수 리 영 역

정규분포

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수 리 영 역

정규분포

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 통계 (정규분포)

성명			수험번호

16

[eqn: 3]학년 재학생수가 각각 [eqn: 500]명인 같은 지역 [eqn: rm A,```B,```C] 세 고등학교 [eqn: 3]학년 학생의 수학 성적 분포가 각각 정규분포를 이루고 아래 그림과 같을 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

평균과 비교하여 상위 성적의 표준편차가 [eqn: B``]고등학교보다 [eqn: A``]고등학교가 더 크다.

[eqn: A``]고등학교와 [eqn: B``]고등학교는 평균이 같다.

[eqn: C``]고등학교보다 [eqn: B``]고등학교가 표준편차가 작으므로 [eqn: B``]고등학교 학생들의 성적이 더 고른 편이다.

따라서, 옳은 것은 Ⅰ, Ⅲ이다.

[3점][1997년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 성적이 우수한 학생이 [eqn: rmB]고등학교보다 [eqn: rmA]고등학교에 더 많이 있다. ㄴ. [eqn: rmB]고등학교 학생들은 평균적으로 [eqn: rmA]고등학교 학생들보다 성적이 더 우수하다. ㄷ. [eqn: rmC]고등학교 학생들보다 [eqn: rmB]고등학교 학생들의 성적이 더 고른 편이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

어느 해 한국, 미국, 일본의 대졸 신입 사원의 월급은 평균이 각각 [eqn: 80]만원, [eqn: 2000]불, [eqn: 18]만엔이고 표준편차가 각각 [eqn: 10]만원, [eqn: 300]불, [eqn: 2]만 [eqn: 5]천엔인 정규분포를 따른다고 한다. 위 [eqn: 3]개국에서 임의로 한 명씩 뽑힌 대졸 신입 사원 [eqn: rm A,```B,```C]의 월급이 각각 [eqn: 94]만원, [eqn: 2250]불, [eqn: 21]만엔이라고 할 때, 각각 자국내에서 상대적으로 월급을 많이 받는 사람부터 순서대로 적은 것은?

②

[eqn: A```:```Z= {94-80} over {10} =1.4]

[eqn: B```:```Z= {2250-2000} over {300} = {5} over {6} =0.833 CDOTS]

[eqn: C```:```Z= {210000-180000} over {25000} = {6} over {5} =1.2]

따라서, 월급을 많이 받는 순서는[eqn: A,```C,```B]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: rmA,```B,```C]	②　[eqn: rmA,```C,```B]	③　[eqn: rmB,```A,```C]

④　[eqn: rmC,```A,```B]	⑤　[eqn: rmC,```B,```A]

[eqn: z``]	[eqn: P``(0`<`Z``<=`z``)``]
[eqn: 0.1] [eqn: 0.2] [eqn: 0.3] [eqn: 0.4] [eqn: 0.5] [eqn: 0.6] [eqn: 0.7] [eqn: 0.8] [eqn: 0.9] [eqn: 1.0]	[eqn: 0.0398] [eqn: 0.0793] [eqn: 0.1179] [eqn: 0.1554] [eqn: 0.1915] [eqn: 0.2257] [eqn: 0.2580] [eqn: 0.2881] [eqn: 0.3159] [eqn: 0.3413]

연속확률변수 [eqn: X``]가 평균 [eqn: m``], 표준편차 [eqn: sigma``]인 정규분포를 따를 때, [eqn: X``]의 확률밀도함수는
[eqn: f``(x`)`=scale 90 1 over {sqrt{2`pi}``sigma} scale 100 e`^{- scale 90 1 over {2`sigma`^2}`scale 100(x`-`m`)`^2}``]	[eqn: (-`inf`<`x``<`inf)`]이다.
오른쪽 표준정규분포표를 이용하여
[eqn: int_4^6.6 `sqrt{scale 90 2 over pi } scale 100 e`^{- scale 90 {(x`-`5`)`^2} over 8}``d`x``]
의 근사값을 구하면?

⑤

평균이 [eqn: 5,] 표준편차가 [eqn: 2]인 정규분포를 따르는 연속확률변수 [eqn: X``]의 확률밀도함수는

[eqn: f``(x) = 1 over { 2 sqrt 2pi }e ^{- (x-5)^2 over 8 }]

[eqn: int_4^6.6 sqrt {2 over pi} e ^ {- (x-5)^2 over 8 } `d x``][eqn: = int_4 ^6.6 f``(x) dx ``]

[eqn: = 4 P` `(4<= X <=6.6 )]

[eqn: = 4P``(-0.5 <= Z <= 0.8 )]

[eqn: = 4 left{ P``(0<=Z <= 0.5) + P ``(0<= Z <= 0.8 ) right}]

[eqn: = 4 (0.1915 + 0.2881)][eqn: = 1.9184]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: 0.1199]	②　[eqn: 0.3864]	③　[eqn: 0.6826]

④　[eqn: 0.9505]	⑤　[eqn: 1.9184]

다음은 어느 백화점에서 판매하고 있는 등산화에 대한 제조회사별 고객의 선호도를 조사한 표이다.

[eqn: z]	[eqn: rmP(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

제조회사	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmC]	[eqn: rmD]	계
선호도([eqn: %])	[eqn: 20]	[eqn: 28]	[eqn: 25]	[eqn: 27]	[eqn: 100]

[eqn: 192`]명의 고객이 각각 한 켤레씩 등산화를 산다고 할 때, [eqn: \C`]회사 제품을 선택할 고객이 [eqn: 42`]명 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

⑤

C회사의 제품을 선택할 확률은 [eqn: { 25 } over { 100 } = { 1 } over { 4 }]이므로 C회사의 제품을 선택할 사람의 수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 192,``` {1} over {4} RIGHT )]를 따른다.

이 때, [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 192 TIMES {1} over {4} ,```192 TIMES {1} over {4} TIMES {3} over {4} RIGHT )]

즉, [eqn: rm N(48,```6 ^{2} )]를 따르므로 구하는 확률은

[eqn: rm P(X GEQ 42)= rm P LEFT ( Z GEQ {42-48} over {6} RIGHT )][eqn: = rm P(Z GEQ -1)]

[eqn: =0.5+ rm P(0 LEQ Z LEQ 1)][eqn: =0.5+0.3413]

[eqn: =0.8413]

[3점][2005년 수능]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8256]

④ [eqn: 0.8332]	⑤ [eqn: 0.8413]

다음은 신뢰구간, 신뢰도, 표본의 크기의 관계를 설명한 것이다.

정규분포 [eqn: N`(m,``` sigma ^{2} )]을 따르는 모집단이 있다.

이 모집단에서 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출하면

표본평균은 정규분포 [eqn: BOX{~~㈎~~}]을 따른다.

이 표본평균의 분포를 이용하여 추정한 모평균

[eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: alpha]의 신뢰구간을 [eqn: a LEQ m LEQ b]

라 하자.

표본의 크기를 [eqn: n]으로 고정하고 신뢰도를 [eqn: alpha]보다

높게 한 신뢰구간을 [eqn: c LEQ m LEQ d]라 할 때,

[eqn: d-c]는 [eqn: b-a]보다 [eqn: BOX{~~㈏~~}].

한편, 신뢰도를 [eqn: alpha]로 고정하고 표본의 크기를

[eqn: 2n]으로 한 신뢰구간을 [eqn: e LEQ m LEQ f]라 할 때,

[eqn: f`-e]는 [eqn: b-a]의 [eqn: BOX{~~㈐~~}]배가 된다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

③

정규분포 [eqn: N(m,``` sigma ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기 [eqn: n`]인 표본을 임의추출하면 표본평균 [eqn: bar X`]는 정규분포 [eqn: N LEFT ( m,``` {sigma ^{2}} over {n} RIGHT )]을 따른다.

이 때 표본의 크기를 고정하고 신뢰도를 높이면 신뢰구간의 길이는 커지고, 신뢰도를 고정하고 표본의 크기를 [eqn: 2`]배로 늘리면 신뢰구간의 길이는 [eqn: 1over root2 `]배가 된다.

따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로

[eqn: N LEFT ( m,``` {sigma ^{2}} over {n} RIGHT )], 크다, [eqn: 1over root2 `]이다.

[3점][2005년 수능]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: N` LEFT ( m,``` sigma ^{2} RIGHT )]	크다	[eqn: {1} over {2}]

② [eqn: N` LEFT ( m,``` sigma ^{2} RIGHT )]	작다	[eqn: {1} over {2}]

③ [eqn: N` LEFT ( m,``` {sigma ^{2}} over {n} RIGHT )]	크다	[eqn: {1} over {sqrt {2}}]

④ [eqn: N` LEFT ( m,``` {sigma ^{2}} over {n} RIGHT )]	크다	[eqn: sqrt {2}]

⑤ [eqn: N` LEFT ( m,``` {sigma ^{2}} over {n} RIGHT )]	작다	[eqn: {1} over {sqrt {2}}]

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1] [eqn: 2] [eqn: 3]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4987]

어느 공장에서 생산되는 제품의 무게가 정규분포 [eqn: rm N(11,```2 ^{2} )]을 따른다고 하자.
[eqn: A]와 [eqn: B] 두 사람이 크기가 [eqn: 4`]인 표본을 각각 독립적으로 임의추출하였다. [eqn: A]와 [eqn: B]가 추출한 표본의 평균이 모두 [eqn: 10] 이상 [eqn: 14] 이하가 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

크기가 [eqn: 4`]인 표본의 표본평균 [eqn: bar X]는

정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 11,``` LEFT ( {2} over {sqrt {4}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )] 즉, [eqn: rm N LEFT ( 11,```1 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE ``` rm P LEFT ( it10 LEQ bar{X} LEQ 14 RIGHT )]

[eqn: rm =P it LEFT ( {10-11} over {1} LEQ {bar{X} -11} over {1} LEQ {14-11} over {1} RIGHT )]

[eqn: = rm P it (-1 LEQ Z LEQ 3)]

[eqn: = rm P it (0 LEQ Z LEQ 1)+ rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 3) RIGHT .]

[eqn: =0.3413 + 0.4987 = 0.84]

이 때, [eqn: A], [eqn: B] 두 사람이 각각 독립적인 표본을 임의추출하였으므로 두 사람이 뽑은 표본의 표본평균이 [eqn: 10`] 이상 [eqn: 14`] 이하일 확률은 모두 [eqn: 0.84]로 같고, 두 사건은 서로 독립이다.

따라서 두 표본평균이 모두 [eqn: 10`] 이상 [eqn: 14`] 이하일 확률은

[eqn: 0.84× 0.84 = 0.7056]이다.

[3점][2006년 수능]

① [eqn: 0.8123]	② [eqn: 0.7056]	③ [eqn: 0.6587]

④ [eqn: 0.5228]	⑤ [eqn: 0.2944]

어느 공장에서 생산되는 제품은 한 상자에 [eqn: 50]개씩 넣어 판매되는데, 상자에 포함된 불량품의 개수는 이항분포를 따르고 평균이 [eqn: m], 분산이 [eqn: {48_`} over {25}]이라 한다. 한 상자를 판매하기 전에 불량품을 찾아내기 위하여 [eqn: 50]개의 제품을 모두 검사하는 데 총 [eqn: 60000]원의 비용이 발생한다. 검사하지 않고 한 상자를 판매할 경우에는 한 개의 불량품에 [eqn: a`]원의 애프터서비스 비용이 필요하다. 한 상자의 제품을 모두 검사하는 비용과 애프터서비스로 인해 필요한 비용의 기대값이 같다고 할 때, [eqn: a_` over 1000]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

제품의 불량률을 [eqn: p`]라 두면

[eqn: m= 50p], [eqn: {48 } over {25 } = 50p `(1-p`)]

[eqn: 24 = 625p- 625p^2]

[eqn: 625p^2 -625p + 2420 =0], [eqn: (25p-1) (25p-24)=0]

[eqn: THEREFORE ~ p = {1} over {25 } , ~ { 24} over {25 }]

그런데 [eqn: p= {24 } over {25 }]인 경우 [eqn: m `` ＞ ` 5]이므로, [eqn: p = {1} over {25 }]이다.

[eqn: THEREFORE ~ m= 50 TIMES { 1} over { 25} = 2]이다.

따라서 한 상자에는 평균 [eqn: 2]개의 불량품이 들어 있다.

그러므로 한 상자의 평균 애프터서비스 비용은 [eqn: 2a `]이다.

[eqn: 2a = 60000]에서 [eqn: a = 30000]

[eqn: THEREFORE ~ { a} over {100 } =30]

(단, [eqn: a`]는 상수이고, [eqn: m`]은 [eqn: 5] 이하인 자연수이다.)

[4점][2007년 수능]

정규분포 [eqn: rm N(itm,```2 ^{2} )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 [eqn: 7]인 표본과 크기 [eqn: 10]인 표본의 표본평균을 각각	[eqn: {bar X_A }`], [eqn: {bar X_B}`]라 하고, [eqn: {bar X_A }`]와 [eqn: {bar X_B}`]의 분포를 이용하여 추정한 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 각각 [eqn: [a,```b]], [eqn: [c,```d]]라고 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: bar{X _{A} ^{}} SIM rm N` LEFT ( itm,``` {2 ^{2}} over {7} RIGHT )], [eqn: bar{X _{B} ^{}} SIM rm N` LEFT ( itm,``` {2 ^{2}} over {10} RIGHT )]이므로

[eqn: rm V`( bar{X _{A} ^{}} )＞ rm V`( bar{X _{B} ^{}} )]   ∴ 참

ㄴ. [eqn: BAR X_A^``], [eqn: BAR X_B^``]의 분포는 그림과 같다.

따라서 [eqn: rm P`( bar{X _{A} ^{}} ＞itm+2)＞ rm P( bar{X _{B} ^{}} ＞itm+2)]

그러므로

[eqn: rm P`( bar{X _{A} ^{}} LEQ itm+2)＜ rm P`( bar{X _{B} ^{}} GEQ m+2)]  ∴ 참

ㄷ. [eqn: Z SIM rm N`(0,```1 ^{2} )]에서 [eqn: rm P`(it LEFT | `Z` RIGHT | ` <= `K`)=0.95]라 두면

[eqn: b-a=2K` {2} over {sqrt {7}}], [eqn: d-a=2K` {2} over {sqrt {10}}]

[eqn: THEREFORE ~ d-c ` `＜ ` b-a]  ∴ 참

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[4점][2007년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: bar{X _{A}}]의 분산은 [eqn: bar{X _{B}}]의 분산보다 크다. ㄴ. [eqn: rm P( it bar{X _{A}} LEQ m+2)＜ rm P(it bar{X _{B}} LEQ m+2)] ㄷ. [eqn: d-c`＜ b-a`]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.75] [eqn: 1.00] [eqn: 1.25] [eqn: 1.50]	[eqn: 0.2734] [eqn: 0.3413] [eqn: 0.3944] [eqn: 0.4332]

어느 문구점에 진열되어 있는 공책 중 [eqn: 10%]는 [eqn: \A]회사의 제품이라고 한다. 한 고객이 이 문구점에서 임의로 [eqn: 100]권의 공책을 구입했을 때, [eqn: \A]회사 제품이 [eqn: 13]권 이상 포함될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

③

[eqn: 100]권 중 A회사 제품의 개수를 [eqn: X`]라 두면

[eqn: X SIM rm B` LEFT ( 100,``` {1} over {10} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: n`]이 충분히 크므로 [eqn: m= 100 TIMES {1 } over {10 } =10],

[eqn: sigma ^2 = 100 TIMES { 1} over {10 } TIMES {9 } over {10 } = 9= 3^2]

에서 [eqn: X SIM rm N`(10,```3 ^{2} )]에 근사된다.

[eqn: rm P(itX GEQ 13)= rm P` LEFT ( itZ GEQ {13-10} over {3} RIGHT ) = rm P`(itZ`` GEQ `1)]

[eqn: =0.5- rm P`(it0 LEQ Z LEQ 1)=0.5-0.3413=0.1587]

[3점][2007년 수능]

① [eqn: 0.0668]	② [eqn: 0.1056]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.2266]	⑤ [eqn: 0.2734]

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5] [eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0]	[eqn: 0.1915] [eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4772]

어느 세차장에서 승용차 한 대를 세차하는 데 걸리는 세차 시간은 평균 [eqn: 30]분, 표준편차 [eqn: 2]분인 정규분포를 따른다고 한다. 한 대의 승용차를 이 세차장에서 세차할 때, 세차 시간이 [eqn: 33]분 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

세차시간을 확률변수 [eqn: X`]라 두면

[eqn: X`` SIM N`(30,```2 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: rm P(itX GEQ 33)= rm P LEFT ( itZ GEQ {33-30} over {2} RIGHT )][eqn: = rm P(itZ GEQ 1.5)]

[eqn: =0.5- rm P(0 LEQ Z LEQ 1.5)][eqn: =` 0.5`-`0.4332`=`0.0668]

[3점][2007년 수능]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.2708]	⑤ [eqn: 0.3085]

어느 공장에서 생산되는 탁구공을 일정한 높이에서 강철바닥에 떨어뜨렸을 때 탁구공이 튀어 오른 높이는 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 탁구공 중 임의추출한 [eqn: 100]개에 대하여 튀어 오른 높이를 측정하였더니 평균이 [eqn: 245], 표준편차가 [eqn: 20]이었다. 이 공장에서 생산되는 탁구공 전체의 튀어 오른 높이의 평균에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간에 속하는 정수의 개수는?  (단, 높이의 단위는 [eqn: \mm]이고, [eqn: Z``]가 표준정규분포를 따를 때 [eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ 1.96)=0.4750]이다.)

③

신뢰도 [eqn: 95%]이므로 신뢰구간은

[eqn: bar{X _{`}} -k CDOT {sigma } over {sqrt {n}} ` LEQ `m`` LEQ ` bar{X _{`}} +k CDOT {sigma } over {sqrt {n}}]에서

[eqn: bar X_` = 245], [eqn: n=100], [eqn: sigma = 20]

[eqn: k = 1.96]을 대입하면 된다.

신뢰구간은

[eqn: 245-1.96 CDOT {20} over {10} ` LEQ m LEQ 245+1.96 CDOT {20} over {10}]이 된다.

∴ 만족하는 정수는 [eqn: 7]개이다.

[3점][2007년 수능]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

모평균 [eqn: 75], 모표준편차 [eqn: 5]인 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 [eqn: 25]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar X``]라 하자. 표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z`]에 대하여 양의 상수 [eqn: c`]가 [eqn: rm P(it|`Z`|＞c)=0.06] 을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: {\P}(Z>c) =0.03 <0.05= {\P} (Z>a)]이므로 [eqn: c>a]  ∴참

ㄴ. [eqn: rm P it (` bar{X```} LEQ c+75)= rm P it (Z LEQ c)=0.97]  ∴참

ㄷ. [eqn: {\P}( bar{X```} >b )={\P}(Z>b-75)][eqn: =0.01<0.03= {\P}(Z>c)]

이므로 [eqn: b-75 > c]  ∴참

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[4점][2008년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: rm P(itZ＞a)=0.05]인 상수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: c＞a]이다. ㄴ. [eqn: rm P(it bar{X} LEQ c+75)=0.97] ㄷ. [eqn: rm P(it bar{X} ＞b)=0.01]인 상수 [eqn: b`]에 대하여 [eqn: c` ＜ b-75`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.7] [eqn: 0.8] [eqn: 0.9] [eqn: 1.0]	[eqn: 0.2580] [eqn: 0.2881] [eqn: 0.3159] [eqn: 0.3413]

어느 회사의 전체 신입 사원 [eqn: 1000]명을 대상으로 신체검사를 한 결과, 키는 평균 [eqn: m], 표준편차 [eqn: 10]인 정규분포를 따른다고 한다. 전체 신입 사원 중에서 키가 [eqn: 177] 이상인 사원이 [eqn: `242]명이었다.
전체 신입 사원 중에서 임의로 선택한 한 명의 키가 [eqn: 180] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 키의 단위는 [eqn: \cm]이다.)

①

[eqn: X SIM N(m, ``` 10^2 )]

[eqn: rm P it (X GEQ 177)= {242} over {1000} =0.242]

[eqn: rm P it (X GEQ 177)= rm P it LEFT ( Z GEQ {177-m} over {10} RIGHT )][eqn: = rm P it (Z GEQ 0.7)=0.242]

[eqn: { 177-m} over { 10} =0.7], [eqn: 177-m= 7]

[eqn: THEREFORE ```m=170]

[eqn: X SIM N(170, ```10^2 )]

[eqn: rm P it (X GEQ 180)= rm P it LEFT ( Z GEQ {180-170} over {10} RIGHT )][eqn: = rm P it (Z GEQ 1)]

[eqn: =0.5-0.3413][eqn: =0.1587]

[4점][2008년 수능]

① [eqn: 0.1587]	② [eqn: 0.1841]	③ [eqn: 0.2119]

④ [eqn: 0.2267]	⑤ [eqn: 0.2420]

다음은 어떤 모집단의 확률분포표이다.

[eqn: X]	[eqn: 10]	[eqn: 20]	[eqn: 30]	계
[eqn: rm P(itX=x)]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: a]	[eqn: {1} over {2} -a]	[eqn: 1]

이 모집단에서 크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar X_`]라 하자. [eqn: bar X_`]의 평균이 [eqn: 18]일 때, [eqn: rm P(it bar{X} =20)]의 값은?

④

[eqn: E( bar X ) = E(X) = 18`]이므로

[eqn: E(X) = 10 cdot 1over2 + 20 a + 30 left( 1over2 - a right)][eqn: = 20 -10a`][eqn: = 18`]   ∴ [eqn: a = 1over5`]

크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출할 때, [eqn: bar X` = 20`]인 경우는 [eqn: 10]과 [eqn: 30], [eqn: 20]과 [eqn: 20], [eqn: 30]과 [eqn: 10]을 추출하는 경우이므로

[eqn: {rmP} ( bar X = 20 )`]

[eqn: = {rmP} (X = 10) cdot {rmP} (X=30) `][eqn: + {rmP} (X=20) cdot {rmP} (X=20)`]

[eqn: + {rmP} (X=30) cdot {rmP} (X=10)`]

[eqn: = 1over2 cdot 3over10 + 1over5 cdot 1over5 + 3over10 cdot 1over2`]

[eqn: = 3over20 + 1over25 + 3over20`][eqn: = 17 over 50`]

[4점][2009년 수능]

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {19} over {50}]	③ [eqn: {9} over {25}]	④ [eqn: {17} over {50}]	⑤ [eqn: {8} over {25}]

확률변수 [eqn: X `]와 [eqn: Y `]는 평균이 모두 [eqn: 0]이고 분산이 각각 [eqn: sigma ^2]과 [eqn: sigma^2 over4]인 정규분포를 따르고, 확률변수 [eqn: Z `]는 표준정규분포를 따른다. 두 양수 [eqn: a `]와 [eqn: b `]에 대하여	[eqn: rm P(it|`X`| LEQ a`)= rm P(it|`Y`| LEQ b`)]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: P(|`X`| LEQ a)=P LEFT ( LEFT | ` {X-0} over {sigma } ` RIGHT | LEQ {a-0} over {sigma } RIGHT )][eqn: =P LEFT ( |`Z```| LEQ {a} over {sigma } RIGHT )]

[eqn: P(|`Y`| LEQ B)=P LEFT ( LEFT | ` {Y-0} over {{sigma } over {2}} ` RIGHT | LEQ {b-0} over {{sigma } over {2}} RIGHT )][eqn: =P LEFT ( |`Z`| LEQ {2b} over {sigma } RIGHT )]

이므로 [eqn: P(|`X`| LEQ a)=P(|`Y`| LEQ b)]이면 [eqn: a = 2b]이다.

ㄱ. [eqn: a = 2b]이고 [eqn: a>0, ~b>0]이므로 [eqn: a>b] (참)

ㄴ. [eqn: P left( Y > a over 2 right) = P left(Y-0 over {sigma over 2 } > b-0 over {sigma over 2 } right)][eqn: =P left( Z> 2b over sigma right)] (참)

ㄷ. [eqn: P(Y>b)=`1-P(Y LEQ b)=0.3]이므로

[eqn: P(|`Y`| LEQ b)=1-P(|`Y`|>b)][eqn: = 1-2 P(Y>b )]

[eqn: = 1-2×0.3 =0.4]

∴ [eqn: LEFT. P(|`X`| LEQ a RIGHT ) =P(|`Y`| LEQ b)=0.4] (거짓)

[4점][2009년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: a＞b] ㄴ. [eqn: rmP LEFT ( itZ＞ {2b} over {sigma } RIGHT ) = rm P LEFT ( it Y＞ {a} over {2} RIGHT )] ㄷ. [eqn: rm P(itY LEQ b)=0.7]일 때, [eqn: rm P(it|`X`| LEQ a)=0.3]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 2.00]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.25]	[eqn: 0.4878]
[eqn: 2.50]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 2.75]	[eqn: 0.4970]

세계핸드볼연맹에서 공인한 여자 일반부용 핸드볼 공을 생산하는 회사가 있다. 이 회사에서 생산된 핸드볼 공의 무게는 평균[eqn: 350 \g], 표준편차 [eqn: 16 \g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사는 일정한 기간 동안 생산된 핸드볼 공 중에서 임의로 추출된 핸드볼 공 [eqn: 64]개의 무게의 평균이 [eqn: 346 \g] 이하이거나 [eqn: 355 \g] 이상이면 생산 공정에 문제가 있다고 판단한다.
이 회사에서 생산 공정에 문제가 있다고 판단할 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

①

회사에서 생산된 핸드볼 공의 무게를 확률변수[eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rmN(350, ``16^2 )`]을 따른다.

크기 [eqn: 64`]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar X`]라 하면 [eqn: E( bar X ) = 350`]

[eqn: V( bar X ) = 16^2 over 64 = 2^2`]이므로 [eqn: bar X`]는 정규분포 [eqn: rmN(350 , ``2^2 )`]을 따른다.

∴ [eqn: rm P it ( bar{X} LEQ 346```또는``` bar{X} GEQ 355)]

[eqn: = rm P it ( bar{X} LEQ 346)+ rm P it ( bar{X} GEQ 355)`]

[eqn: = rm P it LEFT ( Z LEQ {346-350} over {2} RIGHT ) + rm P it LEFT ( Z GEQ {355-350} over {2} RIGHT )]

[eqn: = rm P it (Z LEQ -2)+ rm P it (Z GEQ 2.5)`][eqn: = rm P it (Z GEQ 2)+ rm P it (Z GEQ 2.5)`]

[eqn: = (0.5 - 0.4772) + (0.5 - 0.4938)`][eqn: = 0.0228 + 0.0062`]

[eqn: = 0.0290`]

[3점][2009년 수능]

① [eqn: 0.0290]	② [eqn: 0.0258]	③ [eqn: 0.0184]

④ [eqn: 0.0152]	⑤ [eqn: 0.0092]

어느 뼈 화석이 두 동물 [eqn: A]와 [eqn: B`] 중에서 어느 동물의 것인지 판단하는 방법 가운데 한 가지는 특정 부위의 길이를 이용하는 것이다. 동물 [eqn: A]의 이 부위의 길이는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 10`,````0.4 ^{2} RIGHT )]을 따르고, 동물 [eqn: B`]의 이 부위의 길이는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 12`,````0.6 ^{2} RIGHT )]을 따른다. 이 부위의 길이가 [eqn: d] 미만이면 동물 [eqn: A]의 화석으로 판단하고, [eqn: d] 이상이면 동물 [eqn: B`]의 화석으로 판단한다.
동물 [eqn: A]의 화석을 동물 [eqn: A]의 화석으로 판단할 확률과 동물 [eqn: B`]의 화석을 동물 [eqn: B`]의 화석으로 판단할 확률이 같아지는 [eqn: d]의 값은? (단, 길이의 단위는 [eqn: rm cm]이다.)

⑤

동물 [eqn: rmA]의 이 부위의 길이를 확률변수 [eqn: X], 동물 [eqn: rmB]의 이 부위의 길이를 확률변수 [eqn: Y]라 하자.

동물 [eqn: rmA]의 화석을 동물 [eqn: rmA]의 화석으로 판단할 확률은

[eqn: rm P( it X<d)= rm P LEFT ( it Z＜ {d-10} over {0.4} RIGHT ) ``` CDOTS CDOTS ```㉠]

동물 [eqn: rmB]의 화석을 동물 [eqn: rmB]의 화석으로 판단할 확률은

[eqn: rmP(itY GEQ d)=rmP LEFT ( itZ GEQ {d-12} over {0.6} RIGHT ) ``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉠, ㉡이 같아야 하므로 [eqn: d-10 over 0.4 + d-12 over 0.6 =0]

[eqn: d-10 over 0.4 = - d-12 over 0.6], [eqn: 0.6d-6=-0.4d +4.8]

∴ [eqn: d=10.8]

[4점][2010년 수능]

① [eqn: 10.4]	② [eqn: 10.5]	③ [eqn: 10.6]

④ [eqn: 10.7]	⑤ [eqn: 10.8]

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.5] [eqn: 1.6] [eqn: 1.7] [eqn: 1.8]	[eqn: 0.4332] [eqn: 0.4452] [eqn: 0.4554] [eqn: 0.4641]

어느 방송사의 ‘◯◯뉴스’의 방송시간은 평균이 [eqn: 50]분, 표준편차가 [eqn: 2``]분인 정규분포를 따른다. 방송된 ‘◯◯뉴스’를 대상으로 크기가 [eqn: 9``]인 표본을 임의추출하여 조사한 방송시간의 표본평균을 [eqn: bar{X`}``]라 할 때,
[eqn: rm P it (49 LEQ bar{X`} LEQ 51)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

①

문제의 조건에 의해 확률변수 [eqn: bar X]는 정규분포

[eqn: {\N} left(50,~ 2^2 over 9 right)], 즉 [eqn: {\N} left(50,~ left(2 over 3 right)^2 right)]을 따르므로

[eqn: rm P it (49 LEQ bar{X} LEQ 51)][eqn: = rm P it LEFT ( {49-50} over {{2} over {3}} LEQ Z LEQ {51-50} over {{2} over {3}} RIGHT )]

[eqn: = rm P it LEFT ( - {3} over {2} LEQ Z LEQ {3} over {2} RIGHT )][eqn: = rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.5)]

[eqn: =2×0.4332=0.8664]

[3점][2010년 수능]

① [eqn: 0.8664]	② [eqn: 0.8904]	③ [eqn: 0.9108]	④ [eqn: 0.9282]	⑤ [eqn: 0.9452]

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 2.2] [eqn: 2.3] [eqn: 2.4] [eqn: 2.5]	[eqn: 0.4861] [eqn: 0.4893] [eqn: 0.4918] [eqn: 0.4938]

어느 공장에서 생산되는 병의 내압강도는 정규분포 [eqn: {rmN}(m,```sigma^2 ``)``]을 따르고, 내압강도가 [eqn: 40``]보다 작은 병은 불량품으로 분류한다.
이 공장의 공정능력을  평가하는 공정능력지수 [eqn: G``]는 [eqn: G = {m-40} over {3 sigma}]으로 계산한다.
[eqn: G=0.8]일 때, 임의 추출한 한 개의 병이 불량품일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

③

[eqn: m-40 over 3σ =0.8]에서 [eqn: m-40=2.4 sigma ``` CDOTS CDOTS ```㉠]

공장에서 생산하는 병의 내압강도를 확률변수 X라 하면 임의로 추출한 한 개의 병이 불량품일 확률은

[eqn: {\P} (X＜40)= {\P} left (Z＜ 40-m over σ right)][eqn: = {\P} (Z＜-2.4)]　(∵ ㉠)

[eqn: =0.5- rm P it (0 LEQ Z LEQ 2.4)][eqn: =0.5-0.4918 =0.0082]

[4점][2010년 수능]

① [eqn: 0.0139]	② [eqn: 0.0107]	③ [eqn: 0.0082]

④ [eqn: 0.0062]	⑤ [eqn: 0.0038]

어느 재래시장을 이용하는 고객의 집에서 시장까지의 거리는 평균이 [eqn: 1740m], 표준편차가 [eqn: 500m]인 정규분포를 따른다고 한다. 집에서 시장까지의 거리가 [eqn: 2000m] 이상인 고객 중에서 [eqn: 15%], [eqn: 2000m]미만인 고객 중에서 [eqn: 5%]는 자가용을 이용하여 시장에 온다고 한다. 자가용을 이용하여 시장에 온 고객 중에서 임의로 [eqn: 1]명을 선택할 때, 이 고객의 집에서 시장까지의 거리가 [eqn: 2000m]미만일 확률은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rm P } LEFT ( 0 le Z le 0.52 RIGHT ) =0.2]로 계산한다.)

②

집에서 시장까지의 거리를 확률변수 [eqn: X]라 하면

[eqn: X]는 정규분포 [eqn: N LEFT ( 1740,~500^2 RIGHT )]을 따른다.

따라서, [eqn: {rm P} LEFT ( X ge 2000 RIGHT )]

[eqn: = {rmP} LEFT ( Z ge 2000-1740 over500 RIGHT )]

[eqn: ={rm P} LEFT ( Z ge 0.52 RIGHT ) =0.3]

여기에서 집에서 시장까지의 거리와 자가용 이용에 관한 표를 만들면

	자가용 이용	자가용이용안함	계
[eqn: 2000m] 미만	[eqn: 0.05 times 0.7]	[eqn: 0.95 times 0.7]	[eqn: 0.7]
[eqn: 2000m] 이상	[eqn: 0.15 times 0.3]	[eqn: 0.85 times 0.3]	[eqn: 0.3]
계			[eqn: 1]

따라서, [eqn: {0.05 times 0.7 } over{0.05 times 0.7 + 0.15times 0.3 } = 35 over80 = 7 over16]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

① [eqn: 3 over8]	② [eqn: 7 over16]	③ [eqn: 1 over2]	④ [eqn: 9 over16]	⑤ [eqn: 5 over8]

어느 도시에서 공용 자전거의 1회 이용 시간은 평균이 60분, 표준편차가 10분인 정규분포를 따른다고 한다. 공용 자전거를 이용한 25회를 임의추출하여 조사할 때, 25회 이용시간의 총합이 1450분이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

공용 자전거의 1회 이용 시간을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: N(60,`10 ^{2} )]을 따른다.

따라서 25회 이용 시간의 평균 [eqn: bar{X}]는 정규분포 [eqn: N LEFT ( 60,` {10 ^{2}} over {25} RIGHT )] 즉, [eqn: N(60,`2 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE P(25 bar{X} GEQ 1450)=P( bar{X} GEQ 58)]

[eqn: =P LEFT ( Z GEQ {58-60} over {2} RIGHT )][eqn: =P(Z GEQ -1)]

[eqn: =0.5+P(0 LEQ Z LEQ 1)]

[eqn: =0.5+0.3413=0.8413]

[3점][2011년 수능]

① 0.8351	② 0.8413	③ 0.9332
④ 0.9772	⑤ 0.9938

어느 회사 직원의  하루 생산량은 근무 기간에 따라 달라진다고 한다. 근무 기간이 [eqn: n]개월 ([eqn: 1<= n <= 100])인 직원의 하루 생산량은 평균이 [eqn: an + 100]([eqn: a]는 상수), 표준편차가 [eqn: 12]인 정규분포를 따른다고 한다. 근무 기간이 [eqn: 16]개월인 직원의 하루 생산량이 [eqn: 84] 이하일 확률이 [eqn: 0.0228]일 때, 근무 기간이 [eqn: 36]개월인 직원의 하루 생산량이 [eqn: 100] 이상이고 [eqn: 142] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

③

근무 기간이 [eqn: 16]개월인 직원의 하루 생산량을 [eqn: X]라 하면

[eqn: X `～`Z ` LEFT ( 16a + 100, `` 12^2 RIGHT )]

[eqn: P ` LEFT ( X <= 84 RIGHT ) = P ` LEFT ( Z <= {-16a -16} over{12} RIGHT ) = 0.0228]이고

[eqn: P ` LEFT ( 0 <= Z <= 2 RIGHT ) = 0.4772]이므로

[eqn: {-16a -16} over{12} = -2] [eqn: therefore] [eqn: a = 1 over 2]

근무 기간이 [eqn: 36]개월인 직원의 하루 생산량을 [eqn: Y]라 하면

[eqn: Y ``～`` N ``left(118, `` 12^2 right)]

[eqn: P `` LEFT ( 100 <= Y <= 142 RIGHT ) = P LEFT ( -1.5 <= Z <= 2 RIGHT ) = 0.9104]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

① [eqn: 0.7745]	② [eqn: 0.8185]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9270]	⑤ [eqn: 0.9710]

어느 회사에서 생산하는 음료수 [eqn: 1``]병에 들어 있는 칼슘 함유량은 모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 [eqn: sigma``]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 음료수 [eqn: 16``]병을 임의추출하여 칼슘 함유량을 측정한 결과 표본평균이 [eqn: 12.34``]이었다. 이 회사에서 생산한 음료수 [eqn: 1``]병에 들어 있는 칼슘 함유량의 모평균 [eqn: m``]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%``]의 신뢰구간이 [eqn: 11.36 le m le a`]일 때, [eqn: a + sigma``]의 값은?
(단, [eqn: Z``]가 표준정규분포를 따를 때 [eqn: {rmP}(0 le Z le 1.96)=0.4750``]이고, 칼슘함유량의 단위는 [eqn: rm mg]이다.)

③

음료수 한 병에 들어간 칼슘 함유량을 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N it (m,```sigma^2 )]을 따른다.

크기가 [eqn: 16]인 표본의 평균은 [eqn: bar {X`} =12.34]

따라서 신뢰도 [eqn: 95%]로 모평균을 추정하면

[eqn: 12.34 -1.96 sigma over sqrt16 le m le 12.34 + 1.96 sigma over sqrt16]인데

[eqn: 11.36 le m le a]이므로

[eqn: 1.96 sigma over sqrt16 =12.34-11.36]

[eqn: therefore```sigma=2]이고 [eqn: a=12.34+1.96 2over4 =13.32]

[eqn: therefore ```a+sigma=13.32+2 =15.32]

[3점][2012년 수능]

① [eqn: 14.32]	② [eqn: 14.82]	③ [eqn: 15.32]
④ [eqn: 15.82]	⑤ [eqn: 16.32]

어느 공장에서 생산되는 제품의 길이 [eqn: X``]는 평균이 [eqn: m``]이고, 표준편차가 [eqn: 4``]인 정규분포를 따른다고 한다.
[eqn: {rmP}(m le X le a)=0.3413`]일 때, 이 공장에서 생산된 제품 중에서 임의추출한 제품 [eqn: 16``]개의 길이의 표본평균이 [eqn: a-2``]이상일 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
(단, [eqn: a``]는 상수이고, 길이의 단위는 [eqn: rm cm`]이다.)

①

[eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N (it `m,```4^2 )]을 따른다.

[eqn: rm P (it m le X le a) = rm P left( it 0 le Z le a-m over 4 right ) =0.3413]에서 표준정규분포표를 이용하면 [eqn: a-m over 4 =1]

[eqn: therefore``` a= m+4 ~cdots cdots``㉠]

크기가 [eqn: 16]인 표본평균 [eqn: bar{X`}]는 정규분포 [eqn: rm N (it `m,```1^2 )]을 따르므로

[eqn: rm P ( it bar{X`} ge a-2)]
[eqn: = rm P left( it Z ge a-2-m over 1 right)][eqn: = rm P (it Z ge 2 )] ([eqn: because] ㉠에서)
[eqn: =0.5-0.4772][eqn: =0.0228]

[eqn: z]	[eqn: P`(0 le Z```le z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

[4점][2012년 수능]

① [eqn: 0.0228]

② [eqn: 0.0668]

③ [eqn: 0.0919]

④ [eqn: 0.1359]

⑤ [eqn: 0.1587]

[eqn: z]	[eqn: rm P(0 LEQ it Z`leqz)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

어느 학교 전체 학생의 시험 점수는 평균이 [eqn: 500]점, 표준편차가 [eqn: 25]점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학생 중 임의로 [eqn: 1]명을 선택할 때, 이 학생의 시험 점수가 [eqn: 475]점 이상이고 [eqn: 550]점 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

학생의 시험 점수를 확률변수 [eqn: X]라 하면

[eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(500,```25 ^{2} )]을 따르므로

[eqn: rm P(475≤it X ≤550)]

[eqn: =rm P left( 475-500 over 25 ≤it Z ≤ 550-500 over 25 right)]

[eqn: =rm P(-1≤it Z ≤2)][eqn: =rm P(0≤it Z ≤1)+rm P(0≤it Z ≤2)]

[eqn: =0.3413+0.4772][eqn: =0.8185]

[3점][2013년 수능]

① [eqn: 0.7745]	② [eqn: 0.8185]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9270]	⑤ [eqn: 0.9710]

표준편차 [eqn: sigma]가 알려진 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간이 [eqn: LEFT [ 100.4,````139.6 RIGHT ]]이었다. 같은 표본을 이용하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간에 속하는 자연수의 개수를 구하시오. (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P(0 LEQ it Z`leq1.96)=0.475], [eqn: rmP(0leqitZ`leq2.58)=0.495]로 계산한다.)

[eqn: 51]

표본평균이 [eqn: bar X]일 때 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ bar{X} -1.96 {sigma } over {sqrt {n}} ,``` bar{X} +1.96 {sigma } over {sqrt {n}} RIGHT ] = LEFT [ 100.4,```139.6 RIGHT ]]이므로

[eqn: bar{X} -1.96 {sigma } over {sqrt {n}} =100.4``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: bar{X} +1.96 {sigma } over {sqrt {n}} =139.6``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉠[eqn: +]㉡을 하면 [eqn: 2 bar X =240]  [eqn: THEREFORE ``` bar{X} =120]

[eqn: bar X =120]을 ㉡에 대입하면 [eqn: 1.96 sigma over rootn =19.6]

[eqn: THEREFORE ``` {sigma } over {sqrt {n}} =10]

따라서, 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ bar{X} -2.58 {sigma } over {sqrt {n}} ,``` bar{X} +2.58 {sigma } over {sqrt {n}} RIGHT ]]

[eqn: LEFT [ 120-2.58 TIMES 10,```120+2.58 TIMES 10 RIGHT ]][eqn: =[94.2,```145.8]]

따라서, 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간에 속하는 자연수는

[eqn: 95,```96,``` CDOTS ,```145]이므로 모두 [eqn: 51]개다.

[3점][2013년 수능]

어느 회사에서 생산된 모니터의 수명은 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 모니터 중 임의추출한 [eqn: 100]대의 수명의 표본평균이 [eqn: barx], 표본표준편차가 [eqn: 500]이었다. 이 결과를 이용하여 이 회사에서 생산된 모니터의 수명의 평균을 신뢰도 [eqn: 95%]로 추정한 신뢰구간이 [eqn: LEFT [ ` bar{x} -c,``` bar{x} +c RIGHT ]]이다. [eqn: c]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: rmP(0leqitZ`leq1.96)=0.4750] 이다.)

[eqn: 98]

모니터의 수명을 [eqn: X]라 하면

[eqn: n=100], 표본표준편차 [eqn: s=500]

신뢰도 [eqn: 95%]로 추정하면 [eqn: rmP( LEFT | `itZ` RIGHT | leq1.96)=0.95]이므로

[eqn: k=1.96]

신뢰구간은 구하면

[eqn: LEFT [ bar{x} -k {s} over {sqrt {n}} ,``` bar{x} +k {s} over {sqrt {n}} RIGHT ]]

[eqn: = LEFT [ bar{x} `-1.96 {500} over {sqrt {100}} ,``` bar{x} `+1.96 {500} over {sqrt {100}} RIGHT ]]

[eqn: =[ bar{x} -98,``` bar{x} +98]]

[eqn: THEREFORE ```c=1.96 TIMES 50=98]

[3점][2013년 수능]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rmN(itm,```sigma ^{2} )]을 따르고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rm P(itX` GEQ 64)=rmP(itx` LEQ 56)]

(나) [eqn: rmE(itX ^{2} )=3616]

[eqn: rmP(itX`leq68)]의 값을 오른쪽 표를 이용하여 구한 것은?

④

(가)에서 [eqn: rm P( it X GEQ 64)= rm P( it X LEQ 56)]이므로

[eqn: m= 64+56 over 2 =60]

이때, [eqn: rm V(it X)=rmE(itX^2 )-left{rmE(it X)right}^2]이므로

[eqn: rm V(it X)=3616-60^2 =16]  [eqn: THEREFORE ```sigma (X)=4]

[eqn: THEREFORE ``` rm P( it X LEQ 68)= rm P LEFT ( it Z LEQ {68-60} over {4} RIGHT )][eqn: = rm P( it Z LEQ 2)]

[eqn: =0.5+ rm P(0≤ it Z ≤2)][eqn: =0.5+0.4772]

[eqn: ( BECAUSE ` rm P( it 0 LEQ Z LEQ 2)= rm P( it m LEQ X LEQ m+2 sigma ))][eqn: =0.9772]

[다른 풀이]

(가)조건에서

그래프의 대칭의 중심은 [eqn: 60]이므로 [eqn: m=60]

(나)조건에서

[eqn: E(X ^{2} )=V(X)+ LEFT { E(X) RIGHT } ^{2} =6 ^{2} +60 ^{2} =3616]

[eqn: THEREFORE ```sigma ^{2} =16,```sigma=4]

[eqn: rmP(itX`leq68)=rmP(itX`leqm+2sigma)]

[eqn: =0.5+rmP(0leqitX`leqm+2sigma)=0.9772]

[eqn: x]	[eqn: rm P( it m` LEQ X` LEQ x)]
[eqn: m+1.5sigma]	[eqn: 0.4332]
[eqn: m+2sigma]	[eqn: 0.4772]
[eqn: m+2.5sigma]	[eqn: 0.4938]

[3점][2013년 수능]

① [eqn: 0.9104]

② [eqn: 0.9332]

③ [eqn: 0.9544]

④ [eqn: 0.9772]

⑤ [eqn: 0.9938]

[eqn: z]	[eqn: {\P} (0 le Z le z)]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

어느 약품 회사가 생산하는 약품 [eqn: 1]병의 용량은 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: 10]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사가 생산한 약품 중에서 임의로 추출한 [eqn: 25]병의 용량의 표본평균이 [eqn: 2000] 이상일 확률이 [eqn: 0.9772]일 때, [eqn: m]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 용량의 단위는 [eqn: \mL]이다.)

②

한 병의 용량을 [eqn: X`]라고 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: \N it(m,``10^2 )]을 따른다. 이 때, 크기 [eqn: 25]인 표본의 평균을 [eqn: bar X]라고 하면 [eqn: bar X`]는 정규분포 [eqn: \N it(m,``2^2 )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE```\P it (bar X GE 2000)][eqn: = \P it LEFT ( Z GE { 2000-m} over { 2} RIGHT )]
[eqn: =0.9772][eqn: =0.5+0.4772]
[eqn: =0.5+ \P(0 LE it Z LE 2)]
[eqn: =0.5+ \P(-2 LE it Z Le0)]

[eqn: THEREFORE```` { 2000-m} over { 2}=-2]

[eqn: THEREFORE```m=2004]

[3점][2014년 수능]

① [eqn: 2003]	② [eqn: 2004]	③ [eqn: 2005]	④ [eqn: 2006]	⑤ [eqn: 2007]

[eqn: z]	[eqn: {rm P}(0le Z le z )]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

어느 연구소에서 토마토 모종을 심은 지 [eqn: 3]주가 지났을 때 토마토 줄기의 길이를 조사한 결과 토마토 줄기의 길이는 평균이 [eqn: 30 rmcm], 표준편차가 [eqn: 2 rmcm]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 연구소에서 토마토 모종을 심은 지 [eqn: 3]주가 지났을 때 토마토 줄기 중 임의로 선택한 줄기의 길이가 [eqn: 27 rmcm] 이상이고 [eqn: 32 rmcm] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

토마토 줄기의 길이를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: `X`]는 정규분포 [eqn: N`(30`,`2 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE P`(27 LEQ X LEQ 32)]

[eqn: =`P( {27-30} over {2} LEQ Z LEQ {32-30} over {2} )]

[eqn: =`P`(-1.5 LEQ Z LEQ 1`)]

[eqn: =`P(0 LEQ Z LEQ 1.5)`+`P(0 LEQ Z LEQ 1)]

[eqn: =`0.4332`+`0.3413`=`0.7745]

[3점][2015년 수능]

① [eqn: 0.6826]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8185]

④ [eqn: 0.9104]	⑤ [eqn: 0.9270]

[eqn: z]	[eqn: {rm P}(0le Z le z )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

어느 공장에서 생산되는 과자 [eqn: 1]봉지의 무게는 평균이 [eqn: 75rmg], 표준편차가 [eqn: 2 rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 과자 중 임의로 선택한 과자 [eqn: 1]봉지의 무게가 [eqn: 76 rmg] 이상이고 [eqn: 78 rmg] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

⑤

과자 1봉지의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: N(75`,`2 ^{2} )]을 따른다.

이때, [eqn: Z= {X-75} over {2} `]는 표준정규분포 [eqn: N(`0`,1)]을 따르므로 구하는 확률은

[eqn: P`(76 LEQ X LEQ 78)]

[eqn: =P LEFT ( {76-75} over {2} LEQ Z LEQ {78-75} over {2} RIGHT )]

[eqn: =P`(0.5 LEQ Z LEQ 1.5)]

[eqn: =P`(0 LEQ Z LEQ 1.5)][eqn: -P`(0 LEQ Z LEQ 0.5)]

[eqn: =0.4332-0.1915]

[eqn: =0.2417]

[3점][2015년 수능]

① [eqn: 0.0440]	② [eqn: 0.0919]	③ [eqn: 0.1359]

④ [eqn: 0.1498]	⑤ [eqn: 0.2417]

어

[eqn: z]	[eqn: {rm P}(0le Z le z )]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.25]	[eqn: 0.3944]
[eqn: 1.50]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 1.75]	[eqn: 0.4599]

느 쌀 모으기 행사에 참여한 각 학생이 기부한 쌀의 무게는 평균이 [eqn: 1.5 `rm kg`], 표준편차가 [eqn: 0.2`rm kg`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 행사에 참여한 학생 중 임의로 1명을 선택할 때, 이 학생이 기부한 쌀의 무게가 [eqn: 1.3 ` rm kg`] 이상이고 [eqn: 1.8` rm kg `] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

③

[출제의도] 정규분포를 따르는 확률변수에 대하여 확률을 구할 수 있는가?

쌀의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 1.5,~0.2 ^{2} RIGHT )]을 따르고, [eqn: Z= {X-1.5} over {0.2}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z`]는 표준정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 0,~1 RIGHT )]을 따른다.

[eqn: {rmP} LEFT ( 1.3 LEQ X LEQ 1.8 RIGHT )]

[eqn: ={rmP} LEFT ( {1.3-1.5} over {0.2} LEQ {X-1.5} over {0.2} LEQ {1.8-1.5} over {0.2} RIGHT )]

[eqn: ={rmP} LEFT ( it -1 LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT )]

[eqn: ={rmP} LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1 RIGHT ) +{rmP} LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT )]

[eqn: =0.3413+0.4331=0.7745]

[3점][2016년 수능]

① [eqn: 0.8543]	② [eqn: 0.8012]	③ [eqn: 0.7745]
④ [eqn: 0.7357]	⑤ [eqn: 0.6826]

정

[eqn: z]	[eqn: {rm`P} LEFT ( 0{le}Z{le}z RIGHT )]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.2]	[eqn: 0.3849]
[eqn: 1.4]	[eqn: 0.4192]
[eqn: 1.6]	[eqn: 0.4452]

규분포 [eqn: rm N(50,``8^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X``} `], 정규분포 [eqn: rm N(75,``sigma^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar {Y``}`]라 하자.
[eqn: rm P(it bar{X``} le 53) + rm P(it bar{Y``} le 69)=1]일 때,
[eqn: rmP(it bar{Y``} ge 71)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

①

[출제의도] 표본평균의 분포를 이용하여 확률을 구할 수 있는가?

정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 50,~8 ^{2} RIGHT )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 표본의 크기가 [eqn: 16]인 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 50,~ LEFT ( {8} over {sqrt {16}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )] 즉, [eqn: {rmN} LEFT ( 50,~2 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

또, 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 75,~ sigma ^{2} RIGHT )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 표본의 크기가 [eqn: 25]인 표본평균 [eqn: {bar{Y}}]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 75,~ LEFT ( {sigma } over {sqrt {25}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )] 즉, [eqn: rm N it LEFT ( 75,~ LEFT ( {sigma } over {5} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따른다.

이때

[eqn: {rmP} LEFT ( {bar{X}} LEQ 53 RIGHT )][eqn: ={rmP} LEFT ( {{bar{X}}-50} over {2} LEQ {53-50} over {2} RIGHT )]

[eqn: ={rmP} LEFT ( Z LEQ 1.5 RIGHT )]

[eqn: =0.5+{rmP} LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT )]

이고

[eqn: rm P it LEFT ( {bar{Y}} LEQ 69 RIGHT )][eqn: ={rmP} LEFT ( {{bar{Y}}-75} over {{sigma } over {5}} LEQ {53-50} over {{sigma } over {5}} RIGHT )]

[eqn: ={rmP} LEFT ( Z LEQ - {30} over {sigma } RIGHT )]

[eqn: =0.5- rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {30} over {sigma } RIGHT )]

이다.

이때 [eqn: {rmP} LEFT ( {bar{X}} LEQ 53 RIGHT ) +{rmP} LEFT ( {bar{Y}} LEQ 69 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: {rmP} LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT ) ={rmP} LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {30} over {sigma } RIGHT )]

즉, [eqn: 1.5= {30} over {sigma }]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE ~ sigma =20]

[eqn: {rmP} LEFT ( {bar{Y}} GEQ 71 RIGHT )][eqn: ={rmP} LEFT ( {{bar{Y}}-75} over {4} GEQ {71-75} over {4} RIGHT )]

[eqn: ={rmP} LEFT ( Z GEQ -1 RIGHT )]

[eqn: =0.5+{rmP} LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1 RIGHT )]

[eqn: =0.5+0.3413]

[eqn: =0.8413]

[4점][2016년 수능]

① [eqn: 0.8413]	② [eqn: 0.8644]	③ [eqn: 0.8849]
④ [eqn: 0.9192]	⑤ [eqn: 0.9452]

모표준편차가 [eqn: 14]인 모집단에서 크기가 [eqn: n`]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar {X``}]라 하자. [eqn: sigma(bar {X``} ) =2]일 때, [eqn: n`]의 값은?

⑤

[출제의도] 모표준편차를 이용하여 표본표준편차를 구할 수 있는가?

[eqn: sigma LEFT ( {bar{X}} RIGHT ) = {sigma } over {sqrt {n}} = {14} over {sqrt {n}} =2]

[eqn: sqrt {n} =7]

[eqn: THEREFORE ~n=49]

[3점][2016년 수능]

① [eqn: 9]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 25]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 49]

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: rm P(0 <= it Z <= z)]
[eqn: 1.28] [eqn: 1.75] [eqn: 2.05]	[eqn: 0.40] [eqn: 0.46] [eqn: 0.48]

어느 시험에 응시한 수험생 [eqn: 10`]만명의 시험 점수가 정규분포 [eqn: rm N``(50,``20 ^{2} )``]을  이룬다고 한다. 오른쪽 표준정규분포표를 이용할 때 성적이 상위 [eqn: 4]% 이내에 속하려면 시험 점수가 최소 몇 점 이상이어야 하는가?

①

상위 [eqn: 4]% 이내에 속하려면 표준정규분포곡선에서

[eqn: 0.5-0.04=0.46]이므로

표준정규분포표의 값을 이용하면, [eqn: z=1.75] 이다.

표준화한 값  [eqn: Z= {X-m} over {sigma }]이므로

[eqn: X= sigma Z+m=20 TIMES 1.75+50=85``]

O

[eqn: 1.75]

[eqn: 0.46``]

[eqn: 0.04``]

[eqn: z``````]

[3점][2005년 3월]

① [eqn: 85]	② [eqn: 87]	③ [eqn: 89]	④ [eqn: 91]	⑤ [eqn: 93]

확률변수[eqn: Z`]가 표준정규분포[eqn: rm N(0,~1)]을 따를 때, 표준점수  [eqn: T= 20 Z + 100]이라고 하자. 어느 고등학교 [eqn: 3]학년을 대상으로 한 학업성취도평가 점수는 정규분포를 따르고, 어느 한 학생의 원점수와 각 영역의 평균, 표준편차는 표와 같다.

영역 구분	[eqn: A`]	[eqn: B`]	[eqn: C`]
원점수	[eqn: 70]	[eqn: 65]	[eqn: 57]
평균	[eqn: 60]	[eqn: 55]	[eqn: 45]
표준편차	[eqn: 20]	[eqn: 10]	[eqn: 16]

원점수에 대한 표준점수가 가장 큰 영역과 가장 작은 영역의 표준점수의 차는?

②

[eqn: A,``B,``C`]영역의 원점수를 각각 표준화하면

[eqn: Z_A = 70-60 over 20 = 1 over 2], [eqn: Z_B = 1], [eqn: Z_C = 3 over 4]이므로

[eqn: T_A = 20 times 1 over 2 + 100 =110], [eqn: T_B = 120], [eqn: T_C = 115]

[eqn: therefore``120- 110=10]

[3점][2005년 5월]

①  [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

세 확률변수 [eqn: X,``Y,``W```]는 각각 다음과 같다.

[eqn: X``]는 이항분포	[eqn: \B` left(`100,`` 1 over 5 right)`]을 따른다.

[eqn: Y``]는 이항분포	[eqn: \B` left(`225,`` 1 over 5 right)`]을 따른다.

[eqn: W```]는 이항분포	[eqn: \B` left(`400,`` 1 over 5 right)`]을 따른다.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

세 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: W]는 각각 정규분포 [eqn: rm N left( 20, ~4^2 right)], [eqn: rm N left( 45, ~6^2 right)], [eqn: rm N left( 80, ~8^2 right)]을 따른다. 또, 확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포를 따른다고 하자.

ㄱ. [eqn: \P left( left| X-20 over 100 right| < 1 over 10 right) =][eqn: \P left( left| X-20 over 4 right| < 25over 10 right) = \P left( |Z`|< 2.5 right)]

[eqn: \P left( left| W-80 over 400 right| < 1 over 10 right) =][eqn: \P left( left| W-80 over 8 right| < 50over 10 right) = \P left( |Z`|< 5 right)]

∴ [eqn: \P left( left| X-20 over 100 right| < 1 over 10 right) <][eqn: \P left( left| W-80 over 400 right| < 1 over 10 right)] (참)

ㄴ. [eqn: \P left( left| Y-40 over 225 right| < 1 over 25 right) =][eqn: \P left( left| Y-40 over 6 right| < 225over 6․25 right) = \P left( |Z`|< 1.5 right)]

∴ [eqn: \P left( left| X-20 over 100 right| < 1 over 10 right) >][eqn: \P left( left| Y-40 over 225 right| < 1 over 25 right)]

(거짓)

ㄷ. [eqn: \P left( left| W-80 over 400 right| < 1 over 25 right) =][eqn: \P left( left| W-80 over 8 right| < 50over 25 right) = \P left( |Z`|< 2 right)]

∴ [eqn: \P left( left| Y-40 over 225 right| < 1 over 25 right)][eqn: < \P left( left| W-80 over 8 right| < 50over 25 right)] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점][2005년 9월]

	<보 기>
ㄱ.[eqn: rm P` LEFT ( LEFT | {X} over {100} - {1} over {5} RIGHT | ＜ {1} over {10} RIGHT ) ＜ rm P` LEFT ( LEFT | {W} over {400} - {1} over {5} RIGHT | ＜ {1} over {10} RIGHT )] ㄴ.[eqn: rm P` LEFT ( LEFT | {X} over {100} - {1} over {5} RIGHT | ＜ {1} over {10} RIGHT )＜ rm P` LEFT ( LEFT | {Y} over {225} - {1} over {5} RIGHT | ＜ {1} over {25} RIGHT )] ㄷ.[eqn: rm P` LEFT ( LEFT | {Y} over {225} - {1} over {5} RIGHT |＜ {1} over {25} RIGHT )＜ rm P` LEFT ( LEFT | {W} over {400} - {1} over {5} RIGHT |＜ {1} over {25} RIGHT )]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[ 표준정규분포표]

[eqn: z`]	[eqn: rm P``(`0` <=it Z``` <= z`)`]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3]	[eqn: 0.4987]

어느 제과점에서 만드는 빵 [eqn: 1`]개의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 평균이 [eqn: 150`]g, 표준편차가 [eqn: 12`]g인 정규분포를 따른다고 한다. 임의추출된 빵 [eqn: 9`]개의 무게의 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라 할 때, [eqn: bar{X``}]가 [eqn: 144`]g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하면 [eqn: {k} over {10000} `]이다. [eqn: k`]의 값을 구하시오.

668

모집단이 정규분포 N(150, [eqn: 12^2`])을 따르고, 표본의 크기가 9이므로 [eqn: rm E( bar{it X`` rm} `)=150`], [eqn: rm V( bar{it X`` rm} `)= {12 ^{2}} over {9} =16`]

따라서 표본평균 [eqn: rm ` bar{it X`` rm} `]는 N(150, [eqn: 4 ^{2} `])을 따른다.

[eqn: rm P( bar{it X``} ` <= `144`)][eqn: \=P(`it Z`` <= ` {144-150} over {4} `)][eqn: = \P(`it Z`` <= `-1.5`)][eqn: \=0.5-P(0` <= `it Z` <= `1.5`)`][eqn: =0.5-0.4332=0.0668`]   ∴ [eqn: k=668`]

[3점][2005년 7월]

[eqn: z]	[eqn: \P(`0 `≦` Z` ≦` z`)]
1.0	0.34
1.1	0.36
1.2	0.38
1.3	0.40

어느 회사에서는 신입사원 [eqn: 300`]명에게 연수를 실시하고 연수 점수에 따라 상위 [eqn: 36`]명을 뽑아 해외 연수의 기회를 제공하고자 한다. 신입사원 전체의 연수 점수가 평균 [eqn: 83`]점, 표준편차 [eqn: 5`]점인 정규분포를 따른다고 할 때, 해외 연수의 기회를 얻기 위한 최소 점수를 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, 연수 점수는 최소 [eqn: 0`]점에서 최대 [eqn: 100`]점 사이의 정수이다.)

89

신입사원 전체의 연수점수는 정규분포 [eqn: N(83, ``5^2 )]을 따르고  300명의 상위 36명은 [eqn: { 36} over {300 } × 100 =12 %]이므로 전체에서 상위 12% 안에 드는 최소점수를[eqn: a]라 하면

[eqn: P( X >=`a`) = P( Z `>=` {a-83 } over {5 } ) =0.12]

따라서 [eqn: P(0<= Z `<=` {a-83 } over {5 } ) =0.38]

이므로 주어진 표에서

[eqn: { a-83} over {5 } =1.2]

[eqn: ∴``a= 83 + 5 ×1.2 =89]

[4점][2005년 9월]

[eqn: z`]	[eqn: \P`(0`≦`Z``≦z`)`]
1.88	0.47
2.05	0.48
2.33	0.49

어느 과자 공장에서 생산하는 과자[eqn: rm A`]의 무게는 평균 [eqn: 800`\g`], 표준편차 [eqn: 14`\g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서는 생산 시스템의 이상 여부를 점검하기 위하여 하루에 생산된 과자 [eqn: rm A`] 중에서 크기가 [eqn: 49`]인 임의표본을 추출하여 과자의 무게에 대한 표본평균 [eqn: bar X_`_`_`]를 계산한다. [eqn: bar X_`_`_`]가 상수 c보다 작으면 생산 시스템에 이상이 있는 것으로 판단하고 생산시스템을 점검한다.
이 공장에서 생산 시스템에 이상이 있다고 판단될 확률이 [eqn: 0.02`]라고 할 때, 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 상수 [eqn: c`]의 값은?

⑤

과자 A 의 무게가 정규분포 [eqn: N(800, ``14^2 )]를 따르므로  표본평균 [eqn: barX]는 정규분포  [eqn: N LEFT(800, ``LEFT ( 14 over root49 RIGHT )^2RIGHT )]를 따른다.

따라서 [eqn: P( barX `<`c`) =0.02]에서

[eqn: P LEFT ( Z `<`{c -800} over{ 2} RIGHT ) =0.02] 이므로

[eqn: P LEFT ( Z `>`{800-c} over{ 2} RIGHT ) =0.02]

즉[eqn: P LEFT (0<= Z `<=`{800 -c} over{ 2} RIGHT ) =0.48]이므로

주어진 표에서  [eqn: { 800-c} over {2 } = 2.05]

[eqn: ∴ ``c= 800- 2×2.05 = 795.9]

[4점][2005년 9월]

① [eqn: 771.3]	② [eqn: 784.7]	③ [eqn: 787.1]

④ [eqn: 791.5]	⑤ [eqn: 795.9]

확률변수 [eqn: X ``]와 [eqn: Y ``]가 평균이 [eqn: 0`]이고 표준편차가 각각 [eqn: a `]와 [eqn: b`]인 정규분포를 따를 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

확률변수 [eqn: X,Y`]는 각각 정규분포 [eqn: {rmN}(0,``a^2`)`], [eqn: {rmN}(0,``b^2`)`]을 따르므로 각각 [eqn: Z= X over a`], [eqn: Z= Y over b`]로 표준화하면 모두 표준정규분포를 따른다.

ㄱ. 확률변수[eqn: X`]의 평균은 0이므로 [eqn: {rmP}(1≦X≦2 ) ＞{rmP}(2≦X≦3 )`] (거짓)

ㄴ. [eqn: {rmP}(-a≦X≦0 ) ={rmP}(-1≦Z≦0 )][eqn: = {rmP}(0≦Z≦1 )`]

[eqn: {rmP}(0≦Y≦b ) ={rmP}(0≦Y≦1 )`]

∴[eqn: {rmP}(-a≦X≦0 )][eqn: ={rmP}(0≦Y≦1 )`] (참)

ㄷ. [eqn: {rmP}(-1≦X≦1 ) =2 {rmP}(0≦X≦1 )][eqn: = 2 {rmP} left( 0≦Z≦ 1over a right) `]

[eqn: {rmP}(-2≦Y≦2 ) =2 {rmP}(0≦Y≦2 )][eqn: = 2 {rmP} left( 0≦Z≦ 2over b right) `]

따라서 [eqn: 1over a = 2over b `]에서 [eqn: b=2a`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[4점][2005년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: \P`(1 ``≦ ``X`` ≦`` 2) ``=`` \P`(2 ``≦`` X ``≦ ``3)] ㄴ. [eqn: \P``(-a ``≦ ``X ``≦`` 0 `) `= \P``(0 `` ≦`` Y ``≦`` b` )] ㄷ. [eqn: \P``( -1 ``≦`` X ``≦`` 1`)`` =`` \P``( -2 ``≦ ``Y ``≦`` 2`)]이면 [eqn: a``＜`b `]이다.

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어떤 두 직업에 종사하는 전체 근로자 중 한 직업에서 표본 [eqn: A``]를, 또 다른 직업에서 표본 [eqn: B``]를 추출하여 월급을 조사하였더니 다음과 같은 결과를 얻었다.

표본	표본의 크기	평균	표준 편차	신뢰도 (%)	모평균의 추정
[eqn: A``]	[eqn: n_1``]	[eqn: 240``]	[eqn: 12``]	[eqn: alpha ``]	[eqn: 237 <= m <= 243``]
[eqn: B``]	[eqn: n_2``]	[eqn: 230``]	[eqn: 10``]	[eqn: alpha ``]	[eqn: 228 <= m <= 232``]

(단위는 만원이고, 표본 [eqn: A``], [eqn: B``]의 월급의 분포는 정규분포를 이룬다)
위의 자료에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?

⑤

표본평균으로부터 모평균을 추정할 때, 신뢰도 [eqn: alpha ``]에 해당하는 [eqn: z``]값을 [eqn: k``]라 하면

[eqn: A``:``240-k․ {12} over {sqrt {n _{1} `}} <= `m <= 240+k․ {12} over {sqrt {n _{1} `}} ``]

[eqn: B``:``230-k․ {10} over {sqrt {n _{2} `}} <= `m <= 230+k․ {10} over {sqrt {n _{2} `}} ``]

ㄱ. 표준편차가 작은 표본[eqn: B``]의 분포가 더 고르다.

∴참

ㄴ. [eqn: k․ {12} over {sqrt {n _{1}}} =3`], [eqn: k․ {10} over {sqrt {n _{2}}} =2`]이므로

[eqn: sqrt {n _{1}} =4k,``` sqrt {n _{2}} =5k``] ∴ [eqn: n _{1} =16k ^{2} ,````n _{2} =25k ^{2} ``]

∴ [eqn: n _{1} <n _{2} ``]	∴참

ㄷ. 신뢰도를 [eqn: alpha ``]보다 크게 하면  [eqn: k``]도 더 커지므로

[eqn: k․ {12} over {sqrt {n _{1}}} ``], [eqn: k․ {10} over {sqrt {n _{2}}} ``]의 값이 더 커진다.

따라서 신뢰구간의 길이도 커진다.   ∴ 참

[4점][2005년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. 표본[eqn: A``]보다 표본[eqn: B``]의 분포가 더 고르다. ㄴ. 표본[eqn: A``]의 크기가 표본[eqn: B``]의 크기보다 작다. ㄷ. 신뢰도를 [eqn: alpha ``]보다 크게 하면 신뢰구간의 길이도 커진다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<표준정규분포표>
[eqn: z``]	[eqn: rm P it (0 <= Z <= z`)``]
[eqn: 2.1``]	[eqn: 0.4821``]
[eqn: 2.2``]	[eqn: 0.4861``]
[eqn: 2.3``]	[eqn: 0.4893``]
[eqn: 2.4``]	[eqn: 0.4918``]
[eqn: 2.5``]	[eqn: 0.4938``]

어떤 해운회사의 통계자료에 의하면 예약고객 [eqn: 10``]명 중 [eqn: 8``]명의 비율로 승선한다고 한다. 정원이 [eqn: 340``]명인 여객선의 예약고객이 [eqn: 400``]명일 때, 승선한 고객이 예약고객만으로 정원을 초과하지 않을 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구하면?

①

예약하여 승선하는 사람의 수를 확률변수 [eqn: X``]라 하면

[eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rm B`` LEFT ( 400,`` {4} over {5} RIGHT ) ``]를 따른다.

∴ [eqn: E(X)=400 TIMES {4} over {5} =320``], [eqn: V(X)=400 TIMES {4} over {5} TIMES {1} over {5} =8 ^{2} ``]

이 때, [eqn: X``]는 근사적으로 [eqn: rm N`(320,`8 ^{2} `)``]을 따른다.

∴ [eqn: rm P it `(X <= 340)= rm P it LEFT ( Z <= {340-320} over {8} RIGHT ) ``]

[eqn: = rm P( it Z <= 2.5)][eqn: =0.9938``]

[3점][2005년 10월]

① [eqn: 0.9938``]	② [eqn: 0.9918``]	③ [eqn: 0.9893``]
④ [eqn: 0.9861``]	⑤ [eqn: 0.9821``]

13

16

[eqn: rm M] 자동차회사의 어느 해 전반기와 후반기의 판매 사원별 자동차 판매 대수는 다음과 같은 정규분포를 따른다고 한다.

구 분	평 균	표준편차
전 반 기	[eqn: 32``]	[eqn: 8``]
후 반 기	[eqn: 38``]	[eqn: 10``]

전반기에는 [eqn: 44``]대 이상 자동차를 판매한 사원에게 특별상여금을 지급하였다. 후반기에도 전반기와 같은 비율의 인원에게 특별상여금을 지급하였을 때, 후반기에 특별상여금을 받은 사원은 자동차를 최소한 몇 대 이상 판매하였는가?(단, 판매 사원 수는 변동이 없는 것으로 한다.)

④

전반기의 자동차 판매 대수를 [eqn: X``], 후반기의 자동차 판매 대수를 [eqn: Y````]라 하면, [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N(32,``8 ^{2} )``],

[eqn: Y````]는 정규분포 [eqn: rm N(38,``10 ^{2} )``]을 따른다.

[eqn: P`(X >= 44)`=P`(Y >= k)``]

[eqn: P`(X >= 44)`=P`` LEFT ( Z >= {44-32} over {8} RIGHT ) ``][eqn: =P` LEFT ( Z >= 1.5`` RIGHT ) ``],

[eqn: P`(Y >= k)`=P` LEFT ( Z >= {k-38} over {10} RIGHT ) ``][eqn: =P` LEFT ( Z >= 1.5`` RIGHT ) ``]

∴ [eqn: {k-38} over {10} =1.5``]   ∴ [eqn: k=53``]

[4점][2005년 10월]

① [eqn: 47``]대	② [eqn: 49``]대	③ [eqn: 51``]대	④ [eqn: 53``]대	⑤ [eqn: 55``]대

어느 과수원에서 수확한 배의 무게는 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 수확한 배 [eqn: 100``]개를 임의 추출하여 무게를 달아보았더니 평균이 [eqn: 274`` rm g``], 표준편차가 [eqn: 45`` rm g``]이었다. 이 과수원에서 수확한 배의 무게의 평균 [eqn: `m``][eqn: (` rm g``)``]을 신뢰도 [eqn: 95``%``]로 추정하면 [eqn: `a` <= `m` <= `b``]이다. 이 때, 자연수 [eqn: `b``]의 값은?
(단, [eqn: rm P it (0 <= Z <= 2`)`=0.475``]로 계산한다.)

③

크기가 [eqn: 100``]인 표본의 평균이 [eqn: 274``], 표준편차가 [eqn: 45``]이므로 표본평균의 분포는 정규분포 [eqn: {rm N}`LEFT (m,``{ LEFT ({45} over {sqrt {100} } RIGHT ) ^{2}} ` RIGHT )``]을 따른다. 따라서, 모집단의 평균[eqn: m``]을 신뢰도 [eqn: 95%``]로 추정하면 [eqn: 274-2 {45} over {sqrt {100}} <= `m` <= `274+2 {45} over {sqrt {100}} ``]

[eqn: 265 <= `m` <= `283``]   [eqn: THEREFORE b=283``]

[3점][2005년 10월]

① [eqn: 275``]	② [eqn: 279``]	③ [eqn: 283``]	④ [eqn: 287``]	⑤ [eqn: 291``]

확률변수 [eqn: X] 는 정규분포 [eqn: rm N( `it m], [eqn: sigma ^{2} )]을 따른다. [eqn: {1} over {5} X]의 분산이 [eqn: 1]이고 [eqn: rm P( itX<=80) = rm P( itX>=120)]일 때, [eqn: m+ sigma ^{2}]의 값은?

⑤

[eqn: 1 over 5 X]의 분산 [eqn: rm V left( it 1 over 5 X right) = 1 over 25 rm V( itX)=1]

따라서 [eqn: rm V (it X) = sigma^2 =25]이다.

한편, 정규분포곡선은 직선 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이므로 [eqn: m={80+120} over 2 =100]이다.

∴ [eqn: m + sigma ^ 2 = 125]

[3점][2006년 4월]

① [eqn: 105]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 115]	④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 125]

< 표준정규분포표 >
[eqn: z`]	[eqn: rm P it ``(`0 <= Z <= z`)]
[eqn: 1.0`] [eqn: 1.5`] [eqn: 2.0`]	[eqn: 0.34`] [eqn: 0.43`] [eqn: 0.48`]

고속도로의 어느 지점을 통과하는 자동차들의 속력은 평균이[eqn: 104` rm km``]/시, 표준편차가 [eqn: 8` rm km``]/시인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지점에서의 속력이 [eqn: 120` rm km``]/시를 초과하면 과속으로 단속된다고 할 때, 이 지점을 통과하는 두 자동차 [eqn: rm A,~B``]가 모두 과속으로 단속될 확률을 주어진 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: rm A``]와 [eqn: rm B``]의 속력은 서로 독립이다.)

①

자동차의 속력을 확률변수 [eqn: X```]라고 하면, [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N`(`104,```8 ^{2} `)]을 따른다.

[eqn: THEREFORE ```` rm P it (`X`>120`)=` rm P it LEFT ( Z> {120-104} over {8} RIGHT ) `][eqn: =` rm P it (`Z`>2)]

[eqn: =`0.5-` rm P it (`0 <= `Z` <= 2)][eqn: =`0.5-`0.48]

[eqn: =0.02= {1} over {50}]

따라서 자동차 [eqn: rm A,`B`]가 모두 과속으로 단속될 확률은 [eqn: {1} over {50} TIMES {1} over {50} = {1} over {2500}]

[3점][2006년 3월]

① [eqn: {1} over {2500}]	② [eqn: {1} over {400}]	③ [eqn: {49} over {10000}]	④ [eqn: {9} over {2500}]	⑤ [eqn: {16} over {625}]

[eqn: 5]명을 모집하는 [eqn: A]기획사의 가수 오디션에 [eqn: 500]명이 참가하였다. 참가자들의 점수분포는 [eqn: 100]점 만점에 평균이 [eqn: 67]점, 표준편차가 [eqn: 10]점인 정규분포를 따른다고 한다. [eqn: 1]차 합격자로 [eqn: 2]배수를 선발한다고 할 때, 아래의 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: 1]차 합격자의 최저점수를 구하면?

④

[eqn: 1]차 합격자의 최저점수를 [eqn: a]라 하면

[eqn: {rmP}(X≧a)= { 10} over {500 }=0.02]

[eqn: {rmP}(0≦z≦ { a-67} over { 10})=0.48] 에서 [eqn: { a-67} over { 10}=2]

[eqn: ∴``a=87]

[3점][2006년 5월]

[eqn: z]	[eqn: P``(0 <= Z <= z)]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 1.9]	[eqn: 0.47]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]
[eqn: 2.3]	[eqn: 0.49]

① [eqn: 79]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 86]	④ [eqn: 87]	⑤ [eqn: 90]

[eqn: z]	[eqn: \P (0 `≦ `Z` ≦ `z)]
[eqn: 2.12] [eqn: 2.17] [eqn: 2.29]	[eqn: 0.4830] [eqn: 0.4850] [eqn: 0.4890]

어느 농장의 생후 [eqn: 7]개월된 돼지 [eqn: 200`]마리의 무게는 평균  [eqn: 110] kg, 표준편차 [eqn: 10] kg인 정규분포를 따른다고 한다.
이 [eqn: 200`]마리의 돼지 중 무거운 것부터 차례로 [eqn: 3]마리를 뽑아 우량 돼지 선발대회에 보내려고  한다.  우량  돼지 선발대회에 보낼 돼지의 최소 무게를 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

④

돼지의 무게를 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N( 110, 10^2 )]을 따른다. 우량돼지 선발대회에 보낼 세 마리의 돼지에서 최소 무게를 [eqn: k`]라 하면

[eqn: P ( X>= k ) = 3 over 200][eqn: = 0.015`]이므로

[eqn: P ( X>= k )][eqn: =P left( Z >= k-110 over 10 right)] [eqn: = 0.5 -P left( 0<= Z <= k-110 over 10 right)]

[eqn: =0.015`]

∴ [eqn: P left( 0<= Z <= k-110 over 10 right)][eqn: =0.4850]

이 때,  표준정규분포표에서

[eqn: P left( 0<= Z <= 2.17 right) =0.4850] 이므로

[eqn: k-110 over 10 = 2.17]    ∴ [eqn: k= 131. 7]

따라서 우량 돼지 선발대회에 보낼 돼지의 최소 무게는

[eqn: 131. 7 \kg`]이다.

[3점][2006년 9월]

① [eqn: 121.6] kg	② [eqn: 126.7] kg	③ [eqn: 130.7] kg

④ [eqn: 131.7] kg	⑤ [eqn: 132.9] kg

[eqn: z]	[eqn: rm P it (0 `≦ `Z` ≦ `z)]
[eqn: 1.5] [eqn: 2.0] [eqn: 2.5]	[eqn: 0.4332] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4938]

어느 마라톤 대회에서 완주한 참가자들의 완주 시간은 평균 [eqn: 5]시간, 표준편차 [eqn: 1]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 대회에서 완주한 참가자 중 임의추출한 [eqn: 100]명의   완주 시간의 평균 이 [eqn: 4]시간 [eqn: 51]분  이상이고  [eqn: 5]시간  [eqn: 12]분  이하일  확률을  오른쪽  표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

완주시간을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: N(``5``,``1 ^{2} ``)]을 따른다. 이 때, 참가자 중 임의추출한 100명의 평균완주시간을 [eqn: bar{X}]라 하면 표본평균 [eqn: bar{X}]는 정규분포 [eqn: N`(``5``,`` {1} over {100} `)]
즉, [eqn: N``(``5`,`( {1} over {10} ) ^{2} `)] 을 따른다. 따라서 구하는 확률은

[eqn: P`` LEFT ( 4+ {51} over {60} LEQ bar{X} ` LEQ 5+ {12} over {60} RIGHT )]

[eqn: =P``` LEFT ( {97} over {20} LEQ bar{X} LEQ {26} over {5} RIGHT )]

[eqn: =`P``` LEFT ( {{97} over {20} -5} over {{1} over {10}} LEQ Z LEQ {{26} over {5} -5} over {{1} over {10}} RIGHT )]

[eqn: =`P`(-1.5 LEQ Z LEQ 2`)]

[eqn: =`P`(``0 LEQ Z LEQ 1.5`)+`P`(``0 LEQ Z LEQ 2`)]

[eqn: =0.4332`+`0.4772]

[eqn: =`0.9104]

[3점][2006년 9월]

① [eqn: 0.8664]	② [eqn: 0.9104]	③ [eqn: 0.9544]

④ [eqn: 0.9710]	⑤ [eqn: 0.9876]

어느 공장에서 생산되는 제품의 길이의 모표준편차는 [eqn: 11]이다. 이 공장에서 생산된 제품 중 크기 [eqn: 4]인 표본을 [eqn: 3]일 동안 매일 임의추출하여 다음 자료를 얻었다.

	자료(제품의 길이)
[eqn: 1]일째 표본	[eqn: 77] [eqn: 73] [eqn: 68] [eqn: 50]
[eqn: 2]일째 표본	[eqn: 70] [eqn: 57] [eqn: 49] [eqn: 48]
[eqn: 3]일째 표본	[eqn: 69] [eqn: 62] [eqn: 57] [eqn: x]

[eqn: 3]일 동안의 표본에 대한 자료의 범위의 평균이 모표준편차의 [eqn: 2]배라 할 때, [eqn: 3]일째 표본 속에 포함된 자료 [eqn: x`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: x `＜` 70 `]이다.)

[eqn: 52`]

[eqn: 1]일째 표본의 범위는 [eqn: 77-50 =27`]

[eqn: 2`]일째 표본의 범위는 [eqn: 70- 48 = 22`]

[eqn: 3`]일째 표본의 범위는 [eqn: 69 - x`] ([eqn: because x<70])

이들 세 범위의 평균은

[eqn: {27+22+69-x} over 3 = 2 cdot 11]

[eqn: {118-x} over 3 = 22]

∴ [eqn: x= 118- 66 = 52]

[4점][2006년 9월]

<표준정규분포표>
[eqn: z`]	[eqn: P`(0` <= Z```<= `z)`]
[eqn: 1.0] [eqn: 2.0] [eqn: 3.0]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4987]

어느 양궁 종목에서 사용하는 표적지는 원의 반지름의 길이가 각각[eqn: rm 4`cm`,~8`cm`,~12`cm,`] [eqn: CDOTS`],  [eqn: rm 40`cm]로 [eqn: rm 4`cm`]씩 증가하는 [eqn: 10`]개의 동심원으로 되어 있다. 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리를 [eqn: X`]라고 할 때 [eqn: 0 <= X <= 4`]이면 [eqn: 10`]점, [eqn: 4<X <= 8`]이면 [eqn: 9`]점, [eqn: 8<X <= 12`]이면 [eqn: 8`]점, [eqn: CDOTS] , [eqn: 36<X <= 40`]이면 [eqn: 1`]점, [eqn: X`>40]이면 [eqn: 0]점을 득점한다.
기록에 의하면 양궁 선수 [eqn: rm A`]가 화살을 쏘았을 때 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리는 평균 [eqn: 8` rm cm`], 표준편차 [eqn: 2` rm cm`]인 정규분포를 따른다고 한다.
[eqn: rm A`]가 [eqn: 12`]발의 화살을 쏘았을 때 [eqn: 8`]점을 득점한 화살의 개수 [eqn: Y`]의 기대값 [eqn: rm E(it Y)`]는?

③

[eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(8,~2 ^{2} )]을 따르고 화살 한 발을 쏘아 [eqn: 8]점을 득점할 확률은 [eqn: rm P it (8<X <= 12)]이므로

[eqn: rm P it(8<X ≦ 12)][eqn: = rm P it LEFT ( {8-8} over {2} <Z <= {12-8} over {2} RIGHT )]

[eqn: rm =P it LEFT ( 0<Z <= `2 RIGHT )][eqn: =0.4772]

화살을 쏘았을 때 득점하는 사건은 독립이므로

[eqn: 12`]발 쏘았을 때, [eqn: 8`]점을 득점한 화살의 수 [eqn: Y`]의 기댓값

[eqn: rm E( it Y)=np=12 TIMES 0.4772=5.7264]

[4점][2006년 10월]

① [eqn: 4.0956]	② [eqn: 4.9112]	③ [eqn: 5.7264]

④ [eqn: 5.8554]	⑤ [eqn: 5.9844]

< 표준정규분포표 >

[eqn: z``]	[eqn: rmP it(0 <= Z <= z`)`]
[eqn: 0.5] [eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0]	[eqn: 0.1915`] [eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332`] [eqn: 0.4772]

[eqn: sum _{k=351} ^{369} ` _{400} rm C it rm _{it k} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{400-k} `]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

④

[eqn: sum _{k=351} ^{369} ` _{400} rm C it rm _{it k rm} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{it k rm} LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{400- it k rm} `]의 값은 확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: rm B left( 400,`` 9over10 right)]를 따를 때 확률 [eqn: rm P it (351` <= `X` <= `369)`]와 같다.

[eqn: rm E` it (X)=400`․` {9} over {10} =360,~ rm V` it (X)=400` ․` {9} over {10} `․` {1} over {10} =36`]이고,

시행 횟수 [eqn: 400``]이 충분히 크므로 확률변수 [eqn: X`]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N(360,~6 ^{2} )`]을 따른다.

[eqn: rm P it (351` <= `X` <= `369)= rmP it left( {351-360}over 6 `<=`Z`<=` {369-360}over6 right)]

[eqn: = rmP it left( -1 .5`<=`Z`<=` 1.5 right)]

[eqn: = 2``rmP it left( 0 `<=`Z`<=` 1.5 right)]

[eqn: =2`✕`0.4332][eqn: =0.8664]

[4점][2007년 3월]

① [eqn: 0.1587]

② [eqn: 0.3085]

③ [eqn: 0.6826]

④ [eqn: 0.8664]

⑤ [eqn: 0.9544]

어떤 도시에 있는 전체 고등학교 학생들의 몸무게는 표준편차가 [eqn: 5 rm kg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 고등학교 학생 전체에 대한 몸무게의 평균을 신뢰도 [eqn: 95%]로 추정할 때, 신뢰구간의 길이를 [eqn: 1 rm kg] 이하가 되도록 하려고 한다. 조사하여야 할 표본의 크기의 최소값을 구하시오. (단, [eqn: rm P(0 <= it Z<=`1.96)=0.4750]이다.)

385

[eqn: 2times1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} <= `1]

[eqn: sqrt {n}>=2 TIMES 1.96 times5]

[eqn: n>=384.16]

따라서 최소 표본의 크기는 [eqn: 385]이다.

[3점][2007년 4월]

두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y] 가 각각 정규분포 [eqn: rm N(`50,~10 ^{2} `)], [eqn: rm N(`40,~8 ^{2} `)]을 따른다고 한다.

[eqn: 50]

[eqn: 40]

[eqn: k]

[eqn: 24]

[eqn: x]

[eqn: y]

이 때, [eqn: rm P( it 50 <= X <= k)= rm P( it 24 <= Y <= 40)]을 만족시키는 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 70``]

확률변수 [eqn: X], [eqn: Y] 를 각각 표준화하면

[eqn: rmP(50<=itX <= k) = rmP left( 50-50 over 10 <= itz <= k-50 over 10 right)][eqn: = rm P LEFT ( 0 <= it z <= {k-50} over {10} RIGHT )]

[eqn: rm P(24<= itY <= 40)= rm P LEFT ( {24-40} over {8} <= it z <= {40-40} over {8} RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT (-2 <= it z <= 0 RIGHT )][eqn: = rm P LEFT (0<= it z <= 2 RIGHT )]이므로

[eqn: k-50over 10 = 2]      [eqn: therefore~k=70]

[3점][2007년 5월]

어느 회사에서 만든 신제품의 무게는 정규분포 [eqn: rm N(180, ~8^2 )]을 따른다. 이 회사에서는 신제품의 무게가 [eqn: 164`]보다 작을 경우 불량품으로 판정한다. 하루에 [eqn: 2500`]개의 신제품을 생산할 때, 불량품의 개수가 [eqn: 64`]개 이하일 확률을 <표준정규분포표>를 이용하여 구한 값은 ?

⑤

신제품의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, 불량률을 구하면

[eqn: {rm P}(X<=164)= {rm P} LEFT ( Z<= 164-180 over 8 RIGHT )=0.02]

신제품 중 불량품의 개수를 확률변수 [eqn: Y]라 할 때,

[eqn: Y∼{rmB`left(2500,`` { 1} over { 50}right)]이고 [eqn: n]이 충분히 크므로

[eqn: Y∼{rmN`left(50,``7^2 right)]

[eqn: {rm P}(Y<=64)= {rm P} LEFT ( Z<= 64-50 over 7 RIGHT )=0.98]

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

<표준정규분포표>
[eqn: z]	[eqn: {rm P} (0<=Z<=z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

① [eqn: 0.77]	② [eqn: 0.84]	③ [eqn: 0.91]	④ [eqn: 0.93]	⑤ [eqn: 0.98]

[eqn: \N`(m, ``sigma^{2}` )]을 따르는 모집단에서 크기가 24인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 의 평균은 다음 자료 5개의 평균과 같고, 표본평균 의 분산은 이 자료의 분산과 같다.

모집단의 평균 [eqn: m`]과 표준편차 [eqn: sigma`]의 합 [eqn: m+sigma``]의 값을 구하시오.

23

8, 9, 11, 12, 15의 평균은 [eqn: {55_`} over 5 `=`11]

분산은 [eqn: {3^2 + 2^2 + 0^2 +1^2 + 4^2 }_` over 5 `=` 6]

[eqn: THEREFORE ~m`=`11 , ~left({a} over {root {24}}^` right)^2 `=`6, ~ sigma`=`12]

[eqn: THEREFORE ~m+sigma `=` 23]

[4점][2007년 9월]

[eqn: 8],    [eqn: 9],    [eqn: 11],    [eqn: 12],    [eqn: 15]

[eqn: z]	[eqn: \P`(0`≦`Z ``≦` z)]
[eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0] [eqn: 2.5]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4938]

어느 공장에서 생산되는 건전지의 수명은 평균 [eqn: m`]시간, 표준편차 [eqn: 3]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 건전지 중 크기가 [eqn: n `]인 표본을 임의추출하여 건전지의 수명에 대한 표본평균을 라 하자.

[eqn: \P`( m`-0.5 ` ≦`][eqn: ≦ m`+0.5)=]0.8664

를 만족시키는 표본의 크기 [eqn: n `]의 값을 위의 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

③

[eqn: \E(bar X^` )`=`m], [eqn: sigma `(bar X^` )`=`3 over { SQRT { n`} }^`]이므로

확률변수 [eqn: bar X^`]는 정규분포 [eqn: \N LEFT ( m,`` LEFT ( 3 over { SQRT { n} }^` RIGHT ) ^2` RIGHT )]을 따른다.

[eqn: \P(m-0.5`≦`bar X^` `≦`m+0.5)]

[eqn: =` \P(|bar X^` -m`|`≦`0.5)]

[eqn: =` \P LEFT ( |`Z``|`≦` {SQRT { n}}_` over 6 RIGHT )] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~ {|bar X^` -m`|}_` over {3 over { SQRT { n} }^`}`≦`0.5 over{3 over { SQRT { n} }^`} RIGHT )]

[eqn: \P LEFT ( |`Z``|`≦` {SQRT { n}}_` over 6 RIGHT ) `=`0.8664]

[eqn: \P LEFT ( 0`≦`Z`≦` {SQRT { n}}_` over 6 RIGHT ) `=`0.4332]

[eqn: {SQRT { n}}_` over 6 `=`1.5],   [eqn: SQRT { n}`=`9]

[eqn: THEREFORE ~ n`=`81]

[3점][2007년 9월]

① [eqn: 49]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 81]	④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 121]

어느 회사에서는 두 종류의 막대 모양 과자 [eqn: \A],[eqn: \B]를 생산하고 있다. 과자 [eqn: \A]의 길이의 분포는 평균 [eqn: m`], 표준편차 [eqn: σ_1]인 정규분고, 과자 [eqn: \B]의 길이의 분포는 평균 [eqn: m+25], 표준편차 [eqn: σ_2]인 정규분포이다.  과자 [eqn: \A]의 길이가 [eqn: m +10] 이상일 확률과 과자 [eqn: \B]의 길이가 [eqn: m +10] 이하일 확률이 같을 때, [eqn: {σ_2_`} over {σ_1`}]의 값은?

①

막대모양 과자 [eqn: \A,`` \B]의 길이를 [eqn: X,`` Y`]라 하면

[eqn: X`]의 분포는 정규분포 [eqn: \N(m,`` sigma_1 ^{2}`)]

[eqn: Y`]의 분포는 정규분포 [eqn: \N(m+25,`` sigma_2 ^{2}`)]

[eqn: \P(X`≧`m+10)`=` \P LEFT ( Z`≧`{m+10-m}over sigma _1 RIGHT )][eqn: =` \P LEFT(Z`≧`10 over sigma _1 RIGHT)]

[eqn: \P(Y`≦`m+10)`=` \P LEFT ( Z`≦`{m+10-(m+25)}over sigma _2 RIGHT )][eqn: =` \P LEFT(Z`≦`- 15 over sigma _2 RIGHT)]

[eqn: \P(X`≧`m+10)`=` \P LEFT ( Y`≦`m+10 )]이므로  [eqn: 10 over sigma _1 `=`15 over sigma _2]

[eqn: THEREFORE ~ { sigma _2} over { sigma _1} `=`15 over 10 `=`3 over 2]

[4점][2007년 9월]

① [eqn: {3_`} over {2`}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5_`} over {2`}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7_`} over {2`}]

어느 학교의 체육대회에서 학급 대항 멀리뛰기 시합을 하는데, 각 학급에서 임의추출한 학생 [eqn: 4]명의 멀리뛰기 기록에 대한 표본평균 가 상수 [eqn: L]보다 크면 이 학급은 예선을 통과한 것으로 한다. 어느 학급 학생들의 멀리뛰기 기록은

[eqn: z]	[eqn: \P(0 `≦` Z ``≦` z)]
1.07 1.16 1.18 1.27	0.3577 0.3770 0.3810 0.3980

평균  [eqn: 196.8], 표준편차 [eqn: 10]인 정규분포를 따른다고 한다.

이 학급이 예선을 통과할 확률이 [eqn: 0.8770]일 때, 상수 [eqn: L]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
(단, 멀리뛰기 기록의 단위는 cm이다.)

②

[eqn: bar X^`]의 분포는 평균 196.8, 표준편차 [eqn: {10} over {root {4}}^` `=`5]

[eqn: \P(X`≧`L) `=` 0.8770 `=` 0.5+0.3770]

[eqn: =` \P(Z`≧`-1.16)]이므로

[eqn: {L-196.8}over 5 `=` -1.16]

[eqn: THEREFORE ~ L`=`196.8-5.8`=`191]

[4점][2007년 9월]

① [eqn: 190]	② [eqn: 191]	③ [eqn: 192]	④ [eqn: 193]	⑤ [eqn: 194]

과목별 석차 등급은 석차백분율에 따라 [eqn: 1]등급부터 [eqn: 9]등급까지 부여되고 등급별 석차백분율은 다음과 같다.

등급	석차백분율
[eqn: 1]등급	[eqn: 4]%이하
[eqn: 2]등급	[eqn: 4]%초과 - [eqn: 11]%이하
[eqn: 3]등급	[eqn: 11]%초과 - [eqn: 23]%이하
[eqn: 4]등급	[eqn: 23]%초과 - [eqn: 40]%이하
[eqn: 5]등급	[eqn: 40]%초과 - [eqn: 60]%이하
[eqn: 6]등급	[eqn: 60]%초과 - [eqn: 77]%이하
[eqn: 7]등급	[eqn: 77]%초과 - [eqn: 89]%이하
[eqn: 8]등급	[eqn: 89]%초과 - [eqn: 96]%이하
[eqn: 9]등급	[eqn: 96]%초과

[eqn: z]	[eqn: rm P it (0 <= Z <= z)]
[eqn: 0.28]	[eqn: 0.11]
[eqn: 0.61]	[eqn: 0.23]
[eqn: 0.74]	[eqn: 0.27]
[eqn: 1.23]	[eqn: 0.39]

어느 고등학교 [eqn: 3]학년 학생들의 수학 성적이 정규분포 [eqn: rm N(60.2,``20 ^{2} )``]을 따를 때, 이 학교 학생이 수학 과목에서 [eqn: 3]등급을 받기 위한 최소 점수를 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 동점자는 없다.)

②

학생의 점수를 [eqn: X]라 하자.

[eqn: 0.11<0.5-{\P}(0<=Z<=z)<=0.23]

[eqn: 0.27<={\P}(0<=Z<=z)<0.39]

[eqn: 0.74<=z= X-60.2 over 20 <1.23]     [eqn: THEREFORE] [eqn: 75<=X<84.8]

따라서 구하는 최소점수는 [eqn: 75]점이다.

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 73]점	② [eqn: 75]점	③ [eqn: 79]점	④ [eqn: 82]점	⑤ [eqn: 85]점

정규분포 [eqn: \ N(100,`` sigma^2 )``]을 따르는 모집단에서 크기 [eqn: n``]인 표본을 임의로 추출할 때, 표본평균 [eqn: bar {X```}`]와 모평균의 차가 [eqn: 10] 이하일 확률을 [eqn: {\P}(n,``sigma)``]라 하자. 이때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

②

확률변수 [eqn: bar {X ```}]는 정규분포 [eqn: {\N} left( 100, {left( sigma over rootn right)^2 }right)``]을 따르므로

[eqn: {\P}(n,~sigma)][eqn: ={\P}(`|`bar{ X```} -100``|<=10) ``][eqn: ={\ P} left( left|`Z`` right| <= {10rootn} over sigma right) ``]

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

[4점][2007년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: {\P}(4,``3) < {\P}(4,``5 )] ㄴ. [eqn: {\P}(3,``4) < {\P}(5,``4 )] ㄷ. [eqn: {\P}(3,``3) < {\P}(5,``5 )]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[eqn: z`]	[eqn: {\P}`(0` <= Z``` <= `z)`]
[eqn: 1.0] [eqn: 2.0] [eqn: 3.0]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4987]

어느 고등학교 [eqn: 3]학년 학생들의 한 달 동안 참고서 구입비용을 조사하였다. 그 결과 구입비용은 평균 [eqn: 6]만원, 표준편차 [eqn: 2]만원인 정규분포를 따른다. 임의로 한 학생을 선택하였을 때, 이 학생이 한 달 동안 참고서 구입비용으로 [eqn: 4]만원 이상 지출 할 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

④

[eqn: P(X >= 4)][eqn: =P(Z >= -1)][eqn: =0.5+0.3413] [eqn: =0.8413]

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 0.1587]	② [eqn: 0.3413]	③ [eqn: 0.6826]

④ [eqn: 0.8413]	⑤ [eqn: 0.9987]

동전을 [eqn: n]번 던져 앞면이 나오는 횟수를 [eqn: X`]라 하자. 충분히 큰 [eqn: n`]에 대하여, [eqn: {\P}left(left|X- {n} over {2}right | <= {21} over {2} `right)``>=``0.954]를 만족하는 [eqn: n`]의 최대값을 구하시오. (단, [eqn: {\P}(0<=Z<=2)][eqn: =0.477`]이다.)

110

[eqn: X`]는 [eqn: B(n,`` { 1} over {2 })]에 따른다. [eqn: n`]이 충분히 크기 때문에

[eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N``left( { n} over {2 },``left( { sqrt { n} } over {2 }right) ^{ 2} }``right )`]에 따른다.

[eqn: |X- {n} over {2} | <= {21} over {2} `],

[eqn: { n} over {2 }- { 21} over {2 }<=X<={ n} over {2 }+{ 21} over {2 }]

[eqn: - {21} over {sqrt {n}} <= {X- {n} over {2}} over {{sqrt {n}} over {2}} <= {21} over {sqrt {n}}]

[eqn: THEREFORE`` - {21} over {sqrt {n}} <= z<= {21} over {sqrt {n}}][eqn: (BECAUSEZ`]는 표준정규분포 [eqn: N`(0,``1 ^{ 2})]에 따른다.)

[eqn: n<= { 441} over { 4} = 110.25]

[4점][2007년 10월]

작년 H기업 직원의 임금 [eqn: X]는 최저 [eqn: 80]에서 최고 [eqn: 400]이고, [eqn: {\N}(200, ```50^{ 2})]인 정규분포를 따른다. 이 기업은 작년 말 수출호조와 높은 부가가치 창출로 많은 이윤을 얻었다. 올해 직원의 임금인상에 대한 노사 간의 협의 중 [eqn: Y= { 3} over { 2}X-50] 인 식이 포함된 새로운 임금교섭안이 결정된다고 가정할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: {\P}(0≦Z≦2)=0.477]이고, 단위는 만원이다.)

③

ㄱ. [eqn: X]～[eqn: N(200, ``50 ^{ 2})] 을 따른다.

[eqn: E(Y)= { 3} over { 2}E(X) -50] ,

[eqn: σ(Y)= LEFT ( { 3} over { 2} RIGHT )σ(X)][eqn: = { 3} over { 2}×50=75],

[eqn: Y]～[eqn: `N(250, ``75 ^{ 2})] 을 따른다.

올해의 평균임금은 [eqn: 250]만원이다.(참)

ㄴ. [eqn: Z= {Y-250 } over {75 }=2](올해 상위 [eqn: 2.3%])

∴[eqn: Y=400](거짓)

ㄷ. [eqn: Y= { 3} over {2 }X-50≦X] 인 [eqn: X]를 구하면

[eqn: X]가 [eqn: 100]만원 이하일 때는 올해의 임금 [eqn: Y]값은 작년과 같거나 적어짐을 알 수 있다.(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[3점][2007년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. 올해의 평균임금은 [eqn: 250]으로 오른다. ㄴ. 상위 [eqn: 2.3%]인 직원의 올해 임금은 [eqn: 380]이다. ㄷ. 올해 임금이 전혀 오르지 않거나 삭감된 사람도 있다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z`]	[eqn: \P`(`0 <= itZ <= itz)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

확률변수 [eqn: X`]는 확률밀수함수
[eqn: f(x)= {1} over {sqrt {2 pi }} e ^{- {(x-3) ^{2}} over {2}} `]
인 정규분포를 따른다고 할 때, 확률 [eqn: \P`(2<=itX<=5)`]를 구한 것은?

③

[eqn: X`]는 [eqn: N(3,``1 ^{ 2})]에 따른다.

[eqn: P(2<=X<=5)][eqn: =P(2-3<=Z<=5-3)]

[eqn: =P(-1<=Z<=2)][eqn: =0.3413+0.4772][eqn: =0.8185]

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 0.6826]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8185]

④ [eqn: 0.8884]	⑤ [eqn: 0.9370]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0`≦Z``≦z`)]
[eqn: 0.5] [eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0]	[eqn: 0.1915] [eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4772]

어느 공장에서 만드는 제품 [eqn: rmA`]의 무게는 평균 [eqn: 120`]g, 표준편차 [eqn: 10`]g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 만드는 제품 [eqn: rmA`] 중에서 임의추출한 [eqn: 1]개의 무게가 [eqn: 130``]g 이상일 확률을 [eqn: p_1], 임의추출한 [eqn: 4]개의 무게의 평균이 [eqn: 130``]g 이상일 확률을 [eqn: p_2]라 할 때, [eqn: p_1 -`p_2]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

④

제품[eqn: A`]의 무게를 확률변수[eqn: X`]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}`(120,``10^2 `)`]을 따르므로

[eqn: p_1 =][eqn: {rmP}`(`X`≧`130)``][eqn: =`{rmP}left(Z`≧`130-120 over 10 right)]

[eqn: =`{rmP}(Z`≧1)`=`0.5-{rmP}(0<=Z`<=1)`][eqn: =0.1587]

한편, 크기가 [eqn: 4]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {rmN}`(120,``5^2 `)`]을 따르므로

[eqn: p_2 =][eqn: {rmP}`(`bar {X``}≧`130)``][eqn: =`{rmP}left(Z`≧`130-120 over 5 right)]

[eqn: =`{rmP}(Z`≧2)`=`0.5-{rmP}(0<=Z`<=2)`]
[eqn: =0.0228]

∴ [eqn: p_1 - p_2][eqn: =0.1359]

[4점][2008년 3월]

① [eqn: -0.1498]	② [eqn: -0.1359]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 0.1359]	⑤ [eqn: 0.1498]

정규분포 [eqn: rm N it (m,```` sigma ^{2} ) _{}]을 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여  [eqn: f(100-x)=f(100+x) _{{} _{{} _{}}}]를 만족한다. [eqn: rm P it (m <= X <= m+8)=0.4772 _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{}}]일 때, 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: rm P it (94 <= X <= 110)]을 구하면?

②

[eqn: f(100-x)=f(100+x)]이므로 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=100]에 대하여 대칭이다. [eqn: THEREFORE ``m=100]

[eqn: rm P it (100 <= X <= 108)= rm P it (0 <= Z <= 2)=0.4772] [eqn: {108-100} over {sigma } =2]  [eqn: THEREFORE `` sigma =4]

[eqn: rm P it (94 <= X <= 110)= rm P it LEFT ( -1.5 <= Z <= 2.5 RIGHT ) =0.9270]

[4점][2008년 4월]

<표준정규분포표>
[eqn: z]	[eqn: rm P it (0 <= Z <= z)]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

① [eqn: 0.9104]	② [eqn: 0.9270]	③ [eqn: 0.9710]

④ [eqn: 0.9725]	⑤ [eqn: 0.9759]

정규분포 [eqn: N ( m,~ 4 )]를 따르는 모집단에서 크기 [eqn: n]인 표본을 임의 추출하여 조사한 결과 표본평균이 [eqn: barX] 이었다. 모평균 [eqn: m]을 [eqn: 95%]의 신뢰도로 추정한 신뢰구간이 [eqn: 9.608 <= m<= 10.392]일 때, [eqn: n+ bar X] 의 값을 구하시오. (단, [eqn: P(0 <= Z <= 1.96)=0.475)]

110

[eqn: 95%] 신뢰도로 모평균을 추정하면 신뢰구간은

[eqn: barX - 1.96 2 over sqrtn <= m <= barX + 1.96 2 over sqrtn] 이므로 신뢰구간의 길이는

[eqn: 2 times 1.96 2 over sqrtn = 10.392- 9.608 =0.784]
[eqn: THEREFORE n = 100]

[eqn: barX - 1.96 2 over sqrtn + barX + 1.96 2 over sqrtn = 20]
[eqn: THEREFORE bar X = 10 ~~ n+ barX = 110]

[3점][2008년 5월]

어느 공장에서 생산되는 전지의 수명이 평균 [eqn: 200]시간, 표준편차 [eqn: 5`]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 전지 중에서 [eqn: 100`]개를 임의 추출한 표본의 평균 수명이 [eqn: 201]시간 이상일 확률을 주어진 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {\N}(200,~5 ^{2} )]을 따르고 확률변수 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {\N LEFT ( 200,` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: {rm P} LEFT ( bar{X} >= 201 RIGHT ) ={\P} LEFT ( Z >= 2 RIGHT )][eqn: =0.5-0.4772=0.0228]

[[eqn: 3`]점][2008년 7월]

[eqn: z]	[eqn: rm P it (0 <= Z <= z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

① [eqn: 0.0062]	② [eqn: 0.0228]	③ [eqn: 0.0668]
④ [eqn: 0.1587]	⑤ [eqn: 0.1990]

이산확률변수 [eqn: X`]에 대한 확률질량함수가

[eqn: {rm P}`(X=n)`= `_{100}{rm C}_{n}``left({1}over{2}right)^{100}`] [eqn: LEFT ( n=0`,```1`,```2`,```3`,``` CDOTS``` ,```100 RIGHT ) `]

으로 주어질 때, 함수 [eqn: f``(x)`]를 다음과 같이 정의하자.

[eqn: f``(x)`= rm P it `(X <= 5x+50`)`]([eqn: -10 <= x <= 10`])

이 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: {rm B} left(100`,~{1}over{2}`right)`]을 따르고

[eqn: f(x)= rm P it (X <= 5x+50)= rm P it (X <= [5x+50])][eqn: = sum _{n=0} ^{[5x+50]} `` _{100}{ rm C} _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}]

(단, [eqn: [5x+50]]은 [eqn: 5x+50]을 넘지 않은 최대정수)

ㄱ. [eqn: V` LEFT ( X RIGHT ) =100 {1} over {2} LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) =25]   (참)

ㄴ. [eqn: x_{1}≦x_{2}`]이면 [eqn: [5x _{1} +50] <= [5x _{2} +50]]이므로

[eqn: f(x _{1} )= sum _{n=0} ^{[5x _{1} +50]} ` _{100} {rmC } _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}][eqn: <= sum _{n=0} ^{[5x _{2} +50]} ` _{100} {rm C} _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}][eqn: =`f(x _{2} )]  (참)

ㄷ. [eqn: -10<=x<=10]인 임의의 [eqn: x]에 대하여,

[eqn: f(-x)={rmP} it (X <= -5x+50)][eqn: = sum _{n=0} ^{[-5x+50]} ` _{100} {rm C} _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}][eqn: >=sum _{n=[5x+50]+1} ^{100} ` _{100} {rmC } _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}]

[eqn: f(x)+f(-x)>=][eqn: sum _{n=0} ^{[5x+50]} ` _{100} {rm C} _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}][eqn: +][eqn: sum _{n=[5x+50]+1} ^{100} ` _{100} {rm C} _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}][eqn: =1]  (거짓)

예를 들어

(ⅰ) [eqn: x=1]인 경우

[eqn: f(-1)= rm P it (X <= 45)][eqn: = sum _{n=0} ^{45} ` _{100}{ rm C} _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}] [eqn: = sum _{n=55} ^{100} ` _{100}{ rm C} it _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}]

[eqn: f(1)+f(-1)] [eqn: = sum _{n=0} ^{55} ` _{100} {rm C} it rm _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}][eqn: + sum _{n=55} ^{100} ` _{100} rm C it rm _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100} >1]

(ⅱ) [eqn: x=0.9]인 경우

[eqn: f(-0.9)= rm P it (X <= 45)][eqn: = sum _{n=0} ^{45} ` _{100}{ rm C} _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}] [eqn: = sum _{n=55} ^{100} ` _{100} {rm C} it rm _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}]

[eqn: f(0.9)+f(-0.9)] [eqn: = sum _{n=0} ^{54} ` _{100} rm C it rm _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100}][eqn: + sum _{n=55} ^{100} ` _{100} rm C it rm _{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100} =1]

[[eqn: 4`]점][2008년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. 확률변수 [eqn: X`]의 분산은 [eqn: 25`]이다. ㄴ. [eqn: x_{1}<=x_{2}`]이면 [eqn: f``(x _{1} ) <=f``(x _{2} )`]이다. ㄷ. [eqn: f``(-x)+f``(x)<1`]을 만족하는 [eqn: x`]가 적어도 하나 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어떤 모집단의 분포가 정규분포 [eqn: \N( m, ``` 10^2 )]을 따르고, 이 정규분포의 확률밀도함수 [eqn: f`(x)]의 그래프와 구간별 확률은 아래와 같다.

확률밀도함수 [eqn: f`(x)]는 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f`(x)=f`(100 - x)]

를 만족한다. 이 모집단에서 크기 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때의 표본평균을 라 하자. [eqn: \P( 44`≦][eqn: ≦`48 )]의 값은?

②

확률밀도함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=f(100-x)]이므로 [eqn: f(x)]는  [eqn: x=50]에 대하여 대칭이다.

따라서 평균 [eqn: m=50]이고 표본평균 [eqn: barX]는 평균이 [eqn: 50]이고 표준편차가[eqn: { 10} over {root25} =2]인 정규분포를 따른다.

[eqn: ∴```P(44``<=` barX`<=` 48 )]

[eqn: = P LEFT ( { 44-50} over {2 }``<=` Z`<=` { 48-50} over {2 }` RIGHT )]

[eqn: = P` LEFT ( -3``<=` Z`<=` -1` RIGHT )]

한편 주어진 그래프에서 구간별 확률은

[eqn: P(-1<=Z<=1) =0.6826]

[eqn: P(-3<=Z<=3) =0.9974]  이므로

[eqn: P` LEFT ( -3``<=` Z`<=` -1` RIGHT )]

[eqn: =P` LEFT ( 0``<=` Z`<=` 3` RIGHT ) - P` LEFT ( 0``<=` Z`<=` 1` RIGHT )]

[eqn: = { 0.9974} over {2 } - { 0.6826} over {2 } =0.1574]

[4점][2008년 9월]

① [eqn: 0.1359]	② [eqn: 0.1574]	③ [eqn: 0.1965]

④ [eqn: 0.2350]	⑤ [eqn: 0.2718]

모집단 [eqn: A`]는 정규분포 [eqn: \N`( m_1 , ``sigma ^2 )]을 따르고, 모집단 [eqn: B`]는 정규분포 [eqn: \N `left(m _2 , ``LEFT ( {sigma _`} over {2} RIGHT ) ^2 `right)]을 따른다. 모집단 [eqn: A`]에서	크기 [eqn: n_1], 모집단 [eqn: B`]에서 크기 [eqn: n_2]인 표본을 각각 임의추출할 때의 표본평균을 각각 [eqn: bar X_A`], [eqn: bar X_B`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: n_1], [eqn: n_2]는 [eqn: 1]보다 큰 자연수이다.)

③

ㄱ. [eqn: {rm E} (bar X_A )= m_1 ,~{rm E} (bar X_B )= m_2]이므로

[eqn: m_1 = m_2]이면 [eqn: {rm E} (bar X_A )={rm E} (bar X_B )]이다. (참)

ㄴ. 표본평균 [eqn: bar X_B]의 표준편차는 [eqn: {sigma over 2 } over {root n_2 }] 즉, [eqn: sigma over {2root n_2 }][eqn: left( != sigma over 2 right)]이다.

따라서 [eqn: bar X_B]는 정규분포 [eqn: {rm N} left( m_2 ,~ left( sigma over {2rootn_2 } right)^2 right)]을 따른다. (거짓)

ㄷ. [eqn: m_1]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간의 폭은

[eqn: b-a = 2× 1.96× sigma over root{n_1 }]

이고, [eqn: m_2]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간의 폭은

[eqn: d-c = 2× 1.96× sigma over {2root{n_2 }}]

따라서 [eqn: n_1 = 4n_2]이면

[eqn: b-a = d-c]

이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점][2008년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: m_1 = m_2]이면 [eqn: \E`( bar X_A )= \E`( bar X_B` )]이다. ㄴ. 표본평균 [eqn: bar X_B `]는 정규분포 [eqn: \N `left( m _2 , ``` LEFT ( {sigma _`} over {2} RIGHT ) ^2 right)]을 따른다. ㄷ. [eqn: n_1 =4n_2]일 때, [eqn: m_1]에 대한 신뢰도 [eqn: 95]%의 신뢰구간이 [eqn: [a,``b]]이고, [eqn: m_2]에 대한 신뢰도 [eqn: 95]%의 신뢰구간이 [eqn: [c,``d `]]이면, [eqn: b-a = d-c`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z]	[eqn: {rmP}`(0 <= Z <= z)]
[eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0] [eqn: 2.5]	[eqn: 0.34] [eqn: 0.43] [eqn: 0.48] [eqn: 0.49]

어떤 특산품 과일을 재배하는 과수원에서는 해마다 수확량의 일부를 해외로 수출한다. 이 과수원에서 올해 수확한 과일  [eqn: 30000`]개의 무게는 평균 [eqn: 400`]g, 표준편차 [eqn: 20`]g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 [eqn: 30000`]개의 과일 중 무게가 [eqn: 400`]g 이상이고 [eqn: 440`]g 이하인 과일을 선별하여 수출하였다. 이 과수원에서 올해 수출한 과일의 개수를 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

④

[eqn: {RMP}(400 <= X <= 440)={RMP}(0 <= Z <= 2)=0.48]이므로 수출한 과일은 [eqn: 30000 TIMES 0.48=14400](개)이다.

[3점][2008년 10월]

① [eqn: 10200]	② [eqn: 11600]	③ [eqn: 12900]

④ [eqn: 14400]	⑤ [eqn: 14700]

[eqn: z]	[eqn: {rm P} (`0<=Z<=z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

어느 도시의 학생 [eqn: 2500`]명을 대상으로 조사한 통학 시간은 정규분포를 따르고 평균이 [eqn: 25`]분, 표준편차가 [eqn: 5`]분이라고 한다. 이 [eqn: 2500 `]명의 학생 중 임의로 택한 한 학생의 통학 시간이 [eqn: 35`]분 이상일 확률은 [eqn: p_1]이다. 또, 이 [eqn: 2500`]명의 학생 중에서 통학 시간이 [eqn: 35`]분 이상인 학생이 [eqn: n`]명 이상일 확률은 [eqn: p_2`]이다. [eqn: p_1 =p_2 `]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, 오른쪽 표준정규분포표를 이용한다.)

64

한 학생의 통학 시간을 확률변수 [eqn: X]라 하면

[eqn: p_1 =][eqn: {rm P}(X>=35)= {rm P} LEFT ( Z>= 35-25over 5 RIGHT )][eqn: =0.02]

따라서 [eqn: 2500]명 중 통학 시간이 [eqn: 35]분 이상인 학생의 수를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rmB`left(2500,`` 0.02right)}]를 따르므로 근사적으로 정규분포 [eqn: rmN`left(50,``7^2 right)}]을 따른다.

이때, [eqn: p_2 =][eqn: {rm P}(Y>=n)= {rm P} LEFT ( Z>= n-50 over 7 RIGHT )= rm P (it Z>= 2 )]이어야 하므로 [eqn: n-50 over 7 = 2]이다.

∴ [eqn: n=64]

[4점][2008년 10월]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it0 <= Z <=z)]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 3]	[eqn: 0.4987]

한 개의 동전을 [eqn: 400`]번 던질 때, 앞면이 나온 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. [eqn: {rm P}(X <= k)=0.9772]를 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

[eqn: 220``]

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( 400,```` {1} over {2} RIGHT )]을 따르고, 시행의 횟수가 충분히 크므로 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 200,````10 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm P` it `(X <= k)=` rm `P` it ` LEFT ( Z <= {k-200} over {10} RIGHT ) =0.9772]이고

[eqn: rm P` it `(Z <= 2)=` rm `P` it ` LEFT ( Z <= 0 RIGHT ) + rm P(0 <= Z <= 2)]

[eqn: =0.5+0.4772=0.9772]

이므로 [eqn: {k-200} over {10} =2]

∴ [eqn: k=220]

[3점][2009년 3월]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it0 <= Z <=z)]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 3]	[eqn: 0.4987]

그림은 정규분포 [eqn: rm N(40`,```10 ^{2} )], [eqn: rm N(50`,```5 ^{2} )`]을 따르는 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y`]의 정규분포곡선을 나타낸 것이다.그림과 같이 [eqn: 40 <= x <= 50`]인 범위에서 두 곡선과 직선 [eqn: x=40`]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1} `], 두 곡선과 직선 [eqn: x=50`]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 할 때, [eqn: S _{2} -S _{1} `]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

그림에서 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 하자.

[eqn: S_1 `=`rmP(it40 <=X <=50)-S]

[eqn: S _{2} `=` rm P( it 40<=Y <= 50)-S][eqn: =`rmP(it50 <=Y <=60)-S]

∴ [eqn: S_2 -S_1 `][eqn: =`rmP(it50 <=Y <=60)-rmP(it40 <=X<=50)]

[eqn: =`rmP left(it0 <=Z<= 60-50 over 5 right)`-``rmP left(it0 <=Z <= 50-40 over 10 right)`]

[eqn: =`rmP left(it0 <=Z <= 2 right)`-`rmP left(it0 <=Z <= 1 right)]

[eqn: =`0.4772-0.3413`=`0.1359]

[3점][2009년 3월]

① [eqn: 0.1248]	② [eqn: 0.1359]	③ [eqn: 0.1575]

④ [eqn: 0.1684]	⑤ [eqn: 0.1839]

연속확률변수 [eqn: X``]는 평균이 [eqn: 20], 표준편차가 [eqn: 4]인 정규분포를 따른다. 함수 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = rm P LEFT ( it k-8 LEQ X LEQ k RIGHT )]로 정의할 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: f(12)][eqn: = rm P it (4 LEQit X LEQ 12)]

[eqn: `= rm P(28 LEQ it X LEQ 36)=f(36)] (참)

ㄴ. [eqn: f(k)]가 최대일 때,

[eqn: {(k-8)+k} over {2} =20]이므로 [eqn: k=24]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f(k)]는 [eqn: k=24]에 대하여 대칭이다.

[eqn: f(k)=f(24-k)]는 [eqn: k=12]에 대하여 대칭임을 의미한다. (거짓)

[4점][2009년 4월]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

[보 기]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 12 RIGHT ) = f(36)]

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]는 [eqn: k=24]일 때 최댓값을 갖는다.

ㄷ. 임의의 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =f LEFT ( 24-k RIGHT )]이다.

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 회사 직원들이 일주일 동안 운동하는 시간은 평균 [eqn: 65]분, 표준편차 [eqn: 15]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사 직원 중 임의추출한 [eqn: 25]명이 일주일동안 운동하는 시간의 평균이 [eqn: 68]분 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

③

운동시간을 [eqn: x]라고 하면 [eqn: x]는 [eqn: N` LEFT ( 65,~15 ^{2} RIGHT )]인 정규분포를 따른다.
표본의 크기가 [eqn: 25]인 표본평균 [eqn: barX]의 정규분포를 [eqn: N` LEFT ( 65,~3 ^{2} RIGHT )] 이므로
[eqn: P` LEFT ( barX``>=`68 RIGHT ) =P` LEFT ( Z>=1 RIGHT ) =0.5-P` LEFT ( 0<=Z<=1 RIGHT )][eqn: `=0.5-0.3413][eqn: =0.1587]

[3점][2009년 6월]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]
④ [eqn: 0.3085]	⑤ [eqn: 0.4332]

확률변수 [eqn: X,~Y`]의 평균이 각각 [eqn: m,~2m]([eqn: m>0])이고 표준편차가 각각 [eqn: 2 sigma ,~ sigma]인 정규분포를 따를 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

확률변수 [eqn: X,~Y]는 각각 정규분포[eqn: N it (m,``(2 sigma ) ^{2} )],[eqn: rm ```N it (2m,`` sigma ^{2} )]을 따른다.

ㄱ. [eqn: {rmP}(X ≦0)={rmP}left(Z≦- { m} over { 2 sigma }right)]

[eqn: {rmP}left(Y≧ { 5} over { 2} m right)={rmP}left(Z≧ { m} over { 2 sigma }right)]  (참)

ㄴ. [eqn: {rmP}(m ≦X≦2m) ={rmP}left(0≦Z≦ { m} over {2 sigma }right)]

[eqn: { 1} over {2 } {rmP}(2m ≦Y≦3m) = { 1} over {2 } {rmP}left(0≦Z≦ { m} over { sigma }right)]

[eqn: {rmP}(m ≦X≦2m) != { 1} over { 2}{rmP}(2m≦Y≦ 3m)]

(거짓)

ㄷ. [eqn: {rmP} left(Z >= {a-m} over {2 sigma }right)+{rmP}left(Z≦ { b-2m} over { sigma }right )=1]이 되려면 [eqn: {a-m} over {2 sigma }={ b-2m} over { sigma }] 이다.

[eqn: THEREFORE~b= { a+3m} over { 2}]  (참)

[4점][2009년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: rm P it (X <= 0)= rm P it LEFT ( Y >= {5} over {2} m RIGHT )] ㄴ. [eqn: rm P it (m <= X <= 2m)= {1} over {2} rm P it LEFT ( 2m <= Y <= 3m RIGHT )] ㄷ. 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: rm P it (X >= a)+ rm P it (Y <= b)=1]일 때, [eqn: b= {a+3m} over {2}]

① ㄱ 　	② ㄴ 　	③ ㄱ, ㄷ   　	④ ㄴ, ㄷ 　	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z]	[eqn: P(0<= Z<= z )]
1.6	0.4452
1.8	0.4641
2.0	0.4772
2.2	0.4861

어느 회사에서는 생산되는 제품을 1000개씩 상자에 넣어 판매한다. 이 때, 상자에서 임의로 추출한 16개 제품의 무게의 표본평균이 12.7이상이면 그 상자를 정상 판매하고, 12.7미만이면 할인 판매한다.

[eqn: A]상자에 들어 있는 제품의 무게는 평균 [eqn: 16], 표준편차 [eqn: 6]인 정규분포를 따르고, [eqn: B]상자에 있는 제품의 무게는 평균 [eqn: 10], 표준편차 [eqn: 6]인 정규분포를 따른다고 할 때, [eqn: A]상자가 할인 판매될 확률이 [eqn: p], [eqn: B]상자가 정상 판매될 확률이 [eqn: q]이다. [eqn: p+q]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은 ? (단, 무게의 단위는 [eqn: g]이다.)

②

[eqn: A]상자는 정규분포 [eqn: N(16, 6^2 )]을 따르고 표본의 크기 [eqn: 16]인 표본평균의 분포는 [eqn: N(16, LEFT ( 3over2 RIGHT )^2 )]이므로 [eqn: A]상자가 할인이 되려면

[eqn: P( bar{X} <12.7)=P( {{bar{X} -16} over {3}} over {2} < {{12.7-16} over {3}} over {2} )]

[eqn: P(barz < -2.2)=0.5-P(0<=z<=2.2)=0.5-0.4861=0.0139]

같은 방법으로 [eqn: B]상자에서 표본의 크기가 [eqn: 16]인 표본평균의 분포는 [eqn: N(10, LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} )]을 따르므로

[eqn: P( bar{X} >=12.7)=P ~left( {{bar{X} -10} over {3}} over {2} >= {{12.7-10} over {3}} over {2} right)][eqn: =P(barz >=1.8)=0.5- P(0<=z<=1.8)= 0.0359]

[eqn: therefore~ p+q=0.0498]

[4점][2009년 9월]

① 0.0367	② 0.0498	③ 0.0587

④ 0.0687	⑤ 0.0776

어느 공장에서 생산되는 농구공 무게는 평균이 [eqn: 600]g, 표준편차가 [eqn: 20]g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 농구공 [eqn: n]개를 임의추출하여 무게를 달아 보았을 때, 평균이 [eqn: 595]g이상 [eqn: 610]g이하일 확률이 [eqn: 0.8185]이다. [eqn: n]의 값은?

①

모평균 [eqn: m=600]g, 모표준편차 [eqn: sigma =20]g

임의추출한 농구공 무게의 평균 [eqn: bar{X```}]는 정규분포 [eqn: rm N it ` LEFT ( 600,~ LEFT ( {20} over {sqrt { n}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: {rmP}(595<=bar{X```}<=610)={rmP}left( -{sqrt { n} } over { 4} <=Z<={sqrt { n} } over {2}right)][eqn: =0.8185]

∴ [eqn: { sqrt { n} } over {2}=2]이므로 [eqn: n=16]

[3점][2009년 7월]

[eqn: z]	[eqn: rm P it (0 <= Z <= z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 16]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 64]

[eqn: z``]	[eqn: {\P}`(0`<=`Z``<=`z)``]
[eqn: 1.0`]	[eqn: 0.341`]
[eqn: 1.5`]	[eqn: 0.433`]
[eqn: 2.0`]	[eqn: 0.477`]
[eqn: 2.5`]	[eqn: 0.494`]

각 면에 [eqn: 1``], [eqn: 2``], [eqn: 3``], [eqn: 4``]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자 [eqn: 2``]개를 동시에 던졌을 때 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 두 눈의 수의 곱이 홀수인 사건을 [eqn: A``]라 하자. 이 시행을 [eqn: 1200``]번 하였을 때 사건 [eqn: A``]가 일어나는 횟수가 [eqn: 270``]이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 [eqn: p``]라 하자. [eqn: 1000`p``]의 값을 구하시오.

23

사건 [eqn: A]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( `1200`,`` {1} over {4} ` RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm E it (X)`=`300], [eqn: rm V it (X)`=225]

이때 시행횟수가 충분히 크므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 300`,``15 ^{2} ` RIGHT )]을 따른다.

[eqn: p=][eqn: rm P it ` LEFT ( X` <= `270 RIGHT ) `][eqn: = rm P it (Z <= -2)=0.023]

∴ [eqn: 1000p=23]

[3점][2009년 10월]

양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 [eqn: H(t)]는 평균 20, 표준편차 [eqn: t]인 정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여
[eqn: H(t) = P(X<=15)]
이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z]에 대하여
[eqn: P(0<= Z<=1)=0.3413,] [eqn: P(0<=Z<= 2 ) =0. 4772]이다.)

③

[eqn: H(t) = P( {X-20} overt <= 15-20overt )=P(z<= -5overt )]

ㄱ. [eqn: H(2.5)=P(z<= -5over2.5 )=P(z<=-2)=P(z>=2)]이므로

참이다.

ㄴ. [eqn: H(2)=P(z <= -2.5)``]이므로 [eqn: therefore H(2)< H(2.5)] 참

ㄷ. [eqn: H(5)=P(z <= -1)``=0.5 -P( 0<=z<=1)=0.1587]

[eqn: 5 H(2)< 5 H(2.5) =5 timesP(z<=-2)] [eqn: =5 times ( 0.5- P(0<=z<=2) ) = 5 times0.0228= 0.1140] 거짓

[보 기]

ㄱ. [eqn: H(2.5)= P(Z>=2)]

ㄴ. [eqn: H(2) <H(2.5)]

ㄷ. [eqn: H(5) <5 H(2)]

[4점][2009년 9월]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 지역에서 생산되는 귤의 당도는 평균이 [eqn: m``]이고 표준편차가 [eqn: 1.5``]인 정규분포를 따른다고 한다. 표는 이 지역에서 생산된 귤 중에서 임의로 [eqn: 9``]개를 추출하여 당도를 측정한 결과를 나타낸 것이다.

당도	[eqn: 10``]	[eqn: 11``]	[eqn: 12``]	[eqn: 13``]	계
귤의 개수	[eqn: 4``]	[eqn: 2``]	[eqn: 2``]	[eqn: 1``]	[eqn: 9``]

이 결과를 이용하여 이 지역에서 생산되는 귤의 당도의 평균 [eqn: m``]을 신뢰도 [eqn: 95``]%로 추정한 신뢰구간은?

①

[eqn: 11`-`{1.96}`times`{1.5}over{root{9}}``<=`m`<=`11`+`1.96`times`{1.5}over{root{9}}``]

∴ [eqn: 10.02`<=`m`<=`11.98``]

(단, [eqn: {\P}`(0`<=`Z``<=`1.96)`=`0.475``]이고 당도의 단위는 브릭스이다.)

[3점][2009년 10월]

① [eqn: 10.02`<=`m``<=`11.98``]	② [eqn: 9.77`<=`m``<=`12.23``]	③ [eqn: 9.53`<=`m``<=`12.47``]	④ [eqn: 9.35`<=`m``<=`12.65``]

⑤ [eqn: 9.04`<=`m``<=`12.96``]

[eqn: z`]	[eqn: rm P it `(`0 <= Z`` <= z`)]
[eqn: 0.52]	[eqn: 0.20]
[eqn: 0.67]	[eqn: 0.25]
[eqn: 0.84]	[eqn: 0.30]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.34]

모집인원이 [eqn: 200`]명인 어느 대학의 입학시험에 [eqn: 1000`]명의 수험생이 응시하였다. 수험생의 점수는 평균이 [eqn: 156`]점이고 표준편차가 [eqn: 20`]점인 정규분포를 따른다고 할 때, 합격하기 위한 최저 점수를 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

⑤

수험생의 점수를 확률변수 [eqn: X``]라 하면, [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N(156`,``20`^2 )`]을 따른다. 합격하기 위한 최저 점수를 [eqn: k`](점)이라 하면

[eqn: rm P it (X >= k)= rm P it LEFT ( Z >= {k-156} over {20} RIGHT ) = {200} over {1000} =0.2]

[eqn: {rm P}left(0<=Z <= k-156over 20 right) = 0.3]

[eqn: {k-156} over 20 = 0.84]

∴ [eqn: k = 172.8]

[3점][2010년 3월]

① [eqn: 166.4`]점	② [eqn: 168.8`]점	③ [eqn: 169.4`]점
④ [eqn: 170.8`]점	⑤ [eqn: 172.8`]점

확률변수 [eqn: X`]가 정규분포 [eqn: rm`N``(it`m`,``` sigma ^{2} `)`]을 따를 때, 실수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 [eqn: rm P it (`X<a-3)= rm P it (`X>b+2)`]가 성립한다.
[eqn: Y= {1} over {3} `X`+1`]일 때, 확률변수 [eqn: Y`]의 평균은 [eqn: 51`], 분산은 [eqn: {4} over {9} `]이다. 이 때, [eqn: a+b+ sigma `]의 값은?

⑤

확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N it ``(m`,``` sigma ^{2} `)``]을 따르고

[eqn: rm P it (`X<a-3)= rm P it (`X>b+2)``]이므로

[eqn: {(a-3)+(b+2)} over {2} =m]

[eqn: m= {a+b-1} over {2}] … ①

[eqn: Y= {1} over {3} X+1```], [eqn: {rmE`}(Y)=51``]이므로

[eqn: {rmE`}(Y)={rmE`}( {1} over {3} X+1)= {1} over {3} m+1``]

[eqn: m=150] … ②

①, ② 에 의하여 [eqn: a+b=301]

[eqn: {rmV`}(Y)=`{rmV`}( {1} over {3} X+1)= {1} over {9} {rmV`}(X)]

[eqn: {1} over {9} {rmV`}(X)= {4} over {9} `]이므로 [eqn: {rmV`}(X)=4`], [eqn: sigma =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+ sigma `=303]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 299]	② [eqn: 300]	③ [eqn: 301]	④ [eqn: 302]	⑤ [eqn: 303]

<표준정규분포표>
[eqn: z]	[eqn: rm P(0 <= it Z <= z)]
[eqn: 0.5]	0.19
[eqn: 1.0]	0.34
[eqn: 1.5]	0.43
[eqn: 2.0]	0.48
[eqn: 2.5]	0.49

어느 공장에서 생산되는 제품의 무게 [eqn: X`]는 평균이 [eqn: rm60g], 표준편차가 [eqn: rm5g]인 정규분포를 따른다고 한다. 제품의 무게가 [eqn: rm50g] 이하인 제품은 불량품으로 판정한다. 이 공장에서 생산된 제품 중에서 [eqn: 2500]개를 임의로 추출할 때, [eqn: 2500]개 무게의 평균을 [eqn: bar{X``}], 불량품의 개수를 [eqn: Y``]라고 하자. 위의 표준정규분포표를 이용하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

확률변수 [eqn: X``]가 정규분포 [eqn: rm ```N(60,```5 ^{2} )``]을 따르므로 표본평균 [eqn: bar{X``} `]는 정규분포 [eqn: LEFT . rm ```N` LEFT ( 60,``0.1 ^{2} RIGHT ) RIGHT .]을 따른다. 또한, 불량품으로 판정될 확률은

[eqn: rm P it (X <= 50)= rm P it (Z <= -2)][eqn: =0.02``]

이므로 확률변수 [eqn: Y``]는 이항분포 [eqn: rm B it (2500,```0.02)]를 따르고, 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N it (50,``7 ^{2} )]을 따른다.

ㄱ. [eqn: rm P it ( bar{X``} ` >= 60)= {1} over {2}] [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: rm P it (Y` >= 57)= rm P it (Z >= 1)=0.16]

[eqn: rm P it ( bar{X``} ` <= 59.9)= rm P it (Z <= -1)=0.16] [eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ.

[eqn: rm P( it 60-k <= X <= 60+k)= rm P it (- {k} over {5} <= Z <= {k} over {5} )]

[eqn: rm P( it 60-k <= bar{X``} <= 60+k)= rm P it (- {k} over {0.1} <= Z <= {k} over {0.1} )]

[eqn: rm P( it 60-k <= X <= 60+k)＜ {rm P}(60-k <= it bar{X``} <= 60+k)]

[eqn: THEREFORE `````]거짓

[[eqn: 4`]점][2010년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: rm P( it bar{X``} >= 60)= {1} over {2}] ㄴ. [eqn: rm P( it Y >= 57)= rm P( it bar{X``} <= 59.9)] ㄷ. 임의의 양수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: rm P( it 60-k <= X <= 60+k)> rm P( it 60-k <= bar{X``} <= 60+k)]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

분산이 [eqn: sigma^2`]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기 [eqn: n`]인 표본을 임의추출하여 모평균 [eqn: m`]을 추정한 후 신뢰구간의 길이를 구하고자 한다. 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰도 [eqn: 79.6`%`]의 신뢰구간의 길이가 [eqn: l`]이고, 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰도 [eqn: sigma`%`]의 신뢰구간의 길이는 [eqn: 2l`]이다. 이 때, [eqn: alpha`]의 값은?

④

[eqn: {rm P}`(-z le Z le z)=0.796`]인 [eqn: z`]의 값은 [eqn: 1.27`]이므로

[eqn: l= 2 TIMES 1.27 TIMES sigma over sqrt { n}`]

따라서, 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2l`]이면

[eqn: 2l =2 TIMES 2.54 TIMES sigma over sqrt { n}`]

[eqn: THEREFORE````{rm P}`(-2,54 le Z le 2.54)][eqn: = 2{rm P}`(0 le Z le 2.45)]
[eqn: = 2 TIMES 0.4945 = 0.989`]

[eqn: THEREFORE```` sigma=98.9`]

[4점][2010년 4월]

[eqn: z`]	[eqn: {rmP} LEFT ( 0 le Z le z RIGHT )`]
[eqn: 1.27`]	[eqn: 0.3980`]
[eqn: 1.69`]	[eqn: 0.4545`]
[eqn: 1.96`]	[eqn: 0.4750`]
[eqn: 2.54`]	[eqn: 0.4945`]
[eqn: 3.29`]	[eqn: 0.4995`]

① [eqn: 87.3`]	② [eqn: 90.9`]	③ [eqn: 95.0`]

④ [eqn: 98.9`]	⑤ [eqn: 99.9`]

어느 동물의 특정 자극에 대한 반응 시간은 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: 1]인 정규분포를 따른다고 한다. 반응 시간이 [eqn: 2.93] 미만일 확률이 [eqn: 0.1003]일 때, [eqn: m]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

③

반응 시간을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: N(m,1 ^{2} )]을 따른다.

따라서 [eqn: P(X<2.93)=0.1003] 이므로

[eqn: P(X<2.93)]

[eqn: =P(Z< {2.93-m} over {1} )]

[eqn: = P( Z > m- 2.93 )]

[eqn: =0.5-P(0 <= Z <= m-2.93)=0.1003]

[eqn: P(0<= Z<= m-2.93) = 0.3997]

즉, [eqn: m-2.93 = 1.28] 이므로  [eqn: m= 4.21]

[3점][2010년 9월]

① [eqn: 3.47]	② [eqn: 3.84]	③ [eqn: 4.21]	④ [eqn: 4.58]	⑤ [eqn: 4.95]

다음은 어느 모집단의 확률분포표이다.

이 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]의 표준편차는? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

①

[eqn: E(X) = -2 TIMES 1OVER 4 + 1 TIMES 1 OVER 2 = 0]

[eqn: V(X)＝E(X^2 ) - LEFT{ E(X) right}^2]

[eqn: = (-2)^2 times 1 over 4 + 1^2 times 1 over 2 = 3 over 2]

[eqn: therefore] [eqn: sigma(X ) = ROOT{3 OVER 2} = ROOT6 OVER 2]

[eqn: therefore] [eqn: sigma ( barX ) = sigma(X) over {root16} = root6 over 8]

[3점][2010년 9월]

① [eqn: {sqrt6} over {8}]	② [eqn: {sqrt6} over {6}]	③ [eqn: {sqrt6} over {4}]	④ [eqn: {sqrt6} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt6]

[eqn: z]	[eqn: rm P`(`0` <= it Z``` <= z``)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

어느 지역에서 재배되는 [eqn: 2`]년생 더덕 한 뿌리의 무게는 평균 [eqn: 40`][eqn: rm g], 표준편차 [eqn: 5`][eqn: rm g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역에서 재배되는 [eqn: 2`]년생 더덕 중에서 무게가 [eqn: 30`][eqn: rm g] 미만인 것은 상품화 하지 않고, [eqn: 30`][eqn: rm g] 이상 [eqn: 45`][eqn: rm g] 미만인 것은 일반상품으로 분류하고, [eqn: 45`][eqn: rm g] 이상인 것은 우수상품으로 분류한다. 이 지역에서 재배되는 [eqn: 2`]년생 더덕 한 뿌리를 임의로 선택하였을 때 이 더덕이 일반상품으로 분류될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

더덕 한 뿌리의 무게를 [eqn: X``]라 하면 확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N it ` LEFT ( `40`,``5 ^{`2} ` RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm P it `(30` <= X``<`45`)`][eqn: =` rm P it `(-2 <= Z``<`1)`][eqn: =`0.8185``]

[3점][2010년 10월]

① [eqn: 0.7745]	② [eqn: 0.8185``]	③ [eqn: 0.8256]

④ [eqn: 0.8332]	⑤ [eqn: 0.8413]

어느 공장에서 생산되는 제품 [eqn: A``]의 무게는 정규분포 [eqn: N`(m,```1)``]을 따르고, 제품 [eqn: B``]의 무게는 정규분포 [eqn: N`(2m,```4)``]를 따른다. 이 공장에서 생산된 제품 [eqn: A``]와 제품 [eqn: B``]에서 임의로 제품을 [eqn: 1``]개씩 선택할 때, 선택된 제품 [eqn: A``]의 무게가 [eqn: k``]이상일 확률과 선택된 제품 [eqn: B``]의 무게가 [eqn: k``]이하일 확률이 같다. [eqn: k over m``]의 값은?

⑤

제품 A의 무게를 [eqn: X]라 하면 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: N(m,1)]을 따르고, 제품 B의 무게를 [eqn: Y]라 하면 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: N(2m,2^ 2 )]을 따른다.

이때,

[eqn: P (X ge k ) = P left( X-m over 1 ge k-m over 1 right)][eqn: = P (Z ge k-m )]  이고,

[eqn: P (Y le k ) = P left( Y-2m over 2 le k-2m over 2 right)]

[eqn: = P left(Z le k-2m over2 right)][eqn: = P left(Z ge - k-2m over2 right)]

이므로 두 확률이 같으려면

[eqn: k-m = - k-2m over 2]

이 성립해야 한다.

이때, [eqn: 2k-2m =-k+2m] 즉, [eqn: 3k = 4m]이므로 [eqn: k over m = 4over 3]이다.

[4점][2011년 9월]

① [eqn: 11 over 9]	② [eqn: 5 over 4]	③ [eqn: 23 over 18]	④ [eqn: 47 over 36]	⑤ [eqn: 4 over 3]

어느 지역 학생들의 1일 인터넷 사용시간 [eqn: X]는 평균이 [eqn: m]분, 표준편차가 30분인 정규분포를 따른다. 이 지역 학생들을 대상으로 9명을 임의추출하여 조사한 1일 인터넷 사용시간의 표본평균을 [eqn: bar { X}]라 하자. 함수 [eqn: LEFT. G(k RIGHT ) ,``H LEFT ( k RIGHT )]를
[eqn: G LEFT ( k RIGHT ) =P LEFT ( X LEQ m+30k RIGHT )]
[eqn: H LEFT ( k RIGHT ) =P LEFT (` bar X GEQ m-30k RIGHT )]
라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N(m,`30^2 )`]을 따르므로

크기가 [eqn: 9`]인 표본평균 [eqn: bar X`]에 대하여

[eqn: E( bar X ) = m`], [eqn: sigma ( bar X )` = 30 over root9 = 10`]

따라서, [eqn: bar X`]는 정규분포 [eqn: N(m`,``10^2 )`]을 따른다.

[eqn: G(k) = P ( X ≤ m+30k )`][eqn: = P left( Z ≤ m+30k-m over 30 `right)`][eqn: = P (Z≤ k`)`]

[eqn: H(k) = P ( bar X ≥ m-30k )`][eqn: = P left( Z ≥ m-30k-m over10 `right)`]

[eqn: = P ( Z`≥ `-3k` )`]

ㄱ. [eqn: G(0) = P(Z≤0) = 0.5`]

[eqn: H(0) = P(Z≥0) = 0.5`]

∴ [eqn: G(0) = H(0)`] (참)

ㄴ. [eqn: G(3) = P(Z ≤3 ) = 0.5 + P(0 ≤ Z ≤ 3 )`]

[eqn: H(1) = P(Z ≥ -3 )` = P(-3 ≤ Z ≤ 0) + 0.5`]

[eqn: = P(0 ≤ Z ≤ 3 ) + 0.5`]

∴ [eqn: G(3) = H(1)`] (참)

ㄷ. [eqn: G(1) = P(Z≤1 )`], [eqn: H(-1 ) = P( Z ≥3 )`]이므로

[eqn: G(1) + H(-1) = P( Z ≤ 1) + P(Z ≥ 3 )`][eqn: = 1- P(1≤Z≤ 3)`]

[eqn: P(1 ≤ Z ≤ 3 ) > 0`]이므로

[eqn: G(1) + H(-1) `<1`] (거짓)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: G LEFT ( 0 RIGHT ) =H LEFT ( 0 RIGHT )] ㄴ. [eqn: G LEFT ( 3 RIGHT ) =H LEFT ( 1 RIGHT )] ㄷ. [eqn: G LEFT ( 1 RIGHT ) +H LEFT ( -1 RIGHT ) =1]

[4점][2011년 9월]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 학교 학생들의 통학 시간은 평균이 [eqn: 50``]분, 표준편차가 [eqn: sigma``]분인 정규분포를 따른다. 이 학교 학생들을 대상으로 [eqn: 16``]명을 임의추출하여 조사한 통학 시간의 표본평균을 [eqn: bar{X``}``]라 하자.
[eqn: P`left(50<=bar{X``}`<=56 right)``=0.4332``]일 때, [eqn: sigma``]의 값을 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

[eqn: 16]

확률변수 [eqn: bar X]는 정규분포 [eqn: N left(50, sigma^2 over 16 right)]을 따르므로

[eqn: P( 50 le bar X le 56 )][eqn: = P left ( 50-50 over {sigma over 4} le {bar X - 50 } over {sigma over 4 } le {56-50 over {sigma over 4 } right) }]

[eqn: = P left ( 0 le Z le {24 over {sigma } right) }][eqn: = P ( 0 le Z le 1.5 )]

따라서 [eqn: 24 over sigma = 1.5]이므로

[eqn: sigma = 24 over 1.5 = 24times 2 over 3 = 16]

[eqn: z]	[eqn: P`(0<=Z````<=z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

[4점][2011년 9월]

[eqn: z`]	[eqn: {\P}`(0 le Z``le z)`]
[eqn: 0.3`]	[eqn: 0.1179`]
[eqn: 0.4`]	[eqn: 0.1554`]
[eqn: 0.5`]	[eqn: 0.1915`]
[eqn: 0.6`]	[eqn: 0.2257`]

어느 양식장의 물고기의 무게는 평균 [eqn: 800` rm g`], 표준편차 [eqn: 50`rm g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양식장에서 임의로 선택한 물고기 한 마리의 무게가 [eqn: 830` rm g`] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

물고기 한 마리의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면

[eqn: {rmP} (X ge 830) ={rmP} LEFT ( Z ge 830-800 over 50 RIGHT )`][eqn: ={rmP}(Z ge 0.6)`]

[eqn: =0.5 -{rmP}(0 le Z le 0.6)`][eqn: =0.5-0.2257=0.2743`]

[3점][2011년 10월]

① [eqn: 0.2257`]	② [eqn: 0.2743`]	③ [eqn: 0.3085`]
④ [eqn: 0.3446`]	⑤ [eqn: 0.3821`]

정규분포 [eqn: rmN(10,``2^2`)]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 [eqn: n]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar{ X``}], 표준정규분포를 따르는 확률변수를 [eqn: Z``]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

⑤

ㄱ. [eqn: V ( BARX ) = 2^2 OVER n = 4 over n] (참)

ㄴ. [eqn: E( BARX ) = 10]에서 [eqn: barX]는 정규분포 [eqn: N( 10, 2^2 OVER n )]을 따르므로

[eqn: P( BARX LE 10-a ) = P( BARX GE 10+a )] (참)

ㄷ.[eqn: P( BARX GE a )][eqn: = P(Z ge a-10 over {2 over rootn} ) = P(Z LE b )] 이므로

[eqn: a-10 over {2 over rootn} = - b], [eqn: a-10 = - 2 over rootn b]

[eqn: therefore] [eqn: a+ 2 over rootn b = 10] (참)

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ, 모두 옳다.

[4점][2012년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: {rmV}(` bar{ X``} `)= 4over n] ㄴ. [eqn: {rmP}( `bar {X```} ``LEQ` 10-a ) ={rm P}( `bar{X ``}``GEQ 10+a)] ㄷ. [eqn: {rmP}( `bar{X``} `` GEQ `a )={rmP}(Z `leq b )]이면 [eqn: a + 2 over sqrtn b=10]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 공장에서 생산하는 제품의 무게는 모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 [eqn: 1over2]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산한 제품 중에서 [eqn: 25]개를 임의추출하여 신뢰도 [eqn: 95]%로 추정한 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰구간이 [eqn: [`a,~b`]]일 때, [eqn: {rmP}(` LEFT | Z``RIGHT | LEQc) =0.95]를 만족시키는 [eqn: c]를 [eqn: a,~b]로 나타낸 것은? (단, 확률변수 [eqn: Z`]는 표준정규분포를 따른다.)

⑤

정규분포 [eqn: N left( m, `` left( 1over2 right)^2 right)]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 [eqn: n=25`]인 표본의 표본평균을 [eqn: barX]라 할 때, 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%`]의 신뢰구간은

[eqn: left[bar X -c {1over2} over{ root25} , ``bar X +c {1over2} over{ root25 } right]]

(단, [eqn: \P it( vert Z vert le c ) =0.95])

즉, [eqn: left[bar X - c over10 , ``bar X + c over10 right]]

∴ [eqn: a= bar X - c over10 , ``b=bar X + c over10]

[eqn: b-a = 2 times c over10][eqn: = c over 5]

∴ [eqn: c= 5 (b-a)]

[4점][2012년 9월]

① [eqn: 3 (b-a)]	② [eqn: {7} over {2} (b-a)]	③ [eqn: 4 (b-a)]

④ [eqn: {9over2}(b-a)]	⑤ [eqn: 5 (b-a)]

[eqn: rmA] 과수원에서 생산하는 귤의 무게는 평균이 [eqn: 86], 표준편차가 [eqn: 15]인 정규분포를 따르고, [eqn: rmB] 과수원에서 생산하는 귤의 무게는 평균이 [eqn: 88], 표준편차가 [eqn: 10]인 정규분포를 따른다고 한다. [eqn: rmA] 과수원에서 임의로 선택한 귤의 무게가 [eqn: 98] 이하일 확률과 [eqn: rmB] 과수원에서 임의로 선택한 귤의 무게가 [eqn: a] 이하일 확률이 같을 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. (단, 귤의 무게의 단위는 [eqn: rm{g}`]이다.)

96

[eqn: rm A]과수원에서 생산하는 귤의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N left(86,``15^2 right)]을 따른다.

또, [eqn: rm B]과수원에서 생산하는 귤의 무게를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rm N left(88,``10^2 right)]을 따른다.

[eqn: rm A]과수원에서 임의로 선택한 귤의 무게가 [eqn: 98]이하일 확률과 [eqn: rm B]과수원에서 임의로 선택한 귤의 무게가 [eqn: a]이하일 확률이 같으므로 [eqn: rm P( it X≤98)=rm P(it Y≤ a)]에서

[eqn: rm P left( it Z≤ 98-86 over 15 right) = rm P left( it Z≤ a-88 over10 right)]

∴ [eqn: a=96]

[4점][2012년 9월]

어느 과수원에서 수확한 사과의 무게는 평균 [eqn: 400`g], 표준편차

[eqn: z`]	[eqn: rm P`(0` LEQ `Z`` LEQ itz`)`]
[eqn: 0.64]	[eqn: 0.24]
[eqn: 0.84]	[eqn: 0.30]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.28]	[eqn: 0.40]

[eqn: 50`g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 사과 중 무게가 [eqn: 442`g] 이상인 것을 [eqn: 1`]등급 상품으로 정한다. 이 과수원에서 수확한 사과 중 [eqn: 100`]개를 임의로 선택할 때, [eqn: 1`]등급 상품이 [eqn: 24`]개 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

사과의 무게 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N(400,`50 ^{2} )]을 따른다.

1등급 상품이 될 확률은

[eqn: rmP(it X GEQ 442)=rm P left(it Z ``GEQ {442-400} over {50} right)][eqn: rm=P(it Z GEQ 0.84)][eqn: =0.2]

사과 [eqn: 100]개 중 [eqn: 1]등급 상품의 개수 [eqn: Y`]는 이항분포 [eqn: B(100,`0.2)]를 따르고 근사적으로 [eqn: N(20,`4 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: rmP it(Y GEQ 24)=rm P itleft(Z GEQ {24-20} over {4} right)][eqn: rm=P(it Z GEQ 1)][eqn: =0.16]

[3점][2012년 10월]

① [eqn: 0.10]	② [eqn: 0.16]	③ [eqn: 0.20]	④ [eqn: 0.26]	⑤ [eqn: 0.34]

어느 고등학교 학생들의 일주일 독서 시간은 평균 [eqn: 7``]시간, 표준편차 [eqn: 2``]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고등학교 학생 중 임의추출한 [eqn: 36``]명의 일주일 독서 시간의 평균이 [eqn: 6``]시간 [eqn: 40``]분 이상 [eqn: 7``]시간 [eqn: 30``]분 이하일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

[eqn: X sim N`left(7,```2^2 right)``]이고 [eqn: n=36``]이므로 [eqn: bar {X``} sim N`left( 7,```left( 1 over 3 right)^2 right)``]
[eqn: P`left( 20 over 3 <= bar{X``} <= 15 over 2 right) `&= P`left(-1<=Z<=1.5 right) #&=0.3413+0.4332=0.7745]

[4점][2012년 5월]

[eqn: z]	[eqn: P`(0<=Z````<=z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.8185]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.6687]	④ [eqn: 0.6247]	⑤ [eqn: 0.5328]

어느 전화 상담원 [eqn: A``]가 지난해 받은 상담 전화의 상담 시간은 평균이 [eqn: 20``]분, 표준편차가 [eqn: 5``]분인 정규분포를 따른다고 한다. 전화 상담원 [eqn: A``]가 지난해 받은 상담 전화를 대상으로 크기가 [eqn: 16``]인 표본을 임의추출할 때, 상담 시간의 표본평균이 [eqn: 19``]분 이상이고 [eqn: 22``]분 이하일 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: z]	[eqn: P`(0<=Z````<=z)]
[eqn: 0.8]	[eqn: 0.2881]
[eqn: 1.2]	[eqn: 0.3849]
[eqn: 1.6]	[eqn: 0.4452]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

②

문제에서 주어진 조건에서 상담시간을 확률변수[eqn: X]라고 하면

정규분포 [eqn: X:`N(29, 5^{2})]...①

문제에서 크기가 16인 표본을 임의추출하므로

교과서 내용을 적용하여 표본평균 [eqn: bar{X}]는

정규분포 [eqn: bar{X}:N left(29, left(5 over 4 right)^{2} right)]...②

문제에서 요구한 확률은 [eqn: P( 19 ≤bar{X} ≤22)]이며

[eqn: P( 19 ≤bar{X} ≤22)][eqn: =P`` LEFT ( {19-20} over {{5} over {4}} ` LEQ `Z`` LEQ ` {22-20} over {{5} over {4}} RIGHT )]

[eqn: =P`(-0.8 LEQ Z LEQ 1.6)]

[eqn: =`0.2881`+`0.4452]

[eqn: =0.7333]

∴[eqn: 0.7333]

[3점][2013년 9월]

① [eqn: 0.6730]	② [eqn: 0.7333]	③ [eqn: 0.7653]
④ [eqn: 0.8301]	⑤ [eqn: 0.9224]

확률변수 [eqn: X``]가 평균이 [eqn: 3 over 2], 표준편차가 [eqn: 2``]인 정규분포를 따를 때, 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: H(t)``]는
[eqn: H(t)= P(t<=X<=t+1)``]
이다. [eqn: H(0)+H(2)``]의 값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: z]	[eqn: P`(0<=Z````<=z)]
[eqn: 0.25]	[eqn: 0.0987]
[eqn: 0.50]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 0.75]	[eqn: 0.2734]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.3413]

①

[eqn: H(0)+H(2)=P(0 LEQ X LEQ 1)+P(2 LEQ X LEQ 3)]

[eqn: =P(0 LEQ X LEQ 3)-P(1 LEQ X LEQ 2)]

[eqn: =P`` LEFT ( {0- {3} over {2}} over {2} LEQ Z LEQ {3- {3} over {2}} over {2} RIGHT ) -P LEFT ( {1- {3} over {2}} over {2} LEQ Z LEQ {2- {3} over {2}} over {2} RIGHT )]

[eqn: =P(-0.75 LEQ Z LEQ 0.75)-P(-0.25 LEQ Z LEQ 0.25)]

[eqn: =2 TIMES (0.2734-0.0987)=0.3494]

[4점][2013년 9월]

① [eqn: 0.3494]	② [eqn: 0.4649]	③ [eqn: 0.4852]
④ [eqn: 0.5468]	⑤ [eqn: 0.6147]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: G`(t)``]는 평균이 [eqn: t], 표준편차가 [eqn: 1 over t^2 ``]인 정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: X``]에 대하여 [eqn: G`(t)=P`left(X<= 3 over 2 right)``]이다. 함수 [eqn: G`(t)``]의 최댓값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: z]	[eqn: P`(0<=Z````<=z)]
[eqn: 0.4]	[eqn: 0.1554]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 0.6]	[eqn: 0.2257]
[eqn: 0.7]	[eqn: 0.2580]

③

[eqn: Z= {X-t} over {{1} over {t ^{2}}} LEQ {{3} over {2} -t} over {{1} over {t ^{2}}} =t ^{2} ( {3} over {2} -t)]

[eqn: f(t)= {3} over {2} t ^{2} -t ^{3}]이라 하면 [eqn: f prime (t)=3t-3t ^{2}]이므로 [eqn: t=1]일 때 [eqn: f(t)]가 최대이다.

∴[eqn: G(t) _{max} =P(Z LEQ {1} over {2} )=0.5+P(0 LEQ Z LEQ {1} over {2} )=0.6915]

[4점][2013년 9월]

① [eqn: 0.3085]	② [eqn: 0.3446]	③ [eqn: 0.6915]
④ [eqn: 0.7257]	⑤ [eqn: 0.7580]

어느 밭에서 수확한 딸기의 무게는 정규분포를 따른다고 한다. 이 딸기 중에서 임의추출한 [eqn: n`]개의 무게를 조사하였더니 평균이 [eqn: 20 rm `]g, 표준편차가 [eqn: rm 5`]g이었다. 이 결과를 이용하여 이 밭에서 수확한 딸기 무게의 평균을 신뢰도 [eqn: 95`]%로 추정한 신뢰구간이 [eqn: [`19.02`,``a`]`]이다. [eqn: n+a`]의 값은? (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z``]에 대하여 [eqn: rm P( it 0 LEQ Z` LEQ 1.96)=0.4750`]이다.)

④

딸기의 무게 [eqn: X`]가 평균이 [eqn: m`]이고 표준편차가 [eqn: sigma`]인 정규분포 [eqn: rm N( it `m`,`` sigma ^{2} )`]을 따른다고 하자. 임의추출한 크기가 [eqn: n`]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``} =20`], 표본표준편차 [eqn: s=5`]의 결과를 이용하여 모평균 [eqn: m`]을 신뢰도 [eqn: 95`]%로 추정한 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ 20-1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} `,```20+1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} RIGHT ] `]

조건에서 신뢰구간이 [eqn: LEFT [ `19.02,```a` RIGHT ] `]이므로

[eqn: 20-1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} =19.02`], [eqn: 20+1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} =a`]

위의 식을 풀면 [eqn: n=100`], [eqn: a=20.98`]

∴ [eqn: n+a=120.98`]

[4점][2013년 10월]

① [eqn: 84.98`]	② [eqn: 85.96`]	③ [eqn: 101.02`]

④ [eqn: 120.98`]	⑤ [eqn: 121.96`]

[eqn: z]	[eqn: {\P} ( 0 le Z` le z )]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

어느 생수 회사에서 생산하는 생수 [eqn: 1]병의 무게는 평균 [eqn: 500], 표준편차 [eqn: 10]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 생수 회사에서는 생수 [eqn: 4]병을 한 세트로 하여 판매한다. 임의로 택한 한 세트의 무게가 [eqn: 2030] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 [eqn: \g`]이다.)

④

생수 [eqn: 1`]병의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT ( 500,```10 ^{2} RIGHT ) `]을 따른다.

한 세트를 이루는 생수 [eqn: 4`]병의 무게의 평균을 확률변수 [eqn: bar{X```} `]라 하면 [eqn: rm E LEFT ( it bar{X```} RIGHT ) =500`], [eqn: LEFT . rm V LEFT ( it bar{X```} RIGHT ) = {10 ^{2}} over {4} =25=5 ^{2} ` RIGHT .]이고 [eqn: bar{X```} `]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 500,```5 ^{2} RIGHT ) `]을 따른다.

∴ [eqn: rm P LEFT ( it bar{X```} GEQ {2030} over {4} ` RIGHT ) = rm P LEFT ( it bar{X```} GEQ 507.5 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( it Z GEQ {507.5-500} over {5} RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( it Z GEQ 1.5 RIGHT )]

[eqn: =0.5- rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT )]

[eqn: =0.5-0.4332]

[eqn: =0.0668]

[3점][2013년 10월]

① [eqn: 0.0062]	② [eqn: 0.0228]	③ [eqn: 0.0456]

④ [eqn: 0.0668]	⑤ [eqn: 0.1587]

[eqn: z]	[eqn: rmP LEFT ( 0`le`itZ`le`z RIGHT )``]
[eqn: 0.49]	[eqn: 0.1879]
[eqn: 0.98]	[eqn: 0.3365]
[eqn: 1.47]	[eqn: 0.4292]
[eqn: 1.96]	[eqn: 0.4750]

어느 나라에서 작년에 운행된 택시의 연간 주행거리는 모평균이 [eqn: m``]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 나라에서 작년에 운행된 택시 중에서 [eqn: 16``]대를 임의 추출하여 구한 연간 주행거리의 표본평균이 [eqn: barx``]이고, 이 결과를 이용하여 신뢰도 [eqn: 95%``]로 추정한 [eqn: m``]에 대한 신뢰구간이 [eqn: LEFT [ `barx`-c`,~barx`+c RIGHT ]``]이었다. 이 나라에서 작년에 운행된 택시 중에서 임의로 [eqn: 1``]대를 선택할 때, 이 택시의 연간 주행거리가 [eqn: m+c``]이하일 확률을 오른쪽 표준정규분표표를 이용하여 구한 것은? (단, 주행거리의 단위는 [eqn: rmkm``]이다.)

③

모표준편차를 [eqn: sigma``]라 할 때,

[eqn: 2times1.96times { sigma} over { sqrt { 16} }=2c``]

[eqn: THEREFOREc=0.49sigma``]이다.

[eqn: rmP LEFT ( itx`le`m+c RIGHT )=rmP LEFT ( z`le` { c} over {sigma } RIGHT )=rmP LEFT ( z`le`0.49 RIGHT )``]이므로

[eqn: THEREFORE0.5+0.1879=0.6879``]이다.

[4점][2014년 9월]

① [eqn: 0.6242``]	② [eqn: 0.6635``]	③ [eqn: 0.6879``]
④ [eqn: 0.8365``]	⑤ [eqn: 0.9292``]

어느 학교 3학년 학생의 [eqn: A`]과목 시험 점수는 평균이 [eqn: m`], 표준편차가 [eqn: sigma `]인 정규분포를 따르고, [eqn: B`]과목 시험 점수는 평균이 [eqn: m+3], 표준편차가 [eqn: sigma `]인 정규분포를 따른다고 한다.
이 학교 3학년 학생 중에서 [eqn: A`]과목 시험 점수가 80점 이상인 학생의 비율이 9%이고, [eqn: B`]과목 시험 점수가 80점 이상인 학생의 비율이 15%일 때, [eqn: m+ sigma `]의 값은?
(단, [eqn: Z``]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: P`(0 LEQ Z LEQ 1.04`)=0.35``,``P`(0 LEQ Z LEQ 1.34`)=0.41] 로 계산한다.)

⑤

[eqn: \A``]과목 점수 [eqn: X SIM N(m,~ sigma ^{2} )``]

[eqn: \B``]과목 점수 [eqn: Y SIM N(m+3,` sigma ^{2} )``]

[eqn: {\P}(X GEQ 80)={\P} LEFT ( Z GEQ {80-m} over {sigma } RIGHT ) =0.09``]에서 [eqn: {\P} LEFT ( 0 LEQ z LEQ {80-m} over {sigma } RIGHT ) =0.41``]

[eqn: {\P}(Y GEQ 80)={\P} LEFT ( Z GEQ {80-m-3} over {sigma } RIGHT ) =0.15``]에서

[eqn: {\P} LEFT ( 0 LEQ z LEQ {80-m-3} over {sigma } RIGHT ) =0.35``]

[eqn: {\P} LEFT ( 0 LEQ z LEQ 1.34 RIGHT ) =0.41``], [eqn: {\P} LEFT ( 0 LEQ z LEQ 1.04 RIGHT ) =0.35``]이므로

[eqn: {80-m} over {sigma } =1.34``], [eqn: {80-m-3} over {sigma } =1.04``]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: sigma =10,`m=66.6``]이다.

따라서 [eqn: m+ sigma =76.6``]

[4점][2014년 9월]

① 68.6	② 70.6	③ 72.6	④ 74.6	⑤ 76.6

[eqn: z]	[eqn: P(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34`]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43`]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48`]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.49`]

어느 제과 회사에서 만든 과자 [eqn: 1`]개의 무게는 평균이 [eqn: 16`], 표준편차가 [eqn: 0.3`]인 정규분포를 따른다고 한다.
이 제과 회사에서 만든 과자 중 임의로 [eqn: 1`]개를 선택할 때, 이 과자의 무게가 [eqn: 15.25`] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 [eqn: rm g`]이다.)

①

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N`(16,`0.3^2 )`]을 따른다.

[eqn: P(X le 15.25)]

[eqn: =P `left(X-16 over 0.3 le {15.25 -16} over 0.3 right)][eqn: = P`(Z le -2.5)]

[eqn: =P(Z ge 2.5)][eqn: =0.5-P(0 le Z le 2.5)][eqn: =0.5-0.49][eqn: =0.01]

[3점][2014년 10월]

① [eqn: 0.01]	② [eqn: 0.02`]	③ [eqn: 0.03`]	④ [eqn: 0.04`]	⑤ [eqn: 0.05`]

[eqn: z`]	[eqn: rm P`(`0 LEQ it Z` LEQ z`)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

어느 제과점에서 판매되는 찹쌀 도넛의 무게는 평균이 [eqn: 70`], 표준편차가 [eqn: 2.5`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제과점에서 판매되는 찹쌀 도넛 중 [eqn: 16`]개를 임의추출하여 조사한 무게의 표본평균을 [eqn: {bar{X```}}`]라 하자.

②

표본의 크기가 [eqn: 16`]이므로

[eqn: bar {X```}]는 정규분포 [eqn: LEFT . rm N LEFT ( `70`,` LEFT ( {2.5} over {4} RIGHT ) ^{2} ` RIGHT ) RIGHT .]을 따른다.

[eqn: {\P} LEFT ( left| bar{X``} -70right|lea RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( LEFT | {{bar{X``}} -70}over{ { 2.5} over {4 } } RIGHT | LEQ a over{ { 2.5} over {4 } }RIGHT )][eqn: =][eqn: rm P it LEFT ( LEFT | Z`` RIGHT | LEQ {8} over {5} a RIGHT )]

[eqn: rm P` it LEFT ( LEFT | Z`` RIGHT | ` LEQ 2` RIGHT ) `=`0.9544`]이므로 [eqn: {8} over {5} a=2]에서 [eqn: a=1.25`]

[eqn: rm P` it LEFT ( LEFT | {bar{X```}} -`70` RIGHT | ` LEQ a` RIGHT ) `=`0.9544]

를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 [eqn: rm g`]이다.)

[3점][2014년 10월]

①　[eqn: 1.00]	②　[eqn: 1.25]	③　[eqn: 1.50]

④　[eqn: 2.00]	⑤　[eqn: 2.25]

어느 지역의 [eqn: 1]인 가구의 월 식료품 구입비는 평균이 [eqn: 45]만원, 표준편차가 [eqn: 8]만 원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역의 [eqn: 1]인 가구 중에서 임의로 추출한 [eqn: 16]가구의 월 식료품 구입비의 표본평균이 [eqn: 44]만 원 이상이고 [eqn: 47]만 원 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

임의로 추출한 [eqn: 16]가구의 월 식료품 구입비의 표본평균 [eqn: bar X `]는 정규분포 [eqn: N `( 45, `` 2^2 ) `]을 따르므로

[eqn: {\P} ( 44 Le bar X ` LE 47 ) `=` {\P} ( 44 Le bar X ` Le 45 ) + {\P} ( 45 Le bar X `Le 47)]

[eqn: `=` {\P} ( -0.5 Le Z ` Le 0 ) + {\P} ( 0 Le Z `Le 1)]

[eqn: `= ` 0.1915 + 0.3413]

[eqn: `=` 0.5328]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: 0.3830]	② [eqn: 0.5328]	③ [eqn: 0.6915]	④ [eqn: 0.8185]	⑤ [eqn: 0.8413]

확률변수 [eqn: X``]가 정규분포 [eqn: {\N} (4, `` 3^2 ) `]을 따를 때,
[eqn: Sum from { n=1} to 7 ` {\P} (X Le n ) =` a `]이다. [eqn: 10 a `]의 값을 구하시오.

[eqn: 35]

[eqn: {\P} ( X Le 1) + {\P}( X Le7)`=` 1], [eqn: {\P} ( X Le 2) + {\P}( X Le6)`=` 1],

[eqn: {\P} ( X Le 3) + {\P}( X Le5)`=` 1], [eqn: {\P} ( X Le4)`=` 1 over 2]

이므로 [eqn: Sum from {n=1} to 7 ` {\P}( X Le n ) `=` 1+1+1+ 1 over 2 `=` 7 over 2]

∴ [eqn: 10a `=` 35]

[4점][2015년 9월]

어느 회사 직원들의 하루 여가 활동 시간은 모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 [eqn: 10]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사 직원 중 [eqn: n]명을 임의추출하여 신뢰도 [eqn: 95%]로 추정한 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰구간이 [eqn: left[38.08,~45.92 right]]일 때, [eqn: n]의 값은?
(단, 시간의 단위는 분이고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 [eqn: {rmP} left(0 leq Z leq 1.96 right)=0.475]로 계산한다.)

①

주어진 조건에 의해 신뢰구간의 길이를 구해 보면

[eqn: l=2 times 1.96 times {10}over{root{n}}=45.92-38.08]

[eqn: =7.84 = 4 times 1.96]

[eqn: therefore`root{n}=5]

[eqn: therefore`n=25]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: 25]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 49]	④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 81]

[eqn: z]	[eqn: rm P (0 <= rm Z <=it z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

확률변수 [eqn: X ``]는 정규분포 [eqn: \N( 10 ,~ 4^2 )`], 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: RM N IT (m, ~ 4^2 )`]을 따르고, 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f(x),~ g(x)`]이다.
[eqn: f(12) = g(26),~~rm P it ( Y ge 26 ) ` ge 0.5]일 때, [eqn: rm P it ( Y le 20 ) `]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

표준정규분포곡선을 [eqn: h(x)]라고 하자.

[eqn: f(12)=g(26)], [eqn: P(Y][eqn: GEQ]26)[eqn: GEQ][eqn: 0.5]

[eqn: X]의 정규분포에서 변수를 [eqn: Z]로 표준화하면

[eqn: f(12)=h left( {12-10} over {4} right)]

마찬가지로 [eqn: Y]의 정규분포에서 변수를 [eqn: Z]로 표준화하면

[eqn: g(26)=h( {26-m} over {4} )]

[eqn: P(Y][eqn: ge]26)[eqn: ge][eqn: 0.5]이므로 [eqn: {26-m} over {4}] < 0

[eqn: THEREFORE {12-10} over {4} =- {26-m} over {4}]  [eqn: THEREFORE m=28]

[eqn: P(Y LEQ 20)]

[eqn: =P left(Z LEQ {20-28} over {4} right)]

[eqn: =P(Z LEQ -2)]

[eqn: =0.5-P(0 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: =0.0228]

[4점][2015년 9월]

① [eqn: 0.0062]	② [eqn: 0.0228]	③ [eqn: 0.0896]

④ [eqn: 0.1587]	⑤ [eqn: 0.2255]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.6]	[eqn: 0.4452]
[eqn: 1.7]	[eqn: 0.4554]
[eqn: 1.8]	[eqn: 0.4641]
[eqn: 1.9]	[eqn: 0.4713]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

어느 회사에서 생산된 야구공의 무게는 평균이 [eqn: 144.9` rm g`], 표준편차가 [eqn: 6` rm g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 야구공 중 임의로 선택한 야구공 [eqn: 9`]개 무게의 표본평균이 [eqn: 141.7 rmg] 이상 [eqn: 148.9` rm g] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

②

[출제의도] 정규분포를 활용하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.

임의로 추출된 야구공 [eqn: 9`]개 무게의 평균을 [eqn: {bar{X``}} `]라 하면, [eqn: {bar{X``}} `]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT ( it144.9,```2 ^{`2} RIGHT ) `]을 따른다.

[eqn: rm P LEFT (141.7 le { it bar{X``} le148.9 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ({141.7 - 144.9} over 2 le { it Z le{148.9 - 144.9} over 2 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT (-1.6 le { it Z le2 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 1.6 RIGHT ) + rm P( it 0 LEQ Z LEQ 2 )][eqn: =0.9224]

[3점][2015년 10월]

① [eqn: 0.9165]	② [eqn: 0.9224`]	③ [eqn: 0.9267]

④ [eqn: 0.9282]	⑤ [eqn: 0.9413]

[해설] 확통-(2)통계-(d)정규분포