미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		1. 부정적분과 정적분			반 / 번호
	01 부정적분					이름

01

다음 부정적분을 구하시오.
(1) [eqn: int _{} ^{} {x(x+1)dx}]
(2) [eqn: int _{} ^{} {(x+1)`(x-2)dx}]

02

[eqn: f prime (x)=2x-1,```~f(0)=2]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하시오.

03

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: int _{} ^{} {(3x-2)f(x)} dx# = {3} over {4} x ^{4} + {4} over {3} x ^{3} - {13} over {2} x ^{2} +6x+C]
를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

(단, [eqn: C``]는 적분상수)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

04

곡선 [eqn: y=f(x)]는 점 [eqn: (1,~3)]을 지나고 곡선 위의 임의의 점 [eqn: (x,~y)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 3x^2 - 6x +3]이다. 이때, 방정식 [eqn: f(x)=0]의 모든 근의 합은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

05

두 다항식 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
[eqn: d over dx `left{{`f(x)+g(x) `right}=2x+1],
[eqn: {d} over {dx} ` LEFT { `f(x)g(x)` RIGHT } =3x ^{2`} -2x+1]
을 만족시키고 [eqn: f(0)=1], [eqn: g(0)=-1]일 때, [eqn: f(1)-g(1)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

06

오른쪽 그림은 다항함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]의 그래프이다. [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 9], 극솟값이 [eqn: 1]일 때, [eqn: f(-1)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

07

점 [eqn: (1,~3)]을 지나는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,~f(x))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2x+1]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

08

다항함수 [eqn: f(x)]와 그 부정적분 [eqn: F`(x)]에 대하여
[eqn: F``(x)=xf(x)-2x ^{2} (x-1)], [eqn: f(1)=0]
이 성립한다. [eqn: -1`le`x`le`1]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M+3m]의 값을 구하여라.

09

다음 부정적분을 구하여라.
(1) [eqn: int _{ } ^{ } { 3x^2}dx]
(2) [eqn: int _{} ^{} {2x} dx]
(3) [eqn: int _{} ^{} {2} dx]
(4) [eqn: int _{} ^{} {x ^{10}} dx]

10

다음 부정적분을 구하여라.
(1) [eqn: int _{} ^{} {(x ^{2} -x)} dx]
(2) [eqn: int _{} ^{} {LEFT ( ` {1} over {3} x ^{2} RIGHT . + {1} over {2} x+ 1 right) }dx]

11

다음을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

[eqn: int _{ } ^{ } {f(x) }dx= x^3 -2x^2 +x-1]

12

점 [eqn: (1,~2)]를 지나는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: (x,~y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2x-1]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

13

함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(0)=3]

(나) [eqn: f`'(x)=x^3 -4x]

14

[eqn: int _{ } ^{ } {(2x-1) ^4 }dx]를 구하여라.

15

함수 [eqn: f(x)`=` int _{} ^{} {{x ^{3}} over {x-1}} dx- int _{} ^{} {{1} over {x-1}} dx]에 대하여 [eqn: f(1)=2]일 때, [eqn: f(0)]의 값을 구하여라.

16

함수 [eqn: f(x) = int _{ } ^{ } { 6(x^2 -x-2) }dx]의 극댓값이 [eqn: 7]일 때, [eqn: f(x)]의 극솟값은?

① [eqn: -16]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -20]

④ [eqn: -22]	⑤ [eqn: -24]

17

함수 [eqn: f(x) = int _{ } ^{ } { (x^2 -2x+3)}dx]일 때,
[eqn: lim _{ h`->`0} { { f(1+h)-f(1-h)} over { h} }]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

18

함수 [eqn: f(x)]와 그 부정적분 [eqn: F`(x)]에 대하여 [eqn: F`(x) = xf(x) +2x^3 -x^2], [eqn: f(1) =0]일 때, [eqn: f(-1)]의 값을 구하여라.

19

두 함수 [eqn: f(x)=x^2], [eqn: g(x) = 2 x+1]일 때, [eqn: int _{ } ^{ } { h(x) }dx=f(x)g(x)]를 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]에 대하여 [eqn: h(-1)]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

20

다항함수 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여
[eqn: d over dx left{ f(x) +g(x) right} = 5], [eqn: d over dx left{ f(x) g(x) right} = 12x- 2]
일 때, [eqn: f(1)+g(1)]의 값은?

(단, [eqn: f(0)=0,~g(0)=-1])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

21

[eqn: int _{} ^{} {f(x)} dx=x ^{4} +x ^{3} -x ^{2} +x-1]을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

22

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)= {□``x``□} over {x}], [eqn: f(-1)=-1], [eqn: f(2)=1]일 때, [eqn: f(-2)+f(1)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

23

[eqn: 0<x<1]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: f(x)=1+2x+3x^2 +4x^3 +cdots + n x^n-1]
이고, [eqn: F`(x) = int _{ } ^{ } { f(x)}dx]일 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} { F`left( 1 over 5 right)}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: F`(0)=0])

24

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)=2], [eqn: f'(x)=3x^2 -2x+3]일 때, [eqn: f ( 1 )]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

25

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f'(x)=2x-a], [eqn: lim_{ x'->'1}{ { f(x)} over { x-1} =3]을 만족시킬 때, [eqn: f ( 2 )]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

26

임의의 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f ( x )]와 그 부정적분 [eqn: F(x)] 사이에 [eqn: F(x)=xf(x)-2x^2 (x-1)]인 관계가 있고 [eqn: f(1)=2]일 때, [eqn: f(-1)]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

27

다항함수 [eqn: f ( x )]에 대하여
[eqn: int xf(x)dx=x^4 +2x^3 - x^2 +C]일 때, [eqn: f ( 0 )]의 값은? (단, [eqn: C``]는 적분상수)

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

28

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f_n ( x )]가 [eqn: f_n (0)=0], [eqn: f _{n} (x)= int _{} ^{} {} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} kx ^{k-1} RIGHT ) dx]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {f _{n} LEFT ( {2} over {3} RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

29

점 [eqn: ( 1 ,~ 1)]을 지나는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: ( x ,~ y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x^2 -2x]일 때, 다음 중 곡선 [eqn: y=f(x)]가 지나는 점의 좌표는?

① [eqn: (-1,~ -1)]	② [eqn: (0,~ -1)]	③ [eqn: ( 2 ,~ 6)]

④ [eqn: (3,~ 16)]	⑤ [eqn: (-2,~ 7)]

30

함수 [eqn: f(x)=ax^2 +bx+c]와 그 부정적분 [eqn: F``(x)]에 대하여 [eqn: F``(x)=xf(x)-4x^3 +x^2 -5]가 성립하고 [eqn: f(-1)=4]일 때, [eqn: f(x)]의 모든 계수의 합 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

31

모든 실수에서 연속인 함수 [eqn: F``(x)]에 대하여
[eqn: F``'(x)=f(x)]이다.
[eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같고 [eqn: F``(x)]의 극솟값이 [eqn: 1]일 때, 함수 [eqn: F``(x)]의 극댓값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

32

점 [eqn: (-1,~ 2)]를 지나는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: ( x ,~ f( x ) )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x^2 +4x-3]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=0]의 모든 근의 곱을 구하여라.

33

[eqn: int _{} ^{} {{x ^{4}} over {x ^{2} +x+1}} dx+ int _{} ^{} {{x ^{2}} over {x ^{2} +x+1}} dx# + int _{} ^{} {{1} over {x ^{2} +x+1} dx}]
를 간단히 하면? (단, [eqn: C]는 적분상수)

① [eqn: x ^{2} -x+C]	② [eqn: x ^{2} +x+C]

③ [eqn: x ^{4} +x ^{2} +x+C]	④ [eqn: {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} +x+C]

⑤ [eqn: {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +x+C]

34

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -1,~`g(x)=3x+2]에 대하여
[eqn: int _{} ^{} {F(x)dx=f(x)g(x)+C]
(단, [eqn: C]는 적분상수)
를 만족시키는 함수 [eqn: F(x)]가 있다. 이때, [eqn: F(0)]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

35

[eqn: f prime (x)=x ^{2} +4x-5,~f(3)=13]을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

36

이차함수 [eqn: f(x)]와 그 부정적분 [eqn: F(x)] 사이에 [eqn: F(x)=xf(x)+2x ^{3} +x ^{2}]인 관계가 성립한다. [eqn: f(0)=0]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

37

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +3x+2],
[eqn: g(x)=ax ^{2} +bx+c]에 대하여 [eqn: f(x)+g(x)]의 도함수가 [eqn: int _{} ^{} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx]일 때, [eqn: g(0)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

38

점 [eqn: (1,~3)]을 지나는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,~f(x))]에서의 접선의 기울기가
[eqn: 3x ^{ 2}+2x-1]일 때, 이 곡선과 [eqn: y]축이 만나는 점의 [eqn: y]좌표는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

39

오른쪽 그림은 삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f prime (x)]의 그래프이다. 삼차함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 6], 극솟값이 [eqn: 2]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		1. 부정적분과 정적분			반 / 번호
	02 구분구적법					이름

01

오른쪽 그림과 같이 함수 [eqn: y=x^9]의 그래프가 있다. 직선 [eqn: x=n] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots])이 [eqn: x]축과 이 그래프를 지나는 점을 각각 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rmQ_{itn }]이라고 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {rm bar{P _{1} Q _{1}} + bar{P _{2} Q _{2}} + CDOTS + bar{P _{itn} Q _{itn}} it}overn^10]의 값을 [eqn: S]라고 한다. 이때, [eqn: 100S]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 100]

02

곡선 [eqn: y= x^2]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구분구적법으로 구하여라.

03

밑변의 길이가 [eqn: a], 높이가 [eqn: h]인 삼각형의 넓이를 구분구적법으로 나타내어라.

04

반지름의 길이가 [eqn: r]인 원의 넓이를 구분구적법으로 구하여라.

05

오른쪽 그림과 같이 함수 [eqn: y=x ^{9}]의 그래프가 있다. 직선 [eqn: x=n] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS )]
이 [eqn: x]축과 이 그래프를 지나는 점을 각각 [eqn: rm P _{it n,~ rm} rm Q _{it n rm}]이라고 할 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {{bar{rm P _{1} Q _{1} it} + bar{rm P _{2} Q it rm _{2} it} + CDOTS + bar{rm P _{it n rm} rm Q it rm _{it n rm } it}} over {n ^{10}}}]의 값을 [eqn: S]라고 한다. 이때, [eqn: 100S]의 값을 구하시오.

06

오른쪽 그림은 연속함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. 구간 [eqn: [`0,~1`]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]가 존재하고 연속일 때, 극한값
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} LEFT { g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {k} over {n}}]와 같은 값을 갖는 것은?

① [eqn: int _{ 0} ^{ 1} {g(x) } dx]	② [eqn: int _{0} ^{1} {xg(x)} dx]

③ [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)} dx]	④ [eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)} dx]

⑤ [eqn: int _{0} ^{1} {left{f(x)-g(x)right}} dx]

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		1. 부정적분과 정적분			반 / 번호
	03 정적분					이름

01

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: int _{ 1} ^{x } {f(t)dt=3x^2 +2ax+1 }]을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수)

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

02

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=x^2 +x int _{ 0} ^{ 2} {f(t)dt+1 }]을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

03

[eqn: lim _{ x->1} { { 1} over { x-1} int _{ 1} ^{x } {(t^3 +3t^2 +2)dt } }]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

04

다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(f(x))= int _{ 0} ^{ x} {f(t) }dt +x^2 +2x -2]를 만족시킬 때, [eqn: f(-1)]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

05

함수 [eqn: f(x)= int _{ -2} ^{ x} { (t^2 +t-2)}dt]의 극댓값을 [eqn: alpha], 극솟값을 [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: alpha +beta]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: - { 9} over {2 }]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: - { 7} over {2 }]	⑤ [eqn: -3]

06

임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(n)]이
[eqn: f(n)= int _{ 0} ^{ 1} {left( x+ { x^2} over {2 }+ { x^3} over { 3}+cdots + { x^n} over {n } }right) dx]일 때,
[eqn: lim _{ n->inf} { f(n)}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

07

[eqn: f(x) =x^3 + x^2 -2x]일 때
[eqn: lim _{ x`->`2} { { 1} over { x-2} int _{ 2} ^{ x} { f(t)} dt}]
의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

08

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)} dt`=x ^{3} +x ^{2} -2ax]
를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

09

함수 [eqn: f(x)= int _{ x} ^{ x+4} {(t-1)(t-5) }dt]라고 할 때, [eqn: f(x)]의 최솟값을 구하여라.

10

다음을 정적분으로 나타내어라.
(1) [eqn: lim _{ n`->`inf} { sum _{ k=1} ^{n } }left( 2 + { a-2} over { n}cdot k right) ^2 cdot a-2 over n]
(2) [eqn: lim _{ n`->`inf} { sum _{ k=1} ^{ n} }left( 1 + 2 over n cdot k right) cdot 2 over n]

11

[eqn: f(x)= int _{1} ^{x} {(2t-1)} dt]일 때, [eqn: f`'(x)]를 구하여라.

12

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{h` -> `0} {` {1} over {h} int _{0} ^{h} {(t ^{2} +t+2)} dt}]
(2) [eqn: lim _{x` -> `1} {` {1} over {x-1} int _{1} ^{x} {(t-2) ^{2} `} dt}]

13

다음 물음에 답하여라.
(1) 정적분 [eqn: int _{ 1} ^{ 2} { (x-1)(x-2)}dx]의 값을 구하여라.
(2) [eqn: f(x) = int _{ 1} ^{ x} {(t^2 -2t)}dt]일 때, [eqn: f`'(1)]의 값을 구하여라.
[eqn: f` prime (x)`= d over dx int _{ 1} ^{ x} { (t^2 -2t) }dt = x^2 -2x]

[eqn: therefore f`'(1) =1-2=-1]

14

정적분 [eqn: int _{ -1} ^{ 1} { (x-1)^2}dx]의 값을 구하여라.

15

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 식을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

[eqn: int _{ 1} ^{ x} { tf(t)}dt = x^3 + 2x^2]

16

[eqn: lim _{h` -> `0} {{1} over {h} int _{2} ^{2+2h} {|``x ^{2} -1``|} ``dx}]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

17

[eqn: lim _{x`->`1} {{1} over {x ^{2} -1} int _{1} ^{x} {(t-1)(2t+1)}} dt]의 값을 구하여라.

18

[eqn: lim _{n`->`inf} {n int _{1} ^{1+ {1} over {n}} {(x ^{2} +1)}} dx]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

19

함수 [eqn: f(x)`=` int _{0} ^{x} {(t ^{2} +at)} dt]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: b]를 가질 때, [eqn: a+6b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

20

함수 [eqn: f(x)=-2x(x-2)]에 대하여 함수 [eqn: y= int _{x} ^{x+1} {f(t)} dt]가 최댓값을 가질 때의 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

21

다항함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x) = x^2 + int _{ 0} ^{ 1} { xf(t)}dt]를 만족시킬 때,
[eqn: int _{ 0} ^{ 1} {f(x) }dx]의 값은?

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

22

함수 [eqn: f(x) = int _{ 0} ^{ x} { (t^2 -t-2)}dt]의 극댓값은?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 5 over 6]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 7 over 6]

23

함수 [eqn: f(a)= int _{0} ^{2} {(a ^{2} x ^{3} -3ax+1)} dx]의 최솟값을 [eqn: m], 이때의 [eqn: a]의 값을 [eqn: n]이라고 할 때 [eqn: m+n]의 값을 구하여라.

24

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f_n (x)]를 다음과 같이 정의할 때, [eqn: f _{2016} LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은?

(가) [eqn: f_1 (x)=x]

(나) [eqn: f_n+1 (x)=x+ int _{ 0} ^{ 1} {f_n (x) }dx]

① [eqn: 1007]	② [eqn: 1008]	③ [eqn: 1009]

④ [eqn: 1010]	⑤ [eqn: 1011]

25

다음 식을 만족시키는 다항식 [eqn: f(x)]의 계수들의 합은?
[eqn: f(f(x))= int _{ 0} ^{ x} { f(t)}dt-x^2 +3x+3]

① [eqn: 3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: -1]

26

다항식 [eqn: f(x)=x^2 -ax+ int_{1}^{x}{g(t)}dt]가 이차식 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어질 때, [eqn: g( x )]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 구하여라.

27

[eqn: 5]차 이하의 모든 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx}# =f` LEFT ( - sqrt {{3} over {5}} RIGHT ) a+f(0)b+f` LEFT ( sqrt {{3} over {5}} RIGHT ) a]
를 만족시키는 상수 [eqn: a,~b]가 존재한다. 이때, [eqn: a,~b]를 순서대로 나열한 것은?

① [eqn: {4} over {9} ,~ {10} over {9}]	② [eqn: {5} over {9} ,~ {8} over {9}]	③ [eqn: {2} over {3} ,~ {2} over {3}]

④ [eqn: {7} over {9} ,~ {4} over {9}]	⑤ [eqn: {8} over {9} ,~ {2} over {9}]

28

삼차함수 [eqn: f(x)]가 세 조건
[eqn: f(-x)=-f(x)], [eqn: f` prime (1)=1],
[eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx=4}]
를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

29

다음에서 [eqn: f prime (1)]의 값을 구하시오.
(1) [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(t ^{2} +2t)dt}]
(2) [eqn: f(x)= int _{1} ^{x} {(t+1)(t ^{} +2)dt}]

30

[eqn: f(x)=(x+2) ^{3}]일 때, 다음 극한을 구하시오.
(1) [eqn: lim _{x-> 0} {{1} over {x} int _{0} ^{x} {f(t)dt}}]
(2) [eqn: lim _{x -> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x} {f(t)dt}}]

31

상수함수가 아닌 함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: f prime (x)]가 연속이고 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {LEFT { f` prime (t) RIGHT } ^{2} dt}]를 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

32

[eqn: int _{1} ^{x} {(t+1)f(t)dt=x ^{3} +x ^{2}} -x+a]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: a+f(1)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

33

구간 [eqn: [`-2,~2`]]에서 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {t(t ^{} -2)dt}]의 최댓값은?

① [eqn: f(-2)]	② [eqn: f(-1)]	③ [eqn: f(0)]

④ [eqn: f(1)]	⑤ [eqn: f(2)]

34

두 다항식 [eqn: f(x),~g(x)]가 항등식
[eqn: f(x)+ int _{0} ^{x} {g(t)dt=f prime (x)g(x)=(x+1) ^{2}}]
을 만족시킬 때, [eqn: 2 LEFT { f(1)+g prime (1) RIGHT }]의 값을 구하시오.

35

다음은 [eqn: F`` prime (x)=f(x)]일 때,
[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx=F(b)-F(a)}]임을 증명한 것이다.

․ 증명 ․

[eqn: S(x)= int _{a} ^{x} {f(t)dt}]라고 하면

[eqn: S(x)=` BOX{`````(가)~} +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: S(a)= BOX{`````(나)~}]이므로  [eqn: C=box{~```(다)~]

[eqn: THEREFORE int _{a} ^{x} {f(t)dt=F(x)-F(a)}]

여기에 [eqn: x=b]를 대입하면
[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx=F(b)-F(a)}]

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 적으면?

① [eqn: f(x),~0,~f(a)]	② [eqn: F(x),~0,~F(a)]

③ [eqn: f(x),~0,~-F(a)]	④ [eqn: F(x),~0,~-F(a)]

⑤ [eqn: f(x),~1,~-F(a)]

36

함수 [eqn: f(x)=(x-2) ^{3} (2x-3)]에 대하여
[eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x} {f(t)dt}}]의 값을 구하여라.

37

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: xf(x)=x^4 +x^2 + int _{ 1} ^{ x} { f(t)}dt]를 만족시킬 때, [eqn: f`'(1)]의 값은?

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		1. 부정적분과 정적분			반 / 번호
	04 정적분의 계산					이름

01

다음 정적분의 값을 구하시오.
(1) [eqn: int _{0} ^{1} {(x ^{2} +2x)dx ^{}}]
(2) [eqn: int _{1} ^{2} {(x ^{} -1)(x-2)dx ^{}}]
(3) [eqn: int _{0} ^{1} {(x ^{} +1) ^{2} dx ^{}} - int _{0} ^{1} {(y-1) ^{2} dy}]
(4) [eqn: int _{-1} ^{1} {(x ^{3} -2x ^{2} +5x-1)dx ^{}}]

02

정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {} {x ^{3}} over {x-1} `dx- int _{0} ^{1} {{1} over {t-1}} dt]의 값은?

① [eqn: 5 over 6]	② [eqn: { 7} over {6 }]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {11} over {6}]	⑤ [eqn: {13} over {6}]

03

정적분 [eqn: int _{ -1} ^{3 } { |``x^2 -2x``|`}dx]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04

정적분 [eqn: int _{ -a} ^{a } {(x^2n-1 +x) dx}]의 값은?

① [eqn: -2a]	② [eqn: - a]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: a]	⑤ [eqn: 2a]

05

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { (n+1)^3 +(n+2)^2 +cdots+(2n)^3} over {n^4 } }]의 값을 구하여라.

06

[eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) ^{2} {k} over {n ^{2}}}]의 값은?

① [eqn: {11} over {4}]	② [eqn: {13} over {4}]	③ [eqn: { 15} over {4 }]

④ [eqn: { 17} over {4 }]	⑤ [eqn: { 19} over { 4}]

07

다음  중 정적분 [eqn: int _{ 0} ^{ 3} {(1+x)^2 }dx]와 같은 값을 갖는 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~ lim _{n -> INF } {`` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2}} {3} over {n}]

[eqn: ㄴ.~ lim _{n->inf } {` sum _{ k=1} ^{n }left(1+ 3k over n right) ^2 } 3 overn]

[eqn: ㄷ.~ lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{3n} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} {1} over {n}}]

[eqn: ㄹ.~ lim _{n -> INF } {`` sum _{k=1} ^{3n} LEFT ( 1+ {k} over {3n} RIGHT ) ^{2}} {1} over {3n}]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄹ]	⑤ [eqn: ㄷ,~ㄹ]

08

함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} -2x]에 대하여
[eqn: int _{2} ^{5} {f(x)} dx`- int _{3} ^{5} {f(t)} dt+ int _{1} ^{2} {f(y)} dy]
의 값을 구하여라.

09

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)]를 만족시킨다.
[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)} dx=a], [eqn: int _{0} ^{3} {f(x)} dx=b]
일 때, [eqn: int _{-3} ^{-1} {f(x)} dx]를 [eqn: a,~b]로 나타내면?

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: a+b]	② [eqn: a-b]	③ [eqn: { }a+b over { 2}]

④ [eqn: { a-b} over { 2}]	⑤ [eqn: b-a]

10

정적분 [eqn: int _{ -1} ^{1 } {rmMax left{itx,~x^2 right} }dx]의 값은?

(단, [eqn: rmMax left{ita,~b right}]는 두 실수 [eqn: a,~b] 중

작지 않은 수를 나타낸다.)

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: { 2} over { 3}]	⑤ [eqn: { 5} over { 6}]

11

정적분 [eqn: int _{0} ^{4} {□`x ^{2} `-2x-3`□} `dx]의 값은?

① [eqn: { 34} over { 3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: - { 1} over {3 }]

12

함수 [eqn: f(x)= {cases{``|``x ^{2} -6x+2``|``~~(x` GEQ 1)##``|``x ^{2} -4``|`~~~~`~~(x`<4)}}]에 대하여 [eqn: int _{-2} ^{4} {f(x)} dx]의 값을 구하여라.

13

함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

Ⅰ. [eqn: f(x)=1- |``x`` |~(-1 le x le 1)]

Ⅱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)]가 성립한다.

이때 [eqn: int _{0} ^{50} {f(x)} dx]의 값은?

① [eqn: 25]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 125]

14

함수 [eqn: f(x)=x ^{3}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시켰더니 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 되었다.
[eqn: g(0)=0]이고, [eqn: int _{a} ^{3a} {g(x)} dx- int _{0} ^{2a} {f(x)} dx=32]
일 때, [eqn: a ^{4}]의 값을 구하여라.

따라서 [eqn: 2ab=2a ^{4} =32]이므로  [eqn: a ^{4} =16]

15

연속함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+4)]를 만족시킨다. [eqn: int _{ -2} ^{2 } { f(x)}dx=5]일 때, [eqn: int _{ 0} ^{8 } {f(x) }dx]의 값은?

① [eqn: -10]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 10]

16

다항함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=4x^3 + int _{ 0} ^{1 } { (x-2)f(t)dt]를 만족시킬 때, [eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x)}dx]의 값은?

① [eqn: { 1} over {5 }]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

17

정적분 [eqn: int _{0} ^{2} {` LEFT ( `` lim _{n -> INF } {LEFT. {3x ^{n+2} -2x ^{n} +1} over {x ^{n} +1} RIGHT )} dx RIGHT .}]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

18

다음 정적분의 값을 구하여라.
(1) [eqn: int _{1} ^{2} {3x ^{2}} dx]
(2) [eqn: int _{-1} ^{2} {(x+1)} dx]
(3) [eqn: int _{0} ^{2} {(3x ^{2} +2x)} dx`- int _{1} ^{2} {(3x ^{2} +2x)} dx]

19

다음 정적분의 값을 구하여라.
(1) [eqn: int _{ 0} ^{ 3} { |``x-1`` | }dx]
(2) [eqn: int _{ 0} ^{ 1} { (1+2x+3x^2 +4x^3 +5x^4 )} dx #- int _{ 0} ^{ -1} { (1+2x+3x^2 +4x^3 + 5x^4 ) }dx]

20

함수 [eqn: f(x) = cases {`2x+1~(x<0)##`x^2 + 1~( x ge 0)]일 때, [eqn: int _{ -1} ^{ 1} { f(x)}dx]의 값을 구하여라.

21

함수 [eqn: f(x) = x^2 -2x -1]일 때,
[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { f(x)}dx - int _{ 1} ^{ 2} { f(x) }dx + int _{ 0} ^{ 2} { f(x) }dx]의 값을 구하여라.

22

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(-x)=f(x)],
[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { f(x)}dx = 1]을 만족시킬 때,
[eqn: int _{ -1} ^{ 1} { (x+1)f(x)}dx]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

23

급수 [eqn: lim _{ n`->`inf} { sum _{ k=1} ^{ n} left( k over n right) ^2 cdot 1 over n}]의 값을 구하여라.

24

[eqn: lim _{n`->`inf} {{(n+1) ^{2} +(n+2) ^{2} +(n+3) ^{2} +cdots+(2n) ^{2}} over {n ^{3`}}}]의 값은?

① [eqn: 5 over 3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 7 over3]

④ [eqn: 8 over 3]	⑤ [eqn: 3]

25

[eqn: lim _{n`->`inf} {{sum _{k=1} ^{n} k ^{m}} over {n ^{m+1}}} = {1} over {5}]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

26

[eqn: int _{-1} ^{0} {{x ^{3} +x} over {x-1}} dx+ int _{0} ^{-1} {{x ^{2} +1} over {x-1}} dx]의 값은?

① [eqn: 4 over 3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 8 over 3]

④ [eqn: 11 over 3]	⑤ [eqn: 4]

27

함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 [eqn: int _{A} ^{x} {f(t)} dt=`x ^{2} -2x+1]을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

28

두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 연산 *을
[eqn: a*b=cases{`a~~(a ge b )##`b~~(a <b)]
로 정의할 때, [eqn: int _{ -1} ^{1 } {left{(x^2 -1) * (x-1) right} }dx]의 값은?

① [eqn: - 4 over 3]	② [eqn: - 7 over 6]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: - 5 over 6]	⑤ [eqn: - 2 over 3]

29

[eqn: int _{1} ^{3} {f(2x)} dx= lim _{n` -> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `f` LEFT ( 2+ {□`k} over {n} RIGHT ) CDOT {2} over {n}}]에서
□ 안에 알맞은 수를 구하여라.

30

함수 [eqn: f(x)= {cases{`1-x~~(0 LEQ x LEQ 1)##`x-1~~(1 LEQ x LEQ 2)}}]은 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 [eqn: f(x+2)=f(x)]를 만족시키다. 이때 [eqn: int _{ 0} ^{ 2} { xf(x+1)}dx]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

31

상수함수가 아닌 다항함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int _{-1} ^{a} {f(x)} dx=` int _{1} ^{a} {f(x)}dx]를 만족할 때, [eqn: int _{ -1} ^{ 1} {f(x) }dx]의 값을 구하여라.

32

[eqn: 0`<a<1]일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} LEFT { `` LEFT | ``a- {1} over {n} `` RIGHT | + LEFT | ``a- {2} over {n} `` RIGHT | + CDOTS + LEFT | ``a-1`` RIGHT | RIGHT }}]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1 over3]

④ [eqn: 1 over4]	⑤ [eqn: 1 over5]

33

[eqn: int_-1^2 (x-1)^2 dx+int_-1^2 (x+1)^2 dx]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

34

연속함수 [eqn: f ( x )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)]를 만족시킨다.
[eqn: int _{0} ^{1} {} f(x)dx=a,~ int _{0} ^{3} {} f(x)dx=b]
일 때, [eqn: int_-3^-1 f ( x )dx]를 [eqn: a,~ b]로 나타내면?

(단, [eqn: a,~ b]는 상수)

① [eqn: a+b]	② [eqn: a-b]	③ [eqn: a+b over2]

④ [eqn: a-b over 2]	⑤ [eqn: b-a]

35

함수 [eqn: f(x)=x^3]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시켰더니 함수 [eqn: y=g( x )]의 그래프가 되었다. [eqn: g(0)=0]이고 [eqn: int_a^3a g( x )dx - int_0^2a f ( x )dx=32]일 때, [eqn: a^4]의 값을 구하여라.

36

함수 [eqn: f(x)=x^2]에 대하여 [eqn: lim _{n`->`inf} sum_{k=1}^n f left( 3 over n k right) cdot 1 over n]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

37

다항함수 [eqn: f ( x )]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=4x^3 - int_0^1 (x-2)f(t)dt]일 때,
[eqn: int_0^1 f(x)dx]의 값은?

① [eqn: 1 over5]	② [eqn: 2 over 5]	③ [eqn: 3 over 5]

④ [eqn: 4 over 5]	⑤ [eqn: 1]

38

함수 [eqn: f ( x )]가 다음의 두 조건을 만족시킨다.

Ⅰ. [eqn: f(x)=1- |``x`` |] (단, [eqn: -1 le x le 1])

Ⅱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)]가 성립한다.

이때, [eqn: int_0^50 f(x)dx]의 값은?

① [eqn: 25]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 125]

39

[eqn: int_0^3 (`|``x-1``|+|``x-2``|`)dx]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 7 over2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 5]

40

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: f(x) `]에 대하여[eqn: int_x^x+1 f(t)dt=af(x)+bx]를 만족시킬 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은? (단, [eqn: a,~ b]는 상수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

41

상수함수가 아닌 함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: f' ( x )]가 연속이고 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {} LEFT { f prime (t) RIGHT } ^{2} dt]를 만족시킬 때, [eqn: f ( 1 )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

42

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n ^{6}} (1 ^{5} +2 ^{5} +3 ^{5} + CDOTS +n ^{5} )}]의 극한값은?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: 1 over 5]	⑤ [eqn: 1 over 6]

43

[eqn: int_1^x (x-t)f(t)dt=x^3 -4x^2 +2x+3]을 만족시키는 미분가능한 함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 [eqn: f ( 2 )]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

44

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다항함수 [eqn: f ( x )]가[eqn: f(-x)=f(x)]를 만족시키고 [eqn: int_0^1 f(x)dx=4]일 때, [eqn: int _-1^1 (x+1)f(x)dx]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

45

함수 [eqn: F``(x)=-3x^2 +4x]에 대하여
[eqn: int _{2} ^{5} {f(x)} dx- int _{3} ^{5} {f(x)} dx+ int _{-1} ^{2} {f(x)}dx]의 값은?

① [eqn: -20]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 6]

46

[eqn: lim _{n`->`inf} {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT )} ^{3} cdot {1} over {n}]의 값을 정적분을 이용하여 구하면?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

47

함수 [eqn: f(x)=(x-a)(x-b)(0<a<b)]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{b} {f(x)dx=0}]일 때, [eqn: b]를 [eqn: a]로 나타내면?

① [eqn: b=2a]	② [eqn: b=2a+1]	③ [eqn: b=3a]

④ [eqn: b=3a+1]	⑤ [eqn: b=3a+2]

48

이차방정식 [eqn: x^{ 2}+ax+b=0]의 두 실근을 [eqn: alpha,~ beta]라 할 때, [eqn: int _{a} ^{beta } {(x ^{2} +ax+b)dx}]를 [eqn: alpha,~ beta]로 나타내면? (단, [eqn: alpha< beta])

① [eqn: ( beta -a) ^{2}]	② [eqn: ( beta -a) ^{3}]

③ [eqn: -( beta -a) ^{3}]	④ [eqn: - {1} over {3} ( beta -a) ^{3}]

⑤ [eqn: - {1} over {6} ( beta -a) ^{3}]

49

이차방정식  [eqn: x^{ 2}+ax+b=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])라 할 때,  [eqn: int _{alpha} ^{gamma } {(x ^{2} +ax+b)dx} =0]을 만족시키는 [eqn: gamma~`` ( gamma >a)]를 [eqn: alpha,~ beta]로 나타내면?

① [eqn: {alpha+ beta } over {2}]	② [eqn: {2alpha+ beta } over {2}]	③ [eqn: {3 beta -alpha} over {2}]

④ [eqn: 3alpha+ beta]	⑤ [eqn: alpha +3 beta]

50

함수 [eqn: f(x)= |x+1 |+ |x |+ |x-1 |]의 최솟값을 [eqn: a]라 할 때, [eqn: int _{-2} ^{a} {f(x)dx}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

51

정적분 [eqn: int _{0} ^{3} {``□`x ^{2}} -1`|``dx]의 값은?

① [eqn: {20} over {3}]	② [eqn: {22} over {3}]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: {26} over {3}]	⑤ [eqn: {28} over {3}]

52

정적분 [eqn: int _{-2} ^{2} {□`x`□`(x+3)dx}]의 값을 구하시오.

53

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 정적분 [eqn: int _{-1} ^{1} {(x-1)f(}x)dx]의 값은?

① [eqn: -2]	②  [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

54

정적분 [eqn: int _{-1} ^{1} {(x+1)(x ^{2} +x+1)dx}]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: {10} over {3}]

④ [eqn: {13} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {3}]

55

오른쪽 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)]가 극댓값 [eqn: f(1)=1]과 극솟값
[eqn: f(3)=-3]을 가지며, [eqn: f(0)=-3]이다. 이때,
[eqn: ` int _{0} ^{3} {`□`f prime (x)`□``dx}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

56

사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 정적분 [eqn: int _{-1} ^{3} {□``f prime (x)`□`dx}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: x=0]에서 극대이고, [eqn: x=a]에서 극소이다.)

57

[eqn: int _{0} ^{3} {f(x)dx=2}], [eqn: int _{2} ^{5} {f(x)dx=5}],
[eqn: int _{2} ^{3} {f(x)dx=1}]일 때, [eqn: int _{0} ^{5} {f(x)dx}]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

58

정적분
[eqn: int _{-1} ^{1} {(x ^{3} -x ^{2} +x-1)dx}# - int _{1} ^{-1} {(x ^{3} +x ^{2} +x} +1)dx]
의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

59

함수 [eqn: f(x)= {cases{3x-x ^{2} `~(x GEQ 1)##`x ^{2} +1~~(x<1)}}]에 대하여 정적분 [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

60

함수 [eqn: f(x)=(x-a)(x-b)]는
[eqn: int _{a} ^{{a+b} over {2}} {f(x)dx=- {2} over {3}},~f(0)=1]을 만족시킨다. 이때, [eqn: int _{a} ^{beta } {(x-a)(x- beta )dx=- {(beta -a) ^{3}} over {6}}]임을 이용하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

61

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 정적분 [eqn: int _{-1} ^{2} {xf(x)dx}]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {5} over {6}]	③ [eqn: {7} over {6}]

④ [eqn: {11} over {6}]	⑤ [eqn: {23} over {6}]

62

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x)=10+3x int _{-1} ^{1} {f(t)dt}]일 때, 정적분
[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx}]의 값을 구하시오.

63

[eqn: n]차 다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx]의 값은?

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)} dx= int _{0} ^{1} {xf(x)} dx= int _{0} ^{1} {x ^{2} f(x)} dx# = CDOTS = int _{0} ^{1} {x ^{n} f(x)} =0]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: n]

④ [eqn: n+1]	⑤ [eqn: {1} over {n+1}]

64

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x),~f(x+2)=f(x)]를 만족시키고 [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx=2}]일 때, [eqn: int _{0} ^{6} {LEFT { x ^{2} +f(x) RIGHT }} ^{} dx]의 값을 구하시오.

65

삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f prime (x)>0]이고 [eqn: f(5+x)+f(5-x)=0]일 때, [eqn: int _{1} ^{k} {f(x)dx=0}]을 만족시키는 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k != 1])

66

다음 급수의 합을 정적분을 이용하여 구하시오.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} LEFT . LEFT ( {k} over {n} RIGHT . RIGHT ) ^{3} {1} over {n}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT . LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT . RIGHT ) ^{2}} {2} over {n}]

67

[eqn: lim _{n -> INF } {{(1 ^{2} +2 ^{2} + CDOTS +n ^{2} )(1 ^{3} +2 ^{3} + CDOTS +n ^{3} )} over {(1+2+ CDOTS +n)(1 ^{4} +2 ^{4} + CDOTS +n ^{4} )}}]을 간단히 하면?

① [eqn: {5} over {6}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {6} over {5}]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

68

함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} +6x]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )}]의 값을 구하시오.

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		1. 부정적분과 정적분			정답
	01 부정적분

01

(1) [eqn: x^3 over 3 + x^2 over 2 +C]
(2) [eqn: x^3 over 3 - x^2 over 2 -2x +C]

답

02

[eqn: f(x) =x^2 - x +2]

답

03

③

답

해

설

[eqn: (3x-2)f(x) & =3x ^{3} +4x ^{2} -13x+6# & =(3x-2)(x^2 +2x-3)]

따라서 [eqn: f(x)=x^2 +2x-3]이므로  [eqn: f(1)=0]

04

④

답

해

설

접선의 기울기가 [eqn: f`'(x)=3x^2 -6x+3]이므로

[eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { } f`'(x)dx=x^3 - 3x^2 +3x+C]

[eqn: f(1)=1-3+3+C=3]에서  [eqn: C=2]

[eqn: ∴ f(x)=x^3 -3x^2 +3x+2]

방정식 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +3x+2=0]의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 모든 근의 합은  [eqn: alpha +beta + gamma=3]

05

⑤

답

해

설

[eqn: f(x)+g(x)= int _{ } ^{ } { } (2x+1)dx=x^2 +x+C_1]

[eqn: f(x)g(x)= int _{ } (3x^2 -2x+1)dx=x^3 -x^2 +x+C_2]

[eqn: f(0)=1,~ g(0)=-1]에서 [eqn: C_1 =0,~ C_2 = -1]이므로

[eqn: f(x)+g(x)=x ^{2} +x],

[eqn: f(x)g(x)=x ^{3} -x ^{2} +x-1=(x-1)(x ^{2} +1)]

[eqn: ∴ f(x)=x^2 +1,~ g(x)=x-1]

[eqn: ∴ f(1)-g(1)=2-0=2]

06

①

답

해

설

[eqn: f'(x)=ax(x-2)=ax^2 -2ax~ (a>0)]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {f` prime (x)} dx= {1} over {3} ax ^{3} -ax ^{2} +C]

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]일 때 극댓값을 가지므로

[eqn: f(0)=C=9]

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]일 때 극솟값을 가지므로

[eqn: f(2)= {8 } over {3 } a-4a+C=1]   [eqn: ∴a=6]

[eqn: ∴ f(x)=2x^3 -6x^2 +9~~~∴f(-1)=-2-6+9=1]

07

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {(2x+1)} dx=x ^{2} +x+C]

(단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: f(1)=3]이므로  [eqn: C=1]

[eqn: f(x)=x^2 +x+1]에서  [eqn: f(2)=7]

08

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: f(x)=F`` prime (x)=f(x)+xf` prime (x)-6x^2 +4x]에서

[eqn: f`'(x)=6x-4]

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {(6x-4)} dx=3x ^{2} -4x+C]

(단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: f(1)=0]에서  [eqn: C=1]

[eqn: therefore`f(x)=3x ^{2} -4x+1=3 LEFT ( x- {2} over {3} RIGHT ) ^{2} - {1} over {3}]

[eqn: -1le x le 1`]에서

[eqn: m=f LEFT ( { 2} over { 3} RIGHT )=- { 1} over { 3}], [eqn: M=f(-1)=8]

[eqn: therefore M+3m=7]

09

(1) [eqn: x^3 +C]   (2) [eqn: x^2 +C]
(3) [eqn: 2x+C]   (4) [eqn: 1 over 11 x^11 + C]

답

10

(1) [eqn: 1 over 3 x^3 - 1 over 2 x ^2 +C]
(2) [eqn: 1 over 9 x^3 + 1 over 4 x^2 + x +C]

답

11

[eqn: f(x) = 3x^2 -4x +1]

답

12

④

답

해

설

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: (x,~y)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f`'(x)]이므로

[eqn: f`'(x)=2x-1]

[eqn: therefore f(x) = int _{ } ^{ } {(2x-1) }dx=x^2 -x +C]

이때 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (1,~2)]를 지나므로 [eqn: f(1)= 1-1+C=2]에서  [eqn: C=2]

[eqn: therefore f(x) = x^2 - x+2]

[eqn: therefore f(2) = 4- 2+2=4]

13

[eqn: {5} over {4}]

답

해

설

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {f` prime (x)} dx` & =` int _{} ^{} {(x ^{3} -4x)} dx# & = {1} over {4} x ^{4} -2x ^{2} +C]

[eqn: f(0)=3]에서  [eqn: C=3]

[eqn: THEREFORE `f(x)= 1 over 4 x^4 -2x^2 +3]

[eqn: therefore f(1) = 5 over 4]

14

[eqn: 1 over 10 (2x-1) ^5 + C]

답

해

설

[eqn: int _{} ^{} {(2x-1) ^{4}} dx & = {1} over {5} (2x-1) ^{5} CDOT {1} over {2} +C# & = {1} over {10} (2x-1) ^{5} +C]

15

[eqn: 1 over 6]

답

해

설

[eqn: f(x) & = int _{} ^{} {{x ^{3} -1} over {x-1}} dx# & = int _{} ^{} {(x ^{2} +x+1)} dx# & = {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +x+C]

[eqn: f(1)`=` {1} over {3} + {1} over {2} +1+C=2]에서  [eqn: C= {1} over {6}]

[eqn: THEREFORE `f(x) = 1 over 3 x^3 + 1 over 2 x^2 + x + 1 over 6]

[eqn: therefore f(0) = 1 over 6]

16

③

답

해

설

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {6(x ^{2} -x-2)} dx = 2x^3 - 3x^2 -12x +C]

[eqn: f(x) = int _{ } ^{ } { 6(x^2 -x-2)}dx]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x) = d over dx int _{ } ^{ } { 6(x^2 - x-2)dx = 6(x^2 -x-2)}]

[eqn: f`'(x)=0]에서  [eqn: 6(x-2) (x+1)=0]

[eqn: therefore x=2] 또는 [eqn: x=-1]

이때 [eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: 7]을 가지므로

[eqn: f(-1) = -2-3+12+C=7]에서  [eqn: C=0]

[eqn: therefore f(x) = 2x^3 -3x^2 -12x]

따라서 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: x=2]일 때이므로

[eqn: f(2) = 1 6-12-24 = -20]

17

⑤

답

해

설

[eqn: f(x) = int _{ } ^{ } { (x^2 -2x+3)}dx]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x) = x^2 - 2x+3]

[eqn: THEREFORE lim _{h` -> `0} {{f(1+h)-f(1-h)} over {h}} =2f` prime (2) & =2(1-2+3)# & =4]

18

[eqn: -4]

답

해

설

[eqn: f(x)=f(x)+xf`'(x)+6x^2 -2x]에서

[eqn: f`'(x)= -6x+ 2]

[eqn: therefore f(x) = -3x^2 +2x+C]

[eqn: f(1) = 0]에서  [eqn: C=1]

[eqn: therefore f(x) = -3x^2 +2x +1]

[eqn: therefore f(-1) = -4]

19

⑤

답

해

설

[eqn: h(x) & =f` prime (x)g(x)+f(x)g` prime (x)# & =2x(2x+1)+x ^{2} CDOT 2=6x ^{2} +2x]

이므로

[eqn: h(-1)=`4]

20

④

답

해

설

두 등식의 양변을 각각 적분하면

[eqn: f(x)+g(x) = 5x +C_1],

[eqn: f(x) g(x) = 6 x^ 2 - 2x + C_ 2]

(단, [eqn: C_1 ,~C_2]는 적분상수)

[eqn: f(0)=0,~g(0)=-1]이므로

[eqn: C_1 =-1,~C_2 =0]

즉, [eqn: f(x) +g(x)=5x -1,~f(x)g(x) =6x^2 -2x]이므로

[eqn: f(x) = 2 x ,~g(x) = 3x-1]

[eqn: therefore f(1) +g(1) =2+2=4]

21

④

답

해

설

[eqn: d over dx int _{ } ^{ } { f(x)}dx= 4x^3 +3x^2 -3x +1]에서

[eqn: f(x)=4x ^{3} +3x ^{2} -2x+1]

[eqn: therefore`f(1)=6]

22

③

답

해

설

(i) [eqn: x>0]일 때, [eqn: f`'(x)=1]에서  [eqn: f(x)=x+C _{1}]
[eqn: f(2)=1]이므로  [eqn: f(x)=x-1]

(ii) [eqn: x<0]일 때, [eqn: f`'(x)=-1]에서  [eqn: f(x)=-x+C _{2}]
[eqn: f(-1)=-1]이므로  [eqn: f(x)=-x-2]

[eqn: THEREFORE f(-2)+f(1)=0+0=0]

23

[eqn: 0.25]

답

해

설

[eqn: F`(x)= int _{ } ^{ } { f(x)}dx = x+x^2 +x^3 +x^4 +cdots + x^n]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {F`` LEFT ( {1} over {5} RIGHT )} = {1} over {5} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{4} + CDOTS # = {{1} over {5}} over {1- {1} over {5}} = {1} over {4} =0.25]

24

④

답

해

설

[eqn: f'(x)=3x^2 -2x+3]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {} (3x ^{2} -2x+3)dx=x ^{3} -x ^{2} +3x+C]

[eqn: f(0)=2]이므로 　[eqn: C=2]

[eqn: ∴ f(x)=x^3 - x^2 +3x+2]

[eqn: ∴ f(1)=5]

25

⑤

답

해

설

[eqn: f'(x)=2x-a]이므로

[eqn: f(x)=int(2x-a)dx=x^2 -ax+C]

[eqn: f(1)=0]에서  [eqn: 1-a+C=0]	㉠

[eqn: lim _{x` -> ` 1} { { f(x)} over { x-1} } = lim _{x`->`1} { { f(x)-f(1)} over { x-1} } =f prime (1)=3]

에서　 [eqn: 2-a=3]

[eqn: ∴ a=-1]

[eqn: a=-1]을 ㉠에 대입하면 　[eqn: C=-2]

[eqn: ∴ f(x)=x^2 +x-2]

[eqn: ∴ f(2)=4]

26

③

답

해

설

[eqn: F`` prime (x)=f(x)+xf prime (x)-6x ^{2} +4x],

[eqn: f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2 +4x `]

[eqn: ∴ f'(x)=6x-4]

[eqn: f(x)=int f'(x)dx=int(6x-4)dx=3x^2 -4x+C]

[eqn: f(1)=2]이므로 [eqn: 3-4+C=2]에서 　[eqn: C=3]

[eqn: ∴ f(x)=3x^2 -4x+3]

[eqn: ∴ f(-1)=10]

27

①

답

해

설

주어진 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: xf(x)=4x^3 - 6x^2 +2x]이므로

[eqn: f(x)=4x^2 +6x+2]

[eqn: ∴ f(0)=2]

28

④

답

해

설

[eqn: f _{n} (x) & = int _{} ^{} {LEFT ( sum _{k=1} ^{n} kx ^{k-1} RIGHT )} dx# & = int _{} ^{} {(1+2x+3x ^{2} + CDOTS +nx ^{n-1} )} dx# & =x+x ^{2} +x ^{3} + CDOTS +x ^{n} +C]

그런데 [eqn: f_n (0)=0]이므로　 [eqn: C=0]

[eqn: THEREFORE f _{n} (x)=x+x ^{2} +x ^{3} + CDOTS +x ^{n}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {f _{n} LEFT ( {2} over {3} RIGHT )} `= lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k}} `=2]

29

①

답

해

설

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: ( x ,~ y)]에서의 접선의 기울기는　 [eqn: f'(x)=3x^2 -2x]

[eqn: ∴ f(x)=int (3x^2 -2x)dx=x^3 - x^2 +C]

곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: ( 1 ,~ 1)]을 지나므로 [eqn: f(1)=1-1+C=1]에서  [eqn: C=1]

[eqn: ∴ f(x)=x^3 - x^2 +1]

따라서 보기 중 곡선 [eqn: y=f(x)]가 지나는 점의 좌표는 [eqn: (-1,~ -1)]이다.

30

③

답

해

설

[eqn: F``(x)=xf(x)-4x^3 +x^2 -5]의 양변을 미분하면

[eqn: f(x)=f(x)+xf` prime (x)-12x ^{2} +2x]

[eqn: xf`'(x)=12x^2 -2x], [eqn: f`'(x)=12x-2]

[eqn: THEREFORE f(x)= int _{} ^{} {(12x-2)} dx=6x ^{2} -2x+C]

(단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(-1)=6+2+C=4]이므로　 [eqn: C=-4]

[eqn: ∴ f(x)=6x^2 -2x-4]

[eqn: ∴ a+b+c=6-2-4=0]

31

①

답

해

설

(i) [eqn: x<1]일 때,  [eqn: F``(x)= int _{} ^{} {2x} dx=x ^{2} +C _{1}]
([eqn: C_1]은 적분상수)	㉠

(ii) [eqn: x ge 1]일 때,
[eqn: F``(x)= int _{} ^{} {(-2x+4)} dx=-x ^{2} +4x+C _{2}]
([eqn: C _{2}]는 적분상수)	㉡

한편, [eqn: F``(x)]의 극솟값이 [eqn: 1]이므로 ㉠에서

[eqn: F``(0)=0+C_1 =1]

[eqn: ∴ C_1 =1]

또한 함수 [eqn: F``(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로 ㉠, ㉡에서[eqn: 1+C_1 =-1+4+C_2 ,~ 2=3+C_2]

[eqn: ∴ C_2 = -1]

따라서 [eqn: x ge 1]일 때, [eqn: F``(x)=-x^2 +4x-1]이므로[eqn: F``(x)]의 극댓값은

[eqn: F``(2)=-4+8-1=3]

32

[eqn: -2]

답

해

설

접선의 기울기가 [eqn: 3x^2 +4x-3]이므로

[eqn: f`'(x)=3x^2 +4x-3]

[eqn: ∴ f(x)=int{(3x^2 +4x-3)}dx=x^3 +2x^2 -3x+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

한편 곡선 [eqn: y=f(x)]는 점 [eqn: (-1,~ 2)]를 지나므로

[eqn: f(-1)=4+C=2]에서　 [eqn: C=-2]

[eqn: ∴f(x)=x^3 +2x^2 -3x-2]

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 방정식 [eqn: f(x)=0]의 모든 근의 곱은 [eqn: -2]이다.

33

④

답

해

설

부정적분의 성질에 의하여

[eqn: int _{} ^{} {{x ^{4}} over {x ^{2} +x+1}} dx+ int _{} ^{} {{x ^{2}} over {x ^{2} +x+1}} dx# + int _{} ^{} {{1} over {x ^{2} +x+1} dx}# = int _{} ^{} {{x ^{4} +x ^{2} +1} over {x ^{2} +x+1} dx}# = int _{} ^{} {(x ^{2`} -x+1)} dx`# = {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} +x+C~(단,~C는~ 적분상수)]

34

①

답

해

설

[eqn: F`(x) & =f` prime (x)g(x)+f(x)g` prime (x)# & =2x(3x+2)+(x ^{2} -1) CDOT 3# & =9x ^{2} `+`4x`-3]

[eqn: THEREFORE F(0)=-3]

35

③

답

해

설

[eqn: f prime (x)=x ^{2} +4x-5]에서
[eqn: f(x) = 1 over 3 x^3 +2x ^2 - 5 x +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(3)=13]이므로

[eqn: C=1]

[eqn: therefore f(0)=1]

36

①

답

해

설

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분한 후 정리하면

[eqn: f`'(x)=-6x-2]

[eqn: f(0)=0]이므로  [eqn: f(x)=-3x ^{2} -2x]

[eqn: thereforef(1)=-5]

37

①

답

해

설

[eqn: {d} over {dx} LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } = int _{} ^{} {LEFT | `f(x)-g(x)` RIGHT |} dx]	㉠

[eqn: f(x)+g(x)]가 이차식이므로 [eqn: f(x)-g(x)]는 상수

[eqn: f(x)-g(x)=k]로 놓으면 [eqn: g(x)=f(x)-k]이고, ㉠에서 [eqn: 4x+6=kx+C]

[eqn: therefore k=4,~C=6]

따라서 [eqn: g(x)=x^2 +3x-2]

[eqn: therefore g(0)=-2]

38

②

답

해

설

[eqn: f`'(x)=3x^2 +2x-1]이므로

[eqn: f(x)=x^3 + x^2 -x +C]

이 곡선이 점 [eqn: (1,~3)]을 지나므로

[eqn: C=2]

[eqn: thereforef(0)=2]

39

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: f`'(x)=ax(x-2)~(a<0)]로 놓으면

[eqn: f(x)=a LEFT ( {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} RIGHT ) +C]

[eqn: f(0)=2]에서  [eqn: C=2], [eqn: f(2)=6]에서  [eqn: a=-3]

[eqn: f(x)=-x ^{3} +3x ^{2} +2]이므로

[eqn: f(1)=4]

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		1. 부정적분과 정적분			정답
	02 구분구적법

01

①

답

해

설

[eqn: rm bar{P _{1} Q _{1}} =1 ^{9} ,~rm bar{P_2 Q_2~}~=2 ^9 ,~cdots,~rmbar{P _{itn}Q _{itn} }=itn ^{9}]이므로

[eqn: S= lim _{n -> INF } {{1 ^{9} +2 ^{9} + CDOTS +n ^{9}} over {n ^{10}}} ` & = lim _{n -> INF } {{1} over {n} ` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{9}} `# & = int _{0} ^{1} {x ^{9`}} dx= {1} over {10}]

[eqn: ∴ 100S=10]

02

[eqn: 1 over 3]

답

해

설

구간 [eqn: [`0,~1`]]을 [eqn: n]등분하면 각 등분점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: {1} over {n} ,~ {2} over {n} ,~ {3} over {n} ,~cdots,~ {k} over {n} ,~cdots,~ {n} over {n} =1]

이므로 각 직사각형의 넓이의 합은

[eqn: S _{n} & = {1} over {n} CDOT LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + {1} over {n} CDOT LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + CDOTS + {1} over {n} CDOT LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2}# & ~~+ CDOTS + {1} over {n} CDOT LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) ^{2}# & = {1} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} k ^{2}# & = {n(n+1)(2n+1)} over {6n ^{3}}]

03

[eqn: 10x-9]

답

해

설

위 그림과 같이 높이 [eqn: h]를 [eqn: n]등분하여 삼각형의 양변에 접하는 직사각형을 만들면 각 직사각형의 가로의 길이는 위에서부터 차례로 [eqn: {a} over {n} ,~ {2a} over {n} ,~ {3a} over {n} ,~cdots,~ {(n-1)a} over {n}]이므로 [eqn: (n-1)]개의 직사각형의 넓이의 합 [eqn: S _{n}]은

[eqn: S _n = sum _{ k=1} ^{n-1 } { ka} over { n}cdot {h } over { n}= { ah(n-1)} over { 2n}]

따라서 구하는 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= lim _{ n`->`inf} {S_n }= { ah} over { 2}]

04

[eqn: pi r ^2]

답

해

설

원에 내접하는 정[eqn: n]각형의 둘레와 넓이를 각각 [eqn: l,~S_n]이라고 하면

[eqn: S_n = n cdot rmtriangleOAB = ith over 2 (n cdot rm barAB ) = it hl over 2]

이때, [eqn: n`->` inf]이면 [eqn: h`->`r,~l`-> `2pir]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n}= lim _{ n`->`inf} { hl over 2 = { r cdot 2pir} over { 2} }= pir^2]

05

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{bar{rm P _{1} Q _{1} it} + bar{rm P _{2} Q it rm _{2} it} + CDOTS + bar{rm P _{it n rm} rm Q it rm _{it n rm } it}} over {n ^{10}}}# = lim _{n -> INF } {{1 ^{9} +2 ^{9} CDOTS +n ^{9}} over {n ^{10}}}# = lim _{n -> INF } {{1} over {n}} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{9}# = int _{0} ^{1} {x ^{9} dx= {1} over {10}}]

[eqn: THEREFORE `100S=10}]

06

③

답

해

설

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {k} over {n}]는 가로의 길이가 [eqn: k over n],

세로의 길이가 [eqn: LEFT { g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT }]인 직사각형 [eqn: n]개의 넓이의 합이다.

[eqn: THEREFORE & lim _{n` -> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} LEFT { g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {k} over {n}}# & =1- int _{0} ^{1} {g(x)} dx= int _{0} ^{1} {f(x)} dx]

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		1. 부정적분과 정적분			정답
	03 정적분

01

②

답

해

설

[eqn: int _{ 1} ^{x } {f(t)dt=3x^2 +2ax+1 }]	㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0=2a+4~~~∴a=-2]

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=6x+2a=6x-4]

[eqn: ∴ f(1)=2]

02

②

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 +kx+1] ([eqn: k]는 상수)로 놓으면

[eqn: int _{ 0} ^{2 } {f(t)dt }= left[ { 1} over {3 }t^3 + { k} over { 2}t^2 +t right]_0 ^2 =2k + 14 over 3 =k]

에서  [eqn: k= - { 14} over {3 }]

[eqn: f(x)=x^2 - { 14} over {3 }x +1]

[eqn: therefore f(3)=-4]

03

③

답

해

설

[eqn: f(t)=t^3 +3t^2 +2], [eqn: F``'(t)=f(t)]라고 하면

[eqn: lim _{x -> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x} {(t ^{3} +3t ^{2} +2)dt}}# =F``'(1)=f(1) =1^3 +3times 1^2 +2=6]

04

①

답

해

설

[eqn: f(x)]는 일차함수가 되어야 하므로

[eqn: f(x)=ax+b] ([eqn: a,~ b]는 상수)로 놓으면

[eqn: f(f(x))= int _{ 0} ^{x } { f(t)}dt+x^2 +2x-2]에서

[eqn: a(ax+b)+b & = int _{0} ^{x} {(at+b)} dt+x ^{2} +2x-2# & = {a} over {2} x ^{2} +bx+x ^{2} +2x-2]

[eqn: a^2 x+ab+b=left( a over 2 +1 right) `x^2 +(b+2)x-2]

위의 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: a over 2 +1=0,~ a^2 =b+2,~ ab+b=-2]

[eqn: ∴a=-2,~ b=2]

따라서 [eqn: f(x)=-2x+2]이므로  [eqn: f(-1)=4]

05

②

답

해

설

[eqn: f` prime (x)= {d} over {dx} int _{-2} ^{x} {(t ^{2} +t-2)} dt & =x ^{2} +x-2# & =(x+2)(x-1)# & =0]

에서  [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1]

(i) [eqn: x=-2]일 때, [eqn: f(x)]는 극댓값을 가지므로
[eqn: alpha =f(-2)= int _{-2} ^{-2} {(t ^{2} +t-2)} dt=0]

(ii) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f(x)]는 극솟값을 가지므로
[eqn: beta =f(1) & = int _{-2} ^{1} {(t ^{2} +t-2)} dt# & = LEFT [ ` {1} over {3} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{-2} ^{1} =- {9} over {2}]

따라서 (i), (ii)에 의하여  [eqn: alpha +beta = - 9 over 2]

06

①

답

해

설

[eqn: f(n) & = int _{0} ^{1} {LEFT . LEFT ( x+ {x ^{2}} over {2} + {x ^{3}} over {3} + CDOTS + {x ^{n}} over {n} RIGHT . RIGHT ) dx}# & LEFT . = LEFT [ ` {x ^{2}} over {2} + {x ^{3}} over {2 CDOT 3} + {x ^{4}} over {3 CDOT 4} + CDOTS + {x ^{n}} over {n(n+1)} RIGHT . RIGHT ] _{0} ^{2}# & = {1} over {2} + {1} over {2 CDOT 3} + {1} over {3 CDOT 4} + CDOTS + {1} over {n(n+1)}# & LEFT. = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) RIGHT]

[eqn: THEREFORE lim _{n->inf} {f(n)} =1]

07

③

답

해

설

[eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F``(x)]라고 하면

[eqn: lim _{x` -> `2} {{1} over {x-2} int _{2} ^{x} {f(t)} dt} & = lim _{x` -> `2} {{F``(x)-F``(2)} over {x-2}}# & =F`` prime (2)=f(2)=8]

08

③

답

해

설

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)} dt`=x ^{3} +x ^{2} -2ax]	㉠

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=3x ^{2} +2x-2a]

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0=2-2a~~~therefore a=1]

따라서 [eqn: f(x)=3x^2 +2x -2]이므로

[eqn: f(1)=3]

09

[eqn: - { 32} over { 3}]

답

해

설

양변을 미분하면  [eqn: f`'(x)= 8(x-1)]

[eqn: f`'(x)=0]에서  [eqn: x=1]

따라서 [eqn: f(x)]의 최솟값은

[eqn: f(1)= int _{ 1} ^{ 5} {(t^2 -6t+5) }dt=- 32 over 3]

10

(1) [eqn: int _{1} ^{a} {x ^{2}} dx]   (2) [eqn: int _{1} ^{3} {x} dx]

답

11

[eqn: 2x-1]

답

12

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 1]

답

13

(1) [eqn: - { 1} over { 6}]   (2) [eqn: -1]

답

해

설

(1) [eqn: int _{1} ^{2} {(x-1)(x-2)} dx# = int _{1} ^{2} {(x ^{2} -3x+2)} dx# = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {3} over {2} x ^{2} +2x RIGHT ] _{1} ^{2}# = {1} over {3} (8-1)- {3} over {2} (4-1)+2(2-1)# = {7} over {3} - {9} over {2} +2# =- {1} over {6}]

(2) [eqn: f(x) = int _{ 1} ^{ x} {(t^2 -2t)}dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f` prime (x)`= d over dx int _{ 1} ^{ x} { (t^2 -2t) }dt = x^2 -2x]

[eqn: therefore f`'(1) =1-2=-1]

14

[eqn: { 8} over { 3}]

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{1} {(x-1) ^{2}} dx & = int _{-1} ^{1} {(x` ^{2} -2x+1)} dx# & = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} +x RIGHT ] _{-1} ^{1} = {8} over {3}]

15

[eqn: f(x)= 3x+4]

답

16

③

답

해

설

[eqn: f(x)= |``x^2 -1 `` |], [eqn: int _{ } ^{ } { f(x) }dx= F``(x) +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)로 놓으면

[eqn: lim _{h` -> `0} {{1} over {h} int _{2} ^{2+2h} {|``x ^{2} -1``|} ``dx}# = lim _{h` -> `0} {{1} over {h} LEFT [ F`(x) RIGHT ] _{2} ^{2+2h}}# = lim _{h` -> `0} {{F`(2+2h)-F`(2)} over {h}}# = lim _{h` -> `0} {{F`(2+2h)-F`(2)} over {2h}} CDOT 2# =2F``'(2)=2f(2)# =2cdot3=6]

17

[eqn: -{ 3} over { 2}]

답

해

설

[eqn: f(t)=(t-2)(2t-1)], [eqn: int _{ } ^{ } { f(t) }dt= F`(t) +C] (단, [eqn: C``]는 적분상수)로 놓으면

[eqn: lim _{x` -> `1} {{1} over {x ^{2} -1} int _{1} ^{x} {(t-1)(2t+1)}} dt# = lim _{x` -> `1} {{F``(x)-F``(1)} over {x ^{2} -1}}# = lim _{x` -> `1} {{F``(x)-F``(1)} over {x-1}} cdot {1} over {x+1}# = {1} over {2} F``'(1)= {1} over {2} f(1)=- {3} over {2}]

18

⑤

답

해

설

[eqn: {1} over {n} =h]로 놓으면

[eqn: lim _{h` -> `0} {{1} over {h} int _{1} ^{1+h} {(x ^{2} +1)}} dx=1 ^{2} +1=2]

19

①

답

해

설

[eqn: f`'(x)`=`x ^{2} +ax]이므로 [eqn: f`'(1)=1+a=0]에서

[eqn: a=-1]

[eqn: b=f(1)= int _{0} ^{1} {(t ^{2} -t)} dt`= {1} over {3} - {1} over {2} =- {1} over {6}]

[eqn: THEREFORE a+6b=-2]

20

④

답

해

설

[eqn: y` prime =f(x+1)-f(x) & =-2(x+1)(x-1)+2x(x-2)# & =-4x+2=-4 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT )]

따라서 [eqn: x= {1} over {2}]에서 [eqn: y]는 극대이면서 최대이다.

21

②

답

해

설

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} {f(x) }dx =k]로 놓으면  [eqn: f(x) = x^2 + kx]

[eqn: THEREFORE k & = int _{0} ^{1} {f(x)} dx= int _{0} ^{1} {(x ^{2} +kx)} dx# & = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} + {k} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} = {1} over {3} + {k} over {2}]

[eqn: THEREFORE `k= 2 over 3]

22

⑤

답

해

설

주어진 식의 양변을 미분하면

[eqn: f`'(x) = x^2 - x-2= (x+1)(x-2)]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: f(-1) & = int _{0} ^{-1} {(t ^{2} -t-2)} dt# & = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} - {1} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{0} ^{-2} = {7} over {6}]

23

[eqn: 1 over2]

답

해

설

[eqn: f(a)=4a^2 - 6a+ 2 = 4 left( a - 3 over 4 right) ^2 - 1 over 4]

[eqn: therefore m+n= - 1 over 4 + 3 over 4 = 1 over 2]

24

②

답

해

설

[eqn: f _{1} (x)=x]

[eqn: f _{2} (x)=x+ int _{0} ^{1} {f _{1} (x)} dx=x+ {1} over {2}]

[eqn: f_3 (x) = x + int _{ 0} ^{ 1} { f_2 (x) }dx =x+1]

[eqn: f_4 (x) =x + int _{ 0} ^{ 1} { f_3 (x) }dx = x + 3 over 2]

⋮

[eqn: therefore f_n (x) = x + n-1 over 2]

[eqn: f_2016 (x) = x + 2015 over2]에서

[eqn: f_2015 LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )= 1008]

25

①

답

해

설

[eqn: f(x) = ax+b]로 놓으면

[eqn: a(ax+b)+b & = int _{a} ^{x} {(at+b)} dt-x ^{2} +3x+3# & = {a} over {2} x ^{2} +bx-x ^{2} +3x+3]

[eqn: THEREFORE `a^2 x +(ab+b)= left( a over 2 - 1 right) x^2 + (b+3) x + 3]

[eqn: therefore a over 2 -1 = 0,~a^2 = b+3 ,~ab+b=3]

[eqn: therefore a=2,~b=1]

26

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 -ax+ int_{1}^{x}{g(t)}dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 　[eqn: f`'(x)=2x-a+g( x )]

이때, [eqn: f( x )]가 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어지기 위한 필요충분조건은 [eqn: f(1)=0], [eqn: f`'(1)=0]이다.

[eqn: f(1)=0]에서　 [eqn: 1-a=0]    [eqn: ∴ a=1]

[eqn: f`'(1)=0]에서　 [eqn: 2-a+g(1)=0]    [eqn: ∴ g(1)=-1]

따라서 [eqn: g( x )]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는

[eqn: g( 1 ) =-1]

27

②

답

해

설

간단한 다항함수 [eqn: f(x)`=1,~f(x)`=`x ^{2}]인 경우에도 등식이 성립하므로

(i) [eqn: f(x)=1]인 경우
[eqn: 2a+b=2]

(ii) [eqn: f(x)=x^2]인 경우
[eqn: 2 over 3 = 6 over 5 a]

[eqn: therefore a = 5 over 9 ,~ b= 8 over 9]

28

③

답

해

설

[eqn: f(-x)=-f(x)]이므로

[eqn: f(x)=ax^3 + bx (a!=0)]로 놓으면

[eqn: f`'(x)=3ax^2 +b]

[eqn: thereforef`'(`1)=3a+b=1`]

[eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx=4a+2b=4}]

[eqn: THEREFORE `a=-1,~b=4]

[eqn: f(x)=-x^3 +4x]이므로

[eqn: f(1)=3]

29

(1) [eqn: 3]    (2) [eqn: 6]

답

30

(1) [eqn: 8]   (2) [eqn: 27]

답

31

②

답

해

설

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {` LEFT { `f` prime (t) RIGHT } ^{2} dt}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f` prime (x)= LEFT { f` prime (x) RIGHT } ^{2}]

[eqn: THEREFORE f` prime (x) LEFT { f` prime (x)-1 RIGHT } =0]

[eqn: f prime (x)]가 연속함수이므로

[eqn: f` prime (x)=0] 또는 [eqn: f `prime (x)=1]

그런데 [eqn: f(x)]는 상수함수가 아니므로

[eqn: ~f prime (x)=1]

[eqn: THEREFORE `f(x)= int _{0} ^{x} {LEFT { f prime (t) RIGHT } ^{2} dt= int _{0} ^{x} {1dt=x}]

[eqn: THEREFORE `f(2)=2]

32

①

답

해

설

주어진 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: a=-1]

주어진 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: (x+1)f(x)=(3x-1)(x+1)]이므로

[eqn: f(x)=3x-1]

[eqn: THEREFORE f(1)=2]

[eqn: THEREFORE `a+f(1)=(-1)+2=1]

33

③

답

해

설

[eqn: f prime (x)=x(x-2)]이므로 구간 [eqn: [`-2,~2`]]에서 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=0]일 때 극대이면서 동시에 최대이다.

따라서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(0)]이다.

34

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: f(x)+ int _{0} ^{x} {g(t)dt=(x+1) ^{2}}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f prime (x)+g(x)=2(x+1)]

[eqn: THEREFORE `f prime (x)=g(x)=x+1( BECAUSE `f prime (x)g(x)=(x+1) ^{2})],

[eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} +x+1( BECAUSE `f(0)=1),~g prime (x)=1]

[eqn: THEREFORE ``2left{f(1)+g prime (1)right}=7]

35

④

답

해

설

[eqn: S(x)= int _{a} ^{x} {f(t)dt}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: S` prime (x)=f(x)]

[eqn: THEREFORE `S(x)=F(x)`+C]	㉠

[eqn: S(a)= int _{a} ^{a} {f(t)dt} =0]이므로 ㉠에 [eqn: x=a]를 대입하면

[eqn: C=-F(a)]

36

[eqn: 1]

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]의 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 하면[eqn: lim _{x -> 1} {{1} over {x-1}} int _{1} ^{x} {f(t)} dt & = lim _{x -> 1} {{F(x)-F(1)} over {x-1}}# & =F`` prime (1)=f(1)=1]

37

⑤

답

해

설

[eqn: f(x) +xf`'(x) = 4x^3 + 2x + f(x)]에서

[eqn: xf`'(x) =4x^3 +2x]

[eqn: thereforef`'(x) = 4x^2 + 2]

[eqn: therefore f`'(1)= 6]

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		1. 부정적분과 정적분			정답
	04 정적분의 계산

01

(1) [eqn: 4 over 3]   (2) [eqn: - 1 over 6]   (3) [eqn: 2]   (4) [eqn: - 10 over3]

답

02

④

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{1} {{x ^{3}} over {x-1}} `dx- int _{0} ^{1} {{1} over {t-1}} dt# = int _{0} ^{1} {{x ^{3} -1} over {x-1} dx} = int _{0} ^{1} {(x ^{2`}} +x+1)dx# = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2`} +x` RIGHT ] _{0} ^{1} = {11} over {6}]

03

④

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{3} {|``x ^{2} -2x``|`} dx# = int _{-1} ^{0} {(x ^{2`}} -2x)dx`+ int _{0} ^{2} {(-x ^{2} +2x)} dx# ~~+ int _{2} ^{3} {(x ^{2} -2x)} dx# = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ -` {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} RIGHT ] _{2} ^{3}# =4]

04

③

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2n-1 +x]라고 하면  [eqn: f(-x)=-f(x)]

이므로 [eqn: f(x)]는 기함수이다.

[eqn: therefore int _{ -a} ^{a } {(x^2n-1 +x)dx= int _{ -a} ^{a } {f(x)dx=0 } }]

05

[eqn: 15 over 4]

답

해

설

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{(n+1) ^{3} +(n+2) ^{2} + CDOTS +(2n) ^{3}} over {n ^{4}}}# = lim _{n`->`inf} {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{3}} cdot {1} over {n}# = int _{0} ^{1} {(1+x) ^{3}} dx= {15} over {4}]

06

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) ^{2} {k} over {n ^{2}}} & = int _{0} ^{1} {(1+3x) ^{2} x`} dx# & = int _{0} ^{1} {(x+6x ^{2`} +9x ^{3} )} dx# & = LEFT [ {1} over {2} x ^{2`} +2x ^{3} + {9} over {4} x ^{4`} RIGHT ] _{0} ^{1}# & =` {19} over {4}]

07

③

답

해

설

[eqn: int _{ 0} ^{3 } {(1+x)^2 }dx =left[x+x^2 + 1 over 3 x^3 right]_0 ^3 =21]

[eqn: ㄴ.~ lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) ^{2}} {3} over {n} & = int _{0} ^{1} {3(1+3x) ^{2} dx}# & = int _{0} ^{3} {(1+x) ^{2} dx} =21]

[eqn: ㄷ.~ lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{3n} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} {1} over {n}} = int _{0} ^{3} {(1+x) ^{2} dx=21}]

따라서 주어진 정적분과 같은 값을 갖는 것은 [eqn: ㄴ,~ㄷ]이다.

08

[eqn: 18]

답

해

설

[eqn: int _{2} ^{5} {f(x)} dx`- int _{3} ^{5} {f(t)} dt+ int _{1} ^{2} {f(y)} dy# = int _{2} ^{5} {f(x)} dx`- int _{3} ^{5} {f(x)} dx+ int _{1} ^{2} {f(x)} dx# = int _{1} ^{3} {f(x)} dx=18]

09

⑤

답

해

설

[eqn: int _{-3} ^{-1} {f(x)} dx & = int _{-3} ^{0} {f(x)} dx- int _{-1} ^{0} {f(x)} dx# & = int _{0} ^{3} {f(x)} dx- int _{0} ^{1} {f(x)} dx# & =b-a]

10

⑤

답

해

설

[eqn: rmMax` LEFT { it x,~x ^{2} RIGHT } =cases{`x~~(0 le x le 1 )##`x^2 ~~(`-1 le x le0)]

[eqn: thereforeint _{ -1} ^{1 } {rmMax left{itx,~x^2 right} }dx= int _{ -1} ^{0 } {x^2 }dx+ int _{ 0} ^{ 1} {x }dx= { 5} over {6 }]

11

①

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{4} {□`x ^{2} `-2x-3`□} `dx# = int _{0} ^{3} {(-x ^{2} +2x+3)} dx+ int _{3} ^{4} {(x ^{2} -2x-3)} dx# = {34} over {3}]

12

[eqn: 27]

답

해

설

[eqn: int _{-2} ^{4} {f(x)} d# = int _{-2} ^{4} {(4-x ^{2} )} dx+ int _{1} ^{4} {(-x ^{2} +6x-2)} dx# =27]

13

①

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{50} {f(x)} dx=25 int _{ 0} ^{2 } {f(x) }dx=25 LEFT ( { 1 over { 2} times 2times1RIGHT )=25]

14

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: g(x)=(x-a) ^{3} +b]이고, [eqn: g(0)=0]에서  [eqn: b=a ^{3}]

[eqn: int _{a} ^{3a} {g(x)} dx- int _{0} ^{2a} {f(x)} dx# = int _{0} ^{2a} {g(x+a)} dx- int _{0} ^{2a} {f(x)} dx# = int _{0} ^{2a} {(x ^{3} +b)} dx- int _{0} ^{2a} {x ^{3}} dx# = int _{0} ^{2a} {b} `dx=2ab=32]

따라서 [eqn: 2ab=2a ^{4} =32]이므로  [eqn: a ^{4} =16]

15

⑤

답

해

설

[eqn: f(x)=f(x+4)]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 주기가 [eqn: 4]인 주기함수이다. 이때 한 주기의 정적분의 값은 같으므로

[eqn: int _{0} ^{8} {f(x)} dx & = int _{-2} ^{6} {f(x)} dx# & = int _{-2} ^{2} {f(x)} dx+ int _{2} ^{6} {f(x)} dx# & =5+5=10]

16

②

답

해

설

[eqn: f(x)=4x^3 +(x-2) int _{ 0} ^{ 1} { f(t) } `dt]에서

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} {f(t)}dt=k] ([eqn: k]는 상수)로 놓으면

[eqn: f(x)=4x^3 +k(x-2)=4x^3 +kx-2k]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } {(4t^3 +kt-2k)}dt=k]에서

[eqn: left[``t^4 + { 1} over { 2}kt^2 -2kt``right ]_0^1 =1- { 3} over {2 } k=k,~ k= {2 } over {5 }]

[eqn: ∴ int _{ 0} ^{1 } { f(x)}dx= int _{ 0} ^{1 } { f(t)}dt=k= 2 over 5]

17

④

답

해

설

(i) [eqn: 0 le x <1]일 때,  [eqn: lim _{n -> INF } {{3x ^{n+2} -2x ^{n} +1} over {x ^{n} +1}}=1]

(ii) [eqn: 1<x le 2]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {{3x ^{n+2} -2x ^{n} +1} over {x ^{n} +1}} = 3x^2 -2]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2} {` LEFT ( `` lim _{n -> INF } {LEFT . {3x ^{n+2} -2x ^{n} +1} over {x ^{n} +1} RIGHT )} dx RIGHT .}# = int _{0} ^{1} {1} dx+ int _{1} ^{2} {(3x ^{2} -2)dx}# =[`x`] _{0} ^{1} +[`x ^{3} -2x`] _{1} ^{2} =6]

18

(1) [eqn: 7]   (2) [eqn: 2 over 9]   (3) [eqn: 2]

답

19

(1) [eqn: { 5} over { 2}]   (2) [eqn: 6]

답

해

설

(1) [eqn: □``x-1``□= cases{`-x+1~~(x<1) ##`~~x-1~~(x ge 1)]이므로
[eqn: int _{0} ^{3} {|``x-1``|} `dx & = int _{0} ^{1} {(-x+1)} dx+ int _{1} ^{3} {(x-1)} dx# & = LEFT [ - {1} over {2} x ^{2} +x RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -x RIGHT ] _{1} ^{3}# & = {5} over {2}]

(2) [eqn: int _{0} ^{1} {(1+2x+3x ^{2} +4x ^{3} +5x ^{4} )} dx# - int _{0} ^{-1} {(1+2x+3x ^{2} +4x ^{3} +5x ^{4} )} dx# = int _{0} ^{1} {(1+2x+3x ^{2} +4x ^{3} +5x ^{4} )} dx# ~~+ int _{-1} ^{0} {(1+2x+3x ^{2} +4x ^{3} +5x ^{4} )} dx# = int _{-1} ^{1} {(1+2x+3x ^{2} +4x ^{3} +5x ^{4} )} dx# =2 int _{0} ^{1} {(1+3x ^{2} +5x ^{4} )} d# =2 LEFT [ x+x^3 +x^5 right]_0^1 = 6]

20

[eqn: 4 over 3]

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)} dx# = int _{-1} ^{0} {(2x+1)} dx+ int _{0} ^{1} {(x ^{2} +1)} dx# = LEFT [ x^2 + x right]_-1^0 + left[ 1 over 3 x^3 + x right]_0^1 = 4 over 3]

21

[eqn: - 10 over 3]

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{2} {f(x)} dx= int _{0} ^{1} {f(x)} dx+ int _{1} ^{2} {f(x)} dx]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)} dx- int _{1} ^{2} {f(x)} dx+ int _{0} ^{2} {f(x)} dx# =2 int _{0} ^{1} {f(x)} dx=2 int _{0} ^{1} {(x ^{2} -2x-1)} dx# =2left[ { 1} over { 3}x^3 -x^2 -x right] _0^1 = - 10 over 3]

22

③

답

해

설

[eqn: g(x)= xf(x)]로 놓으면

[eqn: g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)]이므로
[eqn: xf(x)]는 기함수이다.

[eqn: THEREFORE int _{-1} ^{1} {(x+1)f(x)} dx & = int _{-1} ^{1} {xf(x)} dx+ int _{-1} ^{1} {f(x)} dx# &=0+2 int _{ 0} ^{ 1} { f(x)}dx=2]

23

[eqn: 1 over 3]

답

24

③

답

해

설

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{(n+1) ^{2} +(n+2) ^{2} +(n+3) ^{2} + CDOTS +(2n) ^{2}} over {n ^{3`}}}# = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n}} {(n+k) ^{2}} over {n ^{3}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT. sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT . RIGHT ) ^{2}} cdot {1} over {n}# = int _{0} ^{1} {(1+x) ^{2} dx} =left[ {1} over {3} (1+x) ^{3} right] _{0} ^{1}# = {8} over {3} - {1} over {3} = {7} over {3}]

25

[eqn: 1 over5]

답

해

설

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{sum _{k=1} ^{n} k ^{m}} over {n ^{m+1}}} & = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT )} ^{m} cdot {1} over {n} = int _{0} ^{1} {x ^{m}} dx# & = {1} over {m+1} = {1} over {5}]

26

①

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{0} {{x ^{3} +x} over {x-1}} dx+ int _{0} ^{-1} {{x ^{2} +1} over {x-1}} dx# = int _{-1} ^{0} {{x ^{3} -x ^{2} +x-1} over {x-1}} dx= int _{-1} ^{0} {{(x-1)(x ^{2} +1)} over {x-1}} dx# = int _{-1} ^{0} {(x ^{2} -1)} dx= LEFT [ {1} over {3} x ^{3} +x RIGHT ] _{-1} ^{0} = {4} over {3}]

27

[eqn: 1]

답

해

설

주어진 식의 양변에 [eqn: x=a]를 대입하면

[eqn: int _{ a} ^{ a} { f(t)}dt=a^2 -2a +1 =0]

[eqn: therefore a=1]

28

④

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT { (x ^{2} -1)*(x-1) RIGHT }} dx# = int _{-1} ^{0} {(x ^{2} -1)} dx+ int _{0} ^{1} {(x-1)} dx# = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -x RIGHT ] _{0} ^{1} =- {7} over {6}]

29

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: int _{1} ^{3} {f(2x)} dx & = lim _{n` -> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `f` LEFT ( 2 LEFT ( 1+ {(3-1)k} over {n} RIGHT ) RIGHT ) CDOT {3-1} over {n}}# & LEFT . = lim _{n` -> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n}} `f` LEFT ( 2+ {4k} over {n} RIGHT ) CDOT {2} over {n} RIGHT .]

30

②

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{2} {xf(x+1)} dx# = int _{0} ^{1} {xf(x+1)} dx+ int _{1} ^{2} {xf(x+1)} dx# = int _{0} ^{1} {x ^{2}} dx+ int _{1} ^{2} {x(2-x)} dx# = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{1} ^{2} =1]

31

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{a} {f(x)} dx-` int _{1} ^{a} {f(x)} dx=0],

[eqn: int _{-1} ^{a} {f(x)} dx+` int _{a} ^{1} {f(x)} dx=0]

[eqn: therefore int _{-1} ^{1} {f(x)} dx =0]

32

④

답

해

설

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} LEFT { `` LEFT | ``a- {1} over {n} `` RIGHT | + LEFT | ``a- {2} over {n} `` RIGHT | + CDOTS + LEFT | ``a-1`` RIGHT | RIGHT }}# = lim _{n` -> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} ` LEFT | ``a- {k} over {n} `` RIGHT | ` {1} over {n} `= int _{0} ^{1} {`` LEFT | ``a-x`` RIGHT |} `dx}# = int _{0} ^{a} {(a-x)} dx`+ int _{a} ^{1} {(x-a)} dx# = {1} over {2} a ^{2} + {1} over {2} -a+ {1} over {2} a ^{2}# = LEFT ( a- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {4}]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: 1 over 4]이다.

33

①

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{2} {} (x-1) ^{2} dx+ int _{-1} ^{2} {} (x+1) ^{2} dx# = int _{-1} ^{2} {LEFT { (x-1) ^{2} +(x+1) ^{2} RIGHT }} dx# = int _{-1} ^{2} {} (2x ^{2} +2)dx# =2 int _{-1} ^{2} {} (x ^{2} +1)dx# =2 LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x right] _{-1} ^{2} =12 RIGHT .]

34

⑤

답

해

설

[eqn: int_-3^0 f ( x )dx=int_0^3 f ( x )dx],

[eqn: int_-1^0 f ( x )dx=int_0^1 f ( x )dx]

[eqn: THEREFORE int _{-3} ^{-1} {} f(x)dx & = int _{-3} ^{0} {} f(x)dx- int _{-1} ^{0} {} f(x)dx# & =b-a]

35

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: g(x)=(x-a) ^{3} +b,~g(0)=-a ^{3} +b=0]이므로

[eqn: b=a^3]	㉠

[eqn: int_a^b g( x )dx=int_a-c^b-c g(x+c)dx]가 성립하므로

[eqn: int _{a} ^{3a} {} g(x)dx= int _{0} ^{2a} {} g(x+a)dx= int _{0} ^{2a} {} (x ^{3} +b)dx]

[eqn: THEREFORE & int _{a} ^{3a} {} g(x)dx- int _{0} ^{2a} {} f(x)dx# & = int _{0} ^{2a} {} (x ^{3} +b)dx- int _{0} ^{2a} {} x ^{3} dx# & = int _{0} ^{2a} {} bdx=2ab=32]	㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: 2ab=2a^4 +32]

[eqn: THEREFORE a ^{4} =16]

36

③

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {3} over {n} k RIGHT ) CDOT {1} over {n} & = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {3} over {n} k RIGHT ) CDOT {3} over {n} CDOT {1} over {3}# & = {1} over {3} int _{0} ^{3} {} f(x)dx= {1} over {3} int _{0} ^{3} {} x ^{2} dx# & = {1} over {3} LEFT [ {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{3} =3]

37

②

답

해

설

[eqn: f(x) & =4x ^{3} - int _{0} ^{1} {} (x-2)f(t)dt# & =4x ^{3} +(x-2) int _{0} ^{1} {} f(t)dt]

[eqn: int_0^1 f(t)dt=k]로 놓으면

[eqn: f(x)=4x^3 +k(x-2)=4x^3 +kx-2k]

[eqn: int_0^1 (4t^3 +kt-2k)dt=k]에서

[eqn: LEFT [ t ^{4} + {1} over {2} kt ^{2} -2kt RIGHT ] _{0} ^{1} =1- {3} over {2} k=k], [eqn: k= 2 over 5]

[eqn: ∴ int_0^1 f(x)dx=int_0^1 f(t)dt=k= 2 over 5]

38

①

답

해

설

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: ∴ int_0^50 f(x)dx=25int_0^2 f(x)dx=25]

39

⑤

답

해

설

[eqn: f(x)=|``x-1``|+|``x-2``|]라고 하면

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{3} {} (`|``x-1``|+|``x-2``|`)dx# ~~= int _{0} ^{3} {} f(x)dx# ~~= int _{0} ^{1} {} (-2x+3)dx+ int _{1} ^{2} {} 1dx+ int _{2} ^{3} {} (2x-3)dx# ~~=5]

40

②

답

해

설

[eqn: f(x+1)-f(x)=af'(x)+b]

[eqn: f(x)=x^2 +px+q]로 놓으면

[eqn: f'(x)=2x+p]

[eqn: (x+1) ^{2} +p(x+1)+q-x ^{2} -px-q# =a(2x+p)+b]

에서　 [eqn: a=1,~ b=1]

[eqn: ∴a^2 +b^2 =2]

41

①

답

해

설

[eqn: f(x)=int_0^x left{ f' ( t ) right}^2 dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(x)= left{ f' ( x ) right} ^2]

[eqn: ∴ f' ( x ) cdot left{ f'(x)-1 right} =0]

[eqn: ∴ f'(x)=0] 또는 [eqn: f'(x)=1]

그런데 [eqn: f ( x )]는 상수함수가 아니므로 　[eqn: f'(x)=1]

[eqn: ∴ f(x)=int_0^x left{f' ( t ) right} ^2 dt=int_0^x 1dt=x]

[eqn: ∴ f(1)=1]

42

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n ^{6}} (1 ^{5} +2 ^{5} +3 ^{5} + CDOTS +n ^{5} )}# = lim _{n -> INF } {{1} over {n} LEFT { LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{5} + LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) ^{5} + LEFT ( {3} over {n} RIGHT ) ^{5} + CDOTS + LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) ^{5} RIGHT }}# = lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{5}}# = int _{0} ^{1} {x ^{5} dx} = LEFT [ {1} over {6} x ^{6} RIGHT ] _{0} ^{`1} = {1} over {6}]

43

①

답

해

설

[eqn: int _{1} ^{x} {} (x-t)f(t)dt# =x int _{1} ^{x} {} f(t)dt- int _{1} ^{x} {} tf(t)dt# =x ^{3} -4x ^{2} +2x+3]

위의 식을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: int_1^x f(t)dt+xf(x)-xf(x)=3x^2 -8x+2]

[eqn: ∴ int_1^x f(t)dt=3x^2 -8x+2]

양변을 다시 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=6x-8]

[eqn: ∴ f(2)=12-8=4]

44

⑤

답

해

설

[eqn: f(-x)=f(x)]이므로

[eqn: int _-1^1 f(x)dx=2int_0^1 f(x)dx]

[eqn: g(x)=xf(x)]로 놓으면

[eqn: g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g( x )]

[eqn: ∴ int _-1^1 xf(x)dx=int _-1^1 g(x)dx=0]

[eqn: ∴ int _-1^1 (x+1)f(x)dx=2int_0^1 f(x)dx=8]

45

②

답

해

설

[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)} dx= int _{a} ^{c} {f(x)} dx+ int _{c} ^{a} {f(x)} dx]이므로

[eqn: int _{2} ^{5} {f(x)} dx- int _{3} ^{5} {f(x)} dx+ int _{-1} ^{2} {f(x)} dx# = int _{-1} ^{5} {f(x)} dx- int _{3} ^{5} {f(x)} dx= int _{-1} ^{3} {f(x)} dx# = int _{-1} ^{3} {(-3x ^{2} +4x)} dx= LEFT [ -x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{3} =-12]

46

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT )} ^{3} CDOT {1} over {n}# = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT )} ^{3} CDOT {2} over {n} CDOT {1} over {2}# = int _{1} ^{1+2} {{1} over {2} x ^{3}} dx= {1} over {2} int _{1} ^{3} {x ^{3}} dx# = {1} over {2} LEFT [ {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{1} ^{3} = {1} over {8} (81-1)=10]

47

③

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{b} {f(x)dx} & = int _{0} ^{b} {(x-a)(x-b)dx}# & = int _{0} ^{b} {LEFT { x ^{2} -(a+b)x+ab RIGHT }}# & LEFT. = LEFT [ {x ^{3}} over {3} - {a+b} over {2} x ^{2} +abx RIGHT . RIGHT ] _{0} ^{b}# & = {b ^{3}} over {3} - {(a+b)b ^{2}} over {2} +ab ^{2} =0]

[eqn: b^2]으로 양변을 나누어 정리하면

[eqn: b=3a]

48

⑤

답

해

설

[eqn: int _{alpha } ^{beta } {(x ^{2} +ax+b)dx}# = int _{alpha } ^{beta } {(x- alpha )(x- beta )dx}# = int _{alpha } ^{beta } {(x- alpha ) ^{2} dx} +( alpha - beta ) int _{alpha } ^{beta } {(x- alpha )dx}# = LEFT [ {1} over {3} (x- alpha ) ^{3} RIGHT ] _{alpha } ^{beta } +( alpha - beta ) LEFT [ {1} over {2} (x- alpha ) ^{2} RIGHT ] _{alpha } ^{beta }# =- {1} over {6} (beta-alpha) ^{3}]

49

③

답

해

설

[eqn: int _{alpha } ^{gamma } {(x ^{2} +ax+b)dx}# = int _{alpha } ^{gamma } {(x- alpha )(x- beta )dx}# = int _{alpha } ^{gamma } {(x- alpha ) ^{2} dx} +( alpha - beta ) int _{alpha } ^{gamma } {(x- alpha )dx}# =( gamma - alpha ) ^{2} LEFT ( {gamma - alpha } over {3} + {alpha - beta } over {2} RIGHT )# =0]

[eqn: thereforegamma ={3 beta -alpha} over {2}~(becausegamma!=alpha)]

50

⑤

답

해

설

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는

(i) [eqn: x ge 1]일 때, [eqn: f(x) =(x+1)+x+(x-1)=3x]

(ii) [eqn: 0 le x <1]일 때,
[eqn: f(x)=(x+1)+x-(x-1)=x+2]

(iii) [eqn: -1 le x <0]일 때,
[eqn: f(x)=x+1-x-(x-1)=-x+2]

(iv) [eqn: x< -1]일 때,
[eqn: f(x)=-(x+1)-x-(x-1)=-3x]

이므로 다음 그림과 같이 [eqn: x=0]일 때 최솟값 [eqn: 2]를 가지고 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

[eqn: THEREFORE int _{-2} ^{a} {f(x)dx} & = int _{-2} ^{2} {f(x)dx}# & =2 int _{0} ^{1} {f(x)dx} +2 int _{1} ^{2} {f(x)dx}# & =2 int _{0} ^{1} {(x+2)dx} +2 int _{1} ^{2} {3xdx}# & =2 LEFT [ {1} over {2} x ^{2} +2x RIGHT ] _{0} ^{1} +2 LEFT [ {3} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2} =14]

51

②

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{3} {``□`x ^{2}} -1`|``dx# = int _{0} ^{1} {` LEFT { -(x ^{2} -1) RIGHT }} ``dx+ int _{1} ^{3} {`(x ^{2} -1)} ``dx# =` {22} over {3}]

52

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: int _{-2} ^{2} {□`x`□`(x+3)dx}# = int _{-2} ^{0} {(-x ^{2} -3x)dx} + int _{0} ^{2} {(x ^{2} +3x)dx}# =12]

53

②

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(-x)=f(x)]가 성립하므로 우함수이다. 한편 함수 [eqn: xf(x)]는 [eqn: (-x)f(-x)=-xf(x)]가 성립하므로 기함수이다.

[eqn: THEREFORE & int _{-1} ^{1} {(x-1)f(} x)dx# & = int _{-1} ^{1} {xf(} x)dx- int _{-1} ^{1} {f(} x)dx# & =0-2 int _{0} ^{1} {f(} x)dx=-2 int _{0} ^{1} {(1-x)} dx# & =-2 LEFT [ x- {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} =-1]

54

③

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{1} {(x+1)(x ^{2} +x+1)dx}# = int _{-1} ^{1} {(x ^{3} +2x ^{2} +2x+1)dx}# =2 int _{0} ^{1} {(2x ^{3} +1)} dx= {10} over {3}]

55

③

답

해

설

[eqn: 0<x<1]에서 [eqn: f(x)]는 증가하므로  [eqn: f`'(x)`>0]

[eqn: 1<x<3]에서 [eqn: f(x)`]는 감소하므로  [eqn: f` prime (x)`<0]

[eqn: THEREFORE ` int _{0} ^{3} {`□`f prime (x)`□``dx} & = int _{0} ^{1} {f` prime (x)} dx- int _{1} ^{3} {f` prime (x)} dx# & = LEFT [ f(x) RIGHT ] _{0} ^{1} - LEFT [ f(x) RIGHT ] _{1} ^{3}# & = LEFT { f(1)-f(0) RIGHT } - LEFT { f(3)-f(1) RIGHT }# & = LEFT { 1-(-3) RIGHT } - LEFT { -3-1 RIGHT } =8]

56

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{3} {□``f prime (x)`□`dx}# = int _{-1} ^{0} {f` prime (x)} dx- int _{0} ^{a} {f`'(x)} dx+ int _{a} ^{3} {f`'(x)} dx# =(2-1)-left{(-1)-2right}+left{0-(-1)right}# =5]

57

②

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{5} {f(x)dx}# = int _{0} ^{3} {f(x)dx} + LEFT ( int _{3} ^{2} {f(x)dx} + int _{2} ^{5} {f(x)dx} RIGHT )# =2-1+5=6]

58

①

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{1} {(x ^{3} -x ^{2} +x-1)dx}# - int _{1} ^{-1} {(x ^{3} +x ^{2} +x} +1)dx# = int _{-1} ^{1} {(x ^{3} -x ^{2} +x-1+x ^{3} +x ^{2} +x+1)dx}# = int _{-1} ^{1} {(2x ^{3} +2x)dx} =0]

59

④

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx} = int _{0} ^{1} {(x ^{2} +1)} dx+ int _{1} ^{2} {(3x-x ^{2} )} dx= {7} over {2}]

60

[eqn: 6]

답

해

설

곡선 [eqn: y=f(x)]는 직선 [eqn: x= {a+b} over {2}]에 대하여 대칭이므로  [eqn: int _{a} ^{{a+b} over {2}} {f(x)} dx= {1} over {2} int _{a} ^{b} {f(x)} dx]

[eqn: THEREFORE `b-a=2]

한편 [eqn: f(0)=1]이므로  [eqn: ab=1]

[eqn: therefore a ^{2} +b ^{2}=(b-a)^2 +2ab=6]

61

②

답

해

설

[eqn: f(x)= LEFT | `x`RIGHT |-1]이므로

[eqn: int _{-1} ^{2} {xf(x)} dx & = int _{-1} ^{2} {x LEFT | `x` RIGHT |} dx- int _{-1} ^{2} {x} dx# & = int _{-1} ^{0} {(-x ^{2} )} dx+ int _{0} ^{2} {x ^{2}} dx- int _{-1} ^{2} {x} dx# & = {5} over {6}]

62

[eqn: 20]

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(t)} dt= int _{-1} ^{1} {f(x)} dx=a]로 놓으면
[eqn: f(x)=10+3ax]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx} & = int _{-1} ^{1} {(10+3ax)} dx# & = int _{-1} ^{1} {10} dx# & =20]

63

①

답

해

설

[eqn: f(x)]가 [eqn: x]에 대한 [eqn: n]차 다항식이므로

[eqn: f(x)=a_0 +a_1 x + a_2 x ^2 + cdots + a_n x^n ~(a_n != 0)]

[eqn: THEREFORE & int _{0} ^{1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} dx# & = int _{0} ^{1} {(a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} `+ CDOTS +a _{n} x ^{n} )f(x)} dx=0]

64

[eqn: 84]

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{6} {LEFT { x ^{2} +f(x) RIGHT }} dx= int _{0} ^{6} {x ^{2}} dx+ int _{0} ^{6} {f(x)} dx=84]

65

[eqn: 9]

답

해

설

[eqn: y=f(x)]는 증가함수이고, 점 [eqn: (0,~5)]에 대하여 대칭이다.

[eqn: int _{1} ^{k} {f(x)dx=0}]이 성립하려면 오른쪽 그림에서 어두운 두 부분의 넓이가 서로 같아야 하므로  [eqn: k=9]

66

(1) [eqn: {1} over {4}]    (2) [eqn: {26} over {3}]

답

67

①

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {} f` LEFT ( a+ {b-a} over {n} k` RIGHT ) {b-a} over {n} = int _{a} ^{b} {f(x)dx}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{(1 ^{2} +2 ^{2} + CDOTS +n ^{2} )(1 ^{3} +2 ^{3} + CDOTS +n ^{3} )} over {(1+2+ CDOTS +n)(1 ^{4} +2 ^{4} + CDOTS +n ^{4} )}}# = lim _{n -> INF } {{{1 ^{2} +2 ^{2} + CDOTS +n ^{2}} over {n ^{3}} CDOT {1 ^{3} +2 ^{3} + CDOTS +n ^{3}} over {n ^{4}}} over {{1+2+ CDOTS +n} over {n ^{2}} CDOT {1 ^{4} +2 ^{4} + CDOTS +n ^{4}} over {n ^{5}}}}# = {LEFT { lim _{n -> INF } {LEFT . {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT } CDOT LEFT { lim _{n -> INF } {LEFT . {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3} RIGHT }} RIGHT .} RIGHT .} over {LEFT { lim _{n -> INF } {LEFT . LEFT . {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } CDOT LEFT { lim _{n -> INF } {LEFT . {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4} RIGHT }} RIGHT . RIGHT .} RIGHT .}]

[eqn: = { int _{0} ^{1} {x ^{2} dx` CDOT int _{0} ^{1} {x ^{3} dx}}} over { int _{0} ^{1} {xdx` CDOT int _{0} ^{1} {x ^{4} dx}}} = {{1} over {3} CDOT {1} over {4}} over {{1} over {2} CDOT {1} over {5}} = {5} over {6}]

68

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT . sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT . RIGHT )} & = int _{1} ^{2} {f(x)} dx# & = int _{1} ^{2} {(3x ^{2} +6x)dx}# & =16]