미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		2. 도함수의 활용			반 / 번호
	01 접선의 방정식					이름
		ㅉ

01 곡선[eqn: y= {ln`x} over {x}]에 접하며 원점을 지나는 직선이 점 [eqn: LEFT ( a,` {1} over {2} RIGHT )]을 지날 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: {e} over {2}]         ③ [eqn: 2]
④ [eqn: e]        ⑤ [eqn: 2e]

02 원점 [eqn: LEFT ( 0,`0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=ln`x]에 그은 접선의 방정식을 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]라고 할 때, [eqn: f LEFT ( e RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

03 원점에서 곡선[eqn: y= {e ^{x}} over {x}]에 그은 접선의 접점의 [eqn: x]좌표를 구하시오.

04 곡선 [eqn: y=e ^{x}]의 접선 중에서 기울기가 1인 접선의 방정식을 구하시오.

05 곡선 [eqn: y=e ^{x}]위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( 1,`e RIGHT )]에서의 접선의 방정식은?

① [eqn: y=ex]        ② [eqn: y=x-e]   ③ [eqn: y=x+e]
④ [eqn: y=e LEFT ( x-1 RIGHT )]  ⑤ [eqn: y=e LEFT ( x+1 RIGHT )]

06 원점에서 곡선 [eqn: y=e ^{x-k}]에 그은 접선이 점[eqn: LEFT ( 2,`4 RIGHT )]를 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -ln`2]     ② [eqn: -1]    ③ [eqn: 1-ln`2]
④ [eqn: ln`2]        ⑤ [eqn: 1]

07 점[eqn: rm P it LEFT ( a,`0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=xe ^{x}]에 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 다음 중 [eqn: a]의 값이 있는 것은?

① [eqn: -3]      ② [eqn: -2]     ③ [eqn: -1]
④ [eqn: 0]         ⑤ [eqn: 1]

08 두 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} -2x+2], [eqn: y][eqn: =-x ^{2} +sx+b]의 교점 [eqn: rmP]에서 두 곡선에 각각 그은 접선이 서로 수직일 때, 점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]가 그리는 직선의 기울기는?

① [eqn: -2]         ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 1]
④ [eqn: {3} over {2}]          ⑤ [eqn: 2]

09 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -4x+3]에 대하여 닫힌 구간[eqn: LEFT [ 1,~3 RIGHT ]]에서 롤의 정리를 만족하는 상수 [eqn: c]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

10 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{3} -2x]의 접선 중 기우기가 [eqn: 1]인 두 직선 사이의 거리는?

① [eqn: sqrt {2}]        ② [eqn: 2 sqrt {2}]      ③ [eqn: 3 sqrt {2}]
④ [eqn: 4 sqrt {2}]       ⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]

11 미분가능한 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )] 위의 한 점 [eqn: rm P LEFT ( 2,`~1 RIGHT )]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y][eqn: =3x-5]이다. 이때, [eqn: lim _{n-> INF } {{n} over {2} LEFT { f LEFT ( 2+ {1} over {3n} RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT }}]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]         ② [eqn: {1} over {4}]        ③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {1} over {2}]         ⑤ [eqn: 1]

12 두 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln`x,`rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =ax+ {b} over {x}]가 점 [eqn: LEFT ( e ^{2} ,~2 RIGHT )]에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]         ② [eqn: {1} over {4}]        ③ [eqn: {2} over {3}]
④ [eqn: {3} over {4}]          ⑤ [eqn: {3} over {2}]

13 함수 [eqn: y][eqn: =x ^{3}] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( a,~a ^{3} RIGHT )]에서 접선을 그었을 때, [eqn: x]축, [eqn: y]축고 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ,] [eqn: rmR]라고 하면 [eqn: rmbarPQ][eqn: =alpha], [eqn: rmbarQR][eqn: =beta]이다. 이때, 두 상수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: {beta} over {alpha}]의 값을 구하여라.(단, [eqn: a>0])

14 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y][eqn: =xe ^{2x}]에 그은 두 접선의 기울기를 [eqn: m _{1} ,~m _{2}]라고 할 때, [eqn: m _{1} m _{2}]의 값은?

① [eqn: {1} over {e}]         ② [eqn: e]         ③ [eqn: e ^{2}]
④ [eqn: e ^{3}]         ⑤ [eqn: e ^{4}]

15 함수 [eqn: y][eqn: = {x+a} over {2x+1}]의 그래프 위의 [eqn: x][eqn: =1]인 점에서 의 접선의 기울기가 [eqn: 1]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -5]         ② [eqn: -4]        ③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]         ⑤ [eqn: -1]

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		2. 도함수의 활용			반 / 번호
	02 함수의 그래프					이름
		ㅉ

01 개구간[eqn: LEFT ( 0,`2pi RIGHT )]에서 함수 [eqn: y=x+3`sin`x]의 변곡점의 좌표를 구하시오.

02 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+a`cos`x LEFT ( a>1 RIGHT )]가 [eqn: 0<x<2pi]
에서 극솟값 1을 갖도록 상수 [eqn: a]의 값을 정할 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은?

① [eqn: {pi} over {2}]         ② [eqn: pi-1]         ③ [eqn: pi]
④ [eqn: pi+1]       ⑤ [eqn: 2pi]

03 함수 [eqn: y= {x-1} over {x ^{2} +3}]의 극댓값과 극솟값의 합은?

① [eqn: -1]         ② [eqn: - {1} over {2}]         ③ [eqn: - {1} over {3}]
④ [eqn: {1} over {3}]          ⑤ [eqn: {1} over {2}]

04 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{-x} LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) LEFT ( x>0 RIGHT )]가 [eqn: x=0]일 때, 극댓값을 갖는다. [eqn: a]의 값이 작은 것부터 극댓값을 나열하여 [eqn: a _{1,} `a _{2,} `a _{3,} `a _{4} ,`cdots,`a _{n,} `cdots]이라고 할 때, [eqn: ln`a _{99} -ln`a _{100}]의 값은?

① [eqn: {pi} over {2}]           ② [eqn: pi]         ③ [eqn: {3} over {2} pi]
④ [eqn: 2pi]          ⑤ [eqn: {5} over {2pi}]

05 임의의 실수 [eqn: a,`b,`c]에 대하여 [eqn: 0<a<b<c<pi]일 때, 보기 중 [eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} > {f LEFT ( c RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )} over {c-b}]를 만족하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.``f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x]

[eqn: ㄴ`.`f LEFT ( x RIGHT ) =x+cos`x]

[eqn: ㄷ`.`f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x}]

① ㄱ          ② ㄴ         ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ      ⑤ ㄱ, ㄷ

06 임의의 실수[eqn: a,`b,`c]에 대하여 [eqn: 0<a<b<c< {pi} over {2}]일 때, 보기 중[eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} < {f LEFT ( c RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )} over {c-b}]를 만족하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.``f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x]

[eqn: ㄴ`.`f LEFT ( x RIGHT ) =cos`x]

[eqn: ㄷ`.`f LEFT ( x RIGHT ) =tan`x]

① ㄱ          ② ㄴ         ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ      ⑤ ㄱ, ㄷ

07 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 위로 볼록인 구간에 속하는 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: a]          ② [eqn: b]         ③ [eqn: c]
④ [eqn: d]          ⑤ [eqn: e]

08 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x}]어떤 배양액 속에서 번식하고 있는 짚신벌레가 있따. 시각 [eqn: t]에서 짚신벌레의 수를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라고 할 때, [eqn: y=f LEFT ( t RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같다. 다음 중 짚신벌레의 수의 증가율이 감소하는 시각은?

① [eqn: a]           ② [eqn: b]         ③ [eqn: c]
④ [eqn: d]          ⑤ [eqn: e]

09 다음 그림은 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프이다. 다음 중 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 접선의 기울기가 증가하는 구간은?

① [eqn: x<b]       ② [eqn: a<x<b]   ③ [eqn: x< {a+b} over {2}]
④ [eqn: x> {a+b} over {2}]  ⑤ [eqn: x<a]

10 함수[eqn: y= {-3c+4} over {x ^{2} +1}]에서 증가하는 구간이 아닌 것은?

① [eqn: LEFT [ -5,`-3 RIGHT ]]   ② [eqn: LEFT [ -1,`- {1} over {3} RIGHT ]]  ③ [eqn: LEFT [ - {1} over {3} ,`2 RIGHT ]]
④ [eqn: LEFT [ 3,` {11} over {2} ` RIGHT ]]     ⑤ [eqn: LEFT [ 6,`10 RIGHT ]]

11 함수[eqn: y=x`ln`x-x]는 [eqn: x=a]에서 극솟값 [eqn: b]를 갖는다. 이때, [eqn: a-b]의 값을 구하시오.

12 곡선[eqn: y=2x ^{6} -5x ^{4} +3]의 변곡점의 [eqn: x]좌표를 모두 나열한 것은?

① [eqn: -1,`1]    ② [eqn: -1,`0,`1]   ③ [eqn: 0,`1]
④ [eqn: 0,`2]       ⑤ [eqn: 0,`1,`2]

13 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a`sin`x+b`cos`x+x]가  [eqn: x= {pi} over {3}]와 [eqn: x=pi]에서 극값을 가질 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =ax+b-ln`x]의 극솟값은?

① [eqn: -1+ sqrt {2}]        ② [eqn: -1+ sqrt {3}]

③ [eqn: -1+ sqrt {5}]        ④ [eqn: 1+ sqrt {2}]
⑤ [eqn: 1+ sqrt {3}]

14 곡선[eqn: y=x ^{2} +a`sin`x`]가 변곡점을 갖지 않을 때, 정수 [eqn: a]의 개수를 구하시오.

15 어떤 제품의 생산량이 [eqn: x]일 때 생산비를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]라고 하자. 이때, [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {x}]를 평균생산비라 하고, [eqn: rmAC]로 나타낸다. 또, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 미분가능하면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]를 생산량이 [eqn: x]일 때의 한계생산비라 하고, [eqn: rmMC]로 나타낸다. 평균생산비 [eqn: rm AC`it= {f LEFT ( x RIGHT )} over {x}]의 그래프가 다음 그림과 같고 [eqn: x=q]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: x=q] 근방에서 한계생산비 [eqn: rm MC` it =f prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은?

16 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 극값 [eqn: e]를 갖는다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) e ^{x}]이라고 할 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

[eqn: ㄱ.``f LEFT ( 0 RIGHT ) >1+f' LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: ㄴ`.` lim _{h-> 0} {` {g LEFT ( 2h RIGHT ) -e} over {h} = {2} over {e}}]

[eqn: ㄷ`.] 곡선[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,`g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선은 점 [eqn: LEFT ( -1,`0 RIGHT )]을 지난다.

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ         ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {sin`x} over {1+sin`x} LEFT ( - {pi} over {2} <x< {3} over {2} pi RIGHT )]에 대하여 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.``- {pi} over {2} <x< {pi} over {2}]일 때 감소하고, [eqn: {pi} over {2} <x< {3} over {2} pi]일 때 증가한다.

[eqn: ㄴ`.`- {pi} over {2} <x< {3} over {2} pi]에서 위로 볼록하다.

[eqn: ㄷ`.] 점근선의 방정식은 [eqn: x=- {pi} over {2} ,`x= {3} over {2} pi]이다.

① ㄴ          ② ㄱ, ㄴ         ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18 다음 함수의 주어진 구간에서 최댓값과 최솟값을 구하시오.
(1) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x+ {1} over {x ^{2}} LEFT ( 0,` INF RIGHT )]
(2)[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} `cos`x` LEFT [ 0,`pi RIGHT ]]

19 반지름의 길이가 [eqn: a]인 원에 내접하는 꼭지각의 크기가 [eqn: theta]인 이등변삼각형의 넓이를 [eqn: rmS]라고 하자. [eqn: rmS]가 최대일 때, [eqn: theta]의 값은?

① [eqn: {pi} over {6}]        ② [eqn: {pi } over {4}]      ③ [eqn: {pi } over {3}]
④ [eqn: {pi } over {2}]         ⑤ [eqn: {5} over {6} pi]

20 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`ln`x+2x]의 최솟값은?

① [eqn: - {1} over {e}]        ② [eqn: {2} over {e}]      ③ [eqn: -e ^{- {3} over {2}}]
④ [eqn: {3} over {2} e ^{- {3} over {2}}]       ⑤ [eqn: -e ^{-3}]

21 좌표평면에서 두 곡선 [eqn: y=e ^{x} ,`y=e ^{-x}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 내접하고, 한 변이 [eqn: x]축 위에 있는 직사각형의 최대 넓이는?

① [eqn: {1} over {e}]        ② [eqn: {2} over {e}]      ③ [eqn: e ^{- {3} over {2}}]
④ [eqn: {3} over {2} e ^{- {3} over {2}}]       ⑤ [eqn: e]

22 함수[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {e ^{x}} over {x ^{2}} LEFT ( x>0 RIGHT )]의 최솟값은?

① [eqn: e]      ② [eqn: {e ^{2}} over {4}]    ③ [eqn: 4 sqrt {e}]

④ [eqn: sqrt {e} -1]          ⑤ [eqn: sqrt {e} - {1} over {2}]

23 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-2+ sqrt {4-x ^{2}}]의 최댓값을 [eqn: M` it], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M` -m]의 값은?

① [eqn: sqrt {2} -1]       ② [eqn: 2 sqrt {2} -1]     ③ [eqn: 2 sqrt {2} +1]

④ [eqn: 2 sqrt {2} +2]     ⑤ [eqn: 3 sqrt {2} -1]

24 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {2-x ^{2}} e ^{x}]의 최댓값을 [eqn: M` it], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M` -m]의 값은?

① [eqn: 0]            ② [eqn: e]         ③ [eqn: 2e]

④ [eqn: 3e]          ⑤ [eqn: 4e]

25 양수[eqn: a]에 대하여 폐구간[eqn: LEFT [ -a,`a RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x-5} over {LEFT ( x-5 ^{2} RIGHT ) +36}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M +m=0]이 되도록 하는 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

26 다음 그림과 같이 한 정점 [eqn: rm A LEFT ( -2,`0 RIGHT )]과 원[eqn: x ^{2} +y ^{2} =12] 위의 두 동점 [eqn: rmB,`C]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 최댓값을 [eqn: M]이라고 할 때, [eqn: M ^{2}]의 값을 구하시오.

27 [eqn: 0<x<2pi]에서 함수 [eqn: =x`sin`x+cos`x]의 극댓값과 극솟값의 합은?

① [eqn: -2pi]      ② [eqn: - {3} over {2} pi]      ③ [eqn: -pi]
④ [eqn: - {pi} over {2}]       ⑤ [eqn: 0]

28 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x} -a ^{2} x]가 [eqn: x GEQ 0]에서 증가함수가 되도록 하는 실수[eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: -2]         ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: 2]

29 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x+a`cos`x LEFT ( a>1 RIGHT )]가 [eqn: 0<x<2pi]에서 극솟값 [eqn: 0]을 가질 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은?

① [eqn: {pi} over {3}]           ② [eqn: {2} over {3} pi]          ③ [eqn: pi]
④ [eqn: {4} over {3} pi]          ⑤ [eqn: {5} over {3} pi]

30 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-x ^{3} +kx ^{2} +kx+1]이 [eqn: x _{1} >x _{2}]인 임의의 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) <f LEFT ( x _{2} RIGHT )]를 만족할 때, 실수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: -4]         ② [eqn: -3]       ③ [eqn: -2]
④ [eqn: -1]         ⑤ [eqn: 1]

31 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-x ^{3} +6x ^{2} +9x+2]의 극댓값과 극솟값의 합은?

① [eqn: -2]       ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 2]

32 다음 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x][eqn: -1], [eqn: x][eqn: =2]에서 극값을 가질 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 세 근의 합은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: {3} over {2}]          ③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]          ⑤ [eqn: 3]

33 곡선 [eqn: y= LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) e ^{x}]에서 위로 볼록한 구간이 [eqn: alpha<x<beta]일 때, [eqn: beta-alpha]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

34 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{3} +ax ^{2} +bx]의 변곡점의 좌표가 [eqn: LEFT ( -1,~-2 RIGHT )]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a+b]의 값은?

① [eqn: 6]           ② [eqn: 7]          ③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]            ⑤ [eqn: 10]

35 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =xe ^{-x}]의 그래프에 대하여 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ.[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]는 원점을 지난다.
ㄴ.[eqn: x][eqn: =1]일 때, 극솟값을 갖는다.

ㄷ.변곡점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~ {2} over {e ^{2}} RIGHT )]이다.

① ㄱ           ② ㄴ        ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ         ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

36 구간 [eqn: LEFT [ -2,~3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} +5]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: -15]       ② [eqn: -10]      ③ [eqn: -5]
④ [eqn: 0]          ⑤ [eqn: 5]

37 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x`sin`x+`cos``]의 구간[eqn: LEFT [ 0,~2pi RIGHT ]]에서의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: -2pi]       ② [eqn: - {2} over {3} pi]      ③ [eqn: -pi]
④ [eqn: - {pi} over {2}]        ⑤ [eqn: {pi} over {2}]

38 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y][eqn: =f' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 구간 [eqn: LEFT [ -1,~2 RIGHT ]]에서 함수[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은?

① [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]       ② [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]      ③ [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]
④ [eqn: f LEFT ( {3} over {2} RIGHT )]      ⑤ [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]

39 다음 그림은 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 이계도함수[eqn: y=f '' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프이다. 다음 중 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]가 위로 볼록한 구간은?

① [eqn: LEFT ( -2,`-1 RIGHT )]   ② [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )]   ③ [eqn: LEFT ( -1,~1 RIGHT )]
④ [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]        ⑤ [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]

40 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{3} -6x ^{2} +2]에서 변곡점이 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 10]         ② [eqn: 12]       ③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]          ⑤ [eqn: 18]

41 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln` LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 두 변곡점 사이의 거리는?

① [eqn: 1]          ② [eqn: sqrt {2}]         ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 2`ln`4]       ⑤ [eqn: 4`ln`4]

42 곡선 [eqn: y][eqn: =3xe ^{-2x}]의 변곡점에서의 접선의 방정식이 [eqn: y][eqn: =ax+b]일 때, [eqn: {b} over {a}]의 값은?

① [eqn: -2]          ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]             ⑤ [eqn: 4]

43 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {ln`x} over {x}]에 대하여 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. 치역은 [eqn: LEFT { y|y LEQ {1} over {e} RIGHT }]이다.
ㄴ. 변곡점은 [eqn: LEFT ( e sqrt {e} ,~ {3} over {2e sqrt {e}} RIGHT )]이다.

ㄷ.두 점[eqn: rmA][eqn: LEFT ( e ^{2} ,~ {2} over {e ^{2}} RIGHT )], [eqn: LEFT ( e ^{3} ,~ {3} over {e ^{3}} RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]는 부등식 [eqn: y LEQ f LEFT ( x RIGHT )]의 영역에 잇다.

① ㄱ           ② ㄴ        ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ         ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

44 구간 [eqn: LEFT [ 1,~4 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{4} -4ax ^{3} +b LEFT ( a>0 RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: 3], 최솟값이 [eqn: -6]일 때, [eqn: 3a+b]이 값은?

① [eqn: 2]          ② [eqn: 3]         ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]           ⑤ [eqn: 6]

45 다음 그림과 같이 직각삼각형의 일부분을 잘라내어 직사각형 [eqn: rmS]를 만들고자 한다. [eqn: rmS]의 넓이의 최댓값은?

① [eqn: {7 sqrt {3}} over {4}]       ② [eqn: {9 sqrt {3}} over {4}]       ③ [eqn: {11 sqrt {3}} over {4}]
④ [eqn: 3 sqrt {3}]          ⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

46 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -1,~4 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -6x ^{2} +9x+k]의 최솟값이 [eqn: -10]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

47 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -4x+a`ln`x]가 구간 [eqn: LEFT ( 0,~ INF RIGHT )]에서 증가하기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위가 [eqn: a GEQ k]일 때, [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

48 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3kx ^{2} +9x+27]의 극댓값과 극솟값의 합이 [eqn: 0]일 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 0]         ② [eqn: 1]         ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]         ⑤ [eqn: 4]

49 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y][eqn: =f prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 감소하는 구간은?

① [eqn: LEFT ( - INF ,~-1 RIGHT )]       ② [eqn: LEFT ( - INF ,~2 RIGHT )]
③ [eqn: LEFT ( -1,~ INF RIGHT )]          ④ [eqn: LEFT ( 2,~ INF RIGHT )]
⑤ [eqn: LEFT ( -1,~2 RIGHT )]

50 어느 제약회사에서 생산한 진통제에 대한 임상실험 결과 진통제를 복용한 지 [eqn: t]시간 후의 약효를 수치로 나타내면 함수 [eqn: y][eqn: =-t ^{3} +3t ^{2} +24t][eqn: LEFT ( t GEQ 0,~y GEQ 0 RIGHT )]가 됨을 알았다. 이 진통제를 복용한 후 약효가 계속 증가하는 시간 [eqn: t]의 범위가 [eqn: 0 LEQ t LEQ a]일 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]           ② [eqn: 3]           ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]           ⑤ [eqn: 6]

51 정의역이 [eqn: -3 LEQ x LEQ 1]인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {3} over {x-2}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: Mm]의 값을 구하여라.

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		2. 도함수의 활용			반 / 번호
	03 방정식과 부등식에의 활용					이름
		ㅉ

01 방정식 [eqn: x-ln`x=k]의 실근의 개수가 2개일 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

02 [eqn: x]에 대한 두 방정식 [eqn: ln`x=kx]와 [eqn: e ^{x} =kx]가 모두 실근을 갖지 않을 때, 실수 [eqn: k]값의 범위는?

① [eqn: o<k<1]        ② [eqn: o<=k<=1]
③ [eqn: {1} over {e} <k<e]      ④ [eqn: o<=k<=1]
⑤ [eqn: k>=0]

03 방정식 [eqn: {1} over {2} x ^{2} -ln LEFT ( 1+x ^{2} RIGHT ) =k]가 구간 [eqn: -1<=x<=1]에서 서로 다른 두 실근을 가질 때, 실수 [eqn: k]값의 범위는?

① [eqn: k< {1} over {2} -ln`2]       ② [eqn: k<= {1} over {2} -ln`2]
③ [eqn: {1} over {2} -ln`2<=k<0]   ④ [eqn: k> {1} over {2} -ln`2]
⑤ [eqn: k<= {1} over {2} -ln`2]

04 방정식 [eqn: {ln`x} over {x} =kx]가 서로 다른 두 실근을 가질 때, 실수 [eqn: k]값의 범위는?

① [eqn: 0<k< {1} over {e}]       ② [eqn: 0<=k<= {1} over {e}]
③ [eqn: 0<k< {1} over {2e}]      ④ [eqn: 0<=k<= {1} over {2e}]
⑤ [eqn: k>= {1} over {2e}]

05 [eqn: x>0]에서 부등식 [eqn: cos` ^{2} x+2`cos`x>k-2x ^{2}]이 성립할 때, 실수 [eqn: k]의 최댓값은?

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

06 [eqn: x>0]에서 부등식 [eqn: e ^{x} > {x ^{2}} over {2} +x+k]가 성립할 때, 실수 k값의 범위는?

① [eqn: k<=1]      ② [eqn: k <= 2]      ③ [eqn: k <= 3]
④ [eqn: k<1]       ⑤ [eqn: k<2]

07 [eqn: 1<=x<=2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: ax <= e ^{x} <= betax]가 성립하도록 상수 [eqn: alpha,`beta]를 정할 때, [eqn: beta-alpha]의 최솟값은?

① [eqn: {e} over {2}]         ② [eqn: e]       ③ [eqn: e LEFT ( {e ^{3}} over {4} -1 RIGHT )]
④ [eqn: e LEFT ( {e ^{2}} over {3} -1 RIGHT )]   ⑤ [eqn: e LEFT ( {e} over {2} -1 RIGHT )]

08 방정식[eqn: e ^{2x} =k LEFT ( x+2 RIGHT )]가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]값의 범위는?

① [eqn: k> {2} over {e ^{3}}]    ② [eqn: k> {1} over {e ^{3}}]  ③ [eqn: k< {2} over {e ^{3}}]

④ [eqn: k>1]      ⑤ [eqn: k<3]

09 [eqn: x>0]에서 부등식 [eqn: x ^{2} >a`ln`x]가 성립할 때, 양수 [eqn: a]값의 범위는?

① [eqn: 0<a<e]    ② [eqn: 0<a<2e]  ③ [eqn: 0<a<3e]

④ [eqn: e<a<3e]  ⑤ [eqn: 2e<a<3e]

10 [eqn: x>0]에서 부등식 [eqn: cos`x>k- {1} over {2} x ^{2}]이 성립할 때, 실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하시오.

11 [eqn: x>0]에서 부등식 [eqn: x>=ln`ax]가 성립할 때, 양수	[eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: {1} over {e}]       ② [eqn: {2} over {e}]     ③ [eqn: e-1]

④ [eqn: 1]        ⑤ [eqn: e]

12 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: lnx-x+20-n=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

13 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y][eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음과 같고 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: =3], [eqn: f LEFT ( c RIGHT )][eqn: =-2], [eqn: f LEFT ( e RIGHT )][eqn: =2], [eqn: f LEFT ( rmg RIGHT )][eqn: =-3], [eqn: f LEFT ( i RIGHT )][eqn: =5]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - {5} over {2}][eqn: =0]의 실근의 개수는?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

14 방정식 [eqn: ln`x][eqn: =kx]가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: p<k<q]일 때, [eqn: p+q]의 값은?
① [eqn: {1} over {e}]         ② [eqn: {2} over {e}]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: e]

15 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -x ^{2} +x+a]에 대하여 [eqn: x GEQ 0]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]이 항상 성리바도록 하는 상수 [eqn: a]의 값의 범위는?
① [eqn: a<0]         ② [eqn: a LEQ 0]         ③ [eqn: a>0]
④ [eqn: a GEQ 0]          ⑤ [eqn: a>1]

16 방정식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -12x-a][eqn: =0]이 서로 다른 두 개의 음의 근과 한 개의 양의 근을 갖기 위한 상수 [eqn: a]의 값의 범위는?
① [eqn: a LEQ -20]        ② [eqn: -20<a<0]
③ [eqn: 0<a<7]       ④ [eqn: 0 LEQ a LEQ 7]
⑤ [eqn: a>7]

17 오른쪽 그림은 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =rmg LEFT ( itx RIGHT )]의 그래프를 그린 것이다. 다음 중 옳은 것은?

① 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rm g LEFT ( it `x RIGHT ) =0]의 실근은 3개이다.

② 부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rm g LEFT ( it `x RIGHT ) >0]의 해의 집합은 공집합이다.

③ 부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rm g LEFT ( it `x RIGHT ) <0]의 해의 집합은 공집합이다.

④ 연립방정식 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =rmg LEFT ( itx RIGHT )]의 실근은 [eqn: 1]개다.

⑤ 두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =0]의 공통인 실근     은 [eqn: 1]개다.

18 [eqn: 0<a<1]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x-a`sin`x-1][eqn: =0]의 실근이 개수는?
① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

19 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} +x ^{2} -a GEQ 0]이 항상 성립할 때, 상수[eqn: a]의 값의 범위는?
① [eqn: a<0]         ② [eqn: a LEQ 0]     ③ [eqn: 0<a< {1} over {4}]
④ [eqn: 0 LEQ a LEQ {1} over {4}]   ⑤ [eqn: a> {1} over {4}]

20 두 함수[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{4} +x ^{3} -2x+1],
[eqn: rmg LEFT ( it`x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +2x-k]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ rmg LEFT ( it`x RIGHT )]를 만족할 때, 실수 [eqn: k]의 최솟값을 구하여라.

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		2. 도함수의 활용			정답
	01 접선의 방정식
		ㅉ

01  ④

[eqn: y= {ln`x} over {x}]에서 [eqn: y'= {1-ln`x} over {x ^{2}}]이므로 접점의 좌표를[eqn: LEFT ( t,` {ln`t} over {t} RIGHT )]라고 하면 구하는 접선의 방정식은 [eqn: y- {ln`t} over {t} = {1-ln`t} over {t ^{2}} LEFT ( x-t RIGHT )]
이 접선이 원점 [eqn: LEFT ( 0,`0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: - {ln`t} over {t} = {1-ln`t} over {t ^{2}} LEFT ( 0-t RIGHT )]
따라서 [eqn: ln`t= {1} over {2}]이므로 [eqn: t= sqrt {e}]
이것을 ㉠에 대입하여 정리하면 [eqn: y= {1} over {2e} x]
이 접선이 점[eqn: LEFT ( a,` {1} over {2} RIGHT )]을 지나므로 [eqn: a=e]

답

해

설

02  ①

접점을 [eqn: LEFT ( a,`ln`a RIGHT )]로 놓으면 접선의 방정식은 [eqn: y-ln`a= {1} over {a} LEFT ( x-a RIGHT )]
점[eqn: LEFT ( 0,`0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: ln`a=1````therefore`a=e]
따라서 접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {e} x]이므로 [eqn: f LEFT ( e RIGHT ) =1]

답

해

설

03  [eqn: 2]

접점을[eqn: LEFT ( t,` {e ^{l}} over {t} RIGHT )]으로 놓으면 접선의 방정식은 [eqn: y= {e ^{l} LEFT ( t-1 RIGHT )} over {t ^{2}} LEFT ( x-t RIGHT ) + {e ^{l}} over {t}] 점[eqn: LEFT ( 0,`0 RIGHT )]을 지나므로  [eqn: 0=- {e ^{l} LEFT ( t-1 RIGHT )} over {t} + {e ^{l}} over {t}]
[eqn: -te ^{l} +e ^{l} +e ^{l} =0]에서 [eqn: t=2]

답

해

설

04  [eqn: y=x+1]

답

05  ①

[eqn: y-e=e LEFT ( x-1 RIGHT ) ``````````thereforey=ex]

답

해

설

06  ③

접점을 [eqn: LEFT ( t,~e ^{t-k} RIGHT )]으로 놓으면 접선의 방정식은 [eqn: y-e ^{t-k} =e ^{t-k} LEFT ( x-t RIGHT )]원점을 지나므로 [eqn: -e ^{t-k} =-te ^{t-k} ````````````thereforet=1]
점 [eqn: LEFT ( 2,`4 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 4-e ^{t-k} =e ^{t-k} LEFT ( 2-t RIGHT )]이고 [eqn: t=1]을 대입하여 정리하면 [eqn: k=1-ln`2]

답

해

설

07  ③

접점의 좌표를[eqn: LEFT ( t,`te ^{l} RIGHT )]으로 놓으면 접선의 방정식은 [eqn: y=e ^{l} LEFT ( 1+t RIGHT ) LEFT ( x-t RIGHT ) +te ^{l}] 점 [eqn: LEFT ( a,`0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 0=e ^{l} LEFT ( 1+t RIGHT ) LEFT ( a-t RIGHT ) +te ^{l} `````````````````thereforet ^{2} -at-a=0]
두 개의 접선을 그을 수 있으므로 접점이 두 개 있어야 한다. 즉, ㉠이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 [eqn: a<`-4,```a>o```````````````` THEREFORE]⑤

답

해

설

08  ①

답

교점 [eqn: rm P LEFT ( alpha ,`~ beta RIGHT )]는 두 곡선 위의 점이므로
[eqn: beta][eqn: =a ^{2} -2alpha+2][eqn: =- alpha ^{2} +a` alpha +b`~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
점 [eqn: rmP]에서 두 곡선에 그은 접선의 기울기는 각각
[eqn: 2a-2], [eqn: -2alpha+alpha]이고, 두 접선이 서로 수직이므로 [eqn: LEFT ( 2 alpha -2 RIGHT ) LEFT ( -2 alpha + alpha RIGHT ) =-1~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]을 연립하여 풀면 [eqn: b][eqn: =-alpha+ {5} over {2}]
따라서 구하는 기울기는 [eqn: -1]이다.

해

설

09   ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 다항함수이므로 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 1,~3 RIGHT ]]에서 연속이고 열린 구간 [eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT )]에서 미분가능하다.
이때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x-4]에서 [eqn: f' LEFT ( c RIGHT )][eqn: =0]이면 [eqn: 2c-4][eqn: =0]
[eqn: thereforec][eqn: =2]

해

설

10   ②

답

[eqn: y][eqn: =x ^{3} -2x]에서 [eqn: y'][eqn: =3x ^{2`} -2]이므로 [eqn: 3x ^{2} -2][eqn: =1]
에서 [eqn: x][eqn: -1] 또는 [eqn: x=1] 접점의 좌표는
[eqn: LEFT ( -1,~1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~-1 RIGHT )]이므로 접선의 방정식은 각각
[eqn: y][eqn: =x+2], [eqn: y][eqn: =x-2]이다.
직선 [eqn: y][eqn: =x+2] 위의 한 점 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]에서 직선
[eqn: y][eqn: =x-2], 즉[eqn: x-y-2][eqn: =0]까지의 거리는
[eqn: {LEFT | 0-2-2 RIGHT |} over {sqrt {1+1}}][eqn: = {4} over {sqrt {2}} =2 sqrt {2}]

해

설

11  ④

답

[eqn: f' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =3]이므로 [eqn: {1} over {3n}][eqn: =h]로 놓으면
(주어진 식)[eqn: = {1} over {6} lim _{h-> 0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}}][eqn: = {1} over {6} f prime LEFT ( 2 RIGHT )]                [eqn: = {1} over {2}]

해

설

12  ④

답

[eqn: f LEFT ( e ^{2} RIGHT )][eqn: = rm g LEFT ( e ^{2} RIGHT )]에서 [eqn: 2][eqn: =ae ^{2} + {b} over {e ^{2}} ~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: f' LEFT ( e ^{2} RIGHT )][eqn: = rm g' LEFT ( e ^{2} RIGHT )]에서 [eqn: {1} over {e ^{2}} =a- {b} over {e ^{4}}]
[eqn: thereforea][eqn: = {1} over {e ^{2}} + {b} over {e ^{2}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a][eqn: = {3} over {2e ^{2}}], [eqn: b][eqn: = {e ^{2}} over {2}]
[eqn: THEREFORE][eqn: ab][eqn: = {3} over {2e ^{2}} · {e ^{2}} over {2}][eqn: = {3} over {4}]

해

설

13  [eqn: 2]

답

점 [eqn: rm P it LEFT ( a,~a ^{3} RIGHT )]에서의 접선의 방정식은
[eqn: y-a ^{3}][eqn: =3a ^{2} LEFT ( x-a RIGHT )]       [eqn: THEREFORE][eqn: y][eqn: =3a ^{2`} x-2a ^{3}]
이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점은 각각 [eqn: rm Q LEFT ( {2} over {3} ita,~0 RIGHT )], [eqn: rm R LEFT ( 0,~-2ita ^{3} RIGHT )]이므로
[eqn: a][eqn: rm = {bar{PQ}}][eqn: = {1} over {3} a sqrt {1+9a ^{4}}], [eqn: beta][eqn: =rmbarQR]
[eqn: = {2} over {3} a sqrt {1+9a ^{4}}]   [eqn: therefore {beta} over {alpha}][eqn: =2]

해

설

14  ⑤

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =xe ^{2x}]으로 놓으면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{2x} +2xe ^{2x}]
접점을 [eqn: LEFT ( t,~te ^{2x} RIGHT )]이라고 하면 [eqn: x][eqn: =t]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f' LEFT ( t RIGHT )][eqn: =e ^{2t} +2te ^{2t}]
접선의 방정식은 [eqn: y-te ^{2t}][eqn: = LEFT ( e ^{2t} +2te ^{2t} RIGHT ) LEFT ( x-t RIGHT )]
이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: -te ^{2t}][eqn: = LEFT ( e ^{2t} +2te ^{2t} RIGHT ) LEFT ( 2-t RIGHT )], [eqn: 2 LEFT ( t ^{2} -2t-1 RIGHT ) e ^{2t}][eqn: =0]
[eqn: e ^{2t} !=0]이므로 [eqn: t ^{2} -2t-1][eqn: =0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha+beta][eqn: =2], [eqn: alphabeta][eqn: =-1]
이때, 접선의 기울기는 [eqn: e ^{2alpha} LEFT ( 1+2alpha RIGHT )], [eqn: e ^{2beta} LEFT ( 1+2beta RIGHT )]
[eqn: thereforem _{1`} m _{2}][eqn: =e ^{2 alpha } LEFT ( 1+2 alpha RIGHT ) e ^{2beta} LEFT ( 1+2beta RIGHT )][eqn: =e ^{2 LEFT ( alpha+beta RIGHT )} LEFT { 1+2 LEFT ( alpha+beta RIGHT ) +4alphabeta RIGHT }][eqn: =e ^{4}]

해

설

15  ②

답

[eqn: y'][eqn: = {1-2a} over {LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{2}}]이고, [eqn: x][eqn: =1]인 점에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이므로 [eqn: {1-2a} over {9}][eqn: =1]    [eqn: thereforea=-4]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		2. 도함수의 활용			정답
	02 함수의 그래프
		ㅉ

01  [eqn: LEFT ( pi,`pi RIGHT )]

답

02  ②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+a`cos`x]에서 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =1-a`sin`x]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: sin`x= {1} over {a} LEFT ( 0< {1} over {a} <1 RIGHT )]
이를 만족하는 [eqn: x]의 값을 [eqn: x=a,`x= pi -alpha LEFT ( 0<a< {pi } over {2} RIGHT )]로 놓으면

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: pi -a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( 2 pi RIGHT )]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극대	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: LEFT . f(x RIGHT )]는 [eqn: x= pi - alpha]에서 극솟값을 갖고, 그 극솟값이 1이므로 [eqn: f LEFT ( pi - alpha RIGHT ) = pi - alpha +a`cos LEFT ( pi-alpha RIGHT ) =1], 즉[eqn: pi-a`cos``alpha=1] 한편, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=alpha]에서 극대이므로 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =alpha+a`cos`alpha`=pi-1]

답

해

설

03  ③

[eqn: y prime = {x ^{2} +3-2x LEFT ( x-1 RIGHT )} over {LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT ) ^{2}} = {- LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )} over {LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT ) ^{2}}]이므로
[eqn: x=-1]에서 극솟값 [eqn: - {1} over {2} ,`x=3]에서 극댓값 [eqn: {1} over {6}]을 갖는다. [eqn: therefore- {1} over {2} + {1} over {6} =- {1} over {3}]

답

해

설

04  ④

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =-2e ^{-x} `sin`x,`f'' LEFT ( x RIGHT ) =2e ^{-x} LEFT ( sin`x-cos`x RIGHT )]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서  [eqn: sin`x=0``~~ THEREFORE x=n`pi LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]
[eqn: x=2m pi LEFT ( m=1,`2,`3,`4,` CDOTS RIGHT )]일 때 극대이고, 극댓값은 [eqn: f LEFT ( 2m pi RIGHT ) =e ^{-2m pi }]이므로 [eqn: a _{n} =e ^{-2npi}]
[eqn: thereforeln`a _{99} -ln`a _{100} =2pi]

답

해

설

05  ①

평균값의 정리에 의하여[eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} =f' LEFT ( x _{1} RIGHT )]인 [eqn: x _{1}]이 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )] 안에 존재하고[eqn: {f LEFT ( c RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )} over {c-b} =f prime LEFT ( x _{2} RIGHT )]
인 [eqn: x _{2}]가 [eqn: LEFT ( b,`c RIGHT )] 안에 존재한다.
따라서 주어진 조건으로부터 [eqn: 0<x _{1} <x _{2} <pi]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( x _{1} RIGHT ) >f' LEFT ( x _{2} RIGHT )]가 성립하므로 이 구간에서 [eqn: y=f' LEFT ( x RIGHT )]는 감소하여야 한다. 즉, [eqn: 0<x<pi]에서 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 위로 볼록인 함수이어야 한다.
ㄱ. [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =cos`x,`f'' LEFT ( x RIGHT ) =-sin`x]이고 구간
[eqn: LEFT ( 0,`pi RIGHT )]에서 [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) <0]이므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 위로
볼록하다.
ㄴ. [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =1-sin`x,`f'' LEFT ( x RIGHT ) =-cos`x]이고             구간[eqn: LEFT ( 0,` {pi} over {2} RIGHT )]에서 [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) <0]이므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는       위로   볼록하고, 구간[eqn: LEFT ( {pi} over {2} ,`pi RIGHT )]에서                 [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로        [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 아래로        볼록하다.
ㄷ. [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} ,`f'' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x}]이고 구간 [eqn: LEFT ( 0,`pi RIGHT )]에서         [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 아래로 볼록하다.
따라서 주어진 조건을 만족하는 함수는
ㄱ뿐이다.

답

해

설

06  ④

[eqn: a<x _{1} <b<x _{2} <c]인 적당한 [eqn: x _{1} ,`x _{2}]에 대하여 평균값의 정리에 의하여 [eqn: f prime LEFT ( x _{1} RIGHT ) <f prime LEFT ( x _{2} RIGHT )]이므로 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]는 증가하여야 한다. 즉, 구간[eqn: LEFT ( 0,` {pi} over {2} RIGHT )]에서 아래로 볼록인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 ㄷ뿐이다.

답

해

설

07  ③

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 위로 볼록하면 [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) <0]이고 [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) <0]이면 [eqn: y=f' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 감소하므로 [eqn: y=f' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 감소하는 구간의 [eqn: x]의 값을 찾으면 [eqn: c]이다.

답

해

설

08  ③

짚신벌레의 수의 증가율은 [eqn: y=f' LEFT ( t RIGHT )]이므로 [eqn: f' LEFT ( t RIGHT )]가 감소하는 구간은 [eqn: y=f LEFT ( t RIGHT )]의 그래프가 위로 볼록인 구간이다.
따라서 위로 볼록인 구간에 있는 것은 [eqn: c]뿐이다.

답

해

설

09  ③

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 삼차함수이므로 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) ````` LEFT ( 단,`k<0 RIGHT )] 따라서 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]가 증가하는 구간은 [eqn: f '' LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT { 2x- LEFT ( a+b RIGHT ) RIGHT } >0]에서 [eqn: x< {a+b} over {2} ````` LEFT ( BECAUSE k<0 RIGHT )]

답

해

설

10  ③

[eqn: y'= {LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 3x+1 RIGHT )} over {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}} >=0]에서 [eqn: x<=- {1} over {3} ,`x>=3]
따라서 증가하는 구간이 아닌 것은 ③이다.

답

해

설

11  [eqn: 2]

[eqn: y'=ln`x+x· {1} over {x} -1=ln`x]이므로
[eqn: y'=0]에서         [eqn: x=1]
[eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: -1]을 가지므로 [eqn: a=1,`b=-1`````````````````thereforea-b=2]

답

해

설

12  ①

[eqn: y prime =12x ^{5} -20x ^{3} ,`y '' =60x ^{4} -60x ^{2}][eqn: =60x ^{2} LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]이므로 [eqn: y'=0]에서 [eqn: x=-1,`0,`1`````x<`-1]이면 [eqn: y '' >0,] [eqn: -1<x<0]이면 [eqn: y''<0,`0<x<1]이면 [eqn: y '' <0,]   [eqn: x>1]이면 [eqn: y''>0]이므로 변곡점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,`0,` RIGHT ) LEFT ( 1,`0 RIGHT )] 이고 변곡점의 [eqn: x]좌표는[eqn: -1,`1]이다.

답

해

설

13  ⑤

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =a`cos`x-b`sin`x+1]에서 [eqn: f' LEFT ( {pi} over {3} RIGHT ) = {1} over {2} a- {sqrt {3}} over {2} b+1,`f' LEFT ( pi RIGHT ) =-a+1=0]
이므로 [eqn: a=1,`b= sqrt {3} ````````````]
[eqn: THEREFORE g LEFT ( x RIGHT ) =x+ sqrt {3} -ln`x````` THEREFORE g prime LEFT ( x RIGHT ) =1- {1} over {x} = {x-1} over {x}]
따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]일 때, 극소이고, 극솟값은 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1+ sqrt {3}]

답

해

설

14  [eqn: 5]개

[eqn: y'=2x+a`cos`x`]이므로[eqn: y''=2-a`sin`x!=0]이려면 [eqn: sin`x!= {2} over {a}]이어야 한다.
따라서 [eqn: LEFT | {2} over {a} RIGHT | >=1]이므로 [eqn: LEFT | a RIGHT | <=2]이고, 정수 [eqn: a]는 [eqn: -2,`-1,`0,`1`,2]이므로 [eqn: 5]개다.

답

해

설

15  ④

[eqn: rmF`it LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT )} over {x}]라고 하면 [eqn: rmF'`it LEFT ( x RIGHT ) = {f' LEFT ( x RIGHT ) x-f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}}]
[eqn: LEFT ( rmi`it RIGHT ) x=q]이면 [eqn: rm F` it LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT )} over {x}]와 [eqn: y=f' LEFT ( x RIGHT )]의            그래프는 만난다.
[eqn: rm LEFT ( ii`it RIGHT ) x>q]이면 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) > {f LEFT ( x RIGHT )} over {x}]
[eqn: LEFT ( rmiii`it RIGHT ) 0<x<q]이면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) < {f LEFT ( x RIGHT )} over {x}]

답

해

설

16  ③

[eqn: ㄱ.`f LEFT ( 0 RIGHT ) =e,`f prime LEFT ( 0 RIGHT ) `````` THEREFORE f LEFT ( 0 RIGHT ) >1+f prime LEFT ( 0 RIGHT ) `]    ∴참
[eqn: ㄴ.`g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) e ^{x}]에서 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =f' LEFT ( x RIGHT ) e ^{x} +f LEFT ( x RIGHT ) e ^{x}]
이고 [eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT ) =e,`g LEFT ( 0 RIGHT ) =e]이므로
[eqn: lim _{h -> 0} {` {g LEFT ( 2h RIGHT ) -e} over {h} =2g prime LEFT ( 0 RIGHT ) =2e}]        ∴거짓
[eqn: ㄷ.`]곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,`g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의
방정식은 [eqn: y=ex+e]이므로 점 [eqn: LEFT ( -1,`0 RIGHT )]을 지난다.
∴참

답

해

설

∴ ㄱ, ㄷ

17  ④

[eqn: ㄱ.`f' LEFT ( x RIGHT ) = {cos`x} over {LEFT ( 1+sin`x RIGHT ) ^{2}}]이므로 [eqn: - {pi} over {2} <x< {pi} over {2}]에서     증가하고, [eqn: {pi} over {2} <x< {3} over {2} pi]에서 감소한다.  ∴거짓
[eqn: ㄴ.`f '' LEFT ( x RIGHT ) =- {LEFT ( 1+sin`x RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2-sin`x RIGHT )} over {LEFT ( 1+sin`x RIGHT ) ^{4}}]이고,            [eqn: - {pi} over {2} <x< {3} over {2} pi]에서[eqn: f''(x)<0]이므로 위로         볼록하다.  ∴참

답

해

설

[eqn: ㄷ.`]점근선은 분모를 [eqn: 0]으로 하는 값이므로 구간의       경계가 되는 [eqn: x=- {pi} over {2} ,`x= {3} over {2} pi]가 점근선이다.
∴참

∴ ㄴ, ㄷ

18   (1)최댓값 : 없다, 최솟값 : 3
(2)최댓값 : [eqn: {e ^{{pi} over {4}} sqrt {2}} over {2}], 최솟값 : [eqn: -e ^{pi}]

답

19   ③

답

해

설

위의 그림에서 [eqn: rmangleBAO``=angle`ABO`it= {theta} over {2}]
이므로[eqn: rm ANGLE BOD` it = theta ` LEFT ( 0< theta < pi RIGHT ) `# ` rm {bar{OD}} it ` it =a`cos` theta ,` rm {bar{BD rm}} =ita`sin` theta]
이므로
[eqn: rm S` it = {1} over {2} TIMES 2a`sin` theta TIMES LEFT ( a+a`cos` theta RIGHT ) =a ^{2} `sin` theta LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )# # rm S prime ` it =a ^{2} `cos theta LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) +a ^{2} `sin` theta · LEFT ( -sin` theta RIGHT )# # ```````=a ^{2`} LEFT { cos` theta LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) -sin ^{2} theta RIGHT }# # ```````=a ^{2} LEFT { cos` theta LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) - LEFT ( 1-cos ^{2`} theta RIGHT ) RIGHT }# # ```````=a ^{2} LEFT ( 2`cos ^{2} theta +cos` theta -1 RIGHT )#]
[eqn: rm S prime ` it =0]에서 [eqn: LEFT ( 2`cos`theta-1 RIGHT ) LEFT ( cos`theta+1 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore`cos theta = {1} over {2} ,`cos theta =-1]
[eqn: 0<theta<pi]이므로 [eqn: cos`theta= {1} over {2}]일 때 극대이면서 최대이다.   [eqn: thereforetheta= {pi} over {3}]

20  ⑤

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =ln`x+1+2=ln`x+3=0]에서 [eqn: x=e ^{-3} `]
[eqn: x=e ^{-3}]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극소이면서 최소가 되므로 [eqn: f LEFT ( e ^{-3} RIGHT ) =-e ^{-3}]

답

해

설

21  ②

답

해

설

제[eqn: 1]사분면에 있는 직사각형의 꼭짓점을 [eqn: rmP`it LEFT ( x,`y RIGHT )]라 하고, 직사각형의 넓이를 [eqn: rmS`it LEFT ( x RIGHT )]라고 하면
[eqn: rm S` it LEFT ( x RIGHT ) =2xy# ~~~~=2xe ^{-x} , rm S` it LEFT ( x RIGHT )# ~~~~=-2 LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{-x}]
[eqn: rmS`it LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]일 때 극대이고 최대이므로 최대 넓이는 [eqn: rm S` it LEFT ( 1 RIGHT ) = {2} over {e}]

22  ②

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {e ^{2} x LEFT ( x-2 RIGHT )} over {x ^{2}} =0]에서 [eqn: x=2` LEFT ( BECAUSE x>0 RIGHT )]
따라서 ㅌ=2에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {d ^{2}} over {4}]

답

해

설

23  ④

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =1- {x} over {sqrt {4-x ^{2}}} =0]에서 [eqn: x=± sqrt {2}]
[eqn: x= sqrt {2}]에서 극댓값 [eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) =2 sqrt {2} -2]를 갖고 극솟값은 없다. 정의역이 [eqn: -2<=x<=2]이므로 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =-4,`f LEFT ( 2 RIGHT ) =0] 따라서 최댓값은 [eqn: 2 sqrt {2} -2,] 최댓값은 [eqn: -4]이므로 [eqn: rmM`it-m=2 sqrt {2} +2]

답

해

설

24  ②

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =- {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )} over {sqrt {2-x ^{2}}} e ^{x} =0]에서 [eqn: x=1,`-2]
[eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =e]를 갖고 극솟값은 없다.
정의역이 [eqn: - sqrt {2} <=x<= sqrt {2}]이므로 [eqn: f LEFT ( -1 sqrt {2} RIGHT ) =0,`f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) =0]
따라서 최댓값은 [eqn: e,] 최솟값은 [eqn: 0]이므로 [eqn: rmM`it-m=e]

답

해

설

25   [eqn: 11]

답

해

설

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) {1 LEFT ( x-11 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )} over {LEFT ( x ^{2} -10x+61 RIGHT ) ^{2}} =0]이므로 [eqn: x=-1,`x=11] 에서 극값을 갖고, [eqn: x]축이 점근선이다.
[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =0]이므로 점 [eqn: LEFT ( 5,`0 RIGHT )]에 대하여 점대칭이 된다.	[eqn: a>=11]일 때 [eqn: M` it = {1} over {12} ,`m=- {1} over {12}]이므로 [eqn: M` it +m=0]이 되도록 하는 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 11]이다.

26  [eqn: 128]

점[eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: rm C it LEFT ( a,`b RIGHT ) LEFT ( b >= 0 RIGHT )]라고 하면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =12]이고 직선 [eqn: rmAC]의 방정식은 [eqn: a!=-2]일 때 [eqn: y= {b} over {a+2} LEFT ( x+2,` RIGHT )]즉 [eqn: bx- LEFT ( a+2 RIGHT ) y+2b=0]이므로 점 [eqn: rmB]에서 직선 [eqn: rmAC]에 이르는 거리의 최댓값 [eqn: h]는 [eqn: h= {2b} over {sqrt {LEFT ( a+2 RIGHT ) ^{2} +b ^{2}}} + sqrt {12}] 이고 구하는 삼각형의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S` it = {1} over {2} sqrt {LEFT ( a+2 RIGHT ) ^{2} +b ^{2}} ·h]
[eqn: =b+ {sqrt {12}} over {2} sqrt {LEFT ( a+2 RIGHT ) ^{2} +b ^{2}}], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =12]이므로	[eqn: S` it LEFT ( a RIGHT ) = sqrt {12-a ^{2}} + sqrt {12} · sqrt {a+4} ,`][eqn: S prime it ` it LEFT ( a RIGHT ) = {-a} over {sqrt {12-a}} + {sqrt {12}} over {2 sqrt {a+4}} =0]에서 [eqn: a=2,`-3` LEFT ( BECAUSE `-2 sqrt {3} <a<2 sqrt {3} RIGHT )]
따라서 [eqn: S` it LEFT ( a RIGHT )]는 [eqn: a=2]에서 극대이고, 최댓값 [eqn: rmM`it=8 sqrt {2}]를 가지므로 [eqn: rmM ^{2} =128]

답

해

설

27   ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x`cos`x][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: = {pi} over {2}] 또는 [eqn: x][eqn: = {3} over {2} pi]
[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos`x-x`sin`x]이므로
[eqn: f'' LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =- {pi} over {2} <0], [eqn: f'' LEFT ( {3} over {2} pi RIGHT )][eqn: = {3} over {2} pi>0]
즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: = {pi} over {2}]에서 극댓값 [eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: = {pi } over {2}]를 갖고,
[eqn: x][eqn: = {3} over {2} pi]에서 극솟값 [eqn: f LEFT ( {3} over {2} pi RIGHT )][eqn: =- {3} over {2} pi]를 갖는다.
[eqn: therefore {pi} over {2} + LEFT ( - {3} over {2} pi RIGHT )][eqn: =-pi]

해

설

28   ④

답

[eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 증가함수가 되려면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x} -a ^{2} GEQ 0~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
그런데 [eqn: x GEQ 0]일 때 [eqn: e ^{x} GEQ 1]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: ㉠]이 성립하려면 [eqn: 0 LEQ a ^{2} LEQ 1]
[eqn: therefore-1 LEQ a LEQ 1] 따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

해

설

29   ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1-a`sin`x][eqn: =-a LEFT ( sin`x- {1} over {a} RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: sin`x][eqn: = {1} over {a}] [eqn: a<1]에서 [eqn: 0< {1} over {a} <1]이므로
[eqn: sin`theta][eqn: = {1} over {a} LEFT ( 0<theta< {pi} over {2} RIGHT )]이라고 하면
[eqn: sin` LEFT ( pi-theta RIGHT )][eqn: =sin`theta][eqn: = {1} over {a}] [eqn: thereforef' LEFT ( theta RIGHT )][eqn: =f' LEFT ( pi-theta RIGHT )][eqn: =0]
이때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은 [eqn: 0]이므로
[eqn: f LEFT ( pi-theta RIGHT )][eqn: = LEFT ( pi - theta RIGHT ) +a`cos LEFT ( pi - theta RIGHT )][eqn: =0]에서
[eqn: theta+a`cos`theta][eqn: =pi]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = theta +a`cos` theta][eqn: =pi]

해

설

30  ②

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소함수이므로
[eqn: therefore {D} over {4} =k ^{2} +3k LEQ 0]    [eqn: therefore-3 LEQ k LEQ 0]
따라서 구하는 합은 [eqn: 0+ LEFT ( -3 RIGHT ) =-3]

해

설

31   ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )][eqn: =0]에서
[eqn: x][eqn: =1] 또는 [eqn: x][eqn: =3]
[eqn: x][eqn: =3]에서 극대이고, 극댓값은 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2]
[eqn: x][eqn: =1]에서 극소이고, 극솟값은 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =-2]
[eqn: therefore2+ LEFT ( -2 RIGHT )][eqn: =0]

해

설

32   ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: ax ^{3} +bx+cx+d`(a>0)]로 놓으면
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3ax ^{2} +2bx+c]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 두 근이 [eqn: x=-1], [eqn: x][eqn: =2]이므로 [eqn: -1+2][eqn: =- {2b} over {3a}]     [eqn: {b} over {a}][eqn: =- {3} over {2}]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 세근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라고 하면 [eqn: alpha+beta+gamma][eqn: =- {b} over {a}]=[eqn: {3} over {2}]

해

설

33   ③

답

[eqn: y'][eqn: = LEFT ( x ^{2} +x-1 RIGHT ) e ^{x}], [eqn: y''][eqn: = LEFT ( x ^{2} +3x RIGHT ) e ^{x}]
주어진 곡선이 위로 볼록하려면 [eqn: y''<0]이어야 하므로 [eqn: LEFT ( x ^{2} +3x RIGHT ) e ^{x} <0]     [eqn: therefore-3<x<0]
[eqn: thereforebeta-alpha][eqn: =0- LEFT ( -3 RIGHT )][eqn: =3]

해

설

34   ⑤

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +ax ^{2} +bx]로 놓으면
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b], [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x+2a]
[eqn: f'' LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =-6+2a][eqn: =0]    [eqn: thereforea][eqn: =3]
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =-1+3-b][eqn: =-2]   [eqn: thereforeb=4]
[eqn: therefore2a+b][eqn: =2 TIMES 3+4][eqn: =10]

해

설

35   ④

답

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1-x RIGHT ) e ^{-x}], [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-2 RIGHT ) e ^{-x}]
ㄱ.[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]는 원점을 지난다. (참)
ㄴ.[eqn: x][eqn: =1]에서 극댓값 [eqn: {1} over {e}]을 갖는다. (거짓)
ㄷ.[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =2]
이때, 변곡점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~ {2} over {e ^{2}} RIGHT )]이다. (참)

해

설

36   ②

답

[eqn: thereforeM+m][eqn: =-10]

해

설

37  ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =0], [eqn: {pi} over {2}], [eqn: {3} over {2} pi]
[eqn: f'' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1>0], [eqn: f'' LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =- {pi} over {2} <0],
[eqn: f '' LEFT ( {3} over {2} pi RIGHT )][eqn: = {3} over {2} pi>0]
최댓값은 [eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: = {pi} over {2}], 최솟값은 [eqn: f LEFT ( {3} over {2} pi RIGHT )][eqn: =- {3} over {2} pi]
[eqn: therefore {pi} over {2} + LEFT ( - {3} over {2} pi RIGHT )][eqn: =-pi]

해

설

38   ①

답

해

설

위의 증감표에 의하여 구간 [eqn: LEFT [ -2,~2 RIGHT ]]에서 구하는 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]이다.

39   ①

답

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]가 위로 볼록하려면 [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) <0]이어랴 한다. 따라서 주어진 보기 중 알맞은 구간은 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]이다.

해

설

40   ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -6x ^{2} +2]로 놓으면 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -12x][eqn: =3x LEFT ( x-4 RIGHT )], [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x-12][eqn: =6 LEFT ( x-2 RIGHT )]
[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =2]이고, [eqn: x][eqn: =2]의 좌우에서 [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )]의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~-14 RIGHT )]이다.
[eqn: thereforea-b][eqn: =2- LEFT ( -14 RIGHT )][eqn: =16]

해

설

41   ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {4x} over {x ^{2} +1}], [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {-4x ^{2} +4} over {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =-1] 또는 [eqn: x][eqn: =1]
이때, 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점의 좌표는
[eqn: LEFT ( -1,~ln`4 RIGHT ) ,` LEFT ( 1,~ln4 RIGHT )]이므로 두 변곡점 사이의 거리는 [eqn: 2]이다.

해

설

42   ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3xe ^{-2x}]으로 놓으면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3xe ^{-2x} LEFT ( 1-2x RIGHT )], [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) =12e ^{-2x} LEFT ( x-1 RIGHT )]
[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =1]이고, [eqn: x][eqn: =1]의 좌우에서 [eqn: f'' LEFT ( x RIGHT )]의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는[eqn: LEFT ( 1,~ {3} over {e ^{2}} RIGHT )]이다.
점 [eqn: LEFT ( 1,~ {3} over {e ^{2}} RIGHT )]에서의 점선의 방정식은 [eqn: y][eqn: =- {3} over {e ^{2}} x+ {6} over {e ^{2}}]   [eqn: therefore {b} over {a}][eqn: = {{6} over {e ^{2}}} over {- {3} over {e ^{2}}}][eqn: =-2]

해

설

43  ③

답

해

설

ㄱ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {1} over {e}]이므로 치역은
[eqn: LEFT { y|y LEQ {1} over {e} RIGHT }]이다. (참)
ㄴ. 변곡점은 [eqn: LEFT ( e sqrt {e} ,~ {3} over {2e sqrt {e}} RIGHT )]이다. (참)
ㄷ. 선분 [eqn: rmAB]는 부등식 [eqn: y LEQ f LEFT ( x RIGHT )]의 영역에 있다.
(거짓)

44  ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: 3], 최솟값이 [eqn: -6]이므로 [eqn: b][eqn: =3], [eqn: b-27a][eqn: =-6][eqn: LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE][eqn: a][eqn: = {1} over {3}], [eqn: b][eqn: =3]    [eqn: therefore][eqn: 3a+b][eqn: =4]

해

설

45    ②

답

해

설

[eqn: rmbarDE][eqn: =rmbarFG][eqn: =x]로 놓으면
[eqn: rm {bar{DE}}][eqn: = {1} over {sqrt {3}} it x],
[eqn: rmbarCF][eqn: = sqrt {3x}]
[eqn: THEREFORE rmbarEF][eqn: =6- {4 sqrt {3}} over {3} x]
구하는 넓이를 [eqn: rm S LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =x LEFT ( 6- {4 sqrt {3}} over {3} x RIGHT )]
[eqn: rm S prime LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =6- {8 sqrt {3}} over {3} x][eqn: =0]에서  [eqn: x][eqn: = {3 sqrt {3}} over {4}]
[eqn: thereforermS LEFT ( {3 sqrt {3}} over {4} RIGHT )][eqn: = {9 sqrt {3}} over {4}]

46  [eqn: 6]

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -12x+9][eqn: =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )][eqn: =0]
에서 [eqn: x][eqn: =1] 또는 [eqn: x][eqn: =3]

해

설

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =3]엣 극소이므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]중 작은 값이 최솟값이다.
이때, [eqn: k-16<k]이므로 [eqn: k-16][eqn: =-10]  [eqn: thereforek][eqn: =6]

47  ②

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x-4+ {a} over {x}][eqn: = {2x ^{2} -4x+a} over {x}]
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 구간 [eqn: LEFT ( 0,~ INF RIGHT )]에서 증가하려면 이 구간에서[eqn: LEFT ( BECAUSE x>0 RIGHT )] [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이어야 하므로 [eqn: 2x ^{2} -4x+a GEQ 0`]
이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -4x+a][eqn: =0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면
[eqn: {D} over {4}][eqn: = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} -2a LEQ 0]  [eqn: thereforea GEQ 2]

해

설

[eqn: thereforek][eqn: =2]

48   ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -6kx ^{2} +9][eqn: =0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 하면 [eqn: alpha+beta][eqn: =2k], [eqn: alphabeta][eqn: =3]
극댓값과 극솟값의 합이 [eqn: 0]이므로 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) +f LEFT ( beta RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: LEFT ( alpha ^{3} -3k` alpha ^{2} +9 alpha +27 RIGHT ) + LEFT ( beta ^{3} -3k` beta ^{2} +9 beta +27 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( alpha ^{3} + beta ^{3} RIGHT ) -3k LEFT ( alpha ^{2} +beta ^{2} RIGHT ) +9 LEFT ( alpha+beta RIGHT ) +54]
[eqn: =-2 LEFT ( k-3 RIGHT ) LEFT ( 2k ^{2} +6k+9 RIGHT )][eqn: =0]
따라서 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3]이다.

해

설

49  ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 감소하는 구간은 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) <0]인 구간이므로 주어진 그래프에 의하여 [eqn: LEFT ( - INF ,~-1 RIGHT )]이다.

해

설

50  ③

답

해

설

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )][eqn: =-t ^{3} +3t ^{2} +24t]라고 하면
[eqn: f' LEFT ( t RIGHT )][eqn: =-3 LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t-4 RIGHT )]
[eqn: f' LEFT ( t RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: t][eqn: =-2] 또는 [eqn: t][eqn: =4]이므로
[eqn: y][eqn: =f LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.
따라서 [eqn: a]의 값은 [eqn: 4]이다.

51  [eqn: {9} over {5}]

답

[eqn: -3 LEQ x LEQ 1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =-3]일 때 최댓값을, [eqn: x][eqn: =1]일 때 최솟값을 갖는다.
[eqn: thereforeM][eqn: =f LEFT ( -3 RIGHT )][eqn: =- {3} over {5}], [eqn: m][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =-3]
[eqn: thereforeMm][eqn: = LEFT ( - {3} over {5} RIGHT ) · LEFT ( -3 RIGHT )][eqn: = {9} over {5}]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅲ. 미분법		2. 도함수의 활용			정답
	03 방정식과 부등식에의 활용
		ㅉ

01  [eqn: k>1]

답

02   ③

답

해

설

직선 [eqn: y=kx]가 두 곡선[eqn: y=ln`x,`y=e ^{x}]과 모두 만나지 않아야 한다.
[eqn: rm LEFT ( i RIGHT ) ity=ln`x]와 접할 때, [eqn: ln`x]     위의 점 [eqn: LEFT ( t,`ln`t RIGHT )]에서의      접선의 방정식은            [eqn: y-ln`t= {1} over {t} LEFT ( x-t RIGHT )]
이것이 원점을 지나므로 [eqn: -ln`t=-1]에서            [eqn: t=e```````````````````````````````` THEREFORE k=- {1} over {t} = {1} over {e}]
[eqn: LEFT ( rmii`it RIGHT ) y=e ^{x}]과 접할 때, [eqn: y=e ^{x}]위의 점[eqn: LEFT ( t,`e ^{t} RIGHT )]에서의      접선의 방정식은 [eqn: y-e ^{t} =e ^{t} LEFT ( x-t RIGHT )]
이것이 원점을 지나므로 [eqn: t=1``` THEREFORE k=e ^{t} =e]
따라서 오른쪽 그림에서 구하는 [eqn: k]값의 범위는
[eqn: {1} over {e} <k<e]

03   ③

답

해

설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{2} -ln LEFT ( 1+x ^{2} RIGHT )]이라고 하면[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =x- {2x} over {1+x ^{2}}][eqn: = {x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )} over {1+x ^{2}} =0]
에서 [eqn: x=-1,`0,`1]
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {2} -ln`2]이므로 구하는 [eqn: k]값의 범위는 [eqn: {1} over {2} -ln`2<=k<0]

04   ③

답

해

설

[eqn: y=ln`x,`y=kx ^{2}]이 서로 다른 점에서 만나야 하므로 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라고 하면 [eqn: ln`a=ka ^{2} ,` {1} over {a} =2ka]
따라서 [eqn: a=e ^{{1} over {2}} ,`k= {1} over {2e}]이므로 [eqn: k]값의 범위는 [eqn: 0<k< {1} over {2e}]

05  ③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =cos ^{2} x+2`cos`x+2x ^{2}]이라고 하면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-2`cos`x`sin`x-2`sin`x+4x# f '' LEFT ( x RIGHT ) =2`sin` ^{2} x-2`cos ^{2} x-2`cos`x+4# ```````````````=-2`cos`2x-2`cos`x+4>0# `` LEFT ( BECAUSE `cos`2x <= 1,`cos`c <= 1 RIGHT )]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이고 [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: x>0]에서[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) >0]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]도 증가함수이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =3]이므로 [eqn: x>0]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >3]이때, 항상 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >k]이어야 하므로
[eqn: k<=3]따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

답

해

설

06  ①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} - LEFT ( {x ^{2}} over {2} +x+k RIGHT )]라고 하면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} - LEFT ( x+1 RIGHT ) ,`f''=e ^{x} -1>0]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이고 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) >0,] 즉[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1-k]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >1-k]
[eqn: therefore1-k>=0````````````````````thereforek<=1]

답

해

설

07  ⑤

[eqn: y=e ^{x}]의 접선 중 원점을 지나는 것은 [eqn: y=ex,`]즉 점 [eqn: LEFT ( 1,`e RIGHT )]에서의 접선과 같으므로 [eqn: a<=e]이고, 원점과 점 [eqn: LEFT ( 2,`e ^{2} RIGHT )]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y= {e ^{2}} over {2`} x]
이므로 [eqn: beta>= {e ^{2}} over {2}]이다. 따라서 [eqn: beta-alpha]의 최솟값은 [eqn: {e ^{2}} over {2} -e=e LEFT ( {e} over {2} -1 RIGHT )]

답

해

설

08   ①

답

해

설

[eqn: y=e ^{2x}]의 그래프 위의 접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,`e ^{2t} RIGHT )]이라고 하면 접선의 방정식은 [eqn: y-e ^{2t} =2e ^{2t} LEFT ( x-t RIGHT )]
점 [eqn: LEFT ( -2,`0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: -e ^{2t} =-2e ^{2t} LEFT ( 2+t RIGHT ) `````` THEREFORE t=- {3} over {2} ````# THEREFORE k=2e ^{2t} =2e ^{-3} = {2} over {e ^{3}}]
따라서 서로 다른 두 실근이 존재하는 [eqn: k]값의 범위는 [eqn: k> {2} over {e ^{3}}]

09  ②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -a`ln`x]라고 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 0보다 클 때 부등식 [eqn: x ^{2} >a`ln`x] 성립한다.
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2x- {a} over {x} =0]에서 [eqn: x sqrt {{a} over {2} ,}] 즉 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= sqrt {{a} over {2}}]에서 극소이면서 최소이므로 [eqn: f LEFT ( sqrt {{a} over {2}} RIGHT ) = {a} over {2} LEFT ( 1-ln {a} over {2} RIGHT ) >0```````````therefore0<a<2e]

답

해

설

10  [eqn: 1-k>=0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =cos`x- LEFT ( k- {1} over {2} x ^{2} RIGHT )]이라고 하면 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =-sin`x+x,`f' LEFT ( x RIGHT ) =-cos`x+1>=0]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이고 [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT )]이므로 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) >0,]
즉 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1-k]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >1-k``````therefore1-k>=0]

답

해

설

11   ⑤

답

해

설

[eqn: y=x]와 [eqn: y=ln`ax]가 접할 때의 [eqn: a]의 값이 최댓값이므로 접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,`ln`at RIGHT )]로 놓으면 접전의 방정식은 [eqn: y=x+ln`a-1]이므로 [eqn: x+ln`a-1=x]에서 [eqn: a=e]
따라서 주어진 부등식을 만족하는 양수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: e]이다.

12  [eqn: 18]개

답

해

설

[eqn: ln`x-x+20=n]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln`x-x+20]과 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =n]의 그래프의 교점이 [eqn: 2]개인 [eqn: n]값의 범위는 [eqn: n<19]이므로 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 18]개 이다.

13   ④

답

해

설

[eqn: therefore4]개

14  ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln`x], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =kx]로 놓고 두 함수의 그래프의 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라고 하면
[eqn: ln`t][eqn: =kt], [eqn: f' LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {1} over {t}][eqn: =k]에서 [eqn: t][eqn: =e]
[eqn: therefore0<k< {1} over {e}]    [eqn: thereforep+q][eqn: = {1} over {e}]

해

설

15  ③

답

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -2x+1][eqn: =3 LEFT ( x- {1} over {3} RIGHT ) ^{2} + {2} over {3}]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이다.
따라서 [eqn: x GEQ 0]에서 부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]이 성립하려면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) >0]이어야 한다.
[eqn: thereforea>0]

해

설

16   ③

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{3} -3x ^{2} -12x], [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =a]로 놓으면
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: =0]에서
[eqn: x][eqn: =-1]또는 [eqn: x][eqn: =2]
주어진 방정식의 근은 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y= rm g LEFT ( it `x RIGHT )]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표와 같으므로 상수 [eqn: a]의 값이 범위는 [eqn: 0<a<7]

해

설

17   ⑤

답

① [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rm g LEFT ( it `x RIGHT ) =0]⟹[eqn: x][eqn: =a], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: h], [eqn: i] (거짓)
② [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rm g LEFT ( it `x RIGHT ) >0]⟹[eqn: a<x<c], [eqn: d<x<h] (거짓)
③ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rm g LEFT ( it `x RIGHT ) <0]⟹[eqn: x<a],[eqn: c<x<d][eqn: h<x<i]
[eqn: x>i] (거짓)
④ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rm =g LEFT ( it `x RIGHT )]⟹[eqn: x=b], [eqn: e], [eqn: i]  (거짓)
⑤ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) rm =g LEFT ( it `x RIGHT )][eqn: =0]⟹[eqn: x=i]  (참)

해

설

18  ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x-a`sin`x-1]로 놓으면
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1-a`cos`x]
[eqn: -1 LEQ cos`x LEQ 1,] [eqn: 0<a<1]이므로
[eqn: -a LEQ a`cos`x LEQ a]
[eqn: therefore1-a LEQ 1-a`cos`x LEQ 1+a]
이때, [eqn: 0<a<1]에서 [eqn: 1-a>0]이므로
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1-`a`cos`x>0]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =-1<0]이므로 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]은 [eqn: 1]개의 실근을 갖는다.

해

설

19  ②

답

해

설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} +x ^{2}], [eqn: rmg LEFT ( it`x RIGHT )][eqn: =a]로 놓으면
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =0] 또는
[eqn: x][eqn: =1]또는 [eqn: x][eqn: =2]
따라서 함수
[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: thereforea LEQ 0]

20  [eqn: 2]

답

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) -rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =x ^{4} -4x+1+k]로 놓으면
[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x ^{3} -4][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =1]
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]을 만족하므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =k-2 GEQ 0]   [eqn: thereforek GEQ 2]
따라서 구하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

해

설