수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		2. 나머지정리			반 / 번호
	01 항등식					이름

01

임의의 실수 [eqn: x,~y]에 대하여

[eqn: k(x-2y-3)-l(4x-2y+1)=2x-y+m]이 성립할 때, 세 상수 [eqn: k,~l,~m`]의 합 [eqn: k+l+m]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

02

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식
[eqn: (3-2x-x^2 )^5 =a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +cdots +a_10 x^10] 이 성립할 때, [eqn: a_0 +a_1 +a_2 +cdotsa_10]의 값은?

(단, [eqn: a_0 ,~a_1 ,~a_2 ,~cdots,~a_10]은 상수)

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

03

다항식 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(x)(x+1)(x^2 +1) =x^4 +2ax^2 +b]
가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 두 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정할 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식
[eqn: 2x-3 over {(x-1)(x-2)} = 2a over x-1 + 3b over x-2]
가 성립할 때, 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: 6ab]의 값은?

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 6]

05

모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: x ^{3} -2# =x(x+1)(x-1)+a(x+1)(x-1)+b(x-1)+c]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은?(단, [eqn: a,~b,~c]는 상수)

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

06

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^122 +ax^3 +b]가 [eqn: (x+1)(x^3 -1)]로 나누어떨어질 때, [eqn: a+b]의 값은?(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

07

[eqn: x ^{3} -4x ^{2} +2x-1# =a(x-1) ^{3} +b(x-1) ^{2} +c(x-1)+d]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은?(단, [eqn: a,~b,~c,~ d]는 상수)

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

08

다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 등식
[eqn: (x-1)(x-2)f(x)=x^4 +ax^3 +bx^2 -4]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a+b]의 값은?(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

09

등식 [eqn: (k-1)x-(2k+1)y+(2k-1)=0]이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립한다. 이때 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]의 합 [eqn: x+y]의 값은?

① [eqn: - 7 over3]	② [eqn: - 5 over3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5 over3]

10

등식 [eqn: 2x^2 -2x +a=bx(x-1)+c(x+2)(x-3)]이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 세 상수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: 35c^2 -a^2 -b^2]의 최댓값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

11

등식 [eqn: x-1 over 2 = y+1 over3]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: ax+by=10]이 항상 성립할 때, 두 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

12

[eqn: x not= 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 [eqn: ax over {x^3 -1} = 1 over x-1 + bx+c over {x^2 +x +1}]가 항상 성립할 때, [eqn: a-b-c]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b,~c]는 상수)

13

[eqn: x-y=1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 등식 [eqn: ax^2 +y^2 +bx -y +c=0]이 항상 성립하도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정할 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

14

[eqn: ax+ b=0]이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되기 위한 조건은 [eqn: a=b=0]임을 보여라.

15

[eqn: 2x + 4 = ax +b(x-1)]이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

16

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.
(1) [eqn: ax ^2 + bx + c = x ^2 - 3 x - 5]
(2) [eqn: x ^2 + ax + b = ( x-1) ( x-2) -3]

17

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.
(1) [eqn: a(x-2)+b(x + 3)=10x]
(2) [eqn: x ^2 + 2x -3 = a(x-1)(x+1)+b(x-1)]

18

다음 다항식을 전개하여 각 항의 계수들과 상수항의 총합을 구하여라.
(1) [eqn: ( x+1) ^2]
(2) [eqn: ( 2x-1) ^3]
(3) [eqn: (3x -1) ^5]

19

다항식 [eqn: 2x ^2 - 7x + 3]을 [eqn: x+2]로 나눈 몫과 나머지를 구하여 이를 [eqn: A= BQ + R] 꼴로 나타내어라. (단, [eqn: B,~Q]는 일차식이다.)

20

등식 [eqn: ax+by +c=0]이 [eqn: x,~y]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.

21

다음 등식이 모든 [eqn: x]에 대하여 항상 성립하도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.
(1) [eqn: x ^2 - x+1 = a ( x+1) ^2 + b( x+1) +c]
(2) [eqn: ( x-2) ( x^2 +ax +b ) = x ^3 + c x ^2 + 3 x -2]

22

다음 등식이 [eqn: x]의 값에 관계없이 항상 성립하도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.
(1) [eqn: 6x ^{2} +10x+2#=a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1)]
(2) [eqn: x ^{2} +13x+10# =a(x+1)(x+2)+b(x+1)(x-1)#~~+c(x-1)]

23

다음 다항식을 전개하여 각 항의 계수들과 상수항의 총합을 구하여라.
(1) [eqn: (x-y) ^ 3]
(2) [eqn: (2x+y)^3]
(3) [eqn: (x ^2 + x+1) ^3]

24

등식 [eqn: (k ^2 +1 ) x - ( 2k ^2 -k -1) y + (k+1) z= 2]가 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립할 때, [eqn: x,~y,~z]의 값을 구하여라.

25

[eqn: x+y+z=0,~2x + y -z+1=0]을 만족시키는 모든 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: ax ^2 + by ^2 + cz ^2 =1]이 성립하도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.

26

[eqn: x-1 over 2 = y+1 over3]을 만족시키는 모든 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: ax+by= 20]이 성립할 때, [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

27

[eqn: x-y + 2z =1,~x-y-z =4]를 만족시키는 어떤 [eqn: x,~y ,~z]에 대하여 항상 [eqn: ax+by +cz=1]이 성립하도록 [eqn: a,~b,~c]의 값을 구하여라.

28

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b,~c,~d]의 값을 정하여라.
(1) [eqn: x^3 = a(x-1) ^3 + b(x-1) ^2 + c(x-1) +d]
(2) [eqn: x ^{3} =&a(x-1)(x-2)(x-3)#&+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d]

29

어떤 다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 등식 [eqn: (x-1)(x+2) P(x)= x ^4 +ax +b]가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

30

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: x ^3 + x = (x+1) ^3 + a(x+1) ^2 + b ( x+1)+c]
(2) [eqn: x ^3 + 2x= (x+1)(x+2)(x+3) #~~~~~~~~+ a(x+1)(x+2) + b( x+1) +c]

31

어떤 다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 등식 [eqn: (x+1)(x ^2 -3) P(x) = x^6 +ax ^2 +b]가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

32

[eqn: x+y=1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: ax + by = 2x - y + 2]가 성립할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

33

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.
(1) [eqn: x ^3 + x -2 = (x-1) (ax ^2 + bx +c )]
(2) [eqn: ax ^3 -b x ^2 +x + 3 = (cx -3)(x^2 -x -1)]

34

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.
(1) [eqn: x ^{3} = & (x+1)(x+3)(x+5)# & +a(x+1)(x+3)# & +b(x+1)+c]
(2) [eqn: x^2 - 2x +4 = ax(x+1)+b(x+1)(x+2) #~~~~~~~~~~~+cx (x+2)]

35

등식
[eqn: (3k ^2 +2k +4) a - ( k ^2 -6k+2 ) b -2k^2 +2k -c=0]이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 [eqn: c]의 값을 구하여라.

36

어떤 다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: x^4 + ax ^3 +b = (x-1)(x+1) {P(x)+x+4]가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

37

다음 등식이 [eqn: x,~y]의 값에 관계없이 항상 성립하도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라. (단, 분모는 [eqn: 0]이 아니다.)
(1) [eqn: { 4x +ay +b } over {x+y+2 } = k]
(2) [eqn: 2 over {x(x+2) } = a over x + b over x+2]
(3) [eqn: { 2x ^2 -2x +1 } over { x ( x-1) ^2 } = a over x + b over x-1 + c over { (x-1) ^2 }]

38

[eqn: x+2y=1]인 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: ax ^2 + bxy +cy ^2 =1]이 성립하도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.

39

다항식 [eqn: P(x)]에 대하여
[eqn: x^6 + p x ^4 +qx^2 +3 =(x-1)(x ^2 +1) Q(x)]가 [eqn: x]에 대한 항등식이다. 이때 [eqn: p,~q]의 값을 구하여라.

40

[eqn: x-y +z=2,~2x-y-z=3]을 동시에 만족시키는 어떤 [eqn: x,~y,~z]에 대하여 항상 [eqn: ax^2 + by ^2 + cz^2 =1]이 성립할 때, [eqn: a,~b,~c]의 값을 구하여라.

41

[eqn: x]에 대한 항등식
[eqn: (x-3) ^5 = a_1 (x-1) ^5 + a _2 (x-1) ^4 + a_3 (x-1) ^3 #~~~~~~~~~+a_4 ( x-1) ^2 +a_5 (x-1) +a_6]
에서 [eqn: a_1 + a_2 + cdots + a_ 6]의 값을 구하여라.

42

등식
[eqn: (1+2x -x ^2 ) ^10 = a_0 + a_1 x + a_2 x ^2 + cdots +a _20 x ^20]이 [eqn: x]이 값에 관계없이 항상 성립할 때, [eqn: a_1 + a_ 3 + a_ 5 + cdots + a_ 19]의 값을 구하여라.

43

등식
[eqn: x ^3 - 5x ^2 + 8x -2 = (x-1) ^3 +a(x-1) ^2 #~~~~~~~~~~~~~~~~+ b(x-1) +c]
가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.

44

[eqn: x^4 + 4x ^3 -2x ^2 +ax +b]가 [eqn: x]에 대한 이차식의 완전제곱식이 되도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

45

[eqn: x]에 관한 이차방정식 [eqn: kx ^2 +px + (k+1) q =0]은 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: x=1]을 근으로 갖는다. 이때 [eqn: pq]의 값을 구하여라.

46

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: ax ^{2}-5x+c=2x^2 +bx -1]
(2) [eqn: x^2 -2x+2 =(x-1) ^2 +a(x-1) +b]

47

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: x+y=1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: ax+by=2]가 항상 성립할 때, 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.
(2) 다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: p,~q]의 값을 구하여라.
[eqn: x ^{6`}+ px^4 + qx^2 + 3 =(x+1)(x^2 +1) f(x)]

48

등식 [eqn: 3x^2 +2x +1=a(x-1) ^2 +b(x-1) +c]가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정할 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

49

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^3 +ax ^2 -4x +b]가 [eqn: x^2 -x-1]로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

50

임의의 실수 [eqn: x,~y]에 대하여
[eqn: a(ax+y)+b(bx+y)=8x+2y]가 성립하도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정할 때, [eqn: ab]의 값을 구하여라.

51

[eqn: x+y=1]을 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: ax^2 +bxy+cy^2 =1]이 항상 성립할 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		2. 나머지정리			반 / 번호
	02 나머지정리					이름

01

다항식 [eqn: f(x)=x^4 -ax^3 +2x^2 -b]가 다항식 [eqn: x^2 -1]로 나누어떨어질 때, [eqn: 2a-b]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

02

[eqn: x^5 -1]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(1)]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5]

03

다항식 [eqn: p(x)=3x ^{3} +ax ^{2} -2x +b]가 [eqn: x-1]과 [eqn: x-2]를 인수로 갖는다. 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: 3(b-a)]의 값을 구하여라.

04

[eqn: f(x)=3x ^{3} +x ^{2}+ax-2]는 [eqn: x-1]로 나누어떨어진다. [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: Q(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지를 구하여라.

05

[eqn: f(x)=2x ^{3} -4x ^{2} +3x-1]을 [eqn: 2x-1]로 나눈 몫과 나머지를 차례로 구하면?

① [eqn: x^2 - 3 over 2 x - 3 over 4 ,~- 1 over 4]

② [eqn: x^2 - 3 over 2 x + 3 over 4 ,~ 1 over 4]

③ [eqn: x^2 + 3 over 2 x + 3 over 4 ,~- 1 over 4]

④ [eqn: x^2 + 3 over 2 x + 3 over 4 ,~ 1 over 4]

⑤ [eqn: x^2 - 3 over 2 x + 3 over 4 ,~- 1 over 4]

06

다항식 [eqn: 2x^3 +2x^2 -2x -3]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하자. 다항식 [eqn: Q(2x-1)]을 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

07

다항식 [eqn: p(x)]를 [eqn: (x-1)(x+1)]로 나누면 나머지가 [eqn: x-3]이고, [eqn: (x-2)(x+2)]로 나누면 나머지가 [eqn: x+3]이다. 이때 다항식 [eqn: p(x)]를 [eqn: (x-1)(x+2)]로 나눈 나머지는?

① [eqn: -x-1]	② [eqn: x-1]

③ [eqn: x+1]	④ [eqn: x+3]

⑤ [eqn: -x-3]

08

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: 2x^3 +ax^2 +2bx +4]를 [eqn: x+1]로 나누면 나머지가 [eqn: 4]이고, [eqn: x-1]로 나누면 나머지가 [eqn: 2]이다. 이 다항식을 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는?

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

09

두 다항식 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여 [eqn: f(x) +g(x)]는 [eqn: x+1]로 나누어떨어지고, [eqn: f(x)+xg(x)]를 [eqn: x+1]로 나누면 나머지가 [eqn: 2]이다. 이때 다음 의 다항식 중 [eqn: x+1]로 나누어떨어지는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f(x) +x]

ㄴ. [eqn: g(x)+1]

ㄷ. [eqn: f(x)g(x)-1]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄴ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

10

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-3)]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: f(1)]과 [eqn: f(3)]을 사용하여 나타내면?

① [eqn: - {f(1) - f(3)} over 2 x + {3f(1)-f(3)} over 2]

② [eqn: {f(1) - f(3)} over 2 x + {3f(1)-f(3)} over 2]

③ [eqn: {f(1) - f(3)} over 2 x- {3f(1)-f(3)} over 2]

④ [eqn: - {f(1)-f(3)} over {2} x- {f(1)-3f(3)} over {2}]

⑤ [eqn: - {3f(1)-f(3)} over {2} x- {f(1)-f(3)} over {2}]

11

다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x) -3]은 [eqn: x+1]로 나누어떨어지고, [eqn: f(x)+3]은 [eqn: x-1]로 나누어떨어진다. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: r(x)]라고 할 때, [eqn: r(1)]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

12

[eqn: 2x^3 -x^2 +4x -3]을 [eqn: 2x-1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라고 할 때, [eqn: Q(1)+3 R]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

13

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^4 -1]로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이고 다항식 [eqn: g(x)]를 [eqn: x^2 +x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 2]일 때, 다항식 [eqn: left{f(x) +1 right} left{g(x)-1 right}]을 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

14

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: p(x)]에 대하여 [eqn: p(x)-2]는 [eqn: x+2]로 나누어떨어진다. 이때 [eqn: p(x)]를 [eqn: (x-1)(x+2)]로 나눈 나머지를 구하여라.

15

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1,~x-2]로 나눈 나머지는 각각 [eqn: 2,~3]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는?

① [eqn: Q(3) +3]	② [eqn: Q(3) +4]

③ [eqn: 2Q(3) +4]	④ [eqn: 6 Q(3)+3]

⑤ [eqn: 8Q(3)]

∣서∣술∣형∣

16

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x+1]이고, [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 8]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)^2 (x+2)]로 나누었을 때의 나머지를 구하는 풀이 과정과 답을 서술하여라.

17

[eqn: P(x)=x ^4 +1]을 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 구하여라.

18

[eqn: x^3 +x]를 [eqn: x ^2 -x +1]로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

19

다항식 [eqn: P(x)= x ^3 + 2x ^2 -3x +1]을 다음 일차식으로 나눌 때의 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: x+1]
(2) [eqn: x-2]

20

다음 물음에 답하여라.
(1) 다항식 [eqn: P(x)]를 일차식 [eqn: ax-b]로 나눌 때의 나머지는 [eqn: P`` left( b over a right)]임을 밝혀라.
(2) 다항식 [eqn: x ^3 + x ^2 + x +1]을 [eqn: 2x-1]로 나눌 때의 나머지를 구하여라.

21

다항식 [eqn: x ^3 + ax ^2 + bx +1]을 [eqn: x-1]로 나눌 때의 나머지가 [eqn: 6,~x+2]로 나눌 때의 나머지가 [eqn: 3]일 때, [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

22

다항식 [eqn: 2x^3 + ax ^2 +bx +2]가 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

23

다항식 [eqn: P(x)= x^10 + x ^2]을 [eqn: x+1]로 나눈 나머지를 구하여라.

24

다항식 [eqn: P(x)= 2x ^3 + px ^2 +2]를 [eqn: 2x+1]로 나눈 나머지가 [eqn: 3]일 때, 상수 [eqn: p]의 값을 구하여라.

25

다항식 [eqn: P(x)= x^3 +ax ^2 +6x -11]을 [eqn: x-2]로 나눈 나머지와 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지가 서로 같을 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

26

다항식 [eqn: P(x)= x^4 + ax ^3 +bx ^2 -x +6]이
[eqn: (x+2)(x+3)]으로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

27

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 3,~x-3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 6]일 때, 이 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나눈 나머지를 구하여라.

28

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나눈 나머지가 [eqn: 2], [eqn: (x-1)(x-3)]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2x]라고 한다. 이때 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나눈 나머지를 구하여라.

29

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x+2,~x-4]로 나눈 나머지가 각각 [eqn: -5,~7]이다. 이때 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x+2)(x-4)]로 나눈 나머지를 구하여라.

30

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1,~x-2,```x-3]으로 나눈 나머지가 각각 [eqn: 4,~9,~18]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)(x-3)]으로 나눈 나머지를 구하여라.

31

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x+2]로 나눌 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라고 할 때, 다항식 [eqn: xP(x)]를 [eqn: x+2]로 나눈 나머지를 구하여라.

32

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^2 -2x -1]로 나누면 나머지가 [eqn: x+2]이고, [eqn: x+1]로 나누면 나머지가 [eqn: 5]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: (x+1)(x ^2 -2x -1)]로 나눈 나머지를 구하여라.

33

다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 각각 [eqn: 3,~5]일 때, [eqn: xP`(x)+Q(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지를 구하여라.

34

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 +1]로 나누면 [eqn: x+3]이 남고, [eqn: x-1]로 나누면 [eqn: 6]이 남는다. 이때 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x ^2 +1)(x-1)]로 나눈 나머지를 구하여라.

35

[eqn: x^3 + ax ^2 + bx + 2]를 [eqn: x^2 + 1]로 나눈 나머지가 [eqn: x+1]이 되도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

36

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: x ^100]을 [eqn: x+1]로 나눈 나머지를 구하여라.
(2) [eqn: 99^100]을 [eqn: 100]으로 나눈 나머지를 구하여라.

37

다항식 [eqn: x^3 -1]을 [eqn: (x-1) ^2]으로 나눈 나머지를 구하여라.

38

다항식 [eqn: x ^3 + ax ^2 +bx + 3]이 [eqn: x^2 +1]로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

39

다항식 [eqn: x ^3 + 2x ^2 -3x -4]를 다음 일차식으로 나눈 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: x-2]
(2) [eqn: 2x+1]

40

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: x-3,~x+3]으로 나눈 나머지는 각각 [eqn: -5,~7]이다. 이 다항식을 [eqn: x^2 -9]로 나눈 나머지를 구하여라.

41

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x+1) ^2]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2x+5]이고, [eqn: x+2]로 나눈 나머지가 [eqn: 3]일 때, [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x+1)^2 (x+2)]로 나눈 나머지를 구하여라.

42

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x+1)(x ^2 -x+1)]로 나누면 몫이 [eqn: x+2]이고, [eqn: P`(x)]를 [eqn: x-1]로 나누면 나머지가 [eqn: 1]이고, [eqn: x ^2 -x +1]로 나누면 나머지가 [eqn: x-3]이다. 이때 [eqn: P`(x)]를 구하여라.

43

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 3]이고, 그 몫을 [eqn: x+3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 4]이다. 이때 다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x-2)(x+3)]으로 나눈 나머지를 구하여라.

44

다항식 [eqn: P`(x)]를 일차식 [eqn: ax-b~(a not =0 )]로 나눈 몫과 나머지가 각각 [eqn: Q(x),~R]라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: xP`(x)]를 일차식 [eqn: ax-b]로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.
(2) [eqn: x^2 P`(x)]를 일차식 [eqn: ax-b]로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

45

[eqn: x ^2002 +1]을 [eqn: x ^2 -1]로 나눈 나머지를 구하여라.

46

[eqn: x^4 -1]을 [eqn: (x+1) ^2]으로 나눈 나머지를 구하여라.

47

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나눈 나머지가 [eqn: 4x +3]일 때, [eqn: P(2x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 구하여라.

48

다항식 [eqn: P`(x)=x ^{3} -2x ^{2} +a]가 [eqn: x-3]으로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

49

[eqn: (3x^3 +x^2 -2x -3) div (x-2)]의 몫과 나머지를 구하여라.

50

다항식 [eqn: P(x) = x^3 +kx ^2 +2x +k+2]가 [eqn: x+2]로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: k]의 값을 정하여라.

51

조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: (3x^3 +2x^2 -4x +1 ) div (x-1)]
(2) [eqn: (2x ^3 -3x ^2 +4x +5) div (x+2)]

52

다항식 [eqn: P`(x)= x ^4 +kx ^2 +x+2]가 [eqn: x-2]를 인수로 가질 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

53

조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: (3x^3 +2x^2 -4x +1) div (x+2)]
(2) [eqn: (2x^3 -3x^2 +4x +5 ) div (x-3)]

54

다항식 [eqn: P`(x)=x^3 +ax ^2 +bx +6]이 [eqn: x-1], [eqn: x+2]로 각각 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

55

서로 다른 두 실수 [eqn: alpha,~beta]에 대하여 다항식 [eqn: P`(x)]가 [eqn: x-alpha]와 [eqn: x-beta]로 각각 나누어떨어지면 [eqn: (x-alpha)(x-beta)]로도 나누어떨어짐을 보여라.

56

다항식 [eqn: x^4 +ax ^3 +bx +12]가 [eqn: x-2,~x+1]로 각각 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

57

다항식 [eqn: P`(x)= x^3 +ax^2 +bx -6]이 [eqn: x^2 -2x -3]으로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

58

다음 물음에 답하여라.
(1) 조립제법을 이용하여
[eqn: (4x ^3 -4 x^2 +x +5 ) div left( x - 3 over 2 right)]의 몫과 나머지를 구하여라.
(2) [eqn: 4x^3 -4x^2 +x+5]를 [eqn: left( x- 3 over 2 right) Q(x) +R] 꼴로 나타내어라.
(3) [eqn: 4x^3 -4x^2 +x+5]를 [eqn: 2x-3]으로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

59

[eqn: (x^3 + 2x ^2 +3x +4) div (x-1)(x+2)]의 몫과 나머지를 구하여라.

60

조립제법을 이용하여
[eqn: (2x^3 -3x^2 +5x +5) div( 2x-1)]의 몫과 나머지를 구하여라.

61

[eqn: (2x^3 -4x^2 -3x +1) div (x-1)(x-2)]의 몫과 나머지를 구하여라.

62

다항식 [eqn: x^3 +ax^2 + 2x -4]가 [eqn: x+2]로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

63

다항식 [eqn: x^3 +ax ^2 +bx +8]이 [eqn: (x+1)(x+2)]로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

64

다항식 [eqn: 3x^3 +ax^2 +bx -3]이 [eqn: x^2 -2x -3]으로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

65

다항식 [eqn: x^n + a^n]은 [eqn: n]이 홀수일 때, 어떤 일차식으로 나누어떨어진다고 한다. 이때 이 일차식을 구하여라.

66

조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: (2x ^3 -x ^2 -4x -3) div (x-2)]
(2) [eqn: (x^3 -3x ^2 +3x +1) div (x-2)(x-3)]

67

[eqn: x^3 +ax^2 + bx +1]을 [eqn: (x+1)^2]으로 나눈 나머지가 [eqn: x+2]일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

68

조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: (3x ^2 -4x+5) div(2x-1)]
(2) [eqn: (6x ^2 -2x +1) div (2x+3)]

69

다항식 [eqn: f(x)= x^3 +3x^2 +2x-4]를 다음 식으로 나눈 나머지를 각각 구하여라.
(1) [eqn: x-1]
(2) [eqn: x+2]

70

다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -x-2]가 [eqn: x-2]로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

71

조립제법을 이용하여
[eqn: (x^3 + 5x^2 +2x -2) div (x+1)]의 몫을 구하여라.

72

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx +2]는 [eqn: x+1,~x+2] 중 어느 것도 나누어도 나머지가 [eqn: 2]라고 한다. 이때 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.
(2) [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: 3x^3 +ax^2 +bx+12]가 [eqn: x^2 -5x+6]으로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

73

다항식 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +kx -1]을 [eqn: x+2]와 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 서로 같다고 할 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

74

[eqn: x ^{8}]을 [eqn: x+1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: Q(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 구하여라.

75

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)=x ^{3}+ ax^2 -x+b]가 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정할 때, [eqn: a-b]의 값을 구하여라.

76

다항식 [eqn: x^3 -2x^2 + 4x-5]를 [eqn: x+1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: Q(x)]의 일차항의 계수를 구하여라.

77

[eqn: 2x^3 +3x^2 -3]을 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: Q(2)]의 값을 구하여라.

78

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -2x-3,~x^2 -x-2]로 나눈 나머지가 각각 [eqn: 2x+5,~x+4]일 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -5x + 6]으로 나눈 나머지를 구하여라.

79

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 -ax -4]가 [eqn: x+a]로 나누어떨어질 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

80

다항식 [eqn: 2x^3 -3x^2 +5x +1]을 [eqn: 2x-1]로 나눌 때의 몫과 나머지를 각각 구하여라.

81

[eqn: x]의 다항식 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여
[eqn: 2f(x)+3g(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는
[eqn: 7,~3f(x)-g(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 5]일 때, [eqn: f(x)+g(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 구하여라.

82

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-2]로 나누면 나머지가 [eqn: 3]이고, [eqn: (x-3)(x-4)]로 나누면 나머지가 [eqn: 7]이라고 한다. 이때 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-2)(x-3)(x-4)]로 나눈 나머지를 구하여라.

83

[eqn: x^100 -1]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 한다. [eqn: Q(1)]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		2. 나머지정리			정답
	01 항등식

01

③

답

해

설

[eqn: k(x-2y-3)-l(4x-2y+1)=2x-y+m]

을 [eqn: x,~y]에 대하여 정리하면

[eqn: (k-4l)x+(-2k+2l)y-3k-l=2x-y+m]	㉠

㉠이 임의의 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 성립하므로

[eqn: k-4l=2,~-2k+2l=-1,~```-3k-l=m]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: k=0,~l= - 1 over 2 ,~m= 1 over 2]

따라서 [eqn: k+l+m=0]

02

②

답

해

설

[eqn: (3-2x-x^2 )^5 =a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +cdots +a_10 x^10]에서 [eqn: a_0 +a_1 +a_2 +cdots +a_10]은 우변의 계수들의 합이다. 주어진 식이 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로 [eqn: x=1]을 대입해도 성립해야 한다.

즉,  [eqn: (3-2-1)^5 =a_0 +a_1 +a_2 + cdots +a_10]

따라서  [eqn: a_0 +a_1 +a_2 + cdots +a_10 =0]

03

①

답

해

설

[eqn: f(x)=(x+1)(x^2 +1) =x^4 +2ax^2 +b]에서

[eqn: x=-1`]일 때,  [eqn: 1+2a+b=0]	㉠

[eqn: x^2 =-1]일 때,  [eqn: 1-2a+b=0]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=0,~b=-1]

따라서  [eqn: a^2 +b^2 =0+1=1]

04

④

답

해

설

주어진 식의 우변을 통분하여 정리하면

[eqn: 2x-3 over {(x-1)(x-2)}& = 2a over x-1 + 3b over x-2 #&={ 2a (x-2) +3b(x-1) }over {(x-1)(x-2)} #&={(2a+3b)x -(4a+3b)} over { (x-1)(x-2)}]

[eqn: 2x-3 =(2a +3b)x -(4a+3b)]에서

[eqn: 2a+3b =2,~4a+3b=3]

두 식을 연립하여 풀면  [eqn: a= 1 over 2 ,~b= 1 over 3]

따라서  [eqn: 6ab =1]

05

①

답

해

설

[eqn: x^3 -2 =x(x+1)(x-1) +a(x+1)(x-1) +b(x-1)+c]의 양변에 [eqn: x=-1,~0,~1]을 각각 대입한다.

[eqn: x=-1]일 때,  [eqn: -3=-2b+c]	㉠

[eqn: x=0]일 때,  [eqn: -2=-a-b+c]	㉡

[eqn: x=1]일 때,  [eqn: -1=c]	㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면

[eqn: a=0,~b=1,``~c=-1]

따라서  [eqn: a+b+c=0+1+(-1)=0]

06

③

답

해

설

다항식 [eqn: x^12 +ax^3 +b]가 [eqn: (x+1)(x^3 -1)]로 나누어떨어지므로 [eqn: x^12 +ax^3 +b =(x+1)(x^3 -1)Q(x)]는 [eqn: x]에 대한 항등식이다.

양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 1-a+b=0]	㉠

양변에 [eqn: x^3 =1]을 대입하면

[eqn: 1+a+b=0]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=0,~b=-1]

따라서  [eqn: a+b=-1]

07

①

답

해

설

[eqn: x ^{3} -4x ^{2} +2x-1# =a(x-1) ^{3} +b(x-1) ^{2} +c(x-1)+d]

에서 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1-4+2-1=d,~d=-2]

[eqn: x=0]을 대입하면  [eqn: -a+b-c=1]	㉠

[eqn: x=2]를 대입하면  [eqn: a+b+c=-3]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: b=-1,~a+c=-2]

따라서  [eqn: a+b+c+d=-5]

08

③

답

해

설

[eqn: (x-1)(x-2)f(x)=x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} -4]의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0=1+a+b-4]에서

[eqn: a+b=3]	㉠

[eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 0=16+8a+4b-4]에서

[eqn: 2a+b`=-3]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=-6,~b=9]

따라서  [eqn: a+b=3]

09

③

답

해

설

등식 [eqn: (k-1)x-(2k+1)y+(2k-1)=0]을 [eqn: k]에 대하여 정리하면 [eqn: (x-2y+2)k-x-y-1=0]이고, 이 식은 [eqn: k]에 대한 항등식이므로

[eqn: x-2y+2=0,~-x-y-1=0]

두 식을 연립하여 풀면  [eqn: x= - 4 over 3 ,~y= 1 over3]

따라서  [eqn: x+y =-1]

10

②

답

해

설

[eqn: 2x ^{2} -2x+a&=bx(x-1)+c(x+2)(x-3)#&=(b+c)x^2 -(b+c)x-6c]

가 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: b+c=2,~a=-6c]

따라서  [eqn: 35c^2 -a^2 -b^2 &=35 c^2 -(-6c)^2 -(2-c)^2 #&=-2c^2 +4c-4#&=-2(c-1)^2 -2]

이므로 [eqn: c=1]일 때, 최댓값은 [eqn: -2]이다.

11

④

답

해

설

[eqn: x-1 over 2 = y+1 over3]에서  [eqn: 3(x-1)=2(y+1)]

따라서 [eqn: y= 3 over2 x - 5 over 2]이므로 주어진 조건은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: ax+b left( 3 over 2 x - 5 over 2 right)=10]이 항상 성립하는 것과 일치한다.

즉, [eqn: left( a + 3b over 2 right) x - 5b over 2 =10]이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 항등식의 성질에 의하여

[eqn: a+ 3b over 2 = 0 ,~- 5b over2 = 10]

따라서 [eqn: a=6,~b=-4]이므로 [eqn: a+b =6+(-4)=2]

12

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: ax over {x^3 -1} &= 1 over x-1 + {bx+c}over {x^2 +x+1} #& ={(x^2 +x+1) +(x-1)(bx+c)} over {x^3 -1}#&={(b+1)x^2 +(-b+c+1)x-c+1} over {x^3 -1}`]

은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: b+1=0,~-b+c+1=a,~-c+1=0]

세 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=3,~b=-1,~c=1]

이므로  [eqn: a-b-c=3-(-1)-1=3]

13

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: y=x-1]을 [eqn: ax^2 +y^2 +bx -y +c=0]에 대입하면

[eqn: ax^2 +(x-1)^2 +bx -(x-1)+c=0]

따라서  [eqn: (a+1)x^2 +(b-3)x +(c+2)=0]	(가)

위의 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: a+1=0,~b-3=0,~c+2=0]

에서  [eqn: a=-1,~b=3,~c=-2]	(나)

따라서  [eqn: a+b+c=0]	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 주어진 등식을 [eqn: x]에 대한 항등식으로 나타낸다.	40 %
(나) 항등식에서 계수를 비교하여 [eqn: a,~b,~c]의 값을 각각 구한다.	40 %
(다) [eqn: a+b+c]의 값을 구한다.	20 %

14

해설 참조

답

해

설

(i) [eqn: ax+b=0]이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: x=0,~x=1]을 대입하여도 등식은 성립한다. 따라서 [eqn: b=0,~a+b=0]이므로  [eqn: a=0,~b=0]

(ii) [eqn: a=b=0]이면 [eqn: ax+b=0]은 모든 [eqn: x]에 대하여 항상 성립한다.

15

[eqn: a=6,~b=-4]

답

해

설

[eqn: 2x+ 4= (a+b) x- b]에서 양변의 계수를 비교하면

[eqn: a+b=2,~-b=4]

[eqn: a=6,~b=-4]

16

(1) [eqn: a=1,~b=-3,~c=-5]
(2) [eqn: a=-3,~b=-1]

답

해

설

(1) [eqn: a x^2 + b x + c= x ^2 - 3 x - 5]가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되려면 동류항의 계수가 서로 같아야 하므로

[eqn: a=1,~b=-3,~c=-5]

(2) [eqn: (x-1)(x-2)-3=x ^2 -3x -1]이므로

[eqn: x ^2 + ax +b = x^2 -3x -1]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a= -3,~b=-1]

17

(1) [eqn: a=6,~b=4]
(2) [eqn: a=1,~b=2]

답

해

설

(1) [eqn: x=2]를 대입하면  [eqn: 5b = 20,~b=4]

[eqn: x=-3]을 대입하면  [eqn: -5a = -30,~a=6]

(2) [eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: 1-2-3 = b cdot(-2),~b= 2]

[eqn: x=0]을 대입하면  [eqn: -3 = -a-b= -a -2,~ a=1]

18

(1) [eqn: 4]          (2) [eqn: 1]          (3) [eqn: 32]

답

해

설

(1) [eqn: (x+1) ^2]에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: (1+1) ^2 = 4]

(2) [eqn: (2x-1) ^3]에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: (2-1) ^3 =1]

(3) [eqn: (3x -1) ^5]에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: (3-1) ^5 = 32]

19

[eqn: 2x ^2 - 7x + 3 = (x+2) ( 2x -11) +25]

답

해

설

20

[eqn: a=0,~b=0,````c=0]

답

해

설

[eqn: ax+ by + c=0]이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: a=0,~by+c =0]

또한 [eqn: by +c =0]이 [eqn: y]에 대한 항등식이므로

[eqn: b=0,~c=0]

따라서  [eqn: a=0,~b=0,```c=0]

21

(1) [eqn: a=1,~b=-3,~c=3]
(2) [eqn: a=-1,~b=1,~c=-3]

답

해

설

(1) 주어진 식의 우변을 전개하여 정리하면

[eqn: x ^2 - x +1 = a x ^2 + (2a+b) x＋(a+b+c)]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=1,~b=-3,~c=3]

(2) 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면

[eqn: x ^3 + (a-2) x^2 +(-2a+b) x-2b #= x ^3 + c x ^2 + 3x -2]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a-2=c,~-2a+b =3,~ -2b =-2]

[eqn: a=-1,~b=1,~c=-3]

22

(1) [eqn: a=1,~b=2,```c=3]
(2) [eqn: a=4,~b=-3,~c=1]

답

해

설

(1) [eqn: x=0]을 대입하면  [eqn: 2=2a,~a=1]

[eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: 6-10 +2 = -b,~b=2]

[eqn: x=-2]를 대입하면  [eqn: 24-20+2 =2c,~c=3]

(2) [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 1+13 + 10= 6a ,~a=4]

[eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: 1-13 +10 = -2c,~c=1]

[eqn: x=0]을 대입하면  [eqn: 10= 2a - b- c]

[eqn: b= 2a -c-10=8-1-10=-3]

23

(1) [eqn: 0]       (2) [eqn: 27]       (3) [eqn: 27]

답

해

설

모든 계수의 합은 각 문자에 [eqn: 1]을 대입하여 구할 수 있다.

(1) [eqn: (x-y ) ^3]에 [eqn: x=y=1]을 대입하면  [eqn: (1-1) ^3 = 0]

(2) [eqn: (2x + y) ^3]에 [eqn: x=y=1]을 대입하면  [eqn: (2+1) ^3 = 27]

(3) [eqn: (x ^2 + x+1) ^3]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: (1+1+1) ^3 = 27]

24

[eqn: x=2,~y=1,```z=-1]

답

해

설

주어진 등식은 [eqn: k]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: (x-2y) k^2 + ( y+z) k+ (x+y+z-2)=0]

이 등식이 [eqn: k]에 대한 항등식이므로

[eqn: x-2y =0,~y+z=0,~x+y+z-2=0]

이것을 연립하여 풀면  [eqn: x=2,~y=1,```z=-1]

25

[eqn: a=3,~b=-2,~c=6]

답

해

설

[eqn: x+y+z=0]	㉠

[eqn: 2x +y -z +1=0]	㉡

에서 [eqn: x,~y]를 [eqn: z]에 대한 식으로 나타내어 보자.

㉡-㉠에서  [eqn: x-2z +1 =0,~x= 2z -1]	㉢

[eqn: ㉠times2 - ㉡]에서  [eqn: y+3z-1=0,```y=-3z+1]	㉣

㉢, ㉣을 [eqn: ax ^2 + bx^2 + cz ^2 =1]에 대입한 후 [eqn: z]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: (4a+9b+c) z ^2 -2 (2a+3b )z +(a+b-1)=0]

이 등식은 [eqn: z]에 대한 항등식이므로

[eqn: 4a+ 9b +c =0,~2a+3b=0,~a+b-1=0]

이것을 연립하여 풀면  [eqn: a=3,~b=-2,~c=6]

26

[eqn: a=12,~b=-8]

답

해

설

[eqn: x-1 over 2 = y+1 over 3]에서

[eqn: 3(x-1)=2(y+1)]

[eqn: 3x -2y =5]	㉠

[eqn: ㉠times 4]에서 [eqn: 12x - 8y =20]이므로

[eqn: ax+by =20= 12x -8y]

[eqn: a=12,~b=-8]

27

[eqn: a=0,~b=0,```c=-1]

답

해

설

[eqn: x-y +2z =1,~ x-y -z=4]에서 [eqn: x,~y]를 소거하면

[eqn: 3z = -3,~z=-1]

[eqn: ax+by +cz=1], 즉 [eqn: ax+by -c=1]이 [eqn: x,~y]에 대한 항등식이 되려면

[eqn: a=0,~b=0,```c=-1]

28

(1) [eqn: a=1,~b=3,````c=3,~d=1]
(2) [eqn: a=1,~b=6,````c=7,~d=1]

답

해

설

(1) 우변을 전개하여 정리하면

[eqn: x ^{3} = & ax ^{3} +(-3a+b)x ^{2} +(3a-2b+c)x# & +(-a+b-c+d)]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=1,~-3a+b=0,~3a-2b+c=0,~# -a+b-c+d=0]

따라서  [eqn: a=1,~b=3,````c=3,~d=1]

(2) 주어진 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: x]에 어떤 값을 대입해도 성립한다.

주어진 등식에 [eqn: x=1,~x=2,```x=3,~x=0]을 차례로 대입하면

[eqn: 1= d,~ 8 = c +d ,~ 27 = 2b + 2c +d,]

[eqn: 0= -6a+2b -c +d]

따라서 이것을 연립하여 풀면

[eqn: a=1,~ b=6,~ c= 7,~ d =1]

29

[eqn: a=5,~ b= -6]

답

해

설

주어진 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 0= 1+a+b]	㉠

[eqn: x=-2]를 대입하면  [eqn: 0 = 16 -2a + b]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=5,~b=-6]

30

(1) [eqn: a=-3 ,~b= 4,~c=-2]
(2) [eqn: a=-6,~b= 9,~ c=-3]

답

해

설

(1) [eqn: x] 대신에 [eqn: x-1]을 대입하면
[eqn: (x-1) ^3 + (x-1) = x^3 +ax ^2 + bx +c]

좌변을 전개하여 정리하면

[eqn: x^3 - 3x ^2 +4x -2 = x ^3 +ax ^2 + bx +c]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=-3,~b=4,~c=-2]

(2) [eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: -1-2=c,~c=-3]

[eqn: x=-2]를 대입하면  [eqn: -8-4=-b+c]

[eqn: -12 =-b-3,~b=9]

[eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 0=6+2a +b+c]

[eqn: 0= 6 + 2a +9 -3,~a=-6]

31

[eqn: a=-13,~b=12]

답

해

설

[eqn: (x+1)(x^2 -3) {P(x) = x ^6 +ax ^2 +b]에서

[eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 0=1+a+b]	㉠

[eqn: x^2 = 3]을 대입하면

[eqn: 0=27 +3a +b]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=-13,~b= 12]

32

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: y= 1-x]를 [eqn: ax+by =2x - y +2]에 대입하면

[eqn: ax+b(1-x)=2x - (1-x)+2]

[eqn: (a-b) x+b=3x +1]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a-b=3,~ b=1]

[eqn: a=b+3=4]

[eqn: a+b=5]

33

(1) [eqn: a=1,~b=1,~```c=2]
(2) [eqn: a=2,~b=5,```c=2]

답

해

설

(1) 우변을 전개하여 정리하면

[eqn: x^3 +x- 2 = a x^3 +(-a+b) x^2 +(-b+c) x-c]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=1,~-a+b=0,~-b+c=1,~-c=-2]

[eqn: a=1,~b=1,```c=2]

(2) 우변을 전개하여 정리하면

[eqn: ax ^3 - bx ^2 +x +3 = c x ^3 -(3+c) x ^2 + (3-c) x +3]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=c,~ -b= -(3+c),~1=3-c]

[eqn: a=2,~b=5,```c=2]

34

(1) [eqn: a=-9,~b=13,~c=-1]
(2) [eqn: a=6,~ b=2,~c=-7]

답

해

설

(1) [eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: -1 =c]	㉠

[eqn: x= -3]을 대입하면  [eqn: -27 = -2b +c]	㉡

[eqn: x=-5]를 대입하면  [eqn: -125= 8a - 4b +c]	㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면  [eqn: a=-9,~ b=13,~c=-1]

(2) [eqn: x=0]을 대입하면  [eqn: 4 = 2b]	㉠

[eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: 7= -c]	㉡

[eqn: x=-2]를 대입하면  [eqn: 12 =2a]	㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면  [eqn: a=6,~b=2,```c=-7]

35

[eqn: a= 1 over 2 ,~ b= - 1 over 2 ,~c=3]

답

해

설

주어진 식을 [eqn: k]에 대한 내림차순으로 정리하면

[eqn: (3a-b-2)k ^2 +2(a+3b +1) k +(4a-2b -c) =0]

이 식이 [eqn: k]에 대한 항등식이므로

[eqn: 3a -b-2=0]

[eqn: a+3b +1 =0]

[eqn: 4a -2b -c =0]

세 식을 연립하여 풀면  [eqn: a= 1 over 2 ,~ b= - 1 over 2 ,~c=3]

36

[eqn: a=1~b=3]

답

해

설

[eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 1+a+b =5]	㉠

[eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: 1-a+b=3]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=1,~ b=3]

37

(1) [eqn: a=4,~b=8]
(2) [eqn: a=1,~b=-1]
(3) [eqn: a=1,~b=1,```c=1]

답

해

설

(1) 양변에 [eqn: x+y +2]를 곱하여 정리하면

[eqn: 4x + ay +b= kx +ky +2k]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: 4=k,~a=k,```b=2k]

[eqn: a=4,~b=8]

(2) 양변에 [eqn: x(x+2)]를 곱하여 정리하면

[eqn: 2= (a+b) x +2a]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a+b = 0,~ 2a=2]

[eqn: a=1,~ b=-1]

(3) 양변에 [eqn: x(x-1) ^2]을 곱하면

[eqn: 2x ^2 -2x +1= a(x-1) ^2 + bx (x-1) +cx]

[eqn: 2x ^2 -2x +1 = (a+b) x ^2 +(-2a -b+c )x +a]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a+b=2,~-2a -b+c =-2,~a=1]

[eqn: a=1,~b=1,```c=1]

38

[eqn: a=1,~b= 4,~ c=4]

답

해

설

[eqn: x=1-2y]를 [eqn: ax ^2 + bxy +cy ^2 =1]에 대입하면

[eqn: ax ^2 +bxy + cy ^2 &=a(1-2y ) ^2 + b(1-2y ) y + cy ^2 #&= a(1-4y +4y ^2 ) +b(y-2y ^2 ) +cy ^2 #&=a-4ay + 4a y ^2 +by -2by ^2 +cy ^2 #&=(4a - 2b +c) y ^2 + (-4a+b) y +a #&=1]

이 식은 [eqn: y]에 대한 항등식이므로

[eqn: 4a - 2b +c =0,~-4a +b=0,~a=1]

이것을 연립하여 풀면

[eqn: a=1,~b=4,```c=4]

39

[eqn: p=-3,~q=-1]

답

해

설

[eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: p+q=-4]	㉠

[eqn: x ^2 =-1]을 대입하면  [eqn: p-q=-2]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: p= -3,~ q=-1]

40

[eqn: a = 3 over 5 ,~ b= 2 over 5 ,~ c= -6]

답

해

설

[eqn: x-y +z=2]	㉠

[eqn: 2x- y -z = 3]	㉡

[eqn: ㉠-㉡]에서  [eqn: -x + 2z =-1]

[eqn: x=2x +1]	㉢

[eqn: 2 times ㉠-㉡]에서  [eqn: -y + 3z =1]

[eqn: y= 3z -1]	㉣

㉢, ㉣을 [eqn: ax ^2 + by ^2 + c z ^2 =1]에 대입하면

[eqn: a (2z +1) ^2 + b( 3z -1) ^2 +c z ^2 =1]

이 식을 전개하여 정리하면

[eqn: (4a + 9b +c) z^2 + 2 (2a-3b) z +a+b-1=0]

이 식은 [eqn: z]에 대한 항등식이므로

[eqn: 4a + 9b +c =0,~ 2a-3b= 0,~ a+b-1=0]

이것을 연립하여 풀면  [eqn: a= 3 over 5 ,~ b= 2 over 5 ,~c=-6]

41

[eqn: -1]

답

해

설

주어진 항등식에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: (2-3) ^5 =& a _1 (2-1) ^5 +a_5 (2-1) ^ 4 + a_ 3 (2-1) ^3 # &+ a_ 4 (2-1) ^2 + a _ 5 (2-1) +a_6]

[eqn: a_1 + a_2 + a_ 3 + a_ 4 + a_ 5 + a_ 6 = -1]

42

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2 ^10 = a_0 + a_ 1 + a_ 2 + cdots + a_ 20]	㉠

[eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: (-2) ^10 = a _ 0 - a_1 +a_ 2 - cdots + a _20]	㉡

[eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: 0= 2 ( a_1 + a_3 + cdots + a _19 )]

[eqn: a_1 +a_ 3 + cdots + a _19 = 0]

43

[eqn: a=-2,~b=1,~c=2]

답

해

설

등식의 양변에 [eqn: x+1]을 대입하면

[eqn: (x+1) ^3 - 5(x+1) ^2 +8 (x+1) -2 #= x ^3 +ax ^2 +bx +c]

좌변을 전개하여 정리하면

[eqn: x ^3 -2x ^2 +x +2 =x^3 +ax ^2 + bx +c]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=-2,~b=1,~c=2]

44

[eqn: a=-12,~b=9]

답

해

설

주어진 식이 [eqn: x]에 대한 이차식의 완전제곱식이 되어야 하므로

[eqn: x ^4 + 4x ^3 -2x ^2 +ax +b #=(x ^2 + px +q) ^2 #= x ^4 + 2px ^3 +(p^2 +2q ) x^2 + 2pqx + q^2]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: 4=2p,~-2=p ^2 +2q ,~a=2pq,~b= q^2]

[eqn: p=2,~q=-3]

[eqn: a=-12,~b= 9]

45

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: x=1]이 근이므로 주어진 식에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: k+p+(k+1)q =0][eqn: (q+1)k+(p+q) =0]

실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: q+1=0,~p+q=0]

[eqn: p=1,~q=-1]

[eqn: pq=-1]

46

(1) [eqn: a=-2,~b=-5,~c=-1]
(2) [eqn: a=0,~b=1]

답

47

(1) [eqn: 4]	(2) [eqn: p=-3,~q=-1]

답

(1) [eqn: x+y=1]에서 [eqn: y=1-x]이므로 [eqn: ax+by=2]에 대입하면

해

설

[eqn: ax+b(1-x)=2~~ THEREFORE (a-b)x+(b-2)=0]	㉠

㉠은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로  [eqn: a-b=0,~b-2=0]

[eqn: THEREFORE a=2,~b=2~~thereforea+b=4]
(2) 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 1+p+q+3=0~~thereforep+q=-4]	㉠

양변에 [eqn: x^2 =-1]을 대입하면

[eqn: -1+p-q+3=0~~therefore p-q=-2]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: p=-3,~q=-1]

48

[eqn: 17]

답

해

설

[eqn: x^2]항의 계수를 비교하면  [eqn: a=3]

[eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: c=6]

[eqn: x=0]을 대입하면  [eqn: 1=a-b+c]에서  [eqn: b=8]

[eqn: therefore a+b+c=3+8+6=17]

49

[eqn: -1]

답

해

설

몫을 [eqn: x+c]로 놓으면

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -4x+b & =(x ^{2} -x-1)(x+c)# &= x^3 +(c-1) x^2 -(c+1)x-c]

각 항의 계수를 비교하면  [eqn: a=2,~b=-3,~c=3]

[eqn: thereforea+b=2+(-3)=-1]

50

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: a(ax+y)+b(bx+y) & =(a ^{2}+b^2 )x+(a+b)y#&= 8x+2y]

가 [eqn: x,~y]에 대한 항등식이므로

[eqn: a^2 +b^2 =8,~a+b=2 ~~thereforeab=-2]

51

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: y=1-x]를 대입하여 정리하면

[eqn: (a-b+c) x^2 +(b-2c)x +(c-1)=0]

[eqn: a-b+c=0,~b-2c=0,~c-1=0]에서

[eqn: a=1,~b=2},~c=1]

[eqn: thereforea+b+c=4]

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		2. 나머지정리			정답
	02 나머지정리

01

①

답

해

설

[eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면

[eqn: f(x) & =x ^{4} -ax ^{3} +2x ^{2} -b#&=(x^2 -1)Q(x) #&=(x-1)(x+1)Q(x)]

이므로  [eqn: f(1) =0,~f(-1)=0]

[eqn: f(1)=1-a+2-b=0]에서  [eqn: a+b=3]	㉠

[eqn: f(-1)=1+a+2-b=0]에서  [eqn: a-b=-3]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=0,~b=3]

따라서  [eqn: 2a-b=-3]

02

③

답

해

설

몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)=ax+b]로 놓으면

[eqn: x^5 -1 =(x-1)^2 Q(x)+ax+b]	㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0=a+b]에서  [eqn: b=-a]	㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: x^5 -1 &=(x-1)^2 Q(x) +ax-a#&=(x-1)^2 Q(x) +a(x-1)]	㉢

㉢의 양변을 [eqn: x-1]로 나누면

[eqn: x^4 +x^3 +x^2 +x+1=(x-1)Q(x) +a]	㉣

㉣의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: a=5,~b=-5]

따라서 [eqn: R(x)=5x-5]이므로  [eqn: R(1)=5-5=0]

[eqn: x^5 -1 =(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)]

03

[eqn: 35]

답

해

설

다항식 [eqn: p(x)=3x^3 +ax^2 -2x+b]가 [eqn: x-1]과 [eqn: x-2]를 인수로 가지므로

[eqn: p(1)=3+a-2+b=0]에서  [eqn: a+b =-1]	㉠

[eqn: p(2) = 24 +4a -4+b=0]에서  [eqn: 4a+b=-20]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a= - 19 over 3 ,~b= 16 over 3]

따라서  [eqn: 3(b-a)=35]

04

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]로 나누어떨어지고, 이때 몫이 [eqn: Q(x)]이므로  [eqn: f(x)=3x^3 +x^2 +ax -2 =(x-1)Q(x)]	㉠

[eqn: Q(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 몫을 [eqn: Q_1 (x)], 나머지를 [eqn: R]라고 하면  [eqn: Q(x) =(x+1)Q_1 (x) +R]	㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: f(x)=(x-1) left{ (x+1)Q_1 (x) +R right}]	㉢

㉢에서 [eqn: Q(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지 [eqn: R]는 [eqn: x=-1]을 양변에 대입하면

[eqn: R= - 1 over 2 f(-1)]

한편 [eqn: f(1)=3+1+a-2=0]에서 [eqn: a=-2]이므로

[eqn: f(x)=3x^3 +x^2 -2x -2]이고

[eqn: f(-1)=-3+1+2-2=-2]이다.

따라서 구하는 나머지는

[eqn: R =- {1} over {2} f(-1) =- 1 over 2 TIMES (-2) =1]

05

⑤

답

해

설

따라서 [eqn: f(x) & = LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} -3x+ {3} over {2} RIGHT ) - {1} over {4}# ~~~~` & =(2x-1) LEFT ( x ^{2} - {3} over {2} x+ {3} over {4} RIGHT ) - {1} over {4}]

이므로  몫: [eqn: x^2 - 3 over 2 x + 3 over 4], 나머지: [eqn: - 1 over 4]

06

[eqn: 8]

답

해

설

조립제법을 이용하면

이므로

[eqn: Q(x)=2x^2 +4x +2 =2(x+1)^2]

따라서  [eqn: Q(2x-1) =2 left{ (2x-1) +1 right }^2 =8x^2]

[eqn: Q(2x-1)]을 [eqn: F(x)]라고 하면 [eqn: Q(2x-1)]을 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: F(-1)=8 cdot (-1)^2 =8]

07

①

답

해

설

다항식 [eqn: p(x)]를 [eqn: (x-1)(x+1)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q_1 (x)]라고 하면

[eqn: p(x) =(x-1)(x+1)Q_1 (x) +x-3]이므로

[eqn: p(1)=-2]	㉠

다항식 [eqn: p(x)]를 [eqn: (x-2)(x+2)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q_2 (x)]라고 하면

[eqn: p(x)=(x-2)(x+2)Q_2 (x) +x+3]이므로

[eqn: p(-2)=1]	㉡

그런데 다항식 [eqn: p(x)]를 [eqn: (x-1)(x+2)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: p(x) =(x-1)(x+2)Q(x) +ax+b]

㉠에서 [eqn: p(1)=-2]이므로

[eqn: p(1)=a+b=-2]	㉢

㉡에서 [eqn: p(-2)=1]이므로

[eqn: p(-2)=-2a+b =1]	㉣

㉢, ㉣을 연립하여 풀면 [eqn: a=-1,~b=-1]이므로 구하는 나머지는 [eqn: -x-1]이다.

08

⑤

답

해

설

[eqn: f(x)=2x^3 +ax^2 +2bx +4]로 놓으면 [eqn: f(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지가 [eqn: 4]이고 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 2]이므로 [eqn: f(-1) =4,~f(1)=2]이다.

[eqn: f(-1)=-2+a-2b+4=4]에서  [eqn: a-2b=2]	㉠

[eqn: f(1)=2+a+2b+4=2]에서  [eqn: a+2b=-4]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-1,~b=- 3 over 2]이므로

[eqn: f(x) =2x^3 -x^2 -3x +4]

따라서 다항식을 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는

[eqn: f(2) =16 -4 -6+4 =10]

09

④

답

해

설

[eqn: f(x)+g(x)]는 나누어떨어지므로

[eqn: f(-1)+g(-1)=0]	㉠

[eqn: f(x)+xg(x)]를 [eqn: x+1]로 나누면 나머지가 [eqn: 2]이므로

[eqn: f(-1)-g(-1)=2]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: f(-1)=1,~g(-1)=-1]

따라서 의 각 식에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: ㄱ.~f(-1)+(-1)=1-1=0]

[eqn: ㄴ.~g(-1)+1=(-1)+1=0]

[eqn: ㄷ.~f(-1)g(-1)-1=1 cdot (-1) -1 =-2]

따라서 [eqn: x+1]로 나누어떨어지는 것은 [eqn: ㄱ,~ㄷ]이다.

10

①

답

해

설

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-3)]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b]	㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: f(1)=a+b]	㉡

㉠의 양변에 [eqn: x=3]을 대입하면  [eqn: f(3)=3a+b]	㉢

㉡, ㉢을 연립하면

[eqn: a= - { f(1) - f(3)} over 2 ,~b= {3f(1) -f(3) } over 2]

따라서 구하는 나머지는

[eqn: ax+b = - {f(1) -f(3)} over 2 x + {3f(1) -f(3) } over 2]

11

①

답

해

설

[eqn: f(x)-3]은 [eqn: x+1]로 나누어떨어지므로

[eqn: f(-1)-3=0], 즉 [eqn: f(-1)=3]

[eqn: f(x)+3]은 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로

[eqn: f(1)+3 =0], 즉  [eqn: f(1) =-3]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: r(x)=ax+b]라고 하면

[eqn: f(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b]

[eqn: f(1)=a+b=-3,~f(-1)=-a+b=3]	㉠

㉠에서 [eqn: a=-3,~b=0]이므로  [eqn: r(x)=-3x]

따라서  [eqn: r(1)=-3}]

12

③

답

해

설

[eqn: 2x ^{3} -x ^{2} +4x-3&= LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) (2x ^{2} +4)-1#& =(2x-1)(x ^2 +2) -1]

따라서 [eqn: Q(x)=x^2 +2 ,~R=-1]이므로

[eqn: Q(1)+3R =1+2+3TIMES(-1)=0]

13

②

답

해

설

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^4 -1]로 나눈 몫을 [eqn: Q_1 (x)]라고 하면

[eqn: f(x)=(x^4 -1)Q_1 (x) +1]이므로

[eqn: f(1) =1]

다항식 [eqn: g(x)]를 [eqn: x^2 +x-2]로 나눈 몫을 [eqn: Q_2 (x)]라고 하면

[eqn: g(x) =(x^2 +x -2)Q_2 (x) +2]이므로

[eqn: g(1)=2]

따라서 [eqn: left{f(x) +1 right} left{g(x) -1 right}]을 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: left{f(1) +1 right} left{g(1) -1 right} =(1+1)(2-1)=2]

14

[eqn: -x]

답

해

설

[eqn: p(x)+1]이 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로

[eqn: p(1)+1 =0]에서  [eqn: p(1)=-1]

[eqn: p(x) -2]가 [eqn: x+2]로 나누어떨어지므로

[eqn: p(-2)-2=0]에서  [eqn: p(-2)=2]	(가)

[eqn: p(x)]를 [eqn: (x-1)(x+2)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: p(1)=-1]에서  [eqn: p(1)=a+b=-1]	㉠

[eqn: p(-2)=2]에서  [eqn: p(-2)=-2a+b=2]	㉡

(나)

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-1,~b=0]이므로 나머지는 [eqn: -x]이다.	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) [eqn: p(1),~p(-2)]의 값을 구한다.	30 %
(나) [eqn: a,~b]의 관계식을 구한다.	40 %
(다) 나머지를 구한다.	20 %

15

③

답

해

설

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1,~x-2]로 나눈 나머지가 각각 [eqn: 2,~3]이므로  [eqn: P(1)=2,~P(2)=3]

[eqn: P(x) =(x-1)(x-2)Q(x) +ax+b]로 놓고

[eqn: x=1]과 [eqn: x=2]를 각각 대입하면

[eqn: P(1)=a+b=2,~P(2)=2a+b=3]

이므로  [eqn: a=1,~b=1]

[eqn: P(x) =(x-1)(x-2)Q(x)+x+1]에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: P(3) &=(3-1)(3-2)Q(3) +3+1 #& =2 Q(3) +4]

16

[eqn: x^2 - x+2]

답

해

설

[eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)^2 ,~(x +2)]로 나누었을 때의 몫을 각각 [eqn: Q_1 (x),~Q_2 (x)]라고 하면

[eqn: P(x)=(x-1)^2 Q_1 (x) +x+1]	㉠

[eqn: P(x)=(x+2) Q_2 (x) +8]	㉡

[eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)^2 (x+2)]로 나눈 나머지는 이차 이하의 다항식이므로 [eqn: ax^2 + bx +c] ([eqn: a,~b,~c]는 상수)로 놓으면

[eqn: P(x)=(x-1)^2 (x+2)Q(x)+ax^2 +bx +c]	㉢

(단, [eqn: Q(x)]는 [eqn: x]에 대한 다항식)

(가)

㉠, ㉢에서

[eqn: P(x) =(x-1)^2 (x+2)Q(x) +a(x-1)^2 +x+1]이고	(나)

㉡에서 나머지정리에 의하여 [eqn: f(-2)=8]이므로

[eqn: f(-2) =9a -2+1 =8,~a=1]

따라서 구하는 나머지는

[eqn: (x-1)^2 +x+1 =x^2 -x +2]	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 주어진 두 조건으로부터 [eqn: P(x)]를 식으로 나타낸다.	30 %
(나) [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1) ^2 (x+2)]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: a(x-1) ^2 +x+1]로 놓는다.	40 %
(다) 나머지정리를 이용하여 나머지를 구한다.	30 %

17

[eqn: 2]

답

해

설

나머지정리에 의하여 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: P(1)=1 ^4 +1 =2]

18

몫: [eqn: x+1], 나머지: [eqn: x-1]

답

해

설

19

(1) [eqn: 5]            (2) [eqn: 11]

답

해

설

(1) [eqn: P(-1)= (-1) ^3 +2 cdot (-1) ^2 -3 cdot(-1) +1=5]

(2) [eqn: P(2)=2 ^3 + 2 cdot 2 ^2 - 3 cdot 2 +1 =11]

20

해설 참조

답

해

설

(1) 다항식 [eqn: P(x)]를 일차식 [eqn: ax-b]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라고 하면

[eqn: P(x)= (ax-b)Q(x) +R] (단, [eqn: R]는 상수)

[eqn: x= b over a]를 대입하면

[eqn: P`` left( b over a right)= R]

따라서 [eqn: P(x)]를 [eqn: ax-b]로 나눈 나머지는 [eqn: P`` left( b overa right)]와 같다.

(2) [eqn: P`` left( 1 over 2 right) = left ( 1 over 2 right) ^3 +left ( 1 over 2 right) ^2 + 1 over 2 +1 = 15 over 8]

21

[eqn: a=3,~b=1]

답

해

설

[eqn: P(x)=x ^3 + a x^2 + bx +1]로 놓으면 나머지정리에 의하여

[eqn: P(1) = 1 ^3 +a +b +1=6]

[eqn: a+b=4]	㉠

[eqn: P(-2) = (-2) ^3 +a cdot (-2) ^2 +b cdot (-2) +1 = 3]

[eqn: 2a-b = 5]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=3 ,~b=1]

22

[eqn: a=-5,~b=1]

답

해

설

나누어떨어진다는 말은 결국 나머지가 [eqn: 0]이라는 것이므로

[eqn: P(x)= 2x ^3 +ax ^2 +bx +2]로 놓으면 나머지정리에 의하여

[eqn: P(1) = 2+a+b+2=0,~a+b=-4]	㉠

[eqn: P(2)=2 cdot 2 ^3 + a cdot 2^2 + b cdot 2 +2 =0,~2a+b=-9]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=-5,~b=1]

23

[eqn: 2]

답

24

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: P(x)= 2x^3 +px ^2 +2]를 일차식 [eqn: 2x+1]로 나눈 나머지는 [eqn: P` LEFT ( - 1 over2 RIGHT )]이므로

[eqn: P` left( - 1 over 2 right)= 2 cdot left( - 1 over 2 right) ^3 +p cdot left( - 1 over 2 right) ^2 +2 =3,~p=5]

25

[eqn: -5]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: x-2]와 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지가 서로 같으므로 [eqn: P(2)=P(3)]이다.

[eqn: P(x)=x^3 +ax ^2 + 6x -11]이므로

[eqn: P(2) = 8 + 4a +12-11=9+4a]

[eqn: P(3)=27 +9a+18 -11=34 + 9a]

따라서 [eqn: 9+ 4a = 34 +9a]이므로

[eqn: -5a=25,~a=-5]

26

[eqn: a=4,~b=2]

답

해

설

[eqn: P(x)]가 [eqn: (x+2)(x+3)]으로 나누어떨어지므로

[eqn: P(-2)=16 - 8a+4b +2+6=-8a+4b+24=0]

[eqn: 2a-b=6]	㉠

[eqn: P(-3)= 81 -27 a+ 9a+3+6=-27a +9b+90=0]

[eqn: 3a-b=10]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=4,~b=2]

27

[eqn: 3x-3]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: P`(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b]

[eqn: x=2]를 대입하면  [eqn: P(2)=2a+b=3]	㉠

[eqn: x=3]을 대입하면  [eqn: P(3)= 3a+b=6]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=3,~b=-3]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: 3x -3]

28

[eqn: 4x -6]

답

해

설

주어진 조건에서

[eqn: P(x)= (x-1)(x-2)Q_1 (x)+2]	㉠

[eqn: P(x)=(x-1)(x-3) Q_2 (x) +2x]	㉡

[eqn: P`(x)]를 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b]	㉢

[eqn: P(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는 ㉠에서  [eqn: P(2)=2]

[eqn: P(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 ㉡에서  [eqn: P(3)=6]

㉢에서  [eqn: P(2) = 2a+b=2,~P(3)=3a+b=6]

두 식을 연립하여 풀면  [eqn: a=4,~b=6]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: 4x-6]

29

[eqn: 2x-1]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: (x+2)(x-4)]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: P(x)= (x+2)(x-4) Q(x)+ax+b]

[eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: P(-2)= -2a +b=-5]	㉠

[eqn: x=4]를 대입하면

[eqn: P(4) = 4a +b=7]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=2,~b=-1]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: 2x-1]

30

[eqn: 2x^2 -x+3]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)(x-3)]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax^2 + bx + c]라고 하면

[eqn: P`(x)= (x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax ^2 +bx +c]

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: P(1)= a+b+c=4]	㉠

[eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: P(2) = 4a +2b +c=9]	㉡

[eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: P(3) = 9a+3b +c =18]	㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면  [eqn: a=2,~b=-1,~c=3]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: 2x ^ 2 -x +3]

31

[eqn: -2R]

답

해

설

[eqn: P`(x)=(x+2) Q(x)+R]이므로
[eqn: xP(x)=x(x+2)Q(x)+x R]

따라서 [eqn: x P(x)]를 [eqn: x+2]로 나눈 나머지는

[eqn: (-2)P `(-2)=-2R]

32

[eqn: 2x^2 -3x]

답

해

설

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: x ^2 -2x -1]로 나누면 나머지가 [eqn: x+2]이고, [eqn: x+1]로 나누면 나머지가 [eqn: 5]이다. [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x+1)(x ^2 - 2x -1)]로 나눈 나머지를 구하여라.

33

[eqn: 11]

답

해

설

나머지정리에 의하여  [eqn: P(2)=3,~Q(2)=5]

따라서 [eqn: xP`(x)+Q(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는

[eqn: 2P(2) +Q(2)= 2 times 3+ 5=11]

34

[eqn: x^2 + x +4]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: (x^2 +1)(x-1)]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: a x^2 + bx+c]라고 하면

[eqn: P(x) = (x ^2 +1)(x-1) Q(x)+ax ^2 +bx +c]

이때 [eqn: P`(x)]를 [eqn: x ^2 +1]로 나누면 [eqn: x+3]이 남으므로

[eqn: P`(x)= (x ^2 +1 ) (x-1) Q(x)+a(x ^2 +1) +x+3]

또한 [eqn: P`(x)]를 [eqn: x-1]로 나누면 [eqn: 6]이 남으므로

[eqn: P(1) = 2a + 4 =6,~a=1]

따라서 구하는 나머지는

[eqn: x ^2 +1+x+3 = x ^2 +x+4]

35

[eqn: a=1,~b=2]

답

해

설

몫을 [eqn: px+q]라고 하면

[eqn: x ^3 + ax ^2 +bx +2&=(x ^2 +1)(px+q) +x+1#&=px ^3 +qx ^2 +(p+1) x+1+q]

계수를 비교하면

[eqn: 1=p,~a=q,```b=p+1,~2=1+q]

[eqn: p=1,~q=1,````a=1,~b=2]

36

(1) [eqn: 1]           (2) [eqn: 1]

답

해

설

(1) [eqn: P`(x)=x ^100]을 [eqn: x+1]로 나눈 나머지는

[eqn: P(-1)=(-1) ^100 =1]

(2) (1)에 의하여 [eqn: x ^100]을 [eqn: x+1]로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이므로 [eqn: 99 ^100]을 [eqn: 99+1]로 나눈 나머지도 [eqn: 1]이다.

37

[eqn: 3(x-1)]

답

해

설

몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: x ^3 -1 = (x-1) ^2 Q(x) +ax+b]

이 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 0=a+b], [eqn: b=-a]

[eqn: x ^3 -1 =(x-1) ^2 Q(x) +a(x-1)]

[eqn: (x-1)(x ^2 +x+1)= (x-1) ^2 Q(x) +a(x-1)]

[eqn: x ^2 +x+1 =(x-1) Q(x) +a]

[eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 3=a]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: 3(x-1)]

38

[eqn: a=3,~b=1]

답

해

설

[eqn: x^3 +ax ^2 +bx +3 = (x ^2 + 1)(x+c)]라고 하면

[eqn: x^3 + ax ^2 +bx +3=x ^3 +cx^2 +x+c]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=c,~b=1,```3=c]

[eqn: a=3,~b=1]

39

(1) [eqn: 6]           (2) [eqn: - 17 over 8]

답

40

[eqn: -2x +1]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: x^2 -9]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: P`(x)=(x ^2 -9)Q(x) +ax+b]

나머지정리에 의하여

[eqn: P(3)= 3a+b=-5]	㉠

[eqn: P(-3) = -3a +b=7]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=-2,~b=1]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: -2x+1]

41

[eqn: 2x ^2 + 6x + 7]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: (x+1) ^2 (x+2)]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax ^{2} +bx+c]라고 하면

[eqn: P(x)=(x+1) ^{2} (x+2)Q(x)+ ax ^2 +bx +c]

그런데 [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x+1)^2]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2x+5]이므로

[eqn: ax^2 + bx +c =a(x+1) ^2 +2x+5][eqn: P`(x) = (x+1) ^2 (x+2) Q(x) +a(x+1)^2 +2x+5]

한편 [eqn: P(x)]를 [eqn: x+2]로 나눈 나머지가 [eqn: 3]이므로

[eqn: P(-2)=a+1=3,~a=2]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: 2x ^2 +6 x+ 7]

42

[eqn: x ^4 + 2x ^3 -3x ^2 +5x -4]

답

해

설

[eqn: P(x)]를 [eqn: (x+1)(x ^2 -x +1)]로 나눈 나머지를 [eqn: ax^2 +bx+c]라고 하면

[eqn: P`(x)=(x+1) (x^2 -x +1)(x+2) +ax^2 +bx +c]

이때 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^2 -x+1]로 나눈 나머지는 [eqn: ax^2 +bx +c]를 [eqn: x^2 -x +1]로 나눈 나머지와 같으므로

[eqn: ax ^2 +bx +c= a(x ^2 -x+1) +x-3]

[eqn: P`(x)=& (x+1) (x ^2 -x+1)(x+2)+a (x^2 -x+1)#&+x-3]

나머지정리에 의하여 [eqn: P(1)=1]이므로

[eqn: P(1)=4+a=1,~a=-3]

따라서 구하는 다항식 [eqn: P(x)]는

[eqn: P`(x)&=(x+1)(x^2 -x+1)(x+2)-3(x^2 -x+1) #&~~+x-3#&=(x^3 +1)(x+2)-3x^2 + 4x -6#&=(x^4 +2x^3 +x+2)-3x^2 +4x -6#&=x ^4 + 2x ^3 -3x ^2 +5x -4]

43

[eqn: 4x -5]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면

[eqn: P(x)=(x-2)Q(x)+3]	㉠

또 [eqn: Q(x)]를 [eqn: x+3]으로 나눈 몫을 [eqn: Q` prime (x)]라고 하면

[eqn: Q(x)=(x+3) Q`prime(x)+4]	㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: P(x)&=(x-2) left{(x+3)Q`prime (x)+4right} +3#&=(x-2)(x+3) Q`prime (x) +4(x-2)+3 #&=(x-2)(x+3)Q`prime (x)+4x-5]

따라서 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-2)(x+3)]으로 나눈 나머지는

[eqn: 4x -5]

44

(1) 몫: [eqn: xQ(x)+ R over a], 나머지: [eqn: b over a R]
(2) 몫: [eqn: x ^2 Q(x) + R over a x + b over a^2 R]

답

나머지: [eqn: b^2 over a^2 R]

해

설

주어진 조건에 의하여

[eqn: P`(x)= (ax-b) Q(x) +R]

(1) [eqn: x P(x) =x(ax-b) Q(x) +x R]이므로

[eqn: xP`(x)&= x ( ax -b) Q(x) +(ax-b) R over a + b over a R #&=(ax-b) left( x Q(x) + R over a right) + b over a R]

따라서 구하는 몫과 나머지는 각각

[eqn: xQ(x) + R over a ,~ b over a R]

(2) [eqn: x^2 P(x)=x^2 (ax-b) Q(x) +x ^2 R]이므로

[eqn: x^2 P(x)&=x^2 (ax-b)Q(x)+(ax-b) left( R over a x + b over a^2 R right)#&~~ + b^2 over a ^2 R #&= x ^2 (ax-b) Q(x) +(ax-b) left( R over a x + b over a^2 R right) + b^2 over a^2 R #&=left( x^2 Q(x) + R over a x + b over a^2 R right) (ax-b) + b ^2 over a ^2 R]

따라서 구하는 몫과 나머지는 각각

[eqn: x^2 Q(x) + R over a x + b overa^2 R,~ b^2 over a^2 R]

45

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: P`(x)= x^2002 +1]을 [eqn: x^2 -1]로 나눈 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: P(x)& = (x ^2 -1) Q(x) +ax+b#& =(x-1)(x+1)Q(x) +ax+b]

[eqn: P(1)= 1 ^2002 +1=2]이므로  [eqn: a+b=2]

[eqn: P(-1) = (-1) ^2002 +1=2]이므로  [eqn: -a+b=2]

두 식을 연립하여 풀면  [eqn: a=0,~b=2]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 2]이다.

46

[eqn: -4x-4]

답

해

설

[eqn: P(x)=x^4 -1]을 [eqn: (x+1) ^2]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: P(x) = (x+1) ^2 Q(x)+ax+b]

[eqn: P(-1)=(-1) ^4 -1=0]이므로

[eqn: -a+b=0,~b=a]

[eqn: x^4 -1 =(x+1) ^2 Q(x)+a(x+1)]

[eqn: x^4 -1 = (x+1) ( x^3 -x^2 +x -1)]이므로

[eqn: (x+1)(x ^3 -x ^2 +x -1)= ( x+1) ^2 Q(x) + a(x+1)]

[eqn: x^3 -x^2 +x-1 = (x+1) Q(x) +a]

[eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: -4=a]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: -4x-4]

47

[eqn: 11]

답

해

설

[eqn: P`(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면 나머지가 [eqn: 4x+3]이므로

[eqn: P`(x)= (x-1)(x-2)Q(x) + 4x +3]

[eqn: P(2x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: P(2 cdot 1 )]이므로

[eqn: P(2) = 4 cdot 2 +3=11]

48

[eqn: -9]

답

49

몫: [eqn: 3x ^2 + 7x +12], 나머지: [eqn: 21]

답

50

[eqn: 2]

답

51

(1) 몫: [eqn: 3x ^2 + 5x +1], 나머지: [eqn: 2]
(2) 몫: [eqn: 2x^2 -7x +18], 나머지: [eqn: -31]

답

52

[eqn: -5]

답

53

(1) 몫: [eqn: 3x^2 -4x +4], 나머지: [eqn: -7]
(2) 몫: [eqn: 2x ^2 +3x +13], 나머지: [eqn: 44]

답

54

[eqn: a=-2,~b=-5]

답

55

해설 참조

답

해

설

다항식 [eqn: P`(x)]를 [eqn: (x- alpha ) (x- beta)]로 나눌 때의 몫과 나머지를 각각 [eqn: Q(x),~ax+b]라고 하면

[eqn: P`(x) =(x-alpha)(x-beta) Q(x) +ax+b]

[eqn: x-alpha]와 [eqn: x-beta]로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여

[eqn: P`(alpha)= a alpha +b=0]	㉠

[eqn: P`(beta)= a beta +b=0]	㉡

[eqn: ㉡-㉠]에서  [eqn: a(beta-alpha)=0]

주어진 조건에서 [eqn: alpha not = beta]이므로  [eqn: a=0]

㉠에 [eqn: a=0]을 대입하면  [eqn: b=0]

[eqn: ax+b=0]

따라서 [eqn: P`(x)]는 [eqn: (x-alpha)(x-beta)]로 나누어떨어진다.

56

[eqn: a=-9,~b=22]

답

57

[eqn: a=0,~b=-7]

답

58

(1) 몫: [eqn: 4x ^2 + 2x + 4], 나머지: [eqn: 11]
(2) [eqn: 4x^3 -4x^2 +x+5#= left( x- 3 over 2 right) ( 4x^2 +2x+4) +11]
(3) 몫: [eqn: 2x^2 +x+2], 나머지: [eqn: 11]

답

해

설

[eqn: 4x^3 -4x^2 +x+5#=left( x - 3 over 2 right) ( 4x ^2 +2x +4) +11 #=2 left( x- 3 over 2 right)(2x^2 +x+2)+11 #=(2x-3)(2x^2 +x +2)+11]

59

몫: [eqn: x+1], 나머지: [eqn: 4x+ 6]

답

해

설

60

몫:　[eqn: x^2 -x +2], 나머지: [eqn: 7]

답

해

설

위의 조립제법에 의하여

[eqn: 2x^3 -3x^2 +5x +5 #= left( x- 1 over 2 right) (2x ^2 -2x +4) +7 #= (2x-1)(x^2 -x+2)+7]

따라서 몫은 [eqn: x^2 -x+2], 나머지는 [eqn: 7]이다.

61

몫: [eqn: 2x+2], 나머지: [eqn: -x-3]

답

해

설

62

[eqn: 4]

답

63

[eqn: a=7,~b= 14]

답

64

[eqn: a=-5,~b=-11]

답

65

[eqn: x+a]

답

해

설

[eqn: P`(x)= x^n +a ^n]이라고 하면 [eqn: n]이 홀수이므로

[eqn: P(-a)&=(-a) ^n +a^n#&= - a^n +a ^n #&= 0]

따라서 인수정리에 의하여 [eqn: x^n + a ^n]은 [eqn: x+a]로 나누어떨어진다.

66

(1) 몫: [eqn: 2x^2 +3x+2], 나머지: [eqn: 1]
(2) 몫: [eqn: x+2], 나머지: [eqn: 7x -11]

답

67

[eqn: a=1,~b=0]

답

해

설

몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면

[eqn: x^3 + ax ^2 + bx +1 = (x+1) ^2 Q(x) +x+2][eqn: x^3 +ax^2 +(b-1) x-1= (x+1) ^2 Q(x)]

[eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: -1 +a-b+1-1=0]

[eqn: b=a-1]

[eqn: x^3 +ax^2 +(a-2) x-1=(x+1) ^2 Q(x)]

조립제법을 이용하면

[eqn: (x+1)left{ x^2 +(a-1) x -1 right} = (x+1) ^2 Q(x)`]

[eqn: x^2 +(a-1) x -1= (x+1) Q(x)]

[eqn: x=-1]을 대입하면  [eqn: 1-(a-1)-1=0]

[eqn: a=1,~b=0]

68

(1) 몫: [eqn: 3 over 2 x - 5 over 4], 나머지: [eqn: 15 over 4]
(2) 몫: [eqn: 3x - 3 over 2], 나머지: [eqn: 1 over 2 (17x -7)]

답

69

(1) [eqn: 2]	(2) [eqn: -4]

답

70

[eqn: -1]

답

71

[eqn: x^2 +4x -2]

답

72

(1) [eqn: a=3,~b=2]	(2) [eqn: -5]

답

해

설

(1) [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx +2]로 놓으면

[eqn: f(-1)=-1+a-b+2=2~~thereforea-b=1]	㉠

[eqn: f(-2)=-8+4a-2b+2~~ THEREFORE 2a-b=4]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=3,~b=2]
(2) [eqn: f(x)=3x ^{3} +ax ^{2} +bx+12]로 놓으면

[eqn: f(x)]는 [eqn: x^2 -5x+6]으로 나누어떨어지므로

[eqn: f(2)=24+4a+2b+12=0~~ THEREFORE 2a+b=-18]	㉢

[eqn: f(3) =81+9a+3b +12=0~~therefore3a+b=-31]	㉣

㉢, ㉣을 연립하여 풀면
[eqn: a=-13,~b=8~~~thereforea+b=-5]

73

[eqn: -6]

답

해

설

[eqn: x+2]로 나눈 나머지는

[eqn: f(-2)=-8-12-2k-1=-2k-21]

[eqn: x-1]로 나눈 나머지는

[eqn: f(1)=1-3+k-1=k-3]

[eqn: -2k-12=k-3]에서  [eqn: k=-6]

74

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: x ^{8}]을 [eqn: x+1]로 나눈 나머지가 [eqn: R=(-1) ^{8}=1]이므로 [eqn: x^8 =(x+1) Q(x)+1]

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 1=2Q(1)+1]

[eqn: thereforeQ(1)=0]

75

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1) ^2]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]로 놓으면

[eqn: f(x)=(x-1) ^2 Q(x)=(x-1)(x-1) Q(x)]

따라서 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫은 다시 [eqn: x-1]로 나누어떨어진다.

오른쪽과 같이 조립제법을 [eqn: 2]회 사용하면

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: 0]이므로 ㉠에서

[eqn: a+b=0]	㉢

몫을 다시 [eqn: x-1]로 나눈 나머지도 [eqn: 0]이므로 ㉡에서

[eqn: 2a+2=0]	㉣

㉢, ㉣에서  [eqn: a=-1,~b=1]

[eqn: THEREFORE `a-b=-2]

76

[eqn: -3]

답

해

설

몫은 [eqn: x^2 -3x +7]이므로 구하는 일차항의 계수는  [eqn: -3]

77

[eqn: 9]

답

해

설

[eqn: 2x ^{3} +3x ^{2} -3 & = LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) (2x ^{2} +4x+2)-2#& =(2x-1)(x^2 +2x +1 )-2]

따라서 [eqn: Q(x)=x^2 +2x +1]이므로  [eqn: Q(2)=9]

78

[eqn: 5x-4]

답

해

설

[eqn: f(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b]

[eqn: f(x)=(x-3)(x+1)Q_1 (x) +2x+5`]	㉠

[eqn: f(x)=(x-2)(x+1) Q_2 (x) +x+4]	㉡

㉠에서 [eqn: f(3)=11]이므로  [eqn: f(3)=3a+b=11]	㉢

㉡에서 [eqn: f(2)=6]이므로  [eqn: f(2)=2a+b=6]	㉣

㉢, ㉣에서 [eqn: a=5,~b=-4]이므로 구하는 나머지는 [eqn: 5x-4]

79

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: f(-a)=-a^3 +a^3 +a^2 -4 =a^2 -4=0]

[eqn: thereforea=2~(because a>0)]

80

몫: [eqn: x^2 -x +2], 나머지: [eqn: 3]

답

해

설

[eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} +5x+1 & = LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) (2x ^{2} -2x+4)+3# & =(2x-1)(x^2 -x+2)+3`]

따라서 구하는 몫과 나머지는 각각 [eqn: x^2 -x+2,~3]이다.

81

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: 2f(1)+3g(1)=7]	㉠

[eqn: 3f(1)-g(1)=`5]	㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: f(1)`=2,~g(1)=1]

[eqn: f(x)+g(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는

[eqn: f(1)+g(1)=3]

82

[eqn: -2x ^{2`}+14x -17]

답

해

설

[eqn: f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)Q(x)+ax^2 +bx+c]

[eqn: f(2)=3,~f(3)=7,~f(4)=7]

[eqn: therefore a=-2,~b=14,~c=-17]

[eqn: therefore -2x^2 + 14x -17]

83

답

해

설

[eqn: Q(x) = x^99 + x^98 +cdots + x+1]

[eqn: therefore Q(1)=1+1+cdots +1=100]