수학Ⅰ	Ⅲ. 도형의 방정식		1. 평면좌표			반 / 번호
	01 두 점 사이의 거리					이름

01

세 점 [eqn: rmA(4,~-3),```~B(1,~2),~C(-4,~-1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]는 어떤 삼각형인가?

① 정삼각형

② 직각삼각형

③ 둔각삼각형

④ [eqn: rm bar AB = bar AC]인 이등변삼각형

⑤ [eqn: angle rm B = 90 DEG]인 직각이등변삼각형

02

네 점 [eqn: rm A (ita,~1),~rmB(2,~3),~C(4,~4),~D(it b,~2)]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm ABCD]가 마름모일 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a>1])

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

03

세 점 [eqn: rmA(1,~3),~B(-1,~-3),~C(ita,~b)]를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 실수)

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

04

다음 두 점 사이의 거리를 구하여라.
(1) [eqn: rm A(-3),~B(5)]
(2) [eqn: rm C(1+ sqrt { 2 }),~D(1- sqrt { 2})]

05

다음 두 점 사이의 거리를 구하여라.
(1) [eqn: rmO(0,~0),~A(-4,~3)]
(2) [eqn: rm C( -3,~-1),~D(3,~5)]

06

수직선 위에 세 점 [eqn: rm A(-2),~B(6),~C(itc)]가 있다. [eqn: rmbarAB = 2 bar BC]일 때, [eqn: c]의 값을 구하여라.

07

다음 그림에서 두 점 [eqn: rmA,~B] 사이의 거리를 구하여라.
(1)  (2)

08

수직선 위의 세 점 [eqn: rmA(2),~B(3),~P(itx)]에 대하여 [eqn: rm barAP + bar BP =5]를 만족시키는 [eqn: x]의 값을 구하여라.

09

다음 두 점 사이의 거리를 구하여라.
(1) [eqn: rmA(1,~-3),```B(6,~9)]
(2) [eqn: rmC(ita,~b),~rmD(itb,~a)]

10

다음 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]는 어떤 삼각형인가?

[eqn: rmA(1,~2),~B(-2,~-2),~C(5,~-1)]

11

정삼각형 [eqn: rmABC]의 두 꼭짓점 [eqn: rmB,~C]의 좌표가 각각 [eqn: (-4,~0),~(2,~0)]일 때, 꼭짓점 [eqn: rmA]의 좌표를 구하여라.

12

세 점 [eqn: rmA(2,~6),~B(4,~3),~C(7,~5)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]는 어떤 삼각형인가?

13

두 점 [eqn: rmA(1,~2),~B(-1,~-2)]를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 [eqn: rmABC]의 다른 한 꼭짓점 [eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

14

두 점 [eqn: rm A(-3,~2),````B(4,~5)]로부터 같은 거리에 있는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

15

세 점 [eqn: rmA(2,~1),~B(-2,~-1),~C(5,~0)]에서 같은 거리에 있는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

16

두 점 [eqn: rmA(-1,~2),````B(4,~5)]로부터 같은 거리에 있는 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmQ]의 좌표를 구하여라.

17

세 꼭짓점이 [eqn: rmA(1,~3),~B(4,~2),~C(5,~7)`]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 외심 [eqn: rmP]의 좌표와 외접원의 반지름의 길이를 구하여라.

18

두 점 [eqn: rmA(0,~2),~B(8,~4)]가 있다. [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarAP +barPB]의 최솟값을 구하여라.

19

두 점 [eqn: rmA(0,~2),~B(8,~4)]가 있다. [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm {barAP }^2 + {bar PB}^2]의 최솟값을 구하여라.

20

두 점 [eqn: rmA(2,~3),~B(6,~1)]이 있다. [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 다음 값을 구하여라.
(1) [eqn: rmbarAP + bar PB]의 최솟값
(2) [eqn: rm{barAP}^2 +{barPB}^2]의 최솟값

21

세 점 [eqn: rmA(3,~3),~B(-3,~0),````C(3,~0)]에 대하여 [eqn: rm{barAP } ^2 +{barBP}^2 + {bar CP } ^2]의 값이 최소가 되는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

22

세 점 [eqn: rmA(-4,~0),````B(4,~0),~C(0,~3)]과 점 [eqn: rmP(itx,~y)]가 있다. [eqn: rm{barAP } ^2 +{barBP}^2 + {bar CP } ^2]의 최솟값과 그때의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

23

삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 할 때, [eqn: rm{barAB}^2 + {barAC } ^2 = 2 ( {barAM}^2 +{barBM }^2 )]임을 보여라.

24

직사각형 [eqn: rmABCD]와 임의의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm {barAP}^2 +{barCP } ^2 = {barBP}^2 + {barDP } ^2]임을 보여라.

25

사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선이 직교할 때, [eqn: rm {barAB}^2 +{barCD } ^2 = {barBC}^2 + {barDA } ^2]이 성립함을 보여라.

26

세 점 [eqn: rm A(-1,~1),````B(1,~-1),````C(5,~3)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]는 어떤 삼각형인가?

27

직선 [eqn: x+2y=3] 위에 있고, 두 점 [eqn: rmA(1,~2),~B(5,~4)]로부터 같은 거리에 있는 점의 좌표를 구하여라.

28

세 점 [eqn: rmA(8,~0),~B(-4,~0),````C(0,~6)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외심의 좌표를 구하여라.

29

오른쪽 그림과 같은 정사각형의 모눈이 있다. 직선 [eqn: l] 위에 있는 [eqn: 5]개의 점 [eqn: rmP,~Q,~R,] [eqn: rmS,~T] 중에서 두 점 [eqn: rmA,~B]에서의 거리의 제곱의 합이 최소인 점은 어느 점인가?

30

두 점 [eqn: rmA(2,~1),~B(6,~3)]이 있다. 점 [eqn: rmP]가 [eqn: x]축 위에 있을 때, [eqn: rmbarAP +bar BP]가 최소가 되는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

31

좌표평면 위에 세 점 [eqn: rmO(0,~0),~A(ita,~b),~rmB(2,~-1)]이 있다. 이때 [eqn: sqrt { a^2 +b^2} + sqrt { (a-2)^2 +(b+1)^2 }]의 최솟값을 구하여라.

32

평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 다음이 성립함을 보여라.

[eqn: rm2( {barAB }^2 + {barBC } ^2 )= {bar AC } ^2 +{barBD }^2]

33

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(2,~3),~B(ita,~b)]에 대하여 [eqn: rm angle AOB=90 DEG]이기 위한 조건은?

(단, [eqn: rmO]는 원점)

① [eqn: 2a-3b=0]	② [eqn: 2a+3b=0]

③ [eqn: 3a-2b=0]	④ [eqn: 3a+2b=0]
⑤ [eqn: 2a+3b=1]

34

네 점 [eqn: rmA(0,~0),~B(3,~-2),````C(4,~5),]
[eqn: rmD(-1,~2)]에 대하여 [eqn: rmbarPA +barPB +barPC + barPD]의 최솟값을 구하여라.

35

서로 수직으로 만나는 두 직선 도로에서 자동차 [eqn: rmA]는 [eqn: rmP] 지점을 출발하여 초속 [eqn: 20`rmm]로 서쪽으로 달리고 이와 동시에 자동차 [eqn: rmB]는 [eqn: rmQ] 지점을 출발하여 초속 [eqn: rm10``rmm]로 남쪽으로 달린다. 이때 두 자동차 [eqn: rmA]와 [eqn: rm][eqn: rmB] 사이의 직선 거리가 최소로 되는 것은 두 자동차가 출발한 지 몇 초 후인가?

36

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(0,~0),~B(5,~12)] 사이의 거리를 구하여라.

37

두 점 [eqn: rmA(1,~2),~B(6,~3)]에서 같은 거리에 있는 [eqn: x]축 위의 점의 좌표를 구하여라.

38

두 점 [eqn: rm A(3,~2),~B(5,~6)]에서 같은 거리에 있는 [eqn: y]축 위의 점의 좌표를 구하여라.

39

세 점 [eqn: rmA(5,~3),~B(7,~-1)},~C(-2,~2)]에서 같은 거리에 있는 점을 [eqn: rmP(ita,~b)]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

40

직선 [eqn: y=x] 위에 있고, 두 점 [eqn: rmA(4,~3),] [eqn: rmB(-1,~2)]에서 같은 거리에 있는 점의 좌표를 구하여라.

41

직선 [eqn: y=2x+1] 위에 있고, 두 점 [eqn: rmA(1,~-3)},] [eqn: rmB(3,~2)]에서 같은 거리에 있는 점의 좌표를 구하여라.

42

세 점 [eqn: rm A(3,~3),~B(-4,~4)},~C(-1,~5)]에서 같은 거리에 있는 점의 좌표를 [eqn: rmP(ita,~b)]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

43

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A(0,~0),~B(4,~0),] [eqn: rm C(4,~10)]이 있다. 이때 [eqn: rm {bar PA } ^2 +{bar{PB}}^2 + {barPC } ^2]을 최소로 하는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅲ. 도형의 방정식		1. 평면좌표			반 / 번호
	02 선분의 내분과 외분					이름

01

두 점 [eqn: rmA(-1,~3),```B(4,~-2)]를 이은 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점과 외분하는 점을 각각 [eqn: rm P,~Q]라고 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 중점 [eqn: rmM`]의 점의 좌표를 구하여라.

02

세 점 [eqn: rm A(5,~-1),``~B(3,~6),~C(-3,~4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: rmbar AB ,] [eqn: rm bar BC ,] [eqn: rmbar CA]의 중점을 각각 [eqn: rmD,~E,~F]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rm DEF]의 무게중심의 좌표를 구하여라.

∣서∣술∣형∣

03

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmA(3,~4)]에 대하여 선분 [eqn: rm OA]를 [eqn: m:n]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, [eqn: rm 1 over bar OP + 1 over barOQ]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: m>n>0])

∣서∣술∣형∣

04

오른쪽 그림과 같이 세 점 [eqn: rmA(1,~4)],
[eqn: rmB(-3,~1)], [eqn: rmC(1,~0)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rm angle A]의 이등분선이 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점의 좌표를 [eqn: rmD(ita,~b)]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

05

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA(2),~B(5)]에 대하여 다음 점의 좌표를 구하여라.
(1) [eqn: rm barAB]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점 [eqn: rmP]
(2) [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 3:1]로 외분하는 점 [eqn: rmQ]

06

두 점 [eqn: rmA(-2,~3),````B(4,~5)]에 대하여 [eqn: rm barAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmP]와 [eqn: 2:1]로 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표를 구하여라.

07

세 점 [eqn: rmA(1,~2),~B(-2,~5),````C(5,~-3)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표를 구하여라.

08

두 점 [eqn: rmA(-2,~1),````B(3,~6)]에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.
(2) [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 2:3]으로 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표를 구하여라.

09

세 점 [eqn: rmA(5,~-3),````B(-6,~2),````C(4,~6)]에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: rmbarBC]의 중점 [eqn: rmD]의 좌표를 구하여라.
(2) [eqn: rmbarAD]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmG]의 좌표를 구하여라.

10

세 점 [eqn: rmA(2,~4),~B(ita,~1),~rmC(8,~itb )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: rmG(2,~1)]일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

11

오른쪽 그림과 같은 사다리꼴 [eqn: rmOABC]에 대하여 다음 물음에 답하여라. (단, [eqn: a>b])
(1) 두 대각선 [eqn: rmOB,~AC]의 중점 [eqn: rmM,~N]의 좌표를 구하여라.
(2) [eqn: rm bar MN]의 길이를 구하여라.

12

두 점 [eqn: rmA(-3,~4),````B(5,~-2)]에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: rm bar AB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.
(2) [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 3:4]로 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표를 구하여라.

13

삼각형 [eqn: rmABC]의 두 꼭짓점의 좌표가 [eqn: rm A(4,~-5),][eqn: rmB(5,~2)]이고, 무게중심의 좌표가 [eqn: (-3,~0)]일 때, 꼭짓점 [eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

14

두 점 [eqn: rm A(1,~-2),````B(3,~2)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB`]의 연장선 위에 있는 점 [eqn: rmC]가 [eqn: rm 2 barAB = bar BC]를 만족시킬 때, 점 [eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

15

세 점 [eqn: rmA(2,~6),~B(-4,~0),````C(8,~-2)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 세 변 [eqn: rmAB,~BC,~CA]의 중점을 각각 [eqn: rmD,~E,~F]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmDEF]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표를 구하여라.

16

두 점 [eqn: rmA(-4,~8),````B(12,~ita)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:b]로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: (2,~-1)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: b>0])

17

두 점 [eqn: rmA(-1,~-2),~B(3,~1)]을 잇는 선분 [eqn: rmAB]의 연장선 위에 [eqn: rm 3 bar AB = 2 bar BC]인 점을 [eqn: rmC (ita,~b)]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a>3])

18

평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 세 꼭짓점이 [eqn: rmA(1,~5),] [eqn: rmB(-1,~-1),~C(4,~2)]일 때, 꼭짓점 [eqn: rmD `]의 좌표를 구하여라.

19

네 점 [eqn: rmA(ita,~1),~rmB(3,~5),~C(7,~3),~D(itb,~-1)]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmABCD]가 마름모일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

20

평행사변형 [eqn: rmABCD`]의 세 꼭짓점이 [eqn: rm A(2,~3),] [eqn: rmB(-1,~1),~C(-4,~5)]일 때, 꼭짓점 [eqn: rmD]의 좌표를 구하여라.

21

마름모 [eqn: rmABCD]의 세 꼭짓점이 [eqn: rm A(1,~1),] [eqn: rmB(2,~3),~D(3,~2)]일 때, 꼭짓점 [eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

22

오른쪽 그림에서 삼각형 [eqn: rmOAB]와 삼각형 [eqn: rmOAC`]의 무게중심을 각각 [eqn: rmG,~G prime]이라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 점 [eqn: rmG]와 점 [eqn: rmG `prime]의 좌표를 구하여라.
(2) [eqn: rm{ bar {GG prime}} over barBC]의 값을 구하여라.

23

삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB,~BC,~CA]의 중점의 좌표가 각각 [eqn: rmD(2,~5),~E(-4,~7),````F(-1,~-3)]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표를 구하여라.

24

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA(-4),~B(12)]에 대하여 [eqn: rmbar AB]를 [eqn: 5:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP], [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 7:11]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, [eqn: rm bar PQ]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표를 구하여라.

25

두 점 [eqn: rmA( 2,~-5),~B(-1,~4)]에 대하여 [eqn: rm bar AB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], [eqn: 2:1]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, [eqn: rm barPQ]의 중점의 좌표를 구하여라.

26

두 점 [eqn: rm A(-4,~5),````B(5,~-1)]을 이은 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: t:(1-t)]로 내분하는 점이 제[eqn: 1]사분면에 속할 때, [eqn: t]의 값의 범위를 구하여라. (단, [eqn: 0<t<1])

27

삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB,~BC,~CA]의 중점의 좌표가 각각 [eqn: (1,~2),~(5,~3),~(3,~7)]일 때, 이 삼각형의 무게중심의 좌표는 [eqn: (a,~b)]이다. 이때 곱 [eqn: ab]의 값을 구하여라.

28

삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: rm{barPA }^2 +{ barPB}^2 +{barPC }^2]의 값이 최소일 때, 점 [eqn: rmP]와 같은 것은?

① 외심	② 내심	③ 무게중심

④ 수심	⑤ 방심

29

오른쪽 그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB,~BC,~CA]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이 각각 [eqn: rm P(1,~3),~Q(5,~-1),][eqn: rm R(4,~4)]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표를 구하여라.

30

수직선 위의 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: m:n]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, 다음 등식이 성립함을 보여라. (단, [eqn: m>n>0])

[eqn: rm 1 over {barAP } + 1 over{ barAQ }= 2 over { barAB }]

31

오른쪽 그림과 같이 세 점 [eqn: rm A(1,~5),]
[eqn: rm B(-4,~-7),]
[eqn: rmC(5,~2)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. [eqn: rmangleA]의 이등분선이 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라고 할 때, 점 [eqn: rmD]의 좌표를 구하여라.

32

삼각형 [eqn: rm ABC]와 같은 평면 위에 있는 직선 [eqn: l`]에 대하여 세 점 [eqn: rm A,~B,~C]에서 직선 [eqn: l]까지의 거리가 각각 [eqn: 10,~18,~14]라고 한다. 이때 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]에서 직선 [eqn: l]까지의 거리를 구하여라.

33

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA(-3),~B(9)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

34

세 점 [eqn: rmA(2,~3),~B(-1,~2)},~C(-1,~4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표를 구하여라.

35

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmA(3,~6)]에 대하여 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmOP]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ`]라고 할 때, 두 점 [eqn: rmP,~Q`] 사이의 거리를 구하여라.

36

두 점 [eqn: rmA(-2,~-1),~B(7,~ita)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:b]로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: (4,~1)]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하여라. (단, [eqn: b>0])

37

두 점 [eqn: rmA(2,~3),~B(-2,~1)]에 대하여 선분 [eqn: rmBA]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 하자. 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 중점이 [eqn: rmM(ita,~b)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

38

삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB,~BC,~CA]의 중점의 좌표가 각각 [eqn: rmD(3,~4),~E(4,~-1)},~F(6,~1)]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표를 구하여라.

39

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmA(6,~-3)},~B(1,~5)]이고 무게중심의 좌표가 [eqn: rmG(1,~3)]일 때, 꼭짓점 [eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

40

좌표평면에서 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB,~BC,] [eqn: rmCA]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점의 좌표가 각각 [eqn: (`1,~1),~(2,~3)},~(3,~2)]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표를 구하여라.

41

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA(-3,~5)},~B(1,~-3),] [eqn: rmC(7,~5)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외심의 좌표를 [eqn: rmP(ita,~b)]라고 할 때, [eqn: ab]의 값을 구하여라.

42

두 점 [eqn: rmA(9,~-4)},~B(2,~ita )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: m:(m-1)]로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: (5,~4)]일 때, [eqn: a+m]의 값을 구하여라.

43

세 점 [eqn: rmA(5,~4),~B(ita,~b),~rmC(itc,~d)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 변 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: rmM(-1,~3)], 무게중심의 좌표가 [eqn: rmG(1,~2)]일 때, [eqn: a+2b+3c +4d]의 값을 구하여라.

44

두 점 [eqn: rmA(3,~4),~B(0,~7)]을 이은 선분 [eqn: rmAB]의 연장선 위에 [eqn: rmBARAB = 3 bar BC]인 점 [eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

45

두 점 [eqn: rmA(-3,~8)},~B(13,~ita)]를 이은 선분을 [eqn: 3:b]로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: (3,~-1)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

46

네 점 [eqn: rmA(ita,~1),~rmB(3,~5),~C(7,~3),~D(itb,~-1)]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmABCD]가 마름모일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a>1])

47

두 점 [eqn: rmA(1,~3),~B(3,~2)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]가 직선 [eqn: y=x+1]과 만나는 점을 [eqn: rmP]라고 할 때, [eqn: {rm bar AP } over {rmbarBP}]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅲ. 도형의 방정식		1. 평면좌표			정답
	01 두 점 사이의 거리

01

⑤

답

해

설

[eqn: rmbar AB = sqrt { (1-4)^ 2 + (2+3)^2 } = sqrt { 34}]

[eqn: rm barBC = sqrt { (-4-1)^2 +(-1-2)^2}= sqrt { 34}]

[eqn: rm bar CA = sqrt { (4+4)^2 +(-3+1)^2 }= sqrt { 68}]

이므로

[eqn: rm bar AB =bar BC ,~{barCA}^2 ={barAB } ^2 + {barBC }^2]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rm angle B =90 DEG]인 직각이등변삼각형이다.

02

④

답

해

설

마름모의 성질에 의하여 두 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rm BD]의 중점이 일치하므로  [eqn: a+4 over 2 = 2+b over 2]

[eqn: b=a+2]	㉠

또 사각형 [eqn: rm ABCD]는 마름모이므로 [eqn: rm bar AB = bar BC]에서

[eqn: sqrt { (2-a)^2 +(3-1)^ 2} = sqrt { (4-2)^2 +(4-3)^2}]

양변을 제곱하여 정리하면  [eqn: a^2 -4a +3=0]

[eqn: (a-1)(a-3)=0]

[eqn: a>1]이므로  [eqn: a=3]	㉡

㉡을 ㉠에 대입하면  [eqn: b=5]

[eqn: a+b=3+5=8]

03

④

답

해

설

삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형이므로  [eqn: rm bar AB = bar BC = bar CA]

[eqn: rm bar AB = bar BC]에서 [eqn: rm {bar{AB }} ^2 ={ bar BC}^2]이므로

[eqn: (-1-1)^2 +(-3-3)^2 =(a+1)^2 +(b+3)^2]

[eqn: a^2 +2a +b^2 +6b =30]	㉠

또 [eqn: rm bar AB = bar CA]에서 [eqn: rm {bar AB }^2 = {bar CA }^2]이므로

[eqn: (-1-1)^2 +(-3-3)^2 =(1-a)^2 +(3-b)^2]

[eqn: a^2 -2a +b^2 -6b=30]	㉡

[eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: 4a+12b=0]

[eqn: a= -3b]	㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: 9b^2 -6b + b^2 +6b =30,~10b^2 =30]

[eqn: b=+- sqrt { 3 },~a -+3 sqrt { 3}] (복부호 동순)

따라서  [eqn: a ^{2} +b ^{2} =27+3=30]

04

(1) [eqn: 8]          (2) [eqn: 2sqrt { 2}]

답

05

(1) [eqn: 5]          (2) [eqn: 6sqrt { 2}]

답

06

[eqn: 2] 또는 [eqn: 10]

답

해

설

[eqn: rm bar{AB} =|`6-(-2)`|=8,~ bar{BC} = | `itc-6`|]

[eqn: rm barAB = 2 bar BC]이므로  [eqn: 8= 2 |`itc-6`|,~ | `c-6`|=4]

[eqn: c-6=+-4]

[eqn: c=10] 또는 [eqn: c=2]

07

(1) [eqn: sqrt { 85}]        (2) [eqn: 2sqrt { 41}]

답

08

[eqn: 0,~5]

답

해

설

[eqn: rmbarAP + bar BP = | `itx-2`|+| `itx-3`|=5]에서

(i) [eqn: x<2]일 때,

[eqn: rm bar AP + barBP = -(itx-2)-(x-3) = -2x+ 5 =5]

[eqn: x=0]

(ii) [eqn: 2<x<3]일 때,

[eqn: rm bar{AP} + bar{BP} = it x-2-(x-3)=1 not = 5]

따라서 조건을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 존재하지 않는다.

(iii) [eqn: x>3]일 때,

[eqn: rm bar{AP} + bar{BP} = it x-2+x-3=2x-5 = 5]

[eqn: x=5]

(i), (ii), (iii)에 의하여  [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=5]

09

(1) [eqn: 13]          (2) [eqn: sqrt { 2} |`a-b`|]

답

10

[eqn: rm angle A = 90 DEG]인 직각이등변삼각형

답

해

설

[eqn: rm bar AB = sqrt { (-2-1)^2 +(-2-2)^2}=5]

[eqn: rm bar BC = sqrt { left{5-(-2)^2 right} +left{-1-(-2)right}^2 }=5 sqrt { 2}]

[eqn: rm bar AC = sqrt { (5-1) ^2 +(-1-2)^2}=5]

이므로

[eqn: rm {barAB}^2 + {barAC }^2 = {barBC } ^2]

또 [eqn: rm barAB = bar AC]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rm angle A = 90 DEG]인 직각이등변삼각형이다.

11

[eqn: (-1,~3 sqrt { 3})] 또는 [eqn: (-1,~-3 sqrt { 3})]

답

해

설

삼각형 [eqn: rmABC]는 정삼각형이므로  [eqn: rm bar AB = bar BC = barCA]

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]로 놓으면

[eqn: rm bar AB = bar BC]에서  [eqn: sqrt { (x+4)^2 + y^2 } = sqrt { (-4-2)^2}]

양변을 제곱하여 정리하면  [eqn: x^2 + 8x + y^2 = 20]	㉠

[eqn: rm bar AC = bar BC]에서  [eqn: sqrt { (x-2)^2 + y^2 }= sqrt { (-4-2)^2 }]

양변을 제곱하여 정리하면  [eqn: x^2 - 4x + y^2 = 32]	㉡

[eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: 12x = -12,~x=-1]

㉠에 [eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: y^2 = 27 ,~y=+-3 sqrt { 3}]

따라서 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (-1,~3 sqrt { 3 })] 또는 [eqn: (-1,~-3 sqrt { 3 })]

12

[eqn: rm angleB =90 DEG]인 직각이등변삼각형

답

해

설

[eqn: rm bar AB = sqrt { (4-2)^2 +(3-6) ^2 }= sqrt { 13}]

[eqn: rm barBC = sqrt { (7-4)^2 + ( 5-3)^2}= sqrt { 13}]

[eqn: rm barAC = sqrt { (7-2)^2 +(5-6)^2 }= sqrt { 26}]

이므로  [eqn: rm{barAB }^2 + {barBC}^2 = {barAC }^2]

또 [eqn: rm bar AB = bar BC]이므로 삼각형 [eqn: rm ABC]는 [eqn: rm angleB =90 DEG]인 직각이등변삼각형이다.

13

[eqn: (-2 sqrt { 3 },~ sqrt { 3}),~(2 sqrt { 3},~- sqrt { 3})]

답

해

설

삼각형 [eqn: rmABC]는 정삼각형이므로

[eqn: rmbarAB = bar BC = bar CA]

점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]로 놓으면

[eqn: rm bar AB = bar BC]에서

[eqn: sqrt { (1+1)^2 +(2+2)^2 } = sqrt { (x+1)^2 +(y+2)^2}]

[eqn: x^2 + 2x + y^2 + 4y =15]	㉠

[eqn: rmbarAB = barCA]에서

[eqn: sqrt { (1+1)^2 +(2+2)^2 }= sqrt { (x-1)^2 +(y-2)^2}]

[eqn: x^2 -2x +y^2 -4y = 15]	㉡

[eqn: ㉠-㉡]을 하면

[eqn: 4x+ 8y =0,~x=-2y]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: 4y^2 - 4y + y^2 + 4y =15]

[eqn: y^2 = 3]

[eqn: y=+- sqrt { 3},~x=-+2 sqrt { 3}](복부호동순)

따라서 점 [eqn: rmC]의 좌표는

[eqn: (-2 sqrt { 3 },~ sqrt { 3}),~(2 sqrt { 3},~- sqrt { 3})]

14

[eqn: rmP(2,~0)]

답

해

설

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~0)]으로 놓으면

[eqn: rm bar AP = bar BP]에서

[eqn: sqrt { (x+3)^2 +(-2)^2}= sqrt { (x-4)^2 +(-5)^2 }]

양변을 제곱하여 풀면  [eqn: x=2]

[eqn: rmP(2,~0)]

15

[eqn: rmP(2,~-4)]

답

해

설

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]로 놓으면 [eqn: rm barAP =barBP = bar CP]이므로 [eqn: rm barAP = barBP]에서

[eqn: sqrt { (x-2) ^2 +(y-1)^2 }= sqrt { (x+2)^2 +(y+1)^2}]

양변을 제곱하여 정리하면  [eqn: 2x+y =0]	㉠

[eqn: rm barAP = barCP]에서  [eqn: sqrt { (x-2)^2 + (y-1)^2}= sqrt { (x-5)^2 + y^2 }]

양변을 제곱하여 정리하면  [eqn: 3x- y =10]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: x=2,~y=-4]

[eqn: rmP(2,~-4)]

16

[eqn: rmQ(0,~6)]

답

17

[eqn: rmP left( 13 over4 ,~ 19 over4 right)]
외접원의 반지름의 길이: [eqn: sqrt { 130} over 4]

답

해

설

삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로 외심을 [eqn: rmP(itx,~y)]라고 하면

[eqn: rm barAP = bar BP = barCP]

[eqn: rmbarAP = bar BP]에서

[eqn: sqrt { (x-1)^2 +(y-3)^2}= sqrt { (x-4)^2 +(y-2)^2}]

[eqn: 3x-y = 5]	㉠

[eqn: rm barAP = barCP]에서

[eqn: sqrt { (x-1)^2 + (y-3)^2 }= sqrt { (x-5)^2 + (y-7)^2}]

[eqn: x+y=8]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: x= 13 over 4 ,~y= 19 over 4]

[eqn: rmP left( 13 over4 ,~ 19 over 4 right)]

또 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라고 하면

[eqn: R = rm barAP = barBP = bar CP]

[eqn: rm barAP = sqrt { left( 13 over4 -1 right) ^2 +left( 19 over 4 -3 right) ^2} = sqrt { 81 over16 + 49 over16}= sqrt {130 } over 4]

[eqn: R= sqrt { 130} over 4]

18

[eqn: 10]

답

해

설

점 [eqn: rmA(0,~2)]의 [eqn: x]축에 대한 대칭점은

[eqn: rmA prime (0,~-2)]

[eqn: rm bar AP = bar{ A prime P}]이므로

[eqn: rm bar AP + bar PB = bar{A primeP} + barPB]

이때 [eqn: rm bar{A primeP} + barPB]가 최소가 되려면 세 점 [eqn: rm A prime,~P,~B]가 일직선 위에 있어야 한다.

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: rm bar{A prime B}]의 길이와 같다.

[eqn: sqrt { (8-0)^2 +(4+2)^2 }=10]

19

[eqn: 66]

답

해

설

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (0,~y)]로 놓으면

[eqn: rm{barAP }^2 = (ity-2) ^2 = y^2 - 4y +4]

[eqn: rm bar{PB} ^{2} =(-8) ^{2} +( it y-4) ^{2} =y ^{2} -8y+80]

이므로

[eqn: rm {bar AP}^2 + {barPB}^2 = 2ity^2 -12y + 84 = 2(y-3)^2 + 66]

따라서 [eqn: y=3]일 때 최솟값은 [eqn: 66]이다.

20

②

답

해

설

(1)

점 [eqn: rmB(6,~1)]의 [eqn: x]축에 대한 대칭점은  [eqn: rm B prime(6,~-1)]

[eqn: rmbarPB = bar{PB prime}]이므로

[eqn: rm bar{AP} + bar{PB} = bar{AP} + bar{PB prime }]

이때 [eqn: rmbar{AP} + bar{PB prime }]이 최소가 되려면 세 점 [eqn: rmA,~P,~B prime]이 일직선 위에 있어야 한다.

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: rm bar {AB prime}]의 길이와 같다.

[eqn: sqrt { (6-2)^2 +(-1-3)^2}=4 sqrt { 2}]

(2) 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~0)]으로 놓으면

[eqn: rm{barAP }^2 = (itx-2)^2 + (-3)^2 =x^2 -4x +13]

[eqn: rm {barPB}^2 = it(x-6) ^2 + (-1)^2 = x^2 - 12x + 37]

이므로

[eqn: rm {barAP } ^2 + {barPB } ^2 = 2itx^2 -16x + 50= 2(x-4)^2 +18]

따라서 [eqn: x=4]일 때 구하는 최솟값은 [eqn: 18]이다.

21

[eqn: (1,~1)]

답

해

설

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]로 놓으면

[eqn: rm bar{AP ^{2}} + bar{BP ^{2}} + bar{CP ^{2}}# = LEFT { (x-3) ^{2} +(y-3) ^{2} RIGHT } + LEFT { (x+3) ^{2} +y ^{2} RIGHT }# ~~+ LEFT { (x-3) ^{2} +y ^{2} RIGHT }# =3(x ^{2} +y ^{2} -2x-2y+12)# =3(x-1) ^{2} +3(y-1) ^{2} +30]

따라서 [eqn: x=1,~y=1]일 때 최솟값 [eqn: 30]을 가지므로 구하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (1,~1)]이다.

22

[eqn: 38], [eqn: rmP(0,~1)]

답

해

설

[eqn: rm{barAP} ^2 + {barBP } ^2 + {bar CP }^2 #= left{ (x+4)^2 + y^2 right} + left{ (x-4)^2 + y^2 right} #~~+left{ x^2 + (y-3)^2 right} #=3x^2 +3y^2 -6y +41 #=3x^2 +3(y-1)^2 + 38]

따라서 [eqn: x=0,~y=1]일 때 최솟값 [eqn: 38]을 갖고, 그때의 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: rmP(0,~1)]이다.

23

해설 참조

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 좌표축을 잡고

[eqn: rmA(ita,~b),~rmB(it-c,~0),~rmC(itc,~0)]

으로 놓으면 [eqn: rmM(0,~0)]이다.

[eqn: rm{barAB }^2 + {barAC } ^2 #= left{ (ita+c)^2 + b^2 right} #~~+ left{ (a-c)^2 +b^2 right} #=2(a^2 + b^2 +c^2 )]

[eqn: rm{barAM}^2 +{barBM}^2 = (ita^2 + b^2 )+c^2]

[eqn: rm{barAB }^2 + {barAC }^2 =2 ( {barAM}^2 +{barBM}^2 )]

24

해설 참조

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 좌표축을 잡고

[eqn: rmA(it0,~a),] [eqn: rmB(0,~0),] [eqn: rmC(itc,~0),] [eqn: rmD(itc,~a),] [eqn: rmP(itx,~y)]

로 놓으면

[eqn: rm{barAP}^2 + {barCP}^2 =left{itx^2 + (y-a)^2 right} +left{(x-c)^2 +y^2 right}]

[eqn: rm{bar{BP}}^2 +{barDP}^2 =(itx^2 + y^2 )+left{ (x-c)^2 +(y-a)^2 right}]

[eqn: rm{barAP}^2 + {barCP}^2 ={barBP}^2 +{barDP}^2]

25

해설 참조

답

해

설

[eqn: rm A( it a,~0),] [eqn: rmB(0,~itb),] [eqn: rmC(itc,~0),] [eqn: rmD(it0,~d)]로 놓으면

[eqn: rm{barAB}^2 +{barCD}^2& =(ita^2 +b^2 )+(c^2 +d^2 ) #&=a^2 +b^2 +c^2 +d^2]

[eqn: rm{barBC }^2 +{barDA}^2 &= (itc^2 +b^2 )+(a^2 +d^2 ) #&=a^2 +b^2 +c^2 +d^2]

[eqn: rm{barAB}^2 + {barCD }^2 = {barBC }^2 + {barDA}^2]

26

[eqn: rm angleB =90 DEG]인 직각삼각형

답

해

설

[eqn: rm{barAB }^2 = (1+1)^2 +(-1-1)^2 =8]

[eqn: rm{barBC }^2 =(5-1)^2 +(3+1)^2 = 32]

[eqn: rm{barAC }^2 =(5+1) ^2 +(3-1)^2 = 40]

이므로

[eqn: rm{barAC }^2 ={barAB}^2 + {BarBC }^2]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rmangleB=90DEG]인 직각삼각형이다.

27

[eqn: (5,~-1)]

답

해

설

직선 [eqn: x+2y=3] 위의 임의의 점을 [eqn: rmP(it a,~b)]라고 하면 [eqn: rmbarPA = barPB]에서

[eqn: sqrt { (a-1)^2 +(b-2)^2 }= sqrt { (a-5)^2 +(b-4)^2}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 2a+b=9]	㉠

점 [eqn: rmP(ita,~b)]가 [eqn: x+2y=3] 위에 있으므로

[eqn: a+2b= 3]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=5,~b=-1]

[eqn: (5,~-1)]

28

[eqn: rmP left(2 ,~ 1 over3 right)]

답

해

설

외심을 [eqn: rmP(itx,~y)]라고 하면  [eqn: rm{barPA = barPB = barPC]

[eqn: rmbarPA = bar PB]에서  [eqn: sqrt { (x-8)^2 + y^2 }= sqrt { (x+4)^2 +y^2 }]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: x=2]	㉠

[eqn: rmbarPA = bar PC]에서

[eqn: sqrt { (x-8)^2 + y^2 }= sqrt { x^2 + (y-6)^2 }]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4x-3y=7]	㉡

㉠을 ㉡에 대입하면  [eqn: y= 1 over 3]

[eqn: rmP left(2 ,~ 1 over3 right)]

29

[eqn: rmR]

답

해

설

직선 [eqn: l]을 [eqn: x]축으로 하여 두 점 [eqn: rmA,~B]의 좌표를 각각 [eqn: (0,~2),~(6,~-4)]로 정하면 [eqn: x]축 위의 임의의 점 [eqn: rmX(itx,~0)]에 대하여

[eqn: rm{barAX }^2 + {barBX}^2 &= left{ itx ^2 + (-2) ^2 right} +left{(x-6)^2 + 4^2 right} #&=2x^2 -12x + 56 #&=2(x-3) ^2 +38]

따라서 [eqn: rm{barAX}^2 + {barBX }^2]의 값은 [eqn: x=3]일 때 최소가 된다.

즉, 점 [eqn: rmX]의 위치가 [eqn: rmR]일 때 최소가 된다.

30

[eqn: rmP left(3,~0)]

답

해

설

점 [eqn: rmA(2,~1)]의 [eqn: x]축에 대한 대칭점을 [eqn: rmA prime(2,~-1)]이라고 하면 [eqn: rmA prime (2,~-1)]과 [eqn: rmB(6,~3)]을 지나는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmP]

라고 할 때, [eqn: rmbarAP + bar BP]가 최소가 된다.

두 점 [eqn: rm A prime (2,~-1)]과 [eqn: rmB (6,~3)]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-3= 3-(-1) over 6-2 (x-6)]

[eqn: y-3 = x-6]

[eqn: y=x-3]

[eqn: rmP(3,~0)]

31

[eqn: sqrt {5}]

답

해

설

[eqn: sqrt { a^2 +b^2 }+ sqrt { (a-2)^2 + (b+1)^2 }=rmbarOA + bar AB]이므로 이 값이 최소가 되는 것은 세 점 [eqn: rmA,~B,~O]가 일직선 위에 있을 때이다.

따라서 [eqn: rmbarOA + barAB]의 최솟값은

[eqn: rm barOB = sqrt { 2^2 +(-1)^2 }= sqrt { 5}]

32

해설 참조

답

해

설

세 꼭짓점 [eqn: rmA,~B,~C]를 [eqn: rmA(ita,~b),~rmB(0,~0),~rmC(itc,~0)]으로 놓으면 꼭짓점 [eqn: rmD]의 좌표는 [eqn: rmD(ita+c,~b)]가 된다.

[eqn: rm {barAB}^2 + {barBC }^2 = (ita^2 + b^2 ) + c^2 =a^2 +b^2 +c^2]

[eqn: rm{barAC }^2 + {barBD }^2 &= left{ (ita-c)^2 + b^2 right} + left{(a+c)^2 +b^2 right}#&=2(a^2 + b^2 +c^2 )]

[eqn: 2( rm {barAB}^2 + {barBC}^2 ) = {barAC}^2 + {barBD} ^2]

33

②

답

해

설

[eqn: rm angle AOB = 90 DEG]이면 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: rm {barOA } ^2 + {barOB } ^2 = {barAB } ^2]이므로

[eqn: 2^2 + 3^2 +a^2 +b^2 = (a-2)^2 +(b-3)^2]

[eqn: 4a+6b=0,~2a+3b=0]

34

[eqn: sqrt {41}+4 sqrt { 2}]

답

해

설

위의 그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선 [eqn: rm bar AC ,~bar BD]의 교점을 [eqn: rmP]라 하고, 임의의 점 [eqn: rmP prime]을 잡으면

[eqn: rm bar { A P prime} +bar{ P prime C } ge barAP + barPC =barAC]

[eqn: rm bar{ B P prime } + bar{ P primeD } ge barBP + barPD = barBD]

[eqn: rm bar{P prime A} + bar{P prime B} + bar{P prime C} + bar{P prime D} & GEQ bar{PA} + bar{PB} + bar{PC} + bar{PD}# & = rm barAC + barBD]

즉, [eqn: rm bar PA +barPB +barPC +barPD]를 최소로 하는 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rm barAC]와 [eqn: rm barBD]의 교점이다.

따라서 구하는 최솟값은

[eqn: rm barAC + barBD = sqrt { 4^2 + 5 ^2}+ sqrt { 4^2 + 4^2 }= sqrt { 41 }+ 4sqrt { 2}]

35

[eqn: 32]초 후

답

해

설

[eqn: rm O] 지점을 원점으로 하고 [eqn: rmP(600,~0),~Q(0,~400)]으로 놓자.

출발한 지 [eqn: t]초 후의 두 자동차 [eqn: rmA,~B]의 위치는 각각

[eqn: rmA(600-20it t,~0),~rmB(0,~400-10it t)]

이고 [eqn: rm {barAB}^2]이 최소일 때, [eqn: rm barAB]도 최소이므로

[eqn: rm {barAB } ^2 &=(600-20it t) ^2 + (400-10t)^2 #&=100(60-2t)^2 + 100(40-t)^2 #&=100( 5t^2 -320t +5200) #&=500(t^2 -64t +1040) #&= 500 left{ (t-32) ^2 +16 right}]

따라서 두 자동차 사이의 거리는 자동차가 출발한 지 [eqn: 32]초 후 최소가 된다.

36

[eqn: 13]

답

37

[eqn: (4,~0)]

답

해

설

[eqn: x]축 위의 점을 [eqn: rmP(itx,~0)]으로 놓으면 [eqn: rmBARPA = bar PB]에서

[eqn: sqrt { (x-1) ^2 +(0-2) ^2 } = sqrt { (x-6) ^2 +(0-3) ^2 }]

양변을 제곱하면

[eqn: (x-1) ^2 +4=(x-6) ^2 +9]

[eqn: x^2 -2x + 5 = x^2 -12x +45]

[eqn: 10x=40~~~therefore x=4]

따라서 구하는 점의 좌표는 [eqn: (4,~0)]이다.

38

[eqn: rmP(0,~6)]

답

해

설

[eqn: y]축 위의 점을 [eqn: rmP(0,~itb)]로 놓으면 [eqn: rm {barAP } ^2 ={barBP}^2]에서  [eqn: 3^2 +(b-2) ^2 =5^2 +(b-6) ^2]

[eqn: thereforeb=6]

[eqn: therefore][eqn: rmP(0,~6)]

39

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: rm{barAP } ^2 = {barBP}^2]에서  [eqn: 4a-8b=16~~thereforea-2b=4]

[eqn: rm{barBP} ^2 = {bar CP } ^2]에서  [eqn: 18a-6b=42~~~ THEREFORE 3a-b=7]

두 식을 연립해서 풀
[eqn: a=2,~b=-1~~~ THEREFORE a+b=1]

40

[eqn: left( 5 over 3 ,~ 5 over 3 right)]

답

해

설

[eqn: rmbarAP =barBP]에서

[eqn: sqrt { (a-4) ^2 +(a-3) ^2 }= sqrt { (a+1) ^2 +(a-2) ^2 }]

[eqn: 2a^2 -14a +25=2a^2 -2a+5,~-12a=-20]

[eqn: therefore a= 5 over 3 ~~~therefore left( 5 over 3 ,~ 5 over 3 right)]

41

[eqn: rm P LEFT ( - {7} over {24} ,~ {5} over {12} RIGHT )]

답

해

설

[eqn: rm P( ita,~2a+1)]로 놓으면 [eqn: rmbarAP = bar BP]에서

[eqn: (a-1)^2 +(2a +1+3) ^2 =(a-3) ^2 +(2a+1-2) ^2]

[eqn: therefore a= - 7 over 24 ~~~thereforermP left( - 7 over 24 ,~ 5 over12 right)]

42

[eqn: -1]

답

해

설

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rmP(ita,~b)]라고 하면

[eqn: rm barAP =barBP]에서  [eqn: 7a - b =-7]

또 [eqn: rmbar AP =barCP]에서  [eqn: 2a-b=-2]

연립하여 풀면  [eqn: a=-1,~ b=0]

[eqn: therefore a+b=-1]

43

[eqn: rm P LEFT ( {8} over {3} ,~ {10} over {3} RIGHT )]

답

해

설

[eqn: rmP(itx,~y)]라고 하면

[eqn: rm{barPA } ^2 + {bar PB } ^2 + {barPC } ^2 #= x^2 + y^2 + (x-4) ^2 + y ^2 +(x-4) ^2 +(y-10) ^2 #=3 left( x- 8 over 3 right) ^2 +3 left( y - 10 over3 right) ^2 + 232 over 4]

[eqn: therefore rmP left( 8 over 3 ,~ 10 over 3 right)]

수학Ⅰ	Ⅲ. 도형의 방정식		1. 평면좌표			정답
	02 선분의 내분과 외분

01

[eqn: rmM(-5,~7)]

답

해

설

[eqn: rm bar AB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는

[eqn: rmP left( {2 cdot 4 + 3 cdot (-1)} over 2+3 ,~{2 cdot (-2) + 3 cdot 3 } over 2+3 right)]

[eqn: rmP(1,~1)]

[eqn: rmbar AB]를 [eqn: 2:3]으로 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표는

[eqn: rm Q left( { 2 cdot 4 - 3 cdot(-1) } over 2-3 ,~ { 2cdot(-2)-3 cdot 3 } over 2-3 right)]

[eqn: rm Q(-11,~13)]

따라서 [eqn: rm bar PQ]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표는

[eqn: rm M left( { 1+(-11) } over 2 ,~ {1+13 } over 2 right)]

[eqn: rm M(-5,~7)]

02

[eqn: left( 5 over 3 ,~3right)]

답

해

설

[eqn: rm bar AB ,~ bar BC ,~ bar CA]의 중점 [eqn: rm D,~E,~ F]의 좌표는 각각

[eqn: rm D left ( 4,~ 5 over 2 right) ,~E(0,~5),~F left( 1,~ 3 over 2 right)]

따라서 삼각형 [eqn: rm DEF]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( 4+0+1 over 3 , { 5 over 2 + 5 + 3 over 2 } over 3 right)=left ( 5 over 3 ,~ 3 right)]

03

[eqn: 2 over 5]

답

해

설

두 점 [eqn: rm P left( it 3m over m+n ,~ 4m over m+n right) ,~rm Q left( it 3m over m-n ,~ 4m over m-n right)]

(가)

[eqn: rm bar OP = it m over m+n sqrt { 3^2 + 4^2 }= 5m over m+n ,]

[eqn: rm bar OQ = it m over m-n sqrt { 3^2 +4^2 }= 5m over m-n]	(나)

[eqn: 1 over{ rm bar OP} + 1 over{rm bar OQ} = it m+n over 5m + m-n over 5m = 2m over 5m = 2 over 5]	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 좌표를 구한다.	40 %
(나) [eqn: rm bar OP ,~ bar OQ]를 구한다.	40 %
(다) 주어진 식의 값을 구한다.	20 %

04

[eqn: - 1 over 3]

답

해

설

[eqn: rm bar AD]가 [eqn: rmangle A]의 이등분선이므로 각의 이등분선의 성질에 의하여  [eqn: rm bar AB : bar AC = bar BD : bar DC]	(가)

[eqn: rm bar AB = sqrt { (-3-1)^2 +(1-4) ^2 }=5]

[eqn: rm bar AC = sqrt { (1-1)^2 +(0-4)^2 } =4]

이므로

[eqn: rm bar BD : bar DC = bar AB : bar AC = 5:4]	(나)

즉, 점 [eqn: rmD(ita,~b)]는 [eqn: rm bar BC]를 [eqn: 5: 4]로 내분하는 점이므로

[eqn: a= {5 times 1 + 4 times (-3) } over 5+4 = - 7 over 9]

[eqn: b= { 5 times 0 + 4 times 1 } over 5+4 = 4 over 9]

따라서  [eqn: a+b = left( - 7 over 9 right) + 4 over 9 = - 3 over 9 = - 1 over 3]	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 각의 이등분선의 성질을 이용한다.	30 %
(나) [eqn: rm bar BD : bar DC]의 값을 구한다.	40 %
(다) [eqn: a+b]의 값을 구한다.	30 %

05

(1) [eqn: rmP left( 19 over 5 right)]        (2) [eqn: rmQ left( 13 over 2 right)]

답

06

(1) [eqn: rm P LEFT (2,~ {13} over {3} RIGHT )]     (2) [eqn: rm Q LEFT ( 10,~7 RIGHT )]

답

07

[eqn: rm G LEFT ( 4over3 ,~ {4} over {3} RIGHT )]

답

08

(1) [eqn: rm P LEFT (1,~4 RIGHT )]       (2) [eqn: rm Q LEFT ( -12,~-9 RIGHT )]

답

09

(1) [eqn: rmD LEFT (-1,~4 RIGHT )]     (2) [eqn: rm G LEFT (1,~ 5over3 RIGHT )]

답

10

[eqn: a=-4,~b=-2]

답

11

(1) [eqn: rm M LEFT ( it b over2 ,~ {c} over {2} RIGHT ),~rmN LEFT ( it a over2 ,~ {c} over {2} RIGHT )]
(2) [eqn: a-b over 2]

답

12

(1) [eqn: rm P LEFT (1over5 ,~ {8} over {5} RIGHT )]     (2) [eqn: rm Q LEFT ( -27,~22 RIGHT )]

답

13

[eqn: rm C LEFT (-18,~ 3 RIGHT )]

답

14

(1) [eqn: rm C LEFT (7,~10 RIGHT )]    (2) [eqn: rm C LEFT (-1,~ -6 RIGHT )]

답

15

[eqn: rm G LEFT (2,~ 4over3 RIGHT )]

답

해

설

[eqn: rm D(-1,~3),````E(2,~-1),] [eqn: rmF(5,~2)]이므로 삼각형 [eqn: rmDEF]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라고 하면

[eqn: x= -1+2+5 over 3 = 2 ,~y= 3-1+2 over 3 = 4 over 3]

[eqn: rm G left(2,~ {4} over {3} right)]

16

[eqn: -11]

답

해

설

[eqn: rmbarAB]를 [eqn: 3: b]로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: (2,~-1)]이므로

[eqn: { 3cdot12+ b cdot(-4) }over 3+b = 2]	㉠

[eqn: {3cdota + b cdot 8 } over 3+b =-1]	㉡

㉠에서  [eqn: 36- 4b = 6+ 2b], [eqn: b=5]

㉡에서  [eqn: 3a+8b=-3-b]

[eqn: a+3b=-1]

[eqn: a=-16]

[eqn: a+b=-16+5=-11]

17

[eqn: 29 over 2]

답

해

설

[eqn: a>3]이므로 [eqn: 3 rm bar AB = 2 bar BC]인 점 [eqn: rmC(ita,~b)]는 다음과 같다.

[eqn: rmbarAB : bar BC = 2:3]

즉, 점 [eqn: rmC(ita,~b)]는 [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 5:3]으로 외분하는 점이므로 [eqn: rmA(-1,~-2),~B(3,~1)]에서

[eqn: a= { 5 cdot 3 - 3 cdot (-1) } over 5-3 =9,~b= { 5 cdot 1 - 3 cdot (-2) } over 5-3 = 11over2]

[eqn: a+b=9+ 11 over2 = 29 over 2]

18

[eqn: rmD( 6,~8)]

답

해

설

점 [eqn: rmD]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라고 하면 두 대각선 [eqn: rmAC,~BD]의 중점이 일치하므로

[eqn: left( 5 over 2 ,~ 7 over2 right) #= left( -1+a over 2 ,~ -1+b over2 right)]

[eqn: a=6,~ b=8]

[eqn: rmD( 6,~8)]

19

[eqn: a=1,~b=5] 또는 [eqn: a=5,~b=9]

답

해

설

두 대각선 [eqn: rmAC,~BD]의 중점이 일치하므로

[eqn: left( a+7 over 2 ,~2 right) = left( 3+b over 2 ,~2 right)]

[eqn: b= a + 4]	㉠

[eqn: rmbar AB = barBC]에서

[eqn: (a-3) ^2 + (-4) ^2 = 4^2 +(-2) ^2 ,~a-3=+-2]

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=5]	㉡

㉠, ㉡에 의하여  [eqn: a=1,~b=5] 또는 [eqn: a=5,~b=9]

20

[eqn: rmD(-1,~7)]

답

해

설

점 [eqn: rmD]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라고 하자.

두 대각선 [eqn: rmAC,~BD]의 중점이 일치하므로

[eqn: left( 2-4 over2 ,~ 3+5 over 2 right) = left( -1+a over2 ,~ 1+b over 2 right)]

[eqn: -1+a over 2 = -1,~ 1+b over2 = 4]

[eqn: a=-1,~b=7]

[eqn: rmD(-1,~7)]

21

[eqn: rmC(4,~4)]

답

해

설

점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라고 하자.

두 대각선 [eqn: rmAC,~BD]의 중점이 일치하므로

[eqn: left( 1+a over 2 ,~ 1+b over 2 right) = left( 2+3 over 2 ,~ 3+2 over2 right)]

[eqn: 1+a over 2 = 5 over 2 ,~ 1+b over 2 = 5 over2]

[eqn: a=4,~b=4]

[eqn: rmC(4,~4)]

22

(1) [eqn: rm G left( it a-c over 3 ,~ b over 3 right) ,~rmG prime left( it a+d over 3 ,~ b over 3 right)]
(2) [eqn: 1 over3]

답

해

설

(2) [eqn: rm bar {GG prime} = it a+d over 3 - a-c over 3 = c+d over 3]

[eqn: rm bar BC = it d - (-c) = c+d]

[eqn: rm {bar {GG prime}} over barBC = 1 over3]

23

[eqn: (-1,~3)]

답

해

설

[eqn: rmA( it x_1 ,~y_1 ),~rm B(itx_2 ,~y_2 ) ,~rmC(it x_3 ,~ y_3 )]이라고 하면

[eqn: rm bar AB]의 중점이 [eqn: rmD( 2,~5)]이므로

[eqn: { x_1 + x _2 }over2 = 2,~ { y_1 + y_2 } over 2 = 5]

[eqn: x_1 +x_2 = 4,~ y_1 + y_ 2 = 10]	㉠

같은 방법으로 [eqn: rmbarBC]의 중점이 [eqn: rmE(-4,~7)]이므로

[eqn: x_2 + x_3 = -8,~ y_2 + y_ 3 =14]	㉡

[eqn: rm barCA]의 중점이 [eqn: rmF (-1,~-3)]이므로

[eqn: x_3 + x_1 =-2,~y_3 + y _ 1 = - 6]	㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여

[eqn: x_1 + x _ 2 + x _3 =-3,~ y_1 +y_2 +y_3 =9]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( {x_1 + x_2 + x_3 } over 3 ,~{y_1 +y_2 + y_3 } over3 right) = left( -3 over 3 ,~ 9 over3 right) = (-1,~3)]

24

[eqn: rm M(-13)]

답

25

[eqn: left ( - 3 over 2 ,~ 11 over 2 right)]

답

26

[eqn: 4 over 9 < t < 5 over 6]

답

해

설

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: t:(1-t)]로 내분하는 점은

[eqn: LEFT ( {t CDOT 5+(1-t) CDOT (-4)} over {t+(1-t)} ,~ {t CDOT (-1)+(1-t) CDOT 5} over {t+(1-t)} RIGHT ) #=(9t-4,~ -6t+5)]

이 점이 제[eqn: 1]사분면에 속하므로

[eqn: 9t-4>0,~ -6t+ 5>0]

[eqn: 4 over 9 < t < 5 over 6]

27

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: rmA(itx_1 ,~y_1 ),~rmB(itx_2 ,~y_ 2 ),~rmC (itx_3 ,~y_3 )]이라고 하면 [eqn: rmbarAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (1,~2)]이므로

[eqn: { x_1 + x_2 }over2 =1,~ {y_1 + y_ 2 }over2 =2]	㉠

[eqn: rmbarBC]의 중점의 좌표가 [eqn: (5,~3)]이므로

[eqn: {x _{2} +x _{3}} over {2} =5,~ {y _{2} +y _{3}} over {2} =3]	㉡

[eqn: rm bar{CA}]의 중점의 좌표가 [eqn: (3,~7)]이므로

[eqn: {x _{3} +x _{1}} over {2} =3,~ {y _{3} +y _{1}} over {2} =7]	㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여

[eqn: x _{1} +x_2 + x_3 = 9,~ y_1 + y_ 2 + y _ 3 = 12]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( {x_1 + x_2 + x_2 } over 3 ,~ { y_1 + y _2 + y_ 3 } over 3 right) = (3,~4)]

[eqn: ab=3 times 4 =12]

28

삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심

답

해

설

세 점을 [eqn: rmA(it x_ 1 ,~y_1 ),~rmB(itx_2 ,~y_2 ) ,~rmC(itx_3 ,~y_3 )]이라 하고, [eqn: rmP(itx,~y)]라고 하면

[eqn: rm {barPA} ^2 + {barPB } ^2 + {bar PC } ^2 #=(x-x_1 ) ^2 +(y-y_1 ) ^2 + (x-x_2 ) ^2 + ( y- y_2 ) ^2 #~~+ (x-x_3 ) ^2 +(y- y_3 ) ^2 #=3x^2 -2 ( x_1 + x_2 +x_3 ) x + x_1`^2 + x_2`^2 + x_3`^2 #~~+3y^2 - 2( y_1 + y_2 + y_3 ) y + y_1`^2 + y_2 `^2 + y_3 `^2 #= 3 left( x - { x_1 + x_2 + x_3 } over 3 right) ^2 + 3 left( y - { y_1 + y_2 + y_3 } over 3 right) ^2# ~~+ x_1`^2 + x_2`^2 + x_3`^2 + y_1`^2 + y_2 `^2 + y_3 `^2# ~~-{ (x_1 + x_2 + x_3 ) ^2 } over3 - {(y_1 + y_2 + y_3 )^2} over 3]

따라서 [eqn: rm {bar{PA} } ^{2} + {bar{PB}} ^{2} +{ bar{PC}} ^{2}]의 값은

[eqn: x= { x_1 + x_2 + x_3 } over 3 ,~y= { y_1 + y_2 + y_3 } over 3]일 때, 최소가 되므로 점 [eqn: rmP]의 위치는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심이다.

29

[eqn: left( 10 over 3 ,~2 right)]

답

해

설

[eqn: rmA(itx_1 ,~y_1 ),~rmB(itx_2 ,~y_ 2 ),~rmC (itx_3 ,~y_3 )]이라고 하면

점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: rm left( {2itx _2 + x _1 } over 3 ,~{2ity_2 +y_1} over3 right)]이므로

[eqn: {2itx _2 + x _1 } over 3 =1 ,~{2ity_2 +y_1} over3 =3]

[eqn: {2itx _2 + x _1 } =3 ,~{2ity_2 +y_1}=9]	㉠

같은 방법으로

[eqn: 2 it x _{3} +x _{2} =15,~2 it y _{3} +y _{2} =-3]	㉡

[eqn: 2 it x _{1} +x _{3} =12,~2 it y _{1} +y _{3} =12]	㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여

[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} =10,~y _{1} +y _{2} +y _{3} =6]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( {x_1 + x_2 + x_3 } over 3 ,~{y_1 + y_2 + y_3 } over3 right) = left( 10over3 ,~2 right)]

30

해설 참조

답

해

설

[eqn: rmA(ita),~rmB(itb)~(a<b)]로 놓으면

[eqn: rmP left(it {mb +na} over m+n right) ,~rmQ left( it mb-na over m-n right)]

이므로

[eqn: rm bar AP = it mb+na over m+n -a = mb-ma over m+n]

[eqn: rm barAQ = it mb-na over m-n - a = mb-ma overm-n]

[eqn: rm 1 over barAP + 1 over barAQ = it m+n overmb-ma + m-n over mb-ma& = 2m over mb-ma #&= 2 over b-a]

한편 [eqn: rmbarAB = it b-a]이므로

[eqn: rm 2 over barAB = it 2 over b-a]

따라서 [eqn: rm 1 over barAP + 1 over barAQ = 2 over bar AB]이다.

31

[eqn: rm D left( 5 over2 ,~ - 1 over 2 right)]

답

해

설

[eqn: rm angle BAD = angle CAD`]이므로 삼각형의 각의 이등분선의 정리에 의하여

[eqn: rmbarAB : barAC = barBD : barDC]	㉠

이때

[eqn: rm bar AB = sqrt { (-4-1)^2 + (-7-5)^2}=12]

[eqn: rm bar AC = sqrt { (5-1)^2 +(2-5)^2}=5]

이므로 ㉠에 의하여 점 [eqn: rmD]는 [eqn: rm barBC]를 [eqn: 13:5]로 내분하는 점이다.

따라서 점 [eqn: rmD]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라고 하면

[eqn: x= { 13 cdot 2 + 5 cdot(-4) } over 13+5 = 5 over 2]

[eqn: y= { 13 cdot 2 +5 cdot (-7) } over 13+5 = - 1 over 2]

[eqn: rmD left( 5 over2 ,~ - 1 over 2 right)]

32

[eqn: 14]

답

해

설

직선 [eqn: l]을 [eqn: x]축으로 생각하여 주어진 그림을 다음과 같이 돌려 본다.

[eqn: rmA( it x_1 ,~10),~rm B(it x_2 ,~18),~rmC(itx_3 ,~14)]로 놓으면 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표는

[eqn: rm G left( it {x_1 + x_2 + x _3 } over 3 ,~{10+18+14 }over3 right)]

따라서 무게중심 [eqn: rmG]에서 직선 [eqn: l]까지의 거리는

[eqn: 10+18+14 over3 =14]

33

[eqn: rmC(5)]

답

34

[eqn: rmG(0,~3)]

답

35

[eqn: 2sqrt { 5}]

답

해

설

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라고 하면

[eqn: a= { 2 cdot 3 + 1 cdot 0 } over 2+1 =2,~b={ 2 cdot 6 + 1 cdot 0 } over2+1 =4]

[eqn: thereforermP(2,~4)]

점 [eqn: rm Q]의 좌표를 [eqn: (c,~d)]라고 하면

[eqn: c= {2 CDOT 2-1 CDOT 0} over {2-1} =4,~b= {2 CDOT 4-1 CDOT 0} over {2-1} =8]

[eqn: THEREFORE rm Q(4,~8)]

따라서 두 점 [eqn: rmP,~Q] 사이의 거리는

[eqn: sqrt { (4-2) ^2 +(8-4) ^2 }=2 sqrt { 5}]

36

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: {2 cdot 7 + b cdot(-2) } over 2+b =4~~~therefore b=1]

[eqn: {2cdot a +b cdot(-1) } over 2+b =1~~~therefore a=2]

[eqn: therefore ab=2]

37

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: rm P LEFT ( {1 CDOT 2+2 CDOT (-2)} over {1+2} ,~ {1 CDOT 3+2 CDOT 1} over {1+2} RIGHT ) ~~~ THEREFORE P LEFT ( - {2} over {3} ,~ {5} over {3} RIGHT )]

[eqn: rm Q LEFT ( {1 CDOT (-2)-2 CDOT 2} over {1-2} ,~ {1 CDOT 1-2 CDOT 3} over {1-2} RIGHT ) ~~~ THEREFORE Q LEFT ( 6,~5 RIGHT )]

[eqn: rm bar{PQ]의 중점 [eqn: rm M]의 좌표 [eqn: rmM left( 8 over 3 ,~ 10 over3 right )]에서

[eqn: a+b= 8 over 3 + 10 over3 = 6]

38

[eqn: rmG left( 13 over 3 ,~ 4 over3 right)]

답

해

설

[eqn: rmA(itx_1 ,~y_1 ) ,~rmB(itx_2 ,~y_2 ) ,~rmC(itx_3 ,~y_3 )]으로 놓으면

[eqn: { x _1 + x_2 } over 2 =3,~ {y_1 + y_2 } over 2 =4]

[eqn: {x_2 + x_3 } over 2 =4 ,~{y_2 + y _ 3 } over 2 =-1]

[eqn: {x_3 +x_1 } over 2 =6,~{ y_3 + y_1 } over 2 =1]

[eqn: therefore x_1 +x_2 +x_3 =13,~y_1 +y_2 + y_ 3 = 4]

[eqn: therefore {x_1 +x_2 +x_3 } over 3 = 13 over 3 ,~{y_1 +y_2 + y _3 } over 3 = 4 over 3]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표는  [eqn: rmG left( 13 over 3 ,~ 4 over3 right)]

39

[eqn: rmC(-4,~7)]

답

해

설

점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라고 하면

[eqn: 6+1+x over 3 =1,~ {-3 + 5 + y } over 3 = 3]

[eqn: therefore x=-4,~y=7~~~thereforermC(-4,~7)]

40

[eqn: rm G(2,~2)]

답

해

설

삼각형 [eqn: rmABC]의 세 꼭짓점의 좌표를 각각

[eqn: rmA(itx_1 ,~y_1 ) ,~rmB(itx _2 ,~y_2 ),~rmC(itx_3 ,~y_3 )]이라고 하면

[eqn: x_1 + x_2 +x_3 =6,~y_1 + y_2 + y_3 =6]에서

[eqn: rmG left( {itx_1 + x_2 + x_3} over 3 ,~{ ity_1 +y_2 + y_3 } over3 right) = G(2,~2)]

41

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: rmbarAP =barBP]에서

[eqn: sqrt {(a+3) ^{2} +(b-5) ^{2}} = sqrt {(a-1) ^{2} +(b+3) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE a-2b=-3]	㉠

[eqn: rm bar{AP} = bar{CP}]에서

[eqn: sqrt {(a+3) ^{2} +(b-5) ^{2}} = sqrt {(a-7) ^{2} +(b-5) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE a=2]	㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: a=2,~b= 5 over 2 ~~~therefore ab=5]

42

[eqn: 14]

답

해

설

[eqn: {2m+9(m-1) } over m+(m-1) = 5]에서

[eqn: 11m-9=5(2m-1)~~~thereforem=4]

[eqn: {am -4(m-1) } overm+(m-1) =4]에서

[eqn: am-4m+4=4(2m-1),~4a-16+4=28]

[eqn: therefore a=10]

[eqn: therefore a+m= 14]

43

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: 5+a over 2 =-1,~ 4+b over 2 =3]에서  [eqn: a=-7,~b=2]

[eqn: 5+a+c over 3 = 1 ,~ 4+b+d over 3 = 2]에서  [eqn: c=5,~d=0]

[eqn: therefore a+2b+3c +4d =12]

44

[eqn: rm C(-1,~8)]

답

해

설

점 [eqn: rmC]는 [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 4:1]로 외분하는 점이므로

[eqn: rmC left( { 4 cdot 0 - 1 cdot 3 } over 4-1 ,~ { 4 cdot 7 - 1 cdot 4 } over 4-1 right)=C(-1,~8)]

45

[eqn: -11]

답

해

설

[eqn: { 3 times 13 + b times (-3 ) } over 3+b = 3,~{3 times a + b times 8 } over 3+b =-1]

두 식을 연립하여 풀면  [eqn: a=-16,~b=5]

[eqn: therefore a+b =-16+ 5 = -11]

46

[eqn: 14]

답

해

설

두 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]의 중점의 좌표가 일치하므로

[eqn: a+7 over 2 = b+3 over 2 ~~therefore b= a+4]

[eqn: rmbar{AB} = bar BC]에서

[eqn: sqrt {( a-3) ^2 +(1- 5) ^2 }= sqrt { (3-7) ^2 +(5-3) ^2 }]

[eqn: therefore a=5,~b=9~~~therefore a+b=14]

47

[eqn: 1 over2]

답

해

설

[eqn: rmbarAP : barBP = 1: itk]라고 하면 점 [eqn: rmP]의 좌표는

[eqn: left( k+3 over1+k ,~ 3k+2 over 1+k right)]

이 점은 직선 [eqn: y=x+1] 위에 있으므로

[eqn: 3k+2 over 1+k = k+3 over1+k +1]

[eqn: k=2]에서  [eqn: rm barAP over barBP = 1 over2]