {{}_ 5 rmC_ 1 times {}_ 4 rmC_ 2 times {}_ 2 rmC_ 2 } over2! = 15]

즉, [eqn: S``(5,~3)=10+15=25]이므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 25]이다.

43

[eqn: 65]

답

44

(1) [eqn: 63]   (2) [eqn: 64]

답

45

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 1]   (3) [eqn: 1]   (4) [eqn: 6]

답

46

[eqn: 15]

답

해

설

구하는 방법의 수는 [eqn: 7]의 분할의 수와 같다. 이때 [eqn: 7]의 분할의 서로 다른 형태를 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 7]

[eqn: 6+1,~5+2,~4+3]

[eqn: 5+1+1,~4+1+1,~3+3+1,~3+2 +2]

[eqn: 4+1+1+1,~3+2+1+1,~2+2+2+1]

[eqn: 3+1+1+1+1,~2+2+1+1+1]

[eqn: 2+1+1+1+1+1]

[eqn: 1+1+1+1+1+1+1]

즉, [eqn: 7]의 분할의 수는 [eqn: 15]이므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 15]이다.

47

풀이 참조

답

해

설

[eqn: 6,]

[eqn: 5+1,~4+2,`````3+3,]

[eqn: 4+1+1,~3+2+1,~2+2+2,]

[eqn: 3+1+1+1,~2+2+1+1,]

[eqn: 2+1+1+1+1,]

[eqn: 1+1+1+1+1+1]

[eqn: P``(6,~1)=1,``P``(6,~2)=3,``P``(6,~3)=3,# P``(6,~4)=2,``P``(6,~5)=1,``P``(6,~6)=1`]

48

(1) [eqn: 7]   (2) [eqn: 12]

답

49

(1) [eqn: 1]   (2) [eqn: 1]   (2) [eqn: 15]

답

50

[eqn: 105]

답

51

(1) [eqn: 1]   (2) [eqn: 1]   (3) [eqn: 4]

답

52

[eqn: 8+1+1,~7+2+1,~6+3+1,~6+2+2, #5+4+1,~5+3+2,~4+4+2,~4+3+3]

답

53

[eqn: 31]

답

54

[eqn: 15]

답

55

(1) [eqn: 15]   (2) [eqn: 1800]

답

56

(1) [eqn: 4]   (2) [eqn: 8]

답

57

[eqn: 10]

답

58

[eqn: 5]

답

59

[eqn: 10]

답

60

[eqn: 90]

답

61

[eqn: 15]

답

62

[eqn: 90]

답

63

[eqn: 1500]

답

64

[eqn: 75]

답

65

[eqn: 11]

답

66

[eqn: ㄱ,~ㄴ]

답

확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		2. 분할과 이항정리			정답
	02 이항정리

01

④

답

해

설

[eqn: LEFT ( 2x^3 + 1 over x right) ^8]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{8} rm C _{it r rm} (2 it x ^{3} ) ^{8-r} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r} & = _{8} rm C _{it r rm} 2 it rm ^{8-r} x ^{3(8-r)-r}# & = _{8} rm C _{it r rm} 2 ^{8-r} itx ^{24-4r}]

상수항은 [eqn: 24-4r = 0], 즉 [eqn: r=6]일 때이므로

[eqn: {} _{8} rm C _{it 6 rm} 2 ^{8-6} ={} _{8} rm C _{it 2 rm} 2^2 = 28 times 4 = 112]

02

③

답

해

설

[eqn: {} _{16} rm C _{0 rm} + _{16} rm C _{1 rm}itx + _{16} rm C _{2 rm}itx^2 + CDOTS + _{16} rm C _{16 rm}itx^n =(1+x) ^16]

에서 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: {} _{16} rm C _{0 rm} + _{16} rm C _{1 rm} + _{16} rm C _{2 rm} + CDOTS + _{16} rm C _{16 rm} =2 ^{16}]

[eqn: THEREFORE ` & log`` _{4} ( _{16} rm C _{0 rm} + _{16} rm C _{1 rm} + _{16} rm C _{2 rm} + CDOTS + _{16} rm C _{16 rm} )# & =log` _{4} 2^16 = log _{2^2 } 2^16 = 16 over 2 = 8]

03

①

답

해

설

[eqn: (x^2 -2x +3 )^4]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {4! } over{p!`q!`r! }(-2) ^q `3^r` x^2p+q]

(단, [eqn: p+q+r=4,~p ge 0,~q ge0,~r ge0])

[eqn: x^5]항은 [eqn: 2p+q= 5]일 때이므로 [eqn: x^5]의 계수는

(i) [eqn: p=2]일 때, [eqn: q=1,~r=1]에서  [eqn: -72]

(ii) [eqn: p=1]일 때, [eqn: q=3,~r=0]에서  [eqn: -32]

(i), (ii)에 의하여 [eqn: x ^{5}]의 계수는

[eqn: -72`+(-32)`=`-104]

04

⑤

답

해

설

[eqn: (1-x)(1+2x)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]항은 [eqn: 1]과 [eqn: (1+2x)^6]의 [eqn: x ^{4}]항, [eqn: -x]와 [eqn: (1+2x)^6]의 [eqn: x ^{3}]항이 곱해질 때 생긴다.

이때, [eqn: (1+2x)^6]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{6} rm C _{it r rm} `(2itx)^r ={} _{6} rm C _{it r rm} `2^r itx^r]	㉠

(i) ㉠에서 [eqn: x^4]의 계수는 [eqn: r=4]일 때이므로

[eqn: {} _{6} rm C _{it 4 rm} times 2^4 = 15 times 16 = 240]

(ii) ㉠에서 [eqn: x^3]의 계수는 [eqn: r=3]일 때이므로

[eqn: {} _{6} rm C _{it 3 rm} TIMES 2 ^{3} =20 TIMES 8=160]

(i), (ii)에 의하여 구하는 [eqn: x^4]의 계수는

[eqn: 240+(-1)cdot160=80]

05

③

답

해

설

[eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C _{0 rm} + _{itn} rm C _{1 rm} it x+ _{itn} rm C _{2 rm} it x ^{2} + CDOTS + _{itn} rm C _{itn rm} it x ^{n}]

이므로 [eqn: 10]번째 항과 [eqn: 26]번째 항의 계수는 각각 [eqn: {} _{n} rm C _{9 rm} ,~ _{it n} rm C _{25 rm}]이다. 이때, 두 항의 계수가 같으므로

[eqn: {} _{n} rm C _{9 rm} = _{it n rm} rm C _{25 rm}= _{it n rm} rm C _{itn-25 rm},~9=itn-25~~~thereforen=34]

06

⑤

답

해

설

[eqn: left{a+(b+c)^2 right}^8 } "�]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{8} rm C _{it r rm}ita^8-r left{ (b+c) ^2 right}^r]

이때 [eqn: a^7]을 포함하는 항은 [eqn: 8-r=7], 즉 [eqn: r=1]인 경우뿐이므로

[eqn: {} _{8} rm C _{it 1 rm} it a ^{7} (b+c) ^{2} & =8a ^{7} (b ^{2} +2bc+c ^{2} )# & `=8a ^{7} b ^{2} +16a ^{7} bc+8a ^{7} c ^{2}]

따라서 [eqn: a^7 bc]의 계수는 [eqn: 16]이다.

07

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: LEFT ( x - a over x ^2 right) ^6]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{6} rm C _{it r rm} ` it x ^{6-r} LEFT ( - {a} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{r} & = _{6} rm C _{it r rm} ` it x ^{6-r} (-a) ^{r} x ^{-2r}# & = _{6} rm C _{it r rm} `(- it a) ^{r} it x ^{6-3r}]

상수항은 [eqn: 6-3r=0]일 때이므로  [eqn: r=2]

[eqn: {} _{6} rm C _{it 2} `(- it a) ^{2} =240,~15a^2 = 240]

[eqn: a^2 = 16 ~~~therefore a=4(because a>0)]

08

①

답

해

설

[eqn: 11 ^{10} & =(1+10) ^{10}# & = _{10} rm C _{0 rm} +10 _{10} rm C _{1 rm} +10 ^{2 _{10}} rm C _{2 rm} + CDOTS +10 ^{10 _{10}} rm C _{10 rm}]

[eqn: THEREFORE 11 ^{10} -1 & =10 _{10} rm C _{1 rm} +10 ^{2 _{10}} rm C _{2 rm} + CDOTS +10 ^{10 _{10}} rm C _{10 rm}# & =10 ^{2`} (1+ _{10} rm C _{2 rm} +10 _{10} C _{3 CDOTS } +10 ^{8} ` _{10} rm C _{10 rm})]

따라서 [eqn: 11 ^{10}- 1]은 [eqn: 100]으로 나누어떨어지므로 구하는 나머지는 [eqn: 0]이다.

09

⑤

답

해

설

[eqn: (주어진~식) & = {(1+x) LEFT { (1+x) ^{10} -1 RIGHT }} over {(1+x)-1}# & = {(1+x) ^{11} -1-x} over {x}]	㉠

이때, 분모가 [eqn: x]이므로 ㉠에서 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: (1+x)^11]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수와 같다.

[eqn: (1+x)^11]의 전개식의 일반항 [eqn: {} _{11} rm C _{itr }```itx^r]에서 [eqn: x^3]의 계수는 [eqn: r=3]일 때이므로 구하는 계수는

[eqn: {}_11 rm C_3 ={11cdot 10 cdot 9 } over{ 3cdot 2 cdot1} =165]

10

⑤

답

해

설

[eqn: (x+y+z)^ 7]의 전개식에서 모든 항은

[eqn: x ^{a} y ^{b} z ^{c} ``` LEFT ( a+b+c=7,~a GEQ 0,~b ge 0,~c ge 0 )]

의 꼴이다.

[eqn: m]은 [eqn: a+b+c=7]을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로

[eqn: m= _{3} rm H _{7} = _{3+7-1} rm C _{7} = _{9} rm C _{7} = _{9} C _{2} =36]

[eqn: n]은 [eqn: a+b+c=7]을 만족시키는 양의 정수해의 개수와 같으므로

[eqn: n= _{3} rm H _{4} = _{3+4-1} rm C _{4} = _{6} rm C _{4} = _{6} C _{2} =15]

[eqn: ∴ m-n=36-15=21]

11

⑤

답

해

설

[eqn: (x^2 +2)^6]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{6} rm C _{it r rm} ( it x ^{2`} ) ^{6-r`} 2 ^{r} = _{6} rm C _{it r rm} 2 it rm ^{r} it x ^{12-2r}]

[eqn: x ^{12-2r} =x ^6]에서 [eqn: r=3]이므로 [eqn: x^6]의 계수는

[eqn: {} _{6} rm C _{3 rm}times 2 ^3 = 20 times 8=160]

12

⑤

답

해

설

[eqn: left(3x- 1 overx^2 right) ^{6}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: LEFT . {} _{6} rm C _{it r rm} ( it 3x) ^{6-r`} LEFT ( - {1} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{r} = _{6} rm C _{it r rm} 3 it rm ^{6- it r} cdot (-1)^r x ^6-3r]

[eqn: 6-3r =0]에서 [eqn: r=2]이므로 상수항은

[eqn: LEFT . {} _{6} rm C _{it 2 rm} 3 it rm ^{4} CDOT (-1) ^{2} =`15` TIMES `81 = 1215]

13

⑤

답

해

설

[eqn: {} _{3} rm C _{0 rm} + _{4} rm C _{1 rm} + _{5} rm C _{2 rm} + _{6} rm C _{3 rm} + CDOTS + _{20} rm C _{17 rm}# = _{4} rm C _{0 rm} + _{4} rm C _{1 rm} + _{5} rm C _{2 rm} + _{6} rm C _{3 rm} + CDOTS + _{20} rm C _{17 rm} #= {} _{5} rm C _{1 rm} + _{5} rm C _{2rm} + _{6} rm C _{3 rm} + CDOTS + _{20} rm C _{17 rm} #={} _{6} rm C _{2 rm} + _{6} rm C _{3 rm} + CDOTS + _{20} rm C _{17 rm} #~~~~ VDOTS #={} _{20} rm C _{16 rm} + _{20} rm C _{17 rm} = _{21} rm C _{17 rm}]

14

④

답

해

설

[eqn: (1+x) ^{19} = _{19} rm C _{0 rm} + _{it 19 rm} rm C _{1 rm} it x+ CDOTS + _{19} rm C _{19 rm} it x ^{19}]	㉠

㉠에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: {} _{19} rm C _{0 rm} + _{it 19 rm} rm C _{1 rm} + CDOTS + _{19} rm C _{19 rm} it =`2 ^{19}]	㉡

㉠에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: {} _{19} rm C _{0 rm} - _{it 19 rm} rm C _{1 rm} + CDOTS - _{19} rm C _{19 rm} it =0]	㉢

㉡, ㉢으로부터

[eqn: {} _{19} rm C _{0 rm} + _{it 19 rm} rm C _{2 rm} + CDOTS + _{19} rm C _{18 rm} it =`2 ^{18}]

∴ [eqn: log`` _{2} LEFT ( sum _{r=0} ^{9} ` _{19} rm C _{2 it r rm} ` RIGHT ) = log_2 2^18 =18]

15

②

답

해

설

[eqn: {} _{n} rm C _{0 rm} + _{it n rm} rm C _{1 rm} + _{it n rm} rm C _{2} + _{it n rm} rm C _{3 rm} + CDOTS + _{it n rm} rm C _{it n rm} =2 ^{it n rm}]이므로

[eqn: {} _{it n rm} rm C _{1 rm} + _{it n rm} rm C _{2} + _{it n rm} rm C _{3 rm} + CDOTS + _{it n rm} rm C _{it n rm} =2 ^{it n rm} -1]

[eqn: 2000<2 ^{`itn`} -1<3000]

[eqn: 2 ^{10}=1024 ,~2^11 = 2048 ,~2^12 = 4096]이므로

[eqn: n=11]

16

①

답

해

설

[eqn: (x ^{2} -x+2) ^{5}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: 5! over p!q!r! (x^2 ) ^p (-x)^q 2^r = 5! over p!q!r! (-1)^q 2^r x^2p+q]

(단, [eqn: p+q+r=5,~p ge 0 ,~ q ge 0,~r ge 0])이고, [eqn: x^3]의 항은 [eqn: 2p+q=3]일 때이므로

[eqn: (p,~q,~r)=(0,~3,~2),~(1,~1,`` ~3)]

따라서 [eqn: x^3]의 계수는

[eqn: 5! over 3!2! (-1) cdot 4 + 5! over 3! (-1) cdot 8 = -200]

17

④

답

해

설

[eqn: (1-i) ^{16} = & _{16} rm C _{0 rm} + _{it 16 rm} rm C _{1 rm} (- it i)+ _{it 16 rm } rm C _{2} (- it i) ^{2}# & + CDOTS + _{16} rm C _{16 rm} (- it i) ^{16}]

한편, [eqn: (1-i) ^{16} = left{(1-i) ^{2}right} ^8 = (-2i) ^8 =256]이므로

[eqn: 256= & ( _{16} rm C _{0 rm} - _{it 16 rm} rm C _{2 rm} + _{it 16 rm} rm C _{4} - CDOTS + _{16} rm C _{16 rm} )# & + it i(- _{16} rm C _{1 rm} + _{it 16 rm} rm C _{3 rm} - _{it 16 rm} rm C _{5} + CDOTS + _{16} rm C _{15 rm} )]

따라서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: {} _{16} rm C _{0 rm} - _{it 16 rm} rm C _{2 rm} + _{it 16 rm} rm C _{4} - CDOTS + _{16} rm C _{16 rm} =256]

18

②

답

해

설

[eqn: LEFT ( x- {1} over {x} RIGHT ) ^{n}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: LEFT . {} _{n} rm C _{it r rm} ` it x ^{n-r`} LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) ^{r} = _{n} rm C _{it r rm} it(-1) ^{r} x ^{n-2r} RIGHT .]

[eqn: x ^{`n-2r} =`x ^{n-4}]에서  [eqn: r=2]

[eqn: THEREFORE a _{n}= {}_n rmC _2 = {itn(n-1) } over 2]

[eqn: THEREFORE & sum _{k=2} ^{INF } {1} over {a _{k}} = sum _{k=2} ^{INF } {1} over {(k-1)k}# & =2 lim _{n -> INF } {} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n} RIGHT ) RIGHT } #&=2lim_n->inf left( 1- 1 over n right) =2]

19

④

답

해

설

[eqn: (1+x)^5]의 전개식에서 일반항은  [eqn: LEFT . {} _{5} rm C _{it r rm} ` it x ^{r`} RIGHT .]

[eqn: (2+x) ^{2}]의 전개식에서 일반항은  [eqn: LEFT . {} _{2} rm C _{s} ` it 2 ^{2-s} x ^{s`} RIGHT .]

따라서 [eqn: (1+x)^5 (2+x)^2]의 전개식의 일반항은

[eqn: LEFT . {} _{5} rm C _{it r rm} LEFT . `` CDOT ` _{2} rm C _{s} ` it `cdot`2 ^{2-s} ` CDOT `x ^{r+s`} RIGHT . RIGHT .]

[eqn: x ^{r+s`} =x^1]에서 [eqn: r+s=1]이므로 [eqn: x]의 계수는

[eqn: LEFT . {} _{5} rm C _{it 0} LEFT . `` CDOT ` _{2} rm C _{1} ` it ` CDOT `2 ^{2-1} ` RIGHT . RIGHT . + _{5} rm C _{it 1 rm} LEFT . `` CDOT ` _{2} rm C _{0} ` it ` CDOT `2 ^{2} ` RIGHT . =`24]

20

④

답

해

설

[eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C _{0 rm} + _{it n rm} rm C _{1 rm} it x+ _{it n rm } rm C _{2} it x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C _{itn rm} it x ^{n}]이므로

[eqn: x ^{2`}]의 계수는 [eqn: {} _{n}rmC _2]이다.

따라서 주어진 다항식을 전개하였을 때, [eqn: x ^{2`}]의 계수는

[eqn: {} _{2} rm C _{2 rm} + _{it 3 rm} rm C _{2 rm} + _{4 rm} rm C _{2} + CDOTS + _{it 8 rm} rm C _{2 rm}# = {2 TIMES 1} over {2} + {3 TIMES 2} over {2} + {4 TIMES 3} over {2} + CDOTS {8 TIMES 7} over {2}# = {1} over {2} sum _{k=1} ^{7} (k+1)k= {1} over {2} sum _{k=1} ^{7} (k ^{2} +k)# = {1} over {2} LEFT ( {7 CDOT 8 CDOT 15} over {6} + {7 CDOT 8} over {2} RIGHT ) =84]

21

④

답

해

설

[eqn: 11 ^{11} & =(1+10) ^{11}# & =1+ _{11} rm C _{1} TIMES 10+ _{11} rm C _{2} TIMES 10 ^{2} + _{11} rm C _{3} TIMES 10 ^{3}# & ~~+ CDOT 3S+ _{11} rm C _{11} TIMES 10 ^{11}# & =10 ^{3} TIMES ( _{11} rm C _{3} + _{11} rm C _{4} TIMES 10+ CDOTS + _{11} C _{11} TIMES 10 ^{8} )# & ~~+5611]

에서  [eqn: a=6,~ b=1,~ c=1]

[eqn: ∴ a+b+c=8]

22

①

답

해

설

[eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C _{0 rm} + _{it n rm} rm C _{1 rm} it x+ _{it n rm } rm C _{2} it x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C _{itn rm} it x ^{n}]의 양변에 [eqn: x=7]을 대입한 후 밑이 [eqn: 2]인 로그를 취하면

[eqn: log _{2} ( _{n} rm C _{0} +7 CDOT it _{n} rm C _{1} +7 ^{2} CDOT it _{n} rm C _{2} + CDOTS it 7` ^{n} CDOT _{n} rm C _{it n rm} )# =log _{2} (1+7) ^{n} =log _{2} 8 ^{n} =3n]

23

⑤

답

해

설

[eqn: left{a+(b+c)^2 right}^8]의 전개식에서 일반항은

[eqn: LEFT . {} _{8} rm C _{it r rm} ` it a ^{8-r`} `left{(b+c) ^{2} right}` ^{r} RIGHT .]	㉠

이때 [eqn: a ^{7}]을 포함하는 항은 [eqn: 8-r=7], 즉 [eqn: r=1]인 경우뿐이므로 ㉠에 [eqn: r=1]을 대입하면

[eqn: LEFT . eqalign{{} _{8} rm C _{1} ` it a ^{r`} `(b+c) ^{2} & =8a ^{7} (b ^{2} +2bc+c ^{2} )# & =8a ^{7} b ^{2} +16a ^{7} bc+8a ^{7} c ^{2}} RIGHT .]

따라서 [eqn: a^7 bc]의 계수는 [eqn: 16]이다.

24

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: LEFT ( ax ^{3} + {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: LEFT . {} _{4} rm C _{it r rm} ` it (ax ^{3} ) ^{4-r`} LEFT ( {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{r} = _{4} rm C _{it r rm} it `a ^{4-r} CDOT `2 ^{r} CDOT `x ^{12-5r} RIGHT .]

[eqn: 12-5r=2]에서 [eqn: r=2]이므로 [eqn: x^2]의 계수는

[eqn: LEFT . {} _{4} rm C _{2 rm} CDOT it `a ^{2} CDOT `2 ^{2} =6,~a ^{2} = {1} over {4} ~~~therefore a = +- 1 over2]

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 0]이다.

25

②

답

해

설

[eqn: 11 ^{100}# =(1+10) ^{100} =1+ _{100} rm C _{1} CDOT 10+ _{100} rm C _{2} CDOT 10 ^{2}# ~~+ _{100} rm C _{3} CDOT 10 ^{3} + CDOTS +10 ^{100} #=1+ 1000+ 495000+10^4 cdot m =496001+10^4 cdot m]

(단, [eqn: m]은 제[eqn: 4]항 이하를 [eqn: 10^4]으로 나눈 몫)

[eqn: therefore 11^100 -1 = 496000+10^4 cdot m]

따라서 구하는 [eqn: 0]의 개수는 [eqn: 3]이다.

26

①

답

해

설

[eqn: (1+2x) ^10]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {}_10 rmC _{itr} (2itx)^r = {}_10 rmC _{itr} 2^{it r} itx^r]

[eqn: int (1+2x) ^10 dx]의 전개식에서의 [eqn: x^4]항은 [eqn: (1+2x) ^10]의 전개식에서의 [eqn: x^3]항을 적분한 것이다.

[eqn: r=3]일 때,  [eqn: {} _{10} rm C _{3} CDOT `2 ^{3} CDOT `` it x ^{3} =960x ^{3}]

[eqn: int _{} ^{} {} 960 x^3 dx =240x^4 + C]이므로 구하는 [eqn: x^4]의 계수는[eqn: 240]이다.

27

④

답

해

설

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {k} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{6} rm C _{it r rm} ( it x ^{2} ) ^{6-r} CDOT ` LEFT ( {k} over {x} RIGHT ) ^{r} = _{6} rm C _{it r rm} it `k ^{r} x ^{12-3r}]

[eqn: x ^{3}]항은 [eqn: 12-3r=`3], 즉 [eqn: r=3]일 때이므로

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {k} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식의 [eqn: x ^{3}]항은 [eqn: {} _{6} rm C _{it 3 rm} it`k ^{3} x ^{3} =20k^3 x^3]

[eqn: therefore d over dx (20k^3 x^3 ) = 60 k^3 x^2]

[eqn: 60k^3 = -480]에서

[eqn: k^3 = -8~~~therefore k=-2] ([eqn: because][eqn: k]는 실수)

28

⑤

답

해

설

[eqn: (1+x) ^{n} = _{n} rm C _{0 rm} + _{it n rm} rm C _{1 rm} it x+ _{it n rm } rm C _{2} it x ^{2} + CDOTS + _{n} rm C _{itn rm} it x ^{n}]에서 [eqn: x]의 계수는  [eqn: {} _{n} rm C _{1} =it n]

따라서 주어진 식의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는

[eqn: 1+2+3+cdots +10 = 10(10+1) over 2 = 55]

29

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: x^n-1]의 계수는 각각 [eqn: 2an,~{n(n-1)} over 2 cdot a^2 -an]이므로[eqn: 2an= {n(n-1)}over 2 cdot a^2 - an]에서  [eqn: a= 6 over n-1]

[eqn: n ge 2]이므로 [eqn: n=2]일 때, [eqn: an]의 최댓값은 [eqn: 12]이다.

30

④

답

해

설

[eqn: left{(a+b)+c right} ^{8}]의 전개식에서 [eqn: c^3]의 항은

[eqn: {}_8 rmC _3 (it a+b) ^5 c^3]

[eqn: (a+b) ^5]의 전개식에서 [eqn: a^3 b^2]의 항은

[eqn: {}_5 rmC _2 ita^3 b^2]

따라서 [eqn: a ^{3} b ^{2`} c ^{3}]의 계수는  [eqn: {}_8 rmC _ 3 times {}_ 5 rmC _ 2 = 560]

31

②

답

해

설

[eqn: LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{8}]의 전개식에서 상수항은  [eqn: {}_8 rmC _4]

[eqn: 1 overx^2]의 계수는 [eqn: {}_8 rmC_5]이므로

[eqn: {} _{8} rm C _{4} +{} _{8} rm C _{5}= 126]

32

(1) [eqn: a^4 +4a^3 b+ 6 a^2 b^2 + 4ab^3 +b^4]
(2) [eqn: a^5 + 5a ^4 b +10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5]

답

해

설

(1) [eqn: (a+b) ^{4}# = _{4} rm C _{0} ` it a ^{4} + _{4} rm C _{1} it a ^{3} b+ _{4} rm C _{2} it a ^{2} b ^{2} + _{4} rm C _{3} it ab ^{3} + _{4} rm C _{4} it b ^{4}# =a ^{4} +4a ^{3} b+6a ^{2} b ^{2} +4ab ^{3} +b ^{4}]

(2) [eqn: (a+b) ^{5}# = _{5} rm C _{0} ` it a ^{5} + _{5} rm C _{1} ` it a ^{4} b+ _{5} rm C _{2} ` it a ^{3} b ^{2} + _{5} rm C _{3} ` it a ^{2} b ^{3}# ~~+ _{5} rm C _{4} ` it ab ^{4} + _{5} rm C _{5} ` it b ^{5}# =a ^{5} +5a ^{4} b+10a ^{3} b ^{2} +10a ^{2} b ^{3} +5ab ^{4} +b ^{5}]

33

(1) [eqn: 7]   (2) [eqn: 9]

답

34

(1) [eqn: 2 ^{10}]   (2) [eqn: 0]   (3) [eqn: 2 ^{9}]   (4) [eqn: 2 ^{9}]

답

해

설

[eqn: (1+x)` ^{10}]을 전개하면

[eqn: (1+x)` ^{10`} ={} _{10} rm C _{0} + _{10} rm C _{1}itx + _{10} rm C _{2}itx^2 + CDOTS + _{10} rm C _{10}itx^10]

㉠

(1) ㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: {}_ 10 rmC _ 0 +{}_ 10 rmC _ 1 +{}_ 10 rmC _ 2 +cdots + {}_ 10 rmC _ 10 =2^10]	㉡

(2) ㉠의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면
[eqn: {} _{10} rm C _{0} - _{10} rm C _{1} + _{10} rm C _{2} - CDOTS + _{10} rm C _{10}=0]	㉢

(3) [eqn: ㉡+㉢]을 하면
[eqn: 2( _{10} rm C _{0} + _{10} rm C _{2} + CDOTS + _{10} rm C _{10} )=2^10]
[eqn: therefore{} _{10} rm C _{0} + _{10} rm C _{2} + CDOTS + _{10} rm C _{10}=2^9]

(4) [eqn: ㉡-㉢]을 하면
[eqn: 2({} _{10} rm C _{1} + _{10} rm C _{3} + CDOTS + _{10} rm C _{9})=2^10]
[eqn: therefore{} _{10} rm C _{1} + _{10} rm C _{3} + CDOTS + _{10} rm C _{9}=2^9]

35

(1) [eqn: a ^{3} b ^{5}]의 계수: [eqn: 56], [eqn: a ^{7} b]의 계수: [eqn: 8]
(2) [eqn: x^3]의 계수: [eqn: -160], [eqn: x^2]의 계수: [eqn: 240]

답

해

설

(1) [eqn: a ^{3} b ^{5}]의 계수는
[eqn: {} _{8} rm C _{5} = _{8} rm C _{3} = {8 TIMES 7 TIMES 6} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =56]
[eqn: a ^{7} b]의 계수는
[eqn: {} _{8} rm C _{1} =8]

(2) [eqn: (x-2) ^{2}= left{ x +(-2) right} ^ 6]에서
[eqn: {} _{6} rm C _{3} ` it x ^{3} (-2) ^{3} = {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3 TIMES 2 TIMES 1} TIMES (-8) x^3 = -160x^3]
[eqn: {} _{6} rm C _{4} ` it x ^{2} (-2) ^{4} = _{6} rm C _{2} ` it TIMES 16 TIMES x ^{2} =240x ^{2}]
따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: -160], [eqn: x ^{2`}]의 계수는 [eqn: 240]이다.

36

[eqn: 9]

답

해

설

[eqn: {} _{n} rm C _{0} + _{n} rm C _{1} + _{it n rm} rm C _{2} + _{it n rm} rm C _{3} + CDOTS + _{it n rm} rm C _{it n rm} =2 ^{itn}]이므로

[eqn: {} _{n} rm C _{1} + _{it n rm} rm C _{2} + _{it n rm} rm C _{3} + CDOTS + _{it n rm} rm C _{it n rm} =2 ^{itn}-{}_{itn}rmC_0 = 2^{itn} -1]

[eqn: 500 < 2^n -1 <1000]

[eqn: 501 <2^n <1001]

한편 [eqn: 2^9 = 512 ,~ 2^10 = 1024]이므로

[eqn: n=9]

37

(1) [eqn: a ^{6}+ 6a^5 b + 15 a^4 b^2 + 20 a^3 b^3 + 15 a^2 b^4 + 6 ab^5 + b^6]
(2) [eqn: x^5 - 5 x^4 +10x^3 -10x^2 +5x -1]
(3) [eqn: 16x^4 - 96 x^3 y + 216 x^2 y^2 - 216 xy^3 +81 y^4]

답

해

설

(1) [eqn: (a+b) ^{6}# = _{6} rm C _{0} it `a ^{6} + _{6} rm C _{1} it `a ^{5} b+ _{6} rm C _{2} it `a ^{4} b ^{2} + _{6} rm C _{3} it `a ^{3} b ^{3}# ~~+ _{6} rm C _{4} it `a ^{2} b ^{4} + _{6} rm C _{5} it `ab ^{5} + _{6} rm C _{60} it `b ^{6}# =a ^{6} +6a ^{5} b+15a ^{4} b ^{2} +20a ^{3} b ^{3} +15a ^{2} b ^{4} +6ab ^{5}# ~~+b ^{6}]

(2) [eqn: (x-1) ^{5} = LEFT { x+(-1) RIGHT } ^{5}# = _{5} rm C _{0} ` it x ^{5} + _{5} rm C _{1} ` it x ^{4} (-1)+ _{5} rm C _{2} ` it x ^{3} (-1) ^{2}# ~~+ _{5} rm C _{3} ` it x ^{2} (-1) ^{3} + _{5} rm C _{4} ` it x(-1) ^{4} + _{5} rm C _{5} ` it (-1) ^{5}# =x ^{5} -5x ^{4} +10x ^{3} -10x ^{2} +5x-1]

(3) [eqn: (2x-3y) ^{4} = LEFT { 2x+(-3y) RIGHT } ^{4}# = _{4} rm C _{0} (2 it x) ^{4} + _{4} rm C _{1} (2 it x) ^{3} (-3y)# ~~+ _{4} rm C _{2} (2 it x) ^{2} (-3y) ^{2} + _{4} rm C _{3} (2 it x)(-3y) ^{3}# ~~+ _{4} rm C _{4} (-3 it y) ^{4}# =16x ^{4} -96x ^{3} y+216x ^{2} y ^{2} -216xy ^{3} +81y ^{4}]

38

[eqn: a^4 b ^6]의 계수: [eqn: 210], [eqn: a^2 b^8]의 계수: [eqn: 45]

답

해

설

[eqn: a^4 b ^6]의 계수는

[eqn: {} _{10} rm C _{6} = _{10} rm C _{4} = {10 TIMES 9 TIMES 8 TIMES 7} over {4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1} =210]

[eqn: a^2 b^8]의 계수는

[eqn: {} _{10} rm C _{8} = _{10} rm C _{2} = {10 TIMES 9} over {2 TIMES 1} =45]

39

(1) [eqn: 32]   (2) [eqn: 0]

답

해

설

[eqn: (1+x)` ^{5} & = _{5} rm C _{0} + _{5} rm C _{1} it x+ _{5} rm C _{2} it x ^{2} + _{5} rm C _{3} it x ^{3} + _{5} rm C _{4} it x ^{4}# & + _{5} rm C _{5} it x ^{5}]

(1) 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: {} _{5} rm C _{0} + _{5} rm C _{1} + _{5} rm C _{2} + _{5} rm C _{3} + _{5} rm C _{4} + _{5} rm C _{5} =2 ^{5`} =32]

(2) 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면
[eqn: {} _{5} rm C _{0} - _{5} rm C _{1} + _{5} rm C _{2} - _{5} rm C _{3} + _{5} rm C _{4} - _{5} rm C _{5} =0]

40

(1) [eqn: 4320]   (2) [eqn: 80]

답

해

설

(1) 일반항은
[eqn: {} _{6} rm C _{it r rm} (3 it x) ^{6-r} 2 ^{r} = _{6} rm C _{it r rm}` 3 ^{it6-r} 2 ^{itr}itx^6-r]
(단, [eqn: r=0,~1,~2,~ CDOTS ,~6])
[eqn: 6-r=`3]에서  [eqn: r=3]
따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는
[eqn: {} _{6} rm C _{3 rm} `3 ^{3 rm} 2 ^{3 rm} =`20 TIMES 27 times 8= 4320]

(2) 일반항은
[eqn: {} _{5} rm C _{it r rm} (2 it a ^{2} ) ^{5-r} (-b) ^{it r} = _{5} rm C _{it r rm} `2 ^{it 5-r rm} (-1) ^{it r rm} it a ^{10-2r} b ^{r}]
(단, [eqn: r=0,~1,~2,~ CDOTS ,~5])
[eqn: 10-2r=`6,~r=2]에서  [eqn: r=2]
따라서 [eqn: a ^{6} b ^{2}]의 계수는
[eqn: {} _{5} rm C _{2 rm} `2 ^{3 rm} (-1) ^{2 rm} =`80]

41

[eqn: -960]

답

해

설

주어진 식의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{10} rm C _{it r rm} (2 it x ^{2} ) ^{10-r} LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) ^{r} = _{10} rm C _{it r` rm} 2 ^{10- it r rm} (-1) ^{it r rm} it x ^{20-3r}]

(단, [eqn: r=0,~1,~2,~ CDOTS ,``10])

[eqn: 1 overx]의 항은 [eqn: 20-3r=-1]인 경우이므로  [eqn: r=7]

따라서 [eqn: 1 over x]의 계수는

[eqn: {} _{10} rm C _{7} 2 ^{3} (-1) ^{7} =- _{10} rm C _{3} TIMES 8`=`-120` TIMES 8 =-960]

42

(1) [eqn: -48384]   (2) [eqn: -12]

답

해

설

(1) 일반항은
[eqn: {} _{8} rm C _{it r rm} (2 it x) ^{8-r} (-3y) ^{r} = _{8} rm C _{it r rm} `2 ^{8-itr rm} (-3) ^{it r rm} it x ^{8-r} y ^{r}]
(단, [eqn: r=0,~1,~2,~ CDOTS ,~8])
[eqn: 8-r=`5], [eqn: r=3]에서  [eqn: r=3]
따라서 [eqn: x ^{5} y ^3]의 계수는
[eqn: {} _{8} rm C _{3 rm} 2 ^{5 rm} (-3) ^{3 rm} =`56 TIMES 32 TIMES (-27)=-48384]

(2) 일반항은
[eqn: {} _{4} rm C _{it r rm} ( it x ^{2} ) ^{4-r} (-3) ^{it r} = _{4} rm C _{it r rm} `(-3) ^{it r rm} itx ^{8-2r}]
(단, [eqn: r=0,~1,~2,~3,~4])
[eqn: 8-2r=`6]에서  [eqn: r=1]
따라서 [eqn: x^6]의 계수는
[eqn: {} _{4} rm C _{1 rm} `(-3) ^{1 rm} =`-12]

43

[eqn: -960]

답

해

설

[eqn: LEFT ( 2x- {5} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{6} rm C _{it r rm} (2 it x) ^{6-r} LEFT ( - {5} over {x} RIGHT ) ^{r} & = _{6} rm C _{it r` rm} 2 ^{6- it r rm} it x ^{6-r} (-5) ^{r} x ^{-r}# & = _{8} rm C _{it r` rm} 2 ^{6- it r rm} (-5) ^{itr} itx ^{6-2itr}]

(단, [eqn: r=0,~1,~2,~ CDOTS ,``6])

[eqn: 6-2r=4]에서  [eqn: r=1]

따라서 [eqn: x^4]의 계수는

[eqn: {} _{6} rm C _{1} 2 ^{6-1} (-5) ^{1} =6` TIMES 32 TIMES (-5)=-960]

44

[eqn: 1330]

답

해

설

[eqn: k` GEQ 2]일 때 [eqn: (1+x^2 ) ^k]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는 [eqn: {} _{k} rm C _2]이다.

주어진 식의 [eqn: x^4]의 계수는 각 항의 [eqn: x^4]의 계수의 합과 같으므로

[eqn: {} _{2} rm C _{2} + _{3} rm C _{2} + _{4} rm C _{2} + CDOTS + _{20} C _{2}# = sum _{it k=2 rm} ^{20} ` _{it k rm} rm C _{2} = sum _{it k=2 rm} ^{20} it {k(k-1)} over {2}# = {1} over {2} sum _{k=1} ^{20} (k ^{2} -k)3# =` {1} over {2} LEFT ( {20 TIMES 21 TIMES 41} over {6} - {20 TIMES 21} over {2} RIGHT )# =1330]

45

[eqn: 2280]

답

해

설

[eqn: (1+2x)` ^{3}]의 전개식에서 [eqn: x ^{r}]의 항은

[eqn: {} _{3} rmC _ {itr }(2itx)^r ={} _{3} rmC _ {itr }2^{itr} itx^r ~(r=0,~1,~2,~3)]

[eqn: (3+x)^4]의 전개식에서 [eqn: x^3-r]의 항은

[eqn: {} _{4} rm C _{3- it r rm} 3 ^{1+itr} itx ^{3-itr} `(itr=0,~1,~2,~3)]

따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는

[eqn: {} _{3} rm C _{0} 2 ^{0} CDOT _{4} rm C _{3} 3+ _{3} rm C _{1} 2 ^{1} CDOT _{4} rm C _{2} 3 ^{2} + _{3} rm C _{2} 2 ^{2} CDOT _{4} rm C _{1} 3 ^{3}# + _{3} rm C _{3} 2 ^{3} CDOT _{4} rm C _{0} 3 ^{4}# =1 TIMES 12+6 TIMES 54+12 TIMES 108+8 TIMES 81# =12+324+1296+648=2280]

46

[eqn: 55]

답

해

설

[eqn: (1+x)^k]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는

[eqn: {}_k rmC _1 = it k]

따라서 주어진 식의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는

[eqn: sum _{k=1} ^{10} k= {10(10+1)} over {2}=55]

47

[eqn: 152]

답

해

설

[eqn: (1+2x)` ^{4}], [eqn: (-3+x) ^{2}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{4} rm C _{it r rm} (2 it x) ^{r} ``(r=0,~1,~2,~3,~4)]

[eqn: {} _{2} rm C _{it s rm} (-3) ^{2-its} itx ^{its} ``(its=0,~1,~2)]

이므로 [eqn: (2x+1)` ^{4} (x-3)` ^{2}]의 전개식에 일반항은

[eqn: {} _{4} rm C _{it r rm} (2 it x) ^{it r} ` TIMES _{2} rm C _{it s rm} (-3) ^{2-s} ` CDOT ` it x ^{s}# = _{4} rm C _{it r rm} `` CDOT rm _{2} rm C _{it s rm} CDOT 2 it rm ^{it r rm } ` CDOT (-3) ^{2- it s} ` CDOT ` it x ^{r+s}]

따라서 [eqn: x ^{3}]항은 [eqn: r+s=3]이 되는 경우이고, 이때의 [eqn: (r,~s)]는

[eqn: (r,~s)=(1,~2),~(2,~1),~(3,~0)]

이므로 [eqn: x ^{3}]의 계수는

[eqn: {} _{4} rm C _{1} CDOT _{2} rm C _{2} CDOT 2 ^{1} CDOT (-3) ^{0} + _{4} rm C _{2} CDOT _{2} rm C _{1} CDOT 2 ^{2} CDOT (-3) ^{1}# + _{4} rm C _{3} CDOT _{2} rm C _{0} CDOT 2 ^{3} CDOT (-3) ^{2}# =4 TIMES 2+6 TIMES 2 TIMES 4 TIMES (-3)+4 TIMES 8 TIMES 9=152]

48

[eqn: 60]

답

해

설

[eqn: left{ (a+b) +c right} ^6]의 전개식에서 [eqn: c]의 항은

[eqn: {}_6 rmC_1 (ita+b) ^5 c]

또 [eqn: (a+b) ^5]의 전개식에서 [eqn: b^2]의 항은

[eqn: {}_ 5 rmC _2 ita^3 b^2]

따라서 [eqn: a^3 b^2 c]의 계수는

[eqn: {}_6 rmC_{1}`cdot {}_ 5 rmC _2 = 6 times {5times4 } over 2 = 60]

49

[eqn: 168]

답

해

설

[eqn: LEFT { (a+b)+c RIGHT } ^{8}]의 전개식에서 [eqn: c]의 항은

[eqn: {} _{8} rm C _{1} ( it a+b) ^{7} c]

또 [eqn: (a+b) ^{7}]의 전개식에서 [eqn: b^2]의 항은

[eqn: {} _{7} rm C _{2} it a ^{5} b ^{2}]

따라서 [eqn: a ^{5} b ^{2} c]의 계수는

[eqn: {} _{8} rm C _{1} ` CDOT _{7} rm C _{2} =168]

50

[eqn: -120]

답

해

설

[eqn: LEFT { (a-2b)+(-c) RIGHT } ^{5}]의 전개식에서 [eqn: c]의 항은

[eqn: {} _{5} rm C _{1} ( it a-2b) ^{4} (-c) ^{1} =- _{5} rm C _{1} ( it a-2b) ^{4} c]

또 [eqn: (a-2b) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: a ^{2} b ^{2}]의 항은

[eqn: {} _{4} rm C _{2} ` it a ^{2} (-2b) ^{2} =(` _{4} rm C _{2} TIMES 4)` it a ^{2} b ^{2}]

따라서 [eqn: a ^{2} b ^{2} c]의 계수는

[eqn: - _{5} rm C _{1} ` TIMES _{4} rm C _{2} TIMES 4=-120]

51

[eqn: 20]

답

해

설

[eqn: (1+x) ^{20`} = _{20} rm C _{0} + _{20} rm C _{1} itx+ _{20} rm C _{2} itx ^{2} + CDOTS + _{20} rm C _{20} itx ^{20}]

양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 3 ^{20} = _{20} rm C _{0} +2 CDOT _{20} rm C _{1} +2 ^{2} CDOT _{20} rm C _{2} + CDOTS +2 ^{20} CDOT _{20} rm C _{20}]

[eqn: therefore A = 3^20]

[eqn: therefore log _3 A= log _3 3^20 = 20log_3 3 =20]

52

[eqn: 256]

답

해

설

[eqn: (1+i) ^{16} & = _{16} rm C _{0} + _{16} rm C _{1} it i+ _{16} rm C _{2} it i ^{2} + CDOTS + _{16} rm C _{16} it i ^{16}# & =( _{16} rm C _{0} - _{16} rm C _{2} + _{16} rm C _{4} - CDOTS + _{16} rm C _{16} )# & ~~+( _{16} rm C _{1} - _{16} rm C _{3} + _{16} rm C _{5} - CDOTS - _{16} rm C _{15} ) it i]

또 [eqn: (1+i) ^{16} = left{(1+i) ^{2} right}^8 = (2i)^8 = 256]이므로

[eqn: {} _{16} rm C _{0} - _{16} rm C _{2} + _{16} rm C _{4} - _{16} rm C _{6} + CDOTS - _{16} rm C _{14} + _{16} rm C _{16} =256]

53

[eqn: 3n]

답

해

설

[eqn: (1+x)` ^{n}]의 전개식은

[eqn: (1+x)` ^{n}= _{itn} rmC_0 +_{itn} rmC_1 itx +_{itn} rmC_2 itx^2 + cdots +_{itn} rmC_{itn} itx^n]

[eqn: x=7]을 대입하면

[eqn: 8 ^{n} = _{it n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} it CDOT 7+ _{it n} rm C _{2} it CDOT it 7 ^{2} + CDOTS + _{it n} rm C _{it n rm} it CDOT 7 ^{` it n rm }]

[eqn: THEREFORE `log _{2} (`` _{n} rm C _{0} +7 CDOT _{it n rm} rm C _{1} +7 ^{2} CDOT _{it n rm} rm C _{2} + CDOTS +7 ^{it n rm} CDOT _{it n rm} rm C _{it n rm} )# ~~=log _{2} `8 ^{n} =`n`log _{2`} 8`=`n`log _{2`} 2 ^{3} =3n log _{2} 2 =3n]

54

풀이 참조

답

해

설

[eqn: (1+x)` ^{10}]의 전개식은

[eqn: (1+x)` ^{10} = _{10} rm C _{0} + _{it 10 rm} rm C _{1} it x+ _{10} rm C _{2} it x ^{2} + CDOTS + _{it 10} rm C _{it 10} it x ^{10}]

이므로 [eqn: (1+x)` ^{10} (1+x)` ^{10}]의 전개식에서 [eqn: x ^{10}]의 계수는

[eqn: {} _{10} rm C _{0} CDOT _{10} rm C _{10} + _{10} rm C _{1} CDOT _{10} rm C _{9} + _{10} rm C _{2} CDOT _{10} rm C _{8}# + CDOTS + _{10} rm C _{10} CDOT _{10} rm C _{0}# = _{10} rm C _{10} CDOT _{10} rm C _{10} + _{10} rm C _{1} CDOT _{10} rm C _{1} + _{10} rm C _{2} CDOT _{10} rm C _{2}# ~~+ CDOTS + _{10} rm C _{10} CDOT _{10} rm C _{10}# =( _{10} rm C _{0} ) ^{2} +( _{10} rm C _{1} ) ^{2} +( _{10} rm C _{2} ) ^{2} + CDOTS +( _{10} rm C _{10} ) ^{2}]	㉠

한편 [eqn: left{(1+x) ^10 right}^2 =(1+x) ^20]의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수는  [eqn: {}_20 rm C_ 10]	㉡

㉠과 ㉡은 서로 같으므로

[eqn: ( _{10} rm C _{0} ) ^{2} +( _{10} rm C _{1} ) ^{2} +( _{10} rm C _{2} ) ^{2} + CDOTS +( _{10} rm C _{10} ) ^{2} = _{20} rm C _{10}]

55

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: x^2]의 항은

[eqn: 1 CDOT _{5} rm C _{2} (- it x) ^{2} + _{4} rm C _{1} 3 it x CDOT _{5} rm C _{1} (- it x)+ _{4} rm C _{2} (3 it x) ^{2} CDOT 1# =10x ^{2} -60x ^{2} +54x ^{2} =4x ^{2}]

따라서 [eqn: x ^{2`}]의 계수는 [eqn: 4]이다.

56

[eqn: 126]

답

해

설

[eqn: (x+y) ^{9}= sum _{ r=0} ^{ 9}` {}_{9} rmC _{itr} `itx^{9-r} y^r]에서 이항계수는 [eqn: {}_9 rmC _{itr}]이므로 최대의 이항계수는

[eqn: r= 9-1 over 2 = 4,~r= 9+1 over 2 = 5]

일 때이다.

[eqn: therefore {}_ 9 rmC _ 4 ={}_ 9 rmC _ 5 =126]

57

[eqn: 11]

답

해

설

[eqn: 11 ^{11} & =(1+10) ^{11}# & = _{11 }rmC_0 + _{11 }rmC_1 cdot 10 + _{11 }rmC_2 cdot 10^2 +cdots + _{11 }rmC_11 cdot 10^11]

여기에서 제[eqn: 3]항 이후는 [eqn: 100]으로 나누어떨어지므로 그 몫을 [eqn: m]이라고 하면

[eqn: 11^11 = 1+110+100m =100(m+1)+11]

따라서 [eqn: 100]으로 나눈 나머지는 [eqn: 11]이다.

58

⑤

답

해

설

[eqn: (0.99) ^{10} & =(1-0.01) ^{10}# & = _{10} rmC _0 +_{10} rmC _1 (-0.01)+_{10} rmC _2 (-0.01)^2 #&~~+_{10} rmC _3 (-0.01)^3 +cdots + _{10} rmC _10 (-0.01)^10#&=1 +10 cdot(-0.01)+45 cdot(-0.01)^2 #&~~+120cdot(-0.01)^3 +cdots #&= 1-0.1+0.0045-0.00012+cdots #&= 0.90438]

따라서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내면 [eqn: 0.9044]이다.

59

[eqn: -3240]

답

해

설

[eqn: left{ (x-2y)+3z right}^6]의 전개식에서 [eqn: z^3]의 항은

[eqn: {}_ 6 rmC _ 3 (itx -2y) ^3 (3z)^3 = {}_6 rmC _3 3^3 (itx-2y)^3 z^3]

또 [eqn: (x-2y)^3]의 전개식에서 [eqn: y]의 항은

[eqn: {}_ 3 rmC _1 itx^2 (-2y)^1 = {}_ 3 rmC _1 (-2)itx^2 y]

따라서 [eqn: x^2 y z^3]의 계수는

[eqn: {}_ 6 rm C _3 `3^3 cdot {}_ 3 rmC _1 (-2)=-3240]

60

(1) [eqn: 11760]   (2) [eqn: 5^8]

답

해

설

[eqn: LEFT { a+(b+c) ^{2} RIGHT } ^{8} & = sum _{k=0} ^{8} ` _{8} rm C _{it k rm} ` it a ^{8-k} (b+c) ^{2k}# & = sum _{k=0} ^{8} ` _{8} rm C _{it k rm} ` it a ^{8-k} LEFT ( sum _{i=0} ^{2k} ` _{2k} rm C _{it i rm} ` it b ^{it i} it c ^{it 2k-i} RIGHT )# & = sum _{k=0} ^{8} LEFT { sum _{i=0} ^{2k} ` LEFT ( {} _{8} rm C _{it k rm} CDOT ` _{it 2k rm} rm C _{it i rm} ` it `a ^{8- it k} b ^{it i} it c ^{it 2k-i} RIGHT ) RIGHT }]

(1) [eqn: a^3 b^6 c^4]의 항은
[eqn: 8-k=3,~i=6,~2k-i=4]
즉, [eqn: k=5,~i=6]일 때이므로 [eqn: a^3 b^6 c^4]의 계수는
[eqn: {} _{8}rmC_ 5 times {}_10 rmC _ 6 = {} _{8}rmC_ 3 times {}_10 rmC _ 4 = 56 times 210 = 11760]

(2) [eqn: a=b=c=1]을 대입하면 계수의 총합은
[eqn: left{1+(1+1)^2 right} ^8 = 5^8]

61

[eqn: 141]

답

해

설

[eqn: (1+x+x^2 ) ^6]의 일반항은

[eqn: 6! over p!q!r! cdot 1^p x^q (x^2 ) ^r = 6! over p!q!r! cdot x^q+2r]

여기서 [eqn: p,~q,~r]은 음이 아닌 정수이고

[eqn: p+q+r=6,~q+2r = 6]

이므로

[eqn: (p,~q,~r)# =(0,~6,~0),~(1,~4,```1),~(2,~2,~2),~(3,````0,~3)]

따라서 [eqn: x ^{6}]의 계수는

[eqn: 6! over6! + 6! over 4! + 6! over 2!2!2! + 6! over 3!3! = 1+30+90+20 = 141]

62

③

답

해

설

[eqn: (1+x) ^{35} & =(1+x) ^{15} (1+x) ^{30}# & = LEFT ( sum _{ r=0} ^{ 15}`{}_15 rmC _{itr} `itx^r right) left( sum _{ r=0} ^{20 } `{}_20 rmC _{itr} `itx^r right)]

양변에서 [eqn: x^10]의 계수를 비교하면

[eqn: sum _{ r=0} ^{ 10}` {}_15 rmC _{itr} cdot {}_ 20 rmC _{it10-r} = {}_ 35 rmC _10]

63

[eqn: 60]

답

해

설

[eqn: (x^2 + 2 ) ^6]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {}_ 6 rmC _{itk} (itx^2 ) ^k 2^6-k = {}_ 6 rmC _ {itk} cdot 2^{6-itk } cdot itx^{it2k}]

(단, [eqn: k=0,~1,~2,~cdots ,~6])

[eqn: x^2k = x ^8]에서  [eqn: k=4]

따라서 [eqn: x^8]이 계수는  [eqn: {}_ 6 rmC _ 4 cdot 2^2 = 15 times 4 = 60]

64

[eqn: 84]

답

해

설

[eqn: left( x^2 - 1 over x right)^9]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{9} rm C _{it r rm} ( it x ^{2} ) ^{9- it r} LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) ^{r} = _{9} rm C _{it r rm} ( it -1) ^{it r} x ^{18-3r}]

(단, [eqn: r=0,~1,~2,~ CDOTS ,~9])

상수항은 문자의 지수가 [eqn: 0]인 항이므로

[eqn: 18-3r=0~~therefore r= 6]

따라서 구하는 값은

[eqn: {}_ 9 rmC _ 6 cdot(-1) ^6 = {}_ 9 rmC _3 = 9times8times7 over3times2times1 = 84]

65

[eqn: 24]

답

해

설

[eqn: 1cdot 4 x + 2^2 cdot{}_ 5 rmC _ 1 itx = 24 x]

따라서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 24]이다.

66

풀이 참조

답

해

설

(i) [eqn: (1+x) ^{8} & = _{8} rm C _{0} + _{8} rm C _{1} it x+ _{8} rm C _{2} it x ^{2} + _{8} rm C _{3} it x ^{3}# & + CDOTS + _{8} rm C _{7} it x ^{7} + _{8} rm C _{8} it x ^{8}]
[eqn: (1-x) ^{8} & = _{8} rm C _{0} - _{8} rm C _{1} it x+ _{8} rm C _{2} it x ^{2} - _{8} rm C _{3} it x ^{3}# & + CDOTS - _{8} rm C _{7} it x ^{7} + _{8} rm C _{8} it x ^{8}]
이므로
[eqn: (1+x) ^{8} +(1-x) ^{8}# =2(` _{8} rm C _{0} + _{8} rm C _{2} ` it x ^{2} it + _{8} rm C _{4} ` it x ^{4} it + _{8} rm C _{6} ` it x ^{6} + _{8} rm C _{8} it x ^{8} )]	㉠

(ii) ㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: 2 ^{8} `=`2`(` _8 rmC _0 + {}_ 8 rmC _2 +{}_ 8 rmC_4 + {}_ 8 rmC _ 6 + {}_ 8 rmC _8 )]

양변을 [eqn: 2]로 나누면

[eqn: 2 ^{7} `=` _{8} rm C _{0} + _{8} rm C _{2} + _{8} rm C _{4} + _{8} rm C _{6} + _{8} rm C _{8}]

67

[eqn: 21]

답

해

설

[eqn: 21 ^{21} & =(1+20) ^{21}# & = _{21} rm C _{0} + _{21} rm C _{1} CDOT 20+ _{21} rm C _{2} CDOT 20 ^{2}# & ~~+ CDOTS + _{21} rm C _{21} CDOT 20 ^{21}]

이때 제[eqn: 3]항 이후는 [eqn: 40]으로 나누어떨어지므로 그 몫을 [eqn: m]이라고 하면

[eqn: 21^21 = 1 + 420+ 40m = 40(m+10)+21]

따라서 [eqn: 40]으로 나눈 나머지는 [eqn: 21]이다.

68

[eqn: 18]

답

해

설

[eqn: (1+x)` ^{`19}= {}_ 19 rmC _0 +{}_19 rmC _1 itx +{}_ 19 rmC _ 2 itx^2 +cdots + {}_ 19 rm C _ 19 itx^19]

㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: {} _{19} rm C _{0} + _{19} rm C _{1} + _{19} rm C _{2} it + CDOTS + _{19} rm C _{19} =2^19]	㉡

㉠의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: {} _{19} rm C _{0} - _{19} rm C _{1} + _{19} rm C _{2} - CDOTS - _{19} rm C _{19} =0]	㉢

[eqn: ㉡+㉢]을 하면

[eqn: 2 left( {}_ 19 rmC _ 0 + {}_ 19 rmC _ 2 + cdots + {}_ 19 rmC _ 18 right) = 2 ^19]

[eqn: therefore {}_ 19 rmC _ 0 + {}_ 19 rmC _ 2 + cdots + {}_ 19 rmC _ 18 = 2 ^18]

따라서 [eqn: sum _{ r=0} ^{9 } `{}_19 rmC _{it2r} = 2^18]이므로

[eqn: log_2 left( sum _{ r=0} ^{ 9}` {}_ 19 rmC _{it2r} right) = log _2 2^18 = 18]

69

[eqn: n+1]

답

해

설

[eqn: {} _{it n-1} rm C _{it r rm} + _{it n-1 rm} rm C _{it r-1 rm} = _{it n rm} rm C _{it r rm}]임을 이용한다.

[eqn: {} _{it k} rm C _{it k rm} + _{it k+1 rm} rm C _{it k rm} = _{it k+1 rm} rm C _{it k+1 rm} + _{it k+1 rm} rm C _{it k} = _{k+2} rm C _{it k+1 rm}],

[eqn: {} _{it k+2} rm C _{it k+1 rm} + _{it k+2 rm} rm C _{it k rm} = _{it k+3 rm} rm C _{it k+1 rm} ,~ CDOTS]

이므로

[eqn: {} _{it k} rm C _{it k rm} + _{it k+1 rm} rm C _{it k rm} + _{it k+2 rm} rm C _{it k rm} + CDOTS + _{it n rm} rm C _{it k rm} & = _{it n rm} rm C _{it k+1 rm} + _{it n rm} rm C _{it k rm}# & = _{it n+1 rm} rm C _{it k+1 rm}]

따라서 □ 안에 알맞은 값은

[eqn: n+1]

70

[eqn: 35]

답

해

설

임의의 두 수를 택하는 경우의 수에서 두 수 모두 홀수를 택하는 경우를 제외하면 된다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_ 10 rmC _ 2 - {}_ 5 rmC _ 2 = 10times9 over 2 - 5times4 over 2 = 35]

71

④

답

해

설

세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는

[eqn: {} _{7} rm C _{3} - _{4} rm C _{3} = {7 TIMES 6 TIMES 5} over {3 TIMES 2 TIMES 1} - {4 TIMES 3 TIMES 2} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =35-4=31]

72

⑤

답

해

설

[eqn: x^4]이 되는 경우를 합하면

[eqn: {}_6 rmC_4 (2itx)^4 + _6 rmC_3 (2itx)^3 cdot(-x)# =240x^4 - 160x^4 = 80x^4]

73

②

답

해

설

[eqn: {}_20 rm C_0 + _20 C_1 + _20 C_2 + cdots+ _20 C_20 = 2^20# log2^20 = 20 ~log2 = 20 times 0.3010 = 6. 020]

따라서 지표가 [eqn: 6]이므로 [eqn: 7]자리 자연수이다.

74

[eqn: 1over 2]

답

해

설

일반항은 [eqn: 4! over p!q!r! (x^2)^p (-x)^q a^r (단,~p+q+r=4)]

[eqn: x]의 계순ㄴ [eqn: p=0 ,~q=1 ,~r=3]일 때의 값이므로

[eqn: 4! over {0! times 1! times 3!} times (-1) timesa^3 = - 1over2]

[eqn: therefore a= 1over 2]

75

[eqn: -6]

답

해

설

[eqn: (1 + 2x )^4 (1-x )^5]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{4} rm C _{r} (2 it x) ^{r} CDOT _{5} rm C _{s} (- it x) ^{s} = _{4} rm C _{r} CDOT _{5} rm C _{s} 2 ^{r} (-1) ^{s} CDOT it x ^{r+s}]이므로 [eqn: x^2]의 계수는

[eqn: {} _{4} rm C _{0} CDOT _{5} rm C _{2} 2 ^{0} (-1) ^{2} + _{4} rm C _{1} CDOT _{5} rm C _{1} 2 ^{1} (-1) ^{1}# # + _{4} rm C _{2} CDOT _{5} rm C _{0} 2 ^{2} (-1) ^{0} =10-40+24=-6]

76

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: 11 ^{10} =(1+10) ^{10} ## = _{10} rm C _{0} +10 _{10} rm C _{1} +10 _{````10} ^{2} rm C _{2} + CDOTS +10 ^{10} ` _{10} rm C _{10}# # THEREFORE `11 ^{10} -1=10 ^{2} (1+ _{10} rm C _{2} +10 _{10} rm C _{3} + CDOTS +10 _{```10} ^{8} rm C _{10}]

따라서 [eqn: 11^10 -1]은 [eqn: 100]으로 나누어떨어지므로 구하는 나머지는 [eqn: 0]이다.

77

[eqn: 1]

답

해

설

전개식의 일반항은

[eqn: {} _{5} rm C _{r} (-1) ^{5-r} it x ^{r} CDOT _{2} rm C _{s} (2 it x)^s ## = _{5} rm C_r cdot _2 rmC_s cdot (-1)^5-r cdot 2^s cdot x^r+s]

따라서 [eqn: x]의 계수는

[eqn: {} _{5} rm C _{0} CDOT ` _{2} rm C _{1} CDOT (-1) ^{5} CDOT 2 ^{1} + _{5} rm C _{1} CDOT ` _{2}rmC_0 cdot (-1)^4 cdot 2^0## = -4 +5 =1]

78

[eqn: 120]

답

79

(1) [eqn: x ^{5} +10x ^{4} y+40x ^{3} y ^{2} +80x ^{2} y ^{3} +80xy ^{4} +32y ^{5}]
(2) [eqn: 16 x^4 -96 x^3 + 216 x^2 -216x +81]

답

해

설

(1) [eqn: (x+2y) ^{5}# = _{5} rm C _{0} it `x ^{5} + _{5} rm C _{1} it `x ^{4} (2y)+ _{5} rm C _{2} it `x ^{3} (2y) ^{2}# ~~+ _{5} rm C _{3} it `x ^{2} (2y) ^{3} + _{5} rm C _{4} it `x(2y) ^{4} + _{5} rm C _{5} it `(2y) ^{5}# =x ^{5} +10x ^{4} y+40x ^{3} y ^{2} +80x ^{2} y ^{3} +80xy ^{4} +32y ^{5}]

(2) [eqn: (2x-3) ^{4}# = _{4} rm C _{0} it (2x) ^{4} + _{4} rm C _{1} it (2x) ^{3} (-3)+ _{4} rm C _{2} it (2x) ^{2} (-3) ^{2}# ~~+ _{4} rm C _{3} it 2x(-3) _{4} ^{3+} rm C _{4} it (-3) ^{4}# =16x ^{4} -96x ^{3} +216x ^{2} -216x+81]

80

(1) [eqn: a^5 - 5a^4 b + 10 a^3 b^2 -10a^2 b^3 + 5ab^4 -b^5]
(2) [eqn: 16a^4 +32a^3 b+24 a^2 b^2 + 8 ab^3 + b^4]

답

81

(1) [eqn: 20]   (2) [eqn: 810]

답

82

[eqn: 1024]

답

83

④

답

해

설

[eqn: LEFT( 2x+ 1over x right) ^8]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{8} rm C _{it r rm} (2 it x) ^{8-r} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{it r} = _{8} rm C _{it r rm} ``2 ^{8-r} `itx ^{8-2 it r}]

[eqn: x ^{4}]의 항이 되는 것은 [eqn: 8-2r`=`4], 즉 [eqn: r=2]일 때이다.

따라서 [eqn: x^4]의 계수는

[eqn: {} _{8 }` rmC_ 2`` 2`^8-2 = {8 times 7 } over 2times1 } times 64 = 1792]

84

②

답

해

설

[eqn: {} _{6} rm C _{it r rm} (3 it x ^{2} ) ^{6-r} LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) ^{it r} = _{6} rm C _{it r rm} `3 ^{5- it r rm} (-1) ^{it r` rm} it x ^{12-3 it r}]

상수항이 되는 것은 [eqn: 12-3r=0], 즉 [eqn: r=4]일 때이다.

따라서 상수항은  [eqn: {} _{6} rm C _{4} ``3 ^{2} `(-1) ^{2} =135]

85

④

답

해

설

[eqn: sum _{k=8} ^{15} `` _{15} rm C _{it k rm} = _{15} rm C _{it 8} + _{15} rm C _{it 9 rm} + _{15} rm C _{it 10 rm} + CDOTS + _{15} rm C _{it 15}]

[eqn: {} _{16} rmC_ {itk}={} _{15} rmC_ {15-itk}`~(itk=0,~1,~2,~cdots,~15)]

[eqn: {} _{15} rm C _{8} + _{15} rm C _{9} + _{15} rm C _{10} + CDOTS + _{15} rm C _{15}# = _{15} rm C _{0} + _{15} rm C _{1} + _{15} rm C _{2} + CDOTS + _{15} rm C _{7}]

한편 [eqn: {} _{15} rm C _{0} + _{15} rm C _{1} + _{15} rm C _{2} + CDOTS + _{15} rm C _{15} =2 ^{15}]이므로

[eqn: {} _{15} rm C _{8} + _{15} rm C _{9} + _{15} rm C _{10} + CDOTS + _{15} rm C _{15}=2^14]

[eqn: THEREFORE `log _{`2``} LEFT ( ``` sum _{k=8} ^{15} `` _{15} rm C _{it k rm} `` RIGHT ) =log _{`2`} 2 ^{14} =14`log` _{2`} 2=14]

86

[eqn: 729 over 64]

답

해

설

[eqn: a=1,~b= 1 over 2 ,~n= 6]으로 놓으면

[eqn: {} _{6} rm C _{0} + {1} over {2} CDOT _{6} rm C _{1} + {1} over {2 ^{2}} CDOT _{6} rm C _{2} + CDOTS + {1} over {2 ^{6}} CDOT _{6} rm C _{6}# =left( 1 + 1 over 2 right) ^6 = left( 3 over 2 right) ^6 = 729 over64]

87

①

답

해

설

일반항은
[eqn: {} _{5} rm C _{it r rm} ( it 2x) ^{5-r} LEFT ( - {1} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{r} = _{5} rm C _{it r rm} `2 ^{5- it r rm} (-1) ^{it r rm} it x ^{`5-3 it r}]

[eqn: 5-3r=2]에서  [eqn: r=1]

따라서 [eqn: x ^{2`}]의 계수는  [eqn: {} _{`5`} rm C _{1} `2 ^{4} (-1) ^{1} =-80]

88

②

답

해

설

(i) [eqn: (2x+1) ^{4`}]의 일반항이 [eqn: {}_ 4 rmC _ {itr}``2^{4-itr}itx^{it4-r}]이므로
[eqn: x]의 계수는 [eqn: {}_ 4 rmC _ 3 `2=8], 상수항은 [eqn: {}_ 4 rmC _ 4 2^0 = 1]

(ii) [eqn: (x-2) ^{3`}]의 일반항이 [eqn: {} _{3 } rmC_{itr}`` {itx} ^{3-itr}(-2)^{itr}]이므로
[eqn: x]의 계수는 [eqn: {}_ 3 rmC_ 2 (-2) ^2 =12],
상수항은 [eqn: {}_ 3 rmC_ 3 (-2)^3 =-8]

따라서 [eqn: x]의 계수는

[eqn: 8cdot(-8) +1 cdot 12 = -64 + 12 = - 52]

89

①

답

해

설

[eqn: 21 ^{10} =(1+20) ^{10} & = _{10} rm C _{0} + _{10} rm C _{1} CDOT 20+ _{10} rm C _{2} CDOT 20 ^{2}# & ~~+ CDOTS + _{10} rm C _{10} CDOT 20 ^{10}# & =1+20m]

([eqn: m]은 정수)

따라서 [eqn: 20]으로 나눈 나머지는 [eqn: 1]이다.

90

③

답

해

설

[eqn: {} _{n} rm C _{1} + _{it n rm} rm C _{2} + _{it n rm} rm C _{3} + CDOTS + _{it n rm} rm C _{it n rm} =2 ^{itn} -1]이므로

[eqn: 1000`<`2 ^{n`} -1`<2000]

[eqn: THEREFORE 1001 < 2^n < 2001]

그런데 [eqn: 2^10 =1024 ,~2^11 = 2048]이므로

[eqn: n=10]

91

⑤

답

해

설

[eqn: LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{12}# =( _{12} rm C _{0} - _{12} rm C _{2} + _{12} rm C _{4} - _{12} rm C _{6} + CDOTS - _{12} rm C _{10} + _{12} rm C _{12} )# ~~+( _{12} rm C _{1} - _{12} rm C _{3} + _{12} rm C _{5} - CDOTS + _{12} rm C _{9} - _{12} rm C _{11} ) it i]

에서 주어진 식은 [eqn: (1+i)` ^{12}]의 실수부분이다.

[eqn: (1+i)` ^{2``} =2i,~(1+i) ^{4`} =-4`,]

[eqn: (1+i) ^{12`} =`(-4) ^{3`} =-64]

92

④

답

해

설

[eqn: (1+x)+(1+x) ^{2} +(1+x) ^{3} + CDOTS +(1+x) ^{10}# = {(1+x) LEFT { (1+x) ^{10} -1 RIGHT }} over {1+x-1} = {(1+x) ^{11} -(1+x)} over {x}]

[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: (1+x)` ^{11}]의 [eqn: x ^{3}]의 계수와 같으므로 구하는 계수는

[eqn: {} _{11}rmC_ 3 = 165]