수 리 영 역

이산확률분포

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수 리 영 역

이산확률분포

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 통계 (이산확률분포)

성명			수험번호

16

어떤 고등학교 [eqn: 3]학년 남학생 수는 여학생 수의 [eqn: 1.5]배이다. 대학수학능력시험 모의고사 성적의 통계에 따르면 남학생의 평균 점수는 점 [eqn: 400]만점에 [eqn: 225]점이고 여학생의 평균 점수는 [eqn: 235]점이다. [eqn: 3]학년 전체 학생의 평균 점수는 몇 점인가?

①

남학생의 수가 여학생의 수의 [eqn: 1.5]배이므로

여학생의 수를 [eqn: 2x``]라 하면 남학생의 수는 [eqn: 3x``]이다.

[eqn: ∴ (전체의 ~평균)= {225 × 3x + 225 ×2x } over {2x+3x `}][eqn: = 1145 over 5][eqn: = 229]

[3점][1999년 수능]

① [eqn: 229]	② [eqn: 230]	③ [eqn: 231]

④ [eqn: 232]	⑤ [eqn: 233]

주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수를 [eqn: 4]로 나눈 나머지를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 평균은? (단, 주사위의 각 눈이 나올 확률은 모두 같다.)

③

[eqn: X`]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합
[eqn: P`]	[eqn: 1over6]	[eqn: 2over6]	[eqn: 2over6]	[eqn: 1over6]	[eqn: 1]

[eqn: E(X)=0times 1over6 +1times 2over6 +2times 2over6 +3times 1over6 = 3over2]

[3점][2000년 수능]

①　[eqn: 2]	②　[eqn: 5 over 3]	③　[eqn: 3 over 2]

④　[eqn: 4 over 3]	⑤　[eqn: 1]

세 자료
[eqn: A]：[eqn: 1]부터 [eqn: 50]까지의 자연수
[eqn: B]：[eqn: 51]부터 [eqn: 100]까지의 자연수
[eqn: C]：[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 짝수
의 표준편차를 순서대로 [eqn: a,```b,```c]라 할 때, [eqn: a,```b,```c]의 대소관계를 바르게 나타낸 것은?

②

자료 [eqn: A,```B,```C]는 각각

[eqn: A```:```1,```2,```3,``` CDOTS ,```50]

[eqn: B```:```51,```52,```53,``` CDOTS ,```100]

[eqn: C```:```2,```4,```6,``` CDOTS ,```100]이므로

자료 [eqn: A,```B,```C]의 분포에 해당하는 확률변수를 각각 [eqn: X,```Y,```Z]라 하면 [eqn: Y=X+50,```Z=2X]의 관계가 성립한다.

따라서, [eqn: X,```Y,```Z]의 표준편차 [eqn: sigma LEFT ( X RIGHT ) ,``` sigma LEFT ( Y RIGHT ) ,``` sigma LEFT ( Z RIGHT )]를 각각 [eqn: a,```b,```c]라 하면

[eqn: b = sigma left ( Y right ) = sigma left ( X + 50 right ) = sigma left ( X right ) = a]

[eqn: c= sigma LEFT ( Z RIGHT ) = sigma LEFT ( 2X RIGHT ) = LEFT | `2` RIGHT | sigma LEFT ( X RIGHT ) =2a]

[eqn: THEREFORE ```a=b<c]

[3점][2002년 수능]

① [eqn: a`=b`=c]	② [eqn: a=b<c]	③ [eqn: a<b=c]

④ [eqn: a<b<c]	⑤ [eqn: a<c<b]

어떤 상품의 가격은 매달 [eqn: 0.5]의 확률로 [eqn: 10%]상승하거나 [eqn: 0.5]의 확률로 [eqn: 10%] 하락한다. 이 상품의 현재가격은 [eqn: 500]원이다. 두 달 후, 이 상품의 가격이 [eqn: 500]원 이하이면 [eqn: 500]원에서 두 달 후 상품 가격을 뺀 금액을 받고, [eqn: 500]원 이상이면 받지 않기로 하였다. 두 달 후 받을 수 있는 금액의 기대값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 첫 번째 달의 가격변동과 두 번째 달의 가격변동은 서로 독립이다.)

[eqn: 26.25]

한 달 후의 가격이 [eqn: 550]원일 확률은 [eqn: 0.5]이다. 계속해서 다음달에 [eqn: 605]원이 될 확률이 [eqn: 0.5]이므로, 결국 현재 [eqn: 500]원인 상품이 두 달 후에 [eqn: 605]원이 될 확률은 [eqn: 0.5×0.5 = 0.25]이다.

나머지 가격도 같은 방법으로 계산하면, 두 달 후의 가격에 대한 확률은 다음 표와 같다.

가격	[eqn: 605]	[eqn: 495]	[eqn: 405]
확률	[eqn: 0.25]	[eqn: 0.5]	[eqn: 0.25]

따라서, 두 달 후 받을 수 있는 금액의 기댓값은

[eqn: 0×0.25 + 5×0.5 + 95×0.25 = 26.25]

[3점][2002년 수능]

다음은 첫째 항이 [eqn: ``a`-`15`d`], 공차가 [eqn: d`], 항의 개수가 [eqn: 31``]인 등차수열이다.
[eqn: a-15d,``` CDOTS ,```a-d,```a,```a+d,``` CDOTS ,```a+15d]
위 항들의 값의 표준편차를 [eqn: σ``]라고 할 때, [eqn: sigma over d`]의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.
(단, [eqn: d>0]이고 [eqn: sqrt {5`} =2.24]로 계산한다.)

[eqn: 8.96]

① 평균

[eqn: m= {(a-15d)+(a-14d)+ CDOTS +a+ CDOTS +(a+15d)} over {31}]

[eqn: =` 31a over31 =a`]

② 분산[eqn: =E(X^2 )- E^2 (X`)]에서

[eqn: {(a-15d) ^{2} +(a-14d) ^{2} + CDOTS +a ^{2} + CDOTS +(a+15d) ^{2}} over {31}][eqn: `-a^2]

[eqn: ={31a^2 +2(1+2^2 +`cdots`15^2 )d^2}over31 -a^2]

[eqn: = 2over31 (1^2 +2^2 +`cdots`+15^2 )d^2 =80d^2]

③ 표준편차

[eqn: sigma `=`4sqrt5 `d`]에서 [eqn: sigma over d `=` 4sqrt5]

[3점][2003년 수능]

다음은 어떤 모집단의 확률분포표이다.

[eqn: X]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]	계
[eqn: \P( X` )]	[eqn: 0.5]	[eqn: 0.3]	[eqn: 0.2]	[eqn: 1`]

이 모집단에서 크기 [eqn: 2`]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: bar X_```]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: bar X_```]	[eqn: 1`]	[eqn: 1.5]	[eqn: 2`]	[eqn: 2.5]	[eqn: 3]
도수	[eqn: 1`]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 2`]	[eqn: 1`]
[eqn: rm P( bar{X} )]	[eqn: 0.25]	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 0.12]	[eqn: 0.04]

이때, [eqn: 100(b + c` )`]의 값을 구하시오.

[eqn: 330]

[eqn: X`]	[eqn: overlineX]	[eqn: P`(`overlineX`)]
[eqn: 1, ~1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 0.5×0.5]
[eqn: 1, ~2`]	[eqn: 1.5`]	[eqn: 0.5×0.3]
[eqn: 1, ~3`]	[eqn: 2`]	[eqn: 0.5×0.2]
[eqn: 2,~1]	[eqn: 1.5`]	[eqn: 0.3×0.5]
[eqn: 2,~2]	[eqn: 2`]	[eqn: 0.3×0.3]
[eqn: 2,~3]	[eqn: 2.5]	[eqn: 0.3×0.2]
[eqn: 3,~1]	[eqn: 2`]	[eqn: 0.2×0.5]
[eqn: 3,~2]	[eqn: 2.5]	[eqn: 0.2×0.3]
[eqn: 3,~3]	[eqn: 3]	[eqn: 0.2×0.2]

[eqn: THEREFORE ```a=2,```b=3]

[eqn: c`=`0.5×0.3`+`0.3`×0.5`=`0.3]

[eqn: d`=`0.5×0.2`+`0.3×0.3`+`0.2×0.5`=`0.29]

[eqn: THEREFORE ```100(b+c)][eqn: =100 TIMES 3.3=330]

[4점][2005년 수능]

이산확률변수 [eqn: X``]가 취할 수 있는 값이 [eqn: 0,```1,```2,```3,```4,```5,```6,```7]이고 [eqn: X``]의 확률질량함수가

[eqn: rm P(X`= it x`)= {cases{``c&``(`x`=0,``1,``2)#``2c&```(x`=3,``4,``5) phantom{{1} over {2}}#``5c ^{2}&```(x`=6,``7) phantom{{1} over {2}}}}](단, [eqn: c``]는 양수)

이다. 확률변수 [eqn: X``]가 [eqn: 6`]이상일 사건을 [eqn: A`], 확률변수 [eqn: X``]가 [eqn: 3`]이상일 사건을 [eqn: B``]라 할 때, [eqn: rm P(A`|`B`)]의 값은?

③

전체 확률의 합은 [eqn: 1`]이므로

[eqn: 3c+ 3×2c+ 2×5c^2 =1`]에서 [eqn: c= 1over10`]

∴[eqn: THEREFORE ```P(X=x)= {cases{{1} over {10}&(x=0,```1,```2)#{1} over {5}&(x=3,```4,```5)#{1} over {20}&(x=6,```7)}} `]

[eqn: P(B)= 1over5 + 1over5 + 1over5 + 1over20 + 1over20 = 14over20`], [eqn: P(A∩B)= 1over20 + 1over20 = 1over10`]

따라서 [eqn: P(A vert B)= {P(A∩B)}over {P(B)} = 1over7`]

[3점][2005년 수능]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {7}]

④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표가 아래와 같을 때, 확률변수 [eqn: Y`= 10X + 5`]의 분산을 구하시오.

[eqn: 105]

[eqn: E(X)`=`{0`+`3`+`6`+`6`} over 10`=`3 over 2]

[eqn: V(X)= {0+1 ^{2} TIMES 3+2 ^{2} TIMES 3+3 ^{2} TIMES 2} over {10} `- LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2}][eqn: ``=`21over 20]

[eqn: V(Y)`=`V(10X+5)`=`10^2`V(X)`=`100×21over 20][eqn: `=`105`]

[3점][2005년 수능]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]	계
[eqn: \P`(X`)]	[eqn: {2} over {10}]	[eqn: {3} over {10}]	[eqn: {3} over {10}]	[eqn: {2} over {10}]	[eqn: 1]

이산확률변수 [eqn: X``]의 확률질량함수가

[eqn: rm P(itX=x)= {x} over {15}] [eqn: (x=1,```2,```3,```4,```5)]

이다. [eqn: g`(t)= sum _{x=1} ^{5} rm P( it X=x`) BULLET t ^{x}]일 때, [eqn: rm E(it2X`)-g` prime (1)]의 값은?

②

이산확률변수 [eqn: X`]의 확률질량함수가

[eqn: rm P(itX=x)= {x} over {15} ```(x=1,```2,```3,```4,```5)]이므로

확률분포는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: rm P(itX=x)]	[eqn: 1 over 15]	[eqn: 2 over 15]	[eqn: 3 over 15]	[eqn: 4 over 15]	[eqn: 5 over 15]	[eqn: 1`]

이 때,

[eqn: THEREFORE ``` rm E(X)= {1} over {15} + {4} over {15} + {9} over {15} + {16} over {15} + {25} over {15} = {11} over {3}]

한편,

[eqn: g(t)= sum _{x=1} ^{5} rm P(itX=x) CDOT t ^{x}]

[eqn: = 1 over15 ( t+ 2t^2 + 3t^3 + 4t^4 + 5 t^5 )]

[eqn: g``'``(t) = 1 over15 ( 1+ 4t + 9t^2 + 16t^3 + 25 t^4 )]

[eqn: g``'``(1) = 1 over15 ( 1+ 4 + 9 + 16 + 25 )][eqn: = 11over 3]

[eqn: THEREFORE ``` rm E(it2X)-g` prime (1)=2 rm E(itX)-g` prime (1)][eqn: = 11 over 3]

[3점][2006년 수능]

① [eqn: {10} over {3}]	② [eqn: {11} over {3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {13} over {3}]	⑤ [eqn: {14} over {3}]

다음은 확률변수 [eqn: X]의 확률분포표이다.

[eqn: X`]	[eqn: k]	[eqn: 2k]	[eqn: 4k]	계
[eqn: rm P(itX=x)]	[eqn: {4} over {7}]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: {4} over {7} ,```a,```b]가 이 순서로 등비수열을 이루고 [eqn: X``]의 평균이 [eqn: 24]일 때, [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 14`]

확률의 합은 [eqn: 1`]이므로 [eqn: {4} over {7} +a+b=1``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: {4} over {7} ,```a,```b]가 이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: a ^{2} = {4} over {7} b``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: E(X)= k ․ 4 over 7 + 2k ․ a + 4k ․ b]

[eqn: = {k} over {7} LEFT ( 4+14a+28b)=24``` CDOTS CDOTS ```㉢ RIGHT .]

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a= 2 over 7], [eqn: b= 1over 7] (∵ [eqn: a>0])

이것을 ㉢에 대입하면 [eqn: k=14]

[3점][2006년 수능]

한 개의 동전을 세 번 던져 나온 결과에 대하여, 다음 규칙에 따라 얻은 점수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자.

(가) 같은 면이 연속하여 나오지 않으면 [eqn: 0]점으로 한다.

(나) 같은 면이 연속하여 두 번만 나오면 [eqn: 1]점으로 한다.

(다) 같은 면이 연속하여 세 번 나오면 [eqn: 3]점으로 한다.

확률변수 [eqn: X`]의 분산 [eqn: V(X`)]의 값은?

②

(i) (앞, 뒤, 앞) 또는 (뒤, 앞, 뒤)가 나올 확률은

[eqn: P(X=0) = 2times 1over 2 times 1over 2 times 1over 2 = 1over4]

(ii) (앞, 앞, 뒤) 또는 (앞, 뒤, 뒤) 또는 (뒤, 뒤, 앞)

또는 (뒤, 앞, 앞)이 나올 확률은

[eqn: P(X=1) = 4 times 1over 2 times 1over 2 times 1over 2 = 1over 2]

(iii) (앞, 앞, 앞) 또는 (뒤, 뒤, 뒤)가 나올 확률은

[eqn: P(X=3) = 2times 1over 2 times 1over 2 times 1over 2 = 1over4]

따라서 확률변수 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: 1over4]	[eqn: 1over2]	[eqn: 1over4]	[eqn: 1]

이 때, [eqn: E(X)= 0× 1over 4 + 1× 1over 2 + 3× 1over 4 = 5over 4]이므로

[eqn: V(X)= E(X^2 ) - left{ (E(X)right}^2]

[eqn: = 0^2 × 1over 4 + 1^2 × 1over 2 + 3^2 × 1over 4][eqn: - left( 5over 4 right)^2]

[eqn: = 11over 4 - 25 over 16][eqn: = 19 over 16]

[3점][2009년 수능]

① [eqn: {9} over {8}]	② [eqn: {19} over {16}]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {21} over {16}]	⑤ [eqn: {11} over {8}]

이산확률변수 [eqn: X`]에 대하여
[eqn: \P(X=2)=1- \P(X=0)],  [eqn: 0＜ \P(X=0)＜1], [eqn: \{ \E(X ) \} ^2 `=`2` \V(X )`]
일 때, 확률 [eqn: \P(X=2)]의 값은?

④

[eqn: rm P ( it X=0)+ rm P( it X=2)=1]이므로

확률변수 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	계
[eqn: rm P ( it X )]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: E(X)=2b]이고 [eqn: E(X^2 ) = 2^2 b = 4b] 이므로

[eqn: V(X)=E(X ^{2} )- LEFT { E(X) RIGHT } ^{2}][eqn: = 4b-4b^2]

따라서 [eqn: LEFT { E(X) RIGHT } ^{2} =2V(X)] 에서

[eqn: 4b^2 = 2 times(4b - 4b^2 )], [eqn: b= 2-2b]

[eqn: therefore] [eqn: P(X=2)= b = 2 over 3]

[3점][2008년 수능]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

두 주사위 [eqn: rm A,```B]를 동시에 던질 때, 나오는 각각의 눈의 수 [eqn: m,```n]에 대하여 [eqn: m ^{2} +n ^{2} LEQ 25]가 되는 사건을 [eqn: E`]라 하자.
두 주사위 [eqn: rm A,```B]를 동시에 던지는 [eqn: 12]회의 독립시행에서 사건 [eqn: E`]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 할 때, [eqn: X`]의 분산 [eqn: V(X`)]는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

[eqn: 47`]

사건 [eqn: E`]가 일어나는 경우의 수는

[eqn: m=1`]일 때, [eqn: n ^{2} LEQ 24]에서 [eqn: n=1,```2,```3,```4]의 [eqn: 4]가지

[eqn: m=2`]일 때, [eqn: n ^{2} LEQ 21]에서 [eqn: n=1,```2,```3,```4]의 [eqn: 4]가지

[eqn: m=3`]일 때, [eqn: n ^{2} LEQ 16]에서 [eqn: n=1,```2,```3,```4]의 [eqn: 4]가지

[eqn: m=4`]일 때, [eqn: n ^{2} LEQ 9]에서 [eqn: n=1,```2,```3]의 [eqn: 3]가지

∴ [eqn: {rmP} (E) = 4+4+4+3 over 36 = 5 over 12`]

따라서, 확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 12,``` {5} over {12} RIGHT )]를 따르므로

[eqn: V it (X)=12 CDOT {5} over {12} CDOT {7} over {12} = {35} over {12} `]

∴ [eqn: p+q = 12+35 = 47`]

(단, [eqn: p], [eqn: q`]는	서로소인 자연수이다.)

[4점][2009년 수능]

어느 수학 반에 남학생 [eqn: 3``]명, 여학생 [eqn: 2``]명으로 구성된 모둠이 [eqn: 10``]개 있다. 각 모둠에서 임의로 [eqn: 2``]명씩 선택할 때, 남학생들만 선택된 모둠의 수를 확률변수 [eqn: X``]라고 하자. [eqn: X``]의 평균 [eqn: {\E}(X)]의 값은? (단, 두 모둠 이상에 속한 학생은 없다.)

④

한 모둠에서 남학생만 [eqn: 2]명이 선택될 확률을 구해 보면

[eqn: rm {`_3 C_2} over {`_5 C_2} = 3 over 10]

모두 [eqn: 10]개의 모둠이 있으므로 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {\B} left(10,~ 3 over 10 right)]을 따른다.

[eqn: THEREFORE``` {\E} (X)= 10․ 3 over 10 =3]

[3점][2010년 수능]

① [eqn: 6]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2]

확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	계
[eqn: rm P it (X=x)]	[eqn: {2} over {7}]	[eqn: 3 over 7]	[eqn: 2 over 7]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: 7X``]의 분산 [eqn: V(7X)]의 값은?

③

[eqn: rmE(X)=0 CDOT {2} over {7} +1 CDOT {3} over {7} +2 CDOT {2} over {7} =1]

[eqn: rmV(X)= LEFT ( 0 ^{2} CDOT {2} over {7} +1 ^{2} CDOT {3} over {7} +2 ^{2} CDOT {2} over {7} RIGHT ) -1 ^{2}][eqn: = 4 over 7]

[eqn: THEREFORE``` {\V} (7 X) = 7^2 {\V}(X)}][eqn: = 49× 4 over 7 =28]

[3점][2010년 수능]

① [eqn: 14]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 42]

이산확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가
[eqn: P(X= x ) = ax+2 over 10 ~~~(x= -1,``0,``1,``2``)]
일 때, 확률변수 [eqn: 3X+2]의 분산 [eqn: V( 3X+2)]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

①

[eqn: P(X=-1) +P(X=0) +P(X=1)+P(X=2) =1``]에서

[eqn: -a+2 over10 + 2over10 + a+2 over10 + 2a+2 over 10 =1]

[eqn: 2a+8 over 10 =1 ~~~therefore a=1]

[eqn: E(X) = -1 times 1over 10 + 0 times 2over 10 + 1 times 3over 10 + 2 times 4over 10 =1]

[eqn: E( X^2 ) = (-1)^2 times 1over10 + 0^2 times 2over 10 + 1^2 times 3over 10 + 2^2 times 4over10 =2]

[eqn: V(X) = E(X^2 ) - left{ E(X) right }^2 =1]

[eqn: therefore V( 3X+2 ) = 3^2 cdot V(X) =9]

[[eqn: 4]점][2011년 수능]

① [eqn: 9]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 27]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 45]

동전 [eqn: 2]개를 동시에 던지는 시행을 [eqn: 10]회 반복할 때, 동전 [eqn: 2]개 모두 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 확률변수 [eqn: 4X+1]의 분산 [eqn: V LEFT ( 4X+1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

두 개의 동전이 모두 앞면이 나올 확률은

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {1} over {4}]

이므로 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: B LEFT ( 10,~ {1} over {4} RIGHT )]을 따른다.

이때, [eqn: V LEFT ( X RIGHT ) =10 TIMES {1} over {4} TIMES {3} over {4} = {15} over {8}]이므로

[eqn: V LEFT ( 4X+1 RIGHT ) =16V LEFT ( X RIGHT ) =30]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	계
[eqn: P(X`=`x)]	[eqn: 3-a over 8]	[eqn: 1 over 8]	[eqn: 3+a over 8]	[eqn: 1 over 8]	[eqn: 1]

[eqn: P ` ( 0 LE X LE 2) ``=`` 7 OVER 8] 일 때, 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: E (X)]의 값은?

⑤

[eqn: P ` ( 0 LE X LE 2) ``=`` 7 OVER 8] 이므로

[eqn: P (X = -1 ) ``=` 3-a over 8 ``=`` 1 over 8]

[eqn: therefore ``` a `= 2]

[eqn: E (X) ``=`` -1 TIMES 1 OVER 8 + 0 TIMES 1 OVER 8 + 1 TIMES 5 OVER 8 + 2 TIMES 1 OVER 8 ``=`` 3 OVER 4]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

① [eqn: 1 OVER 4]	② [eqn: 3 OVER 8]	③ [eqn: 1 OVER 2]	④ [eqn: 5 OVER 8]	⑤ [eqn: 3 OVER 4]

확률변수 [eqn: X``]의 확률변수를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1 over4]	[eqn: a]	[eqn: 2a]	[eqn: 1]

[eqn: {rmE}(4X+10)``]의 값은?

⑤

(확률의 총합)[eqn: =1]이므로

[eqn: 1over4 + a+ 2a =1]

[eqn: therefore```3a = 3over4]

[eqn: therefore``` a= 1over4]

[eqn: rm E it(X`)= 0 times 1over4 +1 times 1over4 + 2 times 2over4 = 5 over4]

[eqn: THEREFORE ``` rm E it (4X+10) &=4 rm E it (X`)+10# &=4 TIMES {5} over {4} +10# &=15]

[3점][2012년 수능]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]개의 서랍이 있다. [eqn: 5]개의 서랍 중 영희에게 임의로 [eqn: 2]개를 배정해 주려고 한다. 영희에게 배정되는 서랍에 적혀 있는 자연수 중 작은 수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: {\E} (10X)]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

5개 중 임의로 2개를 배정하는 전체 방법의 수는 [eqn: \`_5 C_2 = 10]

ⅰ) [eqn: X=1]인 경우
배정된 서랍의 번호를 순서쌍으로 나타내면

[eqn: (1, ```2), ```(1, ```3), ```(1, ```4), ```(1, ```5)]이므로

[eqn: \P it(X=1) = 4 over 10]

ⅱ) [eqn: X=2]인 경우

[eqn: (2, ```3), ```(2, ```4), ```(2, ```5)]이므로

[eqn: \P it(X=2) = 3 over 10]

ⅲ) [eqn: X=3]인 경우

[eqn: (3, ```4), ```(3, ```5)]이므로

[eqn: \P it(X=3) = 2 over 10]

ⅳ) [eqn: X=4]인 경우

[eqn: (4, ```5)]이므로

[eqn: \P it(X=4) = 1 over 10]

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에서 확률변수 [eqn: X]의 확률분포는

[eqn: X]	1	2	3	4	계
[eqn: \P it(X)]	[eqn: 4 over 10]	[eqn: 3 over 10]	[eqn: 2 over 10]	[eqn: 1 over 10]	[eqn: 1]

[eqn: \ therefore ``` E( it X) = 1 times 4 over 10 + 2 times 3 over 10 + 3 times 2 over 10 + 4 times 1 over 10 = 2]

[eqn: \ therefore ``` E it(10X) = 10 times \E it(X) = 20]

[4점][2014년 수능]

주머니 속에 [eqn: 1]의 숫자가 적혀 있는 공 [eqn: 1]개, [eqn: 2]의 숫자가 적혀 있는 공 [eqn: 2]개, [eqn: 3]의 숫자가 적혀 있는 공 [eqn: 5]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 2]번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 평균을 [eqn: bar{X``}]라 하자. [eqn: {rmP} LEFT ( bar{X``}=2 RIGHT )]의 값은?

⑤

2번의 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 순서대로 [eqn: a`,``b``]라 하고, 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)]로 나타내면, [eqn: bar{X} `=2] 가 되는 경우는 [eqn: (1`,``3`)`,``(`2`,``2`)`,``(`3`,``1`)]이다.

[eqn: THEREFORE P( bar{X} `=2)= {1} over {8} TIMES {5} over {8} + {2} over {8} TIMES {2} over {8} + {5} over {8} TIMES {1} over {8}# ``````````````````````````````````````````= {7} over {32}]

[4점][2015년 수능]

① [eqn: 5 over32]	② [eqn: 11 over64]	③ [eqn: 3 over16]	④ [eqn: 13 over64]	⑤ [eqn: 7 over32]

이산확률변수 [eqn: X``]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -5]	[eqn: 0]	[eqn: 5]	합계
[eqn: {rm`P} LEFT ( X=x RIGHT )]	[eqn: 1over5]	[eqn: 1over5]	[eqn: 3over5]	[eqn: 1]

[eqn: 11]

[출제의도] 이산확률변수에서 기댓값을 구할 수 있는가?

[eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT )][eqn: = it -5 TIMES {1} over {5} +0 TIMES {1} over {5} +5 TIMES {3} over {5}]
[eqn: = it -1+3=2]

[eqn: THEREFORE ~{rmE} LEFT ( 4X+3 RIGHT )][eqn: =4{rmE} LEFT ( X RIGHT ) +3]
[eqn: =4 TIMES 2+3=11]

[eqn: rm E it(4X+3)]의 값을 구하시오.

[3점][2016년 수능]

[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8`]의 숫자가 각 면에 하나씩 적혀 있는 정사면체 주사위를 한 번 던지는 시행에서 바닥에 닿는 면을 제외한 세 면의 숫자의 합을 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 이 때, [eqn: X`]의 분산은?

⑤

나온 눈	[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]	[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]	[eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 8]	[eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8]	합
[eqn: X]	[eqn: 12]	[eqn: 14]	[eqn: 16]	[eqn: 18]
[eqn: rm P it (X`)``]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: 1]

(평균) [eqn: = {12+14+16+18} over {4} =15]

(분산) [eqn: = {(12-15) ^{2} +(14-15) ^{2} +(16-15) ^{2} +(18-15) ^{2}} over {4}] [eqn: =5]

[3점][2005년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

각 면에 [eqn: 1, ```1, ```2, ```2, ```2, ```4`]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 던졌을 때, 윗면에 적힌 수를 확률변수 [eqn: X` `]라 하자. 확률변수 [eqn: 5X+3`]의 평균을 구하시오.

[eqn: 13]

확률변수[eqn: X`]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	계
[eqn: \P(X=x)]	[eqn: 1 over 3]	[eqn: 1 over 2]	[eqn: 1over 6]	[eqn: 1]

[eqn: therefore~ \E(X) = 1 times 1 over 3 + 2 times 1 over 2 + 4 times 1 over 6 = 2]

[eqn: therefore~ \E(5X+3 ) =5 \E(X) +3][eqn: =13]

[3점][2005년 9월]

이산확률변수 [eqn: X ``]의 확률분포표는 다음과 같다.

X	0	1	2	3	계
P( X = x )	p	[eqn: { 1 } over { 4 }]	q	[eqn: { 1 } over { 12 }]	1

[eqn: X``]의 분산이 [eqn: 1`]이 되는 [eqn: p``]와 [eqn: q``]에 대하여 [eqn: 3p+ q``]의 값은?

④

모든 확률의 합이 [eqn: 1`]이므로

[eqn: p`+`1 over 4`+`q`+`1 over 12`=`1`] [eqn: THEREFORE]  [eqn: p`+`q`=`2 over 3]

[eqn: E`(`X`)`=`1 OVER 4`+`2q`+`1 over 4`=`2q`+`1 over 2]

[eqn: V(X)`=`1 over 4`+`4q`+`3 over 4`-(2q`+`1 over 2 )`^2`=`1]

[eqn: 4`q`-`(`2`q`+`1 over 2`)`^2```=`0`]

[eqn: 16`q^2`-`8q`+`1`=`(`4q``-1`)`^2`=`0`]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: q`=`1 OVER 4``,`````p`=`5 over 12]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: 3`p`+`q`=`3× 5 over 12`+`1 over 4`=`3 over 2]

[4점][2005년 9월]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: { 3 } over { 2 }]	⑤ [eqn: 2]

어떤 학생이 지난 석 달 동안 치른 [eqn: 7`]회의 쪽지 시험 점수는 평균 [eqn: 14`]점, 표준편차 [eqn: 2`]점이었다. 이 학생이 이번 달에 치른 [eqn: 3`]회의 쪽지 시험 점수가 각각 [eqn: 13]점, [eqn: 15]점, [eqn: 14]점일 때, 지금까지 치른 [eqn: 10]회의 쪽지 시험 점수의 표준편차는?

③

지난 석 달 동안 치른 [eqn: 7]회의 시험 점수의 총점을 [eqn: S], 시험 점수의 제곱의 합을 [eqn: T]라 하면

[eqn: S = 7․14 = 98]이고,[eqn: T over 7 - 14^2 = 2^2 ``]에서 [eqn: T= 1400]이다.

또한, 이번 달에 치른 [eqn: 3]회의 시험 점수의 총점을 [eqn: S'], 시험 점수의 제곱의 합을 [eqn: T']라 하면

[eqn: S' = 13+15+14 =42], [eqn: T' = 13^2 +15^2 +14^2 = 590 ``]

따라서 지금까지 치른 [eqn: 10]회의 시험 점수의 평균 [eqn: m]은

[eqn: m= S+S' over 10 = 14 ``]이다.

따라서 구하는 표준편차는

[eqn: root {T+T' over 10 - m^2 }][eqn: =root 199-196 = root3 ``]

[3점][2005년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: root{2_``}]	③ [eqn: sqrt { 3 _``}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt { 5 _``}]

다음 확률분포표에서 확률변수 [eqn: X``]의 평균은?

④

[eqn: a+ {1} over {3} +a+ {1} over {6} =1``]에서 [eqn: a= {1} over {4} ``]

따라서 확률변수 [eqn: X``]의 평균은

[eqn: 2 TIMES {1} over {4} +3 TIMES {1} over {3} +4 TIMES {1} over {4} +6 TIMES {1} over {6} = {7} over {2} ``]

[2 점][2006년 3월]

[eqn: X``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]	[eqn: 4``]	[eqn: 6``]	계
[eqn: rm P it (`X`)``]	[eqn: a``]	[eqn: {1} over {`3`} ``]	[eqn: a``]	[eqn: {1} over {`6`} ``]	[eqn: 1``]

① [eqn: 5``]	② [eqn: {`9`} over {2} ``]	③ [eqn: {`17`} over {4} ``]	④ [eqn: {`7`} over {2} ``]	⑤ [eqn: {`13`} over {4} ``]

확률변수 [eqn: X``]는 [eqn: 1,~2,~3,~ CDOTS~ ,~n``]의 값을 취하고,
[eqn: X```=`k`(`1 ```<=` k ```<=` n`)``]일 확률이
[eqn: rm P it (`X```=`k`)```=`c`k``](단, [eqn: c``]는 상수)
라 한다. 확률변수 [eqn: X``]의 표준편차가 [eqn: sqrt {`6`} ``]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n``]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: c` sum _{k=1} ^{n} k=1`]에서 [eqn: c= {2} over {n(n+1)}]

[eqn: X`]의 표준편차가 [eqn: sqrt {6} `]이므로 [eqn: X``]의 분산 [eqn: V(X)`]는

[eqn: V(X)= sum _{k=1} ^{n} k ^{2} CDOT (c``k)- LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k CDOT c``k RIGHT ) ^{2} =6]에서

[eqn: c sum _{k=1} ^{n} k ^{3} - LEFT ( sum _{k=1} ^{n} c``k ^{2} RIGHT ) ^{2} =6]

위 식에 [eqn: c= {2} over {n(n+1)}]를 대입하여 정리하면

[eqn: {2} over {n(n+1)} TIMES LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2} - LEFT { {2} over {n(n+1)} TIMES {n(n+1)(2n+1)} over {6} RIGHT } ^{2} =6]

[eqn: {n(n+1)} over {2} - {(2n+1) ^{2}} over {9} =6`], [eqn: n ^{2} +n-110=0`]

[eqn: (n+11)(n-10)=0``][eqn: THEREFORE ```n=10``]

[4점][2006년 3월]

다음은 어떤 봉사동아리 회원들의 [eqn: 1]년 동안의 봉사활동 시간을 나타낸 도수분포표이다.

13

16

봉사 시간(시간)	회원 수(명)
[eqn: 40]이상～[eqn: 50]미만	[eqn: 3]
[eqn: 50] ～ [eqn: 60]	[eqn: 5]
[eqn: 60] ～ [eqn: 70]	[eqn: 6]
[eqn: 70] ～ [eqn: 80]	[eqn: 9]
[eqn: 80] ～ [eqn: 90]	[eqn: a]
[eqn: 90] ～ [eqn: 100]	[eqn: 4]

[eqn: 70]시간 이상 ～ [eqn: 80]시간 미만인 계급의 상대도수가 [eqn: 0.3]일 때,
[eqn: 80]시간 이상 ～ [eqn: 90]시간 미만인 계급의 상대도수는?

②

각 계급의 상대도수는 전체 도수에 대한 그 계급의 도수의 비이다. 전체도수는 [eqn: 27+a]이고 [eqn: 70]시간 이상 ～ [eqn: 80]시간 미만인 계급의 상대도수가 [eqn: 0.3]이므로 [eqn: {9} over {27+a} =0.3], [eqn: THEREFORE ```a=3]

따라서, [eqn: 80]시간 이상 ～ [eqn: 90]시간 미만인 계급의 상대도수는 [eqn: {3} over {30} =0.1]이다.

[3점][2006년 4월]

① [eqn: 0.05]	② [eqn: 0.1]	③ [eqn: 0.15]	④ [eqn: 0.2]	⑤ [eqn: 0.25]

평균이 [eqn: 8], 분산이 [eqn: {9}]인 [eqn: 10]개의 실수 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}],  [eqn: CDOTS] ,[eqn: a _{10}]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=(x-a _{1} ) ^{2} +(x-a _{2} ) ^{2} + `CDOTS `+(x-a _{10} ) ^{2}] 이 [eqn: x=`p]에서 최소값 [eqn: q]를 갖는다. 이 때, [eqn: p+q]의 값은?

④

[eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{10}]의 평균을 [eqn: m], 분산을 [eqn: sigma ^{2}]이라 하면

[eqn: m= {a _{1} +a _{2} + ``CDOTS`` +a _{10}} over {10}=8],

[eqn: sigma ^{2} = {(a _{1} -m) ^{2} +(a _{2} -m) ^{2} + ``cdots``+(a _{10} -m) ^{2}} over {10}= 9]

[eqn: LEFT . f(x)=10x ^{2} -2(a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{10} )x+(a _{1} ` ^{2} +a _{2} ` ^{2} + CDOTS +a _{10} ` ^{2} )]

따라서 [eqn: x= {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{10}} over {10}=m]일 때,  함수 [eqn: f(x)]는 최소값 [eqn: {(a _{1} -m) ^{2} +(a _{2} -m) ^{2} + ``cdots``+(a _{10} -m) ^{2}}]을 갖는다.

[eqn: THEREFORE ```p=8]이고, [eqn: sigma^2 = q over 10 = 9]에서  [eqn: q=90]

[eqn: THEREFORE ```p+q=98]

[4점][2006년 4월]

① [eqn: 95]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 97]	④ [eqn: 98]	⑤ [eqn: 99]

수시 모집 정원이 [eqn: 10]명인 ○○대학교 ○○학과에 [eqn: 110]명이 응시하였다. 합격자 전체의 평균 점수는 응시자 전체의 평균 점수보다 [eqn: 10]점이 높았고, 불합격자 전체의 평균 점수는 [eqn: 50]점이었다.
이 때, 합격자 전체의 평균 점수를 구하시오.

61

합격자 전체의 점수의 합을 [eqn: a], 불합격자 전체의 점수의 합을 [eqn: b]라 하면 그 평균은 각각 [eqn: {a} over {10}], [eqn: {b} over {100}]이다.

[eqn: {a} over {10} = {a+b} over {110} +10], [eqn: {b} over {100} =50]에서 [eqn: a=610], [eqn: b=5000]

따라서 합격자 전체의 평균 점수는 [eqn: {a} over {10} =61]

[4점][2006년 4월]

다음 [eqn: 10]개의 자료에서 한 개의 자료 [eqn: x`]를 제외한 나머지 [eqn: 9]개 자료의 평균을 [eqn: m`]이라 하자.

[eqn: 2, ~4, ~6, ~8,~ 10,~ 12,~ 14,~ 16,~ 18,~ 20]

[eqn: 31_` over 3 ＜`m`＜`11]이 되도록 하는 모든 [eqn: x`]의 값의 합은?

③

9개의 자료의 평균[eqn: m`]이 [eqn: 31 over 3 < m < 11`] 이므로

9개의 자료의 총합은  [eqn: 93< 9m < 99`]  [eqn: cdots㉠`] 이다.

10개의 자료의 총합은

[eqn: sum_k=1^10 2k = 2 cdot { 10 cdot 11} over2 = 110`]

이므로 [eqn: 9m = 110 - x`]이고, ㉠에서

[eqn: 93 < 110-x `<99`]

∴ [eqn: 11<x<17`]

따라서, [eqn: x`]의 값은 12 또는 14 또는 16이므로 구하는 합은 42이다.

[3점][2006년 6월]

① [eqn: 30]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 42]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 54]

[eqn: 10]개의 자료 [eqn: x_1 , ``x_2 ,`` cdots, ``x_10]에 대하여
[eqn: y_i `= {1_`} over 10 x_i - 5] [eqn: (i`=1,``2, `⋯,``10)]
을 만족시키는 [eqn: 10]개의 자료 [eqn: y_1 , ``y_2 , `cdots, ``y_10]을 얻었다.
[eqn: sum FROM i=1^` TO 10_` y_i `= 10], [eqn: sum FROM i=1^` TO 10_` y_i^{2} = 68]	일 때, [eqn: 10]개의 자료 [eqn: x_1 ,`` x_2 , `cdots, ``x_10]의 분산을 구하시오.

[eqn: 580`]

10개의 자료[eqn: y_1 ,``y_2 ,``cdots , y_10`]의 평균[eqn: m_y`]는

[eqn: m_y = {sum_i=1^10 y_i } over 10 = 10 over 10 = 1`]

이므로 [eqn: y_1 ,``y_2 ,``cdots , y_10`]의 분산[eqn: σ_y`^2`]은

[eqn: σ_y `^2 `= {sum_i=1^10 y_i`^2 } over 10 - 1^2 = 68 over 10 - 1 = 5.8`]

[eqn: y_i = 1over10 x_i -5`]에서 [eqn: x_i = 10y_i + 50`]이므로

[eqn: x_1 , x_2 , cdots , x_10`]의 분산[eqn: σ_x``^2`]은

[eqn: σ_x``^2 = 100 σ_y``^2` = 100 × 5.8 = 580`]

[4점][2006년 6월]

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형을 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 9]개로 나누고, 이 중에서 [eqn: 3]개를 색칠할 때 나타나는 모양은 다음과 같이 세 가지 유형으로 분류할 수 있다.

(가) 유형 [eqn: 1] :           ,     와 같은 모양

(나) 유형 [eqn: 2] :        ,        ,        ,        와

같은 모양

(다) 유형 [eqn: 3] : 유형 [eqn: 1]도 아니고 유형 [eqn: 2]도 아닌 모양

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 위의 정사각형 [eqn: 9]개 중에서 임의로 [eqn: 3]개를 색칠하여 얻은 모양의 유형에 따라 확률변수 [eqn: X`]는 다음과 같다고 하자.

[eqn: X`=` {cases{pile{1``````````#2``````````}&pile{(유형```1인```경우)#(유형```2인```경우)}#3&(유형```3인```경우)}}]

[eqn: \E`(42X`)]의 값을 구하시오.

[eqn: 112`]

9개의 정사각형 중 3개를 택하여 색칠하는 경우의 수는

[eqn: `_9 C_3 = 84`] (가지)

유형1의 모양으로 색칠하는 경우의 수는

[eqn: 6`](가지)

유형2의 모양으로 색칠하는 경우의 수는

[eqn: 4×4 =16`](가지)

유형3의 모양으로 색칠하는 경우의 수는

[eqn: 84 - (6+16) = 62`](가지)

이므로 [eqn: P(X=1) = 6 over 84 = 3 over 42`],

[eqn: P(X=2) = 16 over 84 = 4 over 21`],

[eqn: P(X=3) = 62 over 84 = 31 over 42`]

∴ [eqn: E(X) = 1 × 3 over 42 + 2 × 4 over 21 + 3 × 31 over 42` = 56 over 21`]

∴ [eqn: E(42 X) = 42 E(X) = 42 × 56 over 21 = 112`]

[3점][2006년 6월]

이산확률변수 [eqn: X `]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	…	[eqn: 10]	계
[eqn: \P LEFT ( X=x` RIGHT )]	[eqn: p_0]	[eqn: p_1]	[eqn: p_2]	…	[eqn: p_10]	[eqn: 1]
(단, [eqn: p_i ```＞`0]이고 [eqn: i=0,~1, ~2,~ …,~10]이다.)

집합 [eqn: left{ x vert 0`≦`x`≦`10 right}`]에서 정의된 두 함수 [eqn: F`(x`),~G``(x`) `]가
[eqn: F``(x`) = \P (0 `≦`X` ≦` x`)], [eqn: G``(x`) = \P (X ` ＞ x`)]
일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: G(3) = P(X>3`)`]

[eqn: = 1- P(0<= X<= 3)`]

[eqn: = 1- F(3)`]  (참)

ㄴ. [eqn: P(3<= X<= 8 ) = P(0<= X<= 8 ) - P(0<= X<3 )`]

[eqn: = P(0<=X<=8 ) - P(0<=X<= 2 )`]

[eqn: = F(8) - F(2)`]  (거짓)

ㄷ. [eqn: P(3<= X<= 8 ) = P(X>= 3) - P(X>8 )`]

[eqn: = P(X>2 ) - P(X>8 )`]

[eqn: = G(2) - G(8)`]  (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점][2006년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: G``(3) = 1- F``(3)] ㄴ. [eqn: \P (3`≦` X` ≦ 8)=F``(8) - F``(3)] ㄷ. [eqn: \P (3`≦` X `≦8)=G``(2)-G`(8)]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

어느 농장에서 한 상자에  [eqn: 40 `]개의 과일을 넣어 판매하고 있는데, 한 상자당 상한 과일의 개수는  [eqn: 2`]개라 한다. 한 상자에서 [eqn: 3]개의 과일을 임의추출하여 상한 과일이 없으면 이 상자를 [eqn: 5,000`]원에 판매하고, 상한 과일이  [eqn: 1]개 이상이면 상자 속의 상한 과일을 모두 정상인 과일로 바꾸어 [eqn: 6,000`]원에 판매한다. 이러한 방식으로 [eqn: 130]상자를 판매할 때, 전체 판매액의 기대값은?

⑤

한 상자에서 3개를 임의추출할 때 나오는 상한 과일의 개수를 확률변수[eqn: X`]라고 하면

[eqn: P(X=0)= {``_38 C_3 } over{ ``_40 C_3 }` = `111over130`]

[eqn: P(X>=1 )` = 1- P(X=0 )` = 1- 111 over 130 = 19 over 130`]

이므로 한 상자를 판매할 때 판매액의 기댓값은

[eqn: 5000 × 111 over 130 + 6000 × 19 over 130`] (원)

이고, 130상자를 판매할 때 전체 판매액의 기댓값은

[eqn: 130 × left( 5000 × 111 over 130 + 6000 × 19 over 130 ``right)`]

[eqn: = 555000 + 114000`]

[eqn: = 669000`](원)

[3점][2006년 9월]

① [eqn: 749,000 `]원	② [eqn: 729,000 `]원

③ [eqn: 709,000 `]원	④ [eqn: 689,000]원

⑤ [eqn: 669,000]원

다음은 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포가
[eqn: rm P it (X=k)= {1} over {10} +(-1) ^{`k} `p~~~(k=1,~2,~3,~ CDOTS ~,~2n)]
인 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표이다.

[eqn: X`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2n]	계
[eqn: rm P( it X=k)]	[eqn: 1 over 10 `-` p]	[eqn: 1 over 10 `+` p]	[eqn: 1 over 10 `-` p]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1 over 10 `+` p]	1

확률변수 [eqn: X`]의 기대값이 [eqn: rm E(it X)= {23} over {4} `]일 때, [eqn: {1} over {p}`]의 값을 구하시오. (단,  [eqn: 0<p< {1} over {10}`]이고, [eqn: n`]은 자연수이다.)

20

[eqn: LEFT( 1over 10 -p RIGHT) +LEFT( 1over 10 +p RIGHT) +LEFT( 1over 10 -p RIGHT)+…+LEFT( 1over 10 +p RIGHT) =1]이므로

[eqn: 2n over10 =1] 따라서 [eqn: n=5]

확률변수 [eqn: X]의 기대값이 [eqn: 23over4]이므로

[eqn: rm E( it X)][eqn: = 1`` LEFT( 1over 10 -p right)` +`2`` LEFT( 1over 10 +p right) `+`…`+`10 ` LEFT( 1over 10 +p right)`]

[eqn: = 1 over10 `(1`+`2`+`…`+`10) `+`( -p`+`2p-`…`+`10p)`]

[eqn: = 55 over10` +`5p `= 23 over4]

따라서 [eqn: p= 1 over20]이므로  [eqn: { 1} over {p } = 20`]

[4점][2006년 10월]

남학생이 [eqn: 20]명, 여학생이 [eqn: 10]명인 학급에 대한 독후감 평가 점수의 남학생과 여학생의 평균은 각각 [eqn: 5]점, [eqn: 4]점이고 표준편차는 각각 [eqn: 2]점, [eqn: 3]점이다. 이 학급 전체 [eqn: 30]명의 점수에 대한 분산이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p`,`q]는 서로소인 자연수이다.)

②

남학생의 점수를 [eqn: x _{i}], 여학생의 점수를 [eqn: y _{i}]라 하면

[eqn: {1} over {20} sum _{i=1} ^{20} x _{i} =5], [eqn: {1} over {10} sum _{i=1} ^{10} y _{i} =4]

[eqn: sum _{i=1} ^{20} x _{i} =100], [eqn: sum _{i=1} ^{10} y _{i} =40]

따라서 (전체 [eqn: 30]명의 점수에 대한 평균)[eqn: = { {14} over {3}]

[eqn: {1} over {20} sum _{i=1} ^{20} x _{i} ^{2} -5 ^{2} =4], [eqn: {1} over {10} sum _{i=1} ^{10} y _{i} ^{2} -4 ^{2} =9]

[eqn: sum _{i=1} ^{20} x _{i} ^{2} =580], [eqn: { sum _{i=1} ^{10} y _{i} ^{2} =250]

(전체 [eqn: 30]명의 점수에 대한 분산)

[eqn: = {580+250} over {30} - LEFT ( {14} over {3} RIGHT ) ^{2} = {53} over {9}]

[eqn: THEREFORE ```9+53=62]

[4점][2007년 4월]

① [eqn: 61]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 63]	④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 65]

확률변수 [eqn: X`]가 취하는 모든 값이 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: `99]일 때, [eqn: X=`k]일 확률은 [eqn: rm P( it X=k)= {a} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}}]([eqn: k=][eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: `99])이다.
[eqn: rm P( it X=16)+ rm P( it X=17)+ rm P( it X=18)+` CDOTS `+ rm P( it X=99)=b]
라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

②

[eqn: rm P( it X=k)= {a} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}} cdot {{sqrt {k+1} - sqrt {k}} } over { {sqrt {k+1} - sqrt {k}}}]

[eqn: =a CDOT ( sqrt {k+1} - sqrt {k} `)]

[eqn: sum _{k=1} ^{99} rm P( it X=k)=a LEFT { ( sqrt {2} - 1 )+( sqrt {3} - sqrt {2} )+` CDOTS][eqn: LEFT. +( sqrt {100} - sqrt {99} `) RIGHT }]

[eqn: =`a LEFT ( sqrt {100} -1 RIGHT ) =9a=1]   [eqn: THEREFORE a= {1} over {9}]

[eqn: b=`1-` LEFT { rm P it (X=1)+ rm P it (X=2)+ CDOTS + rm P it (X=15) RIGHT }]

[eqn: =1- {1} over {9} LEFT { ( sqrt {2} - 1)+( sqrt {3} - sqrt {2})+ `CDOTS] [eqn: +( sqrt {16} - sqrt {15} ) RIGHT }]

[eqn: =`1- {1} over {9} ` LEFT ( 4-1 RIGHT ) `=` {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE `a+b`=` {1} over {9} +` {2} over {3} = {7} over {9}]

[3점][2007년 4월]

①  [eqn: {5} over {9}]	②  [eqn: {7} over {9}]	③   [eqn: 1]	④ [eqn: {11} over {9}]	⑤ [eqn: {13} over {9}]

그림은 [eqn: 1]점부터 [eqn: 6]점까지 점수가 적힌 다트판에 다트를 [eqn: 10]번  던져서 맞힌 곳을 점으로 나타낸 것이다.  [eqn: 10]번 던져서 얻은 점수들의 분산은?

③

(평균)[eqn: = {1} over {10} LEFT { 1 TIMES 1+2 TIMES 1+3 TIMES 3+4 TIMES 3+5 TIMES 1+6 TIMES 1 RIGHT }] [eqn: =3.5]

(분산)[eqn: = {1} over {10} LEFT { 1 ^{2} TIMES 1+2 ^{2} TIMES 1+3 ^{2} TIMES 3][eqn: + 4 ^{2} TIMES 3+5 ^{2} TIMES 1+6 ^{2} TIMES 1 RIGHT } - LEFT ( 3.5 RIGHT ) ^{2}][eqn: =1.85]

[3점][2007년 4월]

①  [eqn: 1]	② [eqn: 1.25]	③ [eqn: 1.85]	④ [eqn: 2.25]	⑤  [eqn: 3]

[eqn: n >= 2`]에 대하여 [eqn: n`]개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수의 최대값과 최소값의 차를 확률변수 [eqn: X`]라 할 때, 확률  [eqn: rm P it LEFT ( X>1 RIGHT )]을 구하는 과정이다.

	[eqn: n`]개의 주사위를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6 ^{n}]가지이다. [eqn: X>1`]의 여사건의 경우는 [eqn: X <= 1`]인 경우로 [eqn: X=0`], [eqn: X=1`]의 두 가지이다. (ⅰ) [eqn: X=0`]인 경우 [eqn: n`]개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 모두 같아야 되므로 경우의 수는 가지이다. (가) (ⅱ) [eqn: X=1`]인 경우 연속인 두 눈의 수가 나와야 한다. 즉, [eqn: 1`]과 [eqn: 2`], [eqn: 2`]와 [eqn: 3`], [eqn: 3`]과 [eqn: 4`], [eqn: 4`]와 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 6`]이 나와야 한다. 그런데 [eqn: n`]개의 주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 수가 [eqn: 1`]또는 [eqn: 2`]인 것은 가지이고, 이 중에서 모두 [eqn: 1`]인 것과 [eqn: 2`]인 것은 제외해야 하므로 ([eqn: -2`])가지이다. [eqn: 2`]와 [eqn: 3`], [eqn: 3`]과 [eqn: 4`], [eqn: 4`]와 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 6`]인 경우도 마찬가지이므로 모든 경우의 수는 ([eqn: `-2 RIGHT ) TIMES 5`]이다. (나) (나) (나) 따라서, [eqn: rm P it LEFT ( X <= 1 RIGHT ) = {~~~```````~~+ LEFT ( ~~~~~``-2 RIGHT ) TIMES 5} over {6 ^{n}} `]이므로 (나) (가) [eqn: rm P it LEFT ( X>1 RIGHT ) = rm 1-P it LEFT ( X <= 1 RIGHT ) =] 이다. (다)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

②

[eqn: n]개의 주사위를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6^n]가지이다.

[eqn: X>1`]의 여사건의 경우는 [eqn: X <= 1`]인 경우로 [eqn: X=0`], [eqn: X=1`]의 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: X=0`]인 경우

[eqn: n`]개의 주사위의 눈이 모두 같아야 되므로 경우의 수는 [eqn: 6]가지이다.

(ⅱ) [eqn: X=1`]인 경우

연속한 두 눈이 나와야 한다. 즉, [eqn: 1`]과 [eqn: 2`], [eqn: 2`]와 [eqn: 3`], [eqn: 3`]과 [eqn: 4`], [eqn: 4`]와 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 6`]이 나와야 한다.

그런데 [eqn: n`]개의 주사위를 던졌을 때 나오는 눈이 [eqn: 1`] 또는 [eqn: 2`]인 것은 [eqn: 2^n]가지이고, 이 중에서 모두 [eqn: 1`]인 것과 [eqn: 2`]인 것은 제외해야 하므로 [eqn: left(2^n][eqn: -2`right)]가지이다.

[eqn: 2`]와 [eqn: 3`], [eqn: 3`]과 [eqn: 4`], [eqn: 4`]와 [eqn: 5`], [eqn: 5`]와 [eqn: 6`]인 경우도 마찬가지이므로 모든 경우의 수는 ([eqn: 2^n][eqn: LEFT. -2 RIGHT ) TIMES 5`]이다.

따라서, [eqn: rm P it LEFT ( X <= 1 RIGHT ) = {6+ LEFT ( 2^n -2 RIGHT ) TIMES 5} over {6 ^{n}} `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: rm P it LEFT ( X>1 RIGHT ) ``= rm 1-P it LEFT ( X <= 1 RIGHT ) `=1- {5} over {3 ^{n}} + {4} over {6 ^{n}}]

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 6`]	[eqn: n^2]	[eqn: 1- {10n} over {6 ^{n}} + {4} over {6 ^{n}} `]
②	[eqn: 6`]	[eqn: 2^n]	[eqn: 1- {5} over {3 ^{n}} + {4} over {6 ^{n}} `]
③	[eqn: 6`]	[eqn: 2 ^{n} `]	[eqn: 1- {10n} over {6 ^{n}} + {4} over {6 ^{n}} `]
④	[eqn: 3`]	[eqn: 2n]	[eqn: 1- {5} over {3 ^{n}} + {4} over {6 ^{n}} `]
⑤	[eqn: 3`]	[eqn: 2n]	[eqn: 1- {10n} over {6 ^{n}} + {4} over {6 ^{n}} `]

다음 [eqn: 9]개의 자료에서 평균을 [eqn: m`], 표준편차를 [eqn: sigma `]라 할 때,
구간 [eqn: (m- sigma ,``m+ sigma )]에 있는 자료의 개수는?

③

평균 [eqn: m=5]

분산 [eqn: sigma ^{2} = {1} over {9} sum _{k=1} ^{9} `k ^{2} -5 ^{2}] [eqn: = {1} over {9} CDOT {9 CDOT 10 CDOT 19} over {6} -25= {20} over {3}]

표준편차 [eqn: sigma `= sqrt {{20} over {3}}] 이고 [eqn: 2< sigma <3]이므로

[eqn: (m- sigma ,~m+ sigma )]인 수는 [eqn: 3,~4,~5,~6,~7]이다.

[3점][2007년 5월]

[eqn: 1]      [eqn: 2]      [eqn: 3]      [eqn: 4]      [eqn: 5]      [eqn: 6]      [eqn: 7]      [eqn: 8]      [eqn: 9]

①  [eqn: 3]	②  [eqn: 4]	③  [eqn: 5]	④  [eqn: 6]	⑤  [eqn: 7]

검은 공 [eqn: 3]개, 흰 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니가 있다.
이 주머니에서 한 개의 공을 꺼내어 색을 확인한 후 다시 넣지 않는다. 이와 같은 시행을 반복할 때, 흰 공 [eqn: 2]개가 나올 때까지의 시행 횟수를 [eqn: X`]라 하면 [eqn: \P(X`＞3)={ q_`} over {p }]이다.
[eqn: p`+ q`]의 값을 구하시오. (단,[eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

17

[eqn: rm P(X`＞3)`=`1- rm P(X` <= `3)]에서

[eqn: \P(X`≦`3)`=` \P(X`=`2)+ \P(X`=`3)]

[eqn: \P(X`=`2)`=`{`_2 \C_2} over {`_5 \C_2} `=`1_` over 10]

[eqn: \P(X`=`3)`=`{`_3 \C_1 TIMES `_2 \C_1} over {`_5 \C_2} ` TIMES `{1`}_` over {3`} `=`2_` over 10]

[eqn: THEREFORE ~ \P(X`＞`3)`=`1- LEFT ( {1`}_` over 10 + {2`}_` over 10RIGHT ) `=`{7`}_` over 10]

[eqn: THEREFORE ~ p`=`10~~ q`=`7~~ p+q`=`17]

[4점][2007년 6월]

10개의 자료 [eqn: x_1 ,` ``x_2 , ``cdots, ```x_10]이 이 순서로 공차가 양수인 등차수열을 이룰 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

[eqn: x_n `=` x_1 + (n-1) d`]라 하면

ㄱ. [eqn: x_1 + x_3 + x_5 + x_7 + x_9 `=`5(x_1 +4d`)]

[eqn: x_2 + x_4 + x_6 + x_8 + x_10`=`5(x_1 + 5d`)]

따라서, 둘의 평균은 다르다.    [eqn: THEREFORE ~]거짓

ㄴ. [eqn: x_6 + x_7 + x_8 + x_9 + x_10 `=` 5(x_1 + 7 d`)]

[eqn: x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 `=` 5(x_1 + 2 d`)]

[eqn: THEREFORE ~{x_6 + x_7 + x_8 + x_9 + x_10 }over 5]

[eqn: = {x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 }over 5 + 5d]    [eqn: THEREFORE ~]참

ㄷ.[eqn: x_2 `=` x_1 + d, ~ x_4 `=` x_3 + d ,]

[eqn: x_6 `=` x_5 + d, ~x_8 `=` x_7 + d, ~x_10 `=`x_9 +d`]

이므로 [eqn: \V(X+d`)` =` \V(X`)`]에서 두 자료의 분산은 같다.    [eqn: THEREFORE ~]참

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[3점][2007년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x_1 ,`` x_3 ,`` x_5 ,`` x_7 ,`` x_9 `]의 평균과 10개의 자료 [eqn: x_1 ,` ``x_2 , ``cdots, ```x_10`]의 평균은 같다. ㄴ. [eqn: x_6 ,`` x_7 ,`` x_8 ,`` x_9 ,`` x_10 `]의 평균과 [eqn: x_1 ,`` x_2 ,`` x_3 ,`` x_4 ,`` x_5 `]의 평균의 차는 공차의 5배이다. ㄷ. [eqn: x_1 ,`` x_3 ,`` x_5 ,`` x_7 ,`` x_9 `]의 분산과 [eqn: x_2 ,`` x_4 ,`` x_6 ,`` x_8 `,``x_10`]의 분산은 같다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 1]이 적힌 구슬이 [eqn: 1]개, [eqn: 2]가 적힌 구슬이 [eqn: 2]개, [eqn: 3]이 적힌 구슬이 [eqn: 3]개, [eqn: CDOTS] , [eqn: 10]이 적힌 구슬이 [eqn: 10]개 들어 있는 주머니가 있다.
이 주머니에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼낼 때, 그 구슬에 적힌 숫자를 [eqn: X``]라 하자. 이때, 확률변수 [eqn: 5X+2``]의 평균을 구하시오.

37

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	…	[eqn: 10]
[eqn: {rmP}(X)]	[eqn: 1over55]	[eqn: 2 over55]	[eqn: 3over55]	…	[eqn: 10over55]

[eqn: {rmE}(X) = 1over55 LEFT ( 1^2 +2^2 +3^3 + cdots+10^2RIGHT ) =7]

[eqn: {rmE}(5X+2)=5{rmE}(X)+2 =37]

[3점][2007년 10월]

표는 어느 고등학교 학생 [eqn: 100]명을 대상으로 학교에 등교할 때 이용하는 교통수단을 조사한 것이다.

교통수단	인원
도보 또는 자전거	[eqn: 34]
부모님 자가용	[eqn: 6]
버스	[eqn: 23]
지하철	[eqn: 15]
자전거와 지하철	[eqn: 5]
버스와 지하철	[eqn: 17]
계	[eqn: 100]

위의 교통수단 중 대중교통수단은 버스, 지하철 두 가지이다. 이 [eqn: 100]명의 학생 중 임의로 택한 한 명이 학교에 등교할 때 이용하는 대중교통수단의 가짓수를 [eqn: X``]라 하자. 이때, 확률변수 [eqn: 100`X``]의 평균을 구하시오.

77

[eqn: {\E}(X)][eqn: = 0× 40 over 100 + 1× 43 over 100 + 2 × 17 over 100 = 0.77]

∴ [eqn: {\E}(100X)=100{\E}(X) =77]

[3점][2007년 10월]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 순서쌍 [eqn: (a_1 , ``a_2 ,``a_3 ,``a_4 )]로 나타낸다. 서로 다른 순서쌍을 모두 구하여 각각을 [eqn: A _{1} ,``A _{2} `,``]…[eqn: ,``A _{k} `]라 하자.
순서쌍 [eqn: A sub i `]([eqn: i`=`1`,~2`,]…[eqn: ,``k`])에 속한 모든 성분의 합을 [eqn: s sub i `]라 할 때, [eqn: sum from i=1 to k s sub i over k `]의 값을 구하시오.

14

[eqn: s sub 1 over 4 `=` X sub 1 `,~ s sub 2 over 4``=` X sub 2 `,~ … `,~ s sub k over 4 `=` X sub k `]라 하면

[eqn: X sub 1 `,~ X sub 2 `,~ … ,~ X sub k `]는 주어진 문제에서 모집단이 [eqn: 1`,~2`,~…, 6]일 때, 크기가 [eqn: 4`]인 표본집단의 평균들이다.

여기에서 표본평균의 평균 [eqn: {X sub 1 + X sub 2 + `…`+X sub k } over k `]는 모집단의 평균과 같으므로 [eqn: {X sub 1 + X sub 2 + `…`+X sub k } over k ` `=` 7 over 2 `]이다.

∴[eqn: sum from i=1 to k s sub i over k `][eqn: `=` {s sub 1 + s sub 2 + `…`+s sub k } over k `]
[eqn: `=` 4 left ( { X sub 1 + X sub 2 + … + X sub k } over k right ) `=` 4 `times `7 over 2 `=` 14]

[4점][2007년 10월]

어느 시험에서 여학생의 평균이 남학생보다 [eqn: 3]점 높고 남학생의 분산은 [eqn: 15], 여학생의 분산은 [eqn: 12]이다. 시험에 응시한 남학생의 수가 여학생의 [eqn: 2]배일 때, 시험에 응시한 전체 학생의 분산은?

④

여학생의 수를 [eqn: N], 남학생의 평균을 [eqn: m], 남학생들의 점수를 [eqn: x _{i}], 여학생들의 점수를 [eqn: y _{i}]라 하면 전체학생의 분산은

[eqn: {1} over {3N} LEFT ( sum _{i=1} ^{2N} x _{i} ^{2} + sum _{i=1} ^{N} y _{i} ^{2} RIGHT ) - left { {1} over {3N} LEFT ( sum _{i=1} ^{2N} x _{i} + sum _{i=1} ^{N} y _{i} RIGHT ) right } ^{2}]

[eqn: LEFT . = {2N(m ^{2} +15)+N LEFT { (m+3) ^{2} +12 RIGHT }} over {3N}][eqn: - LEFT ( {2mN+(m+3)N} over {3N} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {3m ^{2} +6m+51} over {3} - {3m ^{2} +6m+3} over {3}][eqn: =16]

[4점][2008년 4월]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

다음은 이산확률변수 [eqn: X`] 에 대한 확률분포표이다.

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: a]	계
[eqn: {rm P}(X=x)]	[eqn: b]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1]

[eqn: E(X`)=4] 일 때, [eqn: V`(X `)] 의 값은?

①

[eqn: b= {1} over {2} `,```E` LEFT ( X RIGHT ) =1+1+ {a} over {4} =4`,````a=8]

[eqn: THEREFORE V LEFT ( X RIGHT ) =4․` {1} over {2} +16․` {1} over {4} +64․` {1} over {4} -16``=`6]

[[eqn: 3`]점][2008년 7월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

이산확률변수 [eqn: X`]가 취할 수 있는 값이 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2] 이고 [eqn: X`]의 확률질량함수가

[eqn: \P(X=x)=]	□ □ □	[eqn: k- {x_`} over 9] [eqn: k+ {x_`} over 9]	[eqn: (x=-2,``-1,``0)] [eqn: (x=1,``2)]

일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

①

[eqn: P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)]

[eqn: +P(X=1)+P(X=2) = 1] 이므로

[eqn: ( k+ 2 over 9 ) + (k+ 1 over 9 ) + k + (k + 1 over 9 )][eqn: + ( k + 2 over 9 )]

[eqn: = 5k + 6 over 9 = 1], [eqn: 5k = 1 over 3]

[eqn: therefore] [eqn: k = 1 over 15]

[3점][2008년 9월]

① [eqn: {1_`} over 15]	② [eqn: {2_`} over 15]	③ [eqn: {1_`} over {5`}]	④ [eqn: {4_`} over 15]	⑤ [eqn: {1_`} over {3 `}]

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: \P LEFT( X=x RIGHT)]	[eqn: {3_`} over {10}]	[eqn: p]	[eqn: {1_`} over {10}]	[eqn: p]	[eqn: p]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: 5X+3]의 평균 [eqn: \E(5X+3)]은?

①

확률의 총합은 1이므로

[eqn: 4 over 10 + 3p = 1]  [eqn: therefore] [eqn: p = 1 over 5]

[eqn: E(X) = 1 TIMES 3 OVER 10 + 2p + 3 times 1 over 10 + 4p + 5p]

[eqn: = 6 over 10 + 11p = 14 over 5]

[eqn: therefore] [eqn: E(5X+3)= 5E(X)+3]

[eqn: = 5 TIMES 14 OVER 5 + 3 = 17]

[3점][2008년 9월]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원의 둘레를 [eqn: 6]등분한 점에 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 번호를 하나씩 부여하였다. 한 개의 주사위를 두 번 던져 나온 눈의 수에 해당하는 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라 하자. 두 점 [eqn: \A], [eqn: \B] 사이의 거리를 확률변수 [eqn: X`]라 할 때, [eqn: X`]의 평균 [eqn: \E(X`)]는?

④

확률변수 [eqn: X]가 취할 수 있는 값은 0, 1, [eqn: ROOT3], 2 이므로 확률분포표를 만들면 다음과 같다.

[eqn: X]	0	1	[eqn: ROOT3]	2	합
[eqn: P(X)]	[eqn: 1 OVER 6]	[eqn: 1 OVER 3]	[eqn: 1 OVER 3]	[eqn: 1 OVER 6]	1

[eqn: therefore] [eqn: E(X) = 1 TIMES 1 OVER 3 + ROOT3 TIMES 1 OVER 3 + 2 TIMES 1 OVER 6][eqn: = {2+ ROOT3} OVER 3]

[3점][2008년 9월]

① [eqn: {1+SQRT { 2`}}_` over 3]	② [eqn: {1+SQRT { 3`}}_` over 3]	③ [eqn: {2+SQRT { 2`}}_` over 3]

④ [eqn: {2+SQRT { 3`}}_` over 3]	⑤ [eqn: {1+2SQRT { 3`}}_` over 3]

표는 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 나타낸 것이다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rm P it (X=x)]	[eqn: {2} over {5}]	[eqn: 20`a ^{2}]	[eqn: 10`a ^{2}]	[eqn: 3`a]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X`]의 평균을 [eqn: {q} over {p} `]라 할 때, [eqn: p``+`q``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 23``]

[eqn: 20a ^{2} +10a ^{2} +3a= {3} over {5}]에서 [eqn: a= {1} over {10}]

[eqn: X]의 평균 [eqn: rmE(itX``)]는

[eqn: rm E it (X``)=0 TIMES {2} over {5} +1 TIMES {1} over {5} +2 TIMES {1} over {10} +3 TIMES {3} over {10}] [eqn: = {13} over {10}]

∴ [eqn: `p+q=23]

[3점][2009년 3월]

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 5]개의 자료 [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: a``], [eqn: b``]의 평균이 [eqn: 6]이고 표준편차가 [eqn: sigma]일 때, [eqn: root 2 LEQ sigma LEQ 2]가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: (a,``b)]의 개수는?

④

[해설] 평균 [eqn: 6= {5+7+8+a+b} over {5}]

[eqn: sigma ^2 ={(-1) ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2} +(a-6) ^{2} +(b-6) ^{2}} over {5}]

위의 두 식에서 [eqn: sigma^2 ={2a^2 -20a +58} over 5]이다.

[eqn: root2 LEQsigma LEQ2]이므로 [eqn: 2 LEQ{2a^2 -20a +58} over 5 LEQ 4] 이다. 따라서

[eqn: 5- root6 LEQa LEQ4] 또는 [eqn: 6LEQa LEQ5+root6]이다.

구하는 순서쌍은 [eqn: (3,``7)], [eqn: (4,``6)], [eqn: (6,``4)], [eqn: (7,``3)]

이므로 모두 [eqn: 4]개다.

[4점][2009년 4월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

고등학교 남학생 [eqn: 10]명의 몸무게를 측정하였더니 평균이 [eqn: 60]kg이고 표준편차는 [eqn: 10]kg이었다. 이 측정 결과는 실제 몸무게가 [eqn: 80]kg인 한 학생의 몸무게를 잘못 기록했기 때문이다. 이 남학생 [eqn: 10]명의 실제 몸무게의 평균은 [eqn: 65]kg이고 표준편차는 [eqn: sigma ^{}]kg이다. 분산 [eqn: sigma ^{2}]의 값을 구하시오.

25

남자 [eqn: 10]명의 실제 몸무게를 각각 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_10], 이 중에서 잘못 기록한 학생의 실제 몸무게를 [eqn: a_i]라 하자.

잘못 기록한 경우의 [eqn: 10]명의 몸무게의 합은 [eqn: 600]kg이고 실제 [eqn: 10]명의 몸무게의 합은 [eqn: 650]kg이므로 몸무게의 차이는 [eqn: 50]kg이다.

잘못 기록한 몸무게의 분산

[eqn: 10 ^{2} = {1} over {10} LEFT { (a _{1} -60) ^{2} +(a _{2} -60) ^{2} + CDOTS RIGHT .]

[eqn: +(a _{i} -50-60) ^{2} + CDOTS +(a _{10} -60) ^{2} right}}] [eqn: cdotscdots]①

실제 몸무게의 분산

[eqn: sigma ^{2} = {1} over {10} LEFT { (a _{1} -65) ^{2} +(a _{2} -65) ^{2} + CDOTS RIGHT .]

[eqn: +(a _{i} -65) ^{2} + CDOTS +(a _{10} -65) ^{2} right}}] [eqn: cdotscdots]②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: sigma^2 =25]이다.

[4점][2009년 4월]

어느 자판기에서는 고급커피, 일반커피, 유자차, 율무차 [eqn: 4]종류의 제품을 판매한다. 한 잔에 고급커피는 [eqn: 300]원, 일반커피는 [eqn: 250]원, 유자차와 율무차는 각각 [eqn: 100]원씩 판매하고 있다. 서로 다른 두 종류의 제품을 한 잔씩 구입할 때, 필요한 금액의 평균은?

④

[eqn: 2]가지 제품을 구입할 때의 금액은 [eqn: 550]원, [eqn: 400]원, [eqn: 350]원, [eqn: 200]원으로 각각 경우의 수는 [eqn: 1]가지, [eqn: 2]가지, [eqn: 2]가지, [eqn: 1]가지이다. 따라서, 평균은

[eqn: {550``+``400・2``+``350・2``+``200} over {6} =375](원)

[3점][2009년 7월]

① [eqn: 300]원	② [eqn: 325]원	③ [eqn: 350]원	④ [eqn: 375]원	⑤ [eqn: 400]원

이산확률변수 [eqn: X]에 대한 확률질량함수
[eqn: rm `P it (X=x)= {k} over {x(x+1)} `(x=1,~2,~3,~ CDOTS ,~10)] 이 정의되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은?

③

[eqn: sum _{ x=1} ^{ 10} { k} over { x(x+1)}= sum _{ x=1} ^{ 10}k left( { 1} over { x}- { 1} over {x+1 }right)= { 10} over { 11}k =1]

[eqn: THEREFORE~k= { 11} over {10}]

[3점][2009년 7월]

① [eqn: {9} over {10}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {11} over {10}]	④ [eqn: {6} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {10}]

어느 배구선수의 공격이 성공하는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하면, [eqn: n]번 공격했을 때 [eqn: k]번 성공할 확률은 다음과 같다.
[eqn: rm `P it (X=k)=_n {rmC}_k `left(1 over2 right)^n]
이 때, [eqn: sum _{k=0} ^{n} `(k+1) ^{2} ``․`` rm P it (X=k)`=`451]을 만족하는 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 40``]

확률변수[eqn: X]는 [eqn: {rmB}(n,~p)]인 이항분포를 따르므로

[eqn: rm E it (X)= {n } over { 2}], [eqn: rm V( it X)= rm E it ( it X ^{2} )- LEFT { {rmE it }( it X) RIGHT } ^{2``} `= {n} over {4}]

[eqn: sum _{k=0} ^{n} (k+1) ^{2`} ``․``` rm P it (X=k)]

[eqn: = sum _{k=0} ^{n} (k ^{2`} +2k+1)``․` rm P it (X=k)]

[eqn: rm =E it (X ^{2} `)+2 rm E it (X ^{} `)+1=451]

따라서 [eqn: n=40]

[4점][2009년 7월]

두 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 곱을 [eqn: N`]이라 하자.

[eqn: N=k cdot 2^n `] ([eqn: k`]는 홀수, [eqn: n`]은 음이 아닌 정수)

일 때, [eqn: n`]의 값을 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 이때, 확률변수 [eqn: 3X`+9]의 평균을 구하시오.

13

[eqn: rm E( it X)=0 TIMES {1} over {4} +1 TIMES {1} over {3} +2 TIMES {5} over {18} +3 TIMES {1} over {9} +4 TIMES {1} over {36} = {4} over {3} ``]

[eqn: rm E( it 3X+9)=3{rm E} (X)+9 = 3 TIMES {4} over {3} +9=13`]

[4점][2009년 10월]

한 개의 동전을 한 번 던지는 시행을 [eqn: 5``]번 반복한다. 각 시행에서 나온 결과에 대하여 다음 규칙에 따라 표를 작성한다.

(가) 첫 번째 시행에서 앞면이 나오면 △, 뒷면이 나오면 ○를 표시한다.

(나) 두 번째 시행부터

(1) 뒷면이 나오면 ○를 표시하고,

(2) 앞면이 나왔을 때, 바로 이전 시행의 결과가
앞면이면 ○, 뒷면이면 △를 표시한다.

* 배포 *

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* 작성자 *

예를 들어 동전을 5번 던져 ‘앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면’이 나오면 다음과 같이 표가 작성된다.

시행	[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]	[eqn: 4``]	[eqn: 5``]
표시	△	○	△	○	○

한 개의 동전을 5번 던질 때 작성되는 표에 표시된 △의 개수를 확률변수 [eqn: x`]라 하자. [eqn: \P(X=2)`]의 값은?

②

동전의 앞면이 나오는 사건을 [eqn: H], 뒷면이 나오는 사건을 [eqn: T]라고 하자.

이 때, [eqn: H]가 올 수 있는 자리를 ●라고 하자.

㈀. [eqn: H]가 [eqn: 2]번, [eqn: T]가 [eqn: 3]번인 경우

[eqn: H] [eqn: 2]개가 이웃하지 않으므로

●T●T●T●가 되어 [eqn: {} _{4} C _{2}=6]가지이다.

㈁. [eqn: H]가 [eqn: 3]번, [eqn: T]가 [eqn: 2]번인 경우

[eqn: H] [eqn: 2]개는 이웃하고 나머지 [eqn: H] [eqn: 1]개는 이웃하지 않으므로

●T●T●이므로  [eqn: {} _{3} P _{2}=6]가지이다.

㈂. [eqn: H]가 [eqn: 4]번, [eqn: T]가 [eqn: 1]번 인 경우

[eqn: H]가 [eqn: 2]개씩 이웃할 때 : ●T●에서 [eqn: {} _{2} C _{2}=1]

[eqn: H]가 [eqn: 3]개씩 이웃하고 나머지 하나는 이웃하지 않을 때

●T●에서 [eqn: {} _{2} P _{2}=2]

[eqn: therefore P(X=2)= {6+6+1+2}over2^5 = 15 over32]

[4점][2009년 9월]

① [eqn: 13over32]	② [eqn: 15over32]	③ [eqn: {17} over {32}]	④ [eqn: 19over32]	⑤ [eqn: 21over32`]

표는 [eqn: k=0,``1,``2,``3,``4`]일 때, [eqn: p_{k}`=`_{30}{\C}_{k}` LEFT ( {1}over{6} RIGHT )^{k}` LEFT ( {5}over{6} RIGHT )^{30`-`k}``]의 값을 소수점 아래 셋째자리까지 나타낸 것이다.

[eqn: k`]	[eqn: 0`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]	[eqn: 4`]
[eqn: p_{k}`]	[eqn: 0.004`]	[eqn: 0.025`]	[eqn: 0.073`]	[eqn: 0.137`]	[eqn: 0.185`]

주사위를 [eqn: 30``]번 던져 [eqn: 1``]의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X``]라 할 때, 위의 표를 이용하여 [eqn: sum _{r=3} ^{30} ``r`` rm P it (X``=`r)``]의 값을 구한 것은?

②

[eqn: X``]는 이항분포 [eqn: {\B}left( 30,`` 1over 6 right)]을 따르므로

[eqn: {\E}`(X)`=` sum _{ r=0} ^{30 }`r`{\P}`(X`=`r)`=` 30`times`{1}over{6}`=`5``]

∴ [eqn: sum _{r=3} ^{30} r rm P it (X=r)][eqn: =5-0.025-0.146=4.829`]

[4점][2009년 10월]

①　[eqn: 4.765``]	②　[eqn: 4.829``]	③　[eqn: 4.902``]

④　[eqn: 4.946`]	⑤　[eqn: 4.971``]

그림과 같이 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]이 각각 하나씩 적혀 있는 흰 공 [eqn: 3`]개와 검은 공 [eqn: 3`]개가 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2`]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 숫자의 최솟값을 확률변수 [eqn: X``]라 하자. [eqn: X``]의 평균이 [eqn: {q} over {p}`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

37

꺼낸 [eqn: 2`]개의 공에 적혀 있는 숫자 중에서 최솟값이 [eqn: k`]([eqn: k=1`,```2`,``3])가 되는 경우의 수는 [eqn: k`]이상의 숫자 중에서 [eqn: 2`]개의 숫자를 뽑는 경우의 수에서 [eqn: k`]보다 큰 숫자  중에서 [eqn: 2`]개의 숫자를 뽑는 경우의 수를 뺀 것과 같다.

[eqn: rmP (it X=1)][eqn: ={` _{6} rm C _{`2} - ` _{4} rm C _{`2}} over {` _{6} rm C _{`2} it} = {9} over {15} = 3 over 5]

[eqn: rmP (it X=2)][eqn: ={ ` _{4} rm C _{`2} - ` _{2} rm C _{`2} } over {`_6rmC_{`2} } = 5 over 15 = 1 over3]

[eqn: rmP (it X=3)][eqn: ={` _{2} rm C _{`2}} over {`_6rmC_{`2} } = 1over 15]

따라서 확률변수 [eqn: X`]의 평균은

[eqn: 1 times 3over 5 + 2 times 1 over 3 + 3 times 1 over 15 = 22 over 15]이다.

∴ [eqn: p+q=15+22=37`]

[4점][2010년 3월]

확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	계
[eqn: rm P` it (`X=x)]	[eqn: a]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: b]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X``]의 분산이 [eqn: {5} over {12}`]일 때, [eqn: (a-b) ^{2}`]의 값은?

④

[eqn: a+ {1} over {3} +b=1]에서 [eqn: a+b= {2} over {3}]

[eqn: rm E it (X``)=`-a+b], [eqn: rm E it (X ``^{2} )=a+b= {2} over {3}]이므로

[eqn: rm V it (X``)= rm E it (X ``^{2} )- LEFT { rm E it (X``) RIGHT } ^{2}][eqn: = {2} over {3} -(-a+b) ^{2} = 5over12]

∴ [eqn: (a-b)^2 = 1 over 4]

[3점][2010년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

표는 세 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수들 중에서 두 수의 차의 최댓값을 확률변수 [eqn: X`]라 할 때, 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표이다.

[eqn: X`]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: rm P it LEFT ( X=x RIGHT )]	[eqn: {1} over {36}]	[eqn: a]	[eqn: {2} over {9}]	[eqn: b]	[eqn: {2} over {9}]	[eqn: {5} over {36}]	[eqn: 1]

이때, 확률변수 [eqn: Y=12X+5]의 평균 [eqn: rm E it LEFT ( Y` RIGHT )]의 값은?

①

[eqn: a= {5} over {36}], [eqn: b= {1} over {4}]이므로 [eqn: rm E it LEFT ( X` RIGHT ) = {35} over {12}]이다.

[eqn: therefore````rmE it LEFT ( Y` RIGHT ) =12`rmE it LEFT ( X` RIGHT ) +5=40]

[4점][2010년 4월]

① [eqn: 40]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 56]

표는 학생 수가 [eqn: 30]명인 [eqn: A]학급에서 남학생과 여학생이 수학 과목 수행 평가 한 영역 점수에 대한 평균과 분산을 나타낸 것이다.

구분	평균	분산
남학생	[eqn: 4]	[eqn: 4]
여학생	[eqn: 7]	[eqn: 6]

[eqn: A]학급 전체 학생에 대한 이 영역 점수의 평균이 [eqn: 5]일 때, 분산은?

⑤

남학생의 수를 [eqn: x,] 여학생의 수를 [eqn: y]라 하면 전체의 평균은

[eqn: {4x+7(30-x)} over30 =5]이므로 [eqn: x=20]이고, [eqn: y=10]이다. 이 때, 남학생 [eqn: 20]명의 점수를 [eqn: a_1 ,~a_2 , cdots ,~a_20], 여학생 [eqn: 10]명의 점수를 [eqn: b_1 ,~b_2 ,~cdots,~b_10]이라 하면

[eqn: {a_1`^2 +a_2` ^2 +cdots + a_20`^2 } over20 -4^2 =4],

[eqn: {b_1`^2 +b_2`^2 + cdots + b_10 `^2 } over10 -7^2 =6]이므로

[eqn: {a_1`^2 +a_2` ^2 +cdots + a_20`^2 }=400], [eqn: {b_1`^2 +b_2`^2 + cdots + b_10 `^2 } = 550]이다.

따라서, 전체의 분산은

[eqn: {a_1`^2 +a_2` ^2 +cdots + a_20`^2 + b_1`^2 +b_2`^2 + cdots + b_10 `^2 } over30 -5^2 = 20 over3]이다.

[[eqn: 4]점][2010년 4월]

① [eqn: 14 over3]	② [eqn: 16 over3]	③ [eqn: 17over3]	④ [eqn: 19 over3]	⑤ [eqn: 20 over3]

이산확률변수 [eqn: X``]의 확률분포가 아래 표와 같다.

[eqn: X`]	[eqn: x_1]	[eqn: x_2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: x_n]	계
[eqn: {rmP} (X=x_i )]	[eqn: p_1]	[eqn: p_2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: p_n]	[eqn: 1]

실수 [eqn: a`]에 대하여, 함수 [eqn: S``(a)`]를

[eqn: S``(a)`=sum _{i=1} ^{n} (x _{`i} `-a) ^{2}` p_i `]

라 정의하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: S`(a)=0``]이면 [eqn: {RMV}(X)=0``]이다. [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. (반례) [eqn: sum _{i=1} ^{n} x _{i`} ``p _{`i} ``=m``]라 할 때,

[eqn: S``(m-1)=S``(m+1)``] [eqn: THEREFORE `````]거짓

ㄷ. [eqn: S``(a)``]는 [eqn: a``]가 [eqn: X``]의 평균일 때, 최솟값을 갖는다.

확률변수 [eqn: X``]의 평균 [eqn: sum _{i=1} ^{n} x _{i`} ``p _{`i} ``=m``]이라 하면

[eqn: S``(a)= sum _{i=`1} ^{n} (x _{i} -a) ^{2} `p _{i} `]

[eqn: =` sum _{i`=1} ^{n} ` LEFT { (x _{i} -m)+(m-a) RIGHT } ^{2} `p _{i}]

[eqn: = sum _{i=1} ^{n} ` LEFT { (x _{i} -m) ^{2} +2(x _{i} -m)(m-a) RIGHT .]

[eqn: +(m-a) ^{2} `right}`p _{i}]

[eqn: = sum _{i=1} ^{n} LEFT { (x _{i} -m) ^{2} +(m-a) ^{2} RIGHT } ``p _{i}]

(∵[eqn: (m-a) sum _{i=1} ^{n} (x _{i} -m)`p _{i} =0``]이므로)

[eqn: S`(a)``]는 [eqn: a=m``]일 때,

최솟값 [eqn: sum _{i=1} ^{n} (x _{i} -m) ^{2} `p _{`i} ``]를 갖는다.  [eqn: THEREFORE `````]참

[[eqn: 4`]점][2010년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: S``(a)=0`]일 때, [eqn: rm `V` LEFT ( it `X` RIGHT ) =0] 이다. ㄴ. [eqn: a` _{1`} <`a _{2} `]일 때, [eqn: S``(a _{1} )`<S``(a _{2} )`]이다. ㄷ. 함수 [eqn: S``(a)`]는 [eqn: a= sum _{i=1} ^{n} `x _{`i`}`p_i `]일 때, 최솟값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 학급의 남학생과 여학생을 대상으로 일주일 동안의 인터넷 사용시간을 조사하였더니 남학생, 여학생, 전체 학생에 대한 인터넷 사용시간의 평균이 각각 [eqn: 10]시간, [eqn: 6]시간, [eqn: 8.5]시간이었다. 이 학급의 남학생 수와 여학생 수의 비가 [eqn: p~:~q]일 때, [eqn: p]와 [eqn: q]의 곱을 구하시오. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 15]

자연수 [eqn: t]에 대하여 남학생의 수를 [eqn: pt], 여학생의 수를 [eqn: qt]라 하면

[eqn: {10pt +6qt } over {pt +qt} =8.5]이므로 [eqn: 3p =5q]이다.

따라서, [eqn: p:q=5:3]이다. [eqn: therefore~pq=15]

[[eqn: 4]점][2010년 4월]

확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: rm P it `(X``=x`)]	[eqn: p_{1}]	[eqn: p_{2}]	[eqn: p_{3}]	[eqn: p_{4}]	[eqn: p_{5}]	[eqn: 1]

[eqn: p _{5} `-`p _{1} `=` {8} over {25} `], [eqn: p _{n+2} `-`2`p _{n+1} `+`p _{n} =`0] ([eqn: n``=`1`,``2`,``3`])일 때, 확률변수 [eqn: 100X``]의 기댓값 [eqn: rm E it `(`100X``)]의 값을 구하시오.

[eqn: 380]

수열 [eqn: LEFT { `p _{n} `RIGHT } `]은 등차수열이므로

[eqn: p _{`1} `+`p _{`2} `+`p _{`3} `+`p _{`4} `+`p _{`5} ``=`1`]에서 [eqn: p _{`1} `+`p _{`5} ``=` {2} over {5} ``]

[eqn: p _{`5} `-`p _{`1} ``=` {8} over {25} `]에서  [eqn: p _{`1} `=` {1} over {25} `,``p _{`5} ``=` {9} over {25} ``]

[eqn: rm E it `(`100X``)`][eqn: =100` LEFT ( {1} over {25} + {6} over {25} + {15} over {25} + {28} over {25} + {45} over {25} RIGHT ) `=380]

[4점][2010년 10월]

[eqn: 10``]이하의 음이 아닌 정수 [eqn: r``]에 대하여 함수 [eqn: f``]를

[eqn: f``(`r`)`=`` _{10} rm C _{it r rm} it ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]

이라 할 때, [eqn: 2 sum _{r=0} ^{10} ``r` ^{2} ``f``(`r`)`]의 값을 구하시오.

55

[eqn: 10``]이하의 음이 아닌 정수를 확률변수 [eqn: X``]라 하면

[eqn: f(`r`)=`` _{10} rm C _{it r rm} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10} `=` rm P it `(X`=`r`)]이므로

확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: {\B}` LEFT ( 10`,``{1}over{2}` RIGHT )``]을 따른다.

[eqn: rm E it `(X``)`=`10` TIMES ` {1} over {2} `=`5``], [eqn: rm V it `(X``)`=`10` TIMES ` {1} over {2} ` TIMES ` {1} over {2} ``= {5} over {2}]

∴[eqn: 2 sum _{r=0} ^{10} `r ^{2} ``f``(r)` & =2 rm `E` LEFT ( it `X ^{`2} ` RIGHT ) `=2 LEFT [ rm `V it (X``)+ LEFT { rm E it (X``) RIGHT } ^{2} RIGHT ] `=55]

[4점][2010년 10월]

[eqn: 1`]이 적혀 있는 구슬이 [eqn: 1`]개, [eqn: 2`]가 적혀 있는 구슬이 [eqn: 3`]개, [eqn: 3`]이 적혀 있는 구슬이 [eqn: 5`]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 구슬 두 개를 동시에 꺼낼 때, 두 개의 구슬에 적혀 있는 수의 곱을 [eqn: X``]라 하자. 확률변수 [eqn: X``]의 기댓값 [eqn: rm `E( it X`)``]의 값은?

③

확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 9]
[eqn: rmP( it X)]	[eqn: {3} over {36}]	[eqn: {5} over {36}]	[eqn: {3} over {36}]	[eqn: {15} over {36}]	[eqn: 10over36]

∴[eqn: rmE(it X)=][eqn: {1} over {36}][eqn: LEFT ( 2 TIMES 3+3 TIMES 5+4 TIMES 3+6 TIMES 15+9 TIMES 10 RIGHT )][eqn: = {71} over {12}]

[4점][2010년 10월]

① [eqn: 61 over 12]	② [eqn: 65 over 12]	③ [eqn: 71 over 12]	④ [eqn: 73over 12]	⑤ [eqn: 77 over 12]

확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표가 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 7]	계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: a]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: E(X)=5``]일 때, [eqn: b``]의 값은? (단, [eqn: a``]와 [eqn: b``]는 상수이다.)

③

주어진 확률분포표에서 확률의 합은 1이므로

[eqn: a+ { 1} over {4 } +b =1,`````a+b= { 3} over {4 }] ---㉠

또 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: E(X)=5]이므로

[eqn: 1TIMESa +3 TIMES { 1} over {4 } +7 TIMESb =5 ,``````a+7b = { 17} over { 4}]  ---㉡

㉡[eqn: -]㉠ 을 계산하면

[eqn: 6b= { 14} over {4 } ``````````` THEREFORE ``b= { 7} over {12 }]

[3점][2011년 9월]

① [eqn: 19 over 36]	② [eqn: 5 over 9]	③ [eqn: 7 over 12]	④ [eqn: 11 over 18]	[eqn: 23 over 36]

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표는 다음과 같다.

19

[eqn: a+2a+3a+4a=1]에서 [eqn: a=`1 over10]

[eqn: rm P( it X=x)= {1} over {10} x], [eqn: rm E it(X)= sum _{k=1} ^{4} k CDOT {k} over {10} = 1over10 cdot {4cdot5 cdot9}over6 =3]

∴ [eqn: rm E( it 4X+7) = rm 4E (itX)+7 = 12+7 =19]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: a]	[eqn: 2a]	[eqn: 3a]	[eqn: 4a]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: 4X`+7`]의 평균 [eqn: rm E( it 4X+7)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

[3점][2012년 10월]

12

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표가 다음과 같을 때, 확률변수 [eqn: 10`X`]의 평균 [eqn: rm{bold E}` (10itX)`]의 값을 구하시오.

19

[eqn: rmE(itX)=1 CDOT {3} over {10} +2 CDOT {1} over {2} +3 CDOT {1} over {5} `= {19} over {10}]이므로

[eqn: rmE(it10X)=10rmE(itX)`][eqn: =10 CDOT {19} over {10} `][eqn: =19`]

[3점][2012년 10월]

[eqn: X`]	[eqn: 1]	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]	계
[eqn: rmboldP (itX=x)]	[eqn: 3 over 10 `]	[eqn: 1 over 2 `]	[eqn: 1 over 5 `]	[eqn: 1`]

함수 [eqn: y= f(x) `]의 그래프가 그림과 같다.

14

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X`]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	계
[eqn: rm P ( it X =x) `]	[eqn: 1 over 3]	[eqn: 1 over 2]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: 1]

[eqn: rm E( itX)`][eqn: = 2 cdot 1 over 3 + 4 cdot 1 over 2 + 6 cdot 1 over 6 `][eqn: = 11 over 3`]

따라서 [eqn: p=3`], [eqn: q=11`]이므로 [eqn: p+q`][eqn: =14`]이다.

한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수를 [eqn: a]라 할 때, 곡선 [eqn: y= f(x) `]와 직선 [eqn: y=a`]의 교점의 개수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. [eqn: E(X) = q over p `]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014년 10월]

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

⑤

[eqn: rm E it (6X)`][eqn: =6 rm E it (X)`][eqn: =13`]이므로 [eqn: rm E it (X)= {13} over {6} `]

주어진 표를 이용하여 [eqn: rm E it (X)]를 구하면

[eqn: 1 TIMES {1} over {6} +2a+3b`][eqn: = {13} over {6} `]

따라서 [eqn: 2a+3b`][eqn: =2`]

[eqn: X`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	계
[eqn: rm P ( it X =x )]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: rm E( it 6X)=13`]일 때, [eqn: 2a+3b`]의 값은?

[3점][2014년 10월]

① [eqn: 4over3]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 5 over3]	④ [eqn: 11 over 6]	⑤ [eqn: 2]

확률변수 [eqn: X ``]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -4]	[eqn: 0]	[eqn: 4]	[eqn: 8]	계
[eqn: {\P} (X = x )]	[eqn: 1 over 5]	[eqn: 1 over 10]	[eqn: 1 over 5]	[eqn: 1 over 2]	[eqn: 1]

[eqn: {\E} ( 3 X `)]의 값은?

⑤

[eqn: {\E} (X `) `=` -4 times 1 over 5 + 0 times 1 over 10 + 4 times 1 over 5 + 8 times 1 over 2 `=` 4]

∴ [eqn: {\E} ( 3 X` ) `=` 3 {\E} (X `) `=` 12]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

⑤

[출제의도] 확률분포를 이해하고 기댓값을 구한다.

[eqn: rm `P( it `1 LEQ X` LEQ `3)][eqn: = k(1+2+3)][eqn: =6k][eqn: =1`] [eqn: THEREFORE `k][eqn: = 1 over 6 `]

[eqn: rm `E(` it X`)][eqn: = k + 4k+9k][eqn: = 14k][eqn: = 14 over 6 `]

[eqn: rm `E(` it 6X +1`)][eqn: = 6 rm `E(` it X `) +1][eqn: =6 times {14} over {6} +1][eqn: = 15`]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	계
[eqn: rm`P(itX=x)]	[eqn: k]	[eqn: 2k]	[eqn: 3k]	[eqn: 1]

[eqn: rm`E(it`6X+1)`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

[3점][2015년 10월]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

주머니 속에 [eqn: 1`]의 숫자가 적혀 있는 공 [eqn: 1`]개, [eqn: 3`]의 숫자가 적혀 있는 공 [eqn: n`]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1`]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 2`]번 반복하여 얻은 두 수의 평균을 [eqn: {bar{X``}}]라 하자.
[eqn: rm P(` it {bar{X``}} =1)= {1} over {49} `]일 때, [eqn: rm E( it ` {bar{X``}} )= {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 26]

[출제의도] 표본평균의 확률분포를 이해하여 기댓값을 구한다.

[eqn: rm P( it {bar{X``}} =1)= {1} over {(n+1) ^{`2}} = {1} over {49}`]에서 [eqn: n=6]

[eqn: rm E( it {bar{X``}}` )]는 모평균과 같으므로

[eqn: rm E( it {bar{X``}}` )= {1+3n} over {7} = {19} over {7} `]이므로 [eqn: p+q=26]

[4점][2015년 10월]

[해설] 확통-(2)통계-(a)이산확률분포