01 다음 설명에 해당하는 용어들을 <보기>에서 골라 쓰시오.

Ⅳ. 에너지 / 2. 힘과 에너지의 이용

38. 베르누이 법칙과 마그누스 힘

소단원 문제

	<보 기>
•베르누이 법칙 •마그누스 힘 •양력 •연속 방정식

(1) 비압축성 유체가 관을 통과할 때에는 관의 단면적과 유체의 속력이 서로 반비례한다. (        )

(2) 비압축성 유체가 흐름관을 따라 흐를 때 서로 다른 두 위치에서 유체의 압력, 속도, 높이 사이의 관계를 나타내는 법칙이다. (       )

(3) 유체 속에서 회전하는 물체의 회전축이 유체의 흐름에 대해 수직일 때 물체의 회전축에 대하여 수직 방향으로 작용하는 힘 (      )

(4) 비행기 날개의 윗면과 아랫면이 받는 압력 차이에 의해 발생하여 비행기를 위로 뜨게 하는 힘 (       )

02 그림과 같이 굵기가 일정하지 않은 관을 따라 공기가 연속적으로 흐르고 있는 상태에서 좁은 통로 A와 넓은 통로 B 중의 한 곳에 구멍을 내어 물이 든 유리관을 연결하였다.

이때 공기의 속력 [eqn: v_{rmA }, ~v_{rmB}]와 공기가 관벽을 누르는 압력 [eqn: P_{rmA }, ~P_{rmB}], 그리고 유리관 속 물기둥의 높이 [eqn: h_{rmA }, ~h_{rmB}]의 대소 관계를 비교하시오.

03 그림과 같이 단면적이 각각 [eqn: 4S], [eqn: S] 인 굵은 관과 가는 관을 연결한 후, 관 속에 밀도 [eqn: rho _{기}]인 기체를 흐르게 하였다. A 지점에서 기체의 속력이 [eqn: v]일 때 관 아랫부분과 연결된 유리관 속 밀도 [eqn: rho _{액}]인 액체 기둥의 높이차가 [eqn: h]이었다.

높이차가 더 커지는 방법으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 밀도가 더 큰 액체로 바꾼다. ㄴ. 기체를 더 빠른 속력으로 주입시킨다. ㄷ. 달 표면에 가서 실험을 한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 그림과 같이 이상 유체가 단면적이 일정한 관 속에 흐르고 있다. 관 속의 세 점 A, B, C에서 A와 B의 높이 차는 [eqn: h]이고, A와 C의 높이 차는 [eqn: 3h]이며, A와 B에서의 압력 차는 [eqn: P _{0}]이다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 유체의 속력은 C점에서 가장 빠르다. ㄴ. A에서의 압력은 C에서보다 [eqn: 3P _{0}]만큼 크다. ㄷ. B에서의 압력은 C보다 [eqn: 4P _{0}]만큼 크다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

05 그림 (가)는 축구 선수가 찬 공이 회전하며 날아가는 모습을,(나)는 공의 진행 방향과 공 주변의 공기 흐름을 나타낸 것이다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, A 지점과 B 지점의 높이는 같다.)

	<보 기>
ㄱ. 공기의 압력은 공기의 흐름 속력이 느린 B에서 가 빠른 A에서보다 높다. ㄴ. 공은 A에서 B방향으로 힘을 받아 공의 진행 방 향의 오른쪽으로 휘어진다. ㄷ. 풍속이 빨라져도 A, B 두 지점에서의 압력 차 이는 그대로이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 그림과 같이 굵기가 다른 관 속에 밀도가 [eqn: rho]로 균일한 공기가 일정하게 흐르고 있다. 관의 아랫부분에 연결된 유리관은 밀도가 각각 [eqn: 10rho], [eqn: 30rho]인 액체 A, B에 잠겨 있고, 두 액체 기둥의 높이는 [eqn: h]이다. 공기의 속력(유속)은 굵은 관 속에서와 가는 관 속에서 각각 5m/s, 25m/s이다.

높이차 h는? (단, 중력 가속도는 10m/[eqn: rms^2]이다.)

① 0.3m           ② 0.4m           ③ 0.5m

④ 0.6m           ⑤ 1.0m

07 그림과 같이 동일한 제원의 두 비행기가 서로 다른 높이를 수평 비행하고 있다. p, q는 날개의 윗면과 아랫면을 나타내며 공기의 속도는 윗면이 아랫면의 2배라고 한다.

비행기 날개 주위의 공기 밀도는 높이 올라갈수록 낮아진다고 할 때 두 비행기의 양력과 속력을 바르게 비교한 것은? (단, 날개의 두께는 무시한다.)

(가)              (나)

①  서로 같다        위가 빠르다

②  서로 같다       아래가 빠르다

③ 아래가 크다       위가 빠르다

④ 아래가 크다      아래가 빠르다

⑤  서로 같다         서로 같다

08 그림 (가)와 같이 모형 날개를 저울 위에 올려놓았더니 저울의 눈금이 [eqn: w _{1}]이 되었다. 그림 (나)는 (가)의 날개 주위로 공기가 흐를 때 저울의 눈금이 [eqn: w_{2}]로 변한 모습을 나타낸 것이다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 공기의 속력은 a부분이 b부분보다 빠르다. ㄴ. 공에 작용하는 압력은 a 부분이 b 부분보다 크다. ㄷ. 저울의 눈금은 [eqn: w_{2}]가 [eqn: w _{1}]보다 더 크다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

09 그림과 같이 높이가 같고, 굵기가 다른 관 속에 밀도가 [eqn: rho]로 균일한 유체가 흐르고 있다. 유체의 속력은 굵은 관에서 [eqn: v]이고 가는 관에서 2[eqn: v]이며, 관의 아랫부분에 연결된 유리관에는 밀도가 3[eqn: rho]인 액체가 담겨 있다.

유리관 속 액체의 높이차 [eqn: h]를 문제에 주어진 기호만으로 나타내시오. (단, 중력 가속도는 [eqn: g]이다.)

10 그림과 같이 단면적이 각각 3S, S인 관 속에서 물이 흐를 때, 관의 아랫부분과 연결된 유리관 속에서 액체 A의 기둥의 높이 차는 [eqn: h]이고, 액체 B의 기둥의 높이는 [eqn: 2h]이다. A, B, 물의 밀도는 각각 [eqn: 5 rho `,3 rho ,` rho]이다. 단면적이 3S인 관 속에서 물의 속력은 [eqn: v]이다.

물의 속력 [eqn: v]를 문제에 주어진 기호만으로 나타내시오. (단, 중력 가속도는 [eqn: g]이고, A, B, 물은 베르누이 법칙을 만족한다.)

정답과 해설

01 (1)연속 방정식 (2)베르누이 법칙 (3)마그누스 힘 (4)양력    02.[eqn: v_{rmA }>v_{rmB}], [eqn: P_{rmA }< P_{rmB}], [eqn: h_{rmA }> h_{rmB}]  03.④  04.⑤   05.①  06.③   07.①  08.⑤ 09.[eqn: h= {3v ^{2}} over {4g}]   10.[eqn: v= root{2gh}]

01

(1) 연속 방정식에 따르면, 관의 단면적과 유체의 속력이 서로 반비례한다.

(3) 유체 속에서 회전하는 물체가 받는 힘을 마그누스 힘이라고 부른다.

(4) 유체(기체, 액체) 속에 잠긴 물체는 윗방향의 부력과 양력을 받는데 물체의 속력에 관계 없이 나타나는 힘이 부력이고 물체의 속력에 의존하는 힘이 양력이다.

02

비압축성 이상 유체의 경우 유체의 흐름에서 단면적과 속력이 반비례한다. 따라서 공기의 속력은 단면적인 작은 통로를 지날 때 더 빠르다(→ [eqn: v_{rmA }>v_{rmB}]).

또, 베르누이 법칙에 의해 같은 높이에서 공기가 흐를 때 [eqn: P+ {1} over {2} rho v ^{2}]의 값이 일정하므로, 속력이 빠를수록 내부 압력은 낮아진다(→[eqn: P_{rmA }< P_{rmB}]).

이때 물기둥에 작용하는 압력이 좁은 통로와 연결된 관에서 더 작으므로 물기둥은 넓은 통로에 연결된 관보다 높아진다( → [eqn: h_{rmA }> h_{rmB}]).

03

[eqn: v_{rmA} = v]이므로 연속 방정식에 의해 [eqn: v_{rmB} = 4v]임을 알 수 있다.

굵은 관에서 기체의 속력이 [eqn: v]일 때 가는 관에서는 면적이 [eqn: {1} over {4}]배이므로 속력은 4배인 [eqn: 4v]이가 된다.

A, B지점의 높이가 같으므로 베르누이 법칙에 의해 [eqn: P_{rm A} + 1over2 rho_기 v_{rm A} ^2 = P_{rm B} + 1over2 rho_기 v_{rm B} ^2]이므로 [eqn: P_{rm A} - P_{rm B} = 1over2 rho_기 (v_{rm B}^2 - v_{rm A} ^2 )]

[eqn: P_{rmA} - P_{rm B} = 1over2 rho_기 (16v^2 - v^2 ) = 15over2 rho_기 v^2]…(i)식

아래로 내려갈수록 압력이 커지는데, 유리관 속 X점과 Y점은 높이가 같고 유체가 정지해 있으므로 압력도 같다.

[eqn: P_{rm X} = P_{rm Y}] ⇒[eqn: P_{rm A} + rho_기 gl + rho_기 gh = P_{rm B} + rho_기 gl + rho_액 gh]

[eqn: P_{rm A} - P_{rm B} = (rho_액 - rho_기 )gh]…(ii)식

(i)식과 (ii)식을 연립하면 [eqn: 15over2 rho_기 v^2 = (rho_액 - rho_기 ) gh]

∴ [eqn: h = {15rho_기 v^2 }over{2 (rho_액 - rho_기 )g}]

ㄴ. 기체의 속력([eqn: v])을 높이면 높이차([eqn: h])는 증가한다.

ㄷ. 달에 가면 중력 가속도([eqn: g])가 [eqn: 1over6]로 감소하므로 높이차([eqn: h])는 증가한다. (참고로, 에베레스트 정상에서는 중력 가속도가 약 0.3% 감소함)

ㄱ. 액체의 밀도([eqn: rho_액])가 증가하면 높이차([eqn: h])는 감소한다. 단, 액체의 밀도를 2배로 증가시키면 높이차가 정확히 [eqn: 1over2]배로 변하지는 않는다. 또 기체의 밀도를 2배로 증가시키면 높이차가 정확히 2배로 변하지는 않는다.

오답 체크

04

연속방정식에 의하면 관의 단면적이 일정하므로 모든 지점에서 유체의 속력이 같다. 따라서 [eqn: P+ rho gh=일정]

B점을 높이의 기준점으로 잡고 베르누이 법칙을 적용하면, [eqn: P_{rm A} + rho g times h = P_{rm B}= P_{rm C} + rho g times (h+3h)]…(i)식

(i)식으로부터 [eqn: P_{rm B} - P_{rm A} = rho g h]…(ii)식

주어진 조건에서  [eqn: P_{rmB} - P_{rm A} =P_0]…(iii)식

(ii)식과 (iii)식으로부터 [eqn: rho g h = P_0]

ㄴ. (i)식으로부터 A와 C의 압력차=[eqn: P_{rm A} - P_{rm C} = 3rho g h]

따라서 A의 압력이 C의 압력보다 [eqn: 3P _{0}]만큼 크다.

ㄷ. (i)식으로부터 B와 C의 압력차=[eqn: P_{rm B} - P_{rm C} = 4rho g h]

따라서 B의 압력이 C의 압력보다 [eqn: 4P _{0}]만큼 크다.

ㄱ. [eqn: A_1 v_1 = A_2 v_2]인데 관의 단면적 A가 어디서나 같으므로 유체의 속력도 어디서나 같다.

오답 체크

05

ㄱ. 공의 회전 방향과 공기 흐름의 방향이 같은 A에서 공기의 속력이 B에서보다 크다. 베르누이 원리에 의해 공기의 흐름이 빠른 쪽의 압력은 작고, 느린 B쪽의 압력은 크다.

ㄴ. 압력이 큰 B쪽에서 압력이 작은 A쪽으로 마그누스 힘을 받아 왼쪽으로 휘어진다.

오답 체크

ㄷ. A, B의 높이가 같으므로 베르누이 법칙을 적용하면,

[eqn: P _{rmB``````} `-`P _{rmA} `][eqn: = {1} over {2} rho _{기} (v _{rmA} ^{2} `-v _{rmB} ^{2} )]이다.

[eqn: v _{rmA}]=공의 회전 속력+풍속, [eqn: v _{rmB}]=공의 회전 속력-풍속

압력차=[eqn: {1} over {2} rho _{기} times]2×공의 회전 속력×풍속

따라서, 풍속이 빨라지면 압력 차이도 커진다.

06

굵은 관 중심부에서의 압력을 [eqn: P _{1}], 가는 관 중심부에서의 압력을 [eqn: P _{2}]라고 하면, 관 높이가 일정하므로

[eqn: P _{1} + 1over2 rho v_1 ^2 = P _{2} + 1over2 rho v_2 ^2] ⇒ [eqn: P _{1} -P _{2} = 1over2 rho( v_2 ^2 - v_1 ^2 )]이다.

속력값을 대입하면 [eqn: P _{1} -P _{2} = 1over2 rho( 15^2 - 5^2 ) =100rho]…(i)식

액체A가 담긴 비커의 ㉠지점 압력=[eqn: P_㉠]=대기압,

액체A가 담긴 비커의 ㉡지점 압력 [eqn: P_㉡ = P _{1} + rho gx+ rho_{rmA} gh],

액체B가 담긴 비커의 ㉢지점 압력=[eqn: P_㉢]=대기압,

액체A가 담긴 비커의 ㉣지점 압력 [eqn: P_㉣ = P _{2} +rho gx + rho_{rmB} gh]

네 지점에서 유체는 정지해 있고 압력이 모두 같다.

[eqn: P _{1} + rho g l+ rho_{rmA} gh]=[eqn: P _{2} +rho gl + rho_{rmB} gh] ⇒ [eqn: P _{1} -P _{2}= ( rho_{rmB}- rho_{rmA} )gh]

밀도값을 대입하면 [eqn: P _{1} -P _{2}= ( 30rho- 10 rho)gh]…(ii)식

(i)식과 (i)식을 연립하면, [eqn: 100rho = 20 rho times10timesh]

∴[eqn: h=0.5rm(m)]

07

날개의 윗면과 아랫면에 대해 베르누이 법칙을 적용하면,

[eqn: P_윗면 + 1over2 rho v_윗면^2 + rho g h_윗면]=[eqn: P_아랫면 + 1over2 rho v_아랫면^2 + rho g h_아랫면]

⇒ [eqn: P_아랫면 -P_윗면 = 1over2 rho [ v_윗면 ^2 - v_아랫면 ^2 ] + rho g [ h_윗면 - h_아랫면 ]]

날개 두께=[eqn: h_윗면 - h_아랫면 SIMEQ0]이므로

압력차=[eqn: {1} over {2} rho [v _{윗면 ^{}} ^{{} ^{2}} -v _{아랫면} ^{{} ^{2}} ]]

[eqn: h_1]의 높이를 나는 비행기의 압력차

=[eqn: 1over2 rho_1 [ (2v_1 ) ^2 -(v_1 )^2 ] = 3over2 rho_1 v_1 ^2]

[eqn: h_2]의 높이를 나는 비행기의 압력차

=[eqn: 1over2 rho_2 [ (2v_2 ) ^2 -(v_2 )^2 ] = 3over2 rho_2 v_2 ^2]

두 비행기의 무게가 같고 수평 비행 중이므로 무게와 양력이 평형을 이룬 상태이다. 따라서 양력은 서로 같다.

양력=압력차×날개의 수평 단면⇒ 두 비행기의 양력, 수평 단면이 같으므로 압력차도 서로 같다.

즉, [eqn: 3over2 rho_1 v_1 ^2 = 3over2 rho_2 v_2 ^2]…(i)식

위로 올라갈수록 공기가 희박해지므로 [eqn: rho_2 < rho_1]…(ii)식

(i)식과 (ii)식으로부터 [eqn: v_1 < v_2]

비행기의 수평 속력은 고도가 높을수록 빠르다.

08

날개의 왼쪽끝에서 출발한 두 공기 덩어리가 오른쪽끝에서 다시 만나게 되므로 공기의 속력은 아래가 빠르다.

ㄴ. 공에 작용하는 압력은 유속이 느린 a부분이 유속이 빠른 b부분보다 크다.

ㄷ. a부분의 압력이 더 커서 날개는 아랫방향의 알짜힘을 받는다. 따라서 저울의 눈금은 [eqn: w_2 > w_1]이다.

ㄱ. 공기의 속력은 곡선 모양으로 이루어진 b부분이 직선 모양으로 이루어진 a부분보다 빠르다.

오답 체크

09

정답 키워드

벤츄리 관

모범답안_ [eqn: h= {3v ^{2}} over {4g}]

해설_ 굵은 관(1)의 중심 높이와 가는 관(2)의 중심 높이가 같으므로 베르누이 법칙을 적용하면,

[eqn: P _{1} + 1over2 rho v_1 ^2 = P _{2} + 1over2 rho v_2 ^2] ⇒ [eqn: P _{1} -P _{2} = 1over2 rho[ (2v) ^2 - v ^2 ] = 3over2 rho v^2]점선 높이에서 왼쪽 유리관의 압력은 [eqn: P _{1} + rho times gh]이고 오른쪽 유리관의 압력은 [eqn: P _{2} + 3rho times gh]인데, 두 압력값이 같아야 한다는 사실로부터 [eqn: P _{1} -P _{2} = 2rho gh]이다.

두 식을 연립하면 [eqn: 3over2 rho v^2 = 2 rho gh] ⇒ ∴[eqn: h= {3v ^{2}} over {4g}]

채점 기준

등급	채점 기준	배점(%)
A	높이차의 수식 표현이 정확한 경우	100
B	높이차의 수식 표현이 부정확한 경우	0

10

정답 키워드

베르누이 법칙

모범답안_ [eqn: v= sqrt {2gh}]

해설_ 연속 방정식([eqn: (A TIMES v=일정)]을 이용하면 가는 관에

서 속력은 [eqn: 3v]임을 알 수 있다.

굵은 관(1)과 가는 관(2) 속을 흐르는 물에 대해 베르누이 법칙을 적용하면, [eqn: P _{1} `+ {1} over {2} rho v ^{2} =P _{2} `+ {1} over {2} rho (3v) ^{2}]

⇒[eqn: P _{1}-P _{2} = 4 rho v^2]…(i)식

㉠지점의 압력=[eqn: P_1 + rho_물 times g( l+3h)]=[eqn: P_1 + rho g( l+3h)]

㉡지점의 압력=[eqn: P_2 + rho g l + (3rho)g(2h)+(5rho)g(h)]

액체A가 정지해 있으므로 두 지점의 압력은 같다.

[eqn: P_1 + rho g( l+3h)]=[eqn: P_2 + rho g l + 11rho gh]⇒[eqn: P _{1}-P _{2} = 8 rho gh]…(ii)식

(i)식, (ii)식을 연립하면 [eqn: 4 rho v^2 = 8 rho gh] ⇒ ∴[eqn: v= root{2gh}]

채점 기준

등급	채점 기준	배점(%)
A	물이 흐르는 속력의 수식 표현이 정확한 경우	100
B	물이 흐르는 속력의 수식 표현이 부정확한 경우	0