미적분Ⅰ	Ⅲ. 다항함수의 미분법		1. 미분계수와 도함수			반 / 번호
	01 미분계수					이름

01

오른쪽 그림과 같은 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프에서 [eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a} =f`'(c)]를 만족시키는 [eqn: c]의 개수는?

(단, [eqn: a<c<b])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

02

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rm A( it a,~ it f(a))]에서의 접선이 이 곡선과 만나는 점을 [eqn: rm B( it b,~f(b))]라고 하자. 함수 [eqn: f(x)]의 구간 [eqn: [`a,~b`]]에서의 평균변화율과 [eqn: x=c]에서의 미분계수가 서로 같을 때, [eqn: c]를 [eqn: a], [eqn: b]로 나타내면?

① [eqn: c= {a+b} over {2}]	② [eqn: c= {2a+b} over {3}]

③ [eqn: c= {a+2b} over {3}]	④ [eqn: c= {3a+b} over {4}]

⑤ [eqn: c= {a+3b} over {4}]

03

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)=0], [eqn: f`'(0)=4]일 때, [eqn: lim _{ x`->`3} { { f(x-3)} over { x^2 -9} }]의 값은?

① [eqn: {2} over 3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 7 over 3]	⑤ [eqn: 3]

04

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -1]에 대하여 [eqn: x]가 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x=c]에서의 미분계수가 같을 때, 상수 [eqn: c]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

05

다음 중 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: x=a]에서의 미분계수 [eqn: f`'(a)]가 아닌 것은?

① [eqn: lim _{ h`->`0} { { f(a+h)-f(a)} over { h} }]

② [eqn: lim _{h` -> `0} {{f(a-h)-f(a)} over {-h}}]

③ [eqn: lim _{h` -> `0} {{f(a+2h)-f(a)} over {2h}}]

④ [eqn: lim _{x` -> `a} {{f(x)-f(a)} over {x-a}}]

⑤ [eqn: lim _{x` -> `a} {{f(x ^{2} )-f(a ^{2} )} over {x-a}}]

06

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(1)=-3]일 때, [eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x^2 )-f(1)} over {x-1 } }]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

07

함수 [eqn: f(x)=x^3 +2]의 구간 [eqn: [1,~4]]에서의 평균변화율과 [eqn: x=c]에서의 미분계수가 같을 때, 양수 [eqn: c]의 값은?

① [eqn: sqrt { 3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt { 5}]

④ [eqn: sqrt { 6}]	⑤ [eqn: sqrt { 7}]

08

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 구간 [eqn: [0,~6]]에서 [eqn: f(x)]의 평균변화율은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

09

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(a)=2,~f` prime (a)=1,] [eqn: lim _{x` -> `a} {{af(x)-xf(a)} over {x-a}} =2]가 성립할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 5 over 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 5]

10

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~f(a)]가 존재한다.

[eqn: ㄴ.~ lim _{x`->`a } {`f(x) }]가 존재한다.

[eqn: ㄷ.~ lim _{ h`->`0} { { f(a+h)-f(a)} over {h } }]가 존재한다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

11

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `0} {{f(x)} over {x}} =-1,] [eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)} over {x-1}} =4]가 성립할 때, 방정식 [eqn: f(x)=0]의 모든 근의 합을 구하여라.

12

함수 [eqn: f(x) = x^3 -2x^2 +2x +1]에 대하여
[eqn: lim _{ h->0} { { f(1-2h)-f(1+3h)} over { h} }]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

13

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(a)=2], [eqn: f`'(a)=1], [eqn: lim _{ x`->`a} { { af(x)-xf(a)} over { x-a} }=2]를 만족시킬 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: { 5} over { 2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: { 9} over { 2}]	⑤ [eqn: 5]

14

함수 [eqn: f(x)=x ^{2}]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 평균변화율을 구하여라.

15

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +2x]의 [eqn: x=3]에서의 미분계수를 구하여라.

16

함수 [eqn: f(x)=x^2 -ax]에 대하여 [eqn: x=-1]에서 [eqn: x=2]까지 변할 때의 평균변화율은 [eqn: -2]이다. 이때 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

17

함수 [eqn: f(x)=x ^{3`} -3x]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: -2]에서 [eqn: -1]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: 1]에서 [eqn: a]까지 변할 때의 평균변화율이 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

(단, [eqn: a>1])

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over 2]

18

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(2)=4]일 때 [eqn: lim _{h`->`0} {{f(2-2h)-f(2)} over {h}}]의 값은?

① [eqn: -8]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 10]

19

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(8)=3]일 때, [eqn: lim _{x`->`2} {{f(x ^{3} )-f(8)} over {x-2}}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

20

곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP(ita,~c)], [eqn: rmQ(itb,~d)]에 대하여 [eqn: a+b over 2 = 3]이다. [eqn: x]의 값이 [eqn: a]에서 [eqn: b]까지 변할 때의 [eqn: y=x^2]의 평균변화율을 구하여라.

21

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(2)=3,~f`'(2)=4]일 때, [eqn: lim _{ x`->`2} { { xf(x)-6} over { x-2} }]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

22

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(1)=2]일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {n} LEFT { f LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }]의 값을 구하여라.

23

모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여
[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy-1]이 성립하고 [eqn: f`'(0)=4]일 때, [eqn: f`'(1)]의 값을 구하여라.

24

[eqn: lim _{ h`->`0} { { 1} over { h} left{ 1 over f(a+h) - 1 over f(a) right}}]의 값을 [eqn: f(a)]와
[eqn: f`'(a)]로 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: { f`'(a)} over { f(a)}]	② [eqn: - {f` prime (a)} over {f(a)}]	③ [eqn: {f` prime (a)} over {left{f(a)right} ^{2}}]

④ [eqn: - {f` prime (a)} over {LEFT { f(a) RIGHT } ^{2}}]	⑤ [eqn: {f(a)} over {f` prime (a)}]

25

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형이 오른쪽 그림과 같을 때 닫힌 구간 [eqn: [`0,~ 5`]]에서 [eqn: f ( x )]의 평균변화율은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

26

함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 [eqn: f'(1)=-3]일 때, [eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x^2 )-f(1)} over { x-1} }]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

27

[eqn: f(1)=3], [eqn: f`'(1)=4]일 때, [eqn: lim _{x`->`1} {{f(x ^{3} )-3} over {x-1}}]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

28

함수 [eqn: y=3x^3 +kx+1]에 대하여 [eqn: x=-1]에서 [eqn: x=2]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: 10]이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

29

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~f(a)]가 존재한다.

[eqn: ㄴ.~ lim _{x`->`a} {f(x)}]가 존재한다.

[eqn: ㄷ.~ lim _{h`->`0} {{f(a+h)-f(a)} over {h}}]가 존재한다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

30

함수 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수가 [eqn: 3]일 때 [eqn: lim _{ h`->`0} { { f(1+h)-f(1-h)} over { h} }]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

31

다항함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 [eqn: f`'(1)=4]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {n LEFT { f LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) -f(1) RIGHT }}]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

32

연속함수 [eqn: f ( x )]가 임의의 실수 [eqn: a,~ b]에 대하여 [eqn: f(a+b)=f(a)+f(b)]를 만족시키고 [eqn: f`'(0)=3]일 때, [eqn: f`' ( x )]는?

① [eqn: f'(x)=-x+3]	② [eqn: f'(x)=-x^2 +3]

③ [eqn: f'(x)=3]	④ [eqn: f'(x)=x^2 +3]

⑤ [eqn: f'(x)=x+3]

33

함수 [eqn: f(x)=x^3 -50x+a] ([eqn: a]는 실수)에 대하여[eqn: f(5)=k]일 때, [eqn: lim _{x` -> `5} {{f(x)-k} over {x-5}]의 값은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 55]

34

함수 [eqn: f(x)=x ^{ 2}]에 대하여 다음을 구하시오.
(1) [eqn: x]가 [eqn: a]에서 [eqn: a+h]까지 변할 때의 평균변화율
(2) [eqn: x=a]에서의 미분계수

35

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f prime (1)=15]일 때,
[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)-f(1)} over {x ^{3} -1}}]의 값을 구하시오.

36

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f prime (2)=2], [eqn: f prime (4)=4]일 때, [eqn: lim _{x-> 2} {{f(x ^{2} )-f(4)} over {f(x)-f(2)}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

37

함수 [eqn: f(x)=x ^{ 2}+3x+4]에 대하여 [eqn: x]가 [eqn: a]부터 [eqn: b]까지 변할 때의 [eqn: f(x)]의 평균변화율과 [eqn: x=c]에서의 미분계수가 같을 때, [eqn: c]를 [eqn: a,~b]로 나타내면?

① [eqn: c= {a+b} over {2}]	② [eqn: c= {2a+b} over {3}]

③  [eqn: c= {a+2b} over {3}]	④ [eqn: c= {3a+b} over {4}]

⑤ [eqn: c= {a+3b} over {4}]

38

함수 [eqn: f(x)`= {cases{eqalign{`ax+b~~``````(x LEQ 0)# }#eqalign{`x ^{2} (x-2)```(0<x<2)# }#`cx+d~~~``(x GEQ 2)}}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 미분가능할 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은?

① [eqn: -8]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: 0]

39

함수 [eqn: f(x)=|x-1|+2x]와 [eqn: g(x)=x ^{ 2}+ax]에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

40

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(2)=3], [eqn: f prime(2)=4]일 때, [eqn: lim _{x -> 2} {{LEFT {f(x) RIGHT } ^{2} - LEFT { f(2) RIGHT } ^{2} } over {x-2}]의 값을 구하시오.

41

연속함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: f(a+b)=f(a)+f(b)]를 만족시키고 [eqn: f prime (0)=3]일 때, [eqn: f prime (x)]는?

① [eqn: -x+3]	② [eqn: -x ^{2} +3]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: x ^{2} +3]	⑤ [eqn: x+3]

42

[eqn: g(x)=x ^{3} -x]에 대하여 [eqn: x != 1]일 때 함수 [eqn: f(x)= {g(x)-g(1)} over {x-1}]이다. [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

미적분Ⅰ	Ⅲ. 다항함수의 미분법		1. 미분계수와 도함수			반 / 번호
	02 미분계수의 의미와 연속성					이름

01

함수 [eqn: f(x)=left{~~x^2 ~~~(x ge1)##~`ax+b~``(x<1)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정할 때, [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

02

구간 [eqn: (-2,~3)]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 함수 [eqn: f(x)]의 불연속점의 개수를 [eqn: a], 미분가능하지 않은 점의 개수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

03

미분가능한 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: (1,~3)]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=-2x+5]일 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} { n over 3 left{ f left(1+ 1 over 2n right) -3 right} }]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 3]	③ [eqn: - 1 over 4]

④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 1]

04

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]는 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1,~2,~4]인 세 점 [eqn: RMA,~B,~C]에서 만나고 점 [eqn: RMA]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 접선의 기울기가 [eqn: 3]일 때, 두 점 [eqn: RMB,~C]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 접선의 기울기를 차례로 나열한 것은?

① [eqn: -1,~5]	② [eqn: -1,~6]	③ [eqn: -2,~5]

④ [eqn: -2,~6]	⑤ [eqn: -2,~9]

05

함수 [eqn: f(x) = left{~x^3 -x~(x le 1)##~ax^2 +b~(x>1)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a-b]의 값은?

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

06

명제 ‘함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이면 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 미분가능하다.’가 거짓임을 보일 수 있는 함수로 적당한 것은?

① [eqn: f(x)=x^2]	② [eqn: f(x)=` |`x` |]

③ [eqn: f(x)= 1 over x]	④ [eqn: f(x) = { |`x` |} overx]

⑤ [eqn: f(x)=x+1]

07

두 곡선 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b], [eqn: g(x)=-x^3 +c]가 점 [eqn: (1,~ -2)]에서 서로 접할 때, 세 상수 [eqn: a,~ b,~ c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

08

삼각함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~f`'(a)+f(a)<0]

[eqn: ㄴ.~f`'(b)+f(b)<0]

[eqn: ㄷ.~f`'(c)cdotf(c)>0]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

09

곡선 [eqn: y=-x ^{2}] 위의 점 [eqn: (2,~-4)]에서의 접선의 기울기를 구하여라.

10

함수 [eqn: f(x)=2x^2 -2x] 위의 점 [eqn: rmP(2,~4)]에서의 접선의 기울기를 구하면?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

11

함수 [eqn: f(x)=x ^{2`} +ax-1] 위의 점 [eqn: (-2,~f(-2))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

곡선 [eqn: f(x)=x ^{2} +1] 위의 점 [eqn: (-2,~5)]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: tan``theta]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

[eqn: therefore tan`` theta =-4]

13

삼차함수 [eqn: y= x^3 - 3ax^2 +4a]의 그래프가 [eqn: x]축에 접할 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a>0])

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4 over 3]

14

[eqn: g(x)=xf(x)]에 대하여 [eqn: y=g( x )]가 [eqn: x=0]에서 미분가능할 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~]극한값 [eqn: lim _{ x`->`0} { f(x)}]가 존재한다.

[eqn: ㄴ.~f(0)=0]

[eqn: ㄷ.~y=f(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

15

곡선 [eqn: f(x)=x^3] 위의 점 [eqn: ( 1 ,~ 1)]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: tan``theta]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

16

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: ( a ,~ f ( a ) )]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 45DEG]일 때, [eqn: lim _{ h`->`0} { { f(a+2h)-f(a)} over { 3h} }]의 값은?

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 5 over 6]

17

곡선 [eqn: y=x ^{ 2}-2x] 위의 두 점 [eqn: RMP,~Q]의 좌표가 각각 [eqn: 1,~3]이다. 직선 [eqn: RMPQ]의 기울기와 [eqn: x=a]일 때 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기가 서로 같을 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

미적분Ⅰ	Ⅲ. 다항함수의 미분법	1. 미분계수와 도함수	반 / 번호
	03 도함수		이름

01

[eqn: f(x) = 2 x^3 - 4x^2]일 때,
[eqn: lim _{ h`->`0} { { f(2+3h)-f(2+h)} over { h} }]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

02

함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-ax)=-af(x)]를 만족시킬 때, [eqn: f`'(x)]와 같은 것은? (단, [eqn: a != 0])

① [eqn: af`'(x)]	② [eqn: 1 over a f`'(x)]	③ [eqn: af`'(ax)]

④ [eqn: f`'(-ax)]	⑤ [eqn: 1 over a f`'(-ax)]

03

미분가능한 함수 [eqn: f(x),~g(x)]가
[eqn: lim _{ x`->`2} { { f(x)-4} over {x-2 } }=1,~ lim _{ x`->`2} { { g(x)+3} over {x-2 } }=-1]을 만족시킬 때, 함수 [eqn: f(x)g(x)]의 [eqn: x=2]에서의 미분계수는?

① [eqn: -13]	② [eqn: -11]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -5]

04

함수 [eqn: f(x)=(x^2 +x)(x^2 +ax+b)]가 [eqn: f(1)=0,] [eqn: f`'(1)=6]을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

05

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: x^2 f`'(x)-xf(x)-2x^3 +2x=0]
이고 [eqn: f`'(2)=5]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

06

다항식 [eqn: f(x)=x^10 +ax ^2 -b]가 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

07

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 삼차방정식 [eqn: f(x)=0]이 서로 다른 세 실근 [eqn: 1,~2,~3]을 갖고 [eqn: f`'(1)=4]일 때, [eqn: f`'(2)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

08

함수 [eqn: f(x)=1+x+x^2 +cdots +x^10]에 대하여 [eqn: f`'(1)-f(0)]의 값은?

① [eqn: 52]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 60]

09

[eqn: lim _{ x`->`1} { { (2x-1)^20 -1} over {x-1 } }]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 40]

10

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+xy]를 만족시킨다. [eqn: f`'(0)=3]일 때, [eqn: f`'(2)]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

11

함수 [eqn: g(x)=x ^{2010} -2010x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)=` {g(x)-g(1)} over {x-1}]로 정의한다. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: -2010]	② [eqn: -2009]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2009]	⑤ [eqn: 2010]

12

삼차함수 [eqn: f(x)]가 서로 다른 세 실수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: f(a)=f(b)=0,~f`'(a)=f`'(c)=0]을 만족시킬 때, [eqn: c]를 [eqn: a]와 [eqn: b]로 나타내면?

① [eqn: a+b]	② [eqn: { a+b} over {2 }]	③ [eqn: {a+b} over {3}]

④ [eqn: { a+2b} over { 3}]	⑤ [eqn: { 2a+b} over {3 }]

13

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, [eqn: y=f`'(x)]의 그래프로 옳은 것은?

①	②

③	④

⑤

14

삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x)} over {x^3 -1} }=0]을 만족시킬 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~f(1)=0]

[eqn: ㄴ.~f`'(1)=3]

[eqn: ㄷ.~f(x)]는 [eqn: (x-1)^2]을 인수로 갖는다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

15

함수 [eqn: f(x)= 1 over 5 x^5 - 1 over 3 x^3 + x-1]에 대하여
[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(3+3h)-f(3-2h)} over {h}}]의 값을 구하여라.

16

함수 [eqn: f(x) = 1+x+ x^2 +cdots + x^n]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } { 1} over {f`'(1) }]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

17

[eqn: xf`'(x)+x ^{2`} +`2x`=3f(x)]를 만족시키는 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

18

함수 [eqn: g(x)=x ^{2015} -2015x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= {g(x)-g(1)} over {x-1}]로 정의한다. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하여라.

19

함수 [eqn: f(x)=x^3 -2x^2 +2x+1]에 대하여 [eqn: lim _{ h`->`0} { { f(1-2h)-f(1+3h)} over { h} }]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

20

함수 [eqn: f(x)=x ^{3}]에 대하여 [eqn: f`'(a)=12]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

21

함수 [eqn: y=2x^3 - 4x^2]의 도함수를 구하여라.

22

함수 [eqn: y=(x+2)(x-3)]의 도함수를 구하여라.

23

미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여 [eqn: f(1)=2,~f`'(1)=3,~g(1)=3,~g`'(1)=2]이고, [eqn: h(x)=f(x)g(x)]라고 할 때, [eqn: h`'(1)]의 값을 구하여라.

24

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수
[eqn: f(x)=cases{`2x^2 ~~~~(x ge 1)##`ax+b~~(x<1)]가 미분가능할 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: 8]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 32]

25

함수 [eqn: f(x) = cases{`x^3 +ax^2 ~~(x ge 1)##`bx+2~~~~(x<1)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: ab]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

26

모든 실수에서 정의된 함수 [eqn: y=(2x+1) ^3]의 도함수는?

① [eqn: (2x+1)^2]	② [eqn: 2(2x+1)^2]	③ [eqn: 3(2x+1)^2]

④ [eqn: 4(2x+1)^2]	⑤ [eqn: 6(2x+1)^2]

27

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(2)=2,~f`'(2)=-3]이고, 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: g(x)=left{ f(x)right} ^4]일 때, [eqn: g`'(2)]의 값은?

① [eqn: -96]	② [eqn: -64]	③ [eqn: -32]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 96]

28

다항식 [eqn: x^10]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나눈 나머지를 구하여라.

29

다항식 [eqn: x^n]을 [eqn: (x-2)^2]으로 나눈 나머지를 [eqn: ax+b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

(단, [eqn: n]은 [eqn: 2] 이상의 자연수)

① [eqn: 2^n-1 (n-2)]	② [eqn: 2^n-1 (2-n)]

③ [eqn: 2^n (n-1)]	④ [eqn: 2^n (n-2)]

⑤ [eqn: 2^n (2-n)]

30

다음 함수 중 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수를 모두 고른 것은?

(가) [eqn: f(x)= |``x`` |]

(나) [eqn: f(x)=□``x ^{2} -1``□]

(다) [eqn: f(x)=□``x ^{3} ``□]

① (가)	② (나)	③ (다)

④ (가), (나)	⑤ (나), (다)

31

함수 [eqn: f(x)=x^2 + ax+b]에 대하여 [eqn: f(1)=-1]이고 [eqn: lim _{ x`->`1 } { { f(x)+1} over { x-1} }=4]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

32

함수 [eqn: f(x)= |``x^2 -4x +3`` |]에 대하여 [eqn: f`'(2)+f`'(-2)]의 값은?

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

33

일차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: x^2 f(x)]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2x+1]일 때, [eqn: f(-2)]의 값을 구하여라.

34

다항식 [eqn: x^n -ax+4]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나눈 나머지가 [eqn: 5x-2]일 때, [eqn: n+a]의 값은?

(단, [eqn: n,~ a]는 상수)

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

35

다항식 [eqn: x^10 +ax+b]가 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어질 때, 두 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

36

함수 [eqn: f(x) = cases{`~~~x~~~~~~~~( x ge 2)##~ax^2 + bx +c ~~(-2 <x<2)##~~~~-x~~~~~~(x le -2)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능하도록 하는 실수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: 16(a^2 + b^2 +c^2 )]의 값을 구하여라.

37

다항함수 [eqn: f(x),~g(x)]가 [eqn: lim _{x`->`3} {{f(x)-2} over {x-3}} =1], [eqn: lim _{x`->`3} {{g(x)-1} over {x-3}} =2]를 만족시킬 때, 함수 [eqn: y=f(x)g(x)]의 [eqn: x=3]에서의 미분계수는?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

38

오른쪽 그림은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. [eqn: g(x)=x^2 f(x)]라고 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?

(가) [eqn: g`'(-2) <0]

(나) [eqn: g`'(1) <0]
(다) [eqn: g`'(3) >0]

(라) [eqn: g`'(4) >0]

① (가), (나)	② (가), (다)	③ (나), (다)

④ (나), (라)	⑤ (다), (라)

39

함수 [eqn: f(x)=2x^2 +1]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm P( 1 ,~ 3)]과 점 [eqn: rmQ(ita,~ 2a^2 +1)]을 지나는 직선의 기울기를 [eqn: g( a )]라고 할 때, [eqn: lim _{a`->`1} {g( a )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

40

함수 [eqn: f(x)= |``x-2`` |+3]에 대하여
[eqn: f` prime (-1)+f`'(3)]의 값을 구하여라.

41

함수 [eqn: y= 1 over 4 x^4 - 1 over 3 x ^3 +2x ^2 -x+1]에 대하여 [eqn: y`'=ax^3 + bx^2 + cx + d]일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c,~d]는 상수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

42

[eqn: lim _{ x`->`1} { { x^10 +x^9 + x^8 +cdots + x -10} over { x-1} }]의 값은?

① [eqn: 45]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 55]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 65]

43

이차함수 [eqn: f(x)=ax^2 + bx +c]가 다음 세 조건을 만족시킨다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값은?

(단, [eqn: a,~b,~c]는 상수)

Ⅰ. [eqn: f(2)=-4]

Ⅱ. [eqn: f`'(0)=2]

Ⅲ. [eqn: f`'(1)= -2]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

45

[eqn: f(1)=-2], [eqn: f'(1)=1]을 만족하는 다항함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 [eqn: g(x)=(x^2 +1)^2 f(x)]라고 할 때, [eqn: g' ( 1 )]의 값은?

① [eqn: -20]	② [eqn: -16]	③ [eqn: -12]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -4]

46

다항함수 [eqn: f ( x )], [eqn: g( x )]가 [eqn: lim _{x` -> `2} {{f(x)-1} over {x-2}} =2,] [eqn: lim _{x`->`2} {{g(x)-3} over {x-2}} =1]을 만족할 때, 함수 [eqn: h(x)=f(x)g( x )]의 [eqn: x=2]에서의 미분계수는?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

47

다항식 [eqn: x^4 +ax+b]가 [eqn: (x+1)^2]으로 나누어떨어질  때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~ b]는 상수)

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

48

함수 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b]에 대하여 [eqn: f(1)=-1]이고[eqn: lim _{x`->`1} {{f(x)+1} over {x-1}} =3]일 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값은?

(단, [eqn: a,~ b]는 상수)

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

49

함수 [eqn: f(x)=x^ 10 +ax+b]에 대하여 [eqn: lim _{x`->`1} {{f(x)-f(1)} over {x ^{3} -1}} =0]일 때, [eqn: f'(-1)]의 값은?

① [eqn: -20]	② [eqn: -10]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 20]

50

두 함수 [eqn: f(x)=x^2 -x+3],
[eqn: g(x)=-x^3 +x^2 +1]에 대하여
[eqn: h(x)=f(x) left{f(x)-3g( x )right}]라고 할 때, [eqn: h ' ( 1 )]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

51

곡선 [eqn: y=(2x-1)^2 (x^2 `+1)] 위의 [eqn: x=0]인 점에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

52

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx+c]가
[eqn: f(1)=f(2)=f(3)]을 만족시킬 때,
[eqn: f'(1)+f'(2)+f' ( 3 )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

53

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)=x^4 +ax+b]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나눈 나머지가 [eqn: 3x+1]일 때, [eqn: f'(-1)]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

54

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x ^{2} +x-1]에 대하여[eqn: lim _{x` -> `0} {{f(f(x))+2} over {x}}]의 값을 구하여라.

55

삼차함수 [eqn: y=x^3 +ax+b]의 그래프 위의 점 [eqn: ( 1 ,~ 2)]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=-x+2]일 때, 두 상수 [eqn: a,~ b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

56

미분가능한 함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=(x^2 +1)f(x)]로 정의되는 함수 [eqn: g( x )]가 [eqn: g(1)=6,~ g'(1)=2]를 만족시킬 때, [eqn: f' ( 1 )]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

57

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f ( x )]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 두 실수 [eqn: a,~ b]의 합[eqn: a+b]의 값은?

Ⅰ. [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx] (단, [eqn: 0 le x le2])

Ⅱ. [eqn: f(x)=f(x+2)]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

58

함수 [eqn: f(x)= cases{``x^3 +ax~(x ge 1)##``2x-b~~(x<1)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능할 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값은?

(단, [eqn: a,~ b]는 실수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 8]

59

함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 -(a-6)x+3]이 구간 [eqn: ( -inf,~inf)]에서 증가하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

60

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)]일 때, [eqn: f prime (2)]의 값을 구하시오.

61

함수 [eqn: f(x)=x ^{ 4}+4x ^{ 2}+1]에 대하여
[eqn: lim _{h -> 0} {{f(1+2h)-f(1)} over {h}}]의 값을 구하시오.

62

등식 [eqn: (x-1)f(x)=x ^{3} -1]을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: f(1)+f prime(1)]의 값을 구하시오.

63

함수 [eqn: f(x)=x ^{ 3}+x]에 대하여
[eqn: lim _{h-> 0} {{f(2+h)-10} over {h}}]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

64

다항함수 [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} g(x)]이고 [eqn: g(1)=3,~g prime (1)=5]일 때, 미분계수 [eqn: f prime (1)]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

65

삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x` -> `2} {{f(x)} over {(x-2) ^{2}}}=3], [eqn: f(3)=5]를 만족시킬 때, [eqn: f prime (3)]의 값을 구하시오.

66

함수 [eqn: f(x)=cases{`x^3 +ax^2 +bx ~~( x ge 1)##`2x^2 +1~~~~~~~~(x <1)]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능할 때, [eqn: ab]의 값은?

(단, [eqn: a,`b]는 상수)

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

67

미분가능한 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. [eqn: g(x)=xf(x)]라고 할 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: f prime (2)=0])

ㄱ. [eqn: f(1)+g prime (1)>0]

ㄴ. [eqn: g(2)g prime (2)>0]

ㄷ. [eqn: f(3)+g prime (3)>0]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

68

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x]가 두 점 [eqn: RMA,~B]에서 만난다. 교점 [eqn: RMA]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 5]일 때, 교점 [eqn: RMB]에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

69

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]가
[eqn: f(1)=f(2)=f(3)]을 만족시킬 때,
[eqn: f prime (1)+f prime (2)+f prime (3)]의 값을 구하시오.

미적분Ⅰ	Ⅲ. 다항함수의 미분법		1. 미분계수와 도함수			정답
	01 미분계수

01

②

답

해

설

두 점 [eqn: (a,~f(a)),~(b,~f(b))]를 지나는 직선과 기울기가 같은 접선은 [eqn: 2]개이므로 [eqn: c]는 [eqn: 2]개다.

02

③

답

해

설

접선의 방정식을 [eqn: y=g(x)]라고 하면 함수
[eqn: y=f(x)-g(x)]는 [eqn: x]축과 [eqn: x=a]에서 접하고 [eqn: x=b]에서 만나므로

[eqn: f(x)-g(x)=k(x-a) ^{2}(x-b)]

[eqn: f prime (x)-g prime (x)=k(x-a)(3x-a-2b)=0]에서

[eqn: x=a] 또는 [eqn: x= {a+2b} over {3}]

[eqn: THEREFORE c= {a+2b} over {3}]

03

①

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `3} {{f(x-3)} over {x ^{2} -9}}= lim _{ t`->`0} { { f(t)} over { t(t+6)} }= { f`'(0)} over { 6}= 2 over3]

04

②

답

해

설

[eqn: {DELTAy } over {DELTAx}= { f(3)-f(1)} over { 3-1}=4,~f`'(c)=2c]

이므로 [eqn: 4=2c]에서  [eqn: c=2]

05

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `a} {{f(x ^{2} )-f(a ^{2} )} over {x-a}}=2af`'(a^2 )]

06

①

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x ^{2} )-f(1)} over {x-1}}# = lim _{x` -> `1} {LEFT { {f(x ^{2} )-f(1)} over {x ^{2} -1} CDOT (x+1) RIGHT }} #=f`'(1)cdot2 =-6]

07

⑤

답

해

설

[eqn: f`'(c)= lim _{ x`->`c} { { f(x)-f(c)} over { x-c} }=3c^2]

[eqn: { f(4)-f(1)} over { 4-1}=3c^2]에서

[eqn: 21= 3c^2]

[eqn: therefore c= sqrt {7}~(becausec>0)]

08

②

답

해

설

이차함수 [eqn: f(x)=a(x-2)^2 -2]라고 하면

[eqn: f(0)=4a-2=2~~~therefore a=1]

[eqn: therefore f(x)=(x-2)^2 -2]

따라서 구간 [eqn: [`0,~6`]]에서 [eqn: f(x)]의 평균변화율은

[eqn: { f(6)-f(0)} over { 6-0}=2]

09

③

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `a} {{af(x)-xf(a)} over {x-a}}# = lim _{x` -> `a} {{af(x)-af(a)+af(a)-xf(a)} over {x-a}}# =af` prime (a)-f(a)=a-2=2]

[eqn: THEREFORE `a=4]

10

②

답

해

설

[eqn: ㄱ.~f(a)=b]가 존재한다. (참)

[eqn: ㄴ.~ lim _{ x`->`a-0} {f(x) }= lim _{ x`->`a+0} {`f(x) }= lim _{ x`->`} {f(x) }=b] (참)

[eqn: ㄷ.~ lim _{ h`->`-0} { { f(a+h)-f(a)} over { h} }!= lim _{ h`->`+0} { { f(a+h)-f(a)} over {h } }]

(거짓)

11

[eqn: 2 over3]

답

해

설

[eqn: f(x)=x(x-1)(ax+b)] (단, [eqn: a,~b]는 상수, [eqn: a!=0])로 놓으면

[eqn: lim _{ x`->`0} { { x(x-1)(ax-b)} over {x } }=-1]에서  [eqn: b=1]

[eqn: lim _{ x`->`1} { { x(x-1)(ax+1)} over { x-1} }=4]에서  [eqn: a=3]

따라서 [eqn: f(x)=x(x-1)(3x+1)]이므로 구하는 세 근의 합은

[eqn: 0+1+ left( - 1 over 3 right) = 2 over 3]

12

①

답

해

설

[eqn: f`'(x)=3x^2 -4x +2]에서  [eqn: f`'(1)=1]

[eqn: THEREFORE & lim _{h -> 0} {{f(1-2h)-f(1+3h)} over {h}}# & = lim _{h -> 0} {LEFT { {f(1-2h)-f(1)} over {-2h} CDOT (-2) RIGHT }}# & ~~- lim _{h -> 0} {LEFT { {f(1+3h)-f(1)} over {3h} CDOT 3 RIGHT }}#&=-2f`'(1) -2f`'(1) = -5 f`'(1) =-5]

13

③

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `a} {{af(x)-xf(a)} over {x-a}}# = lim _{x`->`a} {{af(x)-af(a)+af(a)-xf(a)} over {x-a}}# =af`'(a)-f(a)=a-2=2]

[eqn: therefore`a=4]

14

[eqn: 4]

답

15

[eqn: 8]

답

16

③

답

해

설

[eqn: x=-1]에서 [eqn: x=2]까지 변할 때의 평균변화율은

[eqn: { f(2)-f(-1)} over { 2-(-1)}=-2]에서

[eqn: {4-2a-(1+a)} over {3} =-2]

[eqn: 1-a=-2~~~~therefore`a=3]

17

②

답

해

설

[eqn: { f(-1)-f(-2)} over { (-1)-(-2)}= { f(a)-f(1)} over { a-1}]에서

[eqn: 4= {a ^{3} -3a+2} over {a-1} ,~(a-1)(a-2)(a+3)=0]

[eqn: therefore a=2~(because a>1)]

18

①

답

해

설

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(2-2h)-f(2)} over {h}}# = lim _{h` -> `0} {{f(2-2h)-f(2)} over {-2 CDOT h} CDOT (-2)}# =f`'(2)cdot(-2)# =4cdot(-2)# =-8]

19

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{x`->`2} {{f(x ^{3} )-f(8)} over {x-2}} #= lim _{ x`->`2} { left{ { f(x^3 )-f(8)} over { x^3 -8}cdot(x^2 +2x+4) right} } #=f`'(8)cdot12=36]

20

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: d-c over b-a = {b^2 -a^2 } over b-a =b+a=6]

21

①

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `2} {{xf(x)-6} over {x-2}} & = lim _{x` -> `2} {{xf(x)-xf(2)+xf(2)-6} over {x-2}}# & =2f` prime (2)+3=11]

22

[eqn: 8]

답

해

설

[eqn: {2} over {n} =t]로 치환하면

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {n} LEFT { f LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }# = lim _{t -> 0} {{2} over {t} LEFT { f LEFT ( 1+t RIGHT ) -f LEFT ( 1-t RIGHT ) RIGHT }} =4f`'(1)=8]

23

[eqn: 7]

답

해

설

주어진 식에 [eqn: x=y=0]을 대입하면  [eqn: f(0)=1]

[eqn: THEREFORE f` prime (1) & = lim _{h` -> `0} {{f(1+h)-f(1)} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{f(h)+3h-1} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{f(h)-f(0)} over {h}} +3~(because f(0)=1) #&=f`'(0)+3=7]

24

④

답

해

설

[eqn: lim _{h` -> `0} {{1} over {h} LEFT { {1} over {f(a+h)} - {1} over {f(a)} RIGHT }}# = lim _{h` -> `0} {{1} over {h} LEFT { {f(a)-f(a+h)} over {f(a+h)f(a)} RIGHT }}# = lim _{h` -> `0} {LEFT { - {f(a+h)-f(a)} over {h} CDOT {1} over {f(a+h)f(a)} RIGHT }}# =- {f`'(a)} over {left{f(a)right} ^{2}}]

25

③

답

해

설

이차함수 [eqn: f(x)=a(x-1)^2 +1]이라고 하면

[eqn: f(0)=a+1=2]

[eqn: ∴ a=1]

[eqn: therefore { f(5)-f(0)} over { 5-0} = 17-2 over 5 = 3]

26

①

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x ^{2} )-f(1)} over {x-1}} & = lim _{x` -> `1} {LEFT { {f(x ^{2} )-f(1)} over {x ^{2} -1} (x+11 RIGHT }}# & =f` prime (1) CDOT 2# & =-6]

27

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x ^{3} )-3} over {x-1}}# = lim _{x` -> `1} {LEFT { {f(x ^{3} )-3} over {x ^{3} -1} times(x ^{2} +x+1) RIGHT }}# =f`'(1)times3# =12]

28

④

답

해

설

[eqn: f(x)=3x^3 +kx+1]에서 [eqn: { f(2)-f(-1)} over { 2-(-1)}=10]이므로

[eqn: { (24+2k+1)-(-3-k+1)} over { 2-(-1)}=10]

[eqn: therefore k=1]

29

③

답

해

설

[eqn: ㄱ.~f(a)=b]가 존재한다. (참)

[eqn: ㄴ.~ lim _{x` -> `a+0} {f(x)} = lim _{x` -> `a-0} {f(x)} = lim _{x` -> `a} {f(x)} =b] (참)

30

③

답

해

설

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(1+h)-f(1-h)} over {h}}# = lim _{h` -> `0} {{f(1+h)-f(1-h)} over {h}} + lim _{h` -> `0} {{f(1-h)-f(1)} over {-h}}# =2f` prime (1)=2 CDOT 3=6]

31

④

답

해

설

[eqn: 1 over n =h]로 놓으면 [eqn: n`->`inf]일 때 [eqn: h`->`0]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {n LEFT { f LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) -f(1) RIGHT }}# = lim _{h` -> `0} {{1} over {n} LEFT { f(1+2h)-f(1) RIGHT }}# = lim _{h` -> `0} {LEFT { {f(1+2h)-f(1)} over {2h} CDOT 2 RIGHT }}# =2f` prime (1)=2 cdot 4 = 8]

32

③

답

해

설

[eqn: f(a+b)=f(a)+f(b)]에서 [eqn: a=b=0]이면

[eqn: f(0)=f(0)+f(0)]

[eqn: ∴ f(0)=0]

[eqn: f` prime (x) & = lim _{h` -> `0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{f(x)+f(h)-f(x)} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{f(h)} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{f(0+h)-f(0)} over {h}}# & =f`'(0)=3]

33

②

답

해

설

[eqn: f(5)=k]이므로
[eqn: lim _{x` -> 5} {{f(x)-k} over {x-5}} = lim _{x` -> 5} {{f(x)-k} over {x-5}} =f` prime (5)]

한편, [eqn: f(x)=x^3 -50x+a] ([eqn: a]는 실수)에서

[eqn: f'(x)=3x^2 -50]이므로 구하는 값은

[eqn: f`'(5)=3 cdot 5^2 -50=25]

34

(1) [eqn: 2a+h]   (2) [eqn: 2a]

답

35

[eqn: 5]

답

36

④

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 2} {{f(x ^{2} )-f(4)} over {f(x)-f(2)}} & = lim _{x -> 2} {{{f(x ^{2} )-f(4)} over {x-2}} over {{f(x)-f(2)} over {x-2}}}# & = {lim _{x -> 2} {{f(x ^{2} )-f(4)} over {x-2}}} over {lim _{x -> 2} {{f(x)-f(2)} over {x-2}}}]

그런데

[eqn: lim _{x -> 2} {{f(x ^{2} )-f(4)} over {x-2}} & = lim _{x -> 2} {{f(x ^{2} )-f(4)} over {x ^{2} -4}} CDOT (x+2)# & =f prime (4) TIMES 4=16]

[eqn: lim _{x -> 2} {{f(x)-f(2)} over {x-2}}=f prime(2)=2]

따라서  [eqn: lim _{x -> 2} {{f(x ^{2} )-f(4)} over {f(x)-f(2)}} = {16} over {2}=8]

37

①

답

해

설

구간 [eqn: [`a,~b`]]에서의 평균변화율은

[eqn: {DELTA y} over {DELTA x} & = {f(b)-f(a)} over {b-a}# & = {(b ^{2} +3b+4)-(a ^{2} +3a+4)} over {b-a}# & =b+a+3]

[eqn: f prime (x)=2x+3]에서  [eqn: f prime (c)=2c+3]

[eqn: {DELTA y} over {DELTA x} =f prime (c)]이므로  [eqn: b+a+3=2c+3]

[eqn: THEREFORE `c= {a+b} over {2}]

38

③

답

해

설

(i) [eqn: x=2]에서 미분가능하려면 [eqn: x=2]에서 연속이어야 하므로 [eqn: lim _{x-> 2-0} {f(x)= lim _{x-> 2+0} {f(x)}}]이어야 한다.
[eqn: THEREFORE `0=2c+d]	㉠
또, [eqn: x=2]에서 미분계수가 존재해야 하므로
[eqn: lim _{x -> 2-0} {f prime (x)= lim _{x -> 2+0} {f prime (x)}}]이어야 한다.
그런데 [eqn: f prime (x)`= {cases{`~~~`a~```````````(x<0)##`3x ^{2} -4x`````(0<x<2)##`~~~c``````````````````(x>2)}}]이므로
[eqn: 4=c]	㉡
㉠, ㉡에서   [eqn: c=4,~d=-8]

(ii) 같은 방법으로, [eqn: x=0]에서 미분가능하기 위한 [eqn: a,~b]의 값을 구하면  [eqn: a=b=0]

(i), (ii)에서  [eqn: a+b+c+d=-4]

39

②

답

해

설

[eqn: F(x)=f(x)g(x)]로 놓으면

[eqn: F(x)`= {cases{(3x-1`)(x ^{2} +ax)~~(x GEQ 1)#eqalign{````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````~~# `(x+1)(x ^{2} +ax)~~~`(x<1)}}}]

[eqn: THEREFORE F prime (x)`= {cases{``3(x ^{2} +ax`)+(3x-1)(2x+a)``~``(x>1)#eqalign{````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````~~# `(x ^{2} +ax)+(x+1)`(2x+a)`~~~```(x<1)}}}]

[eqn: lim _{x -> 1-0} {F`` prime (x)= lim _{x -> 1+0} {F`` prime (x)}}]에서
[eqn: 1+a+2(2+a)=3(1+a)+2(2+a)]

[eqn: THEREFORE a=-1]

40

[eqn: 24]

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 2} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} - LEFT { f(2) RIGHT } ^{2}} over {x-2}}# = lim _{x -> 2} {{f(x)-f(2)} over {x-2}} TIMES lim _{x -> 2} {LEFT { f(x)+f(2) RIGHT }}# =f` prime (2) TIMES 2f(2)=24]

41

③

답

해

설

[eqn: f(a+b)=f(a)+f(b)]에 [eqn: a=b=0]을 대입하면
[eqn: f(0)=0]

[eqn: THEREFORE f prime (x) & = lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}# & = lim _{h -> 0} {{f(x)+f(h)-f(x)} over {h}}# & = lim _{h -> 0} {{f(h)} over {h}} =f prime (0)=3]

42

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: f`(1)= lim _{x -> `1} {f(x)= lim _{x -> 1} {} {g(x)-g(1)} over {x-1} =g prime (1)} ,]

[eqn: g prime(x)=3x ^{ 2}-1]

이므로  [eqn: g prime (1)=2]

[eqn: THEREFORE f(1)=g prime (1)=2]

미적분Ⅰ	Ⅲ. 다항함수의 미분법		1. 미분계수와 도함수			정답
	02 미분계수의 의미와 연속성

01

③

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`1+0} {``f(x) }`=` lim _{ x`->`1-0} { f(x)=f(1)}]에서

[eqn: 1=a+b]

[eqn: lim _{ x`->`1+0} { { f(x)-f(1)} over {x-1 } }= lim _{ x`->`1-0} { { f(x)-f(1)} over {x-1 } }]에서

[eqn: a=2]

[eqn: therefore a-b=2-(-1)=3]

02

③

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1,~x=1,~x=2]에서 불연속이므로  [eqn: a=3]

[eqn: x=-1,~x=0,~x=1,~x=2]에서 미분가능하지 않으므로  [eqn: b=4]

[eqn: therefore a+b=7]

03

②

답

해

설

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (`1,~3)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -2]이므로  [eqn: f`'(1)=-2]

[eqn: 1 over n = h]로 놓으면 [eqn: n`->`inf]일 때, [eqn: h`->`0]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF }{{n} over {3} LEFT { f LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT ) -3 RIGHT }} # = lim _{h` -> `0} {LEFT . LEFT . {1} over {3} LEFT { {f LEFT ( 1+ {h} over {2} RIGHT ) -f(1)} over {{h} over {2}} CDOT {1} over {2} RIGHT } = 1 over6 f`'(1)= - 1 over 3]

04

④

답

해

설

[eqn: f(x)-k=a(x-1)(x-2)(x-4)]이므로

[eqn: f prime (x)= & a(x-2)(x-4)+a(x-1)(x-4)# & +a(x-1)(x-2)]

[eqn: f prime (1)=a(1-2)(1-4)=3]

[eqn: THEREFORE a=1]

[eqn: f prime (2)=(2-1)(2-4)=-2]

[eqn: f prime (4)=(4-1)(4-2)=6]

05

⑤

답

해

설

[eqn: x=1]에서 연속이므로
[eqn: a+b=0,~ lim _{x` -> `1-0} {{f(x)-f(1)} over {x-1}} = lim _{x` -> `1+0} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}]

이므로

[eqn: 2=2a]

[eqn: THEREFORE `a=1,~b=-1]

[eqn: therefore a-b=1-(-1)=2]

06

②

답

해

설

함수 [eqn: f(x)= |`x` |]는 [eqn: lim _{ x`->`0} {` f(x)`}=f(0)]이므로 [eqn: x=0]에서 연속이지만

[eqn: lim _{h` -> `+0} {{|`0+h`|-|`0`|} over {h}} =1,~ lim _{h` -> `-0} {{|`0+h`|-|`0`|} over {h}} =-1]

이므로 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.

07

①

답

해

설

[eqn: f(1)= g(1)=-2]에서

[eqn: 1+a+b=-2,```~-1+c=-2]	㉠

[eqn: f`'(1)=g`'(1)]에서  [eqn: 2+a=-3]

㉠, ㉡에서

[eqn: a=-5,~b=2,~c=-1~~~therefore a+b+c=-4]

08

②

답

해

설

[eqn: ㄱ.~f`'(a)>0,~f(a)`<0]에서 [eqn: f`'(a)+f(a)]의 부호는 알 수 없다. (거짓)

[eqn: ㄴ.~f`'(b)<0,~f(b)<0]이므로  [eqn: f` prime (b)+f(b)<0]

(참)

[eqn: ㄷ.~f`'(c)>0,~f(c)<0]이므로  [eqn: f`'(c)cdotf(c)<0]

(거짓)

09

[eqn: -4]

답

10

④

답

해

설

구하는 접선의 기울기는 [eqn: x=2]에서의 미분계수 [eqn: f`'(2)]와 같으므로

[eqn: f` prime (2) & = lim _{h` -> `0} {{f(2+h)-f(2)} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{2(2+h) ^{2} -2(2+h)-(2cdot2 ^{2} -2cdot2)} over {h}}# & = lim _{h`->`0} {{6h+2h ^{2}} over {h}} =6]

11

②

답

해

설

[eqn: f`'(2) & = lim _{h`->`0} {{f(-2+h)-f(-2)} over {h}}# & = lim _{h`->`0} {{h ^{2} +(a-4)h} over {h}} =-2]

에서  [eqn: a=2]

12

②

답

해

설

[eqn: f` prime (-2) & = lim _{h` -> `0} {{f(-2+h)-f(-2)} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{-4h+h ^{2}} over {h}} =-4]

[eqn: therefore tan`` theta =-4]

13

④

답

해

설

[eqn: y`'=3x^2 -6ax = 3x(x-3a)=0]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2a]

[eqn: f(x) = x^3 -3ax^2 +4a]로 놓으면

[eqn: f(0)f(2a)=4a(4a-4a^3 ) =0]

[eqn: therefore a = 1 ~(because a>0)]

14

①

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `0} {f(x)} & = lim _{x` -> `0} {{xf(x)-0} over {x}}# & = lim _{x` -> `0} {{g(x)-g(0)} over {x}} =g`'(0)]
따라서 [eqn: lim _{x` -> `0} {f(x)} =g` prime (0)]이므로 참이다.

15

⑤

답

해

설

접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 [eqn: m=tan theta]이므로

[eqn: m=f` prime (1) & = lim _{DELTA x` -> `0} {{f(1+ DELTA x)-f(1)} over {DELTA x}}# & = lim _{DELTA x` -> `0} {LEFT. LEFT { ( DELTA x) ^{2} +3 DELTA x+3 RIGHT } RIGHT]

[eqn: ∴ tan theta=3]

16

③

답

해

설

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(a+h)-f(a)} over {h}} =f` prime (a)=tan`45 DEG =1]

[eqn: THEREFORE lim _{h` -> `0} {{f(a+2h)-f(a)} over {3h}} & = lim _{h` -> `0} {{f(a+2h)-f(a)} over {2h}} CDOT {2} over {3}# & = {2} over {3} f` prime (a)= {2} over {3}]

17

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: x=a]에서의 접선의 기울기는

[eqn: y prime _{x=a}=2a-2]	㉠

[eqn: (직선~rmPQ의~기울기)= {3-(-1)} over {3-1}=2]	㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: 2a-2=2````````` THEREFORE a=2]

미적분Ⅰ	Ⅲ. 다항함수의 미분법	1. 미분계수와 도함수	정답
	03 도함수

01

④

답

해

설

[eqn: f`'(x)= 6x^2 - 8x]이므로

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(2+3h)-f(2+h)} over {h}} = 2 f`'(2) = 16]

02

④

답

해

설

[eqn: f(x)= - 1 over a f(-ax)]이므로

[eqn: f` prime (x) & = lim _{h` -> `0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{f(-ax-ah)-f(-ax)} over {-ah}}#&=f`'(-ax)]

03

④

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`2} { { f(x)-4} over { x-2} }=1]에서  [eqn: f(2)=4,~f`'(2)=1]

[eqn: lim _{ x`->`2} { { g(x)+3} over { x-2} }=-1]에서  [eqn: g(2)=-3,~g`'(2)=-1]

따라서 [eqn: x=2]에서의 미분계수는

[eqn: f`'(2)g(2)+f(2)g`'(2)=1times(-3)+4times(-1)=-7]

04

③

답

해

설

[eqn: f`'(x)=(2x+1)(x^2 +ax+b)+(x^2 +x)(2x+a)]

그런데 [eqn: f(1)=0,~f`'(1)=6]이므로

[eqn: a=1,~b=-2]

[eqn: therefore a-b=3]

05

②

답

해

설

[eqn: f(x)=ax^2 +bx +c~(a!=0)]라고 하면

[eqn: f`'(2)=4a+b=5]

[eqn: x ^{2} f` prime (x)-xf(x)-2x ^{3} +2x# =(a-2)x ^{3} +(-c+2)x=0]

에서  [eqn: a=2,~c=2]

[eqn: THEREFORE b=-3]

[eqn: therefore f(x) = 2x^2 -3x +2]

[eqn: thereforef(2)=4]

06

②

답

해

설

[eqn: f(x)=x^10 +ax ^2 -b]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면  [eqn: x^10 +ax^2 -b=(x-1)^2 Q(x)]

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 1+a-b=0]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 10x^9 +2ax=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2 Q`'(x)]

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 10+2a=0]

[eqn: thereforea=-5,~b=-4]

[eqn: therefore a+b=-9]

07

①

답

해

설

[eqn: f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)] (단, [eqn: a]는 [eqn: 0]이 아닌 상수)

[eqn: f` prime (x)= & a(x-2)(x-3)+a(x-1)(x-3)# & +a(x-1)(x-2)]

[eqn: f`'(1)=2a=4]에서  [eqn: a=2]

[eqn: THEREFORE f` prime (x)= & 2(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)# & +2(x-1)(x-2)]

[eqn: THEREFORE f`'(2)=2(2-1)(2-3)=-2]

08

②

답

해

설

[eqn: f(x)=1+x+x^2 +cdots +x^10]에서  [eqn: f(0)=1]

[eqn: f`'(x)=1+2x+3x^2 +cdots + 10x^9]이므로

[eqn: f`'(1)=1+2+3+cdots+10=55]

[eqn: therefore f`'(1)- f(0)=55-1=54]

09

⑤

답

해

설

[eqn: f(x)=(2x-1)^20]이라고 하면  [eqn: f(1)=1]

[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `1} {{(2x-1) ^{20} -1} over {x-1}} = lim _{x` -> `1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}=f`'(1)]

[eqn: f`'(x)=20(2x-1)^19 (2x-1)'=40(2x-1)^19]

이므로  [eqn: f`'(1)=40(2-1)^19 =40]

10

③

답

해

설

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+xy]의 양변에 [eqn: x=0,~y=0]을 대입하면  [eqn: f(0)=f(0)+f(0)+0]

[eqn: therefore f(0)=0]

[eqn: THEREFORE f` prime (2) & = lim _{h` -> `0} {{pile{f(2+h)-f(2)}} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{f(2)+f(h)+2h-f(2)} over {h}}# & = lim _{h` -> `0} {{f(h)} over {h}} +2# & = lim _{h`->`0} {{f(h)-f(0)} over {h}} +2# & =f`'(0)+2=3+2=5]

11

③

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이고
[eqn: g`'(x)=2010x^2009 -2010]이므로

[eqn: f(1)= lim _{x`->`1} {f(x)} =g`'(1)=2010-2010=0]

12

④

답

해

설

[eqn: f(x)=k(x-a)^2 (x-b)~(k!=0)]로 놓으면

[eqn: f`'(x)=k(x-a)(3x-2b-a)]

[eqn: f`'(x)=0]에서

[eqn: x=a] 또는 [eqn: x= { a+2b} over {3 }]

[eqn: therefore c= { a+2b} over { 3}]

13

⑤

답

해

설

꺾이는 점에서는 미분가능하지 않으므로 도함수의 값이 존재하지 않고, [eqn: y=f`'(x)]는 양수, [eqn: 0], 음수의 값을 모두 갖는다. 따라서 구하는 그래프는 ⑤이다.

14

③

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x)} over {x^3 -1} }=0]에서  [eqn: f(1)=0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)-f(1)} over {x ^{3} -1}} =f` prime (1)cdot 1 over 3 =0]
[eqn: thereforef`'(1)=0] (거짓)

ㄷ. [eqn: f(1)=0,~f`'(1)=0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x-1)^2]을 인수로 갖는다. (참)

15

[eqn: 365]

답

해

설

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(3+3h)-f(3-2h)} over {h}}# = lim _{h` -> `0} {{f(3+3h)-f(3)+f(3)-f(3-2h)} over {h}}# =3f`'(3)+2f`'(3)=5f`'(3)]

[eqn: f`'(x)=x ^{4} -x ^{2} +1]에서  [eqn: f`'(3)=73]

[eqn: THEREFORE 5f`'(3)=365]

16

②

답

해

설

[eqn: f`'(1)= 1+2+3+cdots +n = { n(n+1)} over {2 }]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{INF } {1} over {f` prime (1)} & = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {2} over {k(k+1)}}# & =2 lim _{n -> INF } {LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT )}# & =2]

17

③

답

해

설

[eqn: f(x) = ax^2 + bx +c~(a!=0)]라고 하면

[eqn: f`'(x)=2ax+b]

주어진 등식에 위의 두 식을 대입하여 정리하면

[eqn: (2a+1)x^2 +(b+2)x=3ax^2 +3bx+3c]

따라서 [eqn: a=1,~ b=1,~ c=0]이므로  [eqn: f(x)=x^2 +x]

[eqn: ∴ f(2)=6]

18

[eqn: 0]

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: f(1)= lim _{x->1} {f(x)} =g`'(1)=2015-2015=0]

19

①

답

해

설

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(1-2h)-f(1+3h)} over {h}}# = lim _{h` -> `0} {{f(1-2h)-f(1)} over {-2h}} CDOT (-2)# ~~- lim _{h` -> `0} {{f(1+3h)-f(1)} over {3h}} CDOT 3# =-2f` prime (1)-3f` prime (1)=-5f` prime (1)=-5]

20

[eqn: +-2]

답

21

[eqn: 32]

답

22

[eqn: y'=2x-1]

답

23

[eqn: 13]

답

24

④

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로

[eqn: a+b=2]	㉠

한편, [eqn: f`'(x)=cases{`4x~~(x>1)##``a~~~(x<1)]에서 [eqn: f`'(1)]의 값이 존재해야 하므로

[eqn: a=4]	㉡

㉠, ㉡에서  [eqn: a=4,~b=-2]

[eqn: therefore a^2 +b^2 =4^2 +(-2)^2 = 20]

25

[eqn: 20]

답

해

설

[eqn: 1+a=b+2]에서 [eqn: a=b+1]이고,
[eqn: f`'(x)=cases{`3x^2 +2ax~(x>1)##~~~~b~~~~~(x<1)]에서 [eqn: 3+2a=b]이므로

[eqn: a=-4,~b=-5]

[eqn: therefore ab=(-4)cdot (-5) =20]

26

⑤

답

해

설

[eqn: f(x)=2x+1]로 놓으면 [eqn: y= LEFT { ` RIGHT .f(x)right}^3]에서

[eqn: y'=3 left{f(x) right}^2 cdot f`'(x)]

[eqn: f`'(x)=(2x+1)'=2]이므로

[eqn: y'=3(2x+1)^2 cdot 2 = 6(2x+1)^2]

27

①

답

해

설

[eqn: g`'(x)=4left{f(x)right}^3 cdot f`'(x)]이므로

[eqn: g`'(2)=4 left{ f(2) right}^3 cdot f`'(2)=-96]

28

[eqn: 10x-9]

답

해

설

[eqn: x^10]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라고 하면

[eqn: x^10 =(x-1) ^2 Q(x)+ax+b]	㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 1=a+b]	㉡

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 10x^9 =2(x-1)Q(x)+(x-1)^2 Q``'(x)+a]	㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 10=a]	㉣

㉡, ㉣에서  [eqn: a=10,~b=-9]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 10x-9]이다.

29

②

답

해

설

[eqn: f(x)=x^n =(x-2) ^2 Q(x)+ax+b]에서

[eqn: f(2)=2^n =2a+b,~f`'(2)=n cdot 2^n-1 =a]

[eqn: therefore a+b=(2a+b)-a=2^n -n cdot 2^n-1 = 2 ^n-1 (2-n)]

30

③

답

해

설

(다) [eqn: f(x)= cases{```x^3 ~~~(x ge 0 )##~-x^3 ~~(x<0)]에서
[eqn: f`'(x)=cases{~~3x^2 ~~(x>0)#~-3x^2 ~~(x<0)]
[eqn: therefore f`'(0)=0]

31

[eqn: -8]

답

해

설

[eqn: f(1)=1+a+b=-1]에서  [eqn: a+b=-2]

[eqn: f`'(1)=2+a=4]에서  [eqn: a=2]

[eqn: therefore ab=2cdot (-4) = -8]

32

①

답

해

설

[eqn: f(x)=cases{~~x^2 -4x +3 ~~(x le 1~또는~x ge 3)##~-x^2 +4x-3~~(1<x<3)]에서

[eqn: f`'(x)=cases{`~2x-4~~(x<1~ 또는~x>3)##`-2x+4~(1<x<3)]

[eqn: therefore f`'(2) +f`'(-2)=0+(-8)=-8]

33

[eqn: 15]

답

해

설

[eqn: x^2 (ax+b)=(x-1) ^2 Q(x) +2x+1]	㉠

㉠에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: a+b=3]

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x(ax+b)+x ^{2} CDOT a# =2(x-1)Q(x)+(x-1) ^{2} Q` prime (x)+2]

[eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 3a+2b=2]

[eqn: THEREFORE `a`=-4,~b=7]

[eqn: therefore f(x) =-4 x + 7]

[eqn: therefore f(-2) = 15]

34

④

답

해

설

[eqn: x ^{n} -ax+4 =(x-1) ^2 Q(x)+5x -2]	㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: -a+5=3~~~therefore a=2]

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: nx^n-1 -a=2(x-1) Q(x) +(x-1) ^2 Q`'(x)+5]

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: n-a=5~~~therefore n=7]

[eqn: therefore n+a=9]

35

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: x ^{10} +ax+b=(x-1)^2 Q(x)]	㉠

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 10x ^{9`} +a=2(x-1)Q(x)+(x-1) ^{2} Q`'(x)]	㉡

㉠, ㉡에 [eqn: x=1]을 각각 대입하여 풀면

[eqn: a=-10,~b=9]

[eqn: THEREFORE `a+b=-1]

36

[eqn: 17]

답

해

설

[eqn: g(x)= ax^2 + bx +c]라고 하면

[eqn: g`'(x)=2ax+b]

[eqn: g(2) = 4a+2b+c=2,~g(-2) = 4a - 2b +c=2],

[eqn: g` prime (2)=4a+b=1,~g` prime (-2)=-4a+b=-1]

위의 식을 연립하여 풀면  [eqn: a = 1 over 4 ,~b=0,~ c =1]

[eqn: therefore16(a^2 + b^2 +c^2 )=1+0+16=17]

37

①

답

해

설

[eqn: f(3)`=`2,~f`'(3) = 1,~g(3)=1,~g`'(3) =2]이고

[eqn: y'= f`'(x)g(x)+ f(x) g`'(x)]이므로

[eqn: x=3]에서의 미분계수는

[eqn: f`'(3)g(3) + f(3) g`'(3)=5]

38

②

답

해

설

[eqn: f(-2) = f(1) =f(4) =0], [eqn: f(3) >0], [eqn: f`'(-2) <0], [eqn: f`'(1) >0], [eqn: f`'(3) =0], [eqn: f`'(4) <0]

이고

[eqn: g`'(x) = 2x f(x) + x^2 f`'(x)]

이므로

(가) [eqn: g`'(-2) = -4 f(-2) +4 f`'(-2) <0]

(나) [eqn: g`'(1) = 2 f(1) +f`'(1) >0]

(다) [eqn: g`'(3) = 6 f( 3 ) +9 f`'(3) >0]

(라) [eqn: g`'(4) = 8 f(4) + 16 f`'(4) <0]

39

④

답

해

설

[eqn: g(a)= { 2a^2 +1-3} over { a-1}= { 2(a-1)(a+1)} over { a-1}=2(a+1)]

[eqn: therefore lim _{ a`->`1 } {g(a) }= lim _{ a`->`1} { 2(a+1)}=4]

40

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: f(x)= cases{`x+1~~~~( x ge2 ) ##`-x+ 5 ~~(x<2)]

[eqn: f`'(-1) = lim _{ h`->`0} { { f(-1+h)-f(-1)} over {h } }=-1]

[eqn: f` prime (3)= lim _{h` -> `0} {{f(3+h)-f(3)} over {h}} =1]

[eqn: THEREFORE f`'(-1)+f`'(3)=-1+1=0]

41

③

답

해

설

[eqn: y`'=x^3 -x^2 +4x -1]

[eqn: therefore a =1,~b=-1,````c=4,~d=-1]

[eqn: therefore a+b+c+d=3]

42

③

답

해

설

[eqn: f(x)=x ^{10} +x ^{9} +x ^{8} + CDOTS +x]로 놓으면  [eqn: f(1)=10]

[eqn: (주어진~식)= lim _{x`->`1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}} =f`'(1)]

[eqn: f`'(x)=10x ^{9} +9x ^{8} +8x ^{7} + CDOTS +1]이므로

[eqn: f` prime (1)=10+9+8+ CDOTS +2+1= {10cdot11} over {2} =55]

43

②

답

해

설

[eqn: f(x)=ax^2 + bx +c]에서

[eqn: f(2)=-4]이므로

[eqn: 4a+ 2 b+c=-4]	㉠

[eqn: f`'(x)=2ax+b]에서 [eqn: f`'(0)=2]이므로  [eqn: b=2]

[eqn: f`'(1)=-2]이므로  [eqn: 2a+b=-2]

[eqn: THEREFORE a=-2]

[eqn: a=-2], [eqn: b=2]를 ㉠에 대입하면　 [eqn: c=0]

[eqn: ∴ a+b+c=0]

45

③

답

해

설

[eqn: g(x)=(x^2 +1)^2 f(x)]에서

[eqn: g prime (x)=4x(x ^{2} +1)f(x)+(x ^{2} +1) ^{2} f` prime (x)]

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g' ( 1 )=4 cdot2 f(1)+4 f`'(1)=-12]

46

③

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `2} {{f(x)-1} over {x-2}} = lim _{x` -> `2} {{f(x)-f(2)} over {x-2}} =f`'(2)=2]

[eqn: lim _{x` -> `2} {{g(x)-3} over {x-2}} = lim _{x` -> `2} {{g(x)-g(2)} over {x-2}} =g`'(2)=1]

[eqn: h ' ( 2 )=f' ( 2 )g( 2 ) + f ( 2 )g' ( 2 ) =2 times 3+1times 1=7]

47

⑤

답

해

설

다항식 [eqn: x^4 +ax+b]를 [eqn: (x+1)^2]으로 나눈 몫을 [eqn: Q ( x )]라고 하면　 [eqn: x^4 +ax+b=(x+1)^2 Q(x)]	㉠

㉠에 [eqn: x=-1]을 대입하면　 [eqn: 1-a+b=0]

[eqn: ∴ a-b=1]	㉡

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 4x^4 +a=2(x+1)Q(x)+(x+1)^2 Q`' ( x )]	㉢

㉢에 [eqn: x=-1]을 대입하면　 [eqn: -4+a=0]

[eqn: ∴ a=4]

[eqn: a=4]를 ㉡에 대입하면　 [eqn: b=3]

[eqn: ∴ a+b=7]

48

⑤

답

해

설

[eqn: f(1)=-1]이므로　 [eqn: f(1)=1+a+b=-1]

[eqn: ∴ a+b=-2]	㉠

[eqn: lim _{x`->`1} {{f(x)+1} over {x-1}} = lim _{x`->`1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}} =f` prime (1)=3][eqn: f'(x)=2x+a]이므로　 [eqn: f'(1)=2+a=3]	㉡

㉠, ㉡에서　 [eqn: a=1,~ b=-3]

[eqn: ∴ a+b=1^2 +(-3)^2 =10]

49

①

답

해

설

[eqn: f'(x)=10x^ 9 +a]이므로

[eqn: f'(1)=10+a]

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)-f(1)} over {x ^{3} -1}} & = lim _{x` -> `1} {LEFT { {f(x)-f(1)} over {x-1} CDOT {1} over {x ^{2} +x+1} RIGHT }}# & = {1} over {3} f`'(1)# & = {1} over {3} (10+a)=0] [eqn: ∴ a=-10]

[eqn: f'(x)=10x^9 -10]에서 　[eqn: f'(-1)=-20]

50

③

답

해

설

[eqn: f'(x)=2x-1], [eqn: g'(x)=-3x^2 +2x]이므로

[eqn: f(1)=3], [eqn: f'(1)=1], [eqn: g(1)=1], [eqn: g'(1)=-1]

[eqn: h prime (1) & =f prime (1) LEFT { f(1)-3g(1) RIGHT } +f(1) LEFT { f prime (1)-3g prime (1) RIGHT }# & LEFT . =1 CDOT (3-3)+3 CDOT LEFT { 1-3 CDOT (-1) RIGHT } RIGHT .# & =12]

51

①

답

해

설

[eqn: f(x)=(2x-1)^2 (x^2 +1)]로 놓으면

[eqn: f` prime (x) & = LEFT { (2x-1) ^{2} RIGHT } prime (x ^{2} +1)+(2x-1) ^{2} (x ^{2} +1) prime # & =4(2x-1)(x ^{2} +1)+2x(2x-1) ^{2}# & =2(2x-1)(4x ^{2} -x+2)]

이므로 [eqn: x=0]인 점에서의 곡선 [eqn: y=f(x)]의 접선의 기울기는　 [eqn: f'(0)=-4]

52

③

답

해

설

[eqn: f(1)=f(2)=f(3)=k]로 놓으면

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+k]

[eqn: f'(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)][eqn: ∴ f'(1)+f'(2)+f'(3)=2+(-1)+2=3]

53

①

답

해

설

[eqn: x^4 +ax+b=(x-1)^2 g(x)+3x+1]	㉠

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 4x ^{3} +a=2(x-1)g(x)+(x-1) ^{2} g` prime (x)+3]	㉡

㉠과 ㉡은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1+a+b=4], [eqn: 4+a=3]

[eqn: ∴ a=-1,~ b=4]

[eqn: THEREFORE f(x)=x ^{4} -x+4,~f prime (x)=4x ^{3} -1]

[eqn: ∴ f'(-1)=-5]

54

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: f(0)=-1,~ f(-1)=-2]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {{f(f(x))+2} over {x}}# = lim _{x` -> `0} {{f(f(x))-f(-1)} over {x}}# = lim _{x` -> `0} {{f(f(x))-f(-1)} over {f(x)-(-1)}} CDOT lim _{x` -> `0} {{f(x)-f(0)} over {x-0}}# =f` prime (-1)f` prime (0)# =2 CDOT 1=2]

55

⑤

답

해

설

점 [eqn: ( 1 ,~ 2 )]가 [eqn: y=f(x)=x^3 +ax+b]의 그래프 위에 있으므로　 [eqn: 1+a+b=2]	㉠

[eqn: f'(1)=3+a=-1]

[eqn: ∴ a=-4]	㉡

㉡을 ㉠에 대입하면　 [eqn: b=5]

[eqn: ∴ b-a=5-(-4)=9]

56

①

답

해

설

[eqn: g(1)=2f(1)]

[eqn: ∴ f(1)= 1over2 g( 1 ) = 1over2 times 6=3]

[eqn: g prime (x) & =(x ^{2} +1) prime f(x)+(x ^{2} +1)f prime (x)# & =2xf(x)+(x ^{2} +1)f prime (x)]

[eqn: g'(1)=2f(1)+2f'(1)], [eqn: 2=2 times 3+2f' ( 1 )]

[eqn: 2f'(1)=-4]

[eqn: ∴ f'(1)=-2]

57

①

답

해

설

[eqn: f(x)=f(x+2)]이므로 [eqn: f(0)=f(2)]에서

[eqn: 0=8+4a+2b]	㉠

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} +2ax+b] [eqn: (0 LEQ x le2)]이고,
[eqn: f'(x)=f'(x+2)]이므로　 [eqn: f'(0)=f' ( 2 )]

[eqn: b=12+4a+b], [eqn: 4a=-12]

[eqn: ∴ a=-3]

[eqn: a=-3]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 2b=4]

[eqn: ∴ b=2]

[eqn: ∴ a+b=-3+2=-1]

58

④

답

해

설

함수 [eqn: f ( x )]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로 [eqn: x=1]에서 연속이다. 즉, [eqn: f(1)=lim _{x` ->` 1} {f ( x )}]에서

[eqn: 1+a=2-b]

[eqn: ∴ a+b=1]	㉠

또한 [eqn: f`' ( 1 )]이 존재하므로

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}} = lim _{x -> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}]에서

[eqn: 3+a=2]

[eqn: ∴ a=-1]

[eqn: a=-1]을 ㉠에 대입하면　 [eqn: b=2 `]

[eqn: ∴ a^2 +b^2 =1+4=5]

59

②

답

해

설

주어진 함수 [eqn: f ( x )]가 구간 [eqn: ( -inf,~inf)]에서 증가하려면[eqn: f'(x)=3x^2 +2ax-(a-6) ge0]이어야 한다.

이때, 방정식 [eqn: f'(x)=3x^2 +2ax-(a-6)=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D over 4 =a^2 +3(a-6)=a^2 +3a-18 le 0],

[eqn: (a+6)(a-3) le 0]

[eqn: ∴ -6 le a le3]

따라서 구하는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 10]이다.

60

[eqn: -1]

답

61

[eqn: 24]

답

해

설

[eqn: f prime (x)=4x ^{3} +8x]이므로

[eqn: lim _{h -> 0} {{f(1+2h)-f(1)} over {h}} & = lim _{h -> 0} {{f(1+2h)-f(1)} over {2h}} CDOT 2# & =2f prime (1)=24]

62

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: f(1)= lim _{x -> 1} {f(x)= lim _{x -> 1} {{x ^{3} -1} over {x-1}}} = lim _{x-> 1} {(x ^{2} +x+1)=3}]

[eqn: f(x)=x ^{2} +x+1]이므로
[eqn: f prime (x)=2x+1````````` THEREFORE f prime (1)=3]

[eqn: THEREFORE `f(1)+f prime (1)=3+3=6]

63

②

답

해

설

[eqn: lim _{h -> 0} {{f(2+h)-10} over {h}} = lim _{h -> 0} {{f(2+h)-f(2)} over {h}}=f prime(2)]

[eqn: f(x)=x ^{ 3}+x]에서  [eqn: f prime (x)=3x ^{2} +1]

[eqn: THEREFORE ` lim _{h -> 0} {{f(2+h)-10} over {h}}=13]

64

④

답

해

설

[eqn: f prime(x)=2xg(x)+x ^{ 2}g prime(x)]이므로

[eqn: f prime (1)=2g(1)+g prime (1)=11]

65

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: x rarrow2]일 때 [eqn: (분모) -> `0]이므로 [eqn: (분자) -> `0]이다.

따라서 [eqn: f(x)=(x-2) ^{2} (ax+b)]로 놓으면
[eqn: lim _{x -> 2} {(ax} +b)=3`````````` THEREFORE 2a+b=3]

[eqn: f(3)=5]이므로  [eqn: 3a+b=5````````` THEREFORE a=2,~b=-1]

[eqn: f(x)=(x-2) ^{2}(2x-1)]에서
[eqn: f prime (x)=2(x-2) ^{} (2x-1)+2(x-2) ^{ 2}]이므로
[eqn: f prime (3)=12]

66

②

답

해

설

[eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로
[eqn: lim _{x -> 1+0} {f(x)= lim _{x -> 1-0} {f(x)=f(1)}}]

[eqn: THEREFORE `2+1=1+a+b``````````` THEREFORE a+b=2]

[eqn: x=1]에서 미분계수가 존재해야 하므로

[eqn: lim _{x -> 1-0} {f prime (x)= lim _{x -> 1+0} {f prime (x)}}]

[eqn: THEREFORE `3+2a+b=4]

[eqn: THEREFORE 2a+b=1]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-1], [eqn: b=3]

[eqn: THEREFORE `ab=-3]

67

④

답

해

설

[eqn: g(x)=xf(x)]에서  [eqn: g prime (x)=f(x)+xf prime (x)]

ㄱ. [eqn: g prime (1)=f prime (1)<0]
[eqn: THEREFORE f(1)+g prime (1)<0] (거짓)

ㄴ. [eqn: g(2)=2f(2)<0,~g prime (2)=f(2)<0]
[eqn: THEREFORE g(2)g prime (2)>0] (참)

ㄷ. [eqn: g prime (3)=3f prime (3)>0]
[eqn: THEREFORE f(3)+g prime (3)>0] (참)

68

①

답

해

설

[eqn: RMA,~B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a,~b]라고 하면
[eqn: f(x)-2x=k(x-a)(x-b)]
[eqn: f prime (x)-2=k(x-a)+k(x-b)]

[eqn: f prime (a)-2=k(a-b)]이므로
[eqn: f prime (b)-2=k(b-a)=-(f prime (a)-2)]
[eqn: THEREFORE `f prime (b)=-f prime (a)+4]

[eqn: f prime (a)=5]이므로  [eqn: f prime (b)=-1]

69

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: f(1)=f(2)=f(3)=k]로 놓으면

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+k]이므로

[eqn: f prime (x)= & (x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)# & +(x-1)(x-2)]

[eqn: f prime (1)=2,~f prime (2)=-1,~f prime (3)=2]이므로

[eqn: f prime (1)+f prime (2)+f prime (3)=3]