미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		1. 여러 가지 적분법			반 / 번호
	01 여러 가지 함수의 부정적분					이름
		ㅉ

01 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,`y RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: {x ^{2} +1} over {x}]이고 이 곡선이 점[eqn: LEFT ( 1,`0 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: f LEFT ( sqrt {e} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: e]          ② [eqn: {e} over {2}]        ③ [eqn: {e} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2e}]        ⑤ [eqn: {3} over {2e}]

02 [eqn: 0<x<pi]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {cos ^{2} `x} over {1-sin`x} ,`f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) = {pi} over {2}]를 만족할 때, [eqn: int _{} ^{} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]를 계산하면? (단, [eqn: C]는 적분상수)

① [eqn: x+sin`x+C]     ② [eqn: x-sin`x+C]
③[eqn: {1} over {2} x ^{2} +sin`x+C]   ④ [eqn: {1} over {2} x ^{2} -cos``x+C]        ⑤ [eqn: {1} over {2} x ^{2} -cos`x+C]

03 도든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 3x-2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = {3} over {4} x ^{4} + {4} over {3} x ^{3} - {13} over {2} x ^{2} +6x+C]를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?  (단, [eqn: C]는 적분상수)

① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]      ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 2]

04 함수[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {{e ^{x-1} +1} over {root {5} of {5}}} dx]일 때, [eqn: lim _{h-> 0} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1-h RIGHT )} over {h}}]의 값은?

① [eqn: 0]           ② [eqn: 1]           ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]           ⑤ [eqn: 4]

05 [eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} + {2} over {x ^{3}} RIGHT )} dx]를 구하면?
(단, [eqn: C]는 적분상수)

① [eqn: x ^{2} - {2} over {x ^{2}} +C]        ② [eqn: x ^{2} - {1} over {x ^{2}} +C]
③ [eqn: x ^{2} + {1} over {x ^{2}} +C]        ④ [eqn: 2x ^{2} - {1} over {x ^{2}} +C]
⑤ [eqn: 2x ^{2} + {1} over {x ^{2}} +C]

06 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {tan ^{2} xdx}]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2]일 때, [eqn: LEFT ( {pi} over {4} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - {pi} over {4} -1]    ② [eqn: - {pi} over {4}]      ③ [eqn: - {pi} over {4} +3]
④ [eqn: {pi} over {4}]          ⑤ [eqn: {pi} over {4} +3]

07 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수가 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x} -cos`x]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2]일 때, [eqn: f LEFT ( 2pi RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {e}]          ② [eqn: e+1]       ③ [eqn: e ^{pi} +1]
④ [eqn: e ^{2pi} -1]      ⑤ [eqn: e ^{2pi} +1]

08 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{e ^{2x} -1} over {e ^{x} -1} dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2]일 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -e]        ② [eqn: 0]         ③ [eqn: {1} over {e}]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: {pi } over {4} e]

09 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 점 [eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT )]을 지나고 곡선 위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 3x ^{2} -6x+3]이다. 이때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 모든 근의 합은?

① [eqn: -3]        ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: 3]          ⑤ [eqn: 5]

10 두 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: rm g LEFT ( it x RIGHT )]가 [eqn: {d} over {dx} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) + rm g LEFT ( it `x RIGHT ) RIGHT }][eqn: =2x+1], [eqn: {d} over {dx} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) rmg LEFT ( itx RIGHT ) RIGHT }][eqn: =3x ^{2} -2x+1]을 만족하고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1], [eqn: rmg LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =-1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -rmg LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 2]

11 다음 그림은 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프이다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 [eqn: 9], 극솟값이 [eqn: 1]일 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: e2]         ③ [eqn: e ^{pi } 3]

④ [eqn: e ^{2 pi } 4]         ⑤ [eqn: e ^{2 pi } 5]

12 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{sin ^{2} x} over {1+cos`x} dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]
일 때, [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -pi-1]        ② [eqn: -pi]        ③ [eqn: pi]
④ [eqn: pi+1]         ⑤ [eqn: 2pi]

13 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 세 조건을 모두 만족할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[eqn: rmI]. [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{cos ^{2} {x} over {2}&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )#k`sin`x&LEFT ( x<0 RIGHT )}}]
[eqn: rmII]. [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )][eqn: =f LEFT ( -pi RIGHT )][eqn: =2]
[eqn: rm III]. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]  에서 연속이다.

① [eqn: {pi} over {4}]         ② [eqn: {pi} over {2}]        ③ [eqn: {3} over {4} pi]
④ [eqn: pi]          ⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

14 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: int _{} ^{} {{e-3xe ^{x} +1} over {x} dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =-3e]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: LEFT ( e-1 RIGHT ) ln`2-3e ^{2}]      ② [eqn: LEFT ( e+1 RIGHT ) ln`2-3e ^{2}]
③ [eqn: LEFT ( e-1 RIGHT ) ln`2]            ④ [eqn: LEFT ( e+1 RIGHT ) ln`2]
⑤ [eqn: LEFT ( e-1 RIGHT ) ln`2+3e ^{2}]

15 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 1,~e RIGHT )]를 지나고 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {x} -4e ^{x}]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +4e ^{x} -5e][eqn: =2]를 만족하는 양수 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: e]            ② [eqn: e ^{2}]          ③ [eqn: e ^{2} -1]
④ [eqn: e ^{2} +1]        ⑤ [eqn: e ^{2} +e]

16 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin` ^{2} {x} over {2} dx]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]일 때, [eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )]의 값을 구하여라.

17 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{x ^{2} -sin ^{2} x} over {x+1} dx} - int _{} ^{} {{cos ^{2} x} over {x+1} dx}]

에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {3} over {2}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} f LEFT ( k RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {309} over {2}]        ② [eqn: {311} over {2}]        ③ [eqn: {313} over {2}]
④ [eqn: {305} over {2}]        ⑤ [eqn: {317} over {2}]

18 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{1} over {1-e ^{x}} dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: ln {1} over {e-1}]        ② [eqn: ln {1} over {e}]        ③ [eqn: ln {e-1} over {e}]
④ [eqn: ln {1} over {e+1}]        ⑤ [eqn: ln {e} over {e+1}]

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		1. 여러 가지 적분법			반 / 번호
	02 치환적분법					이름
		ㅉ

01 다음 부정적분을 구하시오.

(1)[eqn: int _{} ^{} {e ^{2x} dx}]

(2)[eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 3x+2 RIGHT ) ^{4} dx}]

02 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,`y RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: cos`2x-cos`x]이고 이 곡선이 점[eqn: LEFT ( {pi} over {2} ,`-1 RIGHT )]을 지날 때, 함수[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은?

(단, [eqn: 0<x<pi])

① [eqn: - {sqrt {3}} over {4}]   ② [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]    ③ [eqn: - {3} over {4} sqrt {3}]

④ [eqn: - sqrt {3}]    ⑤ [eqn: - {5} over {4} sqrt {3}]

03 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x ^{2} -1} ,`f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]을 만족하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는?

① [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} `ln LEFT | {x+1} over {x-1} RIGHT |]

② [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} `ln LEFT | {x-1} over {x+1} RIGHT |]

③ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT | {x-1} over {x+1} RIGHT |]

④ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`ln LEFT | {x+1} over {x-1} RIGHT |]

⑤ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`ln LEFT | {x-1} over {x+1} RIGHT |]

04 함수[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {ln`x} over {x} ,`f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]을 만족할 때, [eqn: f LEFT ( e RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: x>0])

① [eqn: {1} over {2}]         ② [eqn: 1]          ③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]         ⑤ [eqn: {5} over {2}]

05 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT ) ,`f' LEFT ( 0 RIGHT ) =2]를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) !=0])

① [eqn: 2e]       ② [eqn: 3e]        ③[eqn: e ^{2}]
④ [eqn: 2e ^{2}]      ⑤[eqn: 3e ^{2}]

06 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =x`cos`x,`f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) = {pi} over {2}]를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -1]       ② [eqn: - {1} over {2}]       ③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]       ⑤ [eqn: 1]

07 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x sqrt {x-1} ,`f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]을 만족하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {p} over {q}]라고 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)

08 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} -2 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} -2x+1 RIGHT ) ^{4} dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -2]          ② [eqn: - {9} over {5}]         ③ [eqn: 0]
④ [eqn: {9} over {5}]           ⑤ [eqn: 2]

09 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {x+1} over {x ^{2} +2x+1}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - {1} over {2} `ln`2]      ② [eqn: {1} over {2} `ln`2]         ③ [eqn: ln {3} over {2}]
④ [eqn: ln`2]           ⑤ [eqn: `ln`4]

10 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{1} over {x LEFT ( x+1 RIGHT )}} dx]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -ln`4]         ② [eqn: -ln`2]         ③ [eqn: 0]
④ [eqn: ln` {4} over {3}]           ⑤ [eqn: ln`3]

11 [eqn: int _{} ^{} {x sqrt {x ^{2} -1} dx}]를 구하면? (단, [eqn: C]는 적분상수)

① [eqn: {1} over {3} LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) sqrt {x ^{2} -1} +C]
② [eqn: {1} over {3} LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) sqrt {x ^{2} +1} +C]
③ [eqn: {1} over {2} LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) sqrt {x ^{2} -1} +C]
④ [eqn: {1} over {2} LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) sqrt {x ^{2} -1} +C]
⑤ [eqn: {1} over {2} LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) sqrt {x ^{2} +1} +C]

12[eqn: int _{} ^{} {{sin ^{3} x} over {1+cos`x}} dx]를 구하면? (단, [eqn: C]는 적분상수)

① [eqn: sin ^{2} x+C]

② [eqn: cos ^{2} +C]

③ [eqn: LEFT ( 1-cos`x RIGHT ) ^{2} +C]

④ [eqn: {1} over {2} LEFT ( 1-sin`x RIGHT ) ^{2} +C]

⑤ [eqn: {1} over {2} LEFT ( 1-cos`x RIGHT ) ^{2} +C]

13 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {e ^{x} LEFT ( x-1 RIGHT ) dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =e]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: e-2]       ② [eqn: e+2]       ③ [eqn: 2e-2]
④ [eqn: 2r]          ⑤ [eqn: 2r+2]

14 다음은 치환적분법을 이용하여 [eqn: int _{} ^{} {tan`c`dx}]를 구하는 과정이다.

[eqn: int _{} ^{} {tan`x`dx}][eqn: = int _{} ^{} {{{BOX{~(가)~}}} over {cos`x} dx} ``~]이므로 [eqn: cos`x][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: {BOX{~(나)~}}][eqn: dx][eqn: =dt]
[eqn: THEREFORE int _{} ^{} {tan`x`dx {` {BOX{~(가)~}}} over {cos`x} dx`}][eqn: = int _{} ^{} {- {1} over {t} dt}][eqn: =-ln LEFT | t RIGHT | +C][eqn: =-ln LEFT | cos`x RIGHT | +C]

위의 (가), (나)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

① [eqn: sin`x,`sin`x]          ② [eqn: sin`x,`-sin`x]

③ [eqn: sin`x,`cos`x]          ④ [eqn: -sin`x,`sin`x]

⑤ [eqn: -sin`x,~-sin`x]

15 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{x ^{3} +2x} over {` ^{2} x-x+1}} dx]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: s-3]      ② [eqn: - {5} over {2}]       ③ [eqn: -2]
④ [eqn: - {3} over {2}]      ⑤ [eqn: -1]

16 곡선 [eqn: y= LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {1} over {x`ln`x}]이다. 곡선이 점 [eqn: LEFT ( e,~1 RIGHT )]을 지날 때, ㄹ[eqn: f LEFT ( e ^{e} RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: x>0], [eqn: x != 0])

① [eqn: 0]         ② [eqn: 1]        ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 2`ln`2]     ⑤ [eqn: ln`2+2]

17 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{sin LEFT ( ln`x RIGHT )} over {x} dt}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]일 때, [eqn: f LEFT ( e ^{2pi} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

18 구간 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]에서 정의된 함수[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{cos` LEFT ( ln`x RIGHT )} over {x} dx}]가 [eqn: f LEFT ( e ^{-pi} RIGHT )][eqn: =1]을 만족한다. 방정식 [eqn: fx][eqn: =0]의 실근을 큰 수부터 차례로 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], …이라고 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]의 값은?

① [eqn: {e ^{{pi} over {2}}} over {e ^{2pi} -1}]     ② [eqn: {e ^{pi}} over {e ^{2 pi } -1}]     ③ [eqn: {e ^{{3} over {2} pi}} over {e ^{2 pi } -1}]
④ [eqn: {e ^{pi}} over {e ^{2 pi } +1}]     ⑤ [eqn: {e ^{{3} over {2} pi}} over {e ^{2 pi } +1}]

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		1. 여러 가지 적분법			반 / 번호
	03 부분적분법					이름

01 다음 정적분의 값을 구하시오.

(1)[eqn: int _{0} ^{1} {x sqrt {x ^{2} +1} dx}]

(2)[eqn: int _{0} ^{e} {ln`x`dx}]

02 [eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 그 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: F LEFT ( x RIGHT ) =xf LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} e ^{x} ,`f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이 성립할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 2e-3]       ② [eqn: 2e-1]     ③ [eqn: 2e+1]
④ [eqn: 2e+3]        ⑤ [eqn: 2e+5]

03 [eqn: int _{} ^{} {x ^{2} e ^{x} dx}]를 구하면? (단, [eqn: C]는 적분상수)

① [eqn: x ^{2} e ^{x} +C]
② [eqn: LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) e ^{x} +C]
③ [eqn: LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) e ^{x} +C]
④ [eqn: LEFT ( x ^{2} -2x+3 RIGHT ) e ^{x} +C]
⑤ [eqn: LEFT ( 3x ^{2} -2x+1 RIGHT ) e ^{x} +C]

04 [eqn: int _{} ^{} {e ^{x} sin`x`dx}]를 구하면? (단, [eqn: C]는 적분상수)

① [eqn: {1} over {2} e ^{x} LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) +C]
② [eqn: {1} over {2} e ^{x} LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) +C]
③ [eqn: {1} over {2} e ^{x} LEFT ( cos`x-sin``x RIGHT ) +C]
④ [eqn: 2e ^{x} LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) +C]
⑤ [eqn: {1} over {2} e ^{x} LEFT ( cos`x-sin``x RIGHT ) +C]

05 점 [eqn: LEFT ( sqrt {e} ,`0 RIGHT )]을 지나는 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( x,`y RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: x`ln`x]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

06 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {x ^{2} `sin`x`dx`}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =0]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: pi-2]        ② [eqn: pi-1]        ③ [eqn: pi]
④ [eqn: 1-pi]        ⑤ [eqn: 2-pi]

07 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 다음 두 조건을 만족한다.

[eqn: rmI]. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =pi]
[eqn: rm II]. [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-f LEFT ( x RIGHT ) +e ^{-x} `cos`x]

함수 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]를 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =e ^{x} f LEFT ( x RIGHT )]라고 할 때, [eqn: rmg LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )]의 값을 구하여라.

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		1. 여러 가지 적분법			반 / 번호
	04 여러 가지 함수의 정적분					이름

01 다음 정적분의 값을 구하시오.
(1)[eqn: int _{0} ^{1} {e ^{x} dx}]        (2)[eqn: int _{0} ^{{x} over {2}} {sin`x`dx}]

02 정적분 [eqn: int _{1} ^{3} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{7} LEFT ( x-3 RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: -2]       ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]        ⑤ [eqn: 2]

03 정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {{1} over {x ^{2} +1}} dx]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: {1} over {2}]          ③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {pi} over {2}]       ⑤ [eqn: {pi} over {4}]

04 정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi} over {3}} {x`sin`} dx]의 값은?

① [eqn: {pi} over {6} - {sqrt {3}} over {2}]      ② [eqn: {pi } over {6} + {sqrt {3}} over {2}]
③ [eqn: - {pi } over {6} - {sqrt {3}} over {2}]    ④ [eqn: - {pi } over {6} + {sqrt {3}} over {2}]
⑤ [eqn: {pi } over {3} - {sqrt {3}} over {2}]

05 다음 정적분의 값을 구하시오.

(1)[eqn: int _{0} ^{1} {x ^{2} e ^{x} dx}]

(2)[eqn: int _{0} ^{{pi} over {2}} {e ^{-x} LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) dx}]

06 [eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT ( {1} over {n ^{2} +1 ^{2}} + {2} over {n ^{2} +2 ^{2}} + {3} over {n ^{2} +3 ^{2}} + CDOTS + {n} over {n ^{2} +n ^{2}} RIGHT )}]
의 값은?

① [eqn: ln`2]       ② [eqn: {1} over {2} `ln`2]      ③ [eqn: 2`ln`2]

④ [eqn: {pi} over {4}]        ⑤ [eqn: {pi} over {2}]

07 [eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT ( {pi } over {n+1} + {pi } over {n+2} + {pi } over {n+3} + CDOTS + {pi } over {2n} RIGHT )}] 의 값은?

① [eqn: {pi} over {2}]         ② [eqn: {pi } over {3}]        ③ [eqn: ln`3]

④ [eqn: ln`2]        ⑤ [eqn: 1]

08 [eqn: lim _{n -> INF } {` {pi ^{2}} over {n ^{2}} LEFT ( cos {pi } over {n} +2cos {2 pi } over {n} +3cos {3 pi } over {n} + CDOTS +n`cos {npi } over {n} RIGHT )}]
의 값은?

① [eqn: -2]       ② [eqn: -1]      ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]         ⑤ [eqn: 2]

09 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: pi]이고, 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {3}]인 부채꼴 [eqn: rmAOB]에서 호 [eqn: rmAB]를 [eqn: n]등분하는 점을 [eqn: rm A _{1} ,~A _{1} ,` CDOTS ,~A _{n-1}]이라고 할 때, [eqn: rm ANGLE AOP` it = {pi } over {12} ,] [eqn: ` rm {bar{OP}} ` it =2]인 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} rm {bar{PA}} _{k} ^{2} rm} it]의 값은?

(단, [eqn: rm A it rm _{n} `=rmB])

① [eqn: pi ^{2} +6 LEFT ( sqrt {2} + sqrt {3} RIGHT )]     ② [eqn: LEFT ( pi+2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]      ③ [eqn: LEFT ( pi+2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}]           ④ [eqn: pi ^{2} +4-6 sqrt {2}]      ⑤ [eqn: pi ^{2} +4-6 sqrt {3}]

10 다음 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} ` it =2a] 를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB]를 [eqn: n]등분 하는 점을 [eqn: rm P it rm _{k} LEFT ( k=1,`2,`3,` CDOTS ,`n-1 RIGHT ) ,` TRIANGLE rm AP it rm _{k} rmB]의 넓이를 [eqn: S it rm _{k}]라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k} it} it]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: rm P it rm _{n} `=rmB])

11 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: xf LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} e ^{x} + int _{-1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {e} +1]     ② [eqn: {1} over {e} +2]     ③[eqn: 1- {1} over {e}]
④ [eqn: 2- {1} over {e}]     ⑤ [eqn: 1- {1} over {e}]

12 정적분[eqn: 2 int _{} ^{} {xe ^{-x ^{2}} dx}]의 값은?

① [eqn: {1} over {e}]       ② [eqn: {e-1} over {e}]     ③[eqn: {e+1} over {e}]
④ [eqn: e-1]     ⑤ [eqn: e+1]

13 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 연속함수이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -2 int _{0} ^{x} {e ^{t} f LEFT ( t RIGHT ) dt=1}]이 성립한다. 이때, [eqn: f'' LEFT ( 0 RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이고, [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 이계도함수이다.)

14 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+ int _{0} ^{1} {e ^{t} f LEFT ( t RIGHT ) dt}]를 만족하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( {1} over {e-2} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: e-1]       ② [eqn: e-2]     ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1-e]        ⑤ [eqn: 2-e]

15 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n -> INF } {` LEFT ( sin ^{n} x+cos ^{n} x RIGHT )} ^{{1} over {n}}]에 대하여 정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi} over {2}} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]       ② [eqn: {sqrt {3}} over {2}]      ③ [eqn: 1]
④ [eqn: sqrt {2}]         ⑤ [eqn: sqrt {3}]

16 정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi} over {2}} {{sin ^{3} x} over {sin ^{3} `x+cos ^{3} x} dx}]의 값을 구하시오.

17 정적분 [eqn: int _{0} ^{pi} {{x`sin`x} over {3+sin ^{2} `x} dx}]의 값을 구하시오.

18 다음 그림과 같이 점 [eqn: rm A` LEFT ( 0,`1 RIGHT )]과  원점 [eqn: rmO]를 이은 선분 [eqn: rmOA]를  [eqn: n]등분하는 점을 차례로 [eqn: rm A _{1} ,`A _{2} ,`A _{3} ,` CDOTS ,``] [eqn: rm A` it rm _{n-1} ,` rm A]를 지나면서 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=ln`x] 와 만나는 점을 각각 [eqn: rm B _{1,`} B _{2,`} B _{3,`} CDOTS ,`B` it rm _{n-1,`} rm B _{`}]라고 하자.
이때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n} rm {bar{A it rm _{n} rm B it rm _{n} rm}}]의 값은?(단, [eqn: rm A` it rm _{n} = rm A,` rm B` it rm _{n} = rm B])

① [eqn: e-2]      ② [eqn: e-1]     ③ [eqn: {e} over {2}]
④ [eqn: e+1]      ⑤ [eqn: e+2]

19 정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {{x ^{3}} over {x-1} dx} - int _{0} ^{1} {} {1} over {t-1} dt]의 값은?

① [eqn: {6} over {5}]         ② [eqn: {7} over {6}]        ③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: {11} over {6}]        ⑤ [eqn: {13} over {6}]

20 정적분 [eqn: int _{1} ^{3} {LEFT | x ^{2} -2x RIGHT | dx}]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

21 정적분 [eqn: int _{-a} ^{a} {LEFT ( x ^{2n-1} +x RIGHT ) dx}]의 값은?
(단, [eqn: n], [eqn: a]는 자연수)

① [eqn: -2a]        ② [eqn: -a]          ③ [eqn: 0]
④ [eqn: a]           ⑤ [eqn: 2a]

22 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =3x ^{2} +2ax+1]을 만족할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수)

① [eqn: 0]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 6]           ⑤ [eqn: 8]

23 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +x int _{0} ^{2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} +1]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -5]        ② [eqn: -4]        ③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]        ⑤ [eqn: -1]

24 [eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x} {LEFT ( t ^{3} +3t ^{2} +2 RIGHT ) dt}}]의 값은?

① [eqn: 2]           ② [eqn: 4]          ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]           ⑤ [eqn: 10]

25 [eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) ^{2} dx+} int _{0} ^{2} {LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) ^{2} dx}]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

26 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x+4 RIGHT )]를 만족한다. [eqn: int _{-2} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =5]일 때,
[eqn: int _{0} ^{8} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: -10]          ② [eqn: -5]          ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 5]             ⑤ [eqn: 10]

27 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x ^{3} + int _{0} ^{1} {LEFT ( x-2 RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt}]를 만족할 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]          ② [eqn: {2} over {5}]         ③ [eqn: {3} over {5}]
④ [eqn: {4} over {5}]          ⑤ [eqn: 1]

28 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt+x ^{2} +2x-2}]를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 4]          ② [eqn: 5]         ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]          ⑤ [eqn: 8]

29 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x ^{3} + int _{0} ^{1} {LEFT ( x-2 RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt}]를 만족할 때,

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]          ② [eqn: {2} over {5}]         ③ [eqn: {3} over {5}]
④ [eqn: {4} over {5}]          ⑤ [eqn: 1]

30 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt+x ^{2} +2x} -2]를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 4]          ② [eqn: 5]         ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]          ⑤ [eqn: 8]

31 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{-2} ^{x} {LEFT ( t ^{2} +t-2 RIGHT ) dt}]의 극댓값을 [eqn: alpha], 극솟값을 [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: alpha+beta]의 값은?

① [eqn: 5]          ② [eqn: - {9} over {2}]         ③ [eqn: -4]
④ [eqn: - {7} over {2}]       ⑤ [eqn: -3]

32 [eqn: x>0]일 때, 함수[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+2} {LEFT ( t+ {3} over {t} RIGHT ) dt}]의 최솟값은?

① [eqn: 2+3`ln`3]    ② [eqn: 3+ln`3]     ③ [eqn: 3+3`ln`3]
④ [eqn: 4+ln`3]      ⑤ [eqn: 4+3`ln`3]

33 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =e ^{x} -x-1]을 만족할 때, [eqn: f LEFT ( a+1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 0]            ② [eqn: 1]           ③ [eqn: e]
④ [eqn: {1} over {e}]            ⑤ [eqn: e-1]

34 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =a`sin`x-b`cos`x]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =pi]일 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

35 [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n ^{2}} RIGHT ) {k} over {n ^{2}}}]의 값은?

① [eqn: {11} over {4}]           ② [eqn: {13} over {4}]           ③ [eqn: {15} over {4}]
④ [eqn: {17} over {4}]            ⑤ [eqn: {19} over {4}]

36 정적분 [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+3 RIGHT ) ^{2} dx}]의 값은?

① [eqn: {104} over {3}]        ② [eqn: {106} over {3}]        ③ [eqn: 36]
④ [eqn: {110} over {3}]         ⑤ [eqn: {112} over {3}]

37 정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {{1} over {LEFT ( 2-x RIGHT ) ^{3}} dx}]의 값은?

① [eqn: {3} over {8}]           ② [eqn: {13} over {32}]         ③ [eqn: {7} over {16}]
④ [eqn: {15} over {32}]           ⑤ [eqn: {1} over {2}]

38 정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {sqrt {9-x ^{2}} dx}]의 값은?

① [eqn: {3} over {2} pi]         ② [eqn: {9} over {4} pi]         ③ [eqn: 3pi]
④ [eqn: {15} over {4} pi]         ⑤ [eqn: {9} over {2} pi]

39  정적분 [eqn: int _{1} ^{e} {x`ln`x`dx}]의 값은?

① [eqn: -e]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: e]

40 다음 보기 중 정적분 [eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{2} dx}]와 같은 값을 갖는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} {3} over {n}}]
ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) ^{2} {3} over {n}}]
ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{3n} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} {1} over {n}}]

ㄹ. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{3n} LEFT ( 1+ {k} over {3n} RIGHT ) ^{2} {1} over {3n}}]

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ         ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄹ      ⑤ ㄷ, ㄹ

41 정적분 [eqn: int _{1} ^{e} {{4 LEFT ( ln`x RIGHT ) ^{3}} over {x} dx}]의 값은?

① [eqn: 13]          ② [eqn: 14]          ③ [eqn: 15]
④ [eqn: 16]          ⑤ [eqn: 17]

42 정적분 [eqn: int _{1} ^{e} {{ln`x} over {x LEFT ( ln`x+1 RIGHT ) ^{2}} dx}]의 값은?

① [eqn: ln`2-1]     ② [eqn: ln`2- {1} over {2}]     ③ [eqn: ln`2+ {1} over {2}]
④ [eqn: 2`ln`2- {1} over {2}]   ⑤ [eqn: 2`ln`2+ {1} over {2}]

43  정적분 [eqn: 4 int _{1} ^{e} {sqrt {2x-x ^{2}} dx}]의 값은?

① [eqn: {pi} over {4}]          ② [eqn: {pi } over {2}]         ③ [eqn: pi]
④ [eqn: 2pi]          ⑤ [eqn: 4pi]

44 정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi} over {2}} {x ^{2} sin`x`dx}]의 값은?

① [eqn: pi-2]       ② [eqn: pi -1]      ③ [eqn: pi]
④ [eqn: pi +1]       ⑤ [eqn: pi +2]

45 [eqn: lim _{n -> INF } {ln {root {n} of {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT ) CDOTS LEFT ( n+n RIGHT )}} over {n}}]의 값은?

① [eqn: ln`2-2]       ② [eqn: ln`2-1]     ③ [eqn: 2`ln`2-2]
④ [eqn: 2`ln`2-1]      ⑤ [eqn: 2`ln`2+1]

46 정적분 [eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( lim _{n-> INF } {{3x ^{n+2} -2x ^{n} +1} over {x ^{n} +1}} RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: 3]           ② [eqn: 5]          ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]            ⑤ [eqn: 8]

47 정적분 [eqn: int _{1} ^{e} {xe ^{x ^{2}} dx}]의 값을 구하여라.

48 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) -e ^{x} cos`x]가 성립하고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =e]이다. 함수 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]를 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]	[eqn: =e ^{-x} f LEFT ( x RIGHT )]라고 할 때, [eqn: rmg LEFT ( pi RIGHT ) +rmg LEFT ( 2pi RIGHT ) +cdots+rmg LEFT ( 10pi RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -10e]      ② [eqn: -5e]        ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 5e]         ⑤ [eqn: 10e]

49 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( x+ {x ^{2}} over {2} + {x ^{3}} over {3} +cdots+ {x ^{n}} over {n} RIGHT ) dx}]일 때 [eqn: lim _{n -> INF } {f LEFT ( n RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

50 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )]사이에                 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt}]의 관계식이 성립하고 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = {1} over {e ^{x}}]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: e-1]         ② [eqn: e]         ③ [eqn: {1} over {e}]
④ [eqn: e+q]         ⑤ [eqn: e ^{2}]

51 다음 중 [eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x ^{2}} {LEFT ( e ^{2t} +3`ln`t-cos` {pi} over {2} RIGHT ) dt}}]의 값과 일치하는 것은?

① [eqn: int _{0} ^{e} {4x`dx}]         ② [eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {{4} over {x} dx}]
③ [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {{sin`x} over {2} dx}]     ④ [eqn: int _{0} ^{1} {3e ^{x-1} dx}]
⑤ [eqn: int _{1} ^{e} {ln`x`dx}]

52 정적분 [eqn: int _{-2} ^{2} {LEFT | x RIGHT | e ^{x} dx}]의 값은?

① [eqn: 3e ^{2} - {1} over {e ^{2}}]        ② [eqn: 3e ^{2} - {1} over {e ^{2}} +2]
③ [eqn: e ^{2} - {1} over {e ^{2}}]         ④ [eqn: e ^{2} - {3} over {e ^{2}} +1]
⑤ [eqn: e ^{2} - {3} over {e ^{2}} +2]

53 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]를 만족하고 [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =4]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( x+1 RIGHT ) f} LEFT ( x RIGHT ) dx]의 값은?

① [eqn: 4]          ② [eqn: 5]          ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]          ⑤ [eqn: 8]

54 상수함수가 아닌 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]가 연속이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT { f prime LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2} dt}]가 성립할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

55 [eqn: int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =x ^{3} -4x ^{2} +2x+3]을 만족하는 미분가능한 함수[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 4]            ② [eqn: 5]           ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]            ⑤ [eqn: 8]

56 [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {n}} LEFT ( eqalign{{1} over {sqrt {n+1}} + {1} over {sqrt {n+2}} + {1} over {sqrt {n+3}} +# ```` CDOTS {1} over {sqrt {n+n}}} RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: 2 sqrt {2} -4]     ② [eqn: 2 sqrt {2} -2]       ③ [eqn: 2 sqrt {2}]
④ [eqn: 2 sqrt {2} +2]     ⑤ [eqn: 2 sqrt {2} +4]

57 정적분 [eqn: int _{0} ^{pi} {LEFT ( sin`x+sin`2x RIGHT ) ^{2} dx}]의 값을 구하여라.

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		1. 여러 가지 적분법			정답
	01 여러 가지 함수의 부정적분
		ㅉ

01  ②

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{2} +1} over {x} =x+ {1} over {x}]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) dx= {1} over {2} x ^{2} +ln LEFT | x RIGHT | +C`}]
([eqn: C]는 적분상수)
곡선[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 점 [eqn: LEFT ( 1,`0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: {1} over {2} +C`````````thereforeC=- {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{2} +ln` LEFT | x RIGHT | - {1} over {2}# THEREFORE f LEFT ( sqrt {e} RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} +ln sqrt {e} - {1} over {2}# = {e} over {2} + {1} over {2} - {1} over {2} = {e} over {2}]

해

설

02  ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {{cos ^{2} x} over {1-sin`x} dx} = int _{} ^{} {{LEFT ( 1+sin`x RIGHT ) LEFT ( 1-sin`x RIGHT )} over {1-sin`x} dx}# # ~~~= int _{} ^{} {LEFT ( 1+sin`x RIGHT ) dx=x-cos`x+C}]
[eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) = {pi} over {2}]에서 [eqn: C=0]
[eqn: THEREFORE int _{} ^{} {f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{} ^{} {LEFT ( x-cos`x RIGHT ) dx= {1} over {2} x ^{2} -sin`x+C}}]

해

설

03  ④

답

[eqn: LEFT ( 3x-2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{3} +4x ^{2} -13x+5]
[eqn: = LEFT ( 3x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT )]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +2x-3]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]

해

설

04  ⑤

답

[eqn: lim _{h-> 0} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1-h RIGHT )} over {h}}][eqn: = lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}} + lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1-h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {-h}}]
[eqn: =f' LEFT ( 1 RIGHT ) +f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2f' LEFT ( 1 RIGHT )]
이때, [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {e ^{x-1} +1} over {root {5} of {x}}]이므로 [eqn: 2f' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =4]

해

설

05  ②

답

[eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} + {2} over {x ^{3}} RIGHT )} dx][eqn: =3· {1} over {3} x ^{3} +2· LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) x ^{-2} +C]
[eqn: =x ^{3} - {1} over {x ^{2}} +C]

해

설

06  ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( sec ^{2} x-1 RIGHT ) dx}][eqn: =tan`x-x+C]
이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0-0+C=2]에서 [eqn: C=2]
[eqn: thereforef LEFT ( {pi} over {4} RIGHT )][eqn: =1- {pi} over {4} +2][eqn: =- {pi} over {4} +3]

해

설

07  ⑤

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( e ^{x} -cos`x RIGHT ) dx}][eqn: =e ^{x} -sin`x+C]
이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1-0+C][eqn: =2]에서 [eqn: C=1]
[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 2pi RIGHT )][eqn: =e ^{2pi} +1]

해

설

08   ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{LEFT ( e ^{x} -1 RIGHT ) LEFT ( e ^{x} +1 RIGHT )} over {e ^{x} -1} dx}]=[eqn: e ^{x} +x+C]
이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1+0+C][eqn: =2]에서 [eqn: C=1]
[eqn: thereforef LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: {1} over {e} -1+1][eqn: = {1} over {e}]

해

설

09  ④

답

접선의 기울기가 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -6x+3]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {f' LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} +3x+C]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1-3+3+C][eqn: =3]에서 [eqn: c][eqn: =2]
[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} +x+2]
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} +3x+2][eqn: =0]의 세 근을 [eqn: alpha,`beta,`gamma]라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 모든 근의 합은 [eqn: alpha+beta+gamma][eqn: =3]

해

설

10  ⑤

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( 2x+1 RIGHT ) dx}][eqn: =x ^{2} +x+C _{1}]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} -2x+1 RIGHT ) dx}]                         [eqn: =x ^{2} -x ^{2} +x+C _{2}]
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1], [eqn: rm g LEFT ( it 0 RIGHT )][eqn: =-1]에서 [eqn: C _{1}][eqn: =0], [eqn: C _{2}][eqn: =-1]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =x ^{2} +x], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =x ^{3} =x ^{2} +x-1][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]
[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +1], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =x-1]
[eqn: THEREFORE f LEFT ( 1 RIGHT ) -rmg LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]

해

설

11   ①

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: =ax ^{2} -2x][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {f prime LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = {1} over {3} ax ^{3} -ax ^{2} +C]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]일 때 극댓값을 가지므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =C][eqn: =9]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]일 때 극솟값을 가지므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = {8} over {3} a-4a+C][eqn: =1]   [eqn: therefore][eqn: a][eqn: =1]
[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{3} -6x ^{2} +9]
[eqn: thereforef LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =-2-6+9][eqn: =1]

해

설

12   ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{1-cos ^{2} x} over {1+cos`x} dx}]                            [eqn: = int _{} ^{} {{LEFT ( 1-cos`x RIGHT ) LEFT ( 1+cos`x RIGHT )} over {1+cos`x} dx}]                 [eqn: =x-sin`x+C]  또한
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0-0+C][eqn: =1]에서 [eqn: C][eqn: =1]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x-sin`x+1]
[eqn: thereforef LEFT ( pi RIGHT )][eqn: =pi-0+1][eqn: pi+1]

해

설

13   ①

답

[eqn: x GEQ 0]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {cos ^{2} {x} over {2} dx}][eqn: = int _{} ^{} {{1+cox} over {2} dx}][eqn: = {1} over {2} x+ {1} over {2} `sin`x+C _{1}]
[eqn: x<0]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {k`sin`x`dx}][eqn: =-k`cos`x+C _{2}]
[eqn: f LEFT ( pi RIGHT )][eqn: = {pi} over {2} +C _{1}][eqn: =2], [eqn: f LEFT ( - pi RIGHT )][eqn: =k+C _{2}][eqn: =2]이고
[eqn: lim _{x-> 0} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 0 RIGHT )]이므로 [eqn: -k+C _{2} =C _{1}]
[eqn: THEREFORE k][eqn: = {pi} over {4}]

해

설

14  ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( {e+1} over {x} -3e ^{x} RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT ( e+1 RIGHT ) ln` LEFT | x RIGHT | -3e ^{x} +C]이고
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0-3e+C][eqn: =-3e]에서 [eqn: C=0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( e+1 RIGHT ) ln LEFT | x RIGHT | -3e ^{x}]
[eqn: thereforef LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( e+1 RIGHT ) ln2-3e ^{2}]

해

설

15  ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( {1} over {x} -4e ^{x} RIGHT ) dx}][eqn: =ln`x-4e ^{x} +C]
([eqn: BECAUSE `x]는 양수)
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 1,~e RIGHT )]를 지나므로 [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0-4e+C][eqn: e]에서 [eqn: C=5e]
[eqn: THEREFORE f LEFT ( x+4e ^{x} -5e RIGHT )][eqn: = LEFT ( ln`x-4e ^{x} +5e RIGHT ) +4e ^{x} -5e][eqn: =2]
[eqn: ln`x=2`][eqn: thereforex][eqn: =e ^{2}]

해

설

16  [eqn: {pi+2} over {4}]

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {sin ^{2} {x} over {2} dx}][eqn: = int _{} ^{} {{1-cos`x} over {2} dx}][eqn: = {1} over {2} x- {1} over {2} `sin`x+C]
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0-0+C][eqn: =1]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} x- {1} over {2} `sin`x+1]이므로 [eqn: f LEFT ( {pi} over {4} RIGHT ) = {pi} over {4} - {1} over {2} +1][eqn: {pi+2} over {4}]

해

설

17   ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( {x ^{2} -sin ^{2} x} over {x+1} - {cos ^{2} x} over {x+1} RIGHT ) dx}]                 [eqn: = int _{} ^{} {{x ^{2} - LEFT ( sin ^{2} x+cos ^{2} x RIGHT )} over {x+1} dx}]                  [eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( x-1 RIGHT ) dx}][eqn: = {1} over {2} x ^{2} -x+c]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {3} over {2}]에서 [eqn: C=2] [eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} x ^{2} -x+2]
[eqn: therefore sum _{k=1} ^{10} f LEFT ( k RIGHT )][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( {1} over {2} k ^{2} -k+2 RIGHT )][eqn: = {1} over {2} times {10times11times12} over {6} - {10times11} over {2} +2times10][eqn: = {305} over {2}]

해

설

18  ⑤

답

[eqn: 1-e ^{x}][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: -e ^{x} dx][eqn: =dt]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{1} over {t} · {1} over {t-1} dt}][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( {1} over {t-1} - {1} over {t} RIGHT ) dt}]           [eqn: =ln LEFT | {t-1} over {t} RIGHT | +C][eqn: =ln LEFT | {-e ^{x}} over {1-e ^{x}} RIGHT | +C]
[eqn: thereforef LEFT ( 2 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =ln {e ^{x}} over {e ^{2} -1} -ln {e} over {e-1}]                          [eqn: =ln LEFT ( {e ^{2}} over {e ^{2} -1} · {e-1} over {e} RIGHT )][eqn: =ln {e} over {e+1}]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		1. 여러 가지 적분법			정답
	02 치환적분법
		ㅉ

01  (1)[eqn: {1} over {2} e ^{2x} +C]   (2)[eqn: {1} over {15} LEFT ( 3x+2 RIGHT ) ^{5} +C]

답

02  ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( cos`2x-cos`x RIGHT ) dx= {1} over {2} `sin`2x-sin`x}]
[eqn: LEFT ( BECAUSE f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) =-1 RIGHT )]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( cos`x-1 RIGHT ) LEFT ( 2`cos`x+1 RIGHT ) =0]에서 극솟값은
[eqn: f LEFT ( {2} over {3} pi RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( - {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) - {sqrt {3}} over {2} =- {3} over {4} sqrt {3}]

해

설

03  ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( {1} over {x-1} - {1} over {x+1} RIGHT ) `]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {{1} over {2} LEFT ( {1} over {x-1} - {1} over {x+1} RIGHT ) dx}# = {1} over {2} LEFT ( ln` LEFT | x-1 RIGHT | -ln LEFT | x+1 RIGHT | RIGHT )# = {1} over {2} `ln LEFT | {x-1} over {x+1} RIGHT | ````` LEFT ( BECAUSE f LEFT ( 0 RIGHT ) =0 RIGHT )]

해

설

04  ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {f prime LEFT ( x RIGHT ) dx=} int _{} ^{} {{ln`x} over {x} dx}]에서 [eqn: ln`x=t]로 치환하면 [eqn: {1} over {x} dx=dt]
[eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {{ln`x} over {x} dx= int _{} ^{} {tdt}}# = {1} over {2} t ^{2} +C= {1} over {2} LEFT ( ln`x RIGHT ) ^{2} +C#]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]에서 [eqn: C=1]       [eqn: THEREFORE f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( ln`x RIGHT ) ^{2} +1# THEREFORE f LEFT ( e RIGHT ) = {1} over {2} times1+1= {3} over {2}]

해

설

05  ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: int _{} ^{} {{f prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} dx= int _{} ^{} {2dx~ THEREFORE ln LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}} =2x+C``````````# # THEREFORE f LEFT ( x RIGHT ) =±e ^{2x+C}]
한편, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = {f' LEFT ( 0 RIGHT )} over {2} =1]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{2x} ``````````` THEREFORE f LEFT ( 1 RIGHT ) =e ^{2}]

해

설

06  ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {f prime LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{} ^{} {x`cos`x`dx}} = int _{} ^{} {x LEFT ( sin`x RIGHT ) prime `dx}# `````````````=x`sin`x- int _{} ^{} {sin`x`dx=x`sin`x+cos`x+C}]
[eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) = {pi} over {2}]에서 [eqn: {pi } over {2} +C= {pi } over {2} ````````` THEREFORE C=0]
[eqn: THEREFORE LEFT ( x RIGHT ) =x`sin`x+cos`x# THEREFORE LEFT ( pi RIGHT ) =-1]

해

설

07  [eqn: 46]

답

[eqn: sqrt {x-1} =t]로 치환하면 [eqn: x=t ^{2} +1,` {dx} over {dt} =2t]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 2t ^{4} +2t ^{2} RIGHT ) dt= {2} over {5} t ^{5} + {2} over {3} t ^{3} +C}# {2} over {5} LEFT ( sqrt {x-1} RIGHT ) ^{2} + {2} over {3} LEFT ( sqrt {x-1} RIGHT ) ^{3} +1~~ LEFT ( BECAUSE f LEFT ( 1 RIGHT ) =1 RIGHT )]
따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {2} over {5} + {2} over {3} +1= {31} over {15}]이므로 [eqn: p+q=46]

해

설

08  ④

답

[eqn: x ^{3} -2x+1][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: 3x ^{2} -2][eqn: = {dt} over {dx}]
[eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {t ^{4} dt}][eqn: = {1} over {5} t ^{5} +C]
[eqn: = {1} over {5} LEFT ( x ^{3} -2x+1 RIGHT ) ^{5} +C]
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = {1} over {5} +C][eqn: =2]에서 [eqn: C][eqn: = {9} over {5}]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {9} over {5}]

해

설

09  ④

답

[eqn: x ^{2} +2x+1][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: 2x+2][eqn: = {dt} over {dx}]
[eqn: THEREFORE f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{1} over {t} · {1} over {2} dt}][eqn: = {1} over {2} `ln LEFT | x ^{2} +2x+1 RIGHT | +C]
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0+C][eqn: =0]에서 [eqn: c][eqn: =0]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =ln`2]

해

설

10  ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( {1} over {x} - {1} over {x+1} RIGHT )} dx][eqn: =ln LEFT | x RIGHT | -ln LEFT | x+1 RIGHT | +c]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0-ln`2+C][eqn: =0]에서 [eqn: C=ln`2]이므로
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =ln`2-ln`3+ln`2][eqn: =ln {4} over {3}]

해

설

11  ②

답

[eqn: x ^{2} -1][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: 2x][eqn: = {dt} over {dx}]
[eqn: therefore int _{} ^{} {x sqrt {x ^{2} -1} dx}][eqn: = int _{} ^{} {{1} over {2}} sqrt {t} dt][eqn: = {1} over {2} · {2} over {3} t ^{{3} over {2}} +C]
[eqn: = {1} over {3} LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) sqrt {x ^{2} -1} +C]

해

설

12  ⑤

답

[eqn: int _{} ^{} {{sin ^{3} x} over {1+cos`x} dx}][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( 1-cosx RIGHT ) sin`x`dx}]이므로
[eqn: 1-cos`x][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: sin`x][eqn: = {dt} over {dx}]
[eqn: therefore int _{} ^{} {{sin ^{3} x} over {1+cosx} dx}][eqn: = int _{} ^{} {tdt}][eqn: = {1} over {2} t ^{2} +C]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 1-cos`x RIGHT ) ^{2} +C]

해

설

13  ③

답

[eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =x-1], [eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]으로 놓으면
[eqn: rm g' LEFT ( it x RIGHT )][eqn: =1], [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} - int _{} ^{} {1·e ^{x} dx}][eqn: =e ^{x} LEFT ( x-2 RIGHT ) +C]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =-e+C][eqn: =e]에서 [eqn: C][eqn: =2e]
[eqn: thereforef LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2e-2]

해

설

14  ②

답

(가):[eqn: sin`x], (나):[eqn: -sin`x]

해

설

15

답

[eqn: {x ^{3} +2x} over {x ^{2} -x+1}][eqn: =x+1+ {2x-1} over {x ^{2} -x+1}]이고,
[eqn: x ^{2} -x+1][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: LEFT ( 2x-1 RIGHT ) dx][eqn: =dt]에서
[eqn: int _{} ^{} {{2x-1} over {x ^{2} -x+1} dx}][eqn: = int _{} ^{} {{1} over {t} dt}][eqn: ln LEFT | t RIGHT | +C _{1}]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( x+1+ {2x-1} over {x ^{2} -x+1} RIGHT ) dx}][eqn: = {1} over {2} x ^{2} +x+ln LEFT | x ^{2} -x+1 RIGHT | +C]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {2} +1+0+C][eqn: =0]에서 [eqn: C][eqn: =- {3} over {2}]이므로
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =- {3} over {2}]

해

설

16   ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {x`ln`x}]이므로 [eqn: ln`x][eqn: =t]로 놓으면    [eqn: {1} over {x} dx][eqn: =dt]
[eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {{1} over {t} dt}][eqn: =ln LEFT | t RIGHT | +C][eqn: =ln LEFT | lnx RIGHT | +C]   곡선[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]가 점 [eqn: LEFT ( e,~1 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 1=ln LEFT | ln`e RIGHT | +C]에서 [eqn: C][eqn: =1]
[eqn: therefore LEFT ( e ^{e} RIGHT )][eqn: =ln LEFT | lne ^{e} RIGHT | +1][eqn: =lne+1][eqn: =2]

해

설

17  ①

답

[eqn: ln`x][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: {1} over {x} dx][eqn: =dt]이므로         [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {sin`t`dt}][eqn: =-cos`t+C][eqn: =-cos` LEFT ( ln`x RIGHT ) +C]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =-cos` LEFT ( ln`1 RIGHT ) +C][eqn: =-1+C][eqn: =1]에서 [eqn: C][eqn: =2]
[eqn: thereforef LEFT ( e ^{2pi} RIGHT )][eqn: =-cos` LEFT ( ln`e ^{2 pi } RIGHT ) +2][eqn: =-cos`2pi+2][eqn: =1]

해

설

18  ③

답

[eqn: ln`x][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: {1} over {x} dx][eqn: =dt]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {cos`t`dt`}][eqn: =sin`+C][eqn: =sin` LEFT ( ln`x RIGHT ) +C]
[eqn: f LEFT ( e ^{-pi} RIGHT )][eqn: =sin` LEFT ( lne ^{-pi} RIGHT ) +C][eqn: =sin` LEFT ( -pi RIGHT ) +C][eqn: =1]에서 [eqn: C=1]    [eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin` LEFT ( ln`x RIGHT ) +1]
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: ln`x][eqn: =2n pi - {pi } over {2}]([eqn: n]은 정수)이고, [eqn: 0<x<1]이므로 [eqn: n]은 [eqn: 0] 또는 음의 정수이어야 한다.
[eqn: thereforea _{1}][eqn: =e ^{- {pi} over {2}}], [eqn: a _{2}][eqn: =e ^{- {5} over {2} pi}], [eqn: a _{3}][eqn: =e ^{- {9} over {2} pi}], …
[eqn: therefore sum _{n=1} ^{INF } a _{n}][eqn: = {e ^{- {pi} over {2}}} over {1-e ^{-2pi}}][eqn: = {e ^{{3} over {2} pi }} over {e ^{2 pi } -1}]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		1. 여러 가지 적분법			정답
	03 부분적분법

01   (1)[eqn: {1} over {3} LEFT ( 2 sqrt {2} -1 RIGHT )]   (2)[eqn: 1]

답

02  ②

답

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +xf prime LEFT ( x RIGHT ) -2xe ^{x} -x ^{2} e ^{x} ` LEFT ( F prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )# # THEREFORE f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {eqalign{LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{x} dx= LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{x} - int _{} ^{} {e ^{x} dx}# `}}# = LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{x} -1~~ LEFT ( BECAUSE f LEFT ( 0 RIGHT ) =0 RIGHT )# # THEREFORE f LEFT ( 1 RIGHT ) =2e-1]

해

설

03   ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: x ^{2}], [eqn: rm g' LEFT ( it x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]으로 놓으면             [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =e ^{x}]이므로          [eqn: int _{} ^{} {x ^{2} e ^{x} dx}][eqn: =x ^{2} e ^{x} - int _{} ^{} {2xe ^{x} dx}]
[eqn: int _{} ^{} {xe ^{x} dx}]에서 [eqn: u LEFT ( x RIGHT )], [eqn: v' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]으로 놓으면 [eqn: u' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1], [eqn: v LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]이므로            [eqn: int _{} ^{} {xe ^{x} dx}][eqn: =xe ^{x} - int _{} ^{} {e ^{x} dx}][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} +C _{1}]
[eqn: THEREFORE int _{} ^{} {x ^{2} e ^{x} dx}][eqn: =x ^{2} e ^{x} -2 int _{} ^{} {xe ^{x} dx}]
[eqn: =x ^{2} e ^{x} -2 LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} -2C _{1}][eqn: = LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) e ^{x} +C]

해

설

04  ①

답

[eqn: I= int _{} ^{} {e ^{x} sin`x`dx}]라고 하자. 이때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: sin`x], [eqn: rm g' LEFT ( it x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]으로 놓으면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos`x], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =e ^{x}]이므로 [eqn: I][eqn: =e ^{x} `sin``x- int _{} ^{} {e ^{x`} cos`x`dx~cdotscdots㉠}]
[eqn: int _{} ^{} {e ^{x} cos`x`dx}]에서 [eqn: u LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos`x], [eqn: v' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]으로 놓으면 [eqn: u' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-sin`x], [eqn: v LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]이므로
[eqn: int _{} ^{} {e ^{x} `cos`x`dx}][eqn: =e ^{x`} cos`x`+ int _{} ^{} {e ^{x} sin`x~cdotscdots㉡}]
㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면
[eqn: I= int _{} ^{} {e ^{x} `sin`x`dx}][eqn: = {1} over {2} e ^{x} LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) +C]

해

설

05  [eqn: - {1} over {4}]

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {x`ln`x`dx}]에서 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =ln`x], [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x]로 놓으면 [eqn: rmg' LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = {1} over {x}], [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} x ^{2}]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {x`ln`x`dx}][eqn: = {1} over {2} x ^{2} `ln`x- int _{} ^{} {{1} over {x} · {1} over {2} x ^{2} dx}][eqn: = {1} over {2} x ^{2} `ln`x- {1} over {4} x ^{2} +C] 또한 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]가 점[eqn: LEFT ( sqrt {e} ,~0 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: = {1} over {2} ·e· {1} over {2} - {e} over {4} +C]에서 [eqn: C][eqn: =0]
[eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} x ^{2} `ln`x- {1} over {4} x ^{2}]
[eqn: thereforef LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0- {1} over {4}][eqn: =- {1} over {4}]

해

설

06   ⑤

답

[eqn: u LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2}], [eqn: v' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin`x]로 놓으면 [eqn: u prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x], [eqn: v LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-cos`x]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {x ^{2} sin`x`dx}]                               [eqn: =-x ^{2} `cos`x- int _{} ^{} {LEFT ( -2x`cos`x RIGHT ) dx}]                [eqn: =-x ^{2} `cos`x+ int _{} ^{} {2x`cos`x`dx}]
[eqn: int _{} ^{} {2x`cos`x`dx}]에서 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =2x], [eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos`x`]로 놓으면 [eqn: rm g prime LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =2], [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin`x]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-x ^{2} `cos`x+ LEFT ( 2x`sin`x- int _{} ^{} {2`sin`x`dx} RIGHT )]         [eqn: =-x ^{2} `cos`x`+2x`sin`x`+2`cos``x+C]
[eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =pi+C][eqn: =0]에서 [eqn: C][eqn: =-pi]
[eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-x ^{2} `cos`x+2x`sin`x+2`cos`x- pi]
[eqn: thereforef LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2-pi]

해

설

07  [eqn: pi +1]

답

[eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =e ^{x} f LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: rm g prime LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) +e ^{x} f' LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: rm II]에서 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-f LEFT ( x RIGHT ) +e ^{-x`} `cos`x]이므로
[eqn: rm g prime LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) +e ^{x} LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) +e ^{-x} `cos`x RIGHT }][eqn: =cos`x]
[eqn: THEREFORE rm g LEFT ( itx RIGHT )][eqn: sin+C]
[eqn: rmI]에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =pi]이므로 [eqn: rmg LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =C][eqn: =pi]
[eqn: THEREFORE rm g LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =sin`x+pi]   [eqn: thereforermg LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =pi+1]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅳ. 적분법		1. 여러 가지 적분법			정답
	04 여러 가지 함수의 정적분

01  (1)[eqn: e-1]   (2)[eqn: 1]

답

02  ③

답

[eqn: x-2=t]로 놓으면 [eqn: dx=dt,`x=1]일 때 [eqn: t=1]이므로
[eqn: LEFT ( 준식 RIGHT ) = int _{-1} ^{1} {LEFT ( t+1 RIGHT )} t ^{7} LEFT ( t-1 RIGHT ) dt= int _{-1} ^{1} {LEFT ( t ^{9} -t ^{7} RIGHT ) dt=0}]
[eqn: LEFT ( BECAUSE f LEFT ( t RIGHT ) =t ^{9} -t ^{7} 은`기함수 RIGHT )]

해

설

03  ⑤

답

[eqn: x=tan` theta LEFT ( - {pi } over {2} < theta < {pi } over {2} RIGHT )]로 놓으면 [eqn: dx= {1} over {cos ^{2} theta } d theta .` {1} over {x ^{2} +1} = {1} over {1+tan ^{2} theta } =cos ^{2} theta]
[eqn: x=0]일 때 [eqn: theta=1], [eqn: x=1]일 때 [eqn: theta= {pi} over {4}]이므로
[eqn: int _{0} ^{1} {{1} over {x ^{2} +1} dx} = int _{0} ^{{pi } over {4}} {cos ^{2} theta · {1} over {cos ^{2} theta } d theta } `# = int _{0} ^{{pi } over {4}} {1d` theta = LEFT [ theta RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} = {pi } over {4}}]

해

설

04  ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x,`g' LEFT ( x RIGHT ) =sin`x]로 놓으면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =1,`g LEFT ( x RIGHT ) =-cos`x]
[eqn: THEREFORE LEFT ( 준식 RIGHT ) = LEFT [ -x`cos`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {3}} - int _{0} ^{{pi } over {3}} {LEFT ( -cos`x RIGHT ) dx}# =- {pi } over {3} · {1} over {2} + LEFT [ sin`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {3}} =- {pi } over {6} + {sqrt {3}} over {2}]

해

설

05  (1)[eqn: e-2]  (2)[eqn: 1]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT ) int _{0} ^{1} {x ^{2} e ^{x} dx= LEFT [ x ^{2} e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1}} - int _{0} ^{1} {2xe ^{x} dx}]

해

설

[eqn: =e-2 LEFT ( LEFT [ xe ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {e ^{x} dx} RIGHT ) `]

[eqn: =e-2 LEFT ( e- LEFT [ e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} RIGHT ) =e-2]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT ) int _{0} ^{{pi } over {2}} {e ^{-x} `sin`x`dx}# = LEFT [ -e ^{-x} cos`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} - int _{0} ^{{pi } over {2}} {e ^{-x} `cos`x`dx}# THEREFORE int _{0} ^{{pi} over {2}} {e ^{-x} LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) dx=1}]

06  ②

답

[eqn: (준식)= lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} {k} over {n ^{2} +k ^{2}} = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {{k} over {n ^{2}}} over {1+ LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2}} `}# = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {{k} over {n}} over {1+ LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2}} · {1} over {n} = int _{0} ^{1} {{x} over {1+x ^{2}} dx} `}]
여기서 [eqn: 1+x ^{2} =t]로 놓으면 [eqn: 2xdx=dt]
또, [eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0,`x=1]일 때 [eqn: t=2]이므로
[eqn: int _{0} ^{1} {{x} over {1+x ^{2}} dx=} int _{1} ^{2} {{1} over {2t} dt} = {1} over {2} LEFT [ ln`t RIGHT ] _{1} ^{2} = {1} over {2} `ln`2]

해

설

07  ④

답

(준식)[eqn: = lim _{k -> 1} {sum _{k=1} ^{n} {1} over {1+ {k} over {n}} · {1} over {n} = int _{0} ^{1} {{1} over {1+x} dx}}]              [eqn: = LEFT [ ln LEFT ( 1+x RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{1} =ln`2]

해

설

08  ①

답

[eqn: (준식)= lim _{n -> INF } {{pi ^{2}} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} =k`cos {k` pi } over {n}}# ~~~~~~= lim _{k -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} {k`pi} over {pi } `cos {k`pi} over {n} · {pi } over {n}][eqn: = int _{0} ^{pi } {x`cos`x`dx= LEFT [ x`sin`x RIGHT ] _{0} ^{pi } - int _{0} ^{pi } {sin`x`dx=-2`}}]

해

설

09  ④

답

[eqn: TRIANGLE rm POA`it _{k}]에서 [eqn: rm {bar{PA}} _{k} ^{2} rm = pi ^{2} +2 ^{2} -# ~~~~~~2·2 pi `cos LEFT ( {pi } over {12} + {k` pi } over {3n} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n}} {bar{rmPA}} _{k} ^{2} it rm it][eqn: = pi ^{2} +4-4 lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {pi } over {n} `cos LEFT ( {pi } over {12} + {k` pi } over {3n} RIGHT )} `# = pi ^{2} +4-12 lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {pi } over {3n} `cos LEFT ( {pi } over {12} + {k` pi } over {3n} RIGHT )} `# = pi ^{2} +4-12 int _{{pi } over {12}} ^{{5 pi } over {12}} {cos`x`dx}# = pi ^{2} +4-12 LEFT ( sin {5x} over {12} -sin {x} over {12} RIGHT )# = pi ^{2} +4-24`cos {pi } over {4} ·sin` {pi } over {6} = pi ^{2} +4-6 sqrt {2} `]

해

설

10  [eqn: {2a ^{2}} over {pi}]

답

[eqn: TRIANGLE rm AOP _{itk} = TRIANGLE rm BOP` it rm _{itk}]이고, [eqn: rm ANGLE AOP it rm _{k} = {k` pi } over {n}]이므로	[eqn: S it rm _{k} =2 TRIANGLE rm AOP it rm _{k} =a ^{2} `sin {k` pi } over {n}]
[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} `S` it rm _{k} =a ^{2} lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1}} `sin` {k` pi } over {n}} it# =a ^{2} lim _{n -> INF } {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} `sin {k` pi } over {n} ```} `` LEFT ( THEREFORE ``sin` pi =0 RIGHT )# =a ^{2} int _{0} ^{1} {sin` pi x`dx=a ^{2} LEFT [ - {1} over {pi } `cos` pi x RIGHT ] _{0} ^{1} = {2a ^{2}} over {pi }}]

해

설

11  ③

답

주어진 등식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +xf' LEFT ( x RIGHT ) =2xe ^{x} +x ^{2} e ^{x} +f LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: THEREFORE f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{x} dx= LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{2} -} int _{} ^{} {e ^{x} dx}# ~~~~~= LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{x} +C]
[eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: C=- {1} over {e}]
[eqn: THEREFORE f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{x} - {1} over {e} ~~ THEREFORE f LEFT ( 0 RIGHT ) =1- {1} over {e}]

해

설

12  ②

답

[eqn: -x ^{2} =t]로 놓으면 [eqn: -2x`dx=dt~~ THEREFORE (준식)=- int _{} ^{} {e ^{t} dt= {e-1} over {e}}]

해

설

13  [eqn: 6]

답

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1,] 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =2e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT )] 다시 미분하면[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) +2e ^{x} f' LEFT ( x RIGHT )] [eqn: thereforef' LEFT ( 0 RIGHT ) =2e ^{0} f LEFT ( 0 RIGHT ) +2e ^{0} f' LEFT ( 0 RIGHT ) =6]

해

설

14  ③

답

[eqn: int _{0} ^{1} {e ^{l} f LEFT ( t RIGHT ) dt=a}] ([eqn: a]는 상수)로 놓으면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+a]
[eqn: int _{0} ^{1} {e ^{l} LEFT ( t+a RIGHT ) dt=a~~~thereforea= {1} over {2-e}}]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+ {1} over {2-e}]이므로 [eqn: f LEFT ( {1} over {e-2} RIGHT ) =0]

해

설

15  ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{cos`x````&eqalign{LEFT ( 0 <= x< {pi } over {4} RIGHT )# }#sin`x&LEFT ( {pi } over {4} <= x <= {pi } over {2} RIGHT )}}# # THEREFORE int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{0} ^{{pi } over {4}} {cos`x`dx+}} int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {sin`x`dx}][eqn: = LEFT [ sin`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} + LEFT [ -cos`x RIGHT ] _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} = sqrt {2}]

해

설

16  [eqn: {pi} over {4}]

답

[eqn: {pi} over {2} -x=t]로 치환하면 [eqn: -dx=dt]
또, [eqn: x=0]일 때, [eqn: t= {pi} over {2} ,`x= {pi} over {2}]일 때, [eqn: t=0]이므로
[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {{sin ^{3} x} over {sin ^{3} x+cos ^{3} x} dx}# = int _{{pi } over {2}} ^{0} {{sin ^{3} LEFT ( {pi } over {2} -t RIGHT )} over {sin ^{3} LEFT ( {pi } over {2} -t RIGHT ) +cos ^{3} LEFT ( {pi } over {2} -t RIGHT )} LEFT ( -dt RIGHT )}][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {{cos ^{3} t} over {cos ^{3} t+sin ^{3} t} dt}]  한편, [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {{sin ^{3} x} over {sin ^{3} x+cos ^{3} x} dx+} int _{0} ^{{pi } over {2}} {{cos ^{3} x} over {cos ^{3} x+`sin ^{3} x} dx}]
[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {1dx= {pi } over {2}}]이므로
[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {{sin ^{3} x} over {sin ^{3} x+cos ^{3} x} dx=} int _{0} ^{{pi } over {2}} {{cos ^{3} x} over {cos ^{3} x+`sin ^{3} x} dx= {pi } over {4}}]

해

설

17  [eqn: {pi} over {4}]ln 3

답

[eqn: int _{0} ^{pi } {xf LEFT ( sin`x RIGHT ) dx=} {pi } over {2} int _{0} ^{pi } {f LEFT ( sin`x RIGHT ) dx}]이므로
[eqn: int _{0} ^{pi } {{x`sin`x} over {3+sin ^{2} `x} dx} = {pi } over {2} int _{0} ^{pi } {eqalign{{sin`x} over {3+sin ^{2} `x} dx# }}# = {pi } over {2} int _{0} ^{pi } {{sin`x} over {4-cos ^{2} `x} dx} `]
[eqn: cos`x=t]로 치환하면 [eqn: -sin`x`dx=dt]이고, [eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=pi]일 때 [eqn: t=-1]이므로
[eqn: {pi } over {2} int _{0} ^{pi } {{sin`x} over {4-cos ^{2} `x} dx} = {pi } over {2} int _{-1} ^{1} {eqalign{{1} over {4-t ^{2}} dt# }}# = {pi } over {8} int _{-1} ^{1} {LEFT ( {1} over {t+2} - {1} over {t-2} RIGHT ) dt} `# # = {pi } over {8} LEFT [ ln LEFT | t+2 RIGHT | pile{#} -ln LEFT | t-2 RIGHT | RIGHT ] _{-1} ^{1} = {pi } over {4} `ln`3]

해

설

18  ②

답

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n} rm {bar{A it rm _{n} rm B it rm _{n} rm}} = it int _{0} ^{1} {e ^{y}} `dy= LEFT [ e ^{y} pile{#} RIGHT ] _{0} ^{1} =e-1]

해

설

19  ④

답

(주어진 식)[eqn: = int _{0} ^{1} {{x ^{3} -1} over {x-1} dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +1 RIGHT ] dx][eqn: = {11} over {6}]

해

설

20   ④

답

[eqn: int _{-1} ^{0} {LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) dx+ int _{0} ^{2} {LEFT ( -x ^{2} +2x RIGHT ) dx}}# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+ int _{2} ^{3} {LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+ LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} RIGHT ] _{2} ^{3}]
[eqn: =4]

해

설

21  ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2n-1} +x]라고 하면 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =-f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 기함수 이다.
[eqn: therefore int _{-a} ^{a} {LEFT ( x ^{2n-1} +x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{-a} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =0]

해

설

22  ②

답

㉠의 양변에 [eqn: x][eqn: =1]을 대입하면 [eqn: 0][eqn: =2a+4]
[eqn: thereforea][eqn: =-2]
[eqn: therefore㉠]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x+2a][eqn: =6x-4]
[eqn: thereforef LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]

해

설

23  ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +kx+1]([eqn: k]는 상수)로 놓으면
[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} + {k} over {2} t ^{2} +t RIGHT ] _{0} ^{2}][eqn: =2k+ {14} over {3}][eqn: =k]
에서 [eqn: k][eqn: =- {14} over {3}]    [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} - {14} over {3} x+1]
[eqn: thereforef LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =-4]

해

설

24  ③

답

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )][eqn: =t ^{3} +3t ^{2} +2], [eqn: F' LEFT ( t RIGHT )][eqn: =f LEFT ( t RIGHT )]라고 하면
(주어진 식)[eqn: = lim _{x-> 1} {{F LEFT ( x RIGHT ) -F LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =F' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: =1 ^{3} +3 ^{2} `times1 ^{2} +2][eqn: =6]

해

설

25   ④

답

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) ^{2} dx`} + int _{0} ^{2} {LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) ^{2} dx}]
[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT { LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT ) ^{2} RIGHT } dx}]
[eqn: = int _{0} ^{2} {2dx}][eqn: = LEFT [ 2x RIGHT ] _{0} ^{2}][eqn: =4]

해

설

26  ⑤

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x+4 RIGHT )]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 주기가 [eqn: 4]인 주기함수이다. 이때, 한 주기의 정적분의 값은 같으므로
[eqn: int _{0} ^{8} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{-2} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{-2} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{2} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}][eqn: =5+5][eqn: =10]

해

설

27   ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x ^{3} +9 LEFT ( x-2 RIGHT ) int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]에서    [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =k]([eqn: k]는 상수)로 놓으면          [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x ^{3} +k LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: =4x ^{3} +kx-2k]
[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =k][eqn: = {2} over {5}]

해

설

28  ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수가 되어야 하므로           [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax+b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)로 놓으면
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt+x ^{2} +2x-2}]에서
[eqn: a LEFT ( ax+b RIGHT ) +b= int _{0} ^{x} {LEFT ( at+b RIGHT ) dt+x ^{2} +2x} -2][eqn: = {a} over {2} x ^{2} +bx+x ^{2} +2x-2]
[eqn: a ^{2} x+ab+b][eqn: = LEFT ( {a} over {2} +1 RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( b+2 RIGHT ) x-2]
위의 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로     [eqn: {a} over {2} +1=0], [eqn: a ^{2}][eqn: =b+2], [eqn: ab+b][eqn: =-2]         [eqn: thereforea][eqn: =-2], [eqn: b][eqn: =2]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-2x+2]이므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =4]

해

설

29  ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x ^{2} + LEFT ( x-2 RIGHT ) int _{0} ^{2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]에서 [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =k]([eqn: k]는 상수)로 놓으면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x ^{3} +k LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: =4x ^{2} +kx-2k]
[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( 4t ^{3} +kt-2k RIGHT ) dt}][eqn: =k]에서 [eqn: LEFT [ t ^{4} + {1} over {2} kt ^{2} -2kt RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: =1- {3} over {2} k][eqn: =k], [eqn: k][eqn: = {2} over {5}]
[eqn: therefore int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =k][eqn: == {2} over {5}]

해

설

30  ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수가 되어야 하므로           [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax+b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)로 놓으면
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt+x ^{2} +2x-2}]에서
[eqn: a LEFT ( ax+b RIGHT ) +b][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT ( at+b RIGHT ) dt} +x ^{2} +2x-2]                  [eqn: = {a} over {2} x ^{2} +bx+x ^{2} +2x-2]
[eqn: a ^{2} x+ab+b][eqn: = LEFT ( {a} over {2} +1 RIGHT ) x ^{+2} LEFT ( b+2 RIGHT ) x-2]
위의 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: {a} over {2} +1][eqn: =0],  [eqn: a ^{2}][eqn: =b+2], [eqn: ab+b][eqn: =-2]  [eqn: thereforea][eqn: =-2], [eqn: b][eqn: =2]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-2x+2]이므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =4]

해

설

31   ②

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {d} over {dx} int _{-2} ^{x} {LEFT ( t ^{2} +t-2 RIGHT ) dt}][eqn: =x ^{2} +x-2]           [eqn: = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )][eqn: =0]에서                       [eqn: x][eqn: =-2] 또는 [eqn: x][eqn: =1]
[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )]	[eqn: x][eqn: =-2]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값을 가지므로         [eqn: alpha][eqn: =f LEFT ( -2 RIGHT )][eqn: = int _{-2} ^{-2} {LEFT ( t ^{2} +t-2 RIGHT )} dt][eqn: =0]
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )][eqn: x=1]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극솟값을 가지므로 [eqn: beta]         [eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{-2} ^{1} {LEFT ( t ^{2} +t-2 RIGHT ) dt}]                     [eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{-2} ^{1}][eqn: =- {9} over {2}]

해

설

32  ⑤

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {d} over {dx} int _{x} ^{x+2} {LEFT ( t+ {3} over {t} RIGHT ) dt}][eqn: =x+2+ {3} over {x+2} - LEFT ( x+ {3} over {x} RIGHT )][eqn: = {2 LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )} over {x LEFT ( x+2 RIGHT )}]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =1] [eqn: LEFT ( BECAUSE `x>0 RIGHT )]
따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 극소이면서 최소이므로 구하는 최솟값은
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT ( t+ {3} over {t} dt RIGHT )}][eqn: = LEFT [ {1} over {2} t ^{2} +3`ln LEFT | t RIGHT | RIGHT ] _{1} ^{3}]            [eqn: = {9} over {2} +3``ln`3- {1} over {2}][eqn: =4+3`ln`3]

해

설

33   ③

답

[eqn: x int _{a} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} - int _{a} ^{x} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =e ^{x} -x-1]에서 양볒을 [eqn: x]에 대하여 미분하면       [eqn: 1· int _{a} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt+xf LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =e ^{x} -1], [eqn: int _{a} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt=e ^{x} -1} ~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
㉠의 양변에 [eqn: x][eqn: =a]를 대입하면 [eqn: int _{a} ^{a} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =e ^{a} -1], [eqn: 0][eqn: =e ^{a} -1]     [eqn: THEREFORE][eqn: a][eqn: =0]
㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}]      [eqn: thereforef LEFT ( a+1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =e]

해

설

34  [eqn: pi]

답

[eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =a`sin`x-b`cos`x]의 양변에 [eqn: x][eqn: =0]을 대입하면 [eqn: 0][eqn: =0-b]   [eqn: thereforeb][eqn: =0]
[eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =a`sin`x`]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a`cos`x]
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =a`cos`0][eqn: =pi]에서 [eqn: a][eqn: =pi]
[eqn: thereforea+b][eqn: =pi+0][eqn: =pi]

해

설

35  ⑤

답

(주어진 식)[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( 1+3x RIGHT ) ^{2} x`dx}]
[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( x+6x ^{2} +9x RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} +2x ^{3} + {9} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {19} over {4}]

해

설

36  ①

답

[eqn: x ^{2} +2x+3][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) dx][eqn: = {1} over {2} dt]
[eqn: THEREFORE int _{-1} ^{1} {LEFT ( x+1 RIGHT )} LEFT ( x ^{2} +2x+3 RIGHT ) ^{2} dx]
[eqn: = int _{2} ^{6} {{t ^{2}} over {2} dt}][eqn: = {104} over {3}]

해

설

37  ①

답

[eqn: 2-x][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: dx][eqn: =-dt]
[eqn: therefore int _{0} ^{1} {{1} over {LEFT ( 2-x RIGHT ) ^{3}} dx}][eqn: = int _{2} ^{1} {{1} over {t ^{3}} LEFT ( -dt RIGHT )}][eqn: = int _{2} ^{1} {LEFT ( -t ^{-3} RIGHT ) dt}][eqn: = {1} over {2} LEFT [ t ^{-2} RIGHT ] _{2} ^{1}][eqn: = {3} over {8}]

해

설

38   ②

답

[eqn: x][eqn: =3`sin`theta LEFT ( - {pi} over {2} LEQ theta LEQ {pi} over {2} RIGHT )]로 놓으면
[eqn: dx][eqn: =3`cos`` theta `d`theta]
[eqn: therefore int _{0} ^{3} {sqrt {9-x ^{2}} dx}][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {9`cos ^{2} theta `d theta }]
[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {9`· {1+cos`2 theta } over {2} d theta }][eqn: = {9} over {2} LEFT [ theta + {1} over {2} `sin`2 theta RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}][eqn: = {9} over {4} pi]

해

설

39  ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{-x}], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =sin`x]로 놓으면
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-e ^{-x}], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =-cos`x]이므로
[eqn: int _{- {pi} over {2}} ^{{pi} over {2}} {e ^{-x} `sin`x`dx}][eqn: = LEFT [ -e ^{-x} cos`x RIGHT ] _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} - int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {{} ^{-x}} cos`x`dx]
[eqn: =- int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {e ^{-x}} cos`x`dx][eqn: THEREFORE int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {e ^{-x} LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) dx} `][eqn: =0]

해

설

40  ③

답

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{2} dx}][eqn: = LEFT [ x+x ^{2} + {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{3}][eqn: =21]

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) ^{2} {3} over {n}}][eqn: = int _{0} ^{1} {3 LEFT ( 1+3x RIGHT ) ^{2} dx}]
[eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{2} dx}][eqn: =21]
ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{3n} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} {1} over {n}}][eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{2} dx}][eqn: =21]
따라서 주어진 정적분과 같은 값을 갖는 것은ㄴ, ㄷ이다.

해

설

41  ③

답

[eqn: ln`x][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: {1} over {x} dx][eqn: =dt]이고  [eqn: x][eqn: =e ^{-1}]일 때[eqn: t][eqn: =-1], [eqn: x=e ^{2}]일 때[eqn: t][eqn: =2]이므로
[eqn: int _{e ^{-1}} ^{e ^{2}} {{4 LEFT ( ln`x RIGHT )} over {x} dx}][eqn: = int _{-1} ^{2} {4t ^{3} dt}][eqn: = LEFT [ t ^{4} RIGHT ] _{-1} ^{2}][eqn: =15]

해

설

42   ②

답

[eqn: ln`x+1][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: {1} over {x} dx][eqn: =dt]이고 [eqn: x][eqn: =1]일 때 [eqn: t][eqn: =1], [eqn: x][eqn: =e]일 때 [eqn: t][eqn: =2]이므로 [eqn: int _{1} ^{2} {{ln`x} over {x LEFT ( ln`x+1 RIGHT ) ^{2}}} dx][eqn: = int _{1} ^{2} {{t-1} over {t ^{2}} dt}][eqn: = int _{1} ^{2} {LEFT ( {1} over {t} - {1} over {t ^{2}} RIGHT ) dt}][eqn: LEFT [ ln` LEFT | t RIGHT | + {1} over {t} RIGHT ] _{1} ^{2}][eqn: =ln`2- {1} over {2}]

해

설

43  ③

답

[eqn: sqrt {2x-x ^{2}}][eqn: = sqrt {1- LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{2}}]에서 [eqn: 1-x][eqn: =sin`theta LEFT ( - {pi} over {2} LEQ theta LEQ {pi} over {2} RIGHT )]로 놓으면 [eqn: dx][eqn: -cos` theta `d theta] [eqn: x][eqn: =0]일 때 [eqn: theta][eqn: = {pi} over {2}]이고 [eqn: x][eqn: =1]일 때 [eqn: theta][eqn: =0]이므로
[eqn: 4 int _{0} ^{1} {sqrt {2x-x ^{2}} dx}]                                      [eqn: =4 int _{{pi } over {2}} ^{0} {sqrt {1-sin` ^{2} theta } LEFT ( -cos` theta RIGHT ) d theta }]
[eqn: =4][eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {{1+cos`2 theta } over {2} d theta }]                         [eqn: =2 LEFT [ theta + {1} over {2} `sin`2 theta RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}][eqn: =pi]]

해

설

44   ①

답

[eqn: int _{0} ^{{pi} over {2}} {x ^{2} `sin`x`dx}][eqn: = LEFT [ -x ^{2} `cos`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} + int _{0} ^{{pi } over {2}} {2x`cos`x`dx}][eqn: =0+ int _{0} ^{{pi} over {2}} {2x`cos`x`dx}][eqn: =2 int _{0} ^{{pi} over {2}} {x`cos`x`dx}]
[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {x`cos`x`dx}][eqn: = LEFT [ x`sin`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} - int _{0} ^{{pi } over {2}} {x`sin`x`dx}]
[eqn: = {pi} over {2} + LEFT [ cos`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}][eqn: = {pi} over {2} -1]
[eqn: therefore int _{0} ^{{pi } over {2}} {x ^{2} `sin`x`dx`}][eqn: =2 int _{0} ^{{pi } over {2}} {x`cos`x`dx}][eqn: =2times LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )][eqn: =pi-2]

해

설

45   ④

답

(주어진 식)
[eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {n} `ln LEFT ( {n+1} over {n} TIMES {n+2} over {n} TIMES {n+3} over {n} TIMES CDOTS TIMES {n+1} over {n} RIGHT )}][eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {n} `ln LEFT { eqalign{LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) TIMES LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) TIMES LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) TIMES # ~ CDOTS TIMES LEFT ( 1+ {n} over {n} RIGHT )} RIGHT }}][eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {n} `ln LEFT { eqalign{ln LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) TIMES ln LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) TIMES ln LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) TIMES # ~ CDOTS TIMES ln LEFT ( 1+ {n} over {n} RIGHT )} RIGHT }}][eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} `ln LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) = int _{0} ^{1} {ln LEFT ( 1+x RIGHT ) dx}}][eqn: = LEFT [ x`ln LEFT ( 1+x RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {{x} over {1+x} dx}]
[eqn: =ln2- int _{0} ^{1} {LEFT ( 1- {x} over {1+x} RIGHT ) dx}][eqn: =ln`2- LEFT [ x-ln LEFT ( 1+x RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: =2`ln`2-1]

해

설

46   ③

답

[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )] [eqn: 0 LEQ x<]일 때,  [eqn: lim _{n -> INF } {{3x ^{n+2} -2x ^{n} +1} over {x ^{n} +1}}][eqn: =1][eqn: LEFT ( rmii RIGHT )] [eqn: 1<0 LEQ 2]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{3x ^{n+2} -2x ^{n} +1} over {x ^{n} +1}}][eqn: =3x ^{2} -2]
[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )], [eqn: LEFT ( rmii RIGHT )]에 의하여 [eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( lim _{n-> INF } {{3x ^{n+2} -2x ^{n} +1} over {x ^{n} +1}} RIGHT ) dx}]  [eqn: = int _{0} ^{1} {1`dx+ int _{1} ^{2} {LEFT ( 3x ^{2} -2 RIGHT ) dx}}] [eqn: = LEFT [ x RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ x ^{3} -2x RIGHT ] _{1} ^{2}][eqn: =6]

해

설

47  [eqn: {1} over {2} LEFT ( e ^{e ^{2}} -e RIGHT )]

답

[eqn: x ^{2}][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: 2xdx][eqn: =dt]이고 [eqn: x][eqn: =1]일 때 [eqn: t][eqn: =1], [eqn: x][eqn: =2]일 때 [eqn: t][eqn: =e ^{2}]이므로
[eqn: int _{1} ^{e} {xe ^{x ^{2}} dx}][eqn: = {1} over {2} int _{1} ^{e} {e ^{x ^{2}} 2x`dx}][eqn: = {1} over {2} int _{1} ^{e ^{2}} {e ^{t} dt}][eqn: = LEFT [ {1} over {2} e ^{t} RIGHT ] _{1} ^{e ^{2}}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( e ^{e ^{2}} -e RIGHT )]

해

설

48   ⑤

답

[eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =e ^{-x} f LEFT ( x RIGHT )]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: rm g prime LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =-e ^{-x} f LEFT ( x RIGHT ) +e ^{-x} f prime LEFT ( x RIGHT ) ~ CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) -e ^{x} `cos`x]를 ㉠에 대입하면       [eqn: rm g prime LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =-cos`x]에서 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( -cos RIGHT ) dx}][eqn: =-sin`x+C]
한편, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =e]이므로 [eqn: rm g LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =e ^{-x} f LEFT ( x RIGHT )]의 양변에 [eqn: x][eqn: =0]을 대입하면 [eqn: rm g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =e]     [eqn: thereforeC][eqn: =e]
따라서 [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =-sin`x+e]이므로 [eqn: rm g LEFT ( pi RIGHT ) + rm g LEFT ( 2 pi RIGHT ) + CDOTS + rm g LEFT ( 10 pi RIGHT )][eqn: =10e]

해

설

49  ①

답

[eqn: f LEFT ( n RIGHT )][eqn: = LEFT [ {x ^{2}} over {2} + {x ^{2}} over {2·3} + {x ^{2}} over {3·4} +cdots+ {x ^{n+1}} over {n LEFT ( +1 RIGHT )} RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: = {1} over {2} + {1} over {2·3} + {1} over {3·4} +cdots+ {1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}]
[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) +# ~~~ CDOTS + LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )]
[eqn: =1- {1} over {n+1}][eqn: = {n} over {n+1}]   [eqn: therefore lim _{n-> INF } {f LEFT ( n RIGHT )}][eqn: =1]

해

설

50  ③

답

[eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt-} int _{0} ^{x} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: rmg' LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]
다시 위의 식을 [eqn: x]에 대하여 미분하면       [eqn: rm g prime LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]
한편, [eqn: rm g LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = {1} over {e ^{x}}]이므로 [eqn: rmg' LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =- {1} over {e ^{x}}],      [eqn: rmg' LEFT ( itx RIGHT )][eqn: = {1} over {e ^{x}}]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {e ^{x}}]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {1} over {e}]

해

설

51   ①

답

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )][eqn: =e ^{2t} +3ln`t-cos` {pi} over {2} t], [eqn: F' LEFT ( t RIGHT )][eqn: =f LEFT ( t RIGHT )]라고 하면
(주어진 식)[eqn: = lim _{x-> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x ^{2}} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt}}][eqn: = lim _{x-> 1} {LEFT { {F LEFT ( x ^{2} RIGHT ) -F LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} · LEFT ( x+1 RIGHT ) RIGHT }}]          [eqn: =2F' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2e ^{2}]
① [eqn: int _{0} ^{e} {4x`dx}][eqn: = LEFT [ 2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{e}][eqn: =2e ^{2}]
② [eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {{4} over {x} dx}][eqn: = LEFT [ 4`ln`x RIGHT ] _{1} ^{e ^{2}}][eqn: =8]
③ [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {{sin`x} over {2} dx}][eqn: = LEFT [ - {1} over {2} `cos`x RIGHT ] _{0} ^{{pi} over {2}}][eqn: = {1} over {2}]
④ [eqn: int _{0} ^{1} {3e ^{x-1} dx}][eqn: = LEFT [ 3e ^{x-1} RIGHT ] _{0} ^{1}] [eqn: =3 LEFT ( 1- {1} over {e} RIGHT )]
⑤ [eqn: int _{1} ^{e} {ln`x`dx}][eqn: = LEFT [ x`ln`x RIGHT ] _{1} ^{e} - int _{1} ^{e} {1`dx}][eqn: =e- LEFT [ x RIGHT ] _{1} ^{e}]                 [eqn: =e-e+1][eqn: =1]
따라서 주어진 식의 값과 일치하는 것은 ①이다.

해

설

52   ⑤

답

[eqn: int _{-2} ^{2} {LEFT | x RIGHT | e ^{x} `dx}][eqn: = int _{-2} ^{0} {LEFT ( -xe ^{x} RIGHT ) dx+ int _{0} ^{2} {xe ^{x} dx}}]  이고, [eqn: int _{} ^{} {xe ^{x} dx}][eqn: =xe ^{x} - int _{} ^{} {e ^{x} dx}][eqn: =xe ^{x} -e ^{x}]   이므로	[eqn: int _{-2} ^{2} {LEFT | x RIGHT | e ^{x} `dx}][eqn: =- LEFT [ xe ^{x} -e ^{x} RIGHT ] _{-2} ^{0} + LEFT [ xe ^{x} -e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{2}]               [eqn: =- LEFT ( -1+3e ^{-2} RIGHT ) + LEFT ( e ^{2} +1 RIGHT )]                     [eqn: =e ^{2} - {3} over {e ^{2}} +2]

해

설

53   ⑤

답

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( x+1 RIGHT ) f} LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = int _{-1} ^{1} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]
[eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]
[eqn: int _{-1} ^{1} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{-1} ^{1} {rmg LEFT ( itx RIGHT ) dx}][eqn: =0]
[eqn: therefore int _{-1} ^{1} {LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =0+2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =8]

해

설

54   ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT { f' LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2} dt}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT { f' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}], [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f' LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT }][eqn: =0]
[eqn: thereforef' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0] 또는 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1]
그런데 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 상수함수가 아니므로 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1]
[eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT { f' LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2} dt}][eqn: = int _{0} ^{x} {1dt}][eqn: =x]
[eqn: thereforef LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]

해

설

55   ①

답

[eqn: int _{1} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =x int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} - int _{1} ^{x} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =x ^{3} -4x ^{2} +2x+3]
위의 식을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: 1· int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt+xf LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =3x ^{2} -8x+2]
[eqn: therefore int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: =3x ^{2} -8x+2]
양변을 다시 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x-8]
[eqn: THEREFORE f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 12-8][eqn: =4]

해

설

56   ②

답

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {n}} LEFT ( eqalign{{1} over {sqrt {n+1}} + {1} over {sqrt {n+2}} + {1} over {sqrt {n+3}} +# ```` CDOTS {1} over {sqrt {n+n}}} RIGHT )}]
[eqn: = lim _{n-> INF } {{1} over {n} sum _{k=1`} ^{n} {1} over {sqrt {1+ {k} over {m}}}}][eqn: = int _{0} ^{1} {{1} over {sqrt {1+x`}} dx}][eqn: = LEFT [ 2 sqrt {1+x} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: =2 sqrt {2} -2]

해

설

57  [eqn: pi]

답

[eqn: int _{0} ^{pi} {LEFT ( sin`x+sin`2x RIGHT ) ^{2} dx}]
[eqn: = int _{0} ^{pi } {LEFT ( sin ^{2} `x+2`sin`x`sin`2x+sin ^{2} 2x RIGHT ) dx}]
[eqn: = int _{0} ^{pi } {sin ^{2} `x`dx+ int _{0} ^{pi } {eqalign{2`sin`x`sin`2x`dx# `}}}# ~~~~~~+ int _{0} ^{pi } {sin ^{2} 2x`dx}]
[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )] [eqn: int _{0} ^{pi } {sin ^{2} x`dx}][eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{pi} {LEFT ( 1-cos`2x RIGHT ) dx}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT [ x- {1} over {2} `sin`2x RIGHT ] _{0} ^{pi }][eqn: = {pi } over {2}]
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )] [eqn: int _{0} ^{pi } {2`sin`x`sin`2xdx}]
[eqn: =- int _{0} ^{pi } {LEFT ( cos`3x-cos`x RIGHT ) dx}]
[eqn: =- LEFT [ {sin`3x} over {3} -sin`x RIGHT ] _{0} ^{pi}][eqn: =0]
[eqn: LEFT ( rm iii RIGHT )] [eqn: int _{0} ^{pi } {sin ^{2} `2xdx}][eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{pi} {LEFT ( 1-cos`4x RIGHT ) dx}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT [ x- {1} over {4} `sin`4x RIGHT ] _{0} ^{pi}][eqn: = {pi} over {2}]
[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )], [eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )], [eqn: LEFT ( rm iii RIGHT )]에서 [eqn: int _{0} ^{pi} {LEFT ( sin`x+sin`2x RIGHT ) ^{2} dx}][eqn: = {pi} over {2} +0+ {pi} over {2}][eqn: pi]

해

설