수학Ⅱ	Ⅱ. 함수		1. 함수			반 / 번호
	01 대응과 함수					이름

01 다음 중 [eqn: y]가 [eqn: x]의 함수인 것을 모두 찾아라.

(1) 가로의 길이가 [eqn: 3 rm { ``cm }], 세로의 길이가 [eqn: x`` rm { ``cm }]인 직사각형의 넓이 [eqn: y```` rm { cm^{ 2 } }]

(2) 한 권의 가격이 원인 공책 [eqn: x]권의 가격 [eqn: y]원

(3) 자연수 [eqn: x]의 [eqn: y]배수

02 정의역이 [eqn: left{1,``2,``3,``4right}]인 함수 [eqn: f(x)=-x+3]의 치역을 구하여라.

03 일차함수 [eqn: y= { 1 } over { 2 } x-2]의 그래프를 다음 좌표평면 위에 그려라.

04 직선 [eqn: x+y-1=0]을 다음에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구하여라.

(1) 원점          (2) [eqn: x]축

(3) [eqn: y]축          (4) 직선 [eqn: y=x]

05 다음 대응 중 함수인 것을 찾고, 그 함수의 정의역, 공역, 치역을 구하여라.

(1)	(2)

06 다음 중 함수의 그래프인 것을 모두 찾아라.

(1)	(2)
(3)

07 다음 함수 중 일대일 대응, 일대일함수, 항등함수, 상수함수인 것을 각각 말하여라.

(1)	(2)

(3)

08 두 집합 [eqn: X=left{1,``2,``3right}], [eqn: Y=left{1,``2,``3,``4,``5right}]에 대하여 [eqn: X]의 원소 [eqn: x]에 [eqn: Y]의 원소 [eqn: y]가 [eqn: y=x+2]인 관계로 대응할 때 두 집합의 대응 관계를 오른쪽 그림에 나타내어

라.

09 다음 함수의 정의역과 치역을 각각 구하여라.

(1) [eqn: y=2x+5]

(2) [eqn: y=x^{ 2 } +1]

10 두 집합 [eqn: X=left{-1,``0,``1right}], [eqn: Y=left{0,``1,``2right}]에 대응하여 다음 중 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수인 것을 모두 찾아라.

ㄱ. [eqn: f(x)=x+1]

ㄴ. [eqn: f(x)=|``x``|]

ㄷ. [eqn: f(x)=x^{ 2 }]

ㄹ. [eqn: f(x)=3x^{ 2 }]

11 정의역이 [eqn: left{-1,1right}]인 두 함수

[eqn: f(x)=ax+b], [eqn: g(x)=x^{ 3 } +1]

에 대하여 [eqn: f=g]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

12 다음 함수의 그래프 중 일대일 대응, 일대일함수, 항등함수, 상수함수인 것을 각각 말하여라.

(1)	(2)

(3)

13 자연수 전체의 집합을 [eqn: N]이라고 할 때, 다음 중 [eqn: N]에서 [eqn: N]으로의 함수가 아닌 것을 모두 찾아라.

(1) [eqn: f(x)=x+1]	(2) [eqn: f(x)=x-1]
(3) [eqn: f(x)= { x } over { 2 }] (5) [eqn: f(x)=x^{ 2 }]	(4) [eqn: f(x)=2x] (6)[eqn: f(x)= { 1 } over { 2 } x^{ 2 } +1]

14 다음 함수 중 일대일 대응인 것을 찾아라.

(1) [eqn: f(x)=x^{ 2 } +1]

(2) [eqn: f(x)=-2x+1]

(3) [eqn: f(x)=|``x``|]

(4) [eqn: f(x)=3]

15  두 집합 [eqn: X=left{0,``1right}], [eqn: Y=left{a,``b,``c right}]에 대하여 다음 함수의 개수를 구하여라.

(1) [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수

(2) [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 상수함수

(3) [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 일대일함수

16 집합 [eqn: X]에서 집합 [eqn: Y]로의 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]를

[eqn: f(x)=2x^{ 2 } -1], [eqn: g(x)=x^{ 2 } +2x+2]

로 정의할 때, [eqn: f=g]를 만족하는 집합 [eqn: X]를 모두 구하여라.

17 지면에서 약 [eqn: 100`` rm km]의 높이까지는 [eqn: 100 rm ``m]씩 위로 올라갈 때마다 기온이 [eqn: 0.65```℃]씩 낮아진다고 한다. 지면으로부터 [eqn: x rm ``m]높이의 기온을 [eqn: y```℃]

라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (단, 지면의 온도는 [eqn: 20```℃]이다.)

(1) [eqn: y]를 [eqn: x]에 대한 식으로 나타내어라.

(2) 지면으로부터의 높이가 [eqn: 500`` rm m]에서 [eqn: 1000`` rm m] 사이일 때, 기온 [eqn: y``]℃의 범위를 구하여라.

18 실수 전체의 집합을 정의역과 공역으로 할 때,

다음 중 일대일 대응인 것을 찾아라.

ㄱ. [eqn: y=-2x]

ㄴ. [eqn: y=2(x-1)^{ 2 }]

ㄷ. [eqn: y=|x+1|]

19 두 집합 [eqn: X=left{-1,``0,``1right}], [eqn: Y=left{0,``1,``2right}]에 대하여 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]가

[eqn: f:``X```````` -> ````````Y], [eqn: f(x)=x^{ 3 } +a]

[eqn: g:``X```````` -> ````````Y], [eqn: g(x)=ax+b]

일 때, [eqn: f=g]가 되도록 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정하여라.

수학Ⅱ	Ⅱ. 함수		1. 함수			반 / 번호
	02 합성함수와 역함수					이름

01 다음 그림과 같은 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]가 있다.

이때 다음을 구하여라.

(1) [eqn: (g CIRC f)(1)]	(2) [eqn: (g CIRC f)(3)]

02 두 함수 [eqn: f:``X```````` -> ````````Y], [eqn: g:``X```````` -> ````````X]가 아래 그림과 같이 정의 될 때, 다음을 구하여라.

(1) [eqn: (g CIRC f)(-1)]	(2) [eqn: (g CIRC f)(0)]
(3) [eqn: (f CIRC g)(-1)]	(4) [eqn: (f CIRC g)(0)]

03 두 함수 [eqn: f(x)=2x+1], [eqn: g(x)=3x^{ 2 }]에 대하여 다음을 구하여라.

(1) [eqn: (g CIRC f)(1)]	(2) [eqn: (f CIRC g)(1)]

04 오른쪽 그림과 같은 두 함수 [eqn: f], [eqn: g] 에 대하여 다음을 구하여라.

(1) [eqn: (g CIRC f)(1)]

(2) [eqn: (g CIRC f)(2)]

(3) [eqn: (g CIRC f)(3)]

05 세 함수 [eqn: f(x)=x^{ 2 }], [eqn: g(x)=2x], [eqn: h(x)=x+1]에 대하여 다음을 구하여라.

(1) [eqn: g CIRC f]	(2) [eqn: f CIRC g]
(3) [eqn: (h CIRC g) CIRC f]	(4) [eqn: h CIRC (g CIRC f)]

06 두 함수 [eqn: f(x)=x+1], [eqn: g(x)=-3x-2]에 대하여 [eqn: (g CIRC f)(a)=7]을 만족하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

07 함수 [eqn: f(x)=ax+b]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (f CIRC f)(x)=4x+6] 을 만족한다. 이때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라. [eqn: (]단, [eqn: a>0)]

08  집합 [eqn: A=left{1,``2,``3right}]에 대하여 함수  [eqn: f:``A```````` -> ````````A]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때, [eqn: (f CIRC f CIRC f)(2)]의 값을 구하여라.

09 집합 [eqn: X=left{1,``2,``3,``4right}]를 정의역과 공역으로 하는 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]의 대응 관계의 일부를 나타내

면 다음 그림과 같다.

[eqn: (g CIRC f)(1)=2], [eqn: (g CIRC f)(3)=3],

[eqn: (g CIRC f)(4)=4]일 때, 다음을 구하여라.

(1) [eqn: g(2)]	(2) [eqn: f(3)]	(3) [eqn: f(4)]

10 두 함수 [eqn: f(x)=x+k], [eqn: g(x)=2x+1]에 대하여

[eqn: (g CIRC f)(x)=(f CIRC g)(x)]가 성립할 때, 상수

[eqn: k]의 값을 구하여라.

11  두 함수 [eqn: f(x)=-2x-1], [eqn: g(x)=x-1]에 대하여 다음을 구하여라.

(1) [eqn: f CIRC h=g]를 만족하는 일차함수 [eqn: h(x)]

(2) [eqn: k CIRC f=g]를 만족하는 일차함수 [eqn: k(x)]

12 함수 [eqn: f]에 대하여 [eqn: f(2x-3)=4x-1]이 성립할 때, [eqn: f(-1)+f(2)]값을 구하여라.

13 어떤 기계는 자연수 [eqn: x]를 입력하면 다음과 같은 규칙에 의하여 결과가 출력된다고 한다.

Ⅰ. [eqn: x GEQ 2]이면 [eqn: x-1]이 출력된다.

Ⅱ. [eqn: x=1]이면 [eqn: 5]가 출력된다.

이 기계에 [eqn: 3]을 넣어 출력한 결과를 다시 입력하는 일을 반복할 때, 출력될 수 있는 수를 모두 구하여라.

14 오른쪽 그림은 함

수 [eqn: f:``X```````` -> ````````Y]

를 나타낸 것이다.

함수 [eqn: f]의 역함수

[eqn: f^{ -1 }]의 대응 관계를

그림으로 나타내고, 다음을 구하여라.

(1) [eqn: f^{ -1 }]의 정의역과 치역

(2) [eqn: f^{ -1 } (d)]의 값

15 다음은 함수 [eqn: y= { 1 } over { 3 } x+1]의 역함수를 구하는 과정이다.

안에 알맞은 것을 써 넣어라

1단계  [eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸어 놓으면

2단계  [eqn: y]에 대하여 풀면

3단계  주어진 함수의 치역은

전체의 집합이므로 역함수의 정의역은

전체의 집합이다.

16 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) 함수 [eqn: y=f(x)]를 구하여라.

(2) [eqn: f(x)]의 역함수를 구하여라.

(3) [eqn: f(x)]의 역함수를 그래프로 그려라.

17  함수 [eqn: f(x)=x-1]의 역함수를 [eqn: f^{ -1 }]라고 할 때, [eqn: f^{ -1 } (1)]의 값을 구하여라.

18 두 함수 [eqn: f:``X```````` -> ````````X], [eqn: g:``X```````` -> ````````X]가 다음 그림과 같이 정의 될 때, [eqn: (g^{ -1 } CIRC f)(3)]의 값을 구하여라.

19 함수 [eqn: f]의 역함수가 [eqn: f^{ -1 } (x)=2x+3]일 때, [eqn: (f CIRC f)(9)]의 값을 구하여라.

20 함수 [eqn: f(x)= { 1 } over { 3 } x-1]일 때, [eqn: (f^{ -1 } CIRC f CIRC f^{ -1 } )(x)]를 구하여라.

21 두 함수 [eqn: f(x)=3x+4], [eqn: g(x)=-2x+1]에 대하여 [eqn: (g CIRC f^{ -1 } )(a)=5]를 만족하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

22 두 함수 [eqn: f(x)=x+1], [eqn: g(x)=2x+6]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: (g CIRC f)^{ -1 } =f^{ -1 } CIRC g^{ -1 }]임을 보여라.

(2) [eqn: (f CIRC (g CIRC f)^{ -1 } CIRC f)(1)]의 값을 구하여라.

23 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, [eqn: (f^{ -1 } CIRC f^{ -1 } )(b)]의 값을 구하여라.

24 점 [eqn: (2], [eqn: 3)]을 지나는 일차함수 [eqn: y=f(x)]와 그 역함수 [eqn: y=f^{ -1 } (x)]가 서로 일치할 때, 함수 [eqn: y=f(x)]를 구하여라.

25 지수, 우혁, 혜현이는 다음 표에 따라 우리말 단어를 암호로 바꾸어 보내는 놀이를 하기로 하였다.

지수가 우혁이에게 보내는 암호

ㄱ	ㄴ	ㄷ	ㄹ	ㅁ	ㅏ	ㅓ	ㅗ	ㅜ	ㅣ
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]

우혁이가 혜현이에게 보내는 암호

[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]
[eqn: rm { A }]	[eqn: rm { B }]	[eqn: rm { C }]	[eqn: rm { D }]	[eqn: rm { E }]	[eqn: rm { F }]	[eqn: rm { G }]	[eqn: rm { H }]	[eqn: rm { I }]	[eqn: rm { J }]

지수가 우혁이를 통하여 혜현이에게 보낸 암호의 내용이 [eqn: rm { EIDAHAJ }]일 때, 지수가 처음에 보낸 단어를 말하여라.

26 함수 [eqn: f(x)=ax+b]에 대하여 [eqn: f(2)=-3], [eqn: f^{ -1 } (3)=-1]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

27 함수 [eqn: f]에 대하여 [eqn: f left ( { x-1 } over { x+2 } right ) =x]가 성립할 때, [eqn: f(4)]의 값을 구하여라.

수학Ⅱ	Ⅱ. 함수		1. 함수			정답
	01 대응과 함수

01  (1), (2)

답

해

설

(1) [eqn: y=3x]

(2) [eqn: y=500x]

(3)[eqn: y=nx]([eqn: n]은 자연수)는 하나의 [eqn: x]의 값에 여러 개의 [eqn: y]의 값이 대응하므로 함수가 아니다.

따라서 함수인 것은 (1), (2)이다.

02  [eqn: LEFT { 0,``1,``2 RIGHT }]

답

03

답

04  (1) [eqn: x+y+1=0]

답

해

설

(2) [eqn: x-y-1=0]

(3) [eqn: x-y+1=0](4) [eqn: x+y-1=0]

05  (1) [eqn: left{1,``2,``3 right}],[eqn: left{a,``b,``c right}],[eqn: left{a,``b right}]   (2) [eqn: 1]

답

해

설

(1)	(2)
(3)
[eqn: y]축에 평행한 직선을 그었을 때, 교점이 하나씩 존재하는 것은 (1), (3)이므로 함수의 그래프는 (1), (3)이다.

06  (1), (3)

답

07  일대일 대응: (2)   일대일함수: (1), (2)

답

항등함수: (2)   상수함수: (3)

08

답

09  (1) 정의역: {[eqn: x`|`x]는 실수}, 치역: {[eqn: y`|`y]는 실수}

답

(2) 정의역: {[eqn: x`|`x]는 실수}, 치역: {[eqn: y`|`y`≥`1]}

10  ㄱ, ㄴ, ㄷ

답

해

설

ㄱ.	ㄴ.
ㄷ.	ㄹ.
따라서 함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

11  [eqn: a=1,``b=1]

답

해

설

[eqn: f(-1)=-a+b,~g(-1)=0]이므로

[eqn: -a+b=0]                             [eqn: ⋯⋯]㉠

[eqn: f(1)=a+b,~g(1)=2]이므로

[eqn: a+b=2]                               [eqn: ⋯⋯]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면    [eqn: a=1,``b=1]

12  일대일 대응: (1)   일대일함수: (1)

답

항등함수: (1)    상수함수: (2)

해

설

(1) [eqn: y=x]의 그래프이므로 항등함수, 일대일대      응, 일대일 함수이다.

(2) 정의역의 모든 원소에 대응하는 공역의 원소     가 [eqn: 1]개이므로 상수함수이다.

(3) 함수이지만 일대일 대응, 일대일함수, 항등     함수, 상수함수 중 어느 것도 아니다.

[eqn: ∴]일대일 대응: (1)  일대일함수: (1)

항등함수: (1)   상수함수: (2)

13  (2), (3), (6)

답

해

설

	(1), (4), (5) 함수이다.	(2) [eqn: f(1)=0∉N]
	(3) [eqn: f`(1)={1 over 2}∉N]	(6) [eqn: f(1)={3 over 2}∉N]
	따라서 [eqn: N``]에서 [eqn: N``]으로의 함수가 아닌 것은 (2), (3), (6)이다.

14

답

(1)		(2)
(3)		(4)
해 설 [eqn: x]축에 평행한 직선을 그었을 때, 교점이 하나씩 존 재하는 것은 (2)이므로 일대일 대응인 것은 (2)이다.

15  6(개)

답

해

설

(1) 원소 [eqn: 0]에 대응할 수 있는 공역의 원소는         [eqn: a,`b,`c]로 [eqn: 3]가지이고, 원소 [eqn: 1]에 대응할 수 있는     공역의 원소는 [eqn: a,`b,`c]로 [eqn: 3]가지이다.

따라서 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수의 개수는

[eqn: 3`×`3=9] (개)

(2) 원소 [eqn: 0,`1]에 대응할 수 있는 공역의 원소는 [eqn: a] 또는 [eqn: b] 또는 [eqn: c]이다.

따라서 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 상수함수의 개수는 [eqn: 3] (개)

(3) 원소 [eqn: 0]에 대응할 수 있는 공역의 원소는         [eqn: a,`b,`c]로 [eqn: 3]가지이고, 원소 [eqn: 1]에 대응할 수 있는 공역의 원소는 [eqn: 0]에 대응한 원소를 제외한 [eqn: 2]가지이다.

따라서 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 일대일함수의 개수는

[eqn: 3`×`2=6] (개)

16  [eqn: X= LEFT { -1 RIGHT }] 또는 [eqn: X= left{3 right}] 또는 [eqn: X=left{-1,``3 right}]

답

해

설

[eqn: 2x^2 -1=x^2 +2x+2,~x^2 -2x-3=0]

[eqn: (x+1)(x-3)=0,]    [eqn: ∴` x=-1] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: ∴`X= left{-1 right}] 또는 [eqn: X= left{3 right}] 또는 [eqn: X=left{-1,``3 right}]

17  (1)[eqn: y=- {13} over {2000} x+20]

답

(2) [eqn: 13.5` LEQ `y` LEQ `16.75]

해

설

(1) [eqn: y=- 0.65 over 100 x+20]    [eqn: ∴y=- 13 over2000 x+20]

(2) [eqn: x=500]일 때,    [eqn: y=16.75]

[eqn: x=1000]일 때,    [eqn: y=13.5]

[eqn: ∴`13.5`≤`y`≤`16.75]

18  ㄱ

답

해

설

ㄱ.		ㄴ
ㄷ.

[eqn: x]축에 평행한 직선을 그었을 때, 교점이 하나씩     존재하는 것은 ㄱ이므로 일대일 대응인 것은 ㄱ     이다.

19  [eqn: a=1,```b=1]

답

해

설

[eqn: f=g]이므로 정의역에 대한 각각의 함숫값이 같     다.

[eqn: f(-1)=g(-1),``f(0)=g(0),``f(1)=g(1)]에서

[eqn: -1+a=-a+b,```a=b,```1+a=a+b]

위의 식을 연립하여 풀면    [eqn: a=1,```b=1]

수학Ⅱ	Ⅱ. 함수		1. 함수			정답
	02 합성함수와 역함수

01  (1) [eqn: b,rm```C]   (2) [eqn: c,rm```B]

답

02  (1) 2   (2) 1  (3) 0  (4) -1

답

해

설

(1) [eqn: (g∘f`)(-1)=g(f`(-1))=g(0)=2]

(2) [eqn: (g∘f`)(0)=g(f`(0)=g(1)=1]

(3) [eqn: (f∘g`)(-1)=f`(g(-1)=f`(-1)=0]

(4) [eqn: (f∘g)(0)=f`(g(0))=f`(2)=-1]

03  (1) 27    (2) 7

답

해

설

(1) [eqn: (g∘f`)(1)=g(f`(1))=g(3)=27]

(2) [eqn: (f∘g`)(1)=f`(g(1))=f`(3)=7]

04  (1) 5   (2) 6  (3) 6

답

해

설

(1) [eqn: (g∘f`)(1)=g(f`(1))=g(a)=5]

(2) [eqn: (g∘f`)(2)=g(f`(2))=g(c)=6]

(3) [eqn: (g∘f`)(3)=g(f`(3))=g(c)=6]

05  (1) [eqn: 2x ^{2}]  (2) [eqn: 4x ^{2}]

답

(3)  [eqn: 2x ^{2} +1]   (4) [eqn: 2x ^{2} +1]

해

설

(1) [eqn: (g∘f`)(x)=g(f`(x))=g(x^2 )=2x^2]

(2) [eqn: (f∘g`)(x)=f(g`(x))=f`(2x)=(2x)^2 =4x^2]

(3) [eqn: (h∘g`)(x)=h(g`(x))=h(2x)=2x+1]

[eqn: ∴`((h∘g`)∘f`)(x)=(h∘g`)(f(x))]

[eqn: =(h∘g`)(x^2 )=2x^2 +1]

(4) [eqn: (g∘f`)(x)=2x^2]

[eqn: ∴`(h∘(g∘f`))(x)=h((g∘f`)(x))]

=[eqn: h(2x^2 )=2x^2 +1]

06  -4

답

해

설

[eqn: (g∘f`)(x)=g(f`(x))=g(x+1)=-3x-5]

[eqn: (g∘f`)(a)=7]에서

[eqn: -3a-5=7]    [eqn: ∴`a=-4]

07  [eqn: f(x)=2x+2]

답

해

설

[eqn: (f∘f`)(x)=f(f`(x))=f(ax+b)]

[eqn: =a(ax+b)+b=a^2 x+(ab+b)]

따라서 [eqn: a^2 x+(ab+b)=4x+6]이므로

[eqn: a^2 =4,~ab+b=6]

[eqn: a>0]이므로    [eqn: a=2,~b=2]

[eqn: ∴`f(x)=2x+2]

08  2

답

해

설

[eqn: f(1)=2,``f(2)=3,``f(3)=1]이므로

[eqn: (f∘f∘f`)(2)=(f∘f)(f(2))=(f∘f`)(3)]

[eqn: =f(f`(3))=f`(1)=2]

09

(1) [eqn: g(2)=2]	(2) [eqn: f(3)=1]	(3) [eqn: f(4)=4]

답

해

설

[eqn: (g∘f`)(1)=g(f(1))=g(2)]에서

[eqn: (g∘f`)(1)=2]이므로    [eqn: g(2)=2]

[eqn: (g∘f`)(3)=g(f`(3))=3]에서 [eqn: f(3)=2,~3,~4]이면

[eqn: g]는 함수가 아니므로    [eqn: f(3)=1,~g(1)=3]

[eqn: (g∘f`)(4)=g(f(4))=4]에서

[eqn: g(4)=4]이므로    [eqn: f(4)=4]

따라서 두 함수 [eqn: f,``g]의 대응 관계는 다음과 같다.

(1) [eqn: g(2)=2]	(2) [eqn: f(3)=1]	(3) [eqn: f(4)=4]

10  0

답

해

설

[eqn: (g∘f`)(x)=g(f(x))=g(x+k)]

[eqn: =2(x+k)+1=2x+2k+1]

[eqn: (f∘g`)(x)=f`(g(x))=f`(2x+1)]

[eqn: =(2x+1)+k=2x+k+1]

[eqn: 2x+2k+1=2x+k+1]에서    [eqn: k=0]

11  ⑴ [eqn: h(x)=- {1} over {2} x]    ⑵ [eqn: k(x)=-{1 over 2}x-{2 over3}]

답

해

설

(1) [eqn: h(x)=ax+b]로 놓으면

[eqn: (f∘h`)(x)=f`(h(x))=f`(ax+b)]

[eqn: =-2(ax+b)-1]

[eqn: =-2ax-2b-1]

[eqn: g(x)=x-1]이므로 [eqn: -2ax-2b-1=x-1]

따라서 [eqn: -2a=1,~-2b-1=-1]이므로

[eqn: a=-{1 over 2},``b=0]   [eqn: ∴` h(x)=-{ 1over 2}x]

다

른

풀

이

[eqn: (f∘h)(x)=f`(h(x))=-2h(x)-1]

[eqn: g(x)=x-1]이므로    [eqn: -2h(x)-1=x-1]

[eqn: ∴`h(x)=-{1 over 2}x]

(2) [eqn: k(x)=ax+b]로 놓으면

[eqn: (k∘f`)(x)=k`(f`(x))=k(-2x-1)]

[eqn: =a(-2x-1)+b]

[eqn: =-2ax-a+b]

[eqn: g(x)=x-1]이므로    [eqn: -2ax-a+b=x-1]

따라서 [eqn: -2a=1,~-a+b=-1]이므로

[eqn: a=-{1over2},~b=-{3 over 2}]

[eqn: ∴`k(x)=-{1 over 2}x-{2 over3}]

12  12

답

해

설

[eqn: 2x-3=-1]에서 [eqn: x=1]이므로

[eqn: f(-1)=f(2⋅1-3)=4⋅1-1=3]

[eqn: 2x-3=2]에서 [eqn: x={5 over 2}]이므로

[eqn: f(2)=f ``left(2⋅{5 over 2}-3 right)=4⋅{5 over 2} -1=9]

[eqn: ∴`f`(-1)+f`(2)=3+9=12]

13  1, 2, 3, 4, 5

답

해

설

기계에 [eqn: x]를 입력하였을 때, 나오는 수를 [eqn: f(x)]라고 하면

[eqn: f(x)=]

[eqn: cases{&#&#}]	[eqn: x-1`]	[eqn: (x`≥`2)]
	[eqn: 5]	[eqn: (x=1)]

[eqn: 3~~→~~2~~→~~1~~→~~5~~→~~4~~→~~3~~→~~2]

[eqn: →~~1~~→~~5~~→~~⋯⋯]

따라서 출력될 수 있는 모든 수는 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5]이다.

14  (1) [eqn: left{a,``b,``c,``d ``right}],[eqn: left{1,``2,``3,``4 ``right}]  (2) [eqn: 1]

답

15  [eqn: x={1 over 3}y+1,~~y=3x-3,] 실수, 실수

답

16  (1) [eqn: y=2x+2]

답

(2)  [eqn: y={1 over 2}x-1]   (3) 풀이 참조

해

설

(1) [eqn: y=2x+2]

(2) [eqn: x=2y+2]에서    [eqn: y={1 over 2}x-1]

(3)

17  2

답

해

설

[eqn: y=x-1]의 역함수는 [eqn: x=y-1]에서    [eqn: y=x+1]

[eqn: ∴`f`^-1 (1)=1+1=2]

18  3

답

[eqn: (g^-1 ∘f``)(3)=g^-1 (f`(3))=g^-1 (1)~(∵f(3)=1)]

해

설

이때, [eqn: g(3)=1]이므로    [eqn: g^-1 (1)=3]

[eqn: ∴`(g^-1 ∘f``)(3)=3]

19  0

답

해

설

[eqn: (f^-1 )^-1 =f``]이고, [eqn: y=2x+3]의 역함수는

[eqn: x=2y+3]에서 [eqn: y={1 over 2}x-{3 over 2}]이므로

[eqn: f`(x)={1 over 2}x-{3 over 2}]

[eqn: ∴`(f ∘f``)(9)=f`(f`(9))=f(3)]

[eqn: ={3 over 2}-{3 over 2}=0]

20  [eqn: 3x+3]

답

해

설

[eqn: (f∘f`^-1 )(x)=x]이므로

[eqn: (f` ^{-1} CIRC f CIRC f` ^{-1} )(x)=f` ^{-1} ((f CIRC f ^{-1} )(x))# `````````````````````````````````````````````````````````````````````=f ^{-1} (x)]

[eqn: y={1 over 3}x-1]의 역함수는

[eqn: x={1 over 3}y-1]에서    [eqn: y=3x+3]

[eqn: ∴`f^-1 (x)=3x+3]

[eqn: (f`^-1 ∘ f∘f`^-1 )(x)=f^-1 (x)=3x+3]

21  -2

답

해

설

[eqn: y=3x+4]의 역함수는 [eqn: x=3y+4]에서

[eqn: y={1 over 3}x-{4 over 3}]    [eqn: ∴`f`^-1 (x)={1 over 3}x-{4 over 3}]

[eqn: g(x)=-2x+1]에 대하여

[eqn: (g∘f`^-1 )(a)=g(f^-1 (a))=g left({1 over 3}a-{4 over 3} right)]

[eqn: =-2⋅ left({1 over 3}a-{4 over 3} right) + 1]

[eqn: =-{2 over 3}a+{8 over 3}+1=5]

[eqn: ∴`a=-2]

22  (1) 풀이 참조 (2) -2

답

해

설

[eqn: y=x+1]의 역함수는 [eqn: x=y+1]에서

[eqn: y=x-1]      [eqn: ∴`f`^-1 (x)=x-1]

[eqn: y=2x+6]의 역함수는 [eqn: x=2y+6]에서

[eqn: y={1 over 2}x-3]   [eqn: ∴`g^-1 (x)={1 over 2}x-3]

(1) [eqn: (g∘f`)(x)=g(f`(x))=g(x+1)]

[eqn: =2(x+1)+6=2x+8]

[eqn: y=2x+8]의 역함수는 [eqn: x=2y+8]에서

[eqn: y={1 over 2}x-4]이므로

[eqn: (g∘f`)^-1 ={1 over 2}x-4]

한편,

[eqn: (f ^{-1} CIRC g ^{-1} )(x)=f ^{-1} (g ^{-1} (x))# ``````````````````````````````````````````````````````=f ^{-1} LEFT ( {1} over {2} x-3 RIGHT )]

[eqn: ={1 over 2}x-3-1={1 over 2}x-4]

[eqn: ∴`(g∘f`)^-1 (x)=(f`^-1∘ g^-1 )(x)]

(2) [eqn: (f∘(g∘f`)^-1 ∘f`)(1)]

[eqn: =(f∘f`^-1 ∘ g^-1 ∘f``)(1)=(g^-1 ∘f``)(1)]

[eqn: =g^-1 (f(1))=g^-1 (2)={1over2}⋅2-3=-2]

23  [eqn: d]

답

해

설

[eqn: f`(b)=a,~f(c)=b,]

[eqn: f(d)=c]이므로

[eqn: f`^-1 (a)=b]

[eqn: f`^-1 (b)=c]

[eqn: f`^-1 (c)=d]

[eqn: ∴`(f`^-1 ∘f`^-1 )(b)]

[eqn: =f`^-1 (f`^-1 (b))]

[eqn: =f`^-1 (c)=d]

24  [eqn: ``y=-x+5]

답

해

설

함수[eqn: y=f`(x)]와 그 역함수[eqn: y=f`^-1 (x)]가 서로 일치하므로 [eqn: y=f`(x)]는 직선 [eqn: y=x]에 수직인 직선이다.

따라서 [eqn: y=f(x)]는 기울기가 [eqn: -1]이고 점 [eqn: (2,``3)]을 지나는 직선의 방정식이므로

[eqn: y-3=-(x-2)~~~~∴``y=-x+5]

25  물고기

답

해

설

E	I	D	A	H	A	J
↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓
5	9	4	1	8	1	10
↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓
ㅁ	ㅜ	ㄹ	ㄱ	ㅗ	ㄱ	ㅣ

따라서 지수가 처음 보낸 단어는 ‘물고기’ 이다.

26  -1

답

해

설

[eqn: f(2)=2a+b=-3]                      [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: f^-1 (3)=-1]에서 [eqn: f(-1)=3]이므로

[eqn: f(-1)=-a+b=3]                     [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면    [eqn: a=-2,```b=1]

[eqn: therefore```a+b=-2+1=-1]

27  -3

답

해

설

[eqn: x-1 over x+2 =4]로 놓으면 [eqn: x-1=4x+8]에서           [eqn: x=-3]

[eqn: therefore```f(4)=-3]