수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		4. 여러 가지 부등식			반 / 번호
	01 부등식					이름

01

두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 두 부등식 [eqn: a>b,] [eqn: 1 over a > 1 over b]이 동시에 성립한다는 것과 같은 의미는?

① [eqn: a>0,~b>0]	② [eqn: a>0,~b<0]

③ [eqn: a>b>0]	④ [eqn: b>a>0]

⑤ [eqn: a over b >0]

02

[eqn: a<0]일 때, [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: (a-1)x < 2 (x -a^2 )]을 풀어라.

03

부등식 [eqn: A LE 2x over 1-2x LE B`]의 해가
[eqn: -3 LE x LE -1]일 때, [eqn: 3B -7A]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04

부등식 [eqn: |`2x-3 ` |LE 5]를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

05

부등식 [eqn: |`x-1`|<3 -2|`x`|]의 해가 [eqn: a<x<b]일 때, [eqn: b-a`]의 값은?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

06

연립일차부등식 [eqn: 2x+1<x+3 LEQ 6+`3x]의 해가 [eqn: a LE x <b]일 때, [eqn: b-a]의 값은?

① [eqn: 5 over 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7 over 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9 over 2]

07

[eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: (a-b)x +a-2b LE 0]의 해가 존재하지 않을 때, 부등식 [eqn: (a-3b)x +a -5b >0]의 해는? (단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: x>-1]	② [eqn: x>-2]

③ [eqn: x< -1]	④ [eqn: x < -2]

⑤ [eqn: x>1]

08

[eqn: 1 over 4 LE x LE 1 over 2]에 대하여 [eqn: y = 4-3x over 2x]라고 할 때, [eqn: y]의 값 중에서 정수의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

09

부등식 [eqn: |`2x -a` | GE 4]의 해가 [eqn: x LE -1] 또는 [eqn: x GE b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

10

[eqn: a>b>-1]일 때, [eqn: a over 1+a ,~ b over 1+b]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: a over {1 +a} > b over 1+b]	② [eqn: a over {1 +a} GE b over 1+b]

③ [eqn: a over {1 +a} < b over 1+b]	④ [eqn: {a} over {1+a} LE {b} over {1+b}]

⑤ [eqn: a over {1 +a}= b over 1+b]

11

두 수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: 1 LE x LE 3,~ 2 LE y le 5]일 때, [eqn: x-y]의 최댓값 [eqn: M]과 최솟값 [eqn: m]의 합 [eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

12

두 부등식 [eqn: x+a ge 2a ,~ 2x-4 LE x-1]을 동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]가 [eqn: 1,~2,~3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: 0 LE a le 1]	② [eqn: 1 LE a <2]

③ [eqn: 0< a< 1]	④ [eqn: 1 <a LE 2]

⑤ [eqn: 0 < a LE1]

13

부등식 [eqn: ( 2a -b) x +3a -2b <0]의 해가 [eqn: x< -3]일 때, 부등식 [eqn: (4a -b) x +a -3b< 0]을 풀면?

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: x < - 8]	② [eqn: x > - 8]

③ [eqn: x<0]	④ [eqn: x<8]

⑤ [eqn: x >8]

14

부등식 [eqn: sqrt { x^2 -2x +1 }+ |`x+2` |<5]의 해가 [eqn: a<x<b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

15

[eqn: a>b,~c>d]일 때, 부등식 [eqn: a+c > b+d]가 성립함을 보여라.

16

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: 2x+5< 5x-4]
(2) [eqn: 3-2(x+4) ge 3x]

17

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: |`x-1` | <3]
(2) [eqn: |`x+2` | ge 5]

18

다음이 성립함을 보여라.
(1) [eqn: a>0,~b>0]일 때,  [eqn: a^2 > b^2]이면 [eqn: a>b]이다.
(2) [eqn: a<0,~b<0]일 때, [eqn: a^2 >b^2]이면 [eqn: a<b]이다.

19

다음이 성립함을 보여라.
(1) [eqn: a>0,~b>0]일 때,  [eqn: 1 over a > 1 over b]이면 [eqn: a<b]이다.
(2) [eqn: a<0,~b<0]일 때, [eqn: 1 over a > 1 over b]이면 [eqn: a<b]이다.

20

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: 6x-1 ge 3x + 8]
(2) [eqn: x-1 over 2 + {2x +1} over 3 < x]

21

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: |`2x-1`| le 3]
(2) [eqn: |`3x-5`| >10]

22

[eqn: a>b,~c>d]일 때, 부등식 [eqn: ac+bd>ad+bc]가 성립함을 보여라.

23

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: 4x +3(5-2x) le 6]
(2) [eqn: x-2 over 3 > x+2]
(3) [eqn: left|`3- x over 2 `right| >5]
(4) [eqn: |`5x+2`|le 8]

24

[eqn: a>b>0,~c>0]일 때, 다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) [eqn: a+b over 2 ,~ a+2b over 3]
(2) [eqn: a over b ,~ a+c over b+c]

25

부등식 [eqn: ax-3 over 2 - x+a over 3 <1]의 해가 [eqn: x<3]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

26

[eqn: a>b>c>0]일 때, 다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) [eqn: a,~ 2a+3b over 5]
(2) [eqn: a over b ,~ a-c overb-c]

27

부등식 [eqn: 2(x+a) > a(x-2)]의 해가 [eqn: x<12]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

28

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: ax +b>bx +a]
(2) [eqn: ax+1 > x+a^2]

29

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: 3x-2 <a (ax-2x-1)]이 성립하도록 실수 [eqn: a]의값을 정하여라.

30

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: a(x-a)<b(x-b)]
(2) [eqn: a(ax-1)>x-1]

31

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: (a^2 -4)x >a-2]이 성립하도록 실수 [eqn: a]의값을 정하여라.

32

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: |`x-2`|<2x+1]
(2) [eqn: |`x-1`|+|`x-2`|<5]

33

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: 2|`x+3`| le x]
(2) [eqn: x+|`x-2`|>4]
(3) [eqn: |`x`|+|`x+1`|>3]
(4) [eqn: |`x-3`|ge2|`x`|]

34

[eqn: a>b>0]일 때, 다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) [eqn: a + 1 over b ,~ b + 1 overa]
(2) [eqn: a over a+1 ,~ b over b+1]

35

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x+3 over 2 > 2x-3]
(2) [eqn: a(x-2)>2x]

36

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: |`2x+2`|<x+2]
(2) [eqn: |`x-2`|-|`x-3`|<1]

37

[eqn: 0<a<b,~a+b=2]일 때, [eqn: 1,~a,~b,~ab]의 대소를 비교하여라.

38

부등식 [eqn: |`3x-3`|le k+2]를 만족시키는 실수[eqn: x]가 존재하기 위한 [eqn: k]값의 범위를 구하여라.

39

부등식 [eqn: |`x-2`|<1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]가 부등식 [eqn: |`x ^{2} -4`|<k]를 만족시키도록 [eqn: k]의 값을 정할 때, [eqn: k]의 최솟값을 구하여라. (단, [eqn: k>0])

40

부등식 [eqn: sqrt {n+1} - sqrt {n} `<` 1 over10]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라.

41

[eqn: a,~b,~c,~d]가 양수이고 [eqn: a over b < c over d]일 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.

[eqn: a over b < a+c over b+d < c overd]

42

부등식 [eqn: |`ax+1`| le b]의 해가 [eqn: -4 le x le 8]일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

43

부등식 [eqn: |`x-1` |<2]의 해를 구하여라.

44

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: 1<|`x-1` |<3]
(2) [eqn: 2|`x-1` |+3|`x+1` |<6]

45

부등식 [eqn: x+5>|`2x+3` |]의 해를 구하여라.

46

부등식 [eqn: |`x+1`|+|`x-2`|<5]의 해를 구하여라.

47

부등식 [eqn: |`x-a+1`|<3]의 해가 [eqn: b<x<5]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		4. 여러 가지 부등식			반 / 번호
	02 이차함수와 이차부등식의 관계					이름

001

이차부등식 [eqn: x^ 2 LE 5 x +24]를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는?

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

002

이차부등식 [eqn: x^2 +ax +b < 0]의 해가 [eqn: -2 <x < 3]일 때, 이차부등식 [eqn: ax^2 -x -b < 0]의 해는?

① [eqn: -3 < x < 2]	② [eqn: -2 < x< 3]

③ [eqn: x<2] 또는 [eqn: x>3]	④ [eqn: x< -3] 또는 [eqn: x>2]

⑤ [eqn: x < - 2] 또는 [eqn: x >3]

003

이차부등식 [eqn: x^2 +ax +2a -3 >0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하도록 하는 상수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: 2<a<6]	② [eqn: 2 LE a < 6]

③ [eqn: 2 le a le 6]	④ [eqn: a LE 2] 또는 [eqn: a GE 6]

⑤ [eqn: a<2] 또는 [eqn: a>6]

004

이차부등식 [eqn: x^2 +2x +a <0]의 해가 [eqn: -4 <x < b]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

005

연립부등식 [eqn: cases {` x^2 -3x -4 le 0 ##`-x^2 +x +2 <0]의 해가
[eqn: alpha < x le beta]일 때, [eqn: alpha + beta]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

006

세 실수 [eqn: a,~b,~c~(a<b<c)]에 대하여 [eqn: x]에 대한 연립부등식 [eqn: cases { ` (x-a)(x-b) >0 ##`(x-b)(x-c)>0]의 해가 [eqn: x< - 4] 또는 [eqn: x>3]일 때, 이차부등식 [eqn: x^2 +ax +c <0]의 해는?

① [eqn: -3 < x < 4]	② [eqn: 3 < x< 4]

③ [eqn: -3 <x <1]	④ [eqn: -1 <x < 3]

⑤ [eqn: 1 <x< 3]

007

이차부등식 [eqn: x^2 -2x - 8 <0]의 해와 부등식 [eqn: |`x-a` |<b]의 해가 서로 같을 때, 두 상수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

008

두 상수 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대하여 부등식 [eqn: x^2 +ax +b le 0]의 해가 [eqn: -1 le x le 3]일 때, 부등식 [eqn: x^2 -ax +b le 0]의 해는?

① [eqn: -3 le x le -1]	② [eqn: -2 le x le 2]

③ [eqn: -3 le x le 1]	④ [eqn: -1 le x le 2]

⑤ [eqn: 1 le x le 3]

009

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) >0]의 해가 [eqn: -3 <x < 2]일 때, 부등식 [eqn: f(x + 2010) le 0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값이 아닌 것은?

① [eqn: -2015]	② [eqn: -2014]	③ [eqn: -2010]

④ [eqn: 2008]	⑤ [eqn: 2010]

010

[eqn: a,~b,~c]가 양의 실수일 때, 연립부등식 [eqn: cases{` ax^2 -bx +c <0 ##` cx^2 -bx +a <0]의 해가 존재한다는 것과 같은 의미인 것은?

① [eqn: a+c <b]	② [eqn: a+c <2b]

③ [eqn: a+c < b over 2]	④ [eqn: a+c <1]

⑤ [eqn: a+c <2]

011

다음 의 이차부등식 중에서 해가 모든 실수인 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: x^2 -2x -3 < 0]

ㄴ. [eqn: x^2 -x +3 > 0]

ㄷ. [eqn: x^2 -3x + 3 ge 0].

ㄹ. [eqn: -2x^2 +3x -1 le 0]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ,~ㄷ]

③ [eqn: ㄷ,~ㄹ]	④ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ,~ㄹ]

012

알루미늄 창틀을 사용하여 둘레의 길이가 [eqn: 200`rmcm]인 직사각형 모양의 한기창을 만들려고 한다 환기창의 넓이가 [eqn: 1600`rmcm^2] 이상이 되도록 하고 한 변의 길이를 가능한 길게 만들 때, 긴 변의 길이는? (단, 창틀의 폭은 생각하지 않는다.)

① [eqn: 70`rmcm]	② [eqn: 80`rmcm]

③ [eqn: 90`rmcm]	④ [eqn: 100`rmcm]

⑤ [eqn: 200`rmcm]

∣서∣술∣형∣

013

두 부등식 [eqn: x^2 -2x -3 <0],
[eqn: (x-a+1)(x-a-3)<0]을 동시에 만족시키는 [eqn: x]가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위가 [eqn: alpha <a < beta]일 때, [eqn: beta - alpha]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 서술하여라.

014

[eqn: a<0]일 때, 이차부등식 [eqn: ax^2 +2x +a >0]이 해를 가지도록 하는 실수 [eqn: a]값의 범위가 [eqn: m<a<n]일 때, [eqn: m+n]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

015

이차부등식 [eqn: x^2 -2a x +2a+3 le 0]의 해가 존재하지 않도록 하는 실수 [eqn: a]값의 범위는?

① [eqn: -1<a<3]	② [eqn: -1 <a<5]

③ [eqn: -2<a<3]	④ [eqn: -2<a<5]

⑤ [eqn: -3<a<1]

016

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: (m-1)x^2 -2 (m-1)x+2>0]이 항상 성립하도록 하는 정수 [eqn: m]의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

017

이차함수 [eqn: y=ax^2 -3]의 그래프가 직선
[eqn: y = - 4 x -a]보다 항상 위쪽에 있을 때, 정수 [eqn: a]의 최솟값을 구하여라.

018

다음은 몇 차 부등식인가?
(1) [eqn: x(x+2)<2x+1]
(2) [eqn: (x+2)(x+3)<x(x-2)]

019

다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: (x-2)(x-3) >0]
(2) [eqn: (x+4)(x-5) <0]
(3) [eqn: (x+7)(x+1) ge 0]
(4) [eqn: (x+5)(x-6) le 0]

020

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x^2 -x -6 <0]
(2) [eqn: 2x^2 +x-6 ge 0]

021

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x^2 -4x+ 4 >0]
(2) [eqn: x^2 -4x+ 4 le 0]

022

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{2} -2x+2>0]
(2) [eqn: x ^{2} -2x+2 LEQ 0]

023

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{2} -x-6 ge 0]
(2) [eqn: -2x ^{2} +3x+2>0]
(3) [eqn: x^2 -2x -2 le 0]
(4) [eqn: x^2 + 4 x +1>0]

024

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{2} -8x+16>0]
(2) [eqn: x ^{2} -8x+16<0]
(3) [eqn: x ^{2} -8x+16 ge 0]
(4) [eqn: x ^{2} -8x+16 le 0]

025

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{2} +x+1>0]
(2) [eqn: x ^{2} -2x+3 le0]
(3) [eqn: -x ^{2} +3x-5>0]
(4) [eqn: -2x ^{2} +x-2 LEQ 0]

026

연립이차부등식 [eqn: {cases{`x ^{2} -x-6<0~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`x^2 - 4x ge 0&cdotscdots㉡]을 풀어라.

027

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{2} -4x+3<0]
(2) [eqn: x ^{2} -4x-12 GEQ 0]
(3) [eqn: 2x ^{2} -5x-3>0]
(4) [eqn: -2x ^{2} +5x+7 LEQ 0]

028

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{2} +4x+5>0]
(2) [eqn: x ^{2} +4x+5 LEQ 0]
(3) [eqn: x ^{2} +6x+9>0]
(4) [eqn: x ^{2} +6x+9 LEQ 0]

029

다음 연립이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x ^{2} -3x-4<0~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`2x ^{2} +x-6 GEQ 0&CDOTS CDOTS ㉡}}]
(2) [eqn: {cases{`x ^{2} -5x+4 ge0~~`&CDOTS CDOTS ㉠#` x ^{2} -3x-10 <0&CDOTS CDOTS ㉡}}]

030

이차부등식 [eqn: 2x^2 +ax+b <0]의 해가 [eqn: 1 over 2 <x< 4]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

031

이차부등식 [eqn: ax^2 +bx +c<0]의 해가
[eqn: -1<x<2]일 때, 이차부등식 [eqn: cx^2 +bx +a <0]의 해를 구하여라.

032

이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b>0]의 해가 [eqn: x< -2] 또는 [eqn: x>3]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

033

이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0]의 해가
[eqn: - 1 over 2 <x<2]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

034

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +(k-3) x +k^2 =0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

035

[eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: x ^{2} +(m+3)x+(m+6)=0]이 두 근이 모두 양수일 때, 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 구하여라.

036

다음 두 방정식이 동시에 실근을 가지도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

[eqn: x^2 +2kx +4=0,~x^2 +kx+k=0]

037

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2`}+ax+a+3=0]의 두 근이 모두 음수일 때, 실수 [eqn: a]의 범위를 구하여라.

038

연립부등식 [eqn: cases {` x^2 - 5x + 4 le 0#`(x-3)(x-a) >0]의 해가
[eqn: 3<x le 4]일 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

039

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: x^2 -2ax +a+2 >0]이 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

040

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식
[eqn: x ^{2} -2(a-2)x+9>0]이 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

041

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식
[eqn: (x+k)(x +2k+3) ge 0]이 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

042

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{2} -x-2 GEQ 0]
(2) [eqn: 2x ^{2} -3x+1 le0]
(3) [eqn: -x ^{2`} +4 LEQ 0]
(4) [eqn: -3x ^{2} -x+2<0]

043

다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{2} -6x+9>0]
(2) [eqn: -9x ^{2} +6x-1>0]
(3) [eqn: 2x ^{2} +2x+1 LEQ 0]
(4) [eqn: 3x ^{2} +3x+1>0]

044

다음 연립이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x ^{2} -6x+9>0~~`&CDOTS CDOTS ㉠#`2x ^{2} +2x+1 LEQ 0&CDOTS CDOTS ㉡}}]
(2) [eqn: {cases{`x ^{2} -3x-18<0~~`&CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} -2x-8>0&CDOTS CDOTS ㉡}}]

045

다음 연립이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x ^{2} -x-2>0~~`&CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} -x-6 LEQ 0&CDOTS CDOTS ㉡}}]
(2) [eqn: x<x(x+3)` LEQ 2(x+3)]

046

다음 부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x(x-2) <x-2]
(2) [eqn: (x-1) ^2 < (2x+3) ^2]
(3) [eqn: x^2 - |`x` |-6 le 0]
(4) [eqn: |`x^2 -4x +6` | <6]

047

연립부등식 [eqn: cases{` x^2 le 3x #`x^2 + x ge 2]의 해가 부등식
[eqn: ax^2 +bx + 6 le 0]의 해와 같을 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

048

이차부등식 [eqn: (x+a)(x+b) <2]의 해가
[eqn: -2<x<3]일 때, 이차부등식
[eqn: (x-a)(x-b) <2]의 해를 구하여라.

049

연립부등식 [eqn: cases{` x^2 -2x -3 ge 0 #`(x+2)(x-a) <0]의 해가
[eqn: -2 < x le -1]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

050

[eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: x^2 +(m-1) x+(m+2)=0]이 서로 다른 두 양의 실근을 가질 때, 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 구하여라.

051

이차방정식 [eqn: x^2 +kx +k=0,]
[eqn: x^2 +2(k+1)x+k+3=0]이 모두 허근을 갖도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

052

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: x ^{2``}-(a-1) x+4 >0]이 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

053

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: ax ^{2``} -2(a + 1)x+4a>0]이 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

054

둘레의 길이가 [eqn: 14``rmcm]인 직사각형의 대각선의 길이가 [eqn: 5``rmcm] 이하라고 할 때, 가로의 길이의 범위를 구하여라.

055

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 이차부등식
[eqn: ax^2 +bx +c<0]의 해를 구하여라.

056

[eqn: y=x^2 -2x +1]의 그래프를 이용하여 다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: x^2 -2x +1 >0]
(2) [eqn: x ^{2} -2x+1 ge0]
(3) [eqn: x ^{2} -2x+1<0]
(4) [eqn: x ^{2} -2x+ le0]

057

다음 이차부등식 주 항상 성립하는 것을 모두 찾아라.
(1) [eqn: x^2 -x -1>0]
(2) [eqn: x^2 -3x+1 >0]
(3) [eqn: -x^2 +x -2 <0]

058

이차함수의 그래프가 다음과 같을 때, 주어진 이차부등식의 해를 구하여라.
(1)  [eqn: f(x) le0]
(2)  [eqn: f(x) le0]
(3)  [eqn: f(x) le0]

059

이차함수의 그래프를 이용하여 다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x^2 -3x -10 ge 0]
(2) [eqn: x^ 2 - 2x -3 <0]
(3) [eqn: x^2 +2x +3 >0]

060

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식
[eqn: x^2 -4x +k-2 >0]이 항상 성립하도록 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

061

이차함수
[eqn: y=ax^2 +bx+c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: ax ^{2} +bx+c ge 0]
(2) [eqn: ax^2 -bx +c <0]

062

이차함수의 그래프를 이용하여 다음 이차부등식을 풀어라.
(1) [eqn: x^2 -2x -24 le 0]
(2) [eqn: x^2 -6x +9 >0]

063

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식
[eqn: x ^{2} -kx-k+3ge0]이 항상 성립하도록 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

064

이차함수 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: f(x)>0]
(2) [eqn: f(x) le0]
(3) [eqn: f(x)-g(x)<0]

065

곡선 [eqn: y=x^2 -2x+2]가 곡선 [eqn: y=-x^2 +x+4]보다 아래쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위를 구하여라.

066

이차함수 [eqn: y=2x^2 -ax+b]의 그래프가 [eqn: x]축 아래쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: -3 <x<2]일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

067

직선 [eqn: y= 2x-3]이 곡선 [eqn: y=x^2 +3x-5]보다 위쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위를 구하여라.

068

[eqn: x not= 3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^ 2 -(a+2) x+a^2 -3a +5 >0]이 항상 성립하도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

069

이차함수 [eqn: y= x^2 -x +1]의 그래프가 직선 [eqn: y=mx]보다 항상 위쪽에 있도록 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 정하여라.

070

[eqn: x not= -1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2} +(a ^{2} -2)x+(a-1) ^{2} >0]이 항상 성립하도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

071

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +mx+2]의 그래프가 직선 [eqn: y=1]보다 항상 위쪽에 있도록 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 정하여라.

072

다음 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축 아래쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위를 구하여라.
(1) [eqn: y= x^2 -5x -6]
(2) [eqn: y=-x^2 -4x +12]

073

오른쪽의 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 이용하여 다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: f(x)>0]
(2) [eqn: f(x) ge0]
(3) [eqn: f(x) <0]
(4) [eqn: f(x) le0]

074

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 부등식이 항상 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.
(1) [eqn: ax^2 -2x +a>0]
(2) [eqn: ax^2 +4x +a-3 le0]

075

곡선 [eqn: y=x^2 - ax +2]가 곡선 [eqn: y=-x^2 -3x +b]보다 아래쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: -1<x<2]일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

076

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식 [eqn: f( |`x` |)<0]의 해를 구하여라.

077

[eqn: -1 le x le 2]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^2 -2x +a>0]이 항상 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

078

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=ax^2 -4x+1]의 그래프가 이차함수 [eqn: g(x)=-2x^2 +2ax -3]의 그래프보다 항상 위쪽에 있도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

079

두 이차함수 [eqn: y=f(x),] [eqn: y=g(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식
[eqn: 0< g(x)< f(x)]의 해는?

① [eqn: a<x<b]	② [eqn: b<x<c]

③ [eqn: c<x<d]	④ [eqn: d<x<e]

⑤ [eqn: e<x<f]

080

[eqn: 2 le x le5]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^2 -(a+4) x-a>0]이 항상 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정할 때, 이를 만족시키는 정수 [eqn: a]의 최댓값을 구하여라.

081

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+2a-1]의 그래프가 직선 [eqn: y=x+a]보다 항상 위쪽에 있도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정할 때, 이를 만족시키는 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라.

082

이차부등식 [eqn: x^2 - 4x +3<0]의 해를 구하여라.

083

이차부등식 [eqn: x^2 -2x +1 le 0]이 해를 구하여라.

084

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 - 6x +a>0]일 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

085

다음 물음에 답하여라.
(1) 이차부등식 [eqn: -2x^2 +3x -1 le 0]의 해를 구하여라.
(2) 이차부등식 [eqn: x^2 -4x +4>0]의 해를 구하여라.
(3) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: 4x^2 +2(k-1)x +k>1]이 성립할 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

086

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: ax^2 +2x+a+2 le 0]이 항상 성립할 때, [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

087

[eqn: a < - 3]일 때, 이차부등식
[eqn: x^2 -(a-1)x-2a-2 >0]의 해를 구하여라.

088

이차부등식 [eqn: ax^2 +bx +2 >0]의 해가
[eqn: 1- sqrt { 2}<x<1+ sqrt { 2}]일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

089

이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx-3>0]의 해가 [eqn: 1 over 3 < x< 3]이 되도록 하는 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

090

이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0]의 해가
[eqn: -2<x<3]일 때, 부등식 [eqn: bx ^{2} -ax-c<0]의 해를 구하여라.

091

실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: (1-|`x`|)(1+x)>0]의 해를 구하여라.

092

연립부등식 [eqn: -2x-7<x^2 -15 le -2x]를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구하여라.

093

이차부등식 [eqn: x^2 +ax+a+3 le 0]의 해가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

094

[eqn: x]에 대한 이차부등식 [eqn: x^2 +ax+b<0]의 해가 [eqn: 1<x<2]일 때 이차부등식 [eqn: ax^2 +bx +1 ge0]의 해를 구하여라.

095

연립부등식 [eqn: cases{`x^2 -16 <0#`x^2 -4x -12<0]의 해를 구하여라.

096

이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식 [eqn: x^2 -3x -4 le 0]의 해를 구하여라.

097

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차함수의 그래프 [eqn: y=x^2 +k]가 직선 [eqn: y=-3]보다 위에 있기 위한 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

098

이차방정식 [eqn: x^ 2 -2ax -a+6=0]의 두 근이 모두 [eqn: 1]보다 크기 위한 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

099

이차방정식 [eqn: x^2 +4ax +a^2 -6=0]의 두 근 사이에 [eqn: 1]이 있도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라.

100

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax-2a+8=0]의 두 근 중 한 근만이 구간 [eqn: -1` LEQ `x`le1]에 존재하기 위한 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라.

101

이차함수 [eqn: y=x^2]의 그래프 위의 점 중 직선 [eqn: y=2x+k]보다 아래에 있는 점들의 [eqn: x]좌표의 값의 범위가 [eqn: -3`<x`<5]일 때, [eqn: k]의 값을 구하여라.

102

이차함수 [eqn: y=x^2]의 그래프가 직선 [eqn: y=ax+b]보다 아래에 있는 점들의 [eqn: x]좌표의 범위가 [eqn: -5 <x<7]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

103

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^2 ge x +k]가 성립할 때, [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

104

이차방정식 [eqn: x^2 +2x -a=0]의 두 근이 [eqn: -2]와 [eqn: 1] 사이에 있기 위한 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

105

이차방정식 [eqn: 2x^2 -x +a=0]의 두 근 중 한 근이 [eqn: 1]과 [eqn: 3] 사이에 있도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라.

106

[eqn: x ge 0]의 범위에서 이차부등식
[eqn: x^2 -2ax +a+6 ge0]이 성립하도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

107

사차방정식 [eqn: x^4 -2ax^2 +a+6=0]이 서로 다른 네 개의 실근을 가지기 위한 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

108

이차방정식 [eqn: x^2 +2x+a=0]의 두 근 중 적어도 한 근이 [eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에 있기 위한 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라.

109

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식 [eqn: x ^{2}-2ax -a+2 >0]이 성립하기 위한 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		4. 여러 가지 부등식			정답
	01 부등식

01

②

답

해

설

[eqn: 1 over a > 1 over b `]에서  [eqn: 1 over a - 1 over b >0,~ b-a over ab >0]

[eqn: a>b]에서 [eqn: b-a<0]이므로  [eqn: ab<0]

따라서  [eqn: a>0,~b<0]

02

[eqn: x> 2a^2 over 3-a]

답

해

설

[eqn: (a-1)x <2 (x -a^2 )]에서  [eqn: (a-1)x <2x -2a^2]

[eqn: (a-1-2)x < -2a^2 ,~(a-3)x < -2a^2]

이때 [eqn: a<0]에서 [eqn: a-3< 0]이므로 [eqn: x> 2a^2 over 3-a]

03

④

답

해

설

[eqn: 2x over 1-2x = { 2x -1+1} over 1-2x = 1 over 1-2x -1]이므로

[eqn: -3 le x le -1]에서  [eqn: 2 le -2x le 6]

[eqn: 3 le 1-2x le 7,~ 1 over 7 le 1 over 1-2x le 1 over 3]

[eqn: - 6 over 7 le 1 over 1-2x -1 le - 2 over 3 ,~ - 6 over 7 le 2x over 1-2x le - 2 over 3]

따라서 [eqn: A=- 6 over 7 ,~ B= - 2 over 3]이므로

[eqn: 3B - 7A =-2+6=4]

04

②

답

해

설

[eqn: |`2x-3` | le 5]에서  [eqn: -5 le 2x -3 x le 5]

[eqn: -2 le 2x le 8,~-1 le x le 4]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1,~0,~1,```2,~3,~4]의 [eqn: 6]개다.

05

④

답

해

설

[eqn: |`x-1`|<3 -2|`x`|]에서

[eqn: (i)~x<0]일 때, [eqn: -(x-1)< 3+ 2x ,~x> - 2 over 3]
[eqn: x<0]이므로  [eqn: - 2 over 3 < x<0]

[eqn: (ii)] [eqn: 0 le x < 1]일 때, [eqn: -(x-1) < 3- 2x,~x <2]
[eqn: 0 le x < 1]이므로  [eqn: 0 le x < 1]

[eqn: (iii)] [eqn: x ge 1]일 때, [eqn: x-1 < 3 -2x ,~ x < 4 over 3]
[eqn: x ge 1]이므로  [eqn: 1 le x < 4 over3]

[eqn: (i),~(ii),~(iii)]에서 [eqn: - 2 over 3 < x < 4 over 3]이므로

[eqn: a= - 2 over 3 ,~~ b = 4 over 3]

[eqn: b-a =2]

06

③

답

해

설

[eqn: 2x +1 < x+ 3 le 6 + 3x]에서  [eqn: cases { ` 2x +1 <x +3 ##` x+3 le 6+3x]

[eqn: (i)~2x +1 < x+ 3]에서  [eqn: x<2]

[eqn: (ii)~x+3 le 6+ 3x]에서 [eqn: x ge - 3 over 2]

[eqn: (i),~(ii)]의 공통범위를 구하면  [eqn: - 3 over 2 le x < 2]

[eqn: a= - 3 over 2 ,~b=2]이므로  [eqn: b-a = 2- left( - 3 over 2 right) = 7 over 2]

07

②

답

해

설

부등식 [eqn: (a-b)x +a-2b le 0]에서

[eqn: (a-b)x le -a +2b]

이 부등식의 해가 존재하지 않으려면

[eqn: a-b =0,~ -a +2b <0]

[eqn: a-b=0]에서 [eqn: b=a]를 [eqn: -a +2b <0]에 대입하면

[eqn: -a +2b <0,~ a<0]

[eqn: b=a]를 [eqn: (a-3b)x +a-5b >0]에 대입하면

[eqn: (a-3a )x +a-5a >0 ,~ -2ax -4a >0]

[eqn: -2ax> 4a,~x > -2]

08

④

답

해

설

[eqn: y = 4-3x over 2x = - 3 over 2 + 2overx]

[eqn: 1 over 4 le x le 1 over 2]에서  [eqn: 2 le 1 over x le 4][eqn: 4 le 2 over x le 8,~ 5 over 2 le - 3 over 2 + 2 over x le 13 over 2]

따라서 정수 [eqn: y]는 [eqn: 3,~4,~5,~6]이므로 [eqn: 4]개다.

09

④

답

해

설

[eqn: |`2x-a`| ge 4]에서  [eqn: 2x -a le -4] 또는 [eqn: 2x -a ge 4]

[eqn: x le a-4 over 2] 또는 [eqn: x ge a+4 over 2]

따라서 주어진 해가 [eqn: x le -1] 또는 [eqn: x GE b]이므로

[eqn: a-4 over 2 =-1]에서  [eqn: a=2]

[eqn: a+4 over 2 = b]에서  [eqn: b=3]

[eqn: a+b =5]

10

①

답

해

설

[eqn: a over 1+b - b over 1+b &= {a (1+b)-b(1+a) } over {(1+a)(1+b)} #&= a-b over {(1+a)(1+b) } >0]

이므로  [eqn: a over 1+a > b over 1+b]

11

②

답

해

설

[eqn: x-y]가 최대인 경우는 [eqn: x]의 값이 최대이고 [eqn: y]의 값이 최소인 경우이므로 [eqn: x=3,~ y=2]일 때 최댓값 [eqn: M= 3-2=1]을 갖는다.

[eqn: x-y]가 최소인 경우는 [eqn: x]의 값이 최소이고 [eqn: y]의 값이 최대인 경우이므로 [eqn: x=1,~y=5]일 때 최솟값 [eqn: m=1-5=-4]를 갖는다.

따라서  [eqn: M+m =1+ (-4) =-3]

12

⑤

답

해

설

[eqn: x+a ge 2a,~ x ge a]

[eqn: 2x -4 le x-1,~ x le 3]

동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]가 [eqn: 1,~2,~3]이므로

[eqn: 0 < a le1]

13

⑤

답

해

설

[eqn: (2a-b)x +3a -2b <0]에서

[eqn: (2a -b)x < 2b -3a]	㉠

㉠의 해가 [eqn: x< -3]이므로  [eqn: 2a -b >0]	㉡

[eqn: 2b-3a over 2a-b =-3,~b=3a]	㉢

㉢을 ㉡에 대입하면  [eqn: 2a-3a >0,~ a<0]

㉢을 [eqn: (4a -b )x +a-3b <0]에 대입하면

[eqn: (4a -3a )x +a-3 cdot 3a <0,~ax < 8a]

[eqn: a<0]이므로  [eqn: x> 8]

14

⑤

답

해

설

[eqn: sqrt { x^2 -2x + 1 } = sqrt { (x-1)^2 } = |`x-1` |]이므로 주어진 부등식은  [eqn: |`x-1` |+|`x+2` | <5]

[eqn: (i)~x < - 2]일 때, [eqn: x-1< 0,~ x+2 <0]
[eqn: -(x-1)-(x+2)<5]에서  [eqn: x> - 3]
[eqn: -3<x < -2]	㉠

[eqn: (ii)~-2 le x < 1]일 때, [eqn: x-1 <0,~x+2 ge 0]이므로
[eqn: -(x-1)+(x+2)<5]에서 [eqn: 0 cdot x < 2]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립한다.
[eqn: -2 le x < 1]	㉡

[eqn: (iii)~x ge 1]일 때, [eqn: x-1 ge 0,~ x+2 >0]이므로
[eqn: (x-1)+(x+2)<5]에서  [eqn: x< 2]
[eqn: 1 le x <2]

㉠, ㉡, ㉢에서  [eqn: -3 <x<2]

따라서 [eqn: a=-3,~ b= 2]이므로  [eqn: b-a =2 - (-3)=5]

15

해설 참조

답

해

설

[eqn: a>b]이므로  [eqn: a+c > b+c]

[eqn: c>d]이므로  [eqn: b+c>b+d]

[eqn: thereforea+c>b+d]

16

(1) [eqn: x> 3]
(2) [eqn: x le -1]

답

17

(1) [eqn: -2<x<4]
(2) [eqn: x le -7]

답

해

설

(1) [eqn: |`x-1` | <3]에서  [eqn: -3<x-1<3]

[eqn: therefore -2<x<4]

(2) [eqn: |`x+2` | ge 5]에서  [eqn: x+2 le -5] 또는 [eqn: x+2 ge 5]

[eqn: therefore x le -7]

18

해설 참조

답

해

설

(1) [eqn: a^2 > b^2 ,~a^2 - b^2 > 0,~(a+b)(a-b) >0]

[eqn: a+b>0]이므로  [eqn: a-b>0]

[eqn: therefore a>b]

(2) [eqn: a^2 > b^2 ,~ a^2 - b^2 > 0,~(a+b)(a-b) >0]

[eqn: a+b<0]이므로  [eqn: a-b<0]

[eqn: therefore a<b]

19

해설 참조

답

해

설

(1) [eqn: 1 over a > 1 over b ,~ 1 over a - 1 over b >0,~ b-a overab >0]

[eqn: ab>0]이므로  [eqn: b-a > 0]

[eqn: therefore a<b]

(2) [eqn: 1 over a > 1 over b ,~ 1 over a - 1 over b >0,~ b-a overab >0]

[eqn: ab>0]이므로  [eqn: b-a > 0]

[eqn: therefore a<b]

20

(1) [eqn: x ge 3]
(2) [eqn: x<1]

답

해

설

(1) [eqn: 6x-1 ge 3x + 8]에서  [eqn: 6x- 3x ge 8+1]

[eqn: 3x ge 9~~thereforex ge 3]

(2) [eqn: x-1 over 2 + {2x +1} over 3 < x]의 양변에 분모의 최소공배수 [eqn: 6]을 곱하면  [eqn: 3(x-1)+2(2x+1)<6x]

[eqn: 3x-3+4x+2< 6x~~therefore x<1]

21

(1) [eqn: -1 le x le 2]	(2) [eqn: x< - 5 over 3] 또는 [eqn: x>5]

답

해

설

(1) [eqn: |`2x-1`| le 3]에서  [eqn: -3 le 2x-1 le 3]

[eqn: therefore-1 le x le 2]

(2) [eqn: |`3x-5`| >10]에서

[eqn: 3x-5 < - 10] 또는 [eqn: 3x-5>10]

[eqn: thereforex< - 5 over 3] 또는 [eqn: x>5]

22

해설 참조

답

해

설

[eqn: (ac+bc)-(ad+bc)&=(ac-ad)+(bd-bc) #&=a(c-d)-b(c-d)#&=(a-b)(c-d)>0#&~~(becausea>b,~c>d)]

[eqn: thereforeac+bd>ad+bc]

23

(1) [eqn: x ge 9 over 2]
(2) [eqn: x< -4]
(3) [eqn: x< -4] 또는 [eqn: x> 16]
(4) [eqn: -2 le x le 6 over 5]

답

해

설

(3) [eqn: left|`3- x over 2 `right| >5]의 양변에 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: left|`6-x `right| >10 ,~left|`x-6 `right| >10]

[eqn: therefore x- 6< -10] 또는 [eqn: x-6>10]

[eqn: thereforex< -4] 또는 [eqn: x> 16]
(4) [eqn: |`5x+2`|le 8]에서  [eqn: -8 le 5x+2 le 8]

[eqn: therefore-2 le x le 6 over 5]

24

(1) [eqn: a+b over 2 > a+2b over 3]
(2) [eqn: a over b > a+c over b+c]

답

해

설

(1) [eqn: a+b over 2 - a+2b over 3 = { a-b over 6 >0 (because a-b>0)]

[eqn: therefore a+b over 2 > a+2b over 3]

(2) [eqn: {a} over {b} - {a+c} over {b+c} = {c(a-b)} over {b(b+c)} >0# ( BECAUSE c>0,~a-b>0,~b+c>0)]

[eqn: therefore a over b > a+c over b+c]

25

[eqn: 3]

답

해

설

주어진 부등식의 양변에 [eqn: 6]을 곱하면

[eqn: 3(ax-3)-2(x+a)< 6~~therefore (3a-2)x<2a+15]

이 부등식의 해가 [eqn: x<3]이므로
[eqn: 3a-2>0~~therefore x < {2a+15} over 3a-2]

즉, [eqn: 2a+15 over 3a-2 =3]이 성립하므로  [eqn: 2a+15=3(3a-2)]

[eqn: thereforea=3]

26

(1) [eqn: a> 2a+3b over 5]
(2) [eqn: a over b < a-c over b-c]

답

해

설

(1) [eqn: a- 2a+3b over 5 = 2(a-b) over 5 > 0(because a-b>0)]

[eqn: therefore a> {2a+3b} over {5}]

(2) [eqn: a over b - a-c overb-c = c(b-a) over b(b-c) <0]

[eqn: ( BECAUSE c>0,~b-a<0,~ b>0,~b-c>0)]

[eqn: THEREFORE{a} over {b} < {a-c} over {b-c}]

27

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: 2(x+a) > a(x-2)]에서  [eqn: (2-a)x>-4a]

이 부등식의 해가 [eqn: x<12]이므로  [eqn: 2-a <0]

[eqn: therefore x < -4a over 2-a]

[eqn: therefore -4a over 2-a =12~~therefore a=3]

28

해설 참조

답

해

설

(1) [eqn: ax +b>bx +a]에서

[eqn: ax-bx>a-b,~(a-b) x>a-b]

(i) [eqn: a>b]일 때,  [eqn: x>1]

(ii) [eqn: a<b]일 때,  [eqn: x<1]

(iii) [eqn: a=b]일 때,  [eqn: 0 cdot x > 0]이므로 해는 없다.

(2) [eqn: ax+1 > x+a^2]에서

[eqn: ax-x>a^2 -1,~(a-1) x>(a-1)(a+1)]

(i) [eqn: a>1]일 때,  [eqn: x> a+1]

(ii) [eqn: a<1]일 때,  [eqn: x<a+1]

(iii) [eqn: a=1]일 때,  [eqn: 0 cdot x >0]이므로 해는 없다.

29

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: 3x-2 <a (ax-2x-1)]에서  [eqn: (a-3)(a+1)x>a-2]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이 부등식이 성립하려면

[eqn: (a-3)(a+1)=0]	㉠

[eqn: a-2<0]	㉡

이어야 하므로 ㉠에서  [eqn: a=3] 또는 [eqn: a=-1]

㉡에서 [eqn: a<2]이므로 구하는 [eqn: a]의 값은

[eqn: a=-1]

30

해설 참조

답

해

설

(1) [eqn: a(x-a)<b(x-b)]에서

[eqn: (a-b)x<(a-b)(a+b)]

(i) [eqn: a>b]일 때,  [eqn: x<a+b]

(ii) [eqn: a<b]일 때,  [eqn: x> a+b]

(iii) [eqn: a=b]일 때, [eqn: 0 cdot x <0]이므로 해는 없다.

(2) [eqn: a(ax-1)>x-1]에서

[eqn: (a-1)(a+1)x>a-1]

(i) [eqn: a>1]일 때,  [eqn: x> 1 over a+1]

(ii) [eqn: a=1]일 때,  [eqn: 0 cdot x >0]이므로 해는 없다.

(iii) [eqn: -1<a<1]일 때,  [eqn: x< 1 over a+1]

(iv) [eqn: a=-1]일 때, [eqn: 0 cdot x > -2]이므로 해는 모든 실수이다.

(v) [eqn: a< -1]일 때,  [eqn: x> 1 over a+1]

31

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: (a^2 -4)x >a-2]에서

[eqn: (a-2)(a+2)x> a-2]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이 부등식이 성립하려면

[eqn: cases { ` (a-2)(a+2)=0~~~&cdotscdots㉠#`a-2<0&cdotscdots㉡]

이어야 하므로 ㉠에서  [eqn: a=+-2]

㉡에서 [eqn: a<2]이므로, 구하는 [eqn: a]의 값은  [eqn: a=-2]

32

(1) [eqn: x> 1 over 3]	(2) [eqn: -1<x<4]

답

해

설

(1) [eqn: |`x-2`|<2x+1]에서

(i) [eqn: x ge2]일 때,

[eqn: |`x-2`|=x-2]이므로

[eqn: x-2 < 2x+1 ,~x>-3]

[eqn: therefore x ge 2]

(ii) [eqn: x<2]일 때, [eqn: |`x-2`|=-(x-2)]이므로

[eqn: -(x-2)<2x+1,~-3x< -1]

[eqn: x> 1 over 3 ~~therefore 1 over 3 <x< 2]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는  [eqn: x> 1 over 3]

(2) [eqn: |`x-1`|+|`x-2`|<5]에서

(i) [eqn: x<1]일 때,

[eqn: -(x-1)-(x-2)<5]

[eqn: x>-1]

[eqn: therefore -1<x<1]

(ii) [eqn: 1 le x <2]일 때,  [eqn: (x-1)-(x-2)<5]

[eqn: 0 cdot x < 4]이므로 [eqn: 1 le x <2]인 범위의 모든 [eqn: x]는 주어진 식의 해가 된다.

[eqn: therefore 1 le x <2]

(iii) [eqn: x ge 2]일 때,  [eqn: (x-1)+(x-2)<5,~x<3]

[eqn: therefore 2 le x <4]

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 해는  [eqn: -1<x<4]

33

(1) 해는 없다.
(2) [eqn: x>3]
(3) [eqn: x< -2] 또는 [eqn: x>1]
(4) [eqn: -3 le x le 1]

답

해

설

(1) [eqn: 2|`x+3`| le x]에서

(i) [eqn: x ge -3]일 때,  [eqn: 2(x+3) le x~therefore x le -6](부적합)

(ii) [eqn: x< -3]일 때,  [eqn: -2(x+3) le x~~therefore x ge -2](부적합)

(i), (ii)에 의하여 해는 없다.

(2) [eqn: x+|`x-2`|>4]에서

(i) [eqn: x ge 2]일 때,  [eqn: x+(x-2) > 4~~thereforex>3](적합)

(ii) [eqn: x<2]일 때,  [eqn: x-(x-2)>4]

[eqn: 0 cdot x >2]이므로 해는 없다.

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는  [eqn: x>3]

(3) [eqn: |`x`|+|`x+1`|>3]에서

(i) [eqn: x< -1]일 때,  [eqn: -x-(x+1) >3~~thereforex< -2](적합)

(ii) [eqn: -1 le x <0]일 때,  [eqn: -x +(x+1) >3]

[eqn: 0 cdot x >2]이므로 해는 없다.

(iii) [eqn: x ge 0]일 때,  [eqn: x+(x+1) >3~~therefore x>1](적합)

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: x< -2] 또는 [eqn: x>1]

(4) [eqn: |`x-3`|ge2|`x`|]에서

(i) [eqn: x<0]일 때,  [eqn: -(x-3) ge2(-x) ,~x ge -3]

[eqn: therefore -3 le x <0]

(ii) [eqn: 0 le x <3]일 때,  [eqn: -(x-3) ge 2x ,~x le 1]

[eqn: therefore 0 le x le 1]

(iii) [eqn: x ge 3]일 때,  [eqn: x-3 ge 2x ,~x le -3]

[eqn: x ge 3]이고 [eqn: x le -3]인 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: -3 le x le 1]

34

(1) [eqn: a+ 1 over b > b + 1 over a]
(2) [eqn: a over a+1 > b over b+1]

답

해

설

(1) [eqn: left( a+ {1} over {b} right) - left(~b+ {1} over {a} right)& =(a-b)+ left( 1 over b - 1 over a right) #&= (a-b) + a-b over ab >0 #&~~(becausea-b >0,`~ab>0)]
[eqn: therefore a+ 1 over b > b + 1 over a]

(2) [eqn: {a} over {a+1} - {b} over {b+1} & = {a(b+1)-b(a+1)} over {(a+1)(b+1)}# & = {a-b} over {(a+1)(b+1)} >0# ( BECAUSE& a-b>0,~a+1>0,~b+1>0)]

[eqn: THEREFORE a over a+1 > b over b+1]

35

(1) [eqn: x<3]	(2) 해설 참조

답

해

설

(1) [eqn: x+3 over 2 > 2x-3]의 양변에 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: x+3> 4x-6,~-3x> -9]

[eqn: therefore x<3]

(2) [eqn: a(x-2) >2x,~(a-2)x> 2a]

(i) [eqn: a>2]일 때,  [eqn: x> 2a over a-2]

(ii) [eqn: a<2]일 때,  [eqn: x< 2a over a-2]

(iii) [eqn: a=2]일 때,  [eqn: 0 cdot x > 4]이므로 해는 없다.

36

(1) [eqn: - 4 over 3 <x< 0]	(2) [eqn: x<3]

답

해

설

(1) [eqn: |`2x+2`|<x+2]에서

(i) [eqn: 2x+2 ge 0]일 때, 즉 [eqn: x ge -1]일 때,

[eqn: 2x+2 <x+2,~x<0]

[eqn: therefore -1 le x <0]

(ii) [eqn: 2x+2 < 0]일 때, 즉 [eqn: x< -1]일 때,

[eqn: -(2x+2)<x+2,~-3x<4,~x> - 3 over 4]

[eqn: therefore - 4 over 3 <x< -1]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: - 4 over 3 <x <0]

(2) [eqn: |`x-2`|-|`x-3`|<1]에서

(i) [eqn: x<2]일 때,  [eqn: -(x-2)+(x-3)<1]

[eqn: 0 cdot x <2]이므로 [eqn: x<2]인 범위의 모든 [eqn: x]는 해가 된다.

[eqn: therefore x<2]

(ii) [eqn: 2 le x <3]일 때,  [eqn: (x-2)+(x-3) <1]

[eqn: 2x<6,~x<3]

[eqn: therefore 2 le x <3]

(iii) [eqn: x ge 3]일 때,  [eqn: (x-2)-(x-3) <1]

[eqn: 0 cdot x <0]이므로 해는 없다.

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: x<3]

37

[eqn: a<ab<1<b]

답

해

설

[eqn: a+b=2]에서  [eqn: b=2-a,~a=2-b]

[eqn: 0<a<b]에서  [eqn: 0<a<2-a]

[eqn: therefore 0<a<1]	㉠

또 [eqn: 0<a<b]에서  [eqn: 0<2-b<b]

[eqn: therefore 1<b<2]	㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: 0<a<1<b<2]	㉢

한편 [eqn: b>1]이므로  [eqn: a-ab=a(1-b) <0]

[eqn: therefore a<ab]	㉣

[eqn: ab-1=a(2-a)-1 & =-a ^{2} +2a-1# & =-(a-1)` ^{2``}<0]

[eqn: thereforeab<1]	㉤

㉢, ㉣, ㉤에서  [eqn: a<ab<1<b]

38

[eqn: k ge -2]

답

㉡

해

설

[eqn: |`3x-3`|le k+2]를 만족시키는 실수 [eqn: x]가 존재하려면

[eqn: k+2 ge 0~~therefore k ge -2]

39

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: |`x-2`|<1,~-1<x-2<1,~1<x<3]	㉠

[eqn: |`x ^{2} -4`|<k,~4-k<x ^{3} <4+k]	㉡

㉠에서 [eqn: 1`<`x ^{2`}<9]이므로 ㉠을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]가 ㉡을 만족시키려면 다음과 같아야 한다.

즉, [eqn: 4-k le 1]이고 [eqn: 9 le 4+k]이어야 하므로

[eqn: k ge 3]이고 [eqn: k ge 5]

[eqn: therefore k ge5]

따라서 구하는 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

40

[eqn: 25]

답

해

설

[eqn: sqrt {n+1} - sqrt {n} `<` 1 over 10]에 역수를 취하면

[eqn: 1 over {sqrt { n+1}- sqrt { n}} >10]

[eqn: {sqrt { n+1}- sqrt { n}} over{ ( sqrt { n+1}- sqrt { n}) ( sqrt { n+1}+ sqrt { n})} > 10]

[eqn: therefore sqrt { n+1}+ sqrt { n} >10]	㉠

[eqn: n=5^2]이면

[eqn: sqrt { n+1}= 5. TIMESTIMESTIMES,~ sqrt { n} =5]

이므로 ㉠을 만족시킨다.

[eqn: n=5^2 -1]이면

[eqn: sqrt { n+1}= 5,~ sqrt { n} = 4. timestimestimes]

이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.

따라서 ㉠을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 25]이다.

41

해설 참조

답

해

설

주어진 조건에서 [eqn: a,~b,~c,~d]가 양수이고

[eqn: a over b < c over d]이므로  [eqn: ad<bc~~therefore ad-bc<0]

(i) [eqn: {a} over {b} - {a+c} over {b+d} &= { a(b+d)-b(a +c) } over b(b+d) #&= ad-bc overb(b+d)]

[eqn: therefore ad-bc over b(b+d) <0]

[eqn: therefore a over b < a+c over b+d]

(ii) [eqn: c overd - a+c over b+d &= {c(b+d)-d(a+c)} over d(b+d) #&= bc-ad over d(b+d) >0]

[eqn: therefore c over d > a+c over b+d]

(i), (ii)에 의하여  [eqn: a over b < a+c over b+d < c overd]

42

[eqn: a= - 1 over2 ,~ b=3]

답

해

설

[eqn: |`ax+1`| le b,~-b le ax+1 le b]

[eqn: -b-1 le ax le b-1]	㉠

(i) [eqn: a>0]일 때, ㉠에서

[eqn: -b-1 over a le x le b-1 overa]

이 식이 [eqn: -4 le x le 8]과 같아야 하므로

[eqn: -b-1 over a =-4 ,~ b-1 over a =8]

[eqn: b+1=4a,~b-1=8a]

[eqn: therefore a= - 1over 2 ,~b= -2](부적합)

(ii) [eqn: a<0]일 때, ㉠에서

[eqn: b-1 over a le x le -b-1 overa]

이 식이 [eqn: -4 le x le 8]과 같아야 하므로

[eqn: b-1 over a =-4,~ -b-1 over a =8]

[eqn: b-1= -4a,~-b-1=8a]

[eqn: therefore a = - 1 over2 ,~b=3](적합)

(i), (ii)에 의하여  [eqn: a=- 1 over 2 ,~b=3]

43

[eqn: -1<x<3]

답

44

(1) [eqn: -2<x<0] 또는 [eqn: 2<x<4]
(2) [eqn: - 7 over 5 <x<1]

답

해

설

(1) (i) [eqn: x-1 ge0], 즉 [eqn: x ge 1]일 때,  [eqn: 1 <x-1<3]
[eqn: therefore2<x<4]

(ii) [eqn: x-1<0], 즉 [eqn: x<1]일 때,  [eqn: 1< - (x-1) <3]

[eqn: therefore -2<x<0]

(i), (ii)에서  [eqn: -2<x<0] 또는 [eqn: 2<x<4]

(2) [eqn: x]의 값의 범위를 [eqn: x< -1,~-1 le x <1,~x ge1]인 경우로 나누면

(i) [eqn: x< -1]일 때,  [eqn: -2(x-1)-3(x+1) <6]

[eqn: therefore x > - 7 over 5]

그런데 [eqn: x< -1]이므로  [eqn: - 7 over 5 <x < -1]

(ii) [eqn: -1 le x <1]일 때, [eqn: -2(x-1)+3(x+1)<6]

[eqn: thereforex<1]

그런데 [eqn: -1 le x <1]이므로  [eqn: -1 le x<1]

(iii) [eqn: x ge 1]일 때,  [eqn: 2(x-1)+3(x+1)<6]

[eqn: therefore x<1]

그런데 [eqn: x ge 1]이므로 해는 없다.

(i), (ii), (iii)에서  [eqn: - 7 over 5 <x<1]

45

[eqn: - 8 over 3 <x<2]

답

해

설

(i) [eqn: x< - 3 over2]일 때,  [eqn: - 8 over 3 <x < - 3 over 2]
(ii) [eqn: x ge - 3over3]일 때,  [eqn: - 3 over 2 le x <2]

(i), (ii)에서  [eqn: - 8 over 3 <x<2]

46

[eqn: - 2 <x<3]

답

해

설

(i) [eqn: x< -1]일 때,  [eqn: - 2<x < -1]
(ii) [eqn: -1 le x <2]일 때, 항상 성립

(iii) [eqn: x ge 2]일 때,  [eqn: 2 le x <3]

(i), (ii), (iii)에서  [eqn: - 2 <x<3]

47

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: |`x-a+1`|<3,~a-4<x<a+2]

[eqn: THEREFORE a-4=b,~a+2=5]

[eqn: therefore a+b=2]

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		4. 여러 가지 부등식			정답
	02 이차함수와 이차부등식의 관계

01

②

답

해

설

[eqn: x^2 - 5 x -24 le 0,~(x+3)(x-8) le 0]

[eqn: -3 le x le 8]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: 12]개다.

02

④

답

해

설

이차부등식 [eqn: x^2 +ax +b < 0]의 해가 [eqn: -2 <x < 3]이므로

[eqn: (x+2)(x-3)<0,~ x^2 -x-6 <0]

따라서  [eqn: a=-1,~ b=-6]

[eqn: a=-1,~ b=-6]을 [eqn: ax^2 -x -b<0]에 대입하면

[eqn: -x^2 -x +6 <0 ,~ x^2 +x - 6 > 0,~(x-2)(x+3)>0]

[eqn: x< -3] 또는 [eqn: x>2]

03

①

답

해

설

이차부등식 [eqn: x^2 +ax +2a-3 >0]이 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하려면  [eqn: D = a^2 - 4 cdot 1 cdot (2a -3) <0]

[eqn: a^2 -8a +12 <0 ,~(a-2)(a-6)<0]

[eqn: 2<a <6]

04

①

답

해

설

이차항의 계수가 [eqn: 1]이고 해가 [eqn: -4<x < b]인

이차부등식은  [eqn: (x+4)(x-b)<0]

[eqn: x^2 +(4-b)x - 4b <0]

이 부등식이 [eqn: x^2 +2x+a <0]과 같으므로

[eqn: 4-b =2,~ -4b =a]

[eqn: a=-8,~ b=2]이므로  [eqn: a+b=-6]

05

③

답

해

설

[eqn: x^ 2 -3x -4 le 0]에서  [eqn: -1 le x le 4]

[eqn: -x ^2 +x+2 <0]에서  [eqn: x< -1] 또는 [eqn: x>2]

따라서 해는 [eqn: 2 <x le 4]이므로  [eqn: alpha =2 ,~ beta=4]

[eqn: alpha +beta = 6]

06

⑤

답

해

설

[eqn: a<b<c]이므로

[eqn: (x-a)(x-b)>0]에서  [eqn: x<a] 또는 [eqn: x>b]

[eqn: (x-b)(x-c) >0]에서  [eqn: x<b] 또는 [eqn: x>c]

따라서 연립부등식 [eqn: cases{ `(x-a)(x-b)>0 ##`(x-b)(x-c)>0]의 해는

[eqn: x<a] 또는 [eqn: x> c]이므로  [eqn: a=-4,~c=3]

[eqn: a=-4,~c=3]을 [eqn: x^2 +ax+c <0]에 대입하면

[eqn: x^2 -4x +3 <0,~(x-1)(x-3) <0]

[eqn: 1<x<3]

07

⑤

답

해

설

[eqn: x^2 -2 x -6 <0]에서  [eqn: (x+2)(x-4) <0]

[eqn: -2<x < 4]	㉠

[eqn: |`x-a`|<b]에서  [eqn: -b <x-a <b]

[eqn: a-b <x < a+b]	㉡

㉠과 ㉡이 같으므로

[eqn: a-b = -2,~ a+b = 4]

[eqn: a=1,~ b=3]에서  [eqn: ab=3]

08

③

답

해

설

[eqn: x^2 +ax+b le 0]의 해가 [eqn: -1 le x le 3]이므로

[eqn: (x+1)(x-3) LEQ 0,~ x^2 -2x -3 le0]

[eqn: a= -2,~ b=-3]

[eqn: a= -2,~ b=-3]을 [eqn: x^2 -ax +b le 0]에 대입하면

[eqn: x ^{2} +2x-3 LEQ 0,~ (x-1)(x+3) le 0]

[eqn: -3 le x le 1]

09

③

답

해

설

[eqn: y= f( x+2010)]의 그래프는 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2010]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: x]축과의 교점 [eqn: (-3,~0),~(2,~0)]은 각각 [eqn: (-3-2010,```0)], [eqn: (2-2010,~0)], 즉 [eqn: (-2013,~0),~(-2008,~0)]으로 이동한다.

따라서 [eqn: f(x+2010) le 0]의 해는

[eqn: x le -2013] 또는 [eqn: x ge -2008]

10

①

답

해

설

[eqn: a,~b,~c]가 양의 실수이고 연립부등식

[eqn: cases {`ax^2 -b x +c <0 ##`cx^2 -bx +a <0]	㉠

㉡

의 해가 존재하려면 [eqn: ax^2 -b x +c =0]이 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha,~beta]를 가져야 한다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: a,~b,~c]가 양수이므로

[eqn: alpha +beta = b over a >0 ,~alpha beta = c over a >0]

에서 [eqn: alpha,~beta]는 양수이다.

따라서 [eqn: 0 < alpha < beta` `]로 놓으면

㉠의 해는  [eqn: alpha <x< beta]	㉢

㉡의 해는  [eqn: 1 over beta < x < 1 over alpha]	㉣

㉢과 ㉣이 공통부분을 가져야 하므로 위의 그림에서 [eqn: alpha <1< beta]가 성립하고 이때 [eqn: f(x)= ax^2 -bx +c]로 놓으면 [eqn: f(1)<0]이므로  [eqn: a-b+c <0]

따라서  [eqn: a+c<b]

11

②

답

해

설

[eqn: ㄱ.~x^2 -2x -3 < 0,~ (x-3)(x+1)<0]
[eqn: -1 <x<3]

[eqn: ㄴ.~x^2 -x +3 = left(x- 1 over 2 right) ^2 + 11 over 4 >0]이므로
[eqn: x^2 -x +3 >0]의 해는 모든 실수

[eqn: ㄷ.~ x^2 -3x +3 = left(x- 3 over 2 right) ^2 + 3 over 4 >0]이므로
[eqn: x^2 -3x +3 ge 0]의 해는 모든 실수

[eqn: ㄹ.~ -2x^2 +3x -1 le 0,~2x^2 -3x +1 ge 0]
[eqn: (2x-1)(x-1) ge 0]
[eqn: x le 1 over 2] 또는 [eqn: x ge1]

따라서 해가 모든 실수인 것은 [eqn: ㄴ,~ㄷ]이다.

12

②

답

해

설

가로의 길이를 [eqn: x``rmcm], 세로의 길이를 [eqn: y`rmcm]라고 하면 [eqn: x+y =100,~ xy ge 1600]이므로

[eqn: xy= x(100-x) ge 1600,~ x^2 -100x +1600 le 0]

[eqn: (x-20)(x-80) le 0]

[eqn: 20 le x le 80]

따라서 긴 변의 길이를 [eqn: 80`rmcm]이다.

13

[eqn: 8]

답

해

설

[eqn: x^2 -2x -3 < 0]에서  [eqn: (x-3)(x+1)<0]

[eqn: -1 < x< 3]	㉠

[eqn: (x-a+1)(x-a-3)<0]에서

[eqn: a-1 <x <a+3]	㉡

(가)

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: x]가 존재하려면

[eqn: a-1<3,~a+3> -1]이 성립해야 한다.	(나)

따라서 실수 [eqn: a]의 값의 범위는

[eqn: -4 <a<4]	(다)

[eqn: alpha <a< beta]에서  [eqn: alpha =-4,~beta =4]

[eqn: beta - alpha= 4 -(-4) =8]	(라)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 두 부등식의 해를 각각 구한다.	30 %
(나) 두 부등식을 동시에 만족시키는 [eqn: x`]가 존재하기 위한 조건을 구한다.	30 %
(다) 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구한다.	20 %
(라) [eqn: beta -alpha]의 값을 구한다.	20 %

14

②

답

해

설

[eqn: a<0]이므로 이차함수 [eqn: y= ax^2 +2x +a]의 그래프는 위로 볼록하다. 이때 주어진 이차부등식이 해를 가지려면 [eqn: y=ax^2 +2x +a]가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. 따라서 이차방정식 [eqn: ax^2 +2x +a =0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: D over 4 = 1 - a^2 > 0]이므로

[eqn: -1<a<1]

그런데 [eqn: a<0]이므로  [eqn: -1<a<0]

[eqn: m<a<n]에서  [eqn: m=-1,~n=0]

[eqn: m+n=-1]

15

①

답

해

설

부등식 [eqn: x^2 -2ax +2a+3 le 0]의 해가 존재하지 않으므로 [eqn: x^2 -2ax +2a+3=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D over 4 = a^2 -2a -3 = (a-3)(a+1) <0]

[eqn: -1 <a <3]

16

②

답

해

설

[eqn: (i)~m-1=0], 즉 [eqn: m=1]일 때, [eqn: 2>0]이므로 주어진 부등식은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립한다.

[eqn: (ii)~m-1 not = 0]일 때
[eqn: m-1 >0,~ D over 4 = (m-1)^2 -2(m-1)<0]
이어야 하므로  [eqn: m>1,~m^2 -4m +3 <0]
[eqn: 1<m<3]

[eqn: (i),~(ii)]에서  [eqn: 1 le m < 3]

따라서 구하는 정수 [eqn: m]의 값은 [eqn: 1,~2]로 [eqn: 2]개다.

17

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: ax^2 -3 > -4x -a]에서  [eqn: ax^2 +4a +a-3>0]

이 부등식이 항상 성립해야 하므로

[eqn: a>0]	㉠

[eqn: ax^2 +4x +a-3 =0]에서  [eqn: D over 4 = 4 - a( a-3) <0]

[eqn: a^2 -3a -4 >0,~(a+1)(a-4)>0]

[eqn: a< -1] 또는 [eqn: a>4]	㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: a>4]

따라서 정수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

18

(1) 이차부등식	(2) 일차부등식

답

19

(1) [eqn: x<2] 또는 [eqn: x>3]
(2) [eqn: -4 <x< 5]
(3) [eqn: x le -7] 또는 [eqn: x ge -1]
(4) [eqn: -5 le x le 6]

답

20

(1) [eqn: -2<x<3]
(2) [eqn: x le -2] 또는 [eqn: x ge 3 over2]

답

21

(1) [eqn: x not = 2]인 모든 실수
(2) [eqn: x=2]

답

22

(1) 모든 실수	(2) 해는 없다.

답

23

(1) [eqn: x le -2] 또는 [eqn: x ge 3]
(2) [eqn: - 1 over2 < x <2]
(3) [eqn: 1 - sqrt { 3} le x le 1+ sqrt { 3}]
(4) [eqn: x< -2 - sqrt { 3}] 또는 [eqn: x> -2 + sqrt { 3}]

답

24

(1) [eqn: x not= 4]인 모든 실수
(2) 해는 없다.
(3) 모든 실수
(4) [eqn: x=4]

답

25

(1) 모든 실수
(2) 해는 없다.
(3) 해는 없다.
(4) 모든 실수

답

26

[eqn: -2 <x le 0]

답

해

설

㉠에서  [eqn: (x+2)(x-3) <0~~therefore -2 <x< 3]	㉢

㉡에서  [eqn: x(x-4) ge 0~~therefore x le 0] 또는 [eqn: x ge 4]	㉣

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: -2 <x le 0]

27

(1) [eqn: 1<x<3]
(2) [eqn: x le -2] 또는 [eqn: x ge 6]
(3) [eqn: x < - 1 over 2] 또는 [eqn: x>3]
(4) [eqn: x le -1] 또는 [eqn: x ge 7 over 2]

답

28

(1) 모든 실수
(2) 해는 없다.
(3) [eqn: x not= -3]인 모든 실수
(4) [eqn: x=-3]

답

29

(1) [eqn: 3 over 2 le x < 4]
(2) [eqn: -2 < x le 1] 또는 [eqn: 4 le x <5]

답

해

설

(1) ㉠에서  [eqn: (x+1)(x-4) <0]

[eqn: therefore -1<x<4]	㉢

㉡에서  [eqn: (x+2)(2x-3) ge 0]

[eqn: therefore x le -2] 또는 [eqn: x ge 3 over 2]	㉣

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면

따라서 연립부등식의 해는  [eqn: 3 over 2 le x < 4]

(2) ㉠에서  [eqn: (x-1)(x-4) GEQ 0]

[eqn: THEREFORE x le 1] 또는 [eqn: x ge 4]	㉢

㉡에서  [eqn: (x+2)(x-5) <0]

[eqn: therefore -2 <x< 5]	㉣

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면

따라서 연립부등식의 해는

[eqn: -2 < x le 1] 또는 [eqn: 4 le x <5]

30

[eqn: a=-9,~b=4]

답

해

설

[eqn: {1} over {2} <x<4,~ LEFT ( {x-1} over {2} RIGHT) (x-4) <0]

[eqn: (2x-1)(x-4)<0,~2x^2 -9x +4 <0]

이것과 주어진 이차부등식 [eqn: 2x^2 +ax+b <0]이 서로 같아야 하므로  [eqn: a=-9,~b=4]

31

[eqn: x < -1] 또는 [eqn: x > 1 over2]

답

해

설

[eqn: ax^2 +bx +c<0]의 해가 [eqn: -1<x<2]이므로 [eqn: a>0]이고,  의 두 근은 [eqn: -1,~2]이다.

[eqn: thereforeax^2 +bx +c=a(x+1)(x-2)]

[eqn: ax ^{2} +bx+c=ax ^{2} -ax-2a]

[eqn: therefore b=-a,~c=-2a]

[eqn: cx^2 +bx +a <0]에 [eqn: b=-a,~c=-2a]를 대입하면

[eqn: -2ax ^{2} -ax+a<0]

이때 [eqn: a>0]이므로  [eqn: -2x ^{2} -x+1<0]

[eqn: 2x ^{2}+x-1>0,~(x+1)(2x-1)>0]

[eqn: therefore x< -1] 또는 [eqn: x > 1over 2]

32

[eqn: a=-1,~b=6]

답

해

설

[eqn: x ^{2`}]의 계수가 [eqn: 1]이고, 해가 [eqn: x< -2] 또는 [eqn: x>3]인 이차부등식은  [eqn: (x+2)(x-3)`>0~~ THEREFORE x^2 -x-6 >0]

이 이차부등식과 주어진 이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b>0]이 서로 같아야 하므로  [eqn: a=-1,~b=6]

33

[eqn: a=-2,~b=3]

답

해

설

[eqn: x ^{2`}]의 계수가 [eqn: 1]이고, 해가 [eqn: - 1 over 2 <x<2]인 이차부등식은  [eqn: left(x+ 1 over 2 right)(x-2)<0]

[eqn: therefore 2x^2 - 3x -2 <0]	㉠

㉠과 주어진 이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+2>0]이 서로 같아야 하므로 [eqn: ㉠ TIMES (-1)]을 하면

[eqn: -2x^2 +3x+2>0]

[eqn: thereforea=-2,~b=3]

34

[eqn: -3`<k<1]

답

해

설

서로 다른 두 실근을 가지려면 [eqn: D>0]이어야 하므로

[eqn: D=(k-3)` ^{2`}- 4k ^2 >0]

[eqn: -3k ^2 -6k +9 >0,~k^2 +2k -3 <0]

[eqn: (k+3)(k-1)<0]

[eqn: therefore-3`<k<1]

35

[eqn: -6 < m le -5]

답

해

설

[eqn: x ^{2} +(m+3)x+(m+6)=0]에서

(i) [eqn: D ge0]에서  [eqn: (m+3) ^2 -4(m+6) ge 0]

[eqn: m^2 +2m -15 ge 0,~(m+5)(m-3)ge 0]

[eqn: therefore m le -5,~m ge3]

(ii) 이차방정식의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 하면

[eqn: alpha +beta >0]에서  [eqn: -(m+3)>0~~thereforem< -3]

[eqn: alpha beta >0]에서  [eqn: m+6 >0~~therefore m > - 6]

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위는  [eqn: -6 < m le -5]

36

[eqn: k le -2] 또는 [eqn: k ge 4]

답

해

설

(i) [eqn: x^2 +2kx +4=0]이 실근을 가지려면 판별식 [eqn: D_1]은

[eqn: D_1 = (2k) ^2 - 4 cdot 1 cdot 4 ge 0]이어야 하므로

[eqn: 4k^2 -16 ge 0,~k^2 -4 ge 0,~(k+2)(k-2) ge 0]

[eqn: therefore k le -2] 또는 [eqn: k ge 2]	㉠

(ii) [eqn: x^2 +kx+k=0]이 실근을 가지려면 판별식 [eqn: D_2]는 [eqn: D_2 = k^2 - 4 cdot1 cdot k ge 0]이어야 하므로

[eqn: k(k-4) ge 0]

[eqn: therefore k le 0] 또는 [eqn: k ge 4]	㉡

㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면

따라서 [eqn: k]의 값의 범위는  [eqn: k le -2] 또는 [eqn: k ge 4]

37

[eqn: a ge 6]

답

해

설

이차방정식 [eqn: x ^{2`}+ax+a+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, 두 근이 모두 음수가 되려면

[eqn: D ge 0,~alpha + beta <0,~alpha beta >0]

이어야 한다.

(i) [eqn: D=a^2 -4(a+3) ge0]에서  [eqn: a^2 -4a-12 ge0]

[eqn: (a+2)(a-6) ge 0~~therefore a le -2] 또는 [eqn: a ge6]	㉠

(ii) 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =-a <0~~therefore a>0]	㉡

[eqn: alpha beta =a+3 >0~~thereforea >-3]	㉢

㉠, ㉡, ㉢을 수직선 위에 나타내면

따라서 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: a ge 6]

38

[eqn: a le 1]

답

해

설

[eqn: {cases{`x ^{2} -5x+4 LEQ 0~~~~~&cdotscdots㉠#`(x-3)(x-a)>0&cdotscdots㉡}}]

㉠에서  [eqn: (x-1)(x-4) le 0]

[eqn: therefore 1 le x le 4]	㉢

㉡, ㉢의 공통 범위가 [eqn: 3< x le 4]가 되려면 ㉡의 해가 다음과 같아야 한다.

따라서 [eqn: a]의 값의 범위는  [eqn: a le 1]

39

[eqn: -1 <a< 2]

답

해

설

[eqn: D over 4 = a^2 -(a+2) <0]에서  [eqn: a^2 -a -2 <0]

[eqn: (a+1)(a-2) <0~~therefore -1 <a<2]

40

[eqn: -1 <a< 5]

답

해

설

[eqn: D over 4 =( a-2)^2 -9 < 0]이어야 하므로

[eqn: (a-2+3)(a-2-3)<0,~(a+1)(a-5)<0]

[eqn: therefore -1<a<5]

41

[eqn: -3]

답

해

설

[eqn: (x+k)(x +2k+3) ge 0]에서

[eqn: x^2 +(3k +3)x +k(2k+3 ) ge 0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: D=(3k+3) ^2 -4k(2k+3) le 0]

[eqn: 9k^2 +18 k +9 - 8k^2 -12k le 0]

[eqn: k^2 +6k +9 le 0,~(k+3) ^2 le 0]

[eqn: therefore k=-3]

42

(1) [eqn: x le -1] 또는 [eqn: x ge 2]
(2) [eqn: 1 over 2 le x le 1]
(3) [eqn: x le -2] 또는 [eqn: x ge 2]
(4) [eqn: x < -1] 또는 [eqn: x > 2 over 3]

답

43

(1) [eqn: x not = 3]인 모든 실수
(2) 해는 없다.
(3) 해는 없다.
(4) 모든 실수

답

44

(1) [eqn: -2 le x < 0]
(2) [eqn: -3 <x< -2] 또는 [eqn: 4<x< 6]

답

해

설

(1) ㉠에서  [eqn: (x+2)(x-3) le 0]

[eqn: therefore -2 le x le 3]	㉢

㉡에서  [eqn: x(x-4) >0]

[eqn: therefore x<0] 또는 [eqn: x>4]	㉣

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면

따라서 연립부등식의 해는  [eqn: -2 le x < 0]

(2) ㉠에서  [eqn: (x+3)(x-6) <0]

[eqn: therefore -3<x<6]	㉢

㉡에서  [eqn: (x+2)(x-4)>0]

[eqn: therefore x< -2] 또는 [eqn: x>4]	㉣

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면

따라서 연립부등식의 해는

[eqn: -3 <x< -2] 또는 [eqn: 4<x< 6]

45

(1) [eqn: -2 LEQ x< -1] 또는 [eqn: 2 < x le 3]
(2) [eqn: -3 le x< -2] 또는 [eqn: 0<x le 2]

답

해

설

(1) ㉠에서  [eqn: (x+1)(x-2) >0]

[eqn: therefore x< -1] 또는 [eqn: x>2]	㉢

㉡에서  [eqn: (x+2)(x-3) le 0]

[eqn: therefore -2 le x le 3]	㉣

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면

따라서 연립부등식의 해는

[eqn: -2 LEQ x< -1] 또는 [eqn: 2 < x le 3]

(2) [eqn: x<x(x+3)` LEQ 2(x+3)]에서

[eqn: {cases{`x<x(x+3)~~~~~~~~ &CDOTS CDOTS ㉠#`x(x+3)` LEQ 2(x+3)&cdotscdots㉡}}]

㉠에서  [eqn: x ^{2} +3x-x>0,~x(x+2) >0]

[eqn: therefore x< -2] 또는 [eqn: x>0]	㉢

㉡에서  [eqn: x(x+3)-2(x+3) le 0]

[eqn: (x+3)(x-2) le 0]

[eqn: therefore -3 le x le 2]	㉣

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면

따라서 연립부등식의 해는

[eqn: -3 le x< -2] 또는 [eqn: 0<x le 2]

46

(1) [eqn: 1 <x< 2]
(2) [eqn: x< -4] 또는 [eqn: x > - 2 over 3]
(3) [eqn: -3 le x le 3]
(4) [eqn: 0<x <4]

답

해

설

(1) [eqn: x(x-2) <x-2]에서  [eqn: x(x-2)-(x-2)<0]

[eqn: (x-2)(x-1) <0~~therefore 1<x<2]

(2) [eqn: (x-1) ^2 < (2x+3) ^2 ,~(x-1) ^2 -(2x+3) ^2 < 0]

[eqn: left{ (x-1) +(2x+3) right}left{(x-1)-(2x+3) right} <0]

[eqn: (3x+2)(-x-4) <0,~(3x+2)(x+4) >0]

[eqn: therefore x< -4] 또는 [eqn: x > - 2over 3]

(3) [eqn: x^2 - |`x` | -6 le 0]에서  [eqn: |`x `|`^2 -|`x `| - 6 le 0]

[eqn: (`|`x `| +2)(|`x `|-3)le 0,~-2 le |`x `|le 3]

[eqn: therefore |`x `| le 3~~therefore -3 le x le 3]

(4) [eqn: |`x^2 -4x +6` | <6]에서  [eqn: -6 < x^2 -4x +6 < 6]

[eqn: thereforecases {`x^2 - 4x +6 > -6#`x^2 - 4x + 6 < 6]

[eqn: THEREFORE {cases{`x ^{2} -4x+12>0~~&cdotscdots㉠#`x ^{2} -4x<0&cdotscdots㉡ }}]

㉠에서  [eqn: (x^2 -4x +4)+8 >0]

[eqn: (x-2) ^2 +8 >0]

[eqn: therefore][eqn: x]는 모든 실수

㉡에서  [eqn: x(x-4) <0~~therefore 0<x<4]

㉠, ㉡의 공통 범위는  [eqn: 0<x <4]

47

[eqn: a=2,~b=-8]

답

해

설

[eqn: {cases{`x ^{2} LEQ 3x~~~~&cdotscdots㉠#`x ^{2} +x GEQ 2&cdotscdots㉡}}]

㉠에서  [eqn: x^2 - 3x le 0,~x(x-3) le 0]

[eqn: therefore 0 le x le 3]	㉢

㉡에서  [eqn: x^2 +x -2 ge 0]

[eqn: (x+2)(x-1) ge0]

[eqn: therefore x le -2] 또는 [eqn: x ge 1]	㉣

㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면

따라서 연립부등식의 해는  [eqn: 1 le x le 3]인 이차부등식은  [eqn: (x-1)(x-3) le 0,~x^2 -4x + 3 le 0]

[eqn: 2x^2 -8x + 6 le 0]

이 이차부등식과 주어진 이차부등식 [eqn: ax^2 +bx +6 le 0]이 서로 같아야 하므로  [eqn: a=2,~b=-8]

48

[eqn: -3<x<2]

답

해

설

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]이고, 해가 [eqn: -2 <x<3]인 이차부등식은  [eqn: (x+2)(x-3) <0,~x^2 -x-6<0]

이 이차부등식과 주어진 이차부등식

[eqn: (x+a)(x+b) <2,~x^2 +(a+b) x +ab-2 <0]

이 서로 같으므로

[eqn: a+b=-1,~ab-2=-6]

[eqn: therefore a+b=-1,~ab=-4]

따라서 [eqn: (x-a)(x-b)<2]에서

[eqn: x^2 -(a+b) x+ab-2 <0]

[eqn: x^2 + x - 6 <0 ,~(x+3)(x-2) <0]

[eqn: therefore -3<x<2]

49

[eqn: -1 <a le 3]

답

해

설

[eqn: cases{` x^2 -2x -3 ge 0 ~~~~&cdotscdots㉠#`(x+2)(x-a) <0&cdotscdots㉡]

㉠에서  [eqn: (x+1)(x-3) ge 0]

[eqn: therefore x le -1] 또는 [eqn: x ge 3]	㉢

㉡, ㉢의 공통 범위가 [eqn: -2 < x le -1]이 되려면 ㉡의 해가 다음과 같아야 한다.

[eqn: THEREFORE-1<a LEQ 3]

50

[eqn: -2<m< -1]

답

해

설

[eqn: x^2 +(m-1) x+(m+2)=0]이 서로 다른 두 양의 실근을 갖기 위한 조건은

(i) [eqn: D=(m-1) ^2 -4(m+2) >0]에서

[eqn: m^2 -2m +1 -4m-8 >0]

[eqn: m^2 -6m -7 >0,~(m+1)(m-7) >0]

[eqn: therefore m< -1] 또는 [eqn: m>7]	㉠

(ii) [eqn: (두~근의~합)=-(m-1) >0]에서

[eqn: m-1< 0~~therefore m<1]	㉡

(iii) [eqn: (두~근의~곱)=m+2>0]에서

[eqn: m>-2]	㉢

㉠, ㉡. ㉢을 수직선 위에 나타내면

따라서 [eqn: m]의 값의 범위는  [eqn: -2<m< -1]

51

[eqn: 0 <k < 1]

답

해

설

(i) [eqn: x ^{2} +kx+k=0]이 허근을 가지려면

[eqn: D= k^2 - 4k =k(k-4) <0]

[eqn: therefore 0<k<4]	㉠

(ii) [eqn: x^2 +2(k+1)x +k+3=0]이 허근을 가지려면

[eqn: D over 4 = (k+1) ^2 -(k+3) <0]

[eqn: k^2 +k -2 < 0,~(k+2)(k-1)<0]

[eqn: therefore -2<k<1]	㉡

㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면

따라서 [eqn: k]의 값의 범위는  [eqn: 0 <k < 1]

52

[eqn: -3 <a< 5]

답

해

설

주어진 부등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: D<0]이어야 하므로

[eqn: D=(a-1) ^2 -16 <0,~a^2 -2a -15<0][eqn: (a+3)(a-5)<0~~therefore -3<a<5]

53

[eqn: a>1]

답

해

설

주어진 부등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: (x^2 의~계수)>0]이고, [eqn: D<0]이어야 한다. 즉,

(i) [eqn: a>0]

(ii) [eqn: {D} over {4} =(a+1) ^{2} -4a ^{2} <0,~(3a+1)(a-1)>0]

[eqn: therefore a < - 1 over 3] 또는 [eqn: a>1]

(i), (ii)에 의하여 [eqn: a]값의 범위는  [eqn: a>1]

54

[eqn: 3``rmcm] 이상 [eqn: 4rm``cm] 이하

답

해

설

가로의 길이를 [eqn: x``rmcm]라고 하면

[eqn: (세로의~길이)=7-x(rmcm)]

[eqn: (대각선의~길이)= sqrt { x^2 +(7-x) ^2 } (rmcm)]

[eqn: sqrt { x^2 +(7-x) ^2 } le 5]에서

[eqn: x^2 +(7-x) ^2 le 25,~(x-3)(x-4) le 0]

[eqn: therefore 3 le x le 4]

따라서 가로의 길이는 [eqn: 3``rmcm] 이상 [eqn: 4rm``cm] 이하이다.

55

[eqn: -1 <x<2]

답

56

(1) [eqn: x not = 1]인 모든 실수
(2) 모든 실수
(3) 해가 없다.
(4) [eqn: x=1]

답

57

(3)

답

해

설

(1) [eqn: x ^{2} -x-1=0]에서

[eqn: D=(-1)` ^{2}-4cdot1 cdot(-1)=5>0]

따라서 항상 성립하지 않는다.
(2) [eqn: x^2 -3x +1=0]에서

[eqn: D=(-3) ^2 -4 cdot 1 cdot1 =5>0]

따라서 항상 성립하지 않는다.

(3) [eqn: -x^2 +x -2=0]에서

[eqn: D=1^2 -4 cdot(-1)cdot(-2)=-7<0]

따라서 항상 성립한다.

58

(1) [eqn: 3 le x le 5]
(2) [eqn: x=4]
(3) [eqn: x le 2] 또는 [eqn: x ge4]

답

59

(1) [eqn: x le -2] 또는 [eqn: x ge 5]
(2) [eqn: -1 <x< 3]
(3) 모든 실수

답

해

설

(1) [eqn: y & =x ^{2} -3x-10# & =(x+2)(x-5)]

오른쪽 그래프에서 [eqn: x]축 위쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위가 주어진 이차부등식의 해가 된다.

[eqn: THEREFORE `x LEQ -2] 또는 [eqn: x ge 5]

(2) [eqn: y & =x ^{2} -2x-3# & =(x+1)(x-3)]

오른쪽 그래프에서 [eqn: x]축 아래쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위가 주어진 이차부등식의 해가 된다.

[eqn: therefore-1<x<3]

(3) [eqn: y & =x ^{2} +2x+3# & =(x+1) ^{2} +2]

오른쪽 그래프에서 [eqn: x]축 위쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위가 주어진 이차부등식의 해가 된다.

[eqn: therefore]모든 실수

60

[eqn: k>6]

답

해

설

[eqn: y= x ^{2} -4x+k-2]의 그래프가 항상 [eqn: x]축 위쪽에 있어야 한다. 즉, [eqn: x]축과 만나지 않아야 한다.

따라서 [eqn: x^2 -4x +k-2=0]에서 [eqn: D over 4 =4-(k-2) <0]이어야 하므로  [eqn: k>6]

61

(1) [eqn: 1 le x le 3]
(2) [eqn: x < -3] 또는 [eqn: x >-1]

답

해

설

(2) [eqn: f(x)=ax^2 +bx +c]로 놓으면

[eqn: f(-x)=ax^2 -bx +c]

[eqn: THEREFORE ax ^{2} -bx+c<0: ~f(-x) <0]

이때 [eqn: y=f(-x)]의 그래프는 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 것이므로

[eqn: y=f(-x)]의 그래프는

[eqn: x]축과 두 점 [eqn: (-3,~0),~(-1,~0)]에서 만난다.

따라서 [eqn: f(-x)<0]의 해는

[eqn: x < -3] 또는 [eqn: x >-1]

62

(1) [eqn: -4 le x le 6]
(2) [eqn: x not = 3]인 모든 실수

답

해

설

(1)

(2)

63

[eqn: -6 le k le2]

답

해

설

[eqn: x^2 -kx -k+3=0]에서

[eqn: D=k ^{2} -4(-k+3) LEQ 0,~k^2 +4k -12 le0]

[eqn: (k+6)(k-2) le 0]

[eqn: therefore-6 le k le2]

64

(1) [eqn: x< -2] 또는 [eqn: x>1]
(2) [eqn: -2 le x le 1]
(3) [eqn: -3 <x <1]

답

65

[eqn: - 1 over 2 <x<2]

답

해

설

부등식 [eqn: x^2 -2x +2 < -x^2 +x+4]의 해를 구하면

[eqn: 2x^2 -3x -2<0,~(2x+1)(x-2)<0]

[eqn: therefore- 1 over 2 <x<2]

66

[eqn: a=-2,~b=-12]

답

해

설

이차부등식  [eqn: 2x^2 -ax+b<0]의 해가 [eqn: -3 <x<2]이므로
[eqn: 2x ^{2} -ax+b=2(x+3)(x-2)=2x ^{2}+ 2x-12]

[eqn: THEREFORE a=-2,~b=-12]

67

[eqn: -2 <x<1]

답

해

설

부등식 [eqn: 2x-3][eqn: >x^2 +3x-5]의 해를 구하면

[eqn: x^2 +x-2 <0,~(x+2)(x-1)<0]

[eqn: therefore -2<x<1]

68

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: x ^{2} -(a+2)x+a ^{2} -3a+5# =(x-3) ^{2} >0]

일 때, [eqn: x not= 3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 주어진 부등식이 항상 성립한다.

따라서 [eqn: x^2 -(a+2)x+a^2 -3a+5=x^2 - 6x +9]에서

[eqn: a+2=6,~a^2 -3a+5=9]

[eqn: thereforea=4]

69

[eqn: -3<m<1]

답

해

설

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2}-x +1 > mx], 즉 [eqn: x^2 -(m+1)x+1>0]이 성립해야 한다.

따라서 [eqn: x^2 -(m+1)x +1=0]에서

[eqn: D=(m+1) ^2 -4<0]이어야 하므로

[eqn: -3<m<1]

70

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: x ^{2} +(a ^{2} -2)x+(a-1)=(x+1) ^{2`} >0]일 때,

[eqn: x not =-1]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 주어진 부등식이 항상 성립한다.

따라서 [eqn: x ^{2} +(a ^{2} -2)x+(a-1)=x^2 +2x+1]에서

[eqn: a^2 -2=2,~(a-1) ^2 =1]

[eqn: thereforea=2]

71

[eqn: -2<m<2]

답

해

설

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^2 +mx +2>1]이 항상 성립해야 한다.

따라서 [eqn: x^2 +mx +1 =0]에서 [eqn: D=m^2 - 4 <0]이어야 하므로  [eqn: -2<m<2]

72

(1) [eqn: -1 <x< 6]
(2) [eqn: x< -6] 또는 [eqn: x>2]

답

73

(1) 해가 없다.
(2) [eqn: x=4]
(3) [eqn: x not=4]인 모든 실수
(4) 모든 실수

답

74

(1) [eqn: a>1]	(2) [eqn: a le -1]

답

해

설

(1) [eqn: y=ax ^{2} -2x+a]의 그래프가 항상 [eqn: x]축의 위쪽에 있어야 하므로  [eqn: a>0,~ D over 4 =1-a^2 <0]

[eqn: 1- a^2 <0]을 풀면  [eqn: (a+1)(a-1)>0]

[eqn: THEREFORE a< -1] 또는 [eqn: a>1]

이때 [eqn: a>0]이므로  [eqn: a>1]
(2) [eqn: y=ax^2 +4x +a-3]의 그래프가 [eqn: x]축과 접하거나 [eqn: x]축 아래쪽에 있어야 하므로

[eqn: a<0,~ D over 4 = 4-a(a-3) le 0]

[eqn: 4-a(a-3) le 0]을 풀면

[eqn: a^2 - 3a -4 ge0,~(a+1)(a-4) ge0]

[eqn: therefore a le -1] 또는 [eqn: a ge 4]

이때 [eqn: a<0]이므로  [eqn: a le -1]

75

[eqn: a=5,~b=6]

답

해

설

이차부등식 [eqn: x ^{2} -ax+2<-x^2 -3x +b]의 해가

[eqn: -1<x<2]이므로

[eqn: 2x^2 +(3-a)x+2-b <0,~2x^2 -2x-4<0]

[eqn: therefore 3-a=-2,~2-b=-4]

[eqn: therefore a=5,~b=6]

76

답

해

설

[eqn: y=f left( |`x` |right) = cases{`f(x)~~~(x ge 0)#`f(-x)~`(x<0)]

[eqn: y=f LEFT ( |`x`| RIGHT )]의 그래프를 [eqn: y=f(x)]이 그래프를 이용하여 그리면 다음 그림과 같다.

따라서 [eqn: f( |`x` |)<0]의 해는 [eqn: x]축 아래쪽에 있는 [eqn: x]값의 범위가 된다.

[eqn: therefore-3<x<3]

77

[eqn: a>1]

답

해

설

[eqn: y=x^2 -2x +a]로 놓으면

[eqn: y=(x-1) ^2 +a-1]

[eqn: -1 le x le 2]의 범위에서 [eqn: x^2 -2x +a >0]이 항상 성립하려면 오른쪽 그림에서 꼭짓점의 [eqn: y]좌표가 양수이어야 하므로  [eqn: a-1>0~~thereforea>1]

78

[eqn: -2 le a <2]

답

해

설

[eqn: ax^2 -4x+1>-2x^2 +2ax -3], 즉

[eqn: (a+2)x^2 -2(a+2) x+4 >0]이 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립하려면

[eqn: a+2=0] 또는 [eqn: a+2>0,~D<0]

(i) [eqn: a+2=0]인 경우  [eqn: a=-2]

(ii) [eqn: a+2 >0,~D<0]인 경우

[eqn: a>-2]	㉠

[eqn: D <0]에서  [eqn: D over 4 =(a+2)^2 -4(a+2) <0]

[eqn: (a+2)(a-2) <0~~therefore -2<a<2]	㉡

㉠, ㉡에 의하여  [eqn: -2<a<2]

(i), (ii)에 의하여  [eqn: -2 le a <2]

79

④

답

해

설

주어진 그림에서  [eqn: x]축 위쪽 부분에서 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: y=g(x)]의 그래프보다 위쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위가 구하는 해이다.

[eqn: therefore d<x<e]

80

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: x^2 -(a+4) x-a>0]에서

[eqn: x ^2 - 4x > a(x+1)]

[eqn: y=x^2 -4x (2 le x le 5)]의 그래프가 직선 [eqn: y=a(x+1)]보다 위쪽에 있도록 [eqn: a]의 값의 범위를 정하면 [eqn: a< - 4 over3]이므로 이를 만족시키는 정수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: -2]이다.

81

[eqn: 9]

답

해

설

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: x^2 +ax+2a-1 >x+a]

즉, [eqn: x^2 +(a-1) x +a-1>0]이 항상 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값을 정하면

[eqn: D=(a-1) ^2 -4(a-1)<0,~(a-1)(a-5)<0]

[eqn: therefore 1<a<5]

따라서 이를 만족시키는 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 2,~3,~4]이므로 구하는 합은 [eqn: 9]이다.

82

[eqn: 1<x<3]

답

83

[eqn: x=1]

답

84

[eqn: a>9]

답

85

(1) [eqn: x le 1 over 2] 또는 [eqn: x ge 1]
(2) [eqn: x not= 2]인 모든 실수
(3) [eqn: 1<k<5]

답

해

설

(1) 양변에 [eqn: -1]을 곱하면  [eqn: 2x^2 -3x+1 ge0]

[eqn: (2x-1)(x-1) ge 0~~~therefore x le 1 over 2] 또는 [eqn: x ge 1]

(2) [eqn: x^2 -4x +4 =(x-2) ^2 >0]

따라서 [eqn: x not= 2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식이 성립한다.

(3) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 4x^2 +2(k-1) x+k>1]이 성립하므로

[eqn: 4x^2 +2(k-1) x +(k-1) >0]에서

[eqn: D over 4 =(k-1) ^2 -4(k-1)<0,~k^2 -6k +5 <0]

[eqn: (k-1)(k-5) <0~~~therefore 1<k< 5]

86

[eqn: a le -1- sqrt { 2}]

답

해

설

(i) [eqn: a=0]일 때, [eqn: 2x+2 le 0]이 되어 부적절하다.

(ii) [eqn: a<0]일 때, 판별식 [eqn: D over 4 =1 ^2 -a(a+2) le 0]에서

[eqn: a^2 +2a-1 ge 0~~~therefore a le -1- sqrt { 2}]

87

[eqn: x<a+1] 또는 [eqn: x> -2]

답

해

설

[eqn: x^2 -(a-1)x-2a-2 =(x+2)(x-a-1)>0]

[eqn: therefore][eqn: x<a+1] 또는 [eqn: x> -2]

88

[eqn: a=-2,~b=4]

답

해

설

[eqn: 1- sqrt { 2 },~1+ sqrt { 2}]를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은  [eqn: x^2 -2x-1=0]

따라서 해가 [eqn: 1- sqrt { 2}<x< 1+ sqrt { 2}]인 이차부등식은 [eqn: x^2 -2x -1<0]

양변에 [eqn: -2]를 곱하면  [eqn: -2x^2 +4x +2>0]

이것이 [eqn: ax^2 +bx +2 >0]과 같아야 하므로

[eqn: a=-2,~b=4]

89

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: 1 over 3 ,~3]을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은  [eqn: x^2 - 10 over 3 x +1 =0]

따라서 해가 [eqn: 1 over 3 < x< 3]인 이차부등식은

[eqn: x^2 - 10 over 3 x +1 <0]

양변에 [eqn: -3]를 곱하면  [eqn: -3x ^{2} +10x-3>0]

이것이 [eqn: ax ^{2} +bx-3>0]과 같아야 하므로

[eqn: a=-3,~b=10~~~therefore a+b=7]

90

[eqn: -3 <x<2]

답

해

설

해가 [eqn: -2<x<3]인 이차부등식은 [eqn: x ^{2`}-x-6<0], 즉 [eqn: -x^2 +x+6>0]이므로
[eqn: a=-k,~b=k,~c=6k~(k>0)]

[eqn: bx ^{2} -ax-c= k(x^2 +x -6)<0~~~therefore -3 <x<2]

91

[eqn: x< -1] 또는 [eqn: -1 <x<1]

답

해

설

(i) [eqn: x` GEQ 0]일 때,

[eqn: (1-x)(1+x ) >0,~-1<x<1~~~therefore0 le x <1]

(ii) [eqn: x<0]일 때,  [eqn: (1+x)(1+x) >0,~x not= -1]인 모든 실수  [eqn: therefore x< -1] 또는 [eqn: -1< x<0]

(i), (ii)에서  [eqn: x< -1] 또는 [eqn: -1 <x<1]

92

[eqn: -2]

답

해

설

(i) [eqn: -2x-7 < x^2 -15]에서  [eqn: x^2 +2x -8 >0]

[eqn: therefore x>2] 또는 [eqn: x< -4]

(ii) [eqn: x^2 -15 le -2x]에서  [eqn: x^2 +2x -15 le 0]

[eqn: therefore -5 le x le 3]

(i), (ii)에서 [eqn: -5 LEQ x < -4] 또는 [eqn: 2<x le 3]이므로 정수 [eqn: x]의 합은  [eqn: (-5)+3=-2]

93

[eqn: a le -2] 또는 [eqn: a ge 6]

답

해

설

[eqn: D=a^2 -4(a+3) ge 0]에서  [eqn: a^2 -4a-12 ge 0]

[eqn: therefore a le -2] 또는 [eqn: a ge 6]

94

[eqn: - {1} over {3} LEQ x LEQ 1]

답

해

설

해가 [eqn: 1<x<2]이고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차부등식은  [eqn: x ^{2} -3x+2<0]

[eqn: thereforea=-3,~b=2]

따라서 [eqn: ax^2 +bx +1 ge0]은 [eqn: -3x^2 +2x +1 ge0]이다.

[eqn: -3x^2 +2x +1 ge0 ,~3x^2 -2x-1 le 0]

[eqn: (3x+1)(x-1) le 0~~~therefore - 1over 3 le x le 1]

95

[eqn: -2 <x<4]

답

해

설

첫 번째 부등식에서  [eqn: -4<x<4]	㉠

두 번째 부등식에서  [eqn: (x-6)(x+2) <0]

[eqn: therefore-2 <x<6]	㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: -2 <x<4]

96

[eqn: -1 le x le4]

답

97

[eqn: k > -3]

답

98

[eqn: 2 le a < 7 over 3]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^ 2 -2ax -a+6]으로 놓으면

(i) [eqn: D over 4 =(-a) ^2 -(-a+6) ge 0]에서

[eqn: a^2 +a-6 ge 0,~(a+3)(a-2) ge 0]

[eqn: therefore a le -3] 또는 [eqn: a ge 2]

(ii) [eqn: (꼭짓점~x~좌표)=- -2a over 2 =a >1]

(iii) [eqn: f(1) =1-2a-a+6>0]에서  [eqn: a < 7 over 3]

(i), (ii), (iii)에서  [eqn: 2 le a < 7 over 3]

99

[eqn: 5]개

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 +4ax +a^2 -6]에서

[eqn: f(1)=1+4a+a^2 - 6 <0~~~therefore -5<a<1]

따라서 구하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: -4,~-3,~-2,~-1,~0]의

[eqn: 5]개다.

100

[eqn: 42]

답

해

설

[eqn: f(x) =x ^{2} +ax-2a+8]으로 놓을 때,

[eqn: f(-1)cdotf(1) le0]에서

[eqn: (9-3a)(9-a) le 0~~~therefore 3 le a le9]

따라서 모든 정수 [eqn: a]의 합은 [eqn: 3+4+cdots +9=42]이다.

101

[eqn: 15]

답

해

설

[eqn: y=x ^{2`}]의 그래프가 직선 [eqn: y=2x`+k]보다 아래쪽에 있는 [eqn: x]의 값의 범위는 [eqn: -3`<x`<5]이므로  [eqn: x ^{2} `<`2x`+k]

즉, [eqn: x ^{2} `-`2x`-k<0]의 해가 [eqn: -3`<x<5]이다.

[eqn: (x+3)(x-5)`<0,~x^2 -2x -15 <0]

[eqn: therefore k=15]

102

[eqn: 37]

답

해

설

[eqn: x^2 <ax+b], 즉 [eqn: x^2 -ax-b<0]의 해가 [eqn: -5 <x<7]이므로 [eqn: x^2 -ax-b=(x+5)(x-7)=x^2 - 2x =35]

[eqn: therefore a+b=2+35 =37]

103

[eqn: - 1 over 4]

답

.

해

설

[eqn: f(x)=x^2 -x-k= left( x- 1 over 2 right) ^2 - 1 over 4 -k]에서

[eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: - 1 over 4 -k ge 0~~~therefore k le - 1 over 4]

따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: - 1 over 4]이다.

104

[eqn: -1 le a le 0]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 +2a-a]로 놓으면  [eqn: D over 4 ge0]에서  [eqn: a ge-1]

[eqn: f(-2) >0,~f(1)>0]에서  [eqn: a<0]

[eqn: therefore -1 le a le 0]

105

[eqn: 13]개

답

해

설

[eqn: f(1)f(3) <0]에서

[eqn: (1+a)(15+a)<0~~~therefore -15<a< -1]

따라서 구하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: 13]개다.

106

[eqn: -6 le a le 3]

답

해

설

[eqn: x^2 -2ax +a+6 =(x-a) ^2 -a^2 +a+6]에서

(i) [eqn: a ge0]일 때, [eqn: -a^2 +a+6 ge 0]에서  [eqn: 0 le a le 3]

(ii) [eqn: a <0]일 때, [eqn: a+6 ge0]에서  [eqn: -6 le a <0]

(i), (ii)에서  [eqn: -6 le a le 3]

107

[eqn: a>3]

답

해

설

[eqn: x^2 =t]로 놓으면 방정식 [eqn: t^2 -2at+a+6=0]이 서로 다른 두 양의 실근을 가지므로

(i) [eqn: {D} over {4} & =a ^{2} -(a+6)=a ^{2} -a-6# & =(a-3)(a+2)>0]

[eqn: therefore a< -2] 또는 [eqn: a>3]

(ii) 두 근의 합이 양수이어야 하므로  [eqn: a`>0]

(iii) 두 근의 곱이 양수이어야 하므로  [eqn: a+6>0]

[eqn: THEREFORE a>-6]

(i), (ii), (iii)에 의하여  [eqn: a>3]

108

[eqn: 6]개

답

해

설

두 근 모든 [eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에 올 수 없기 때문에 [eqn: f(x)=x ^{2} +2x+a]일 때,

[eqn: f(1)f(2) =(3+a)(8+a ) le 0]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 6]개다.

109

[eqn: a<1]

답

해

설

(i) [eqn: 0 le a le 2]일 때,  [eqn: f(a)>0~~~0 le a <1]

(ii) [eqn: a<0]일 때,  [eqn: f(0)>0~~~therefore a<0]

(iii) [eqn: a>2]일 때,  [eqn: f(2) >0]   [eqn: therefore]해가 없다.

[eqn: therefore a<1]