수학Ⅱ	Ⅳ. 지수와 로그		2. 로그			반 / 번호
	01 로그의 뜻과 성질					이름

01 [eqn: log _{7-x}]([eqn: x]+3)이 정의되도록 하는 모든 정수 [eqn: x]

의 값의 합을 구하시오.

02 [eqn: log _{3}]2=[eqn: a], [eqn: log _{3}]4=[eqn: b], [eqn: log _{3}]6=[eqn: c]일 때, [eqn: 3 ^{a+b+c}]의 값을 구하시오.

03 [eqn: log _{2} 4-log _{3} {1} over {9}]의 값은?

① 1          ② 2          ③ 3

④ 4          ⑤ 5

04 [eqn: 6 ^{100}]이 78자리의 수일 때, [eqn: 6 ^{10}]은 몇 자리의 수인지 구하시오.

05 실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 로그가 정의될 수 있는 것만을 다음에서 있는 대로 고른 것은?

[eqn: ㄱ.`log _{a ^{2} -a+2} LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT )# # ㄴ.`log _{2 LEFT | a RIGHT | +1} LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT )# # ㄷ.`log _{a ^{2} +2} LEFT ( a ^{2} -2a+1 RIGHT )]

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ          ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ    [eqn: `]  ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log _{a-5} LEFT ( x ^{2} +ax+3a RIGHT )]의 값이 존재하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

① 2          ② 3          ③ 4

④ 5          ⑤ 6

07 [eqn: a=log _{4} LEFT ( 3- sqrt {8} RIGHT ) 일`때,````2 ^{a} +2 ^{-a}]의 값은?

① [eqn: 2 sqrt {2}]         ② [eqn: 2 sqrt {3}]         ③ [eqn: 2 sqrt {2} +1]

④ [eqn: 2 sqrt {3} +1]    [eqn: `]  ⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

08 [eqn: log _{2}][eqn: x]+[eqn: log _{4}][eqn: {1} over {x} =5]일 때, [eqn: log _{4} x-][eqn: log _{2}][eqn: {1} over {x}]의 값을 구하시오.

09 [eqn: ab ^{3} =1]일 때, [eqn: log _{b} a ^{4} b ^{-5}]의 값은?

(단, [eqn: a>0,```b>0,```b != 1])

① -17          ② -15          ③ -13

④ -11          ⑤ -9

10 1이 아닌 세 양수 [eqn: a,`b,`c]가 [eqn: a ^{2} =b ^{3} =c ^{5}]을 만족한다. [eqn: log _{a} `b]+[eqn: log _{b} `c]+[eqn: log _{c} `a=][eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,```q]는 서로소인 자연수이다.)

11 [eqn: log _{10} LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) +log _{10} LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS +log _{10} LEFT ( 1- {1} over {10} RIGHT )]의 값은?

① -2          ② -1          ③ 0

④ 1           ⑤ 2

12 1보다 큰 세 실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여

[eqn: log _{a}][eqn: c] : [eqn: log _{b}][eqn: c]=2 : 1일 때, [eqn: log _{a}][eqn: b]+[eqn: log _{b}][eqn: a]의 값은?

① 1          ② [eqn: {3} over {2}]          ③ 2

④ [eqn: {5} over {2}]        [eqn: `]⑤ 3

13 1이 아닌 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: {1} over {log _{2} x}] + [eqn: {1} over {log _{3} x}]+ [eqn: {1} over {log _{5} x}]=[eqn: {1} over {log _{a} x}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① 28          ② 30          ③ 32

④ 34          ⑤ 36

14 로그의 계산 중 옳은 것만을 다음에서 있는 대로 고른 것은?

[eqn: ㄱ.```3 ^{log _{3} 10-log _{3} 7} = {7} over {10```}]

[eqn: ㄴ.```2 ^{log _{2} 5+2log _{2} 3-log _{2} 6} = {15} over {2}]

[eqn: ㄷ.```5 ^{log _{5} 1+log _{5} 2+log _{5} 3+log _{5} 4+log _{5} 5} =120]

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ          ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ   [eqn: `]   ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15 이차방정식 [eqn: x ^{2} -7x+7=0]의 두 근을

[eqn: log _{3} a,````log _{3} b]라고 할 때, [eqn: log _{a} b ^{2} +`log _{b} a ^{2}]의 값을

구하시오.

16 [eqn: log _{sqrt {2} +1} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) -log _{sqrt {2} -1} LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT )]의 값

은?

① -1          ② 0          ③ [eqn: {1} over {2}]

④ 1           ⑤ [eqn: sqrt {2}]

17 세 실수 [eqn: A= {sqrt {3}} ^{log _{3} 2}], [eqn: B=log _{5} 16 CDOT log _{4} 25], [eqn: C=log _{4} 2+log _{9} 3]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: A<C<B]          ② [eqn: B<A<C]

③ [eqn: B<C<A]          ④ [eqn: C<A<B]

⑤ [eqn: C<B<A]

18 [eqn: log _{2} 3=a]일 때, [eqn: log _{2} sqrt {3 sqrt {3}} -log _{6} sqrt {3 sqrt {3}}]을

[eqn: a]를 사용하여 나타내면?

① [eqn: {3a} over {4 LEFT ( a+2 RIGHT )}]    ② [eqn: {a} over {4 LEFT ( a+1 RIGHT )}]    ③ [eqn: {3a} over {4 LEFT ( a+1 RIGHT )}]

④ [eqn: {a ^{2}} over {4 LEFT ( a+1 RIGHT )}]    ⑤ [eqn: {3a ^{2}} over {4 LEFT ( a+1 RIGHT )}]

19 1이 아닌 양수 [eqn: a,```b,```c]에 대하여 [eqn: log _{a} b+log _{b} c+log _{c} a= {1} over {2}],[eqn: log _{b} a+log _{c} b+log _{a} c=- {5} over {2}]가 성립할 때, [eqn: LEFT ( log _{a} b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{b} c RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{c} a RIGHT ) ^{2}]의 값은?

① [eqn: {17} over {4}]          ② [eqn: {19} over {4}]          ③ [eqn: {21} over {4}]

④ [eqn: {23} over {4}]          ⑤ [eqn: {25} over {4}]

20 자연수 [eqn: n]에 대하여 [log[eqn: pn]]=[log[eqn: n]]+2를 만

족하는 자연수 [eqn: p]의 개수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라고 할 때,

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) +f LEFT ( 25 RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

21 두 양수 [eqn: a,```b]가

[eqn: log LEFT ( 2a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) -log LEFT ( a+2b RIGHT ) +log LEFT ( a+b RIGHT )]

를 만족할 때, [eqn: {a} over {b}]의 값은?

① [eqn: 3- sqrt {7}]            ② [eqn: {-1+ sqrt {13}} over {2}]

③ [eqn: {1+ sqrt {5}} over {2}]           ④ [eqn: 1+ sqrt {5}]

⑤[eqn: {3+ sqrt {13}} over {2}]

22 [eqn: log_{1 over a}`a^2 ``]의 값은?

23 [eqn: log_{1 over 5}`125 ``]의 값은?

24 다음 중[eqn: 2^{log_3 `5}``]의 값과 같은 것은 ?

① [eqn: 2^{log_5 `3}]    ② [eqn: 5^{log_3 `2}``]    ③ [eqn: 3^{log_3 `5}]

④ [eqn: 5^{log_2 `3}``]   ⑤[eqn: 3^{log_2 `5}``]

25 [eqn: a>1,~b>1]일 때 [eqn: (log_2 `a+2log_4 `b)log_rootab 8]의 값은?

26 [eqn: log2=a,`log3=b]일 때 [eqn: log _{sqrt {12}} ` ^{3} sqrt {48}]을 [eqn: a,b]로 나타내어라.

27 세 실수[eqn: A=2^35 ,~B=5^13 ,~C=6^11 ``]의 대소관계는?

28  세 실수[eqn: A= `^7 root8 ,~b= `^6 root5 ,~C=`^5 root6 ``]의 대소관계는?

29 [eqn: a,~b]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이고 [eqn: a+b`≠`1]이다.

[eqn: A={ 1 }over{ log_a `2}+{1}over{log_b `2}], [eqn: B=2 LEFT ( {1}over{log_a+b `2}-1 RIGHT )]일 때   [eqn: A,B]의 대소관계는?

30 세 실수[eqn: A=3^{log_3 `2}], [eqn: B={1}over{log_2 `3}+{1}over{log_3 `2}],   [eqn: ``C=log_4 `2+log_9 `3``]의 대소관계는?

31 [eqn: x`>`0,~``y`>`0`], 일 때 [eqn: P=log{x+y}over{2},`Q={logx+logy}over{2},~]

[eqn: ``R=log`2xy-log(x+y)``]의 대소관계는?

32 [eqn: a`>`1,`b`>`1``일~때,`log_a` b +log_{b^2}`a`]의 최소값은?

33 실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 로그가 정의될 수 있는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[eqn: ㄱ.`log _{a ^{2} -a+2} LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT )# # ㄴ.`log _{2 LEFT | a RIGHT | +1} LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT )# # ㄷ.`log _{a ^{2} +2} LEFT ( a ^{2} -2a+1 RIGHT )]

① ㄱ        ② ㄱ, ㄴ       ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

34 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log _{a-5} LEFT ( x ^{2} +ax+3a RIGHT )]의 값이 존재하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

① 2          ② 3          ③ 4

④ 5          ⑤ 6

35  [eqn: log _{2}][eqn: x]+[eqn: log _{4}][eqn: {1} over {x} =5]일 때, [eqn: log _{4} x-][eqn: log _{2}][eqn: {1} over {x}]의 값을 구하시오.

36 [eqn: ab ^{3} =1]일 때, [eqn: log _{b} a ^{4} b ^{-5}]의 값은? (단, [eqn: a>0,```b>0,```b != 1])

① -17       ② -15       ③ -13

④ -11       ⑤ -9

37  1이 아닌 세 양수 [eqn: a,`b,`c]가 [eqn: a ^{2} =b ^{3} =c ^{5}]을 만족한다. [eqn: log _{a} `b]+[eqn: log _{b} `c]+[eqn: log _{c} `a=][eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p,```q]는 서로소인 자연수이다.)

38 [eqn: log _{10} LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) +log _{10} LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS +log _{10} LEFT ( 1- {1} over {10} RIGHT )]의 값은?

① -2              ② -1             ③ 0

④ 1               ⑤ 2

39 1보다 큰 세 실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 [eqn: log _{a}][eqn: c] : [eqn: log _{b}][eqn: c]=2 : 1일 때, [eqn: log _{a}][eqn: b]+[eqn: log _{b}][eqn: a]의 값은?

① 1              ② [eqn: {3} over {2}]              ③ 2

④ [eqn: {5} over {2}]             ⑤ 3

40  1이 아닌 양수 [eqn: x]에 대하여[eqn: {1} over {log _{2} x}] + [eqn: {1} over {log _{3} x}]+ [eqn: {1} over {log _{5} x}]=[eqn: {1} over {log _{a} x}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① 28             ② 30             ③ 32

④ 34             ⑤ 36

41 로그의 계산 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[eqn: ㄱ.```3 ^{log _{3} 10-log _{3} 7} = {7} over {10```} # ㄴ.```2 ^{log _{2} 5+2log _{2} 3-log _{2} 6} = {15} over {2} # ㄷ.```5 ^{log _{5} 1+log _{5} 2+log _{5} 3+log _{5} 4+log _{5} 5} =120]

① ㄱ           ② ㄱ, ㄴ       ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

42 이차방정식 [eqn: x ^{2} -7x+7=0]의 두 근을 [eqn: log _{3} a,````log _{3} b]라고 할 때, [eqn: log _{a} b ^{2} +`log _{b} a ^{2}]의 값을 구하시오.

43 [eqn: log _{`2} ` LEFT { log _{`3} LEFT ( log _{`2} ``x RIGHT ) RIGHT } =0``]일 때, [eqn: x``]의 값은?

① [eqn: 2``]           ② [eqn: 4``]           ③ [eqn: 8``]

④ [eqn: 16``]          ⑤ [eqn: 64``]

44 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log_a-2 ``(x^2 +ax+2a)]의 값이 존재하기 위한 정수 [eqn: a`]의 개수는?

① 3           ② 4           ③ 5
④ 6           ⑤ 7

45 [eqn: log_2 ``4root3 +log_root2 ``root6 - 3 over 2 `log_2 ``3]의 값은?

① [eqn: 3 over 2]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 5 over 2]

④ [eqn: 3]           ⑤ [eqn: 7 over 2]

46 [eqn: log _{`2} ` LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) +log _{`2} LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS+log _{`2} LEFT ( 1- {1} over {64} RIGHT )]의 값을 구하여라.

47  [eqn: log _{`4} `9 CDOT log _{`5} `16` CDOT log _{`9} `125``]의 값은?

① [eqn: {1} over {2} ``]           ② [eqn: {3} over {2} ``]           ③ [eqn: 2``]
④ [eqn: 3``]           ⑤ [eqn: 6``]

48 [eqn: (log_2`5 +log_8`25)(log_5`2+log_25`8)`]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 3over2]           ③ [eqn: 8over3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 25over6]

49 양수 [eqn: a,~b]에 대하여
[eqn: a`log_2``5 =2],  [eqn: log _{2} ``b=log _{2} ``(log _{5} ``2)+1]
일 때, [eqn: a+b= log_5``k]이다. 이때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

50 1이 아닌 양수 [eqn: x``]에 대하여 등식
[eqn: {1} over {log _{`2} `x} + {1} over {log _{`3} `x} + {1} over {log _{`6} `x} = {2} over {log _{`a} `x} ``]
가 성립할 때, 양수 [eqn: a``]의 값을 구하여라.

51 [eqn: left(log_2 ``root3 + 3 over 4 `log_root2 ``3 right)`log_9 ``2root2]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: root2]           ③ [eqn: 3 over 2]
④ [eqn: root3]           ⑤ [eqn: 2]

52 [eqn: log _{`5} ` LEFT ( log _{`5} `2 RIGHT ) +log _{`5} ` LEFT ( log _{`4} `3 RIGHT ) +]

[eqn: ` CDOTS `+log _{`5} ` LEFT ( log _{`32} `31 RIGHT ) ``]

의 값은?

① [eqn: -4``]           ② [eqn: -2``]           ③ [eqn: -1``]
④ [eqn: - {1} over {2} ``]           ⑤ [eqn: - {1} over {4} ``]

53 [eqn: log _{`5} `3 CDOT log _{`a} `2a` CDOT log _{2a} `4a=log _{`5} `9``]일 때, 양수 [eqn: a``]의 값을 구하여라.

54 [eqn: 9 ^{2log _{3} ``5-3log _{{1} over {3}} ``4-2log _{3} ``20}] 의 값은?

① 1            ② 4           ③ 9
④ 16           ⑤ 27

55 [eqn: LEFT ( 3 ^{log _{3} 4＋log _{3} 2} RIGHT ) ^{2} ＋ LEFT ( 2 ^{log _{3} 4＋log _{3} 2} RIGHT ) ^{log _{2} 3}]의 값은?

① [eqn: 64]           ② [eqn: 68]           ③ [eqn: 72]
④ [eqn: 76]           ⑤ [eqn: 80]

56 [eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: a],[eqn: b],[eqn: c`]에 대하여 다음 중 옳은 것은?

①[eqn: log_a`b= {{log_b}c}over{{log_a}c}]           ②[eqn: {left({log_a}b right)}^{c} =c{log_a}b]
③[eqn: log_{a^c} `b = c log_a`b]          ④[eqn: {log_a}1overb =-{log_a}b]
⑤ [eqn: a^{{log_b}c} =b^{{log_c}a}]

57 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n`!`=1 CDOT 2 CDOT ` CDOTS ` CDOT n``]이다.)

ㄱ. [eqn: 3 ^{log _{3} 1＋log _{3} 2＋log _{3} 3+` CDOTS `＋log _{3} 10} =55``]

ㄴ. [eqn: log` _{`3} ` LEFT ( 3` CDOT 3 ^{2} CDOT 3 ^{3} ```` CDOTS CDOT 3 ^{10} `` RIGHT ) ^{2} =55 ^{2} ``]

ㄷ.[eqn: ` LEFT ( log` _{`3} 3 RIGHT ) LEFT ( log` _{`3} 3 ^{`2} RIGHT ) LEFT ( log` _{`3} 3 ^{`3} RIGHT ) CDOTS LEFT ( log` _{`3} 3 ^{`10} RIGHT ) =10!``]

① ㄱ           ② ㄴ           ③ ㄷ
④ ㄱ,ㄷ        ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

58 [eqn: log _{`2} `12``]의 소수 부분을 [eqn: alpha``]라 할 때, [eqn: 4 ^{alpha`} ``]의 값은?

① [eqn: {4} over {9} ``]           ② [eqn: {2} over {3} ``]           ③ [eqn: {3} over {2} ``]
④ [eqn: {9} over {4} ``]           ⑤ [eqn: {27} over {8} ``]

59 [eqn: log _{`x-3} ` LEFT ( -x ^{2} +8x-12 RIGHT ) ``]의 값이 존재하도록 하는 자연수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: log _{`2} `x``]의 정수부분을 [eqn: a``], 소수부분을 [eqn: b``]라 할 때, [eqn: 2 ^{a-b} ``]의 값을 구하여라.

60 [eqn: log_10`2=a], [eqn: log_10`3=b]일 때, [eqn: log_0.1{2root{6``}}]을 [eqn: a],[eqn: b]로 나타내면?

① [eqn: -{{3a＋b}over2}]           ② [eqn: -{{2a—b}over2}]

③ [eqn: -{{a＋3b}over2}]           ④ [eqn: {a＋b}over2]

⑤ [eqn: {a＋3b}over2]

61 양수 [eqn: x,~y,~z]에 대하여 [eqn: log_a``x=l], [eqn: log_a``y=m], [eqn: log_a``z=n]이라 하자. 이때 [eqn: log_a``root{x`y^2 `z^3 }]을 [eqn: l,~m,~n]에 대한 식으로 나타내어라. (단, [eqn: a>0], [eqn: a!=1])

62 [eqn: log_2 ``15=a], [eqn: log_2 `` 9over 5 =b]일 때, [eqn: log_2 ``75]를 [eqn: a,``b`]로 나타내면?

①[eqn: {a-2b} over 3]           ② [eqn: {3a-b} over 3]

③ [eqn: {5a-b} over 3]           ④ [eqn: {2a+3b} over 5]

⑤ [eqn: {3a+2b} over 5]

63 [eqn: log_3 ``2=a], [eqn: log_5 ``3=b]일 때, [eqn: log_150 180]을 [eqn: a,``b`]로 나타내어라.

64 [eqn: 3^a =x], [eqn: 3^b =y], [eqn: 3^c =z`]일 때, [eqn: log _{`xy`} y ^{2} z ^{3}]을 [eqn: a],[eqn: b],[eqn: c]로 나타내면? (단,[eqn: abc!=0])

① [eqn: bc over{a＋b}]              ② [eqn: 6bc over{a＋b}]

③  [eqn: {2b＋3c}over{a＋b}]           ④ [eqn: {a＋b}over6bc]

⑤ [eqn: a＋b over{2b＋3c}]

65 양수 [eqn: a,``b`]에 대하여 [eqn: a^m =b^n =5]일 때, [eqn: log` _{ab`} `b ^{2}]을 [eqn: m,``n`]으로 나타내면?(단, [eqn: a b!=1])

①[eqn: 2m over {m+n}]           ② [eqn: 2n over {m+n}]

③ [eqn: mn over {m+n}]           ④[eqn: 2mn over {m+n}]

⑤ [eqn: {m-n} over {m+n}]

66 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변의 길이 [eqn: a,~b,~c] 사이에     [eqn: log _{c} ``(a+b)+log _{c} ``(a-b)=2]
인 관계가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? (단, [eqn: a>b], [eqn: c!=1])

① 직각이등변삼각형

② [eqn: a=c]인 이등변삼각형
③ [eqn: b=c]인 이등변삼각형

④ [eqn: rm∠A=90DEG]인 직각삼각형
⑤ [eqn: RM∠C=90DEG]인 직각삼각형

67 [eqn: rmbarAB = 3], [eqn: rmbarAC =2]인 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm∠A]의 이등분선이 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하면 [eqn: {rmbarBD} = log_3``x], [eqn: {rmbarCD} = log_9``y]이다. 양수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x=y^k]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

68  양수 [eqn: a],[eqn: b]에 대하여 [eqn: a^3 b^2 =1]일 때, [eqn: log _{`a} `a ^{5} b ^{3}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a!=1])

① [eqn: {1} over {2} ``]            ② [eqn: 1`]            ③ [eqn: {3} over {2} ``]
④ [eqn: 2``]             ⑤ [eqn: {5} over {2} ``]

69 [eqn: log_a ``x=3], [eqn: log_b ``x=5]일 때, [eqn: log _{`ab} ``x]의 값은? (단, [eqn: a b!=1])

① [eqn: 7 over 4]            ② [eqn: 15over 8]            ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 17 over 8]           ⑤ [eqn: 9 over4]

70 두 양수 [eqn: x`,``y`]에 대하여
[eqn: log_2 ``x+log_4 ``y^2 =2]
가 성립 할 때, [eqn: 4 ^{log _{2} ``x} TIMES 2 ^{log _{sqrt {2}} ``y}]의 값을 구하여라.

71 [eqn: 1``]이 아닌 세 양수 [eqn: a`,`b`,`c``]에 대하여 [eqn: abc=1``]일 때, [eqn: log _{a} b+log _{b}a+log _{b} c+log _{c}b+log _{c} a+log _{a} c]의 값은?

① [eqn: -3``]           ② [eqn: -1``]           ③ [eqn: 0``]
④ [eqn: 1``]             ⑤ [eqn: 3``]

72 [eqn: 1]보다 큰 세 실수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: log_a``b ``:``log_c``b ``=``1``:``3]일 때, [eqn: log_a``c+ log_c``a]의 값을 구하여라.

73 [eqn: 32^x =243^y =216`]일 때, [eqn: 1over x + 1over y]의 값은?

①[eqn: 1over2]           ②[eqn: 3over5]           ③ [eqn: 1]
④[eqn: 5over3]           ⑤ [eqn: 2]

74 [eqn: 10^a =125], [eqn: 2^b =625]일 때, [eqn: 3 over a - 4 over b]의 값은?

75 이차방정식 [eqn: x^2 -5x+1=0]의 두 근이 [eqn: {log_2}a], [eqn: {log_2}b]일 때, [eqn: {log_a}b＋{log_b}a]의 값을 구하여라.

76 이차방정식 [eqn: x ^{2} -9x+1=0``]의 두 근을 [eqn: alpha ,`` beta ```]라 할 때, [eqn: log _{alpha + beta } `` LEFT ( alpha + {1} over {beta } +1 RIGHT ) +log _{alpha + beta } ` LEFT ( beta + {1} over {alpha } +1 RIGHT ) `````]의 값은?

① [eqn: 2``]                ② [eqn: log` _{3} ` sqrt {13`} ``]

③ [eqn: log` _{3} `16``]           ④ [eqn: log` _{3} ` sqrt {23`} ``]

⑤ [eqn: 3``]

수학Ⅱ	Ⅳ. 지수와 로그		2. 로그			반 / 번호
	02 상용로그					이름

01 [eqn: 5 ^{n}]이 40자리의 수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값은? (단, log2=0.3010)

① 52          ② 53          ③ 54

④ 55          ⑤ 56

02 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수를 [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]라고 할 때, [eqn: log`a+ LEFT [ `log`a RIGHT ] =4.2201]을 만족하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오. (단, log1.66=0.2201)

03 어느 지역에서 1년 동안 발생하는 규모 [eqn: M] 이상인 지진의 평균 발생 횟수 [eqn: N]은 다음 식을 만족한다고 한다.log[eqn: N]=[eqn: a]-0.9[eqn: M](단, [eqn: a]는 양의 상수)

이 지역에서 규모 4 이상인 지진이 1년에 평균 64번 발생할 때, 규모 [eqn: x] 이상인 지진은 1년에 평균 한 번 발생한다. 9[eqn: x]의 값을 구하시오. (단, log2=0.3으로 계산한다.)

04 박테리아의 수가 두 배로 늘어나는 데 걸리는 시간을 배증시간이라고 한다. 어느 박테리아의 배증시간은 냉장 보관할 경우 12시간이다. 냉장 보관된 이 박테리아의 수가 초기 박테리아 수의 20000배 이상이 되려면 적어도 며칠이 경과해야 하는가? (단, log2=0.3으로 계산한다.)

① 6일          ② 8일          ③ 10일

④ 12일         ⑤ 14일

05 어느 수영장의 물을 소독하기 위해 염소(Cl[eqn: {} _{2}])를 투여하는데 염소의 농도가 0.4 mg/L 이상일 때에만 살균 효과가 있다고 한다. 투여한 염소의 농도를 [eqn: C _{0}], 염소를 투여한 지 t시간 후 수영장 물의 염소의 농도를 [eqn: C]라고 하면

[eqn: C]=[eqn: C _{0} CDOT 2 ^{-kt}]([eqn: k]는 양의 상수)

의 관계식이 성립한다. 이 수영장에 농도가 0.8   mg/L인 염소를 넣었더니 살균 효과가 12시간 동안 지속되었을 때, 농도가 1.2 mg/L인 염소를 넣으면 살균 효과는 약 몇 시간 동안 지속되는가? (단, log 2=0.3010, log 3=0.4771)

① 17시간       ② 18시간       ③ 19시간

④ 20시간       ⑤ 21시간

06 지반의 상대밀도를 구하기 위하여 지반에 시험기를 넣어 조사하는 방법이 있다. 지반의 유효수직응력을 [eqn: S], 시험기가 지반에 들어가면서 받는 저항력을 [eqn: R]라고 할 때, 지반의 상대밀도 [eqn: D](%)는 다음과 같이 구할 수 있다고 한다.

[eqn: D]=[eqn: -98+66log {R} over {sqrt {S}}]

(단, [eqn: S]와 [eqn: R]의 단위는 metric ton/[eqn: rmm ^{2}]이다.)

지반 A의 유효수직응력은 지반 B의 유효수직응력의 1.44배이고, 시험기가 지반 A에 들어가면서 받는 저항력은 시험기가 지반 B에 들어가면서 받는 저항력의 1.5배이다. 지반 B의 상대밀도가 65(%)일 때, 지반 A의 상대밀도(%)는? (단, log 2=0.3으로 계산한다.)

① 81.5          ② 78.2          ③ 74.9

④ 71.6          ⑤ 68.3

07 15 %의 소금물 400 g이 있다. 여기에서 80g의 소금물을 퍼내고 같은 양의 물을 부어 넣는 시행을 반복할 때, 최소한 몇 번의 시행을 해야 소금물의 농도가 1 % 이하가 되는가? (단, log 2=0.3010, log 3=0.4771)

① 11          ② 12          ③ 13

④ 14          ⑤ 15

08 어느 지역에서 1년 동안 발생하는 규모 [eqn: M] 이상인 지진의 평균 발생 횟수 [eqn: N]은 다음식을 만족한다고 한다.

log[eqn: N]=[eqn: a]-0.9[eqn: M](단, [eqn: a]는 양의 상수)

이 지역에서 규모 4 이상인 지진이 1년에 평균 64번 발생할 때, 규모 [eqn: x] 이상인 지진은 1년에 평균 한 번 발생한다. 9[eqn: x]의 값을 구하시오. (단, log2=0.3으로 계산한다.)

09 박테리아의 수가 두 배로 늘어나는 데 걸리는 시간을 배증시간이라고 한다. 어느 박테리아의 배증시간은 냉장 보관할 경우 12시간이다. 냉장 보관된 이 박테리아의 수가 초기 박테리아 수의 20000배 이상이 되려면 적어도 며칠이 경과해야 하는가? (단, log2=0.3으로 계산한다.)

① 6일       ② 8일       ③ 10일       ④ 12일  ⑤ 14일

10 어느 수영장의 물을 소독하기 위해 염소 (Cl[eqn: {} _{2}])를 투여하는데 염소의 농도가 0.4 mg/L 이상일 때에만 살균 효과가 있다고 한다. 투여한 염소의 농도를 [eqn: C _{0}], 염소를 투여한 지 t시간 후 수영장 물의 염소의 농도를 [eqn: C]라고 하면 [eqn: C]=[eqn: C _{0} CDOT 2 ^{-kt}]([eqn: k]는 양의 상수)의 관계식이 성립한다. 이 수영장에 농도가 0.8 mg/L인 염소를 넣었더니 살균 효과가 12시간 동안 지속되었을 때, 농도가 1.2 mg/L인 염소를 넣으면 살균 효과는 약 몇 시간 동안 지속되는가?(단, log 2=0.3010, log 3=0.4771)

① 17시간            ② 18시간           ③ 19시간

④ 20시간            ⑤ 21시간

11 어떤 용기에 물이 담겨있다. 이 용기에 있는 물의 양은 전날 같은 시각의 물의 양의 [eqn: 90]%라고 한다. 이와 같은 추세로 물의 양이 줄어들 때, 남아 있는 물의 양이 현재의 절반 이하가 되려면 최소한 며칠이 걸리겠는가? (단, [eqn: log 2 = 0.3010], [eqn: log 3 = 0.4771])

① [eqn: 5]일

② [eqn: 6]일

③ [eqn: 7]일

④ [eqn: 8]일

⑤ [eqn: 9]일

12 전파가 어떤 벽을 투과할 때 전파의 세기가 [eqn: rm A``]에서 [eqn: rm B``]로 바뀌면, 그 벽의 전파감쇄비 [eqn: rm F``]는       [eqn: rm F = 10 `log LEFT( B over A RIGHT) ~ (데시벨)] 로 정의한다. 전파감쇄비가 [eqn: -7``(데시벨)]인 벽을 투과한 전파의 세기는 투과하기 전 세기의 몇 배인가? (단, [eqn: 10^{3 over 10}`=`2] 로 계산한다.)

① [eqn: 1 over 10]          ② [eqn: 1 over 5]          ③ [eqn: 3 over 10]

④ [eqn: 1 over 2]          ⑤ [eqn: 7 over 10]

13 어느 학생이 찢어진 노트에 적혀 있는 다음 수식의 진행 과정을 보고 이 학생이 무엇을 증명하려고 했는지 추측한다면?

① [eqn: log2]는 무리수이다.

② [eqn: n over m]은 기약분수이다.

③ [eqn: log_a b=x`]라 하면 [eqn: a^x =b`]이다.

④ [eqn: log2]는 [eqn: 10^{ n over m }]꼴의 수가 아니다.

⑤ [eqn: 5^n`]은 홀수이고 [eqn: 2^m-n`]은 짝수이므로 서로 같을 수 없다.

14 빛이 통과하면 밝기가 [eqn: 6%] 줄어드는 유리판이 있다. 밝기를 반 이하가 되도록 하려면 최소한 몇 장의 유리판을 통과시켜야 하는가? (단,[eqn: log 9.4 = 0.9731], [eqn: log2 = 0.3010])

① [eqn: 10]          ② [eqn: 11]          ③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]          ⑤ [eqn: 14]

15 어떤 폐수 처리 기계를 통과하면 오염 물질의 [eqn: 10`` %``]가 제거된다고 한다. 폐수를 이 기계에 [eqn: 10``]번 반복하여 통과시킬 때, 남아있는 오염 물질의 양은 처음의 몇[eqn: `%``]인지 구하시오. (단,[eqn: `log`` 3.483 `=`0.5420 ,`` log ``3 `=`0.4771`])

16 어떤 산업에서 노동의 투입량을 [eqn: x`], 자본의 투입량을 [eqn: y`]라 할 때, 그 산업의 생산량 [eqn: z`]는 다음과 같다. [eqn: z = 2`x^alpha `y^1-alpha] ([eqn: alpha`]는 [eqn: 0 `<` alpha `<` 1]인 상수) 자료에 의하면 [eqn: 1993`]년도의 노동 및 자본의 투입량은 [eqn: 1980`]년도 보다 각각 [eqn: 4`]배와 [eqn: 2`]배이고, [eqn: 1993`]년도 산업 생산량은 [eqn: 1980`]년도 산업 생산량의 [eqn: 2.5`]배이다. 이 사실로부터 상수 [eqn: alpha`]의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하면? (단, [eqn: log_10 `2 = 0.30])

① [eqn: 0.50]           ② [eqn: 0.33]

③ [eqn: 0.25]           ④ [eqn: 0.20]

⑤ [eqn: 0.10]

17 컴퓨터 중앙처리장치의 속도는 [eqn: 1985``]년 [eqn: 1 rm MHz``]였던 것이 매 [eqn: 3``]년마다 약 [eqn: 4``]배의 비율로 빨라지고 있다. 한 연구에 의하면, 현재 기술로 이와 같은 발전을 지속할 수 있는 중앙처리장치 속도의 한계는 약 [eqn: 4,000 rm MHz``]라고 한다. 이 연구에서 현재 기술이 한계에 도달할 것으로 예측되는 해는? (단, [eqn: rm MHz``]는 중앙처리장치 속도의 단위이며, [eqn: log 2 `=` 0.3``]으로 계산한다.)

① [eqn: 2003``]년          ② [eqn: 2006``]년

③ [eqn: 2009``]년          ④ [eqn: 2012``]년

⑤ [eqn: 2024``]년

18 [eqn: 15%]의 소금물 [eqn: 300]g이 있다. 여기서 [eqn: 60]g의 소금물을 퍼내고 같은 양의 물을 부어 넣는다. 이러한 시행을 반복할 때, 최소한 몇 번의 시행을 해야 농도가 [eqn: 1%] 이하가 되는가? (단, [eqn: log2 = 0.3010 ,~log3 = 0.4771])

① [eqn: 10]번          ② [eqn: 11]번

③ [eqn: 12]번          ④ [eqn: 13]번

⑤ [eqn: 14]번

19 경기 침체로 인하여 한 중소 기업의 [eqn: 1998``]년도 매출은 [eqn: 1997``]년도에 비하여 [eqn: 50``%``]가 감소할 것으로 예상된다. [eqn: 1998``]년도 예상 매출을 기준으로 매년 일정한 비율로 매출이 증가하여 [eqn: 10``]년 후에는 [eqn: 1997``]년도 매출의 [eqn: 2``]배가 되려면 이 중소 기업의 매출은 매년 몇 [eqn: %``]씩 증가해야 하는가? (단, [eqn: log`2 `=` 0.30`], [eqn: log` 1.12 `=` 0.05`], [eqn: log ` 1.15 `=`][eqn: 0.06`], [eqn: log ` 1.17 `=` 0.07``]로 계산하시오.)

① [eqn: 11``%`]          ② [eqn: 12``%`]

③ [eqn: 13``%`]          ④ [eqn: 14``%`]

⑤ [eqn: 15``%`]

20 어떤 물질의 양이 반으로 줄어드는 데 걸리는 시간을 반감기라고 한다. 현재의 질량을 [eqn: a`], 반감기를 [eqn: h`]년이라 할 때, [eqn: t`]년 후에 남아 있는 물질의 양 [eqn: m`]은 [eqn: m=a․2^{ - t over h }``]인 관계가 성립한다. 반감기 [eqn: h`]년인 어떤 물질 [eqn: a`][eqn: g`]이 [eqn: m`][eqn: g`]으로 변하려면 몇 년이 지나야 하는가?

① [eqn: h over log2 ․ log m over a`]

② [eqn: h over log2 ․ log a over m`]

③ [eqn: h over log2 ․ loga over logm`]

④ [eqn: log2 over h ․ log m over a`]

⑤ [eqn: log2 over h ․ log a over m`]

21 지진의 에너지 [eqn: E``]와 지진의 규모 [eqn: M``]사이에는 다음의 관계식이 성립한다고 한다.
[eqn: log`E ``=11.8+1.5M``]
이 때, 규모가 [eqn: 5`]인 지진의 에너지는 규모가 [eqn: 4`]인 지진의 에너지의 몇 배인가?

① [eqn: root10]          ② [eqn: 10]          ③ [eqn: 10root10]
④ [eqn: 100]           ⑤ [eqn: 100root10`]

22 [eqn: rmpH]는 용액 [eqn: rm1``L]속에 존재하는 수소 이온 농도 [eqn: rm[H^+ ]]의 역수의 상용로그값으로 정의한다. 즉, [eqn: rmpH=log{1over {[rmH^+ ]}}]이다. 빗물의 [eqn: rmpH``]가 [eqn: 1`]만큼 증가하면 빗물의 수소 이온 농도는 [eqn: rmpH``]가 증가하기 전의 몇 배가 되는지 구하여라.

23 소리의 세기를 [eqn: I], 사람이 들을 수 있는 최소 소리의 세기를 [eqn: I_0]이라 할 때, 소리의 크기 [eqn: D]는
[eqn: D=10`log``{I overI_0 (rmdB)]
로 나타낼 수 있다. 일상적인 대화 소리의 크기는 [eqn: rm60dB],구급차의 사이렌 소리의 크기는 [eqn: rm120dB]이라 할 때, 사이렌 소리의 세기는 일상적인 대화 소리의 세기의 몇 배인가?

① [eqn: 2]          ② [eqn: 4]          ③ [eqn: 100]
④ [eqn: 10^6]          ⑤ [eqn: 10^12]

24 별의 등급 [eqn: m`]과 별의 밝기 [eqn: I``] 사이에는
[eqn: m= - 5over2 `log`I +C``] ( [eqn: C``]는 상수)
의 관계가 성립한다. 이 때, [eqn: 2`]등성인 별의 밝기는 [eqn: 5`]등성인 별의 밝기의 몇 배인지 구하여라. [eqn: LEFT ( ``단,~root 5 of 100 = 5 over2 RIGHT )``]

25 어느 산유국에서 매년 일정한 비율로 산유량을 증가시켜 [eqn: 20`]년 후의 산유량이 올 해 산유량의 [eqn: 2`]배가 되도록 하려고 한다. 이 나라에서 산유량을 매년 몇 [eqn: %`]씩 증가시켜야 하는가? (단, [eqn: log`1.035=0.015`], [eqn: log`2 =0.3`]으로 계산한다.)

① [eqn: 2.9]          ② [eqn: 3.1]          ③ [eqn: 3.3]
④ [eqn: 3.5]          ⑤ [eqn: 3.7]

26 어느 도시의 인구가 매년 일정한 비율로 증가하여 [eqn: 15`]년 만에 [eqn: 3`]배가 되었다. [eqn: 15`]년 동안 이 도시의 인구는 매년 몇 [eqn: %`]씩 증가하였는지 구하여라.(단, [eqn: log`1.077=0.032`], [eqn: log`3=0.48`]로 계산한다.)

27 어느 휴대폰 관련 제조업체의 [eqn: 1998`]년 매출액은 [eqn: 10`]억 원이었는데, 그 후 매출액이 일정한 비율로 증가하여 [eqn: 2006`]년의 매출액은 [eqn: 100`]억 원이 되었다고 한다. 이 회사의 매출액은 매년 몇 [eqn: %`]씩 증가하였는지 구하여라. (단, [eqn: log`1.33=0.125`]로 계산한다.)

28 일정한 온도에서 어느 세균을 배양하면 [eqn: 10]분마다 그 수가 세 배로 증가한다고 한다. 이 세균 [eqn: 10]마리를 일정한 온도에서 배양하면 [eqn: 3]시간 후 세균은 [eqn: 10^k]마리가 된다. 이때 [eqn: k]의 값을 구하여라. (단, [eqn: log``3=0.5]로 계산한다.)

29 먼지의 [eqn: 70%]를 걸러 내는 공기 정화 필터가 있다. 이 공기 정화 필터를 [eqn: 7]겹으로 장치한 공기 청정기에 일정한 양의 먼지를 유입시킬 때, 먼지의 몇 [eqn: %]가 통과 하는가? (단, [eqn: log3=0.48,```log2.3=0.36]로 계산한다.)

① [eqn: 0.3]          ② [eqn: 0.23]          ③ [eqn: 0.03]
④ [eqn: 0.023]          ⑤ [eqn: 0.003]

30 어느 도시의 [eqn: 10`]년 전의 인구는 [eqn: A`]명이었는데, 그 후 [eqn: 5`]년 동안은 [eqn: 10`%`]씩 인구가 감소하고, 그 다음 [eqn: 5`]년 동안은 매년 [eqn: 10`%`]씩 인구가 증가하여 현재의 인구는 [eqn: 10`]년 전의 인구의 [eqn: k`]배가 되었다. 이 때, [eqn: k`]의 값을 구하여라. (단,[eqn: log`9.55=0.98`], [eqn: log`9.9=0.996`]으로 계산한다.)

수학Ⅱ	Ⅳ. 지수와 로그		2. 로그			정답
	01 로그의 뜻과 성질

01  [eqn: 12]

답

해

설

밑의 조건에서 [eqn: 7-x>0,```7-x != 1]

[eqn: x<7,```x != 6``````````` THEREFORE x<6] 또는 6<[eqn: x]<7  [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

진수의 조건에서  [eqn: x+3>0]

[eqn: THEREFORE ``x>-3]     [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

[eqn: -3<x<6] 또는 [eqn: 6<x<7]

따라서 정수 [eqn: x]는 -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5이므로

그 합은　(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5=12

02  [eqn: 48]

답

해

설

[eqn: log _{3} 2=a,````log _{3} 4=b,````log _{3} 6=c에서# 3 ^{a} =2,````3 ^{b} =4,`3 ^{c} =6# THEREFORE 3 ^{a+b+c} =3 ^{a} `·``3 ^{b} `·``3 ^{c} =2`·`4`·`6=48]

03  ④

답

[eqn: log _{2} 4-log _{3} {1} over {9} =log _{2} 2 ^{2} -log _{3} 3 ^{-2} =2- LEFT ( -2 RIGHT ) =4]

해

설

04  [eqn: 8]

답

해

설

[eqn: 6 ^{100} 이````78자리의`````수이므로`````77 LEQ log6 ^{100} <78# THEREFORE ```0.77 LEQ log6<0.78# 이때,````10 TIMES 0.77 LEQ 10log6<10 TIMES 0.78에서# 7.7 LEQ log6 ^{10} <7.8# 따라서````log6 ^{10} 의````지표가````7이므로]

[eqn: 6 ^{10} 은````8자리의````수이다.]

05  ①

답

해

설

ㄱ. 밑의 조건에서

[eqn: a ^{2} -a+2= LEFT ( a- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {7} over {4} >1]

진수의 조건에서 [eqn: a ^{2} +1>0]

따라서 항상 로그를 정의할 수 있다.

ㄴ. (반례) [eqn: a=0]일 때, 밑이 [eqn: 2 LEFT | a RIGHT | +1=1]이므로 로그를 정의할 수 없다.

ㄷ. (반례) [eqn: a=1]일 때, 진수가 [eqn: a ^{2} -2a+1=0]이      므로 로그를 정의할 수 없다.

따라서 실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 로그를 정의할 수 있는 것은 ㄱ이다.

06  ④

답

해

설

밑의 조건에서　[eqn: a]-5>0, [eqn: a]-5[eqn: !=]1

[eqn: a]>5, [eqn: a][eqn: !=]6 [eqn: THEREFORE]5<[eqn: a]<6 또는 [eqn: a]>6       [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

진수의 조건에서　[eqn: x ^{2}]+[eqn: a][eqn: x]+3[eqn: a]>0

위의 이차부등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 하므로 [eqn: D=a ^{2} -4·3a<0,`a LEFT ( a-12 RIGHT ) <0]

[eqn: THEREFORE]0<[eqn: a]<12                           [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면　5<[eqn: a]<6 또는

6<[eqn: a]<12

따라서 정수 [eqn: a]는 7, 8, 9, 10, 11이므로 5개이다.

07  ①

답

해

설

[eqn: a=log _{4} LEFT ( 3- sqrt {8} RIGHT )]에서 로그의 정의에 의하여

[eqn: 4 ^{a} =3- sqrt {8} ,` LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{a} =3-2 sqrt {2} 이므로# 2 ^{a} = sqrt {3-2 sqrt {2}} = sqrt {2} -1# 2 ^{-a} = {1} over {2 ^{a}} = {1} over {sqrt {2} -1} = sqrt {2} +1# THEREFORE 2 ^{a} +2 ^{-a} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) + LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT ) =2 sqrt {2}]

08  [eqn: 15]

답

해

설

[eqn: log _{2} x+log _{4} ` {1} over {x} =log _{2} `x+log _{2 ^{2}} x ^{-1}]

[eqn: =log _{2} x- {1} over {2} `log _{2} ``x]

[eqn: = {1} over {2} `log _{2} `x]

따라서 [eqn: {1} over {2} `log _{2} x]=5에서 [eqn: log _{2} x=10]

∴ [eqn: x=2 ^{10}]

∴ [eqn: log _{4} x-log _{2} ` {1} over {x} = {1} over {2} `log _{2} x+log _{2} x= {3} over {2} `log _{2} x]

[eqn: = {3} over {2}{rm log} _{2} 2 ^{10}]‚[eqn: {3} over {2} CDOT 10=15]

09  ①

답

해

설

[eqn: ab ^{3} =1에서``````a=b ^{-3}# THEREFORE ````log _{b} a ^{4} b ^{-5} =4 log _ b a-5# `````````````````````````````````````````````=4log _{b} b ^{-3} -5# `````````````````````````````````````````````=-12-5=-17]

10  [eqn: 143]

답

해

설

[eqn: a ^{2} =b ^{3} 에서`````b=a ^{{2} over {3}}# b ^{3} =c ^{5} 에서``````c=b ^{{3} over {5}}# a ^{2} =c ^{5} 에서`````a=c ^{{5} over {2}}# THEREFORE `log _{a} b+log _{b} c+log _{c} a=log _{a} a ^{{2} over {3}} +log _{b} b ^{{3} over {5}} +log _{c} c ^{{5} over {2}}# `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= {2} over {3} + {3} over {5} + {5} over {2} = {113} over {30}# p=30,`q=113이므로`````p+q=143]

11  ②

답

해

설

[eqn: log _{10} LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) +log _{10} LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+log _{10} LEFT ( 1- {1} over {10} RIGHT )# =log _{10} {1} over {2} +log _{10} {2} over {3} +` CDOTS `+log _{10} {9} over {10}# =log _{10} LEFT ( {1} over {2} TIMES {2} over {3} TIMES ` CDOTS ` TIMES {9} over {10} RIGHT )# =log _{10} {1} over {10} =log _{10} 10 ^{-1} =-log _{10} 10=-1]

12  ④

답

해

설

[eqn: log _{a} c:log _{b} c=2:1에서```log _{a} c=2log _{b} c# # 이때, {1} over {log _{c} a} = {2} over {log _{c} b} 이므로``` {log _{c} b} over {log _{c} a} =log _{a} b=2# # THEREFORE `log _{a} b+log _{b} a=log _{a} b+ {1} over {log _{a} b}# # ````````````````````````````````````````````````````=2+ {1} over {2} = {5} over {2}]

13  ②

답

해

설

[eqn: {1} over {log _{a} x} = {1} over {log _{2} x} + {1} over {log _{3} x} + {1} over {log _{5} x} 에서# log _{x} a=log _{x} 2+log _{x} 3+log _{x} 5]

[eqn: =log _{x} LEFT ( 2`·`3`·`5 RIGHT ) =log _{x} 30]

[eqn: THEREFORE a=30]

14   ④

답

해

설

[eqn: ㄱ.`3 ^{log _{3} 10-log _{3} 7} =3 ^{log _{3} {10} over {7}} = {10} over {7} ` LEFT ( 거짓 RIGHT )# ㄴ.`log _{2} 5+2log _{2} 3-log _{2} 6# ````````````=log _{2} 5+log _{2} 3 ^{2} -log _{2} 6# ````````````=log _{2} LEFT ( {5`·`9} over {6} RIGHT ) =log _{2} {15} over {2}# ```````````` THEREFORE ```2 ^{log _{2} 5+log _{2} 3-log _{2} 6} =2 ^{log _{2} {15} over {2}} = {15} over {2} ```` LEFT ( 참 RIGHT )# ㄷ.`5 ^{log _{5} 1+log _{5} 2+log _{5} 3+log _{5} 4+log _{5} 5} =5 ^{log _{5} LEFT ( 1`·`2`·`3`·`4`·`5 RIGHT )}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=5 ^{log _{5} 120} =120```` LEFT ( 참 RIGHT )]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

15  [eqn: 10]

답

해

설

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: log _{3} a+log _{3} b=7,`log _{3} a·log _{3} b=7# THEREFORE `log _{a} b ^{2} +log _{b} a ^{2}# ````````= {2log _{3} b} over {log _{3} a} + {2log _{3} a} over {log _{3} b}# ````````= {2 LEFT { LEFT ( log _{3} a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{3} b RIGHT ) ^{2} RIGHT }} over {log _{3} a·log _{3} b}# ````````= {2 LEFT { LEFT ( log _{3} a+log _{3} b RIGHT ) ^{2} -2log _{3} a·log _{3} b RIGHT }} over {log _{3} a·log _{3} b}# ````````= {2 LEFT ( 7 ^{2} -2 cdot 7 RIGHT )} over {7} =10]

16  ②

답

해

설

[eqn: sqrt {2} -1= LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT ) ^{-1}]

[eqn: sqrt {2} +1= LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{-1} 이므로]

[eqn: log _{sqrt {2} +1} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) -log _{sqrt {2} -1} LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT )]

[eqn: =log _{sqrt {2} +1} LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT ) ^{-1} -log _{sqrt {2} -1} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{-1}# =-1- LEFT ( -1 RIGHT ) =0]

17  ④

답

해

설

[eqn: A= LEFT ( 3 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{log _{3} 2} =3 ^{log _{3} sqrt {2}} = sqrt {2}# B= {log16} over {log5} `·` {log25} over {log4} = {2log4} over {log5} `· {2log5} over {log4} =4# C=log _{2 ^{2}} 2+log _{3 ^{2}} 3= {1} over {2} `log _{2} 2+ {1} over {2} `log _{3} 3=1# THEREFORE C<A<B]

18  ⑤

답

해

설

[eqn: log _{2} sqrt {3 sqrt {3}} =log _{2} 3 ^{{1} over {2} + {1} over {4}} = {3} over {4} `log _{2} 3= {3} over {4} a# log _{6} sqrt {3 sqrt {3}} = {log _{2} sqrt {3 sqrt {3}}} over {log _{2} 6} = {log _{2} sqrt {3 sqrt {3}}} over {log _{2} 2+log _{2} 3}# `````````````````````````````````````````= {{3} over {4} a} over {1+a} = {3} over {4} a`·` {1} over {a+1}# THEREFORE log _{2} sqrt {3 sqrt {3}} -log _{6} sqrt {3 sqrt {3}} = {3} over {4} a LEFT ( 1- {1} over {a+1} RIGHT )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= {3a ^{2}} over {4 LEFT ( a+1 RIGHT )}]

19  ③

답

해

설

[eqn: log _{a} b=x,```log _{b} c=y,```log _{c} a=z라고````하면# x+y+z= {1} over {2}# log _{b} a+log _{c} b+log _{a} c= {1} over {x} + {1} over {y} + {1} over {z} =- {5} over {2} 에서# {xy+yz+zx} over {xyz} =- {5} over {2} `````````````` THEREFORE ``xy+yz+zx=- {5} over {2}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````` LEFT ( BECAUSE ``xyz=log _{a} b``·``log _{b} c``·``log _{c} a=1 RIGHT )# THEREFORE `` LEFT ( log _{a} b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{b} c RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{c} a RIGHT ) ^{2}# ````````=x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} = LEFT ( x+y+z RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( xy+yz+zx RIGHT )# ````````= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -2``·`` LEFT ( - {5} over {2} RIGHT ) = {21} over {4}]

20  [eqn: 540]

답

해

설

[log[eqn: pn]]은 log[eqn: pn]의 지표이고, [log[eqn: n]]은 log[eqn: n]의 지표이므로 [log[eqn: pn]]=[log[eqn: n]]+2가 성립하려면 [eqn: pn]의 자릿수가 [eqn: n]의 자릿수보다 2만큼 커야 한다.

(i) [eqn: n]=5일 때, [eqn: p TIMES]5의 자릿수는 3이므로

100[eqn: LEQ]5[eqn: p]<1000, 20[eqn: LEQ][eqn: p]<200

따라서 자연수 [eqn: p]의 개수는　[eqn: f](5)=180

(ii) [eqn: n]=25일 때, [eqn: p][eqn: TIMES]25의 자릿수는 4이므로

1000[eqn: LEQ]25[eqn: p]<10000, 40[eqn: LEQ][eqn: p]<400

따라서 자연수 [eqn: p]의 개수는　[eqn: f](25)=360

(i), (ii)에서　[eqn: f](5)+[eqn: f](25)=180+360=540

21  ⑤

답

해

설

[eqn: 주어진```식에서 ``` log {2a ^{2} +b ^{2}} over {a+2b} =log LEFT ( a+b RIGHT ) 이므로# {2a ^{2} +b ^{2}} over {a+2b} =a+b,`2a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a+2b RIGHT )# 2a ^{2} +b ^{2} =a ^{2} +3ab+2b ^{2} ,`a ^{2} -3ab-b ^{2} =0# 양변을```b ^{2} 으로```나누면````` LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{2} -3 LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) -1=0# THEREFORE {a} over {b} = {3± sqrt {13}} over {2}# a>0,`b>0에서 ``` {a} over {b} >0이므로````` {a} over {b} = {3+ sqrt {13}} over {2}]

22  [eqn: -2]

답

해

설

[eqn: log`_{1overa}`{a^2} ``=``log`_{a^-1}``{a^2} ``=``- 2over1 ``log`_a`a ``=``-2]

23  [eqn: -3]

답

해

설

[eqn: log`_{1over5 } `125 ``=``log`_{5^-1}``{5^3}``=``-3]

24  [eqn: ②]

답

해

설

[eqn: 2^{log`_3`5}``=``X]라 하면

[eqn: log`_{3} `X=``log` _{3} ``2 ^{log` _{3} `5} ``=``log` _{3} `5 CDOT log` _{3} `2# ```````````````````````=``log`_3`2 cdot log`_3`5 ``=``log` _{3} ``5 `^{log` _{3} `2}]

[eqn: therefore ``X``=``5`^{log`_3 2} ~~~ therefore ``2`^{log`_3`5}``=``5`^{log`_3`2}]

25  [eqn: 6]

답

해

설

[eqn: (`log`_2`a`+`2``log`_4`b`)`log`_rootab``8` #~=``(`log`_2`a`+`log`_2`b`)`log`_ab`8^2 #~=``log`_2`ab cdot log`_ab`8^2 ``=``log`_2`2^6 ``=``6]

26  [eqn: {2(4a+b)}over{3(2a+b)}]

답

해

설

[eqn: log` _{sqrt {12}} `` root {3} of {48} `` & =`` {log` _{10} ` root {3} of {48}} over {log` _{10} ` sqrt {12}} ``=`` {2`log` _{10} `(`2 ^{4} CDOT 3`)} over {3`log` _{10} `(2 ^{2} CDOT 3`)}# ``` & =``{2`(4``log`_10 `2``+``log`_10``3)} over {3`(2``log`_10 `2``+``log`_10``3)}``=``{2(`4a`+`b`)}over{3`(`2a`+`b`)}]

27  [eqn: C`<`B`<`A]

답

해

설

각각에 [eqn: log~]를 취하면

[eqn: log`A``=``35``log`2```=``35 ` times `0.3010``=``10.535]

[eqn: log`B``=``13``log`5``=``13`times `(1`-`log`2`)## ~~```~~=`13`times `0.6990 ``=``9.087]

[eqn: log`C``=``11``log``6``=``11`(`log`2`+`log`3`)# # ~~```~~=``11` TIMES `0.77814``=``8.5591]

[eqn: THEREFORE``A``>``B````>``C]

28  [eqn: B`<`A`<`C]

답

해

설

각각에 [eqn: log~]를 취하면

[eqn: log `A``=``1over7`log `B``=``3over7`log`2``=``0.1290]

[eqn: log`B``=``1over6`log`5``=``1over6`(1-log`2)``=``0.1165]

[eqn: log`C``=``1over5`log`6 ``=``1over5`(`log`2`+`log`3`)``=``0.15562]

[eqn: therefore ``B`` `` <``A``<``C]

29  [eqn: A`≦`B]

답

해

설

[eqn: A``=``1over{log`_a `2} `+` 1over{log`_b`2} ``=``log`_2 `a`+`log`_2 `b``=``log`_2 `ab]

[eqn: B``=``2( 1over{log`_a+b``2}``-`1)``=``2`left{log`_2`(a+b)``-``log`_2``2 right}# ~~= `2`log`_2 `{a+b}over2 ``=``log`_2`( a+b over 2 )^2]

그런데 항상 [eqn: {a+b} over 2 ``>=``root ab]이므로 [eqn: ( a+b over2 )^2``>=``ab]

따라서, [eqn: B``>=``A]

30  [eqn: C`<`A`<`B]

답

해

설

[eqn: A``=``3^{``log`_3 ``2} ``=``2]

[eqn: B``=``1over{log`_2 `3}`+`1over{log`_3 `2} ``=``log`_3 `2`+``1over{log`_3 `2}``>``2]

[eqn: C``=``log`_4`2 ``+``log `_9``3 ``=``1over2 `+` 1over2`=`1]

[eqn: therefore C``<``A``<``B]

31  [eqn: R``≦`Q``≦`P]

답

해

설

[eqn: P``=`log `_10`{x+y} over 2 , ~~Q``=`log `_10 rootxy `,~~R``=`log `_10 `2xy over{x+y}]에서 진수를 비교하면

[eqn: 2xy over {x+y} ``<=`` rootxy `` <= ``{x+y} over2]이므로 [eqn: R``<=``Q``<=``P]

32  [eqn: root2]

답

해

설

(주어진 식)

[eqn: =log` _{a} b+ {1} over {log` _{a} b ^{2}} `=~log` _{a} b+ {1} over {2``log` _{a} b}## >=2` sqrt {log` _{a} b CDOT {1} over {2``log` _{a} b}} ````=```2 CDOT {1} over {sqrt {2}} ``=`` sqrt {2}]

33  ①

답

해

설

ㄱ. 밑의 조건에서 [eqn: a ^{2} -a+2= LEFT ( a- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {7} over {4} >1]

진수의 조건에서 [eqn: a ^{2} +1>0]

따라서 항상 로그를 정의할 수 있다.

ㄴ. (반례) [eqn: a=0]일 때, 밑이 [eqn: 2 LEFT | a RIGHT | +1=1]이므로 로그를 정의할 수 없다.

ㄷ. (반례) [eqn: a=1]일 때, 진수가 [eqn: a ^{2} -2a+1=0]이므로 로그를 정의할 수 없다.

따라서 실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 로그를 정의할 수 있는 것은 ㄱ이다.

34  ④

답

해

설

밑의 조건에서　[eqn: a]-5>0, [eqn: a]-5[eqn: !=]1

[eqn: a]>5, [eqn: a][eqn: !=]6 [eqn: THEREFORE]5<[eqn: a]<6 또는 [eqn: a]>6               [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

진수의 조건에서　[eqn: x ^{2}]+[eqn: a][eqn: x]+3[eqn: a]>0

위의 이차부등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 하

므로　[eqn: D=a ^{2} -4·3a<0,`a LEFT ( a-12 RIGHT ) <0]

[eqn: THEREFORE]0<[eqn: a]<12                                  [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면　5<[eqn: a]<6 또는 6<[eqn: a]<12

따라서 정수 [eqn: a]는 7, 8, 9, 10, 11이므로 5개이다.

35  15

답

해

설

[eqn: log _{2} x+log _{4} ` {1} over {x} =log _{2} `x+log _{2 ^{2}} x ^{-1} =log _{2} x- {1} over {2} `log _{2} ``x= {1} over {2} `log _{2} `x]

따라서 [eqn: {1} over {2} `log _{2} x]=5에서 [eqn: log _{2} x=10]

∴ [eqn: x=2 ^{10}]

∴ [eqn: log _{4} x-log _{2} ` {1} over {x} = {1} over {2} `log _{2} x+log _{2} x= {3} over {2} `log _{2} x]

[eqn: = {3} over {2}{rm log} _{2} 2 ^{10}]‚[eqn: {3} over {2} CDOT 10=15]

36  ①

답

해

설

[eqn: ab ^{3} =1에서``````a=b ^{-3}# THEREFORE ````log _{b} a ^{4} b ^{-5} =4 log _ b a-5# `````````````````````````````````````````````=4log _{b} b ^{-3} -5# `````````````````````````````````````````````=-12-5=-17]

37  143

답

해

설

[eqn: a ^{2} =b ^{3} 에서`````b=a ^{{2} over {3}}# b ^{3} =c ^{5} 에서``````c=b ^{{3} over {5}}# a ^{2} =c ^{5} 에서`````a=c ^{{5} over {2}}# THEREFORE `log _{a} b+log _{b} c+log _{c} a=log _{a} a ^{{2} over {3}} +log _{b} b ^{{3} over {5}} +log _{c} c ^{{5} over {2}}# `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= {2} over {3} + {3} over {5} + {5} over {2} = {113} over {30}# p=30,`q=113이므로`````p+q=143]

38  ②

답

해

설

[eqn: log _{10} LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) +log _{10} LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+log _{10} LEFT ( 1- {1} over {10} RIGHT )# =log _{10} {1} over {2} +log _{10} {2} over {3} +` CDOTS `+log _{10} {9} over {10}# =log _{10} LEFT ( {1} over {2} TIMES {2} over {3} TIMES ` CDOTS ` TIMES {9} over {10} RIGHT )# =log _{10} {1} over {10} =log _{10} 10 ^{-1} =-log _{10} 10=-1]

39  ④

답

해

설

[eqn: log _{a} c:log _{b} c=2:1에서```log _{a} c=2log _{b} c# # 이때, {1} over {log _{c} a} = {2} over {log _{c} b} 이므로``` {log _{c} b} over {log _{c} a} =log _{a} b=2# # THEREFORE `log _{a} b+log _{b} a=log _{a} b+ {1} over {log _{a} b}# # ````````````````````````````````````````````````````=2+ {1} over {2} = {5} over {2}]

40  ②

답

해

설

[eqn: {1} over {log _{a} x} = {1} over {log _{2} x} + {1} over {log _{3} x} + {1} over {log _{5} x} 에서# log _{x} a=log _{x} 2+log _{x} 3+log _{x} 5=log _{x} LEFT ( 2`·`3`·`5 RIGHT ) =log _{x} 30# THEREFORE a=30]

41  ④

답

해

설

[eqn: ㄱ.`3 ^{log _{3} 10-log _{3} 7} =3 ^{log _{3} {10} over {7}} = {10} over {7} ` LEFT ( 거짓 RIGHT )# ㄴ.`log _{2} 5+2log _{2} 3-log _{2} 6# ````````````=log _{2} 5+log _{2} 3 ^{2} -log _{2} 6# ````````````=log _{2} LEFT ( {5`·`9} over {6} RIGHT ) =log _{2} {15} over {2}# ```````````` THEREFORE ```2 ^{log _{2} 5+log _{2} 3-log _{2} 6} =2 ^{log _{2} {15} over {2}} = {15} over {2} ```` LEFT ( 참 RIGHT )# ㄷ.`5 ^{log _{5} 1+log _{5} 2+log _{5} 3+log _{5} 4+log _{5} 5} =5 ^{log _{5} LEFT ( 1`·`2`·`3`·`4`·`5 RIGHT )}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=5 ^{log _{5} 120} =120```` LEFT ( 참 RIGHT )]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

42  10

답

해

설

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: log _{3} a+log _{3} b=7,`log _{3} a·log _{3} b=7# THEREFORE `log _{a} b ^{2} +log _{b} a ^{2}# ````````= {2log _{3} b} over {log _{3} a} + {2log _{3} a} over {log _{3} b}# ````````= {2 LEFT { LEFT ( log _{3} a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{3} b RIGHT ) ^{2} RIGHT }} over {log _{3} a·log _{3} b}# ````````= {2 LEFT { LEFT ( log _{3} a+log _{3} b RIGHT ) ^{2} -2log _{3} a·log _{3} b RIGHT }} over {log _{3} a·log _{3} b}# ````````= {2 LEFT ( 7 ^{2} -2 cdot 7 RIGHT )} over {7} =10]

43  ⑤

답

[eqn: log _{`2} ` LEFT { log _{`3} LEFT ( log _{`2} ``x RIGHT ) RIGHT } =0``]에서
[eqn: log _{`3} LEFT ( log _{`2} ``x RIGHT ) =2 ^{0} =1``]
[eqn: log _{`2} ``x=3 ^{1} =3``] [eqn: THEREFORE x=4 ^{3} =64``]

해

설

44  ②

답

밑의 조건에서 [eqn: a-2>0,~a-2 not= 1]

해

설

[eqn: a>2,~a not= 3]

[eqn: therefore~2<a<3] 또는 [eqn: a>3~~~cdots~㉠]
위의 조건에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +ax+2a>0~]이어야 하므로 이차방정식 [eqn: x^2 +ax+2a=0~]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=a^2 -4․2a<0,~~a(a-8)<0]

[eqn: therefore~0<a<8~~~cdots~㉡]
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 [eqn: 2<a<3] 또는 [eqn: 3<a<8]
따라서 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 4,~5,~6,~7~]의 [eqn: 4]개다.

45  ④

답

[eqn: log_2 4 sqrt3 +log_{sqrt2} sqrt6 - 3 over 2 `log_2 3]
[eqn: =log_2 4 sqrt3 +log_{2^{ 1 over 2 } } 6^{ 1 over 2 } -log_2 3^{ 3 over 2 }]
[eqn: =log_2 4 sqrt3 + log_2 6 - log_2 3 sqrt3]
[eqn: =log_2 { 4 sqrt3 ․6} over {3 sqrt3} =log_2 8]
[eqn: =log_2 2^3 =3]

해

설

46  [eqn: -6``]

답

(주어진 식)
[eqn: =log _{`2} ` {1} over {2} +log _{`2} ` {2} over {3} +log _{`2} ` {3} over {4} +` CDOTS `+log _{`2} ` {63} over {64} ``]
[eqn: =log _{`2} ` LEFT ( {1} over {2} CDOT {2} over {3} CDOT {2} over {3} CDOT CDOTS CDOT {63} over {64} RIGHT ) ``]
[eqn: =log _{`2} ` {1} over {64} =log _{`2} `2 ^{-6} =-6``]

해

설

47  ⑤

답

[eqn: log _{`4} `9 CDOT log _{`5} `16` CDOT log _{`9} `125``]
[eqn: = {2} over {2} `log _{`2} `3 CDOT 4log _{`5} `2` CDOT {3} over {2} `log _{3} `5``]
[eqn: =6`log _{`2} `3 CDOT {log _{`2} `2} over {log _{`2} `5} ` CDOT {log _{`2} `5} over {log _{`2} `3} ``]
[eqn: =`6``]

해

설

48  ⑤

답

[eqn: (log_2 5 + log_8 25 )(log_5 2 + log_25 8 )]
[eqn: =(log_2 5 + log_{2^3}`` 5^2 )(log_5 2 +log_{5^2}`` 2^3 )]
[eqn: =(log_2 ``5 + 2 over 3` log_2 ``5 )(log_5 ``2 + 3 over 2` log_5 ``2 )]
[eqn: = 5 over 3` log_2 ``5`` ․`` 5 over 2` log_5 ``2]
[eqn: = 5 over 3 ․ 5 over 2 ․ log_2 5 ․ log_5 2]
[eqn: = 25 over 6]

해

설

49  [eqn: 16]

답

[eqn: a`log_2``5=2]에서  [eqn: a= 2 over {log_2``5} = 2`log_5``2]

해

설

∴ [eqn: log_5``2= a over2]
또, [eqn: log_2``b = log_2``(log_5``2)+1]에서 [eqn: log_2``b= log_2`` a over2 +1]

∴ [eqn: log_2``b= log_2``a]
따라서 [eqn: b=a=2`log_5``2]이므로

[eqn: a+b= 4`log_5``2=log_5``2^4 = log_5``16]
∴ [eqn: k=16]

50  [eqn: 6]

답

로그의 밑의 변환 공식에 의하여 주어진 등식은
[eqn: log _{`x} `2+log _{`x} `3+log _{`x} `6=2log _{`x} `a``]
[eqn: log _{`x} ` LEFT ( 2cdot3cdot6 RIGHT ) =log _{`x} `a ^{2} ``]
[eqn: a ^{2} =36``]

해

설

[eqn: THEREFORE a=6` LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT ) ``]

51  ③

답

[eqn: (log_2 sqrt3 + 3 over 4 `log_{sqrt2 } 3 ) log_9 2 sqrt2]
[eqn: =(log_2 3^{ 1 over 3 } + 3 over 4 `log_{2^{1 over 2 }} 3 ) log_{3^2} 2^{ 3 over 2 }]
[eqn: =( 1 over 2 `log_2 3 + 3 over 2` log_2 3 ) ․ 3 over 4 `log_3 2]
[eqn: = 2log_2 3 ․ 3 over 4` log_3 2]
[eqn: =2․ 3 over 4 ․log_2 3 ․log_3 2]
[eqn: = 3 over 2]

해

설

52  ③

답

(주어진 식)
[eqn: =log _{`5} ` LEFT ( log _{`5} `2 CDOT log _{`4} `3 CDOT log _{`5} `4 CDOT CDOTS CDOT log _{`32} `31 RIGHT ) ```]
[eqn: =log _{`5} ` LEFT ( log _{`5} `2 CDOT {log _{`3} `3} over {log _{`3} `4} ` CDOT {log _{`3} `4} over {log _{`3} `5} CDOT CDOTS CDOT {log _{`3} `31} over {log _{`3} `32} RIGHT ) ```]
[eqn: =log _{`5} ` LEFT ( {log _{`3} `2} over {log _{`3} `32} RIGHT ) `=log _{`5} ` LEFT ( log _{`32} `2 RIGHT ) ``]
[eqn: =log _{`5} ` {1} over {5} `=-1``]

해

설

53  [eqn: 4``]

답

[eqn: log _{`5} `3 CDOT log _{`a} `2a` CDOT log _{2a} `4a=log _{`5} `9``]에서
[eqn: log _{`a} `2a` CDOT log _{2a} `4a= {log _{`5} `3 ^{2}} over {log _{`5} `3} ```]
[eqn: log _{`a} `2a` CDOT {log _{`a} `4a} over {log _{`a} `2a} `= {2log _{`5} `3} over {log _{`5} `3} ```]
[eqn: THEREFORE `log _{`a} `4a``=2```]
따라서 [eqn: a ^{2} =4a``]이므로

해

설

[eqn: a ^{2} -4a=0`,```][eqn: a LEFT ( a-4 RIGHT ) =0``]
[eqn: THEREFORE a=4 LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT ) ``]

54  ④

답

지수를 간단히 하면
[eqn: 2log_3 5 -3log_{ 1 over 3 } 4-2log_3 20]
[eqn: =log_3 5^2 +log_3 4^3 -log_3 20^2][eqn: =log_3 {5^2 ․4^3 } over 20^2][eqn: =log_3 4]
[eqn: therefore~](주어진 식)[eqn: =9^{log_3 4} =4^{log_3 9 } =4^{2 log_3 3 } =4^2 =16]

해

설

55  ③

답

주어진 식의 지수 부분을 간단히 하면
[eqn: log_3 4 + log_3 2 =log_3 4․2 =log_3 2^3 =3 log_3 2]
[eqn: therefore~](주어진 식)[eqn: =(3^{3log_3 2} )^2 +(2^{3log_3 2} )^{log_2 3}]
[eqn: =(2^{3log_3 3} )^2 +2^{3log_3 2 ․log_2 3 }]
[eqn: =(2^3 )^2 +2^3 =2^6 +2^3]
[eqn: =64+8=72]

해

설

56  ④

답

① [eqn: log_a b = {log_c b } over {log_c a } not= {log_b c } over {log_a c }]
② [eqn: c not= 1~]이므로 [eqn: c log_a b = log_a b^c not= (log_a b )^c]
③ [eqn: c not= 1~]이므로 [eqn: log_{a^c } b = 1 over c log_a b not= c log_a b]
④ [eqn: log_a { 1 over b } = log_a b^-1 = -log_a b]
⑤ [eqn: a^{log_b c } =c^{log_b a } not= b^{log_c a }]

해

설

57  ③

답

ㄱ. [eqn: log _{3} 1＋log _{3} 2＋log _{3} 3+` CDOTS `＋log _{3} 10`]
[eqn: =log _{3} LEFT ( 1 CDOT 2 CDOT 3 CDOTS 10 RIGHT ) ``]
[eqn: =log _{`3} `10`!``]
(주어진 식)[eqn: =3 ^{`log _{3} 10!} =10`!``]

해

설

ㄴ. [eqn: log` _{`3} ` LEFT ( 3` CDOT 3 ^{2} CDOT 3 ^{3} ```` CDOTS CDOT 3 ^{10} `` RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( log _{3} `3＋log _{3} `3 ^{2} ＋log _{`3} `3 ^{`3} +` CDOTS `＋log` _{3} `3 ^{10} RIGHT ) ``]
[eqn: = 1+2+3+`cdots`+10][eqn: =55]

ㄷ.[eqn: ` LEFT ( log` _{`3} 3 RIGHT ) LEFT ( log` _{`3} 3 ^{`2} RIGHT ) LEFT ( log` _{`3} 3 ^{`3} RIGHT ) CDOTS LEFT ( log` _{`3} 3 ^{`10} RIGHT ) ````]
[eqn: =1cdot2cdot3cdots10``]
[eqn: =10`!``]
이상에서 옳은 것은 ㄴ. ㄷ이다.

58  ④

답

[eqn: log _{`2} `8<log _{`2} `12<log _{`2} `16``], 즉 [eqn: 3<log _{`2} `12<4``]이므로

해

설

[eqn: a=log` _{2} 12-3``]
[eqn: THEREFORE 4 ^{alpha } =4 ^{log _{`2} 12-3} =2 ^{2log _{`2} {12} over {8}} =2 ^{log _{`2} LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2}} ``][eqn: = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} = {9} over {4} ``]

59  [eqn: {16} over {5} ``]

답

밑의 조건에서 [eqn: x-3>0,~x-3 not= 1``]

해

설

[eqn: x>3,~x` not= `4``]
[eqn: THEREFORE ~3<x<4] 또는 [eqn: x>4~`]                [eqn: CDOTS CDOTS `㉠``]
진수의 조건에서 [eqn: -x ^{2} +8x-12>0~]
[eqn: x ^{2} -8x+12<0`,`` LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) <0``~]
[eqn: THEREFORE `2<x<6``]                             [eqn: CDOTS CDOTS `㉡``]
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 [eqn: 3<x<4] 또는 [eqn: 4<x<6]이므로 정수 [eqn: x]의 값은 [eqn: 5``]이다.
[eqn: log _{`2} `4<log _{`2} `5<log _{`2} `8``], 즉 [eqn: 2<log _{`2} `5<3``]이므로
[eqn: a=2`,`b=log` _{2} 5-2``]
[eqn: THEREFORE 2 ^{a-b} = {2 ^{a}} over {2 ^{b}} = {2 ^{2}} over {2 ^{log _{`2} 5-2}} = {4} over {2 ^{log _{`2} {5} over {4}}} ``][eqn: = {4} over {{5} over {4}} = {16} over {5} ````]

60  ①

답

[eqn: log_0.1 2sqrt6 =log_{10^-1} (2sqrt2 times sqrt3 )]
[eqn: =-(log_10 2 sqrt2 + log_10 sqrt3 )]
[eqn: =-( 3 over 2` log_10 2 + 1 over 2 `log_10 3 )]
[eqn: =-( 3 over 2 a + 1 over 2 b )][eqn: = - {3a+b} over 2]

해

설

61  [eqn: {l+2m+3n} over2]

답

[eqn: log_a``root{x`y^2 `z^3 }]
[eqn: = 1over2 ` log_a``xy^2 z^3]
[eqn: = 1over2 (log_a``x+ 2`log_a``y+ 3`log_a``z)]
[eqn: =][eqn: {l+2m+3n} over2]

해

설

62  ③

답

[eqn: log_2 15=a~]에서
[eqn: log_2 3 +log_2 5 =a~~~cdots~㉠]
[eqn: log_2 { 9 over 5 } =b~]에서 [eqn: log_2 3^2 -log_2 5=b]
[eqn: therefore~2log_2 3 -log_2 5=b~~~cdots~㉡]
㉠[eqn: +]㉡을 하면
[eqn: 3 log_2 3 =a+b~~~therefore~log_2 3 = {a+b} over 3]
[eqn: ㉠ times 2 - ㉡]을 하면
[eqn: 3log_2 5 =2a-b~~~therefore~log_2 5 = {2a-b} over 3]
[eqn: therefore~log_2 75 =log_2 (3․5^2 ) =log_2 3 +2 log_2 5]
[eqn: = {a+b} over 3 + 2 ․ {2a-b} over 3 = {5a-b} over 3]

해

설

63  [eqn: {2a b +2b +1} over {a b +b+2}]

답

[eqn: log_3 2 =a,~log_3 5 = 1 over b] 이므로
[eqn: log_150 180= {log_3 180 } over {log_3 150 }][eqn: = {log_3 (2^2 ․ 3^2 ․ 5) } over {log_3 (2․3․5^2 )}]
[eqn: = {2log_3 2 +2log_3 3 +log_3 5 } over {log_3 2 + log_3 3 + 2 log_3 5 }]
[eqn: = {2a+2+ 1 over b } over { a +1+ 2 over b }][eqn: = {2a b +2b +1} over {a b +b+2}]

해

설

64  ③

답

[eqn: 3^a =x,~3^b =y,~3^c =z~]에서
[eqn: log_3 x=a,~log_3 y=b,~log_3 z=c]
[eqn: therefore~log_{xy} y^2 z^3 = {log_3 y^2 z^3 } over { log_3 xy }][eqn: = {2log_3 y +3log_3 z } over { log_3 x + log_3 y }]

해

설

[eqn: = {2b+3c} over {a+b}]

65  ①

답

[eqn: a^m =b^n =5~]에서 [eqn: log_a 5 =m,~log_b 5 =n]
[eqn: therefore~log_5 a = 1 over m ,~log_5 b = 1 over n]
[eqn: therefore~log_{a b} b^2 = {log_5 b^2 } over {log_5 {a b} } = {2log_5 b } over { log_5 a + log_5 b }]
[eqn: = { 2 over n } over { 1 over m + 1 over n } = { 2 over n } over { {m+n} over mn }][eqn: = 2m over {m+n}]

해

설

66  ④

답

[eqn: log_c``(a+b)+log_c``(a-b)=2]에서
[eqn: log_c``(a+b)(a-b)=2]
[eqn: log_c``(a^2 -b^2 )=2]
로그의 정의에 의하여 [eqn: c^2 = a^2 -b^2]
∴ [eqn: a^2 =b^2 +c^2]
따라서 [eqn: rm∆ABC]는 [eqn: rm∠A][eqn: =90DEG]인 직각삼각형이다.

해

설

67  [eqn: 3over4]

답

각의 이등분선의 성질에 의하여
[eqn: log_3``x ``:``log_9``y = 3``:``2]
[eqn: 2`log_3``x =3`log_9``y], [eqn: 2`log_3``x = 3over2 ` log_3``y]
[eqn: log_3``x = 3 over4 `log_3``y]
∴ [eqn: x= y^{3over4}]
∴ [eqn: k= 3over4]

해

설

68  ①

답

[eqn: a^3 b^2 =1~]의 양변에 [eqn: a]를 밑으로 하는 로그를 취하면
[eqn: log_a a^3 b^2 =log_a 1,~~~log_a a^3 + log_a b^2 =0]
[eqn: 3+ 2 log_a b =0~~~therefore~log_a b = - 3 over 2]
[eqn: therefore~log_a a^5 b^3 =log_a a^5 + log_a b^3 =5+ 3 log_a b]
[eqn: =5 + 3․ ( - 3 over 2 ) = 1 over 2]

해

설

69  ②

답

[eqn: log_a x =3,~log_b x =5~]에서
[eqn: log_x a= 1 over 3 ,~log_x b= 1 over 5]
[eqn: therefore~log_{a b} x = 1 over {log_x {a b}} = 1 over {log_x a +log_x b}]
[eqn: = 1 over { 1 over 3 + 1 over 5 } = 1 over { 8 over 15 }][eqn: = 15 over 8]

해

설

70  [eqn: 16]

답

[eqn: log_2 x +log_4 y^2 =2~]에서

해

설

[eqn: log_2 x +log_{2^2 } y^2 =2,~~~log_2 x + log_2 y =2]
[eqn: log_2 xy=2~~~therefore~xy=2^2 =4]
[eqn: therefore~4^{log_2 x } times 2^{log_{ sqrt2 } y } =x^{ log_2 4 } times y^{ log_{ sqrt2 } 2 }]
[eqn: =x^{2log_2 2 } times y^{ 2 log_2 2 }]
[eqn: =x^2 times y^2 = (xy)^2]
[eqn: =4^2 =16]

71  ①

답

[eqn: log _{a} `b+log _{b} `a+log _{b} `c+log _{c} `b+log _{c} `a+log _{a} `c``]
[eqn: = LEFT ( log _{a} `b+log _{a} `c RIGHT ) + LEFT ( log _{b} `a+log _{b} `c RIGHT ) + LEFT ( log _{c} `b+log _{c} `a RIGHT ) ``]
[eqn: =log _{a} `bc+log _{b} `ac+log _{c} `ab``]
[eqn: =log _{a} ` {1} over {a} +log _{b} ` {1} over {b} +log _{c} ` {1} over {c} ``]
[eqn: =-1+ LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT ( -1 RIGHT ) =-3``]

해

설

72  [eqn: 10over3]

답

[eqn: log_a``b ``:``log_c``b ``=``1``:``3]에서
[eqn: log_c``b = 3`log_a``b], [eqn: 1 over {log_b``c} = 3 over {log_b``a}]
[eqn: log_b``a = 3`log_b``c]
∴ [eqn: a=c^3]
∴ [eqn: log_a``c+ log_c``a][eqn: =log_{c^3 }``c + log_c``c^3 = 1over3 +3 = 10over3]

해

설

73  ④

답

[eqn: 32^x =243^y = 216~]에서
[eqn: x=log_32 216,~y=log_243 216]
[eqn: therefore~ 1 over x + 1 over y = 1 over {log_32 216} + 1 over {log_243 216}]
[eqn: = log_216 32 + log_216 243]
[eqn: =log_{6^3 } 2^5 ․ 3^5 = log_{6^3 } 6^5 = 5 over 3]

해

설

74  [eqn: 1``]

답

[eqn: 10^a =125~]에서  [eqn: a=log_10 125=log_10 5^3 =3 log_10 5]
[eqn: therefore~ 3 over a = 1 over {log_10 5 } =log_5 10]
[eqn: 2^b =625~]에서  [eqn: b=log_2 625 =log_2 5^4 =4 log_2 5]

해

설

[eqn: therefore~ 4 over b = 1 over {log_2 5 } = log_5 2][eqn: therefore~ 3 over a - 4 over b = log_5 10 - log_5 2 = log_5 5 =1]

75  [eqn: 23]

답

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: log_2 a +log_2 b =5,~log_2 a ․log_2 b =1]
[eqn: therefore~log_a b +log_b a = {log_2 b } over {log_2 a } + {log_2 a } over {log_2 b }]
[eqn: = {(log_2 a )^2 + (log_2 b )^2 } over {log_2 a ․ log_2 b }]
[eqn: = {(log_2 a +log_2 b )^2 -2log_2 a ․ log_2 b } over {log_2 a ․ log_2 b }]
[eqn: = {5^2 -2․1} over 1 =23]

해

설

76  ④

답

이차방정식 [eqn: x ^{2} -9x+1=0``]의 두 근을 [eqn: alpha ,`` beta ```]라 할 때, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha + beta =9`,`` alpha beta =1``]
[eqn: THEREFORE log _{alpha + beta } `` LEFT ( alpha + {1} over {beta } +1 RIGHT ) +log _{alpha + beta } ` LEFT ( beta + {1} over {alpha } +1 RIGHT ) `````]
[eqn: =`log _{alpha + beta } `` LEFT { LEFT ( alpha + {1} over {beta } +1 RIGHT ) LEFT ( beta + {1} over {alpha } +1 RIGHT ) RIGHT } ``]
[eqn: =log _{alpha + beta } `` LEFT ( alpha beta + {1} over {alpha beta } + alpha + beta + {1} over {alpha } + {1} over {beta } +3 RIGHT ) `]
[eqn: =log _{9} ``23`= {1} over {2} `log _{3} ``23=log _{3} `` sqrt {23} ``]

해

설

수학Ⅱ	Ⅳ. 지수와 로그		2. 로그			정답
	02 상용로그

01  ⑤

답

해

설

[eqn: log5 ^{n}]의 지표가 39이므로

[eqn: 39 LEQ log5 ^{n} <40,```39 LEQ n`log5<40# log5=log {10} over {2} =1-log2=0.699이므로# 39 LEQ 0.699n<40에서````55. TIMES TIMES TIMES LEQ n<57. TIMES TIMES TIMES]

따라서 자연수 [eqn: n]의 값은 56이다.

02  [eqn: 166]

답

해

설

log[eqn: a]=[eqn: n]+[eqn: alpha]([eqn: n]은 정수, [eqn: 0LEQ alpha <1])로 놓으면

[log [eqn: a]]=[eqn: n]

log[eqn: a]+[log [eqn: a]]=4.2201에서

([eqn: n]+[eqn: alpha])+[eqn: n]=2[eqn: n]+[eqn: alpha]=4.2201    ∴ [eqn: n]=2, [eqn: alpha]=0.2201

log[eqn: a]=2+0.2201=log[eqn: 10 ^{2}]+log1.66=log166이므로

[eqn: a]=166

03  [eqn: 54]

답

해

설

[eqn: M]=4일 때, [eqn: N]=64이므로

log64=[eqn: a]-0.9[eqn: TIMES]4

∴ [eqn: a]=3.6+log64=3.6+6log2=3.6+6[eqn: TIMES]0.3=5.4

[eqn: M]=[eqn: x]일 때, [eqn: N]=1이므로

log1=[eqn: a]-0.9[eqn: x], 0.9[eqn: x]=[eqn: a]=5.4

∴ 9[eqn: x]=54

04  ②

답

해

설

배증시간이 12시간, 즉 [eqn: {1} over {2}]일이므로 초기 박테리아의 수를 [eqn: a]라고 하면 [eqn: t]일 후의 박테리아의 수는 [eqn: a`·`2 ^{2t}]

[eqn: a`·`2 ^{2t} GEQ a`·`20000에서`````2 ^{2t} GEQ 20000#]

양변에 상용로그를 취하면

2[eqn: t]log2[eqn: GEQ]log20000, 2[eqn: t]log2[eqn: GEQ]4+log2

[eqn: THEREFORE t GEQ {4+log2} over {2log2} = {4.3} over {0.6} =7.16 CDOTS]

따라서 적어도 8일이 경과해야 한다.

05  ③

답

해

설

[eqn: C=C _{0} `·`2 ^{-kt} 에]

[eqn: C _{0} =0.8,````t=12,````C=0.4를`대입하면]

[eqn: 0.4=0.8 TIMES 2 ^{-12k} ,````2 ^{-12k} =2 ^{-1}]

[eqn: THEREFORE `k= {1} over {12}]

따라서 [eqn: C _{0} =1.2]일 때, [eqn: C=0.4]가 되기까지 걸리는 시간을 [eqn: t]라고 하면

[eqn: 0.4=1.2 TIMES 2 ^{- {t} over {12}} ,`2 ^{- {t} over {12}} =3 ^{-1}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: - {t} over {12} `log2=-log3,````t`log2=12log3# THEREFORE ``t=12 TIMES {log3} over {log2} =12 TIMES {0.4771} over {0.3010} image 19``` LEFT ( 시간 RIGHT )]

06  ④

답

해

설

지반 A, B의 유효수직응력을 각각 [eqn: S _{Ａ}], [eqn: S _{Ｂ}]라고 하면 [eqn: S _{Ａ}]=1.44[eqn: S _{Ｂ}]

시험기가 지반 A, B에 들어가면서 받는 저항력을 각각 [eqn: R _{Ａ}], [eqn: R _{Ｂ}]라고 하면　[eqn: R _{Ａ}]=1.5[eqn: R _{Ｂ}]

이때, 지반 A, B의 상대밀도를 각각[eqn: D _{Ａ} ,```D _{Ｂ}]라고 하면

[eqn: D _{Ａ} =-98+66log {R _{Ａ}} over {sqrt {S _{Ａ}}}]

[eqn: =-98+66log {1.5R _{B}} over {sqrt {1.44S _{B}}}]

[eqn: D _{Ｂ} =-98+66log {R _{Ｂ}} over {sqrt {S _{Ｂ}}} 이므로# D _{Ａ} -D _{Ｂ} =66 LEFT ( log {1.5R _{Ｂ}} over {sqrt {1.44S _{Ｂ}}} -log {R _{Ｂ}} over {sqrt {S _{Ｂ}}} RIGHT )# ```````````````````````````````=66log {1.5} over {sqrt {1.44}} =66log {1.5} over {1.2}# ```````````````````````````````=66log {5} over {4} =66log {10} over {8}# ```````````````````````````````=66 LEFT ( 1-3log2 RIGHT ) =66 LEFT ( 1-3 TIMES 0.3 RIGHT ) =6.6]

∴[eqn: D _{Ａ} =D _{Ｂ}]+6.6=65+6.6=71.6(%)

07  ③

답

해

설

15 %의 소금물 400 g에 들어 있는 소금의 양은

[eqn: {15} over {100} TIMES 400=60](g)

한 번 시행할 때마다 전체의 [eqn: {1} over {5}]만큼의 소금이 빠져나가므로 [eqn: n]번 시행 후 남은 소금의 양은  [eqn: 60 TIMES LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{n}]

1 %의 소금물 400 g에 들어 있는 소금의 양은 4g이므로 [eqn: 60 TIMES LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{n} LEQ 4에서````` LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{n} LEQ {1} over {15}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n`log {4} over {5} LEQ log {1} over {15} ,```n`log {8} over {10} LEQ log {2} over {30}# n LEFT ( 3``log2-1 RIGHT ) LEQ log2-log3-1# THEREFORE `n GEQ {log2-log3-1} over {3```log2-1}# ```````````````= {-1.1761} over {-0.0970} =12. TIMES TIMES TIMES LEFT ( BECAUSE `3log2-1<0 RIGHT )]

따라서 최소한 13번의 시행을 해야 소금물의 농도가 1 % 이하가 된다.

08  54

답

해

설

[eqn: M]=4일 때, [eqn: N]=64이므로

log64=[eqn: a]-0.9[eqn: TIMES]4

∴ [eqn: a]=3.6+log64=3.6+6log2=3.6+6[eqn: TIMES]0.3=5.4

[eqn: M]=[eqn: x]일 때, [eqn: N]=1이므로

log1=[eqn: a]-0.9[eqn: x], 0.9[eqn: x]=[eqn: a]=5.4

∴ 9[eqn: x]=54

09  ②

답

해

설

배증시간이 12시간, 즉 [eqn: {1} over {2}]일이므로 초기 박테리아의 수를 [eqn: a]라고 하면 [eqn: t]일 후의 박테리아의 수는 [eqn: a`·`2 ^{2t}]

[eqn: a`·`2 ^{2t} GEQ a`·`20000에서`````2 ^{2t} GEQ 20000#]

양변에 상용로그를 취하면

2[eqn: t]log2[eqn: GEQ]log20000, 2[eqn: t]log2[eqn: GEQ]4+log2

[eqn: THEREFORE t GEQ {4+log2} over {2log2} = {4.3} over {0.6} =7.16 CDOTS]

따라서 적어도 8일이 경과해야 한다.

10  ③

답

해

설

[eqn: C=C _{0} `·`2 ^{-kt} 에C _{0} =0.8,````t=12,````C=0.4를`대입하면# 0.4=0.8 TIMES 2 ^{-12k} ,````2 ^{-12k} =2 ^{-1} ````` THEREFORE `k= {1} over {12}]

따라서 [eqn: C _{0} =1.2]일 때, [eqn: C=0.4]가 되기까지 걸리는      시간을 [eqn: t]라고 하면　[eqn: 0.4=1.2 TIMES 2 ^{- {t} over {12}} ,`2 ^{- {t} over {12}} =3 ^{-1}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: - {t} over {12} `log2=-log3,````t`log2=12log3# THEREFORE ``t=12 TIMES {log3} over {log2} =12 TIMES {0.4771} over {0.3010} image 19``` LEFT ( 시간 RIGHT )]

11  ③

답

해

설

용기의 현재 물의 양을 [eqn: a`]라 하면

[eqn: 1]일 후 물의 양 [eqn: a times 0.9]

[eqn: 2]일 후의 양 [eqn: a times (0.9)^2]

[eqn: cdots cdots]

[eqn: n`]일 후 물의 양 [eqn: a times (0.9)^n`]

물의 양이 [eqn: n`]일 후 현재의 절반 이하가 되려면 [eqn: a times (0.9)^n` `≦` 1 over 2 a`], [eqn: (0.9)^n` `≦` 1 over 2]

양변에 상용로그를 취하면 [eqn: log (0.9)^n` `≦` log 2^-1]

[eqn: n` log 3^2 over 10 `≦` - log 2], [eqn: n `(2 log 3 - 1 ) `≦` - log 2]

[eqn: n`( - 0.0458) `≦` -0.3010], [eqn: n` `≧` { 0.3010 } over 0.0458 ≒ 6.6]

[eqn: therefore] 최소한 [eqn: 7]일이 걸린다.

12  ②

답

해

설

[eqn: rm -7 = 10 log left( B over A right)]에서 [eqn: rm log left( B over A right)= - 7over10]

[eqn: rm left( B over A right) = 10^{- 7over 10 } = 10^1 times 10^{- 7over 10 } times 10^-1]

[eqn: ``~~~~~=10 ^{3over10} times 1over10]

[eqn: ``~~~~~= 2over 10 = 1over5 ~( because~10^{3over10} =2)]

13  ①

답

해

설

[eqn: log2]를 유리수라고 가정하면, 적당한 자연수 [eqn: m`], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log2= n over m]이라 놓을 수 있고 이 식으로부터 [eqn: 5^n =2^m-n`]이 유도되어 모순이다.

14  ③

답

해

설

처음 빛의 밝기를 [eqn: a`], 유리판의 개수를 [eqn: n`]이라 하면 [eqn: a cdot LEFT ( 94 over 100 RIGHT ) `≦` 1 over 2 a`]

[eqn: 0.94 `≦` 1 over 2] 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n`log`0.94 `≦` -log`2]

[eqn: n `≧` {-log`2} over {log`0.94}] (∵ [eqn: log`0.94 `<` 0])

[eqn: = {-log`2} over {log`9.4 -1}]

[eqn: = -0.3010 over 0.9731-1 ≒ 11.2]

그러므로 최소한 [eqn: 12]장

15  [eqn: 34.83``%`]

답

해

설

[eqn: 10``]회 통과시키면 남아 있는 오염 물질의 양은 처음의 [eqn: ( 0.9 )^10``]배이므로 [eqn: x `=` ( 0.9 )^10``]으로 놓으면

[eqn: log ` x `=` 10`` log `0.9`]

[eqn: =` 10` left( log 9 over 10 right)`]

[eqn: =` 10` ( log` 3^2 - log `10`)`]

[eqn: =` 10` ( 2``log`3 - 1` )`]

[eqn: =` 10` ( 0.9542 - 1` )`]

[eqn: =` - 0.458`]

[eqn: =` -0.458 +1 - 1`]

[eqn: =` -1 + 0.5420`]

[eqn: =` bar1 . 5420`]

[eqn: therefore ~ x `=` 0.3483`]

따라서, 처음의 [eqn: 34.83``%``]만이 남는다.

16  ②

답

해

설

[eqn: 1980`]년도의 노동, 자본, 생산량을 각각 [eqn: x,`y,`z`]라고 하면 [eqn: z = 2`x^alpha`y^1-alpha] 조건에서 [eqn: 1993`]년도 노동, 자본, 생산량을 각각 [eqn: 4x,`2y,`2.5z`] 이므로

[eqn: 2.5z = 2(4x)^alpha`(2y)^1-alpha`][eqn: = 4^alpha cdot 2^1-alpha`(2x^alpha`y^1-alpha `)] [eqn: 5 over 2 = 4^alpha cdot 2^1-alpha] [eqn: (∵~z = 2`x^alpha`y^1-alpha`)]

[eqn: 5 over 2 = 2^1+alpha ~~<->~~5 = 2^2+alpha`], [eqn: log5 = (2 + alpha`)`log2]

[eqn: alpha + 2 = {log`5} over {log`2}`]에서

[eqn: alpha = {log`5} over {log`2} - 2`][eqn: = {1 - 0.30} over 0.30 - 2`][eqn: = 1 over 3 = 0.33]

17  ①

답

해

설

[eqn: 1985``]년의 속도가 [eqn: 1 rm MHz``]이고, 이후 매 [eqn: 3``]년마다 약 [eqn: 4``]배의 비율로 빨라지고 있으므로,

[eqn: 3``]년 후의 속도는 [eqn: 4 rm ( MHz`)],

[eqn: 6``]년 후의 속도는 [eqn: 4^2 rm ( MHz`)`],

[eqn: 9``]년 후의 속도는 [eqn: 4^3 rm ( MHz`) ,`cdots` cdots`],

[eqn: 3`n``]년 후의 속도는 [eqn: 4^n `][eqn: rm (MHz`)``]이다.

[eqn: 4^n `≦` 4000``]에서, [eqn: n ` log ``4 `≦` log `4000`],

[eqn: n `≦` { log ` 4 + 3 } over { log `4 }`][eqn: =` { 2 ` log `2 + 3 } over { 2 `log `2 }`][eqn: =` { 2 `times` 0.3 ` + ` 3 } over { 2 `times` 0.3 }`]

[eqn: =` 6`]

[eqn: 3`n `≦` 3 `times` 6 `=` 18``](년 후)이므로 구하는 연도는,

[eqn: 1985 `+` 18 `=` 2003``](년)이다.

18  ④

답

해

설

[eqn: 15%]의 소금물 [eqn: 300]g에는 소금이 [eqn: 15 over 100 × 300 = 45](g)있다. 한 번의 시행으로 전체의 [eqn: 1 over 5]만큼의 소금이 빠져나가므로 남은 소금의 양은 [eqn: 4 over 5]만큼이다.

[eqn: n`]번 시행 후 남은 소금의 양은 [eqn: 45× LEFT ( 4 over 5 right )^n`]이다.

또한 [eqn: 1%]때의 소금의 양은 [eqn: 3]g이므로 [eqn: 45 × LEFT ( 4 over 5 RIGHT ) ^n `≦` 3]

[eqn: LEFT ( 4 over 5 RIGHT ) ^n `≦` 3 over 45 = 1 over 15]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n`log` 8 over 10 `≦` log` 2 over 30]

[eqn: n`(3 `log2 - 1) `≦` log`2 - log`3 -1]

[eqn: n`≧` {log2 - log3 -1} over {3log2 -1} = 1.1761 over 0.0970 = 12.1]  ([eqn: BECAUSE~ 3 `log2 -1 `<`0])

19  ⑤

답

해

설

[eqn: 1997``]년도의 매출을 [eqn: a``]라 하면 [eqn: 1998``]년도의 예상 매출은 [eqn: 0.5`a`]이다.

따라서, 매출이 매년 [eqn: r``%``]씩 증가한다고 하면,

[eqn: 0.5`a` left( 1 + r over 100 right)^10 `=` 2`a```]에서, [eqn: left( 1 + r over 100 right)^10 `=` 4`]

양변에 상용로그를 취하면,

[eqn: 10` log left( 1 + r over 100 right) `=` 2`log`2 `=` 0.60`]

[eqn: therefore ~ log left( 1 + r over 100 right) `=` 0.060 `=` log` 1.15`]

[eqn: therefore ~ 1 + r over 100 `=` 1.15``]에서 [eqn: r `=` 15`` ( % )`]

20  ②

답

해

설

문제에서 주어진 반감기의 정의 또는 반감기와 질량 사이의 관계식 [eqn: m= a․2^{ - t over h }``]에서

[eqn: logm=log(a․2^{ - t over h } )= loga - t over h log2`]

따라서, [eqn: t over h log2 = log a - log m = log a over m`]

[eqn: ∴~ t= h over log2 ․ log a over m`]

21  ③

답

규모가 [eqn: 5`]인 지진의 에너지를 [eqn: E_1 `], 규모가 [eqn: 4`]인 지진의 에너지를 [eqn: E`_2 `]라 하면

해

설

[eqn: log`E_ 1 =11.8+1.5×5 \ 19.3`]
[eqn: log`E_2 = 11.8+1.5×4 = 17.8`]
∴ [eqn: E_1 = 10^19.3], [eqn: E`_2 = 10^17.8 `]
∴ [eqn: {E`_1 } over {E`_2 } = 10^19.3 over 10^17.8 = 10^1.5 = 10 root 10 `]
따라서 주모가 [eqn: 5`]인 지진의 에너지는 규모가 [eqn: 4`]인 지진의 에너지의 [eqn: 10root10 `]배이다.

22  [eqn: 1over10 `]

답

[eqn: pH ``]가 [eqn: k`]인 빗물의 수소 이온 농도를 [eqn: a`]라 하면
[eqn: k=log` 1over a `], [eqn: 1overa = 10^-k `]
∴ [eqn: a=10^-k `]

해

설

[eqn: pH ``]가 [eqn: k+1`]인 빗물의 수소 이온 농도를 [eqn: b`]라 하면
[eqn: k+1 = log` 1over b `], [eqn: 1over b = 10^ k+1 `]
∴ [eqn: b=10^-(k+1) `]
따라서 [eqn: b over a = 10^-(k+1) over 10 ^-k = 1over 10 ``]에서 [eqn: b= 1over 10 a ``]이므로 수소 이온 농도는 [eqn: pH``]가 증가하기 전의 [eqn: 1over10 `]배가 된다.

23  ④

답

일상적인 대화 소리의 세기를 [eqn: I], 구급차의 사이렌 소리의 세기를 [eqn: I _{2}]라 하면
[eqn: 10``log`` {I _{1}} over {I _{0}} =60]에서 [eqn: log`` {I _{1}} over {I _{0}} =6]
[eqn: {I _{1}} over {I _{0}} =10 ^{6}]

해

설

∴ [eqn: I _{1} =10 ^{6} I _{0}]
[eqn: 10``log`` {I _{2}} over {I _{0}} =120]에서

∴ [eqn: log`` {I _{2}} over {I _{0}} =12]
[eqn: {I _{2}} over {I _{0}} =10 ^{12}]

∴ [eqn: I _{2} =10 ^{12} I _{0}]
따라서 [eqn: I _{2} =10 ^{6} ``I _{1}]이므로 구급차의 사이렌 소리의 세기는 일상적인 대화 소리의 세기의 [eqn: 10 ^{6}]배이다.

24  [eqn: 125 over 8 `]

답

[eqn: 2`]등성의 별의 밝기를 [eqn: I`_1``], [eqn: 5`]등성인 별의 밝기를 [eqn: I`_2 ``]라 하면

해

설

[eqn: 2 = - 5over2 `log`I`_1 +C ``]                          ……㉠
[eqn: 5= - 5over2 `log`I`_2 +C ``]                          ……㉡
[eqn: ㉠-㉡`]을 하면

[eqn: -3 = - 5over2 (log``I`_1 - log`I`_2 )`]
[eqn: log`` {I _{1}} over {I _{2}} = 6 over 5 `]
∴ [eqn: {I`_1 } over {I`_2 } = 10^ {6 over 5 } = ( 10^{2over5} )^3 = LEFT ( 5over2 RIGHT )^3 = 125 over 8 `]
따라서 [eqn: 2`]등성인 별의 밝기는 [eqn: 5`]등성인 별의 밝기의 [eqn: 125 over 8`]배이다.

25  ④

답

올해 산유량을 [eqn: A``], 산유량의 증가율을 [eqn: a`%``]라 하면
[eqn: A` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT )^20 =2A``]
양변에 상용로그를 취하면
[eqn: 20``log`` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT ) =log`2``]
∴ [eqn: log`` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT ) = 1over 20 `log`2`` = 1over20 × 0.3 = 0.015`]
이 때, [eqn: log`1.035 =1.035`]이므로
[eqn: 1+ a over 100 = 1.035`]

해

설

∴ [eqn: a=3.5`]
따라서 산유량을 매년 [eqn: 3.5`%`]씩 증가시켜야 한다.

26  [eqn: 7.7]

답

[eqn: 15`]년 전 인구를 [eqn: A``]명이라 하고, 인구증가율을 [eqn: a`%`]라 하면

해

설

[eqn: A` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT )^15 =3A``]
양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 15``log`` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT ) =log`3``]
∴ [eqn: log`` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT ) = 1over 15 `log`3`` = 1over15× 0.48 = 0.032`]
이 때, [eqn: log`1.077=0.032`]이므로
[eqn: 1+ a over 100 = 1.077]

∴ [eqn: a=7.7]
따라서 [eqn: 15`]년 동안 이 도시의 인구는 매년 [eqn: 7.7`%`]씩 증가하였다.

27  [eqn: 33]

답

매출액 증가율을 [eqn: a`%`]라 하면

해

설

[eqn: 10^9` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT )^8 =10^10 `]
양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 8``log`` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT ) =log`10`` =1`]
∴ [eqn: log`` LEFT ( 1 + a over 100 RIGHT ) = 1over 8 `=0.125`]
이 때, [eqn: log`1.33=0.125`]이므로

[eqn: 1+ a over 100 = 1.33]

∴ [eqn: a=33]
따라서 이 회사의 매출액은 매년 [eqn: 33`%`]씩 증가하였다.

28  [eqn: 10]

답

[eqn: 10]마리의 세균을 [eqn: 3]시간, 즉 [eqn: 180]분 동안 배양하면 전체 세균의 수는 [eqn: 10 times3^18]마리이다. 이때	[eqn: log``(10 times3^18 )= 1+18`log``3 = 1+18 times0.5=10]
∴ [eqn: 10 times3^18 = 10^10]
따라서 [eqn: 3]시간 후의 세균의 수는 [eqn: 10^10]마리이므로 [eqn: k=10]

해

설

29  ④

답

유입된 먼지의 양을 [eqn: a]라 하면 [eqn: 7]겹의 공기 정화 필터를 통과한 먼지의양은

해

설

[eqn: a LEFT ( 1-0.7 RIGHT ) ^{7} =a TIMES 0.3 ^{7}]
[eqn: 0.3 ^{7}]에 상용로그를 취하면	[eqn: log``0.3 ^{7} =7``log``0.3=7``log`` LEFT ( 3 TIMES 10 ^{-1} RIGHT ) =7`` LEFT ( log``3-1 RIGHT )]	[eqn: =7 LEFT ( 0.48-1 RIGHT ) =-3.64=-4+0.36]
이 때, [eqn: log``2.3=0.36] 이므로	[eqn: -4+0.36=-4+log``2.3=log`` LEFT ( 10 ^{-4} TIMES 2.3 RIGHT )]

∴ [eqn: 0.3 ^{7} =2.3 TIMES 10 ^{-4} =0.00023]
따라서 통과된 먼지의 양은 [eqn: 0.00023a]이므로 유입된 먼지의 [eqn: 0.023%]가 통과된다.

30  [eqn: 0.955]

답

현재의 인구는

해

설

[eqn: A(1-0.1)^5 (1+0.1 )^5 =A×0.99^5 `]
[eqn: 0.99^5 `]에 상용로그를 취하면

[eqn: log`0.99^5 = 5`log``0.99 = 5``log ``9.9 over 10 ``]
[eqn: = 5(log``9.9-1)]

[eqn: =-0.02=0.98-1]
[eqn: =log``9.55 over 10 = log``0.955`]
∴ [eqn: k=0.99^5 =0.955`]