수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		1. 다항식의 연산			반 / 번호
	01 다항식의 덧셈과 뺄셈					이름

01

세 다항식 [eqn: A=2x^2 -x +2 ,~B= -2x^2 +x-3], [eqn: C=2x^2 +3x +2]에 대하여 [eqn: A+2X=2B-C]를 만족시키는 다항식 [eqn: X]는?

① [eqn: -4x^2 -5]	② [eqn: x^2 +4x -5]

③ [eqn: -4x^2 +x -5]	④ [eqn: -4x^2 +5]

⑤ [eqn: x^2 -4x -5]

02

두 다항식 [eqn: P,~Q]에 대하여 [eqn: P`◎Q=P+Q,] [eqn: P`◇Q=P-2Q]라고 할 때, 세 다항식 [eqn: A=x ^{2}-xy +y^2 ,~B=2x^2 +3xy-y^2 ,] [eqn: C=x^2 -3xy +2y^2]에 대하여 [eqn: (A◎B)◇C]를 간단히 하면?

① [eqn: x ^{2} +8xy-4y ^{2}]	② [eqn: x^2 -8xy -4y^2]

③ [eqn: x ^{2} +4xy+8y ^{2}]	④ [eqn: x^2 +4xy -8y^2]

⑤ [eqn: x ^{2} -4xy-8y ^{2}]

03

단항식 [eqn: 2x^2 y]에 대하여 다음을 구하여라.
(1) 계수
(2) [eqn: x]에 대한 차수
(3) [eqn: x,~y]에 대한 차수

04

다음을 간단히 하여라.
(1) [eqn: 5x -4x +2x]
(2) [eqn: -x^2 +5x^2 -3x ^2]

05

다항식 [eqn: xy^2 -3x +2xy +4x^2 +5y -1]을 다음과 같이 정리하여라.
(1) [eqn: x]에 대한 내림차순
(2) [eqn: y]에 대한 오름차순

06

다음 □ 안에 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 중 적당한 것을 써 넣어라.
[eqn: (2x+5)+(3x-4)# =2x+(5+3x)-4~~`````` CDOTS CDOTS BOX{~~~~~~}# =2x+(3x+5)-4`````````````` CDOTS CDOTS BOX{~~~~~~}# =(2x+3x)+(5-4)``````` CDOTS CDOTS BOX{~~~~~~}# =(2+3)x+(5-4)```````````` CDOTS CDOTS BOX{~~~~~~}# =5x+1``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````]

07

세 다항식 [eqn: A=2xy -x^2 y -y^2],[eqn: B =-2xy +2y^2], [eqn: C=x^2 +y^2]에 대하여 다음을 계산하여라.
(1) [eqn: A+B]
(2) [eqn: B-C]

08

다항식 [eqn: xy^2 -2x^2 +3xy +4x -2y -3]을 [eqn: x]에 대한 내림차순으로 정리하여라.

09

[eqn: P=a^2 -2ab +3b ^2 ,~Q=-a^2 +4ab -b^2],
[eqn: R=2a^2 -3ab +3b^2]일 때, [eqn: P-(Q-R)]를 구하여라.

10

다음 식을 간단히 하여라.
(1) [eqn: x - [2y - left{ 3x - (4y -5x) right}} ]]
(2) [eqn: (-x ^2 -x ^3 +2x -4) + (2x ^2 + 4 -x )#-(1- 3x ^3 + 7x ^2 )]

11

두 다항식 [eqn: A,~B]에 대하여
[eqn: A+ 2B =x ^2 -3x -1,~A-B= -2x ^2 + 8]일 때, 다항식 [eqn: A,~B]를 각각 [eqn: x]에 관한 식으로 나타내어라.

12

두 다항식 [eqn: A,~B]에 대하여
[eqn: 2A+B=x ^{3} +8x-3,~A-B=2x ^{3} +x-12,]
[eqn: A+B=ax+b]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

13

[eqn: A=x^2 +2x y -2y ^2 ,~B=3x^2 - 2xy -y^2]에 대하여 다음을 구하여라.
(1) [eqn: 2A+B]
(2) [eqn: 3A-2B]

14

[eqn: A=x^2 -3xy+2y^2 ,~B=-3x^2 +xy+y^2 ,]
[eqn: C=4x^2 +5xy-3y^2]일 때,
[eqn: C-left{2A-(B-2C)right}]를 간단히 하여라.

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		1. 다항식의 연산			반 / 번호
	02 다항식의 곱셈					이름

01

다항식 [eqn: (x-2)(x^2 +ax+b)]의 전개식에서 일차항의 계수와 상수항이 같고 이차항의 계수가 [eqn: 4]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b`]의 값 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -40]	② [eqn: -30]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 30]

02

[eqn: a+b=1,~a^2 +b^2 =2]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은?

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

03

[eqn: (x^2 -x-2)(2x^2 -2x+1)(x^2 +x-3)]을 전개했을 때, [eqn: x^3]의 개수는?

① [eqn: -17]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 14]

04

[eqn: 0<a<1]이고 [eqn: a^2 + 1 overa^2 =11]일 때, [eqn: a^3 - 1 over a^3]의 값을 구하여라.

05

[eqn: A=(3+1)(3 ^{2} +1)(3 ^{4} +1)(3 ^{8} +1)]을 간단히 하면?

① [eqn: {3 ^{16} -1} over {2}]	② [eqn: {3^16 +1 }over2]	③ [eqn: 3^16 -1]

④ [eqn: 3^16]	⑤ [eqn: 3^16 +1]

06

삼각형의 p 변의 길이 [eqn: a,~b,~c]가 등식[eqn: (a+b+c)(-a+b+c)=(a-b+c)(a+b-c)]을 만족시킬 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가?

① 정삼각형

② [eqn: a=b]인 이등변삼각형

③ [eqn: a=c]인 이등변삼각형

④ 빗변의 길이가 [eqn: a]인 직각삼각형

⑤ 빗변의 길이가 [eqn: c]인 직각삼각형

07

[eqn: x- 2 overx =3]일 때, [eqn: (x+1)(x+2)(x-4)(x-5)]의 값은?

① [eqn: -16]	② [eqn: -8]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

08

임의의 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 연산 △을 [eqn: a△ b =(a-b)^3 +3ab(a-b)]라고 약속할 때, [eqn: (1△ 2)+(2△ 3)+(3△ 4)+cdots+(1023△ 1024)]의 값은?

① [eqn: 2 ^10]	② [eqn: 1- 10^20]	③ [eqn: 1-2^30]

④ [eqn: 1+2^20]	⑤ [eqn: 1+2^30]

09

[eqn: a+b=x,~a^2 +b^2 =y]라고 할 때, [eqn: a^5 +b^5]을 [eqn: x,~y]로 나타내어라.

10

다항식 [eqn: (x+a)(x+b)(x+1)]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 5], [eqn: x]의 계수가 [eqn: 6]일 때, [eqn: a^3 +b^3]의 값을 구하여라.

11

[eqn: (x^2 +2)(x+3)]을 분배법칙을 이용하여 전개하여라.

12

[eqn: (2x +3)(3x +4)]를 곱셈 공식을 이용하여 전개하여라.

13

[eqn: (x+2y) ^3]을 곱셈 공식을 이용하여 전개하여라.

14

[eqn: (x+2y+3z) ^2]을 곱셈 공식을 이용하여 전개하여라.

15

[eqn: (a-b)(a^2 +ab+b^2 )]을 분배법칙 이용하여 전개하여라.

16

다음의 전개에서 사용한 연산법칙을 말하여라.
[eqn: (a ^{2} -b)(a ^{2} +2b) & =a ^{2} (a ^{2} +2b)-b(a ^{2} +2b) CDOTS CDOTS BOX{~~~~~~}# & =a ^{4} +2a ^{2} b-ba ^{2} -2b ^{2~~~~} CDOTS CDOTS BOX{~~~~~~}# & =a ^{4} +2a ^{2} b-a ^{2} b-2b ^{2} ~~`````` CDOTS CDOTS BOX{~~~~~~}# & =a ^{4} +a ^{2} b -2b ^{2}]

17

곱셈 공식을 이용하여 다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (2a+1)^2]
(2) [eqn: (2a-3b)^2]
(3) [eqn: (4a-3b)(4a+3b)]
(4) [eqn: (x+y-z)^2]

18

곱셈 공식을 이용하여 다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (2x -3)^3]
(2) [eqn: (a-3)(a^2 +3a+9)]
(3) [eqn: (x+y-1)(x^2 +y^2 - xy +x+y+1)]
(4) [eqn: (a^2 +2a +4)(a^2 -2a +4)]

19

다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (x-1)(x^2 -x+1)]
(2) [eqn: (x+1)(x^2 +x+1)]

20

곱셈 공식을 이용하여 다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: left( x+ 1overx right) ^2]
(2) [eqn: (3a+2b)^2]
(3) [eqn: (4a-3b)^2]
(4) [eqn: left( x- 1over 2 y right) left( x+ 1 over2 y right)]

21

곱셈 공식을 이용하여 다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (x+3)^3]
(2) [eqn: (2x+5) ^3]
(3) [eqn: (x+3)(x^2 -3x +9)]
(4) [eqn: (x-4)(x^2 + 4x +16)]
(5) [eqn: (x+y+z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz-zx)]

22

다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (a+b+c)(a+b-c)]
(2) [eqn: (x^2 +2x+2)(x^2 -2x+2)]

23

다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (x^2 +3x +1)(x^2 +3x +3)]
(2) [eqn: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)]

24

다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (a+b-1)(a-b-1)]
(2) [eqn: (a+b+c)(a-b-c)]
(3) [eqn: (x^2 +x-1)(x^2 -x -1)]
(4) [eqn: (x^2 +3x +1) (x^2 -3x +1)]

25

다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)]
(2) [eqn: (x+1)(x-2)(x+3)(x-4)]

26

곱셈 공식을 이용하여 다음 계산을 하여라.
(1) [eqn: 99^2 +101^2]
(2) [eqn: 99^3 +101^3]

27

다음 식을 전개하여라.

[eqn: (x-1)(x+2)(x+3)]

28

곱셈 공식을 이용하여 다음 계산을 하여라.
(1) [eqn: 98 ^{2} +102 ^{2}]
(2) [eqn: 9^3 +11^3]

29

[eqn: (x-2)(x-3)(x+4)]를 전개하여라.

30

[eqn: x+y=1,~xy=1]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: x^2 +y^2]
(2) [eqn: x^3 +y^3]
(3) [eqn: x^5 + y^5]
(4) [eqn: x^11 +y^11]

31

[eqn: a+b= 3,~ab=1]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: a^2 +b^2]
(2) [eqn: (a-b) ^{2}]
(3) [eqn: |`a-b` |]

32

다음 식에서 [eqn: xy]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: x+y=1,~x^2 +y^2 =5]
(2) [eqn: x+y =2,~x^3 +y^3 =14]

33

[eqn: x-y =2,~ x^3 -y^3 =14]일 때, [eqn: xy]의 값을 구하여라.

34

[eqn: x+y = 3,~ x^2 +y^2 =7]일 때, [eqn: x^3 +y^3]의 값을 구하여라.

35

[eqn: a+b+c=0,~a^2 +b^2 +c^2 =1]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: ab+bc+ca]
(2) [eqn: a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2]
(3) [eqn: a^4 +b^4 +c^4]

36

[eqn: a+b+c =1,~a^2 +b^2 +c^2 =2,~a^3 +b^3 +c^3 =3]일 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: ab+bc +ca]
(2) [eqn: abc]

37

다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (2x -1) ^3]
(2) [eqn: (x ^2 + x+1) ^2]
(3) [eqn: (xy -1) ( x^2 y ^2 +xy +1)]
(4) [eqn: (a-b)(a+b)(a^2 + b^2 )(a^4 + b^4 )]

38

다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (ac-bd) ^2 + (ac + bd) ^2]
(2) [eqn: (x-y ) ( x^2 +xy + y ^2 ) + ( x+ y) ( x^2 -xy + y ^2 )]
(3) [eqn: (x ^2 + 3x -2 ) (x^2 -3x -2)]
(4) [eqn: (x+a)(x-a)(x^2 +ax +a^2 ) (x^2 - ax＋a^2 )]

39

[eqn: (x ^3 +2x ^2 + 3x + 4) (2x ^4 + 3x ^3 - 5x ^2 - 7x +8)]을 전개한 식에서 [eqn: x^3]의 계수를 구하여라.

40

[eqn: x= { sqrt { 5} +2 } over {sqrt { 5 }-2 } ,~ y = { sqrt { 5}-2}over { sqrt { 5}+2}]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: x+y]
(2) [eqn: xy]
(3) [eqn: x ^2 + y ^2]
(4) [eqn: 2x ^2 -3xy +2y ^2]

41

[eqn: a+b+c=0,~abc=1]일 때, [eqn: a^3 + b^3 + c ^3]의 값을 구하여라.

42

다음 식을 간단히 하여라.
(1) [eqn: left( a over b^2 right) ^3 times left( - b over a right) ^2 DIV left( 2b^3 overa^2 right) ^2]
(2) [eqn: (x^2 +2xy- y ^2 )(x+y)]

43

다음 식을 전개하여라.
(1) [eqn: (x-1)(x^2 +x+1)]
(2) [eqn: (a+b-c)(a-b+c)]

44

부피가 [eqn: A]인 직육면체의 여섯 면의 넓이를 모두 곱한 것은?

① [eqn: A^2]	② [eqn: A^3]	③ [eqn: A^4]
④ [eqn: 8A^2]	⑤ [eqn: 8A^3]

45

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: a+b+c=1,~a^ 2 +b ^2 + c^2 =3]일 때,
[eqn: ab+bc+ca]의 값을 구하여라.
(2) [eqn: xy=2,~x^2 + y ^2 = 3]일 때, [eqn: (x^2 -2) (y^2 -2)]의 값을 구하여라.

46

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수를 구하여라.
(2) [eqn: a^2 = 2 sqrt { 2}-2,~b^2 = {2 sqrt { 2}-1} over 4]일 때, [eqn: (a+2b)^2 (a-2b) ^2]의 값을 구하여라.

47

두 양수 [eqn: a,~b]에 대하여
[eqn: a^2 = sqrt { 5 }+2,~b^2 = sqrt { 5 }-2]일 때, [eqn: (a+b) ^2]의 값을 구하여라.

48

다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: a+b=1,~a^2 + b^2 =3]일 때, [eqn: a^3 +b^3]의 값을 구하여라.
(2) [eqn: x+ y=4,~xy=3,~a+b=-3},~ab=6]일 때, [eqn: (ax+by)^2 +(ay+bx) ^2]의 값을 구하여라.

49

모서리의 길이의 합이 [eqn: 48]이고, 대각선의 길이가 [eqn: 8]인 직육면체의 겉넓이를 구하여라.

50

[eqn: a+b+c=4,~ab+bc+ca=3,~abc=2]일 때, [eqn: a^3 +b^3 + c^3]의 값을 구하여라.

51

[eqn: a+b+c=2,~ab+bc+ca=3,~abc=4]일 때, [eqn: (1+a)(1+b)(1+c)]의 값을 구하여라.

52

[eqn: x+y=1,~x^3 +y^ 3 =19]일 때, [eqn: x^2 + y ^2]의 값을 구하여라.

53

[eqn: a-b=2,~b-c=-3]일 때,
[eqn: a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca]의 값을 구하여라.

54

[eqn: a^2 =2]일 때, 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: LEFT { (3+2a) ^{n} -(3-2a) ^{n} RIGHT } - LEFT { (3+2a) ^{n} +(3-2a) ^{n} RIGHT }]의 값을 구하여라.

55

[eqn: x+y`=2xy,~x ^{2}+ y ^2 =0]을 만족시키는 두 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x^3 + y ^3]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: xy not = 0])

56

[eqn: x+y=5,~x^2 + y ^2 =21]일 때, [eqn: x^5 + y ^5]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		1. 다항식의 연산			반 / 번호
	03 다항식의 나눗셈					이름

01

다항식 [eqn: x^2 +x+1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: Q(1)+R(0)]의 값을 구하여라.

02

[eqn: 2x^4 -x^3 +4x^2 +3x +6]을 다항식 [eqn: P(x)]로 나누었더니 몫이 [eqn: 2x^2 +x+1]이고 나머지가 [eqn: 2x+4]이었다. 이때 다항식 [eqn: P(x)]는?

① [eqn: x^2 -2x-1]	② [eqn: x^2 -2x+1]

③ [eqn: x^2 +2x+1]	④ [eqn: x^2 -x-2]

⑤ [eqn: x^2 -x+2]

03

다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하여라.
[eqn: (3x ^2 - 5x +1) div (x-1)]

04

다음 식을 간단히 하여라.
(1) [eqn: a^2 div a ^3]
(2) [eqn: (-a) ^3 div a^4]
(3) [eqn: x^2 div (-2xy ) ^3]
(4) [eqn: x^5 y ^2 div (xy ) ^2]

05

다음 식을 간단히 하여라.
(1) [eqn: (6x^4 - 4x ^3 + 2x ^2 - 8x ) div 2x]
(2) [eqn: ( 2a ^3 b + 3a ^2 b ^2 - 4a b ^3 ) div (a b ^2 ) ^ 2]

06

다음 식을 간단히 하여라.
(1) [eqn: (-a) ^3 div (-a) ^5]
(2) [eqn: ab^3 div a^2 b^3]

07

다음 식을 간단히 하여라.
(1) [eqn: ( 3x ^3 - 2x ^2 - x )div 2x]
(2) [eqn: (4a ^4 b^2 + 5 a ^3 b ^3 -3 a^2 b ^4 ) div a^3 b]

08

다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: (x ^2 + x+1) div (x+2)]
(2) [eqn: (x ^3 + x ^2 - 5x +1) div ( x-2)]

09

다항식 [eqn: A]를 [eqn: x^2 -x -1]로 나눈 몫이 [eqn: x+1]이고, 나머지는 [eqn: -2x +1]일 때, 다항식 [eqn: A]를 구하여라.

10

다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: ( 2x ^3 + 9x ^2 - 5x +1) div (x+3)]
(2) [eqn: (2x ^3 -5x ^2 + 7x + 3) div (x^2 -2x + 3)]

11

다항식 [eqn: 3x^3 + 3x +2]를 다항식 [eqn: A]로 나누면 몫이 [eqn: 3x- 6]이고 나머지는 [eqn: 6x + 20]이다. 이때 다항식 [eqn: A]를 구하여라.

12

다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하여라.
(1) [eqn: (x ^3 +2x ^2 + 3x +5 ) div (x-3)]
(2) [eqn: (x ^4 + x^2 +x-1) div (x ^2 +2x -4)]

13

[eqn: 2x^3 -7x +1]을 [eqn: x^2 -x -1]로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

14

[eqn: x ^{3}]을 [eqn: x ^{2}-x+1]로 나눌 때의 몫과 나머지를 각각 [eqn: Q(x),~R]라고 할 때, [eqn: Q(2)+R]의 값을 구하여라.

15

[eqn: x ^{2 } + 2x +2=0]일 때, [eqn: {2x^2 + 4x +2 } over { x^3 +2x^2 +2x+1]의 값을 구하여라.

16

[eqn: x ^{3} + x^2 +x +3]을 이차식 [eqn: f(x)]로 나누면 몫은 [eqn: x+2]이고 나머지는 [eqn: 2x+1]이다. 이때 [eqn: f(x)]를 구하여라.

17

[eqn: x ^{2} -x+1=0]일 때, [eqn: x ^{5} +3x ^{2} -2x]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		1. 다항식의 연산			정답
	01 다항식의 덧셈과 뺄셈

01

①

답

해

설

[eqn: A+2X=2B-C]에서

[eqn: 2X & =-A+2B-C# & =-(2x ^{2} -x+2)+2(-2x ^{2} +x-3)# & ~~-(2x ^{2} +3x+2)# & =-2x ^{2} +x-2-4x ^{2} +2x-6-2x ^{2} -3x-2# & =-8x ^{2} -10]

따라서  [eqn: X=-8x^2 -5]

02

⑤

답

해

설

[eqn: (A&◎B)◇C# =&(A+B)◇C=A+B-2C# = & (x ^{2} -xy+y ^{2} )+(2x ^{2} +3xy-y ^{2} )# & -2(x ^{2} -3xy+2y ^{2} )# =&x ^{2} +8xy-4y ^{2}]

03

(1) [eqn: 2]
(2) [eqn: x]에 대한 이차식
(3) [eqn: x,~y]에 대한 삼차식

답

04

(1) [eqn: 3x]            (2) [eqn: x^2]

답

05

(1) [eqn: 4x^2 +(y^2 +2y -3)x +(5y-1)]
(2) [eqn: (4x ^2 -3x -1)+(2x +5)y +xy^2]

답

06

결합법칙, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

답

07

(1) [eqn: -x^2 y +y^2]      (2) [eqn: -2xy +y^2 -x^2]

답

08

[eqn: -2x^2 +(y^2 +3y +4)x-2y -3]

답

09

[eqn: 4a ^2 -9ab + 7b^2]

답

10

(1) [eqn: 9x-6y]         (2) [eqn: 2x ^3 -6x ^2 +x-1]

답

해

설

(1) [eqn: x-[2y- LEFT { 3x-(4y-5x) RIGHT } ]#=x-[2y-left{ 3x-4y +5x right} ]#=x-left{ 2y -(8x-4y) right} #=x-(-8x+ 6y)#=9x-6y]
(2) [eqn: (-x ^{2} -x ^{3} +2x-4)+(2x ^{2} +4-x)# -(1-3x ^{3} +7x ^{2} )# =-x ^{2} -x ^{3} +2x-4+2x ^{2} +4-x-1#~~+3x ^{3} -7x ^{2} # =2x ^3 - 6x ^2 +x-1]

11

[eqn: A= -x ^2 -x+ 5,~B= x ^2 -x -3]

답

해

설

[eqn: A+2 B= x^2 - 3x -1]	㉠

[eqn: A-B = -2x^2 + 8]	㉡

㉠-㉡에서  [eqn: 3B= 3x ^2 -3x -9]

[eqn: B= x^2 - x-3]

[eqn: A= B-2x ^2 + 8 = -x ^2 -x +5]

12

③

답

해

설

[eqn: 2A+B=x^3 + 8x - 3]	㉠

[eqn: A-B = 2x ^3 +x -12]	㉡

[eqn: ㉠+㉡]을 하면

[eqn: 3A= 3x^3 + 9x -15,~A= x^3 + 3x -5]

이것을 ㉡에 대입하면

[eqn: B= - x^ 3 + 2x +7]

따라서 [eqn: A+B = 5 x +2]이므로

[eqn: a=5,~b= 2]

[eqn: a+b=7]

13

(1) [eqn: 5x ^{2} + 2xy -5y ^2]
(2) [eqn: -3x^2 +10xy -4y^2]

답

14

[eqn: -9x^2 + 2xy]

답

해

설

[eqn: C- LEFT { 2A-(B-2C) RIGHT } =C-2A+B-2C# =`-2A+B-C# =-2(x ^{2} -3xy+2y ^{2} )+(-3x ^{2} +xy+y ^{2)}# ~~-(4x ^{2} +5xy-3y ^{2} )# =-9x ^{2} +2xy]

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		1. 다항식의 연산			정답
	02 다항식의 곱셈

01

⑤

답

해

설

[eqn: (x-2)(x ^2 +ax+b)#=x^3 +ax^2 +bx -2x^2 -2ax-2b#=x^3 +(a-2)x^2 +(b-2a)x-2b]

에서 일차항의 계수와 상수항이 같으므로

[eqn: b-2a =-2b,~3b=2a]	㉠

이차항의 계수가 [eqn: 4]이므로

[eqn: a-2 =4 ,~a=6]	㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 풀면  [eqn: b=4]

따라서 [eqn: a+b=6+4=10]

02

⑤

답

해

설

[eqn: a^3 +b^3 =(a+b)^3 -3ab(a+b)=2]에서

[eqn: 1^3 -3ab cdot1=2,~ab=- 1over3]

따라서  [eqn: a^2 +b^2& =(a+b)^2 -2ab #&=1^2 -2TIMES left(- 1 over3 right)#&= 5 over3]

03

⑤

답

해

설

[eqn: (x^2 -x-2)(2x^2 -2x+1)(x^2 +x-3)]을 전개했을 때, [eqn: x^3]항이 생기는 경우는

[eqn: (ⅰ)~x^2 TIMES(-2x)TIMES(-3)=6x^3]

[eqn: (ⅱ )~itx ^{2} TIMES 1 TIMES x=x ^{3}]

[eqn: (ⅲ )~ it (-x) TIMES 2x ^{2} TIMES (-3)=6x ^{3}]

[eqn: (ⅳ)~ it (-x) TIMES (-2x) TIMES x=2x ^{3}]

[eqn: (ⅴ)~ it (-x) TIMES 1 TIMES x ^{2} =-x ^{3}]

[eqn: (ⅵ)~ it (-2) it TIMES 2x ^{2} TIMES x=-4x ^{2}]

[eqn: rm (ⅶ)~ it (-2) TIMES (-2x) TIMES x ^{2} =4x ^{3}]

이므로 [eqn: x^3]의 계수는

[eqn: 6+1+6+2-1-4+4=14]

04

[eqn: -36]

답

해

설

[eqn: 0<a<1]이고 [eqn: a^2 + 1 overa^2 =11]이므로

[eqn: LEFT ( a - 1 overa right)^2 =a^2 + 1 over a^2 -2 =9]에서

[eqn: a- 1 over a =-3]

따라서 [eqn: a^3 - 1 over a^3 &= left( a- 1 overa right)^3 +3 left( a - 1 over a right)#&=(-3)^3 +3 TIMES(-3)#&=-36]

05

①

답

해

설

주어진 식의 양변에 [eqn: (3-1)]을 곱하면

[eqn: 2A&=(3-1)(3+1)(3^2 +1)(3^4 +1)(3^8 +1) #&=(3^2 -1)(3^2 +1)(3^4 +1)(3^8 +1) #&=(3^4 -1)(3^4 +1)(3^8 +1) #&=(3^8 -1)(3^8 +1) #&= {3^16 -1} over 2]

따라서 [eqn: A= {3^16 -1 } over 2]

06

④

답

해

설

[eqn: (a+b+c)(-a+b+c)=(a-b+c)(a+b-c)]

[eqn: left{(b+c)+a right} left{(b+c)-a right}= left{a-(b-c)right} left{a+(b-c)right}]

[eqn: (b+c)^2 -a^2 =a^2 -(b-c)^2]

[eqn: b^2 +2bc +c^2 -a^2 =a^2 -b^2 +2bc -c^2]

[eqn: 2a^2 =2b^2 +2c^2 ,~a^2 =b^2 +c^2]

따라서 빗변의 길이가 [eqn: a]인 직각삼각형이다.

07

⑤

답

해

설

[eqn: x- 2 over x =3]에서 [eqn: x^2 -3x =2]이므로

[eqn: (x+1)(x+2)(x-4)(x-5) #= left{(x+1)(x-4)right} left{(x+2)(x-5)right} #=(x^2 -3x -4)(x^2 -3x -10) #=(2-4)(2-10)=16].

08

③

답

해

설

[eqn: a△b =(a-b)^3 +3ab(a-b)]이므로

[eqn: (1△2)+(2△3)+(3△4)+ CDOTS +(1023△1024)# =(1 ^{3} -2 ^{3} )+(2 ^{3} -3 ^{3} )+(3 ^{3} -4 ^{3} )+ CDOTS # ~~+(1023 ^{3} -1024 ^{3} )# =1-1024 ^{3} =1-(2 ^{10} ) ^{3} =1-2 ^{30}]

09

[eqn: - 1 over4 x^5 + 5 over 4 x y^2]

답

해

설

[eqn: a^2 +b^2 =(a+b) ^2 -2ab]이므로

[eqn: y=x^2 -2ab]에서  [eqn: ab= 1 over 2 (x^2 -y)]

[eqn: a^3 +b^3 &=(a+b)^3 -3ab (a+b) #&=x^3 -3TIMES 1 over 2 (x^2 -y )x #&= - 1 over2 x^3 + 3 over2 xy]

따라서

[eqn: a^5 +b^5 &=(a^3 +b^3 )(a^2 + b^2 ) -a^2 b^2 (a+b) #&=left( - 1 over 2 x^3 + 3 over 2 xy right)TIMESy- 1 over 4 (x^2 -y)^2 TIMESx #&=- {1} over {4} x ^{5} + {5} over {4} xy ^{2}]

10

[eqn: 40]

답

해

설

[eqn: (x+a)(x+b)(x+1)# =x ^{3} +(a+b+1)x ^{2} +(ab+a+b)x+ab]

에서 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: a+b+1], [eqn: x]의 계수는 [eqn: ab+a+b]이다.	(가)

[eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 5]이므로

[eqn: a+b+1=5]

[eqn: a+b=4]	(나)

[eqn: x]의 계수가 [eqn: 6]이므로

[eqn: ab+a+b=6]

[eqn: ab=2]	(다)

따라서

[eqn: a ^{3}+b^3 &=(a+b)^3 -3ab (a+b) #&= 4^3 -3 cdot 2 cdot 4#& =40]	(라)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) [eqn: x^2 ,~x]의 계수를 [eqn: a,~b]로 나타낸다.	3점
(나) [eqn: a+b]의 값을 구한다.	2점
(다) [eqn: ab]의 값을 구한다.	2점
(라) [eqn: a^3 +b^3]의 값을 구한다.	3점

11

[eqn: x^3 +3x ^2 +2x +6]

답

12

[eqn: 6x^ 2 +17x +12]

답

13

[eqn: x^3 +6x ^2 y +12xy^2 +8y^3]

답

14

[eqn: x^2 +4y ^2 +9 z^2 + 4xy +12yz +6zx]

답

15

[eqn: a^3 -b^3]

답

16

분배법칙, 분배법칙, 교환법칙

답

17

(1) [eqn: 4a^2 +4a+1]
(2) [eqn: 4a^2 -12ab+9b^2]
(3) [eqn: 16a^2 -9b^2]
(4) [eqn: x^2 +y^2 +z^2 +2xy -2yz -2zx]

답

18

(1) [eqn: 8x^3 -36x^2 +54x -27]
(2) [eqn: a^3 -27]
(3) [eqn: x^3 + y ^3 +3xy -1]
(4) [eqn: a^4 +4a +16]

답

19

(1) [eqn: x^3 -2x^2 +2x -1] (2) [eqn: x^3 +2x^2 +2x +1]

답

20

(1) [eqn: x^2 +2 + 1 over x^2]
(2) [eqn: 9a^2 +12ab+ 4b^2]
(3) [eqn: 16a ^2 -24ab +9b^2]
(4) [eqn: x^2 - 1over4 y^2]

답

21

(1) [eqn: x^3 +9x^2 +27x +27]
(2) [eqn: 8x^3 +60x^2 +150 x +125]
(3) [eqn: x^3 +27]
(4) [eqn: x^3 -64]
(5) [eqn: x^3 +y^3 +z^3 -3xyz]

답

22

(1) [eqn: a^2 +2ab +b^2 -c^2]
(2) [eqn: x^4 +4]

답

해

설

(1) [eqn: (a+b+c)(a+b-c) & = LEFT { (a+b)+c RIGHT } LEFT { (a+b)-c RIGHT } #&=(a+b) ^{2} -c ^{2}# & =a ^{2} +2ab+b ^{2} -c ^{2}]
(2) [eqn: (x^2 +2x+2)(x^2 -2x +2)#=left{(x^2 +2)+2x right} left{(x^2 +2) -2x right}# =(x^2 +2)^2 -(2x)^2 #=x^4 +4]

23

(1) [eqn: x^4 +6x^3 +13x^2 +12x +3]
(2) [eqn: x ^{4} +10x^3 +35x ^2 +50x +24]

답

해

설

(1) [eqn: (x^2 +3x +1)(x^2 +3x +3)# =left{(x^2 +3x)+1right} left{ (x^2 +3x)+3right}#=(x^2 +3x )^2 +4(x^2 +3x )+3#=x^4 +6x^3 +9x^2 +4x^2 +12x +3# =x^4 +6x ^3 +13x ^2 +12x +3]
(2) [eqn: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)# =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)# =left{ (x^2 +5x )+4right} left{ (x^2 + 5x ) +6right} #= (x^2 + 5x ) ^2 + 10 ( x^2 + 5x ) + 24 #= x^4 + 10x^3 +25 x^2 +10x^2 +50x +24 #= x^4 + 10x^3 + 35 x^2 +50 x + 24]

24

(1) [eqn: a^2 - 2a +1 - b^2]
(2) [eqn: a^2 - b^2 - 2bc -c^2]
(3) [eqn: x^4 - 3x^2 +1]
(4) [eqn: x^4 - 7x ^2 +1]

답

해

설

(1) [eqn: (a+b-1)(a-b-1) #= left { (a-1)+b right} left{ (a-1) -b right} # = (a-1) ^2 -b^2 #= a^2 -2a +1 - b^2]
(2) [eqn: (a+b+c)(a-b-c)#=left{ a+(b+c)right}left{ a- (b+c) right}#=a^2 - (b+c)^2 #= a^2 - b^2 -2bc -c^2]
(3) [eqn: (x^2 +x-1)(x^2 -x -1)#=left{ (x^2 +1)^2 -3x right} left{ (x^2 +1) -3x right} #= (x^2 -1) ^2 - x^2 #= x^4 -3x^2 +1]
(4) [eqn: (x^2 +3x +1) (x^2 -3x +1) #= left{ (x^2 +1) +3x right} left{ (x^2 +1) -3x right}# =(x^2 +1)^2 -(3x) ^2 #=x^4 -7x^2 +1]

25

(1) [eqn: x^4 +2x^3 -13x^2 -14x +24]
(2) [eqn: x^4 - 2x^3 -13x ^2 +14x +24]

답

해

설

(1) [eqn: (x-1)(x+2)(x-3)(x+4) #= (x^2 +x -2) ( x^2 + x -12)# =left{ (x^2 + x) -2right} left{ (x^2 +x ) -12 right}#= (x ^2 + x) ^2 -14 (x^2 +x ) +24 #= x^4 +2x ^3 -13x^2 -14x +24]
(2) [eqn: (x+1)(x-2)(x+3)(x-4)#=(x ^2 -x -2 )(x ^2 -x -12) #= left{ (x^2 -x ) -2 right} left{ ( x^2 -x ) -12 right} #= (x ^2 - x ) ^2 - 14 ( x ^2 - x ) +24 #= x^4 -2 x^3 -13 x^2 +1 4x +24]

26

(1) [eqn: 20002]       (2) [eqn: 2000600]

답

해

설

[eqn: a=100,~b=1]이라고 하면 [eqn: 99= a-b ,~101=a+b]로 놓을 수 있다.

(1) [eqn: 99^2 + 101 ^2 &= (a-b ) ^2 +(a+b) ^2 #&= (a^2 -2ab +b^2 )+(a^2 +2ab +b^2 ) #&=2(a^2 + b^2 )=2(100^2 +1^2 ) #&=20002]

(2) [eqn: 99 ^3 + 101 ^3 &= ( a-b) ^3 +(a+b) ^3 # &=(a^3 -3a^2 b + 3ab^2 -b^3 ) #&~~+ (a^3 +3a ^2 b + 3ab^2 + b^3 ) #&=2a^3 + 6ab^2 #&=2times 100 ^3 + 6 times 100 times 1 ^2 #&= 2000600]

27

[eqn: x^3 + 4x ^2 +x - 6]

답

해

설

[eqn: (x-1)(x+2)(x+3)& = (x^2 +x -2)(x+3) #&=x^2 ( x+3)+x(x+3)-2(x+3) #&= x^3 +3x ^2 + x^2 +3x -2x -6#& =x^3 + 4x ^2 +x -6]

28

(1) [eqn: 20008]         (2) [eqn: 2060]

답

해

설

(1) [eqn: (100-2) ^2 + (100 +2) ^2 #=(100^2 -4 times 100 + 4 ) +(100^2 + 4 times 100 +4)#= 2 times 100 ^2 +2 times 4 = 20008]

(2) [eqn: (10-1)^3 +(10+1) ^3 #= ( 10 ^3 -3 times 10 ^2 + 3 times 10 -1) #~~+(10^3 +3 times 10 ^2 + 3times 10 +1) #=2 times 10 ^3 + 6 times 10 = 2060]

29

[eqn: x^ 3 - x^2 -14x + 24]

답

해

설

[eqn: (x-2)(x-3)(x+4) #= x^3 +(-2-3+4) x^2 #~~+left{(-2) cdot (-3) + ( -3) cdot 4 + 4 cdot (-2) right } x#~~+(-2)cdot(-3) cdot 4 #=x^3 - x^2 -14 x +24]

30

(1) [eqn: -1]  (2) [eqn: -2]  (3) [eqn: 1]  (4) [eqn: 1]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 + y ^2 = (x+y ) ^2 -2xy= 1^2 - 2 cdot 1 =-1]

(2) [eqn: x^3 + y ^3 = (x+ y) ^3 - 3x y(x+y)& = 1^3 - 3 cdot 1 cdot 1 #&=-2]

(3) [eqn: x^5 + y ^5 &= (x ^2 + y ^2 ) ( x^3 + y ^3 ) - x^2 y ^2 (x+y) #&= (-1) cdot (-2) - 1 ^2 cdot 1 =1]

(4) [eqn: x^6 + y ^6 = ( x^3 + y ^3 ) ^2 -2 x^3 y ^3& = (-2) ^2 - 2 cdot 1 ^3#& =2]
[eqn: x^11 + y ^11 &= ( x^5 + y ^5 )( x^6 + y ^6 )-x^5 y ^5 (x+y )#&= 1 cdot 2 - 1 ^5 cdot 1 = 1]

31

(1) [eqn: 7]  (2) [eqn: 5]  (3) [eqn: sqrt { 5}]

답

해

설

(1) [eqn: a^2 + b^2 = (a+b) ^2 - 2ab = 9-2 =7]

(2) [eqn: (a-b) ^2 = (a+b) ^2 - 4ab = 9-4 =5]

(3) [eqn: |`a-b` |= sqrt { (a-b)^2 }= sqrt { 5}]

32

(1) [eqn: -2]      (2) [eqn: -1]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 + y ^2 = ( x+y ) ^2 -2xy]이므로

[eqn: 5=1- 2xy ,~xy=-2]

(2) [eqn: x^3 + y ^3 =( x+y ) ^3 - 3xy (x+y )]이므로

[eqn: 14 = 2 ^3 - 3 cdot xy cdot 2,~xy=-1]

33

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: x^3 - y ^3 =( x-y ) ^ 3 + 3xy (x-y)]이므로

[eqn: 14= 8+ 6xy]

[eqn: xy= 1]

34

[eqn: 18]

답

해

설

[eqn: x^2 + y^2 = (x+y ) ^2 - 2xy]이므로

[eqn: 7=9- 2xy,~xy=1]

[eqn: x^3 + y ^3& = (x+y ) ^3 - 3xy (x+y) #&=27 - 3 cdot 1 cdot 3 = 18]

35

(1) [eqn: - 1 over 2]  (2) [eqn: 1 over 4]  (3) [eqn: 1 over2]

답

해

설

(1) [eqn: (a+b+c) ^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab+2bc +2ca]이므로

[eqn: ab+bc+ca&= {1} over {2} LEFT { (a+b+c) ^{2} -(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} ) RIGHT }#&= 1 over 2 (0-1)=- 1 over 2]

(2) [eqn: a+b+c=0]이므로

[eqn: (ab+bc+ca) ^2 &= a^2 b^2 +b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2abc(a+b+c)#&=a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2]

[eqn: (ab+bc+ca)^2 = left( - 1 over 2 right) ^2 = 1 over 4]이므로

[eqn: a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 = 1 over 4]

(3) [eqn: (a^2 + b^2 + c^2 ) ^2 #= a^4 + b^4 + c^4 + 2(a ^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 )]

이므로

[eqn: a^4 +b^4 + c^4 #=(a^2 + b^2 +c^2 ) -2 (a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2 ) #= 1 - 2 cdot 1 over 4 = 1 over 2]

36

(1) [eqn: - 1 over2]           (2) [eqn: 1 over 6]

답

해

설

(1) [eqn: (a+b+c) ^2 = a^2 +b ^2 + c^2 +2ab+2bc+2ca]이므로

[eqn: ab+bc+ca #= 1over2 left{ (a+b+c) ^2 - (a^2 + b^2 + c^2 ) right} #= 1 over 2 (1-2) = - 1 over 2]

(2) [eqn: a^3 + b^3 + c^3 #= (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)+3abc]

이므로

[eqn: 3= 1 cdot left ( 2 + 1 over2 right) +3abc]

[eqn: abc= 1 over 6]

37

(1) [eqn: 8x^3 -12x^2 + 6x -1]
(2) [eqn: x^4 +2x ^3 + 3x ^2 +2x +1]
(3) [eqn: x^3 y ^3 -1]
(4) [eqn: a^8 - b^8]

답

해

설

(1) [eqn: (2x-1) ^{3} #=(2x) ^{3} -3 CDOT (2x) ^{2} CDOT 1+3 CDOT (2x) CDOT 1 ^{2}-1 ^{3}# =8x^3 -12 x^2 +6x -1]

(2) [eqn: (x ^2 +x +1) ^2 #=(x ^2 ) ^2 + x^2 +1 ^2 + 2 cdot x ^2 cdot x + 2 cdot x cdot 1#~~+2 cdot 1 cdot x ^2 # =x ^4 + x^2 + 1 + 2x ^3 + 2x + 2x ^2 #= x^4 + 2x^3 + 3x ^2 + 2x +1]

(3) [eqn: (xy-1) ( x^2 y ^2 + xy +1) #= (xy-1)left{ (xy ) ^2 + (xy) +1 right}#=(xy )^3 -1 #= x^3 y ^3 -1]

(4) [eqn: (a-b)(a+b)(a^2 +b ^2 ) ( a^4 + b^4 ) #= (a ^2 - b ^2 ) ( a^2 + b^2 )(a^4 + b^4 ) #= ( a^4 -b ^4 ) (a ^4 + b^4 ) #= a^8 - b^ 8]

38

(1) [eqn: 2a ^2 c ^2 +2b ^2 d ^2]
(2) [eqn: 2x ^3]
(3) [eqn: x ^4 - 13 x ^2 + 4]
(4) [eqn: x^ 6 - a ^ 6]

답

해

설

(1) [eqn: (ac - bd ) ^2 + ( ac+ bd ) ^2 #= ( a^2 c ^2 - 2abcd+ b^2 d ^2 ) +( a ^2 c ^2 +2abcd + b^2 d^2 ) #= 2a ^2 c ^2 +2b ^2 d ^2]

(2) [eqn: (x-y )(x ^2 + xy + y ^2 ) + ( x+ y ) ( x^2 -xy + y ^2 ) #= (x ^3 -y ^3 )+ ( x ^3 + y ^3 ) #= 2x ^3]

(3) [eqn: (x ^2 +3x -2)(x ^2 -3x -2) #=left{ ( x^2 -2) + 3x right} left{ ( x^2 - 2) - 3x right} #= ( x^2 -2) ^2 - (3x ) ^2 #= x ^4 - 4x ^2 + 4 -9x ^2 #= x ^4 -13 x ^2 +4]

(4)[eqn: (x+a)(x-a)(x^2 +ax +a ^2 ) (x ^2 -ax +a ^2 )#=left{ (x+a)(x ^2 - ax + a ^2 ) right} left{ (x-a)(x^2 + ax+a ^2 ) right} #= ( x^3 + a^3 ) ( x^3 - a^3 ) #= x^6 - a ^6]

39

[eqn: -9 x^3]

답

해

설

[eqn: x ^3]은 [eqn: (상수)times x^3 ,~x times x^2 ,~x ^2 times x ,~x ^3 times(상수)]의 경우에 만들어지므로 전개식에서 [eqn: x^3]의 항을 찾으면

[eqn: x^3 cdot 8 + 2 x ^2 cdot(-7x)+ 3x cdot( -5 x ^2 ) + 4 cdot 3x ^2 #= 8x ^3 -14 x ^3 -15 x ^3 +12 x ^3 #= (8-14-15+12)x^3 #=-9x ^3]

40

(1) [eqn: 18]  (2) [eqn: 1]  (3) [eqn: 322]  (4) [eqn: 641]

답

해

설

[eqn: x = { sqrt { 5 }+2 } over { sqrt { 5}-2 } = { ( sqrt { 5}+2)( sqrt { 5}+2) } over { ( sqrt { 5}-2 )( sqrt { 5}+2 ) }= ( sqrt { 5 } +2 ) ^2]

[eqn: y= { sqrt { 5}-2 } over { sqrt { 5}+2 } = { ( sqrt { 5}-2 )( sqrt { 5}-2 )}over {( sqrt { 5}+2 )( sqrt { 5}-2)}=( sqrt { 5}-2) ^2]

(1) [eqn: x+y &= ( sqrt { 5}+2 ) ^2 + ( sqrt { 5}-2) ^2 #&=(9+ 4 sqrt { 5})+( 9 - 4 sqrt { 5}) #&= 18]

(2) [eqn: x y = { sqrt { 5}+2 } over { sqrt { 5}-2 } cdot { sqrt { 5}-2 } over { sqrt { 5}+2 }=1]
(3) [eqn: x ^2 + y ^2 = (x+y ) ^2 - 2xy =18 ^2 - 2 cdot 1 = 322]

(4) [eqn: 2x ^{2} -3xy+2y ^{2} &=2(x+y) ^{2} -7xy#&=2 cdot18 ^2 - 7 cdot 1#&= 641]

41

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc -ca)#=a^3 + b^3 + c^3 - 3abc]

이므로

[eqn: a^3 + b^3 + c^3 #=(a+b+c)(a^2 + b^2 +c^2 -ab-bc-ca)+3abc]

이때 [eqn: a+b+c=0,~abc=1]이므로

[eqn: a^3 + b^3 + c^3 = 0 + 3 times 1 =3]

42

(1) [eqn: a^5 over 4b^10]
(2) [eqn: x^3 +4x^2 y +3xy ^2 -2y^3]

답

43

(1) [eqn: x^3 -1]
(2) [eqn: a^2 -b^2 -c^2 +2bc]

답

44

③

답

해

설

직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 [eqn: a,~b,~c]로 놓으면  [eqn: A=abc]

여섯 면의 넓이를 모두 곱하면

[eqn: (ab) ^2 (bc) ^2 (ca) ^2 =(abc) ^4 =A^4]

45

(1) [eqn: -1]	(2) [eqn: 2]

답

해

설

(1) [eqn: (a+b+c) ^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+bc+ca)]

[eqn: 1=3+2(ab+bc+ca)~~thereforeab+bc+ca=-1]

(2) [eqn: (x ^{2} -2)(y ^{2} -2) & =x ^{2} y ^{2} -2x ^{2} -2y ^{2} +4# & =(xy)` ^{2`}-2(x^2 +y ^2 ) + 4#&=4-6+2=2]

46

(1) [eqn: 15]	(2) [eqn: 1]

답

해

설

(1) 주어진 식의 전개식에서 [eqn: x^4]항은

[eqn: x^ 4 + 2x ^4 + 3x^4 + 4x^4 + 5x^4 =15x^4]

[eqn: therefore 15]

(2) [eqn: (a+2b) ^{2} (a-2b) ^{2} & = LEFT { (a+2b)(a-2b) RIGHT } ^{2}# & =(a ^{2} -4b ^{2} ) ^{2}# & = LEFT { (2 sqrt {2} -2)-(2 sqrt {2} -1) RIGHT } ^{2}# & =1]

47

[eqn: 2( sqrt {5} +1)]

답

해

설

[eqn: a ^{2}+ b^2 =2 sqrt { 5},~(ab) ^2 =( sqrt { 5}+2)( sqrt { 5}-2) =5-4=1]에서 [eqn: ab=1]

[eqn: therefore (a+b) ^2 = a^2 + b^2 +2ab =2 sqrt { 5}+2 =2( sqrt { 5}+1)]

48

(1) [eqn: 4]	(2) [eqn: 42]

답

해

설

(1) [eqn: 2ab=(a + b) ^2 -(a^2 +b^2 ) =1 ^2 -3 =-2]

[eqn: thereforeab=-1]

[eqn: THEREFORE a ^{3} +b ^{3} & =(a+b) ^{3} -3ab(a+b)# & =1 ^{3} -3 CDOT (-1) CDOT 1=4]

(2) [eqn: x+y=4,~xy=3]에서

[eqn: x ^{2}+y ^2 =(x+y) ^2 -2xy =16-6=10]

[eqn: a+b=-3,~a b=6]에서

[eqn: a^2 + b^2 =(a+b) ^2 -2ab =9 -12=-3]

[eqn: therefore&(ax+by) ^2 +( ay +bx) ^2 #&= (a^2 x^2 + 2abxy + b^2 y^2 ) +(a^2 y^2 +2abxy +b^2 x^2 ) #&=a^2 (x^2 + y^2 ) +b^2 (x^2 +y ^2 ) +4abxy #&=(x^2 + y ^2 )(a^2 +b^2 ) +4abxy #&=10 cdot (-3)+4 cdot 6 cdot 3 = 42]

49

[eqn: 80]

답

해

설

직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 [eqn: x,~y,~z]로 놓으면  [eqn: 4(x+y+z)=48,~ sqrt { x^2 + y^2 + z^2 }=8]

[eqn: THEREFORE (겉넓이) & =2(xy+yz+zx)# & =(x+y+z) ^2 -(x^2 + y^2 +z^2 ) #&=144-64=80]

50

[eqn: 34]

답

해

설

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} & =(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)# & =16-6=10]

[eqn: THEREFORE a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}# ~~=(a+b+c)(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca)+3abc #~~=4(10-3)+6=34]

51

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: (1+a)(1+b)(1+c)#=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc#=1+2+3+4=10]

52

[eqn: 13]

답

해

설

[eqn: x^3 +y ^3 =(x+y ) ^3 -3xy(x+y)]에서  [eqn: 19=1-3xy]

[eqn: thereforexy =-6]

[eqn: therefore x^2 + y ^2 =(x+y) ^2 - 2xy =1+12=13]

53

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: (a-b)+(b-c)=a-c=-1]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca#= 1 over 2 left{ (a-b) ^2 +(b-c) ^2 +(c-a) ^2 right} #= 1 over 2 (4+9+1)=7]

54

[eqn: -4]

답

해

설

[eqn: (3+2a) ^{n} =A,~ (3+2a) ^{n} =B]로 놓으면

[eqn: LEFT { (3+2a) ^{n} -(3-2a) ^{n} RIGHT } - LEFT { (3+2a) ^{n} +(3-2a) ^{n} RIGHT }#=(A-B)^2 -(A+B) ^2 = -4AB #=-4(3+2a) ^n (3-2a) ^n = -4(9-8) ^m =-4]

55

③

답

해

설

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =(x+y) ^{2} -2xy=0]에서

[eqn: 2xy=1~~ THEREFORE x+y=1]

[eqn: THEREFORE x ^{3} +y ^{3} =(x+y) ^{3} -3xy(x+y)=- 1 over2]

56

[eqn: 1975]

답

해

설

[eqn: (x+y) ^{2}= x ^{2} +y ^{2} +2xy]에서 [eqn: xy=2]

[eqn: x ^{3} +y ^{3} =(x+y) ^{3} -3xy(x+y)=95}]

[eqn: thereforex^5 + y^5 = (x^2 +y ^2 ) (x^3 + y^3 )-x^2 y^2 (x+y)=1975]

수학Ⅰ	Ⅰ. 다항식		1. 다항식의 연산			정답
	03 다항식의 나눗셈

01

[eqn: 0]

답

해

설

이므로  [eqn: Q(x)=2x-1 ,~R(x)=x-1]

따라서  [eqn: Q(1)+R(0)=1+(-1)=0]

02

⑤

답

해

설

[eqn: 2x^4 -x^3 +4x^2 +3x +6#=P(x)(2x^2 +x+1)+2x+4]

에서  [eqn: 2x^4 -x^3 +4x^2 +x +2 =P(x)(2x^2 +x+1)]

이므로 다항식 [eqn: P(x)]는 [eqn: 2x^4 -x^3 +4x^2 +x+2]를

[eqn: 2x^2 +x+1]로 나눈 몫이다.

이므로  [eqn: P(x)=x^2 -x +2]

03

몫: [eqn: 3x -2], 나머지: [eqn: -1]

답

해

설

04

(1) [eqn: 1 over a]
(2) [eqn: - 1 over a]
(3) [eqn: - 1 over 8 x y ^3]
(4) [eqn: x^3]

답

05

(1) [eqn: 3x ^3 -2 x^2 +x -4]
(2) [eqn: 2a over b^3 + 3 over b^2 - 4 over ab]

답

06

(1) [eqn: 1 over a ^2]
(2) [eqn: 1 over a]

답

07

(1) [eqn: 3 over 2 x ^2 - x - 1 over 2]
(2) [eqn: 4ab + 5 b ^ 2 - 3b^3 over a]

답

08

(1) 몫: [eqn: x-1], 나머지: [eqn: 3]
(2) 몫: [eqn: x^2 + 3x +1], 나머지: [eqn: 3]

답

해

설

(1)

(2)

09

[eqn: x^3 - 4x]

답

10

(1) 몫: [eqn: 2x ^2 + 3x -14], 나머지: [eqn: 43]
(2) 몫: [eqn: 2x-1], 나머지: [eqn: -x + 6]

답

해

설

(1)

(2)

11

[eqn: A= x ^2 +2x + 3]

답

해

설

[eqn: 3x ^3 + 3x +2=A ( 3x-6) +6x +20]에서

[eqn: 3x ^3 - 3x -18= A( 3x -6)]

[eqn: A = ( 3x ^3 -3x -18 ) div (3x -6)]

따라서 [eqn: A= x^2 +2x + 3]이다.

12

(1) 몫: [eqn: x^2 + 5x + 18], 나머지: [eqn: 59]
(2) 몫: [eqn: x^2 - 2x +9], 나머지: [eqn: -25 x + 35]

답

해

설

(1)

(2)

13

몫: [eqn: 2x+2], 나머지: [eqn: -3x+3]

답

14

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: x ^{3}]을 [eqn: x^3 =(x ^{2}-x+1 )(x+1)-1]이므로

[eqn: Q(x)=x+1,~R=-1]

[eqn: therefore Q(2)+R=3+(-1)=2]

15

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: {2x ^{2} +4x+2} over {x ^{3} +2x ^{2} +2x+1} & = {(x ^{2} +2x+2)+(x ^{2} +2x)} over {x(x ^{2} +2x+2)+1}# & =x ^{2} +2x=-2]

16

[eqn: x^2 -x +1]

답

해

설

[eqn: x ^{3} + x^2 +x +3 =f(x)(x+2)+2x+1]에서

[eqn: f(x)(x+2)=x^3 +x^2 -x+2 ~~therefore f(x)= x^2 -x+1]

17

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: x ^{5} +3x ^{2} -2x = (x^2 -x+1)(x^3 +x^2 +2) -3 =-2]