수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		3. 인수분해			반 / 번호
	01 인수분해					이름

01

다음 중 다항식 [eqn: a-b +a^2 b^3 -a^3 b^2]의 인수가 아닌 것은?

① [eqn: a-b]	② [eqn: 1-ab]	③ [eqn: 1+ab]
④ [eqn: a + a^2 b^2]	⑤ [eqn: (a-b)(1-ab)]

02

등식 [eqn: x^4 - 5 x^2 +4 = (x^2 +ax+b)(x^2 +cx +d)]가 [eqn: x]에 관한 항등식일 때, [eqn: abcd]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

03

다음 식을 인수분해하여라.

[eqn: ( x-1)(x-2)(x+2)(x+3)+3]

① [eqn: (x^2 +x +3)(x^2 + x +5)]
② [eqn: (x^2 +x+3) ( x^2 +x-5)]
③ [eqn: (x^2 +x-3)( x^2 + x+5)]
④ [eqn: (x^2 +x-3)(x^2 +x -5)]

⑤ [eqn: (x^2 +x-1)(x^2 +x-15)]

04

[eqn: a=9]일 때, [eqn: { a^6 -1 } over { a^4 + a^2 +1 }]의 값을 인수분해를 이용하여 구하면?

① [eqn: 27]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 80]

05

다항식 [eqn: (x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6]이 [eqn: ( x^2 -2x +a)(x^2 -2x +b)]으로 인수분해될 때, 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -30]	② [eqn: -15]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 30]

06

[eqn: x^4 - x^3 +2x^2 -x +a]가 [eqn: x-1]로 나누어떨어질 때, 주어진 사차식을 바르게 인수분해한 것은?

① [eqn: (x-1)(x^3 +2x +1)]

② [eqn: (x+1)(x^3 +2x +1)]

③ [eqn: (x-1)(x^3 -2x +1)]

④ [eqn: (x+1)(x^3 -2x+1)]

⑤ [eqn: (x-1) (x^3 -2x -1)]

07

[eqn: <a,~b,~c> =(a-b) c^2]으로 약속할 때, [eqn: <a,~b,~c>+<b,~c,~a>+<c,~a,~b>]를 인수분해하면?

① [eqn: (a-b)(b-c)(c-a)]

② [eqn: (a+b)(b+c)(c+a)]

③ [eqn: -(a-b)(b-c)(c-a)]

④ [eqn: -(a+b)(b+c)(c+a)]

⑤ [eqn: -(a-b)(b+c)(c-a)]

08

[eqn: 13 times 14 times 15 times16 +1 = n^2]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 203]	② [eqn: 205]	③ [eqn: 207]

④ [eqn: 209]	⑤ [eqn: 211]

09

[eqn: x]에 관한 사차식 [eqn: (x^2 - x) ^2 -14( x^2 -x) +24]을 인수분해하였더니 [eqn: (x+1)(x+3)(x+a)(x+b)]가 되었다. 이때 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

10

다음 중 다항식 [eqn: x^3 +3x ^2 +x-2]의 인수인 것은?

① [eqn: x^2 +x-1]	② [eqn: x-2]

③ [eqn: x^2 +x-2]	④ [eqn: x^2 +x+1]

⑤ [eqn: x-1]

11

[eqn: {98 ^{2} -1} over {100 ^{2} -1} TIMES { 100^3 +1 } over { 100 ^2 -100 +1]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 97]

④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 100]

12

삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a,~b,~c]가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형의 넓이를 구하여라.

Ⅰ. [eqn: a^3 + b^3 +c ^3 = 3abc]    Ⅱ. [eqn: abc= 64]

13

[eqn: 100]개의 다항식
[eqn: x^2 -x -1,~x^2 -x-2,~cdots,~x^2 -x -100] 중에서 계수가 정수인 일차식의 곱으로 인수분해되는 것은 모두 몇 개인가?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

∣서∣술∣형∣

14

다항식 [eqn: x^3 -ax^2 +8x -4]를 인수분해하면 [eqn: (x-1)(bx+c) ^2]이 된다. 이때 세 상수 [eqn: a,~b,~c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

15

[eqn: x,~y]에 대한 방정식
[eqn: 2x^2 -3xy^2 + 3x +4y +k=0]이 두 개의 직선을 나타낼 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

16

[eqn: a^2 - b ^2]을 분배법칙을 이용하여 인수분해하여라.

17

[eqn: x^3 +1]을 인수분해하여라.

18

[eqn: x^4 -16]을 인수분해하여라.

19

[eqn: x^3 - 6x +5]를 인수분해하여라.

20

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: 8xy + 4 x y^2]
(2) [eqn: 2a(a-3b) -b(3a-a)]
(3) [eqn: x ^3 +2x ^2 +x +2]
(4) [eqn: a ^2 - bc +ab -ac]

21

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^4 -a ^4]
(2) [eqn: (a+b) ^2 - (a-c) ^2]
(3) [eqn: a^2 + b^2 -c^2 -2ab]
(4) [eqn: x^2 y ^2 +2xy +4 -x ^2 -y ^2]

22

다음을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^2 -5x + 6]
(2) [eqn: x^2 - 5x y -6y ^2]
(3) [eqn: 3x ^2 -14x +8]
(4) [eqn: x^2 + (2a+3)x +(a+1)(a+2)]

23

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^3 +3x^2 +3x+1]
(2) [eqn: x^3 + 6x ^2 +12 x + 8]
(3) [eqn: 27x^3 -27x^2 y+ 9xy^2 -y^3]
(4) [eqn: 8x ^3 -36x ^2 +54 x -27]

24

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^3 + 8]
(2) [eqn: 8x ^3 + 27 x^3]
(3) [eqn: x^3 - 27]
(4) [eqn: 64y^3 -1]

25

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x ^2 +3xy-10y ^2]
(2) [eqn: 2x ^2 - 5xy +2y ^2]
(3) [eqn: x ^3 -9x]
(4) [eqn: 12xy - 4x ^2 -9y ^2]

26

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^3 + 9x ^2 + 27 x +27]
(2) [eqn: 27 x^3 - 54 x ^2 y+36 xy ^2 -8y ^3]
(3) [eqn: 64 x ^3 + 27 y ^3]
(4) [eqn: 27 x^3 - 8 y ^3]

27

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: (x ^2 - x) ( x^2 -x +6) -7]
(2) [eqn: ( x^2 + 5x +4) ( x^2 + 5x + 6 ) -24]
(3) [eqn: (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24]
(4) [eqn: (x ^2 + 5x + 6)( x^2 + 7x + 6) - 3x ^2]

28

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: (x+1)(x+2)(x+3)(x+6) - 8 x^2]
(2) [eqn: (xy +1)(x+1)(y+1) + xy]
(3) [eqn: (x ^2 + 4x + 3)(x^2 +12x + 35) + 15]
(4) [eqn: (x+2) ^2 (x-3)(x+7) +144]

29

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^4 - 6x ^2 + 5]
(2) [eqn: x^4 - 5 x ^2 +4]
(3) [eqn: x^4 - 23 x ^2 +1]
(4) [eqn: x^4 + 4]

30

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^4 + 8x^2 -9]
(2) [eqn: x^4 - 7x ^2 +1]
(3) [eqn: x^4 -13x^2 +4]
(4) [eqn: x^4 + 64a ^4]

31

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: (a+b) ^3 + b^3]
(2) [eqn: x^3 - y ^3 + x^2 + y ^2 -2xy]

32

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^2 + 3xy +2y ^2 +y -1]
(2) [eqn: (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc]

33

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: a^3 -a^2 b + ab^2 - b^3]
(2) [eqn: x^6 - y ^6]

34

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^2 - xy -2y ^2 + 5x-y + 6]
(2) [eqn: 2x^2 - 7xy + 6y ^2 + 3x - 4y -2]
(3) [eqn: x^3 + 3px^2 +(3p^2 - q^2 ) x + p ^3 -pq^2]
(4) [eqn: (a+b) c ^3 - (a^2 +ab+b^2 ) c^2 +a^2 b^2]

35

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^3 + 5x ^2 +x -15]
(2) [eqn: x^3 - 5x +4]

36

다음을 간단히 하여라.
(1) [eqn: { 55 ^2 - 44 ^2 } over { 88 ^2 - 77 ^2 }]
(2) [eqn: { 399 ^3 +1 } over { 398 times 399 +1}]

37

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^3 - 7x ^2 + 6]
(2) [eqn: x^3 - 7x + 6]
(3) [eqn: 2x ^3 - 7x ^2 + 2x +3]

38

다음을 간단히 하여라.
(1) [eqn: { 198 ^3 -1} over { 198 times 199 +1}]
(2) [eqn: sqrt { 21 times 22 times 23 times 24 +1}]

39

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: 3x ^2 + 8x -3]
(2) [eqn: 3x^2 -7x -6]
(3) [eqn: 6x ^2 +x-2]
(4) [eqn: 4x ^2 + 4x -3]

40

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: a(b-1)-b(b-1)]
(2) [eqn: a(x-y)-b(y-x)]
(3) [eqn: ab- 2b -a+2]
(4) [eqn: xy -x +1-y]

41

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: (x+2) ^2 -10(x+2) +21]
(2) [eqn: (x-3) ^2 +(3-x) -6]
(3) [eqn: (3x-2) ^2 -16]
(4) [eqn: 2xy -2x + 3y -3]

42

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: a^3 b^3 + 3a^2 b^2 c + 3 a b c^2 + c^3]
(2) [eqn: a^6 - b ^6]

43

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^4 - 7x ^2 +12]
(2) [eqn: (x+y ) ^2 -3(x+y ) -4]
(3) [eqn: (x^2 +x+4)(x^2 +x+ 6)-24]
(4) [eqn: (x^2 -x+1)(x^2 -x+2)-12]

44

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^4 + 5x ^2 + 4]
(2) [eqn: x^4 -6x ^2 +1]
(3) [eqn: x^4 -11 x^2 +1]
(4) [eqn: x^4 -13 x^2 +4]

45

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^2 -xy -2y ^2 - x- 7y - 6]
(2) [eqn: acx^3 - (c-a^2 ) x^2 -2ax +1]
(3)  [eqn: a^2 (b-c)+b^2 (c-a)+ c^2 (a-b)]
(4) [eqn: a^3 ( b-c) +b^3 (c-a) +c ^3 (a-b)]

46

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: 4x ^3 - 2x ^2 -x-1]
(2) [eqn: 4x^4 -2x ^3 -x -1]
(3) [eqn: 3x^3 - 5x ^2 - 34 x+24]
(4) [eqn: x ^4 - 15 x^2 +10 x +24]

47

[eqn: (125^2 - 75 ^2 ) div left{ 5 + (30-50)div (-4) right}]의 값을 구하여라.

48

[eqn: x= 0.65,~y=0.35]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: x^2 + 2xy + y^2]
(2) [eqn: x^2 - y ^2]

49

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: n^4 + 4]를 인수분해하여라.
(2) [eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: n^4 + 4] 꼴로 표현되는 소수를 모두 구하여라.

50

[eqn: a^3 + b^3 + c^3 -3abc #=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)]
임을 이용하여 다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: a+b+c=0,~abc=6]일 때, [eqn: a^3 +b^3 +c^3]의 값을 구하여라.
(2) [eqn: (a-b) ^3 +(b-c) ^3 +(c-a) ^3]을 인수분해하여라.

51

삼각형의 세 변의 길이를 [eqn: a,~b,~c]라고 할 때, 다음 등식을 만족시키는 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하여라.
(1) [eqn: a^3 +b^3 +c^3 = 3abc]
(2) [eqn: a^3 c+a^2 bc -ac ^3 +ab^2 c +b^3 c - bc^3 =0]

52

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: 4x ^{2}-12x y+ 9y^2]
(2) [eqn: a^2 + 4b^2 + 9c^2 +4ab+12bc+6ca]

53

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: a^3 -8]
(2) [eqn: (a+b) ^3 +(a-b) ^3]

54

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: (x^2 + 2x -2)(x^2 +2x -3)-12]
(2) [eqn: x^4 + 6x^2 + 9]

55

다음 식을 인수분해하여라.
(1) [eqn: x^2 -2xy -3x +y^2 +3y +2]
(2) [eqn: x^3 -6x^2 +4x +1]

56

[eqn: a^3 -a ^2 b -ab^2 +b^3]을 인수분해하면 [eqn: A^2 B]이다. 이때 [eqn: A+B]는?

① [eqn: 2a]	② [eqn: 2b]	③ [eqn: 2a -b]

④ [eqn: a+2b]	⑤ [eqn: 2a+2b]

57

세 변의 길이가 [eqn: a,~b,~c]인 삼각형에서 [eqn: a^3 +b^3 +c^3 =3abc]인 관계가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하여라.

58

[eqn: (2x+y)^3 +(x-2y) ^3]을 인수분해하면
[eqn: (3x-y)f(x,~y)]라고 할 때, [eqn: f(1,~-1)]의 값을 구하여라.

60

다음 중 [eqn: (1-x^2 ) (1-y^2 )-4xy]의 인수인 것은?

① [eqn: 1+ xy-x-y]	② [eqn: 1 +xy-x+y]

③ [eqn: 1-xy+x-y]	④ [eqn: 1-xy-x-y]

⑤ [eqn: 1-xy-x+y]

61

[eqn: (x^2 -2x -2) ^2 +x^2 -2x -4]를 인수분해하면 [eqn: x(x+1)(x+a)(x+b)]이다. 이때 [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

62

다음 중 [eqn: x^3 + 2x^2 y -x -2y]의 인수인 것은?

① [eqn: x+y]	② [eqn: 2x+y]

③ [eqn: x+2y]	④ [eqn: x-2y]

⑤ [eqn: 2x -y]

63

다항식 [eqn: 3x^ 3 +2x ^2 -17x +12]를 세 일차식의 곱으로 인수분해할 때, 다음 중 그 인수인 것은?

① [eqn: 3x+ 4]	② [eqn: 3x-4]

③ [eqn: 3x+2]	④ [eqn: x-6]

⑤ [eqn: x-6]

64

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^3 + 5x ^2 +kx -k]가 [eqn: x+1]을 인수로 가질 때, [eqn: k]의 값을 구하고, 이 다항식을 인수분해하여라.

65

다항식 [eqn: x^3 + x^2 y +xy ^2 -3y^3]을 인수분해하여라.

66

다항식 [eqn: x^4 -11x^2 +1]이
[eqn: (x^2 +ax +b)(x^2 +3x+b)]로 인수분해될 때, 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

67

[eqn: x^2 - 3y=1,~y^2 -3x=1]을 만족시키는 서로 다른 두 수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하여라.

68

세 실수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: [a,~b,~c]=a^2 (b-c)]라고 할 때, [eqn: [a,~b,~c]+[b,~c,~a]+[c,~a,~b]]를 인수분해하여라.

69

다항식 [eqn: x^3 +x^2 -3x -3]을 세 일차식의 곱으로 인수분해할 때, 각 인수들의 상수항의 총합을 구하여라.

70

[eqn: f(x) =x^3 (x-3) ^2 -14x (x-3)+40]을 인수분해하였더니 [eqn: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)]가 되었다. 이때, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 +d^2]의 값을 구하여라.

71

[eqn: (0.999) ^3 -3 times (0.999) ^2 + 3 times 0.999]를 계산했을 때, 소수점 아래 일곱 번째 자리의 숫자를 구하여라.

72

삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a,~b,~c] 사이에 [eqn: a^2 (b^2 +c^2 -a^2 )=b^2 (a^2 +c^2 -b^2 )]인 관계가 있을 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하여라.

73

다항식 [eqn: f(x) =(a+1) x^2 +(a^2 +a) x+a^2 -k]의 한 인수가 [eqn: x+a-1]이 되도록 상수 [eqn: k]의 값을 정하고, 주어진 식을 인수분해하여라.

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		3. 인수분해			정답
	01 인수분해

01

④

답

해

설

[eqn: a-b+a^2 b^3 -a^3 b^2 #=(a-b)+a^2 b^2 (b-a) #=(a-b)-a^2 b^2 (a-b) #=(a-b)(1-a^2 b^2 ) #=(a-b)(1-ab)(1+ab)]

이므로 주어진 다항식의 인수는

[eqn: a-b,~1-ab,~1+ab,~(a-b)(1-ab),] [eqn: (a-b)(1+ab),~1-a^2 b^2 ,~(a-b)(1-ab)(1+ab)]

따라서 ④ [eqn: a+a^2 b^2]은 인수가 아니다.

02

④

답

해

설

[eqn: x^4 -5x^2 +4 &= left{(x^2 )^2 -4x^2 +4 right} -x^2 #&=(x^2 -2)^2 -x^2 #&=(x^2 +x-2)(x^2 -x-2)]

에서  [eqn: a=1,~b=-2,~c=-1,~d=-2] 또는 [eqn: a=-1,~b=-2,~c=1,~d=-2]

따라서  [eqn: abcd =-4]

03

④

답

해

설

[eqn: (x-1)(x-2)(x+2)(x+3) +3 #= left{ (x-1)(x+2) right} left{ (x-2)(x+3) right} +3 #= (x^2 +x-2)(x^2 +x -6)+3 #=(T-2)(T-6)+3~~~⇦~x^2 +x =T #=T^2 -8T +15 #=(T-3)(T-5) #=(x^2 +x -3)(x^2 +x -5)]

04

⑤

답

해

설

[eqn: a^6 -1& = (a^3 )^2 -1^2 #&=(a^3 +1)(a^3 -1) #&=(a+1)(a^2 -a+1)(a-1)(a^2 +a+1)]

[eqn: a^4 +a^2 +1 &=(a^2 )^2 +a^2 +1 #&= left{(a^2 )^2 +2a^2 +1 right} -a^2 #&=(a^2 +1)^2 -a^2 #&=(a^2 +a+1)(a^2 -a+1)]

이므로

[eqn: {a^6 -1} over {a^4 +a^2 +a}& = { (a+1)(a^2 -a+1)(a-1)(a^2 +a+1)} over {(a^2 +a +1)(a^2 -a +1)} #&=(a+1)(a-1) #&=a^2 -1]

[eqn: a=9]이므로

[eqn: a^2 -1 =9^2 -1 =80]

05

⑤

답

해

설

[eqn: (x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6 #= left{ (x+1)(x-3) right} left{ (x+2)(x-4) right} +6 #=(x^2 -2x -3)(x^2 -2x -8) +6 #= (T-3)(T-8)+6~~~⇦~x^2 -2x =T#=T^2 -11T +30 =(T-5)(T-6) #=(x^2 -2x -5)(x^2 -2x -6)]

에서  [eqn: a=-5,~b=-6] 또는 [eqn: a=-6,~b=-5]

따라서  [eqn: ab=30]

06

①

답

해

설

[eqn: f(x) =x^4 -x^3 +2x^2 -x +a]가 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로 [eqn: f(1)=1-1+2-1+a=0]에서  [eqn: a=-1]

따라서  [eqn: x^4 -x^3 +2x^2 -x -1 =(x-1)(x^3 +2x+1)]

07

③

답

해

설

[eqn: <a,~b,~c>+<b,~c,~a>+<c,~a,~b> #=(a-b)c^2 +(b-c)a^2 +(c-a)^ 2 b^2 #=ac^2 -bc^2 +ba^2 -ca^2 +cb^2 -ab^2 #=(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a+bc(b-c) #=(b-c) left{a^2 -(b-c)a+bc right} #= (b-c)(a-b)(a-c) #=-(a-b)(b-c)(c-a)]

08

④

답

해

설

[eqn: x=13]으로 놓으면 주어진 식은

[eqn: x TIMES (x+1) TIMES(x+2) TIMES(x+3)+1 #= left{x(x+3)right}left{(x+1)(x+2)right}+1 #=(x^2 +3x)(x^2 +3x+2)+1 #=(x^2 +3x+1)^2 =n^2]

이때 [eqn: n]은 자연수이므로

[eqn: n=x^2 +3x+1 =13^2 +3TIMES13 +1=209]

09

①

답

해

설

[eqn: x^2 -x =A]로 치환하면

[eqn: (x^2 -x)^2 -14(x^2 -x)+24 #=A^2 -14A+24 #=(A-2)(A-12) #=(x^2 -x-2)(x^2 -x-12) #=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) #=(x+1)(x+3)(x-2)(x-4)]

이므로  [eqn: a=-2,~b=-4] 또는 [eqn: a=-4,~b=-2]

따라서  [eqn: a+b=-6]

10

①

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 +3x^2 +x-2]로 놓으면

[eqn: f(-2)=-8+12-2-2=0]

조립제법을 이용하면

이므로  [eqn: f(x)=(x+2)(x^2 +x-1)]

따라서 [eqn: x^3 +3x^2 +x-2]의 인수인 것은 ① [eqn: x^2 +x-1]이다.

11

③

답

해

설

[eqn: 100=x]로 놓으면 주어진 식은

[eqn: {(x-2)^2 -1} over{x^2 -1} TIMES {x^3 +1} over {x^2 -x+1} #= { (x-1)(x-3)} over{(x+1)(x-1)} TIMES {(x+1)(x^2 -x+1)} over{ x^2 -x +1} #=x-3 #=97]

12

[eqn: 4 sqrt { 3}]

답

해

설

Ⅰ에서

[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc # =(a+b+c)(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca)# = {1} over {2} (a+b+c) LEFT { (a-b) ^{2} +(b-c) ^{2} +(c-a) ^{2} RIGHT } #=0]

이므로  [eqn: a=b=c]

Ⅱ에서 [eqn: a^3 =64]이므로  [eqn: a=4]

즉, [eqn: a=b=c=4]이므로 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형이다.

따라서 구하는 삼각형의 넓이는

[eqn: sqrt { 3} over 4 TIMES 4^2 = 4 sqrt { 3}]

13

④

답

해

설

[eqn: x ^{2} -x-n=(x+a)(x-b)~(a,~b]는 [eqn: a<b]인 자연수)라고 하면

[eqn: x^2 -x-n =x^2 -(b-a)x-ab]

계수를 비교하면

[eqn: b-a=1,~ab=n] (단, [eqn: 1 LE n LE100]인 자연수)

[eqn: b=a+1,~ab=n]

위의 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a,~b,~n]의 값을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]
[eqn: b]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]
n	[eqn: 2]	[eqn: 6]	[eqn: 12]	[eqn: 20]	[eqn: 30]	[eqn: 42]	[eqn: 56]	[eqn: 72]	[eqn: 90]

따라서 구하는 다항식은 모두 [eqn: 9]개다.

14

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 -ax^2 +8x -4]로 놓으면 [eqn: x-1]이 [eqn: f(x)]의 인수이므로

[eqn: f(1)=1-a+8-4=0]

에서  [eqn: a=5]	(가)

이때 [eqn: f(x)=x^3 -5x^2 +8x -4]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫을 조립제법을 이용하여 구하면

[eqn: f(x)&=(x-1)(x^2 -4x+4) #&=(x-1)(x-2)^2]	(나)

즉, [eqn: bx+c=x-2]이므로

[eqn: b=1,~c=-2]	(다)

따라서

[eqn: a+b+c&=5+1-2#&=4]	(라)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 인수정리를 이용하여 [eqn: a]의 값을 구한다.	30 %
(나) 조립제법을 이용하여 다항식 [eqn: f(x)]를 인수분해한다.	30 %
(다) [eqn: b,~c]의 값을 구한다.	20 %
(라) [eqn: a+b+c]의 값을 구한다.	20 %

15

②

답

해

설

방정식 [eqn: 2x^2 -3xy^2 + 3x +4y +k=0]이 두 개의 직선을 나타낸다는 것은 다항식 [eqn: 2x^2 -3xy^2 + 3x +4y +k]가 두 일차식의 곱으로 인수분해된다는 것이다. 따라서 주어진 식의 좌변을 [eqn: x]에 대한 내림차순으로 정리하면

[eqn: 2x^2 -3(y-1)x -2y ^2 +4y +k =0]

[eqn: x= { 3(y-1)+- sqrt { 9(y-1)^2 -4 cdot 2 cdot (-2y^2 + 4y +k)}} over {2 cdot 2}]

근호 안의 식 [eqn: sqrt {9(y-1) ^{2} -4 CDOT 2 CDOT (-2y ^{2} +4y+k)}}]가 완전제곱식이 되어야 하므로

[eqn: 9(y^2 -2y+1)-8(-2y^2 + 4y +k)]가 완전제곱식이 되어야 하므로

[eqn: 9( y^2 -2y +1) -8 ( -2y^2 +4y +k) #= 25y^2 -50y+9-8k #=25(y-1) ^2 -16-8k]

[eqn: -16-8k=0]에서  [eqn: k=-2]

16

[eqn: (a-b)(a+b)]

답

17

[eqn: (x+1)(x ^2 -x +1)]

답

18

[eqn: (x-2)(x+2)(x^2 +4)]

답

19

[eqn: (x-1)(x ^2 +x -5)]

답

20

(1) [eqn: 4xy ( 2 + y)]
(2) [eqn: (2a+b)(a-3b)]
(3) [eqn: (x ^2 +1 )( x +2)]
(4) [eqn: (a-c)(a+b)]

답

21

(1) [eqn: (x-a)(x+a)(x ^{2} +a)]
(2) [eqn: (b+c)(2a+b-c)]
(3) [eqn: (a-b-c)(a-b+c)]|
(4) [eqn: (xy+x+y+2)(xy-x-y+2)]

답

해

설

(1) [eqn: x^4 -a^4 &=( x ^2 - a ^2 ) ( x^2 + a^2 )#&= (x-a)(x+a)(x ^2 +a)]

(2) [eqn: (a+b) ^2 -(a-c) ^2 #= left{ (a+b)-(a-c)right} left{ (a+b)+(a-c)right}#=(b+c)(2a+b-c)]

(3) [eqn: a^2 +b^2 -c^2 -2ab &=(a^2 -2ab+b^2 )-c^2 #& =(a-b) ^2 -c^2 #&=(a-b-c)(a-b+c)]

(4) [eqn: x^2 y^2 +2xy +4-x^2 -y ^2 #=x^2 y ^2 +4xy +4-x^2 -2xy -y^2 #= (xy +2) ^2 -(x+y) ^2 #= (xy +x+y +2) (xy -x-y +2)]

22

(1) [eqn: (x-2)(x-3)]
(2) [eqn: (x-6y)(x+y)]
(3) [eqn: (3x-2)(x-4)]
(4) [eqn: (x+a+1)(x+a+2)]

답

23

(1) [eqn: (x+1)^3]
(2) [eqn: (x+2) ^3]
(3) [eqn: (3x-y) ^3]
(4) [eqn: (2x-3) ^3]

답

24

(1) [eqn: (x+2)(x ^2 -2x +4)]
(2) [eqn: (2x+3y )(4x^2 -6xy +9y ^2 )]
(3) [eqn: (x-3)(x^2 +3x+9)]
(4) [eqn: (4y-1)( 16y ^2 + 4y +1)]

답

25

(1) [eqn: (x+5y)(x-2y)]
(2) [eqn: (x-2y)(2x-y)]
(3) [eqn: x(x-3)(x+3)]
(4) [eqn: -(2x-3y) ^2]

답

26

(1) [eqn: (x+3) ^3]
(2) [eqn: (3x-2y) ^3]
(3) [eqn: (4x+ 3y)(16x^2 -12xy + 9 y^2 )]
(4) [eqn: (3x-2y)(9y^2 +6xy + 4y^2 )]

답

27

(1) [eqn: (x ^{2} -x-1)(x ^{2} -x+7)]
(2) [eqn: x(x+5)(x^2 +5x +10)]
(3) [eqn: (x+3)(x-2)(x ^2 +x-8)]
(4) [eqn: (x ^{2} +8x+6)(x ^{2} +4x+6)]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 - x = t]로 놓으면

[eqn: (x ^2 - x) ( x^2 -x +6) -7 &= t(t+6) -7#&= t^2 + 6t -7#&=(t-1)(t+7)#&= (x ^2 -x-1)(x^2 -x+7)]

(2) [eqn: x^2 + 5x +4=t]로 놓으면

[eqn: ( x^2 + 5x +4) ( x^2 + 5x + 6 ) -24#=t(t+2)-24 #=t^2 +2t -24 #=(t-4)(t+6) #= (x ^2 + 5x )(x ^2 + 5x +10) #=x(x+5)(x^2 +5x +10)]

(3) [eqn: (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24#= (x ^2 + x-2)(x^2 +x-12) +24]

[eqn: x^2 +x-2=t]로 놓으면

[eqn: (x ^2 + x-2)(x^2 +x-12) +24 #=t(t-10) +24 #=t^2 -10 t + 24 #=(t-4)(t-6) #=(x^2 + x-6)(x^2 +x-8) #=(x+3)(x-2)(x ^2 +x-8)]

(4) [eqn: x^2 + 5x +6=t]로 놓으면

[eqn: (x ^2 + 5x + 6)( x^2 + 7x + 6) - 3x ^2 #=t(t+2x)-3x^2# = t^2 +2xt - 3x ^2 #=( t+3x)(t-x) #=(x ^2 + 8x +6)( x^2 + 4x + 6)]

28

(1) [eqn: (x^2 + 3x +6) ( x^2 + 9x+6)]
(2) [eqn: (xy+x+1) (xy+y+1)]
(3) [eqn: (x^2 + 8x +10)(x+2)(x+6)]
(4) [eqn: (x-1)(x-2)(x+5)(x+6)]

답

해

설

(1) [eqn: (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-8x ^{2} # = (x+1)(x+6)(x+2)(x+3) -8x^2 #= (x ^2 + 7x + 6) (x^2 + 5x + 6) -8x^2]

[eqn: x^2 + 6 = t]로 놓으면

[eqn: (x ^{2} +7x+6)(x ^{2} +5x+6)-8x ^{2} #=(t+7x)(t+ 5x)-8x^2 #=t^2 +12 xt +27 x^2 #= (t+3x)(t+ 9x) #=(x^2 + 3x+ 6) (x^2 + 9x + 6)]

(2) [eqn: (xy +1)(x+1)(y+1) + xy #=(xy+1)(xy +x+y+1)+xy]

[eqn: xy+1= t`]로 놓으면

[eqn: (xy+1)(xy +x+y+1)+xy #=t(t+x+y )+xy #=t^2 + (x+y) t + xy #= (t+x)(t+y) #=(xy+x+1)(xy+y+1)]

(3) [eqn: (x ^2 + 4x + 3)(x^2 +12x + 35) + 15 #=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 #= (x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+15 #=(x^2 +8x+ 7)(x^2 + 8x+15) +15]

[eqn: x^2 + 8x + 7 =t]로 놓으면

[eqn: (x^2 +8x+ 7)(x^2 + 8x+15) +15 #=t(t+8)+15=t^2 + 8t +15 #= (t+3)(t+5) #=(x^2 + 8x+10)(x^2 + 8x+12) #=(x^2 + 8x+10)(x+2)(x+6)]

(4) [eqn: (x+2) ^2 (x-3)(x+7) +144 #=(x^2 + 4x + 4)( x^2 + 4x -21) +144]

[eqn: x^2 + 4x = t]로 놓으면

[eqn: (x^2 + 4x + 4)( x^2 + 4x -21) +144 #= (t+4)(t-21)+144 #= t^2 -17t +60 #=(t-5)(t-12) #=(x^2 +4x -5)(x^2 + 4x -12) #=(x+5)(x-1)(x+6)(x-2) #=(x-1)(x-2)(x+5)(x+6)]

=

29

(1) [eqn: (x-1)(x+1)(x^2 - 5)]
(2) [eqn: (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)]
(3) [eqn: (x ^2 -5x+1)(x^2 + 5x +1)]
(4) [eqn: (x ^2 +2x+2)(x^2 -2x+2)]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 = t]로 놓으면

[eqn: x^4 - 6x ^2 + 5&=t ^2 - 6t + 5=(t-1)(t-5) #&=(x^2 -1)( x ^2 -5) = (x-1)(x+1)(x^2 - 5)]

(2) [eqn: x^2 = t]로 놓으면

[eqn: x^4 - 5 x ^2 +4&= t^2 - 5t + 4 =(t-1)(t-4) #&=(x^2 -1)(x^2 -4) #&= (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)]

(3) [eqn: x^4 +ax^2 +1]이 완전제곱꼴이 되려면  [eqn: a=+-2]

[eqn: x ^4 -23 x^2 +1 #= cases{`x^4 +2x^2 +1-25x^2 =(x^2 +1)^2 -(5x) ^2 #`x^4 - 2x ^2 +1-21x^2 =(x^2 -1) ^2 -( sqrt { 21}x) ^2]

둘째 식은 무리수 계수가 나오므로 첫째 식을 이용한다. 즉,

[eqn: x^4 - 23 x ^2 +1&=(x^2 +1) ^2 -(5x) ^2 #&= (x ^2 -5x+1)(x^2 + 5x +1)]

(4) [eqn: x^4 +ax^2 +4]가 완전제곱꼴이 되려면  [eqn: a=+-4]

[eqn: x^4 +4 =cases{`x^4 + 4x ^2 + 4 - 4 x^2 = ( x^2 +2) ^2 -(2x) ^2 #`x^4 - 4x ^2 +4+ 4x^2 = ( x^2 -2) ^2 +(2x) ^2]

따라서 첫째 식을 이용하면

[eqn: x^4 + 4 = (x^2 +2) ^2 -(2x) ^2 = (x ^2 +2x+2)(x^2 -2x+2)]

30

(1) [eqn: (x-1)(x+1)(x^2 + 9)]
(2) [eqn: (x^2 -3x +1)(x^2 +3x+1)]
(3) [eqn: (x^2 -3x -2)(x^2 + 3x -2)]
(4) [eqn: (x^2 - 4ax + 8a ^2 )( x^2 +4ax + 8a^2 )]

답

해

설

(1) [eqn: x^4 + 8x^2 -9 &= (x^2 - 1)(x^2 + 9) #&=(x-1)(x+1)(x^2 +9)]

(2) [eqn: x^4 - 7x ^2 +1 & = x^4 + 2x ^2 +1 -9x^2 #&=(x^2 +1)^2 -(3x ) ^2 #&=(x^2 -3x +1)(x^2 +3x +1)]

(3) [eqn: x^4 -13x^2 +4 &=x^4 -4x^2 +4-9x^2 #&=(x^2 -2) ^2 - (3x ) ^2 #&=(x^2 - 3x-2)(x^2 + 3x-2)]

(4)　[eqn: x^4 + 64a^4 &=x^4 + 16a^2 x^2 + 64 a^4 -16a^2 x^2 #&=(x^2 + 8a^2 ) ^2 - (4ax) ^2 #&=(x^2 - 4ax +8a^2 )(x^2 +4ax+8a^2 )]

31

(1) [eqn: (a+2b)(a ^{2} +ab+b ^{2} )]
(2) [eqn: (x-y) (x ^2 + xy+ y ^2 +x-y)]

답

해

설

(1) [eqn: (a+b) ^3 + b^3 #= left{ (a+b)+b right} left{ (a+b) ^2 -(a+b) b+ b^2 right} #=(a+2b)(a^2 +ab+ b^2 )]

(2) [eqn: x^3 - y^3 +x^2 + y ^2 -2xy #= (x-y)(x^2 + xy + y^2 )+(x-y ) ^2 #=(x-y) (x ^2 + xy+ y ^2 +x-y)]

32

(1) [eqn: (a+2b)(a ^{2} +ab+b ^{2} )]
(2) [eqn: (a+b)(b+c)(c+a)]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 + 3xy +2y ^2 +y -1#= x^2 + 2yx + (y+1)(2y-1)#= (x+y +1)(x+2y -1)]

(2) [eqn: a]에 대하여 내림차순으로 정리하면
[eqn: (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc#=left{a+(b+c) right} left{ (b+c)a +bc right} -abc #=(b+c)a^2 +(b+c) ^2 a +bc (b+c) #=(b+c) left{ a^2 + (b+c) a +bc right} #=(b+c)(a+b)(a+c) #=(a+b)(b+c)(c+a)]

33

(1) [eqn: (a-b)(a^2 + b^2 )]
(2) [eqn: (x-y)(x^2 +xy+ y^2 )(x+y) (x^2 -xy #+ y^2 )]

답

해

설

(1) [eqn: a^3 -a^2 b + ab^2 - b^3 #=(a^3 - b^3 - a^2 b + ab^2 ) #= ( a-b)(a^2 +ab+b^2 )-ab(a-b) #=(a-b)(a^2 + b^2 )]

(2) [eqn: x^ 6 - y ^6 #= (x^3 ) ^2 - (y ^3 ) ^2 #=(x^3 - y^3 ) ( x^3 + y^3 ) #= (x-y) (x^2 +xy + y^2 )(x+y)(x^2 -xy + y^2 )]

34

(1) [eqn: (x-2y+3)(x+y+2)]
(2) [eqn: (2x -3y -1)(x-2y +2)]
(3) [eqn: (x+p)(x+p+q)(x+p-q)]
(4)　[eqn: (a-c)(b-c)(ab+bc+ca)]

답

해

설

(1) [eqn: x-xy-2y^2 +5x-y+6 #=x^2 -(y-5)x -(2y^2 + y -6) #= x^2 - (y-5) x-(2y-3)(y+2) #=left{ x - (2y -3) right} left{ x + (y+2) right} #=(x-2y +3)(x+y+2)]
(2) [eqn: 2x^2 - 7xy + 6y ^2 + 3x - 4y -2 #= 2x^2 - (7y -3) x + 2 ( 3y^2 - 2y -1) #= 2x^2 -(7y-3) x + 2( 3y +1)(y-1) #= left{ 2x -(3y+1) right} left{ x - 2(y-1) right} #= (2x-3y -1)(x-2y+2)]
(3) 차수가 가장 낮은 문자인 [eqn: q`]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: x ^{3} +3px ^{2} +(3p ^{2} -q ^{2} )x+p ^{3} -pq ^{2} #= -(x+p) q^2 +( x^3 +3px^2 + 3p^2 x +p^3 ) #= -(x+p) q^2 + (x+p) ^3 #= (x+p) left{ -q ^2 + (x+p) ^2 right} #=(x+p) left{ (x+p) +q right} left{ (x+p) -q right} #=(x+p)(x+p+q)(x+p-q)]

(4) 차수가 낮은 문자 [eqn: a,~b] 중에서 [eqn: a]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: (a+b) c^3 - (a^2 + ab+b^2 ) c^2 +a^2 b^2 #= ( b^2 -c^2 )a^2 +(c^3 -bc^2 ) a+bc^3 -b^2 c^2 #= (b-c)(b+c)a^2 +c^2 (c-b)a+bc^2 (c-b) #= (b-c) left{ (b+c) a^2 - c^2 a -bc^2 right} #=(b-c)left{ (a-c)(a+c)b+ac(a-c) right} #=(b-c)(a-c)left{ (a+c) b +ac right} #= (a-c)(b-c)(ab+bc+ca)]

35

(1) [eqn: (x+3)(x^2 + 2x -5)]
(2) [eqn: (x-1) (x^2 +x-4)]

답

36

(1) [eqn: 3 over 5]           (2) [eqn: 400]

답

해

설

(1) [eqn: {55 ^{2} -44 ^{2}} over {88 ^{2} -77 ^{2}} & = {(55+44)(55-44)} over {(88+77)(88-77)} = {55+44} over {88+77} #& = { 11(5+4) } over11(8+7) = 5+4 over 8+7 = 3 over 5]
(2) [eqn: 399=a]로 놓으면

[eqn: { 399 ^3 +1 } over { 398 times 399 +1}& = {a^3 +1} over {(a-1)a+1} = {(a+1)( a^2 -a +1) } over { a^2 -a+1 }#& = a+1 =400]

37

(1) [eqn: (x-1)(x^2 - 6x -6)]
(2) [eqn: (x-1)(x-2)(x+3)]
(3) [eqn: (x-1)(x-3)(2x+1)]

답

38

(1) [eqn: 197]            (2) [eqn: 505]

답

해

설

(1) [eqn: 198=a]로 놓으면

[eqn: { 198^3 -1 } over 198times199+1 & ={ a^3 -1} over { a(a+1) +1 } #&= { (a-1)(a^2 +a+1) } over { a^2 + a+1} #&=a-1=197]

(2) [eqn: a=20]으로 놓으면

[eqn: (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1 #=(a+1)(a+4)(a+2)(a+3)+1 #= (a^2 + 5a + 4) (a^2 + 5a + 6 ) +1]

[eqn: a^2 + 5a + 5 = t]로 놓으면

[eqn: (a^2 + 5a + 4) (a^2 + 5a + 6 ) +1 #= ( t-1)(t+1)+1=t^2 #=(a^2 + 5a + 5) ^2]

[eqn: sqrt { 21times22times23times24 +1} &= sqrt { (a^2 +5a +5) ^2 } #&=a^2 + 5a + 5 #&= 20^2 + 5 times 20 + 5 #&= 505]

39

(1) [eqn: (x+3)(3x-1)]
(2) [eqn: (x-3)(3x+2)]
(3) [eqn: (2x-1)(3x+2)]
(4) [eqn: (2x-1)(2x+3)]

답

40

(1) [eqn: (a-b)(b-1)]
(2) [eqn: (a+b)(x-y)]
(3) [eqn: (a-2)(b-1)]
(4) [eqn: (x-1)(y-1)]

답

41

(1) [eqn: (x-1)(x-5)]
(2) [eqn: (x-6)(x-1)]
(3) [eqn: 3(x-2)(3x+2)]
(4) [eqn: (2x+3)(y-1)]

답

해

설

(1) [eqn: (x+2)^2 -10(x+2)+21 #= (x+2-3)(x+2-7) #=(x-1)(x-5)]

(2) [eqn: (x-3) ^2 + (3-x) -6#= (x-3) ^2 - (x-3) - 6 #= (x-3-3)(x-3+2) #= (x-6)(x-1)]

(3) [eqn: (3x-2) ^2 -16 &= (3x-2) ^2 - 4^2 #&=(3x-2-4)(3x-2+4) #&= (3x-6)(3x+2) #&= 3(x-2)(3x+2)]

(4) [eqn: 2xy- 2x+ 3y -3&=2x(y-1)+3(y-1) #&=(2x+3)(y-1)]

42

(1) [eqn: (ab+c) ^3]
(2) [eqn: (a-b)(a^2 +ab+b^2 )(a+b)(a^2 -ab+b^2 )]

답

43

(1) [eqn: (x^2 -3) (x-2)(x+2)]
(2) [eqn: (x+y +1)(x+y -4)]
(3) [eqn: x(x+1)(x^2 +x +10)]
(4) [eqn: (x^2 -x + 5)( x-2)(x+1)]

답

해

설

(1) [eqn: x ^{4} -7x ^{2}+ 12 &=(x^2 -3)(x^2 - 4) #&= (x^2 -3)(x-2)(x+2)]

(2) [eqn: (x+y) ^2 - 3 (x+y) -4 #=(x+y+1)(x+y-4)]

(3) [eqn: x^2 + x =t]로 놓으면

[eqn: (x^2 +x+4)(x^2 +x+ 6)-24#=(t+4)(t+6) -24 #=t^2 + 10 t =t(t+10) #= (x^2 +x ) (x^2 + x+10) #= x(x+1)(x^2 +x +10)]

(4) [eqn: x^2 -x=t]로 놓으면

[eqn: (x^2 -x+1)(x^2 -x+2)-12 #=(t+1)(t+2)-12 #=t^2 +3t-10 #=(t+5)(t-2) #=(x^2 - x+5)(x^2 -x-2) #= (x^2 -x+5)(x-2)(x+1)]

44

(1) [eqn: (x^2 + 1)(x^2 + 4)]
(2) [eqn: (x^2 -2x -1)(x^2 +2x -1)]
(3) [eqn: (x ^{2} -3x-1)(x ^{2} +3x-1)]
(4) [eqn: (x^2 -3x -2)(x^2 +3x -2)]

답

해

설

(1) [eqn: x^4 + 5 x ^2 + 4 = (x^2 +1)(x^2 + 4)]

(2) [eqn: x^4 - 6x ^2 +1 & = x^4 -2x^2 +1- 4x ^2 #&= (x^2 -1)^2 -(2x)^2 #&=(x^2 -2x-1)(x^2 +2x-1)]

(3) [eqn: x^4 -11 x^2 +1 &=x^4 -2x^2 +1- 9x^2 #&=(x^2 -1) ^2 -(3x) ^2 #&= (x^2 -3x -1)(x^2 +3x-1)]

(4)[eqn: x ^{4} -13x ^{2} +4 & =x ^{4} -4x ^{2} +4-9x ^{2}# & =(x ^{2} -2) ^{2} -(3x) ^{2}# & =(x ^{2} -3x-2)(x ^{2} +3x-2)]

45

(1) [eqn: (x-2y-3)(x+ y+2)]
(2) [eqn: (ax-1)(cx^2 +ax -1)]
(3) [eqn: -(a-b)(b-c)(c-a)]
(4) [eqn: -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 -xy - 2y ^2 -x -7y -6 #= x^2 -(y+1)x -(2y^2 +7y +6) #= x^2 -(y+1) x -(y+2)(2y+3) #=left{ x-(2y +3) right} left{ x+(y+2) right} #=(x-2y-3)(x+y+2)]

(2) 차수가 가장 낮은 문자인 [eqn: c]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: acx^3 -(c-a^2 ) x^2 -2ax +1 #=cx^2 (ax-1)+a^2 x^2 -2ax +1 #= cx^2 (ax-1)+(ax-1) ^2 #= (ax-1)(cx^2 +ax -1)]

(3) [eqn: a,~b,~c]에 대한 차수가 모두 같으므로 [eqn: a]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: a^2 (b-c)+b^2 (c-a) +c^2 (a-b) #= (b-c)a^2 -(b^2 -c^2 )a +bc(b-c)#= (b-c)left{ a^2 - (b+c) a+bc right} #= (b-c)(a-b)(a-c) #=-(a-b) (b-c)(c-a)]

(4) [eqn: a]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: a^3 (b-c)+b^3 (c-a)+c^3 (a-b) #= (b-c) a^3 - (b^3 -c^3 )a +b^3 c-bc^3 #= (b-c) left{ a^3 -(b^2 +bc +c^2 )a right}+bc(b-c)(b+c) #=(b-c) left{ a^3 -(b^2 +bc+c^2 ) a +bc(b+c) right} #= (b-c)left{ (c-a)b^2 +c(c-a)b -a(c^2 -a^2 ) right} #=(b-c)(c-a)(b-a)(b+c+a) #= -(a-b)(b-c)(c-a) (a+b+c)]

46

(1) [eqn: (x-1)(4x^2 +2x +1)]
(2) [eqn: (x-1)(2x+1)(2x^2 +1)]
(3) [eqn: (x+3)(x-4)(3x -2)]
(4) [eqn: (x+1)(x-2)(x-3)(x+4)]

답

47

[eqn: 1000]

답

48

(1) [eqn: 1]            (2) [eqn: 0.3]

답

49

(1) [eqn: (n^2 -2n +2)(n^2 +2n+2)]
(2) [eqn: 5]

답

해

설

(1) [eqn: n^4 + 4 &= n^4 + 4n ^2 +4-4n^2 #&=(n^2 +2) ^2 - (2n) ^2 #&= (n^2 -2n+2)(n^2 +2n+2)]

(2) [eqn: n^4 +4=(n^2 -2n +2)(n^2 +2n+2)]이므로 두 수의 곱이 소수가 되려면 두 수 중 적어도 하나는 [eqn: 1]이어야 한다.

한편 [eqn: n]이 자연수일 때,

[eqn: n^2 +2n +2 > n^2 -2n+2]

이므로 [eqn: n^2 -2n +2=1]이어야 한다.

즉, [eqn: n^2 - 2n +1=0]에서  [eqn: n=1]

따라서 구하는 소수는 [eqn: 5]뿐이다.

50

(1) [eqn: 18]
(2) [eqn: 3(a-b)(b-c)(c-a)]

답

해

설

(1) [eqn: a+b+c=0]이므로

[eqn: a^3 +b^3 + c^3 = 3abc =18]

(2) [eqn: a-b=x,~b-c=y,~c-a=z]로 놓으면

[eqn: x+y+z=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0]

[eqn: a^3 + b^3 + c^3 -3abc #=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)#=x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz #= 3(a-b)(b-c)(c-a)]

51

(1) 정삼각형
(2) [eqn: c]를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형

답

해

설

(1) [eqn: a^3 + b^3 + c^3 -3abc=0]에서 좌변을 인수분해하면

[eqn: (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)=0]

[eqn: a,~b,~c]는 삼각형의 세 변의 길이이므로

[eqn: a+b+c>0]

[eqn: a^2 + b^2 +c^2 -ab-bc-ca=0]

양변에 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: 2(a^2 +b^2 +c^2 ) -2ab-2bc-2ca=0][eqn: (a^2 -2ab+b^2 )+(b^2 -2bc+c^2 )+(c^2 -2ca+ a^2 )=0]

[eqn: (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 =0]

이때 [eqn: a,~b,~c]는 실수이므로

[eqn: a-b=b-c=c-a=0]

[eqn: a=b=c]

따라서 정삼각형이다.

(2) 좌변을 공통인수 [eqn: c`]로 묶고 [eqn: c]에 대한 내림차순으로 정리하면

[eqn: a ^{3} c+a ^{2} bc-ac ^{3} +ab ^{2} c+b ^{3} c-bc ^{3}# =c(a ^{3} +a ^{2} b-ac ^{2} +ab ^{2} +b ^{3} -bc ^{2} )# =c LEFT { -(a+b)c ^{2} +a ^{3} +a ^{2} b+ab ^{2} +b ^{3} RIGHT }# =c LEFT { -(a+b)c ^{2} +(a+b)a ^{2} +(a+b)b ^{2} RIGHT }# = c(a+b) (-c^2 +a^2 +b^2 ) =0]

[eqn: a,~b,~c]는 양수이므로

[eqn: a^2 +b ^2 =c^2]

따라서 [eqn: c]를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형이다.

52

(1) [eqn: (2x-3y) ^2]	(2) [eqn: (a+2b +3c) ^2]

답

53

(1) [eqn: (a-2)(a^2 +2a+4)]
(2) [eqn: 2a(a^2 +3b^2 )]

답

54

(1) [eqn: (x^2 +2x-6)(x+1) ^2]
(2) [eqn: (x+3) ^2]

답

55

(1) [eqn: (x-y-1)(x-y-2)]
(2) [eqn: (x-1)(x^2 -5x-1)]

답

56

①

답

해

설

[eqn: a ^{3} -a ^{2} b-ab ^{2} +b ^{3} &=(a^3 -a^2 b)-(ab^2 -b^3 ) #&=a^2 (a-b)-b^2 (a-b)#&=(a-b)(a^2 -b^2 )#&=(a-b) ^2 (a+b)]

57

정삼각형

답

해

설

[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc#=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)#= 1 over 2 (a+b+c) left{(a-b) ^2 +(b-c) ^2 +(c-a) ^2 right} #=0]

[eqn: a+b+c not= 0]이므로  [eqn: a-b=b-c=c-a=0]

[eqn: therefore a=b=c]

[eqn: therefore] 정삼각형

58

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: (2x+y) ^{3} +(x-2y) ^{3}# = LEFT { (2x+y)+(x-2y) RIGHT } " {" (2x+y) ^{2} -(2x+y)(x-2y)#~~+(x-2y) ^{2} "}"# =(3x -y)(3x^2 +3xy + 7 y^2 )]

[eqn: f(x,~y)=3x^2 + 3xy + 7y^2]이므로  [eqn: f(1,~-1)=7]

60

④

답

해

설

[eqn: (1-x^2 ) (1-y^2 )-4xy #=1-x^2 -y^2 + x^2 y ^2 - 4xy #=(1-2xy +x^2 y^2 )-( x^2 +2xy +y^2 ) #=(1-xy) ^2 -(x+y) ^2 #= left{ (1-xy)+(x+y) right} left{(1-xy)-(x+y)right} #=(1-xy+x+y)(1-xy-x-y)]

따라서 보기 중 인수인 것은 [eqn: 1-xy-x-y]이다.

61

[eqn: 13]

답

해

설

[eqn: x^2 -2x =t]로 놓으면

[eqn: (x^2 -2x -2) ^2 +x^2 -2x -4#= (t-2)^2 +t-4=t(t-3) #= (x^2 -2x) (x^2 -2x -3) #=x(x-2)(x-3)(x+1)]

[eqn: therefore a^2 +b^2 =(-2)^2 +(-3) ^2 =13]

62

[eqn: (x+1)(x-1)(x+2y)]

답

해

설

[eqn: y]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: x^3 + 2x^2 y -x -2y#=(2x^2 -2)y+(x^3 -x)#=2(x^2 -1) y +x(x^2 -1) #=(x^2 -1) (2y+x) #= (x+1)(x-1) (x+2y)]

63

②

답

해

설

[eqn: f(x)=3x^ 3 +2x ^2 -17x +12]로 놓으면

[eqn: f(1)=3+2-17+12=0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 갖는다.

오른쪽 조립제법에서

[eqn: f(x)# =(x-1)(3x ^{2} +5x-12)# =(x-1)(x+3)(3x-4)]

따라서 보기 중 인수인 것은 [eqn: 3x-4]이다.

64

[eqn: (x+1)(x ^{2}+ 4x -2)]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 + 5x ^2 +kx -k]로 놓으면 [eqn: f(-1)=0]이므로  [eqn: -1+5 -k-k=0~~thereforek=2]

[eqn: therefore f(x)=x^3 + 5x ^2 +kx -k=(x+1)(x ^{2}+ 4x -2)`]

65

[eqn: (x-y)(x^2 +2xy+3y^2 )]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 + x^2 y +xy ^2 -3y^3]로 놓으면

[eqn: f(y) = y^3 + y^3 +y^3 -3y^3 =0]이므로

인수정리에 의하여 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-y]를 인수로 갖는다.

[eqn: therefore x^3 + x^2 y +xy ^2 -3y^3 =(x-y)(x^2 +2xy+3y^2 )]

66

[eqn: -4]

답

해

설

[eqn: x ^{4} -11x ^{2} +1 & =x ^{4} -2x ^{2} +1-9x ^{2} =(x ^{2} -1) ^{2} -(3x) ^{2}# & =(x ^{2}-3x-1)(x^2 +3x -1)]

[eqn: thereforea=-3,~b=-1~~thereforea+b =(-3)+(-1)=-4]

67

답

해

설

두 식읠 각 변끼리 빼면

[eqn: x^2 - y^2 - 3y +3x =0,~(x^2 -y ^2 )+3(x-y)=0][eqn: (x+y)(x-y)+3(x-y)=0,~(x-y)(x+y+3)=0]

이때 [eqn: x not = y]이므로  [eqn: x+y=-3]

68

[eqn: -(a-b)(b-c)(c-a)]

답

해

설

[eqn: [a,~b,~c]+[b,~c,~a]+[c,~a,~b]#=a^2 (b-c) +b^2 (c-a) +c^2 (a-b) #=a^2 (b-c)-a(b^2 -c^2 )+bc(b-c) #=(b-c) left{a^2 -(b+c)a+bc right} #=(b-c)(a-b)(a-c) #=-(a-b)(b-c)(c-a)]

69

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 +x^2 -3x -3]으로 놓으면 [eqn: f(-1)=0]이므로

[eqn: f(x)=(x+1)(x^2 -3)=(x+1)(x+ sqrt { 3} ) (x- sqrt { 3})]

[eqn: therefore1+ sqrt { 3 }- sqrt { 3} =1]

70

[eqn: 46]

답

해

설

[eqn: x(x-3)=t]로 놓으면

[eqn: f(x) & =h(t)=t ^{2} -14t+40# & =(t-4)(t-10)#&=(x-4)(x+1)(x-5)(x+2)]

[eqn: a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =(-4) ^2 +1^2 +(-5) ^2 + 2^2 =46]

71

[eqn: 9]

답

해

설

[eqn: 0.999 =x]로 놓으면

[eqn: (0.999) ^{3} -3 TIMES (0.999) ^{2} +3 TIMES 0.999# =x ^{3} -3x ^{2} +3x=(x ^{3} -3x ^{2} +3x-1)+1# =(x-1) ^{3} +1=(-0.001) ^{3} +1# =0.999999999]

[eqn: therefore 9]

72

[eqn: a=b]인 이등변삼각형 또는 [eqn: c]가 빗변인 직각삼각형

답

해

설

[eqn: a^2 b^2 +a^2 c^2 -a^4 =a^2 b^2 +b^2 c^2 -b^4][eqn: a^4 -b^4 -a^2 c^2 + b^2 c^2 =0]

[eqn: (a^2 -b^2 )(a^2 +b^2 -c^2 )=0]

[eqn: a=b] 또는 [eqn: a^2 +b^2 =c^2]

[eqn: thereforea=b]인 이등변삼각형 또는 [eqn: c]가 빗변인 직각삼각형

73

[eqn: k=1,~(a+1)(x+1)(x-1+a)]

답

해

설

[eqn: f(-a+1)=1-k=0~~thereforek=1][eqn: (a+1)x ^{2} +(a ^{2} +a)x+a ^{2} -1# =(a+1)(x+1)(x-1+a)]