01 그림 ㈎와 ㈏는 굵기가 일정한 나무막대의 작은 구멍을 압핀으로 고정한 후 구멍으로부터 거리가 [eqn: l]과 [eqn: 2l]인 a와 b 지점에 [eqn: 2F]와 [eqn: F]의 힘을 같은 방향으로 작용시키는 모습을 나타낸 것이다.

Ⅳ. 에너지 / 2. 힘과 에너지의 이용

35. 돌림힘과 역학적 평형

소단원 문제

(가)                 (나)

(가), (나)에서 돌림힘의 크기는 각각 얼마인가?

	(가)	(나)			(가)	(나)
①	[eqn: F``l]	[eqn: F``l]		②	[eqn: F``l]	2[eqn: F``l]
③	2[eqn: F``l]	[eqn: F``l]		④	2[eqn: F``l]	[eqn: F``l]
⑤	2[eqn: F``l]	2[eqn: F``l]

02 그림과 같이 길이가 1m이고 굵기가 일정한 막대의 중심 O지점을 고정시킨 상태에서 막대의 오른쪽 끝 부분에 막대와 30°의 방향으로 2N의 힘을 작용시켰다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 막대는 시계 반대 방향으로 회전한다. ㄴ. 막대에 작용하는 돌림힘의 크기는 [eqn: rm 1N BULLET m]이다. ㄷ. 막대와 90°의 방향으로 힘을 작용하면 돌림힘의 크기는 2배 증가한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

03 그림과 같이 철수가 물통이 매달린 막대를 어깨에 걸치고 손으로 막대에 연직 아래 방향으로 크기가 20 N인 힘을 작용하였더니 막대가 수평인 상태로 정지하였다. 물통의 무게 [eqn: F _{1}]과 어깨가 막대를 떠받치는 힘의 크기[eqn: F _{2}]의 크기의 비 [eqn: F _{1} ``:`F _{2}]는? (단, 막대의 질량은 무시한다.)

① 1 : 2            ② 1 : 3         ③ 2 : 3

④ 3 : 1            ⑤ 2 : 1

04 그림과 같이 받침대 A, B에 질량이 2m, 길이가 4L인 균일한 막대를 수평면과 나란하게 올려놓고, O점으로부터 3L인 지점에 질량이 m인 물체를 올려놓았을 때 물체가 정지하였다.

다음은 A, B가 막대에 작용하는 힘의 크기를 각각 [eqn: F_{rmA}], [eqn: F_{rmB}]라 할 때, [eqn: F_{rmA}]를 구하는 과정이다.

Ⅰ.  막대에 작용하는 모든 힘의 합이 0이므로

··········· (가)

Ⅱ.  O를 회전축으로 할 때, 막대에 작용하는 모든 돌림힘의 합이 0이므로

·········· (나)

Ⅲ.  ①과 ②를 연립하여 [eqn: F_{rmA}]를 구하면  [eqn: F_{rmA} =]

(다)

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 중력 가속도는 [eqn: g]이다.)

	<보 기>
ㄱ, (가)에 들어갈 식은 [eqn: F _{rm A it} +F _{rm B it} =3mg]이다. ㄴ. (나)에 들어갈 식은 [eqn: 4F _{rm B it} L=7mgL]이다. ㄷ. (다)와 들어갈 값은 [eqn: {5} over {4} mg]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

05 그림은 전체 길이가 6 m인 다이빙대 끝에 다이빙 선수가 서 있는 것을 나타낸 것이다. 다이빙대는 수평인 상태로 정지해 있다. 고정점에서 다이빙대에 연직 아래 방향으로 작용하는 힘의 크기는 [eqn: F _{1}]이고, 받침점에서 다이빙대에 연직 위 방향으로 작용하는 힘의 크기는 [eqn: F _{2}]이다.

	<보 기>
ㄱ, [eqn: F _{1}]은 선수가 다이빙대를 누르는 힘의 2배이다. ㄴ. [eqn: F _{2}]는 [eqn: F _{1}]의 1.5배이다. ㄷ. 받침점을 현재의 위치에서 왼쪽으로 1m 이동시키면 [eqn: F _{2}]는 선수가 다이빙대를 누르는 힘의 5배이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

06 그림과 같이 실에 매달려 수평인 상태로 정지해 있는 원기둥 모양의 막대에 물체가 매달려 있다. 막대와 물체의 질량은 각각 6 kg, 3 kg이고, 막대의 길이는 3 m이다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 중력 가속도는 [eqn: rm 10m/s ^{2}]이고, 막대의 재질은 균일하다.)

	<보 기>
ㄱ. 두 실에 걸리는 장력의 합은 항상 90N이다. ㄴ. 오른쪽 실이 막대를 당기는 힘 F의 크기는 40N이다. ㄷ. 매달린 물체의 위치를 오른쪽으로 천천히 옮겨도 F의 크기는 일정하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

07 그림은 물체의 무게를 재는 손저울이 수평을 이루어 정지해 있는 모습을 나타낸 것이다. 저울의 막대는 길이가 60cm이고, 질량이 0.5kg인 균일한 원통형이며, 추의 질량은 1kg이다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 중력 가속도는 [eqn: rm 10m/s ^{2}]이다.)

	<보 기>
ㄱ. 물체의 질량은 2kg이다. ㄴ. 손이 줄을 당기는 힘의 크기는 40N이다. ㄷ. 현 위치에서 물체의 질량을 2배로 증가시키면 추의 위치를 막대의 중심으로 이동시켜야 한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

08 그림과 같이 막대 A의 끝에 매달린 모래주머니에서 모래가 천천히 흘러나오면서 막대 A, B, C가 평형을 유지하고 있다. B는 A와 C 사이에 수직으로 놓여 있다. 모래가 계속 흘러 나와 모래주머니의 질량이 작아지면 어느 순간 평형이 깨진다. A, B, C의 질량은 각각 4[eqn: {m], 2[eqn: {m], 3[eqn: {m]이다.

평형이 깨지는 순간 모래주머니의 질량은 몇 [eqn: {m]인가 ? (단, 각 막대의 밀도는 균일하며 두께와 폭은 무시한다.)

① [eqn: {m]  ② [eqn: {m} over {2}] ③ [eqn: {m} over {3}]    ④ [eqn: {3m} over {2}] ⑤ [eqn: {2m} over {3}]

09 그림과 같이 받침대 A~D와 나무판 P, Q를 이용하여 만든 임시 다리 위에 질량이 m인 사람이 서 있다. P와 Q는 수평을 유지한다.

D가 Q에 작용하는 힘의 크기는 [eqn: F _{rmDQ}] 와  A가 P에 작용하는 힘의 크기 [eqn: F _{rmAP}] 의 비 [eqn: F _{rmDQ}] : [eqn: F _{rmAP}]는 (단, 중력 가속도는 g이고, 나무판과 받침대의 질량은 무시한다.)

① 12 : 1	② 1 : 12	③ 4 : 1

④ 1 : 4	⑤ 4 : 3

10 그림 (가)는 두 받침대 A, B 위에 놓인 길이 1m, 질량 40kg인 직육면체 나무판 위에 철수가 정지해 있는 상태에서 나무판이 수평을 유지하고 있는 모습을 나타낸 것이다. 이때 A가 나무판을 떠받치는 힘의 크기는 650N이다. 그림 (나)는 B의 위치를 왼쪽으로 x만큼 이동시킨 후, 철수가 나무판의 오른쪽 끝에 서 있는 모습을 나타낸 것이다. (단, 중력 가속도는 [eqn: rm 10m/s ^{2}]이고, 나무판의 밀도는 균일하며 두께와 폭은 무시한다.)

(가)

(나)

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. (가)에서 B가 나무판을 떠받치는 힘의 크기는 150N이다. ㄴ. (나)에서 x=0일 때 A가 나무판을 떠받치는 힘 의 크기는 50N이다. ㄷ. 나무판이 수평을 유지할 수 있는 x의 최댓값은 0.3m이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

11 그림은 마찰이 없는 길이 8m, 질량 2kg인 균일한 재질의 막대 위에서 질량 1kg인 물체가 일정한 속력으로 움직이는 모습을 나타낸 것이다. 막대의 양 끝에서 각각 2m인 지점에 받침대 A, B가 있다. 물체가 왼쪽으로부터 오른쪽 끝에 도달할 때까지 막대는 수평을 이루고 있다.

물체가 오른쪽 끝에 도달한 순간 받침대 A, B가 막대를 떠받치는 힘을 각각 [eqn: F _{rm A it}], [eqn: F _{rm B it}]라고 할 때, [eqn: F _{rm A it}]의 크기와 [eqn: F _{rm B it}]의 크기를 A점을 기준점으로 구하고, B점을 기준점

으로도 구하여 서로 같음을 보이시오. (단, 중력 가속도는 [eqn: rm 10m/s ^{2}]이며, 물체의 크기는 무시한다.)

08 그림과 같이 받침대 위에 놓인 나무판 B 위에서 철수와 영희가 공이 놓여 있는 나무판 A의 양쪽 끝을 수직으로 떠받치고 있다. 직육면체 나무판 A와 B는 지면과 수평을 이루고 있으며 공은 정지해 있다. B의 중심에 놓인 받침대로부터 철수와 영희까지의 거리는 각각 2m, 3m이고, A의 길이는 5m이다. 철수와 영희의 질량은 각각 70kg, 50kg이고, 공과 A의 질량은 각각 10kg이다. 공과 A, B의 밀도는 균일하다.

(1) 나무판 A를 철수가 떠받치는 힘 [eqn: F_1]과, 영희가 떠받치는 힘을 [eqn: F_2]를 구하시오.

(2) 나무판 A의 왼쪽 끝에서 공까지의 거리 x를 구하시오.

정답과 해설

01 ⑤    02 ④    03 ②    04 ⑤    05 ③    06 ③

07 ①    08 ①    09 ①    10 ②    11 해설 참조

12 ⑴ F1=140(N), F2=60(N)   ⑵ x=0.5(m)

01

(가), (나)에서 돌림힘의 크기는 각각 다음과 같다.

[eqn: 2F TIMES l=F TIMES 2l=2Fl]

돌림힘의 크기는 (가)와 (나)에서 서로 같다.

02

ㄱ. 막대에 작용하는 돌림힘의 유효 성분은 막대에 작용하는 힘의 수직 성분이며 수직 성분의 방향이 위쪽이므로 막대는 시계 반대 방향으로 회전한다.

ㄷ. 돌림힘의 크기 [eqn: tau = F~l sin theta]이다. 힘의 크기와 팔 길이는 일정한 상태에서 사잇각만 30°에서 90°로 증가시켰다.

sin20°:sin90°=1:2이므로 돌림힘이 2배로 증가한다.

ㄴ. 돌림힘의 크기는 작용하는 힘의 수직 성분과 팔의 길이를 곱한 값이므로 [eqn: rm2N TIMES sin30° TIMES rm0.5m=0.5N·m]이다.

오답 체크

03

크기가 20N인 힘을 작용하였더니 막대가 수평인 상태로 정지하였으므로 돌림힘의 평형을 이루려면 물통의 무게는 [eqn: 20{rmN }TIMES L`=무게 TIMES 2L]에서 물통의 무게 [eqn: F _{1}]=10N이다. 어깨가 막대를 떠받치는 힘의 크기 [eqn: F _{2}]=20N+10N=30N이다. 따라서 물통의 무게 [eqn: F _{1}]과 어깨가 막대를 떠받치는 힘의 크기[eqn: F _{2}]의 크기의 비 [eqn: F _{1} ``:`F _{2}] =1:3이다.

04

ㄱ.  막대에 작용하는 모든 힘의 합이 0이므로 (가)에 들어갈 식은 힘의 평형 조전을 만족하는

[eqn: F _{rm A it} +F _{rm B it} =mg+2mg`=3mg]이다.

ㄴ. O를 회전축으로 막대에 작용하는 돌림힘의 합이 0을 만족하는 식은 [eqn: 4L` TIMES F _{rm B it} =3L TIMES mg+`2L TIMES 2mg]이다.

ㄷ. 위 두 식에서 연립하면 [eqn: F _{rm B it `} = {7} over {4} mg]이고 [eqn: F _{rmA} `= {5} over {4} mg]이다.

05

ㄱ, ㄴ. 선수의 무게를  w라 할 때, 받침점과 고정점을 축으로 돌림힘이 각각 평형을 이루므로,

받침점: [eqn: F _{1} TIMES rm 2m = {it w } TIMES 4m]에서 [eqn: F _{1} =2w]이고,

고정점: [eqn: F _{2} TIMES rm 2m = {it w } TIMES 6m]에서 [eqn: F _{2} `=3w]이다.

따라서 [eqn: F _{1} `:F _{2} `=2:3]□이므로 [eqn: F _{2}]는 [eqn: F _{1}]의 1.5배이다.

ㄷ. 받침점을 현재의 위치에서 왼쪽으로 1m 이동시키면 고정점을 축으로 하는 돌림힘의 평형 조건에서

오답 체크

[eqn: F _{2} TIMES rm 1m = {it w } TIMES 6m]에서 [eqn: F _{2} `=6w]으로 [eqn: F _{2}]는 선수가 다이빙대를 누르는 힘(선수의 무게)의 6배가 된다.

06

ㄱ. 두 실이 두 물체를 당기며 힘의 평형을 이루고 있으므로 두 실에 걸리는 장력의 합은 항상 물체의 무게와 같은 9N이다.

ㄴ. 오른쪽 실이 막대를 당기는 힘 F의 크기는 왼쪽 실을 기준축으로 할 때 돌림힘의 평형을 이루므로

[eqn: rm30N TIMES 1m+60N TIMES 1.5m= {it F} TIMES 3m]에서 F=40N이다.

ㄷ. 매달린 물체의 위치를 오른쪽으로 천천히 [eqn: x]만큼 옮기면 [eqn: rm30N TIMES (1+{itx})m+60N TIMES 1.5m= {itF} TIMES 3m]에서 F의 크기는 [eqn: x]가 증가함에 따라 증가한다.

오답 체크

07

ㄱ. 회전축에 대해 돌림힘의 평형을 적용하면,

0.5kg×20cm+1kg×10cm=M×10cm ⇒ 물체의 질량 M=2kg

ㄴ. 모든 힘이 연직 방향이고 알짜힘은 0이므로 힘의 평형을 적용하면, F=(막대+추+물체)의 무게

오답 체크

⇒  F=(0.5kg+1kg+2kg)×10m/s2

⇒ 손이 줄을 당기는 힘 F=35N

ㄷ. 물체의 질량을 4kg으로 바꾸고 돌림힘의 평형을 적용하면, 0.5kg×20cm+1kg×[eqn: x]=4kg×10cm ⇒ [eqn: x]=30cm

추의 위치를 막대의 중심보다 10cm 더 왼쪽으로 이동시켜야 한다.

08

막대 A는 받침대 X와 막대 B가 떠받치고 있다. 막대 B가 떠받치는 힘을 F1으로 놓고 받침대 X에 대한 돌림힘의 평형 조건을 적용하면,

[eqn: Mg times L + F_1 times L = 4mg times L over 2] ⇒ [eqn: F_1 = 2 mg - Mg]…(i)식

모래주머니의 질량이 감소함에 따라 [eqn: F_1]은 증가한다.

막대 C는 받침대 Y와 받침대 Z가 떠받치고 있다. 받침대 Z가 떠받치는 힘을 [eqn: F_2]로 놓고 받침대 Y에 대한 돌림힘의 평형 조건을 적용하면,

[eqn: (F_1 + 2mg) times d + F_2 times 2d = 3mg times d]⇒ [eqn: F_2 = { mg - F_1 } over 2]…(ii)식

[eqn: F_1]이 증가함에 따라 [eqn: F_2]는 감소하는데 [eqn: F_2]=0이 되는 순간에 평형이 깨진다.  (ii)식에서 [eqn: { mg = F_1 }], (i)식의 [eqn: F_1]에 대입하면 [eqn: mg = 2 mg - Mg] ⇒[eqn: M = m]

09

받침대 B에 대해 돌림힘의 평형을 적용하면,

[eqn: F_{rm DQ} times 4l = mg times 3l] ⇒ [eqn: F_{rm DQ}= 3over4 mg]…(i)식

받침대 D에 대해 돌림힘의 평형을 적용하면,

[eqn: mg times l = F_{rm BQ} times 4l] ⇒ [eqn: F_{rm BQ}= 1over4 mg]…(ii)식

받침대 C에 대해 돌림힘의 평형을 적용하면,

[eqn: F_{rm BQ} times l = F_{rm AP} times4l] ⇒ (ii)식을 이용, [eqn: F_{rm AP}= 1over16 mg]…(iii)식

(i)식, (iii)식으로부터 [eqn: F _{rmDQ}] : [eqn: F _{rmAP}]=[eqn: 3over4 mg]:[eqn: 1over16 mg]=12:1

10

ㄴ. 그림 (나)에서 B를 기준으로 돌림힘의 평형을 적용,

[eqn: 400{rmN} times (2-x) = 600{rmN} times (1+x) + F_{rm A} prime times (4-x )]인데 [eqn: x =0]을 대입하면,

[eqn: rm400N times 2m = 600N times 1m + {itF}_A prime times 4m]⇒ [eqn: F_{rm A} prime=50rmN]

ㄱ. 그림 (가)에서  B를 기준으로 돌림힘의 평형을 적용하면,  [eqn: w = rm 600N]임을 알 수 있고, A를 기준으로 돌림힘의 평형을 적용하면,

오답 체크

[eqn: F_{rm B} times rm 4m = 600N times 1m + 400N times 2m] ⇒ [eqn: F_{rm B}= rm350N]

ㄷ. 자료분석 (ii)식으로부터 [eqn: x]의 최댓값=0.2m이다.

11

정답 키워드

역학적 평형

모범답안_ 물체의 무게는 10N이고, 막대의 무게는 20N이므로, 힘의 평형에 의해, [eqn: F _{rmA} +F _{rmB} =rm30N]…(i)식

A점을 기준으로 돌림힘의 평형을 적용하면,

[eqn: {itF} _{rmB} TIMES 4rm m = 20N TIMES 2m + 10N TIMES 6m] ⇒ [eqn: {itF} _{rmB} =25rmN]

(i)식에 대입하면 [eqn: {itF} _{rmA} =5rmN]

B점을 기준으로 돌림힘의 평형을 적용해도 된다.

[eqn: rm 20N TIMES 2m = {itF} _{rmA} TIMES 4rm m + 10N TIMES 2m] ⇒ [eqn: {itF} _{rmA} =5rmN]

(i)식에 대입하면 [eqn: {itF} _{rmB} =25rmN]

채점 기준

등급	채점 기준	배점(%)
A	풀이 과정과 결과가 올바른 경우	100
B	답은 맞으나, 풀이 과정이 부적절한 경우	50

12

정답 키워드

돌림힘

모범답안_ ⑴ [eqn: F _{1}]=140N, [eqn: F _{2}]=60N ⑵ [eqn: x=0.5m]

해설_ (1) 공의 무게=100N, 나무판 A의 무게=100N, 철수가 떠받치는 힘=[eqn: F _{1}], 영희가 떠받치는 힘=[eqn: F _{2}]로 주어져 있다.

나무판 A에 작용하는 연직 방향의 힘들에 대해 힘의 평형을 적용하면, [eqn: F _{1} +F _{2} =rm100N + 100N]…(i)식

나무판 B의 받침대를 기준으로 돌림힘의 평형을 적용하면,

[eqn: rm({itF}_1 + 700N ) times 2m = ({itF}_2 times 500N) times 3m]…(ii)식

(i)식과 (ii)식을 연립하면, [eqn: F _{1} =140](N), [eqn: F _{2} =60](N)이다.

(2) 나무판 A의 오른쪽 끝을 기준으로 돌림힘의 평형을 적용하면, [eqn: rm 100N TIMES (5-{itx}) + 100N times 2.5m = 140N times 5m]

⇒ [eqn: 50=100x] ⇒ [eqn: x=0.5](m)

채점 기준

등급	채점 기준	배점(%)
A	⑴과 ⑵를 모두 맞힌 경우	100
B	⑴과 ⑵ 중에서 한 가지만 맞힌 경우	50