수 리 영 역

이항정리

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수 리 영 역

이항정리

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 이항정리

성명			수험번호

16

다항식 [eqn: 2(x+a`) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{n-1}]의 계수와 다항식 [eqn: (x-1)(x+a) ^{n}] 의 전개식에서 [eqn: x ^{n-1}]의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 [eqn: (a,```n)]에 대하여 [eqn: an]의 최대값을 구하시오.

[eqn: 12`]

[eqn: 2(x+a)^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는

[eqn: 2` _{n} C _{1} a ^{1} =2an]

[eqn: (x-1)(x+a)^n][eqn: =x(x+a)^n - (x+a)^n]의 전개식에서

[eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: `_n C_2 a^2 -an = {n(n-1)}over 2 a^2 -an]

이 때, [eqn: 2a n= {n(n-1)}over 2 a^2 -an]

즉, [eqn: 3a n= {n(n-1)}over 2 a^2]이어야 하므로 [eqn: 3= n-1 over 2 a]

[eqn: THEREFORE ```a(n-1)=6]

㉠을 만족하는 모든 경우는 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: n-1]	[eqn: n]	[eqn: an]
[eqn: 1]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 7]
[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 8]
[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 9]
[eqn: 6]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 12]

따라서 구하는 [eqn: an]의 최대값은 [eqn: 12]이다.

(단, [eqn: a]는 자연수이고, [eqn: n]은 [eqn: n GEQ 2]인 자연수이다.)

[4점][2006년 수능]

다항식 [eqn: (x-a)^5`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수와 상수항의 합이 [eqn: 0]일 때, 양의 상수 [eqn: a`]의 값은?

⑤

[eqn: (x-a) ^{5} = sum _{r=0} ^{5} ` _{5} rm C _{it r rm} it `x ^{r} (-a) ^{5-r}]이므로

[eqn: x`]의 계수는 [eqn: r`=1]에서 [eqn: {} _{5} rm C _{1} it(-a`) ^{4} =5a ^{4} ``` CDOTS CDOTS ```㉠]

상수항은 [eqn: r`=0]에서 [eqn: {} _{5} rm C _{0} it(-a`) ^{5} `=-a ^{5} ``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: 5a ^{4} `+(-a ^{5} `)=0], [eqn: a ^{4} (5-a)=0]

[eqn: THEREFORE ```a=5] ([eqn: BECAUSE `a`]는 양수)

[3점][2007년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: LEFT ( 2x+ {1} over {2x} RIGHT ) ^{7}]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수는?

⑤

[eqn: left( 2x + {1 over 2x }right)^7]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {}_7 {\C}_r (2x)^7-r left( {1 over 2x } right)^r][eqn: = _{7} rm C it rm _{itr} CDOT 2 ^{it7-2r} it`x ^{7-2r} ```(r=0,```1,```2,``` CDOTS ,```7)]

[eqn: 7-2r=1]  [eqn: THEREFORE~r=3]

[eqn: x]의 계수는 [eqn: {}_7 {\C}_3 CDOT 2 = 70]

[3점][2008년 수능]

① [eqn: 14]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 70]

[eqn: LEFT ( x+ {1} over {x ^{3}} RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: {1} over {x ^{4}}]의 계수는?

②

[eqn: LEFT ( x+ {1} over {x ^{3}} RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: `_4 {rmC}_r cdot x^4-r cdot left( 1over x^3 right)^r` = `_4 {rmC}_r cdot x^4-4r`]

[eqn: 1over x^4`]의 항은 [eqn: 4-4r = -4`]에서 [eqn: r = 2`]일 때이므로

[eqn: 1over x^4`]의 계수는 [eqn: `_4 {rmC}_2 = 6`]

[4점][2009년 수능]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

다항식 [eqn: (1+x) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 45]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: (1+x)^n]의 전개식의 일반항은 [eqn: {} _{n} C _{r} `x ^{r}] (단, [eqn: 0 LEQ r LEQ n])이므로

[eqn: x^2]의 계수는 [eqn: {} _{n} C _{2} =45]

[eqn: n(n-1) over 2 =45], [eqn: n(n-1)=90]

∴ [eqn: n=10]

[3점][2010년 수능]

다항식 [eqn: (x+a)^7``]의 전개식에서 [eqn: x^4 ``]의 계수가 [eqn: 280``]일 때, [eqn: x^5``]의 계수는?(단, [eqn: a``]는 상수이다.)

①

[eqn: x^4]의 계수는 [eqn: `_7 rm C _4 it a^3]이므로

[eqn: `_7 rm C_4 it a^3 =280,````a^3 =8]

[eqn: therefore```a=2]

따라서, [eqn: x^5]이 계수는 [eqn: `_7 rm C_5 it a^2 = 7cdot6 over 2 cdot 2^2 =84]

[3점][2012년 수능]

① [eqn: 84]	② [eqn: 91]	③ [eqn: 98]	④ [eqn: 105]	⑤ [eqn: 112]

다항식 [eqn: (x+a)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수가 [eqn: 60]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: (x+a) ^{6} =` _{6} C _{0} `x ^{6} `+` _{6} C _{1} `x ^{5} a``+` _{6} C _{2} `x ^{4} `a ^{2} `+` CDOTS `+` _{6} C _{6} `a ^{6} ``]

이므로 [eqn: ` _{6} C _{2} ` TIMES a ^{2} ``=60]

[eqn: 15 TIMES a ^{2} `=60]

[eqn: THEREFORE `a=2``( BECAUSE `a>0)]

[3점][2015년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음 중 [eqn: LEFT ( `2x ^{2} ``+` {1} over {x} ` RIGHT ) ^{7} `]의 전개식에서 [eqn: x` ^{5} `]의 계수와 같은 것은?

②

전개식의 일반항은

[eqn: ` _{7} {rm C} _{r} `(it 2x ^{2} ) ^{7-r}``left ( {1} over {x} right ) ^{r} =` _{7} {rm C} _{r} ``․`2 ^{7-r}`` ․`x ^{14-3r}]

이때, [eqn: 14-3r=5`]에서 [eqn: r=3`]이므로

[eqn: x ^{5} `]의 계수는 [eqn: 16 TIMES ` _{7} rm C _{3}]이다.

[3점][2005년 7월]

① [eqn: 16`` TIMES ` _{7} Ｃ _{2} `]	② [eqn: 16`` TIMES ` _{7} Ｃ _{3} `]	③ [eqn: 8`` TIMES ` _{7} Ｃ _{3} `]

④ [eqn: 8`` TIMES ` _{7} Ｃ _{2} `]	⑤ [eqn: 4`` TIMES ` _{7} Ｃ _{2} `]

다항식 [eqn: (1+2x)^6 (1-x) `]의 전개식에서 [eqn: x`^4 `]의 계수는?

⑤

[eqn: (1+2x)^6 =sum_k=0^6 `_6 Ｃ_k` (2x)^k`]이므로

[eqn: (1+2x)^6`]의 전개식에서 [eqn: x^4`]의 계수는 [eqn: k=4`]일 때이므로 [eqn: `_6 Ｃ_4 ×2^4 = 240`]

[eqn: (1+2x)^6`]의 전개식에서 [eqn: x^3`]의 계수는 [eqn: k=3`]일 때이므로 [eqn: `_6 Ｃ_3 ×2^3 = 160`]

따라서 [eqn: (1+2x)^6 (1-x)`]의 전개식에서 [eqn: x^4`]의 계수는 [eqn: 240-160=80`]

[3점][2005년 9월]

① [eqn: 40]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 60]	④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 80]

자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: f(n)= sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {} _{2k} rm C _{1} + _{2k} rm C _{3} + _{2k} rm C _{5} + CDOTS + _{2k} rm C _{2k-1} RIGHT )]

일 때, [eqn: f``(5)`]의 값을 구하시오.

[eqn: 682]

[eqn: `_2k C_0 +`_2k C_2 + `_2k C_4+ … +`_2k C_2k][eqn: =`_2k C_1 +`_2k C_3 + `_2k C_5+ … +`_2k C_2k-1]

[eqn: = 2^2k over 2 = 2^2k-1 = 2․4^k-1]

∴ [eqn: f`(5) =sum_k=1^5 2․4^k-1][eqn: = {2(4^5 -1)} over 4-1 = 2․1023 over 3 = 2․341 = 682 ``]

[4점][2005년 9월]

다음을 이용하여 [eqn: (` _{12} rm C it rm _{0} `) ^{2} +(` _{12} rm C it rm _{1} `) ^{2} +(` _{12} rm C it rm _{2} `) ^{2} +…+(` _{12} rm C it rm _{12} `) ^{2} ``]을 간단히 하면?

③

[eqn: (1+x) ^{n} ``]의 전개식에서 [eqn: x ^{r} ``]의 계수는 [eqn: ` _{n} rm C it rm _{r} ``]이므로

[eqn: (1+x) ^{n} `(1+x) ^{n} ``]에서 [eqn: x ^{n} ``]의 계수는

[eqn: ` _{n} rm C it rm _{0} ` _{it n} rm C it rm _{it n} + _{it n} rm C it rm _{it 1} `` _{it n} rm C it rm _{n-1} + _{n} rm C it rm _{2} ``` _{n} rm C it rm _{n-2} `+ CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} `` _{n} rm C it rm _{0} ``]

[eqn: `= _{n} rm C it _{0} ` _{it n} rm C it _{0} `+ _{it n} rm C it _{1} ` _{it n} rm C it _{it 1} `+ _{it n} rm C it _{2} ` _{it n} rm C it _{2} `+ CDOTS + _{it n} rm C _{it n} ` _{it n} rm C it _{it n} ``]

[eqn: `=( _{n} rm C it _{0} `) ^{2} `+( _{it n} rm C it _{it 1} `) ^{2} `+( _{it n} rm C _{it 2} `) ^{it 2} `+ CDOTS +( _{it n} rm C it _{it n} `) ^{2} ``]

[eqn: (1+x) ^{2n} ``]의 전개식에서 [eqn: x ^{n} ``]의 계수는 [eqn: ` _{2n} rm `C it rm _{n} ``]

∴ [eqn: `( _{n} rm C it _{0} `) ^{2} `+( _{it n} rm C _{it 1} `) ^{it 2} `+( _{it n} rm C _{it 2} `) ^{it2} `+ CDOTS +( _{it n} rm C it _{it n} `) ^{it 2} ``=` _{it 2n} rm C it ` _{it n} `]

∴ [eqn: `( _{12} rm C it _{it 0} `) ^{it 2} `+( _{it 12} rm C it _{it 1} `) ^{it 2} `+( _{it 12} rm C _{it 2} `) ^{it 2} `+ CDOTS +( _{it 12} rm C _{it n} `) ^{it 2} ``=` _{it 24} rm C ` _{it 12} `]

[4점][2005년 10월]

Ⅰ. [eqn: (1+x`) ^{24} ``][eqn: =(1+x`) ^{12} `(1+x`) ^{12} ``]

Ⅱ. [eqn: ` _{n} ` rm C it rm _{r} it ``= ` _{n} ` rm C it rm _{n-r} it ``] ([eqn: n``]은 자연수, [eqn: r``]는 정수, [eqn: 0 <= r <= n``])

① [eqn: 2 ^{12} ``]	② [eqn: ` _{24} ` rm P it rm _{12} it ``]	③ [eqn: ` _{24} ` rm C it rm _{12} it ``]
④ [eqn: (` _{24} ` rm P it rm _{12} it `)` ^{2} ``]	⑤ [eqn: (` _{24} ` rm C it rm _{12} it ``)` ^{2} ``]

[eqn: (3x+y)^6]의 전개식에서 [eqn: x^2 y^4`]의 계수를 구하시오.

135

[eqn: (3x+y)^6`][eqn: =sum_r=0^6 `_6 C_r (3x)^r y^6-r`]

[eqn: =sum_r=0^6 `_6 C_r cdot 3^r cdot x^r y^6-r``]

따라서 [eqn: x^2 y^4`]은 [eqn: r=2`]일 때이므로 구하는 계수는 [eqn: `_6 C_2 cdot 3^2`][eqn: = 15․9=135`]이다.

[3점][2006년 6월]

다항식 [eqn: (1+ax)^7 `]의 전개식에서 [eqn: x `]의 계수가 [eqn: 14`]일 때, [eqn: x^2 `]의 계수를 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

[eqn: 84`]

[eqn: (1+ax)^7`]의 전개식에서 일반항은

[eqn: `_7 C_r``(ax)^r` = ``_7 C_r ``a^r``x^r`] ([eqn: r= 0 ,1,2, cdots , 7 `])

이므로 [eqn: x^r`]의 계수는 [eqn: `_7 C_r``a^r`]이다.

[eqn: x`]의 계수는 [eqn: `_7 C_1 ``a = 7a`]이므로 [eqn: 7a = 14`]에서 [eqn: a=2`]

따라서, [eqn: x^2`]의 계수는 [eqn: `_7 C_2 `a^2 = 21 cdot 4 = 84`]

[4점][2006년 9월]

[eqn: left (`x+ {1} over {x} `right) ^{2} `+left (`x+ {1} over {x} `right) ^{3} `+`left (`x+ {1} over {x} `right) ^{4} `+left (`x+ {1} over {x} `right) ^{5} `+left (`x+ {1} over {x} `right) ^{6}]
을 전개한 식에서 [eqn: x ^{2}`]항의 계수는?

②

[eqn: left(`x+ {1} over {x} `right)` ^{n}]의 일반항은 [eqn: ` _{n`} rm C _{it r} it ``x ^{n-r} `left( {1} over {x}right) ^{r}][eqn: =` _{n`} rm C _ {itr} it ``x ^{n-2r}]이므로

[eqn: n-2r=2] [eqn: (n=2,~3,~4,~5,~6)]에서

[eqn: n=3,~5`]일 때, [eqn: n-2r=2]를 만족하는 정수 [eqn: r]의 값이 존재하지 않으므로 [eqn: x ^{2}]항은 존재하지 않는다.

[eqn: n=2,~4,~6`]일 때, [eqn: n-2r=2]를 만족하는 [eqn: r`]의 값은 각각 [eqn: 0,~1,~2`]이므로, [eqn: x ^{2} `]항의 계수는

[eqn: `_{2`} rmC _ 0} + `_{4`} rmC _{ 1}`+_{6`} rmC _ 2 =1+4+15=20]이다.

[4점][2006년 10월]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 식 [eqn: LEFT ( x ^{2} - 3 over {x}+ 2y RIGHT ) ^{6}]을 전개할 때, [eqn: x ^{6}]의 계수를 구하시오.

135

[eqn: LEFT ( x ^{2} - {3} over {x} + {2y} RIGHT ) ^{6}]와 [eqn: LEFT ( x ^{2} - {3} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 [eqn: x ^{6}]의 계수는 같다.

[eqn: LEFT ( x ^{2} - {3} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식의 일반항은

[eqn: ` _{6} rm C _{it r rm} LEFT ( it x ^{2} RIGHT ) ^{6-r} LEFT ( - {3} over {x} RIGHT ) ^{r} =(-3) ^{r} ` _{6} rm C _{it r rm} it x ^{12-3r}]이고,

[eqn: r=2]일 때, [eqn: x ^{6}]의 계수는 [eqn: (-3) ^{2} ` _{6} rm C _{it 2rm} =135]이다.

[3점][2007년 4월]

[eqn: rm log _{`2} ``LEFT ( {} _{100} C _{0} + _{100} C _{1} + _{100} C _{2} +` CDOTS `+ _{100} C _{100} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: 100``]

[eqn: {} _{n} rm C _{0} + _{itn} rm C _{1} + _{itn} rm C _{2} + CDOTS + _{itn} rm C _{itn} =2 ^{itn}]이므로

[eqn: ` _{100} rm C _{0} + _{100} rm C _{1} + _{100} rm C _{2} + CDOTS + _{100} rm C _{100} =2 ^{100}]이다.

[eqn: therefore~`log_2 (` _{100} rm C _{0} + _{100} rm C _{1} + _{100} rm C _{2} + CDOTS + _{100} rm C _{100}) = 100]

[3점][2007년 5월]

다항식 [eqn: (x-1 )^n]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수가 [eqn: -12]일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오.

12

[eqn: (x-1)^n `=`(-1+x)^n] [eqn: =` SUM from { { r}=0} to n_` `_n \C_r (-1)^{n-r} x^r]

[eqn: x]의 계수는 [eqn: r`=`1]일 때이므로

[eqn: `_n \C_{1} (-1)^{n-1} `=`-12,~~n×(-1)^{n-1}`=`-12]

[eqn: THEREFORE `n`=`12]

[3점][2007년 6월]

그림과 같은 수의 배열을 파스칼의 삼각형이라고 한다.
어두운 부분의 모든 수들의 합은?

③

어두운 부분의 합은

[eqn: sum _{n=2} ^{10} LEFT ( {} _{n} C _{n-2} + _{n} C _{n-1} + _{n} C _{n} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=2} ^{10} LEFT ( {} _{n} C _{2} + _{n} C _{1} +1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=2} ^{10} LEFT { {n(n-1)} over {2} +n+1 right}]

[eqn: = sum _{n=2} ^{10} LEFT ( {1} over {2} n ^{2} + {1} over {2} n+1 RIGHT )]

[eqn: =228]

(별해) [eqn: {}_{2} C _{0} `+ _{3} C _{1} + _{4} C _{2} + ``CDOTS``+ _{10} C _{8}=_{11} C _{8}]

[eqn: {}_{1} C _{0} `+ _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + ``CDOTS``+ _{10} C _{9}=_{11} C _{9}]이므로

[eqn: {} _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + ``CDOTS``+ _{10} C _{9}=_{11} C _{9}-_{1} C _{0} `]

[eqn: 1+ _{1} C _{1} `+ _{2} C _{2} + _{3} C _{3} + ``CDOTS``+ _{10} C _{0}=_{11} C _{10}]이므로

[eqn: {} _{2} C _{2} + _{3} C _{3} + ``CDOTS``+ _{10} C _{0}=_{11} C _{10}-1-_{1} C _{1} `]

따라서 어두운 부분의 합은 [eqn: 228]

[[eqn: 3`]점][2007년 7월]

① [eqn: 224]	② [eqn: 226]	③ [eqn: 228]	④ [eqn: 230]	⑤ [eqn: 232]

다항식 [eqn: (x +a )^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수가 [eqn: x^ 5]의 계수의 [eqn: 50]배일 때, 양의 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

20

[eqn: (x+a)^6]의 전개식에서

[eqn: x^4]의 계수는 [eqn: `_6 \C_4 BULLET a^2 =`15a^2]

[eqn: x^5]의 계수는 [eqn: `_6 \C_5 BULLET a^1 =`6a]

[eqn: x^4]의 계수가 [eqn: x^5]의 계수의 [eqn: 50]배이므로

[eqn: 15a^2 =`50×6a]

[eqn: a(a-20)`=`0]

[eqn: THEREFORE ~a`=`20````( BECAUSE ~a`＞`0)]

[3점][2007년 9월]

[eqn: log sub 2 ( \` sub 21 C sub 0 + ` sub 21 C sub 1 `+ `…+ sub 21 C sub 10 ) `]의 값은?

⑤

[eqn: ` sub n C sub 0 + sub n C sub 1 + …`+ sub n C sub n `=` 2 sup n `]이므로

[eqn: ` _{21} C _{0} +` _{21} C _{1} `+`…+ _{21} C _{10} `=` {2 ^{21}} over {2} `=`2 ^{20} `]

∴ [eqn: log _{2} ( _{21} C _{0} +` _{21} C _{1} `+`…+ _{21} C _{10} )`=`log _{2} 2 ^{20} `=`20`]

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: left(2x- 1over x right)^7 `]의 전개식에서 [eqn: x^3 `]의 계수를 구하시오.

[eqn: 672``]

[eqn: left(2x- 1over x right)^7 `]의 전개식의 일반항은

[eqn: `_ 7{ rmC} _r (2x)^r left( - 1over x right) ^7-r = `_ 7{ rmC} _r times 2^r times (-1)^7-r times x^2r-7 `]

이므로 [eqn: 2r-7=3]에서 [eqn: r=5]

따라서 [eqn: x^3 `]의 계수는 [eqn: `_ 7{ rmC} _5 times 2^5 times (-1)^2 = 672`]

[3점][2008년 3월]

[eqn: LEFT ( x^2 + 1 over x RIGHT )^5]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수를 구하시오.

10

[eqn: LEFT ( x^2 + 1 over x RIGHT )^5][eqn: = sum _{k=0} ^{5} ` _{5} C _{k} (x ^{2} ) ^{k} ( {1} over {x} ) ^{5-k} =` sum _{k=0} ^{5} ` _{5} C _{k} ``x ^{3k-5}]이므로
[eqn: k=2] 일 때, [eqn: x]의 계수는 [eqn: `_5 C_2 = 10]

[3점][2008년 5월]

다항식 [eqn: (1- x)^4 (2-x)^3]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하시오.

[eqn: 102]

[eqn: (1-x)^4 (2-x)^3`]의 전개식에서 [eqn: x^2`]의 계수는

[eqn: `_4 C_0 cdot 1^4 cdot (-x)^0 times `_3 C_2 cdot 2cdot (-x)^2]

[eqn: +`_4 C_1 cdot 1^3 cdot (-x)^1 times `_3 C_1 cdot 2^2 cdot (-x)^1]

[eqn: +`_4 C_2 cdot 1^2 cdot (-x)^2 times `_3 C_0 cdot 2^3 cdot (-x)^0]

[eqn: =6+48+ 48]

[eqn: =102]

[3점][2008년 9월]

[eqn: left(`x+ {1} over {x ^{`n}} right) ^{`10} `]의 전개식에서 상수항이 존재하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은?

⑤

[eqn: {} _{10} `{rmC}` _{r} `x ^{10-r} (x ^{-n} ) ^{r} `=` _{10} `{rmC}` _{r} `x ^{10-(n+1)r}] ([eqn: 0`<=`r`<=`10`])

이때, [eqn: 10-(n+1)r`=`0], [eqn: (n+1)r`=`10]을 만족하는 순서쌍 [eqn: (`r,~n`)`]은 [eqn: (`1,~9`),~(`2,~4`),~(`5,~1)`]이다.

따라서 [eqn: n`]의 값들의 합은 [eqn: 14`]이다.

[3점][2008년 10월]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

다음은 [eqn: n`]이 소수일 때, [eqn: `_2n {\C}_{`n} -2 `]는 [eqn: n^{`2} `]의 배수임을 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: (1+x)^{`2n} ``=sum _{k=0} ^{2n} ` _{2n} rm C it rm _{`k} ``x ^{`k}`]

에서   의 계수는 [eqn: `_2n {\C}_{`n} `]이다.

(가)

한편 [eqn: (1+x)^{`n} (1+x)^{`n} =left( ``sum _{ k=0} ^{n } `_n{\C}_k ``x^{`k} `` right)` left(``sum _{ k=0} ^{n }`_n {\C}_n-k ``x^{`n-k}`` right)`]

에서   의 계수는 [eqn: sum _{k=0} ^{n} left(` _{n} {\C}` _{k} ``․] [eqn: RIGHT )`]이다.

(가)

(나)

따라서 [eqn: `_2n {\C}_n][eqn: = LEFT ( `_n{\C}_{`0}` RIGHT )^2 + LEFT ( `_n{\C}_{`1}` RIGHT )^2 + LEFT ( `_n{\C}_2` RIGHT )^2 +`cdots`+ LEFT ( `_n{\C}_{`n}` RIGHT )^2 `]이다.

그런데  [eqn: n`]이 소수이므로   인 자연수 [eqn: k``]에 대하여

(다)

[eqn: `_n{\C}`_k `]는 [eqn: n `]의 배수이다.

따라서   인 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: left(`_n{\C}`_k right)^2 `]은 [eqn: n ^{2} `]의 배수이고 [eqn: `_n{\C}`_0 = `_n{\C}`_n =1 `]이므로 [eqn: `_2n {\C}_{`n} -2 `]는 [eqn: n^2 `]의 배수이다.

(다)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

②

(가) [eqn: x ^{n}]  (나) [eqn: ` _{n} rm C it _{it`n-k} `]  (다) [eqn: 1 <= k <= n-1]

[3점][2008년 10월]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: x^{`n}]	[eqn: `_n{\C}`_{`n-k}]	[eqn: 1<=k<=n]

②	[eqn: x^{`n}]	[eqn: `_n{\C}`_{`n-k}]	[eqn: 1<=k<=n-1]

③	[eqn: x^{`n}]	[eqn: `_2n{\C}`_{`n-k}]	[eqn: 1<=k<=n]

④	[eqn: x^{`2n}]	[eqn: `_n{\C}`_{`n-k}]	[eqn: 1<=k<=n-1]

⑤	[eqn: x^{`2n}]	[eqn: `_2n{\C}`_{`n-k}]	[eqn: 1<=k<=n]

[eqn: (`x-1) ^{n} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{2} `]의 계수가 [eqn: -55`]일 때, [eqn: x ^{3} `]의 계수를 구하시오. (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

[eqn: 165``]

[eqn: (x-1) ^{n} `][eqn: =` sum _{ r`=`0} ^{n } `_n rmC_{it r} it(-1)^n-r `x^r `]

이므로 [eqn: x^2 `]의 계수는 [eqn: `_n rmC_2 `it(-1)^n-2 `]이다.

∴ [eqn: `_n rmC_2 `it(-1)^n-2 ` ` `=`-55]

[eqn: {n(n-1)} over {2}TIMES ` (-1) ^{n-2} `=`-55]

에서 [eqn: n`=`11`]이므로 [eqn: x^3 `]의 계수는

[eqn: `_11 rmC_3 `it(-1)^11-3` `=`{11 TIMES10 TIMES9} over {3 TIMES2 TIMES1}`=`165]

[3점][2009년 3월]

다음은 [eqn: n]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때 [eqn: sum from k=1 to n`k(`_n`C_k`)^2] 의 값을 구하는 과정이다.

[증명]

두 다항식의 곱
[eqn: (a_0`+a_1`x+cdots`+a_n-1`x^n-1`)(b_0`+b_1`x+cdots+b_n`x^n`)]에서
[eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: a_0`b_n-1`+a_1`b_n-2`+cdots+a_n-1`b_0][eqn: cdotscdots(＊)]이다.
등식 [eqn: (1+x)^2n-1`=(1+x)^n-1`(1+x)^n]의 좌변에서 [eqn: x^n-1]의 계수는 이고, [eqn: (＊)]을 이용하여 우변에서 [eqn: x^n-1]의 계수를 구하면 [eqn: sum from k=1 to n`(`_n-1`C_k-1`times])이다.
따라서 [eqn: =sum from k=1 to n`(`_n-1`C_k-1`times]) 이다.
한편 [eqn: 1`<=`k`<=`n]일 때, [eqn: k times _n`C_k`=n times `_n-1`C_k-1]이므로
[eqn: sum from k=1 to n`k(`_n`C_k`)^2][eqn: =sum from k=1 to n`(n times`_n-1`C_k-1`times])
[eqn: =n times sum from k=1 to n`(`_n-1`C_k-1`times])
[eqn: =] 이다.

(가)

(나)

(가)

(나)

(나)

(나)

(다)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

③

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{2n-1}]에서 [eqn: x ^{n-1}]의 계수는 이고
[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n-1} ` LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n}]을 이용하여 [eqn: x ^{n-1}]의 계수를 구하면

[eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( {} _{n-1} `C _{k-1} `` TIMES BOX{` _{n} C _{n-k```}} ` RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} `= sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( {} _{n} C _{k-1} ` TIMES _{n} C _{n-k} RIGHT )]이다.
한편, [eqn: 1<=k<=n]일 때, [eqn: k` TIMES _{n} C _{k} =`n TIMES _{n-1} C _{n-k}] 이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{n} `k` LEFT ( {} _{n} C _{k} RIGHT ) ^{2} =` sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( n` TIMES _{n-1} `C _{k-1} ` TIMES _{n} `C _{n-k} RIGHT )]
[eqn: =n` TIMES sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( {} _{n-1} C _{k-1} ` TIMES ` _{n} C _{n-k} RIGHT )]
[eqn: =n` TIMES _{2n-1} `C _{n-1}]
[eqn: = {n} over {2} ` TIMES _{2n} C _{n}]
[eqn: c f)] [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} `= {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) `!} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) `!`n`!} `= {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) `!} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) `!`n`!} TIMES ` {2n} over {n} ` TIMES {1} over {2}]
[eqn: = {1} over {2} ` TIMES ` {LEFT ( 2n RIGHT ) !} over {n!`n!} = {1} over {2} ` TIMES _{2n} C _{n}]
※ 추가 설명
[eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} = {1} over {2} ` TIMES _{2n} C _{n}]은 다음과 같이 설명할 수 있다.
집합 [eqn: LEFT { 1,~2,~3,~···,~2n RIGHT }]에서 [eqn: n]개의 수를 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{2n} C _{n}]이다.
이것을 다음과 같이 나누어 구할 수 있다.
① [eqn: 1]을 반드시 포함하는 경우의 수는 [eqn: 1]을 미리 뽑았으므로 나머지 [eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT )]개의 수에서 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개의 수를 더 뽑으면 되기 때문에 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1}]
② [eqn: 2]를 포함해서 [eqn: n]개의 수를 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1}]
③ [eqn: 2n]을 포함해서 [eqn: n]개의 수를 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{2n-1} C _{n-1}]
그런데 각각의 수는 모두 [eqn: n]가지 경우에 중복되게 계산되었으므로 위 경우의 수의 합은 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} ` TIMES 2n` TIMES ` {1} over {n}]
이것이 [eqn: {} _{2n} C _{n}]과 같아야 하므로
[eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} ` TIMES 2= _{2n} C _{n}]
∴ [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} `= {1} over {2} ` TIMES _{2n} C _{n}]

[4점][2009년 6월]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: `_2n`C_n]	[eqn: `_n`C_n-k+1]	[eqn: n over2 times`_2n`C_n+1]

② [eqn: `_2n-1`C_n-1]	[eqn: `_n`C_n-k+1]	[eqn: n over2 times`_2n`C_n]

③ [eqn: `_2n-1`C_n-1]	[eqn: `_n`C_n-k]	[eqn: n over2 times`_2n`C_n]

④ [eqn: `_2n`C_n]	[eqn: `_n`C_n-k+1]	[eqn: n times`_2n`C_n+1]

⑤ [eqn: `_2n-1`C_n-1]	[eqn: `_n`C_n-k]	[eqn: n times`_2n`C_n]

[eqn: 50`]이하의 자연수 [eqn: n`]중에서 [eqn: sum from k=1 to n ``_n C_k `]의 값이 [eqn: 3`]의 배수가 되도록 하는 [eqn: n`]의 개수를 구하시오.

[eqn: 25]

[eqn: sum from k=1 to n `_n C_k = `_n C_1 + `_n C_2 + cdots +`_n C_n] [eqn: = 2^n-1]	[eqn: (because~2^n = `_n C_0 + `_n C_1 + `_n C_2 +cdots+ `_n C_n )]
[eqn: 2^n -1]이 [eqn: 3]의 배수이므로
[eqn: n = 2,~4,~6,~8,~ cdotscdots,~50]일 때이다.
[eqn: therefore~n]의 개수는 [eqn: 25]개이다.

[4점][2009년 6월]

[eqn: left( x- 3 over x right)^6``]의 전개식에서 [eqn: x ^{2} ``]의 계수를 구하시오.

135

[eqn: ` _{6} {rm C} it _r ``x ^{6`-`r}} ` LEFT ( - {3} over {x} RIGHT ) ^{r} `=`` _{6}{ rm C} it _{r} ` `(-3) ^{r} ` `x ^{6`-`2r} `]이므로

[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: `_{6}{\C}_{2}`(-3)^{2}`=`135``]이다.

[3점][2009년 10월]

[eqn: (`x+a`) ^{`10}`]의 전개식에서 세 항 [eqn: x], [eqn: x ^{`2}], [eqn: x ^{`4}`]의 계수가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: a != 0])

①

[eqn: (x+a) ^{10}]의 전개식에서 [eqn: x], [eqn: x ^{2}], [eqn: x ^{4}]의 계수는

[eqn: ` _{10}` {rm C} it _{`1} `a ^{`9} `], [eqn: ` _{10}` {rm C} it _{`2} ``a ^{`8} `], [eqn: ` _{10} `{rm C} it _{`4}`` a ^{`6} `] 즉, [eqn: 10`a ^{`9} `], [eqn: 45`a ^{`8} `], [eqn: 210`a ^{`6} `]

이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: (45`a ^{`8} ) ^{2} =10`a ^{`9} `․``210`a ^{`6}]

∴ [eqn: a= {28} over {27}]

[3점][2010년 3월]

① [eqn: {28} over {27}]	② [eqn: {27} over {26}]	③ [eqn: {26} over {25}]	④ [eqn: {25} over {24}]	⑤ [eqn: {24} over {23}]

[eqn: sum _{ k=0} ^{ 5}` _5{RM C}_{it k}` LEFT ( { 3} over {8 } RIGHT )^k ` LEFT ( { 13} over {8 } RIGHT )^5-k `]의 값을 구하시오.

32

[eqn: sum _{ k=0} ^{5 } `_{5} RM C_{IT k} LEFT ( { 3} over {8 } RIGHT )^{it k} LEFT ( { 13} over { 8} RIGHT )^{it 5-k} = LEFT ( { 3} over {8 } + { 13} over {8 } RIGHT )^5 =2^5 =32]

[3점][2010년 4월]

[eqn: LEFT ( 1+2x+3x ^{2} +4x ^{3} +`cdots`+11x ^{10} RIGHT ) ^{2} ``]의 전개식에서 [eqn: x ^{10} ``]의 계수를 구하시오.

[eqn: 286}]

전개식에서 [eqn: x ^{10} ``]의 항들은

[eqn: 1 TIMES 11x ^{10} ,~2x` TIMES 10x ^{9} ,~3x ^{2} TIMES 9x ^{8} ,~ CDOTS `,~11x ^{10} TIMES 1]

이므로 [eqn: x ^{10} ``]의 계수는

[eqn: LEFT ( 1 TIMES 11 RIGHT ) + LEFT ( 2 TIMES 10 RIGHT ) + LEFT ( 3 TIMES 9 RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( 11 TIMES 1 RIGHT ) ``]

따라서 [eqn: x ^{10} ``]의 계수는

[eqn: sum _{k=1} ^{11} `k LEFT ( 12-k RIGHT ) =12 sum _{k=1} ^{11} k- sum _{k=1} ^{11} k ^{2} ``]

[eqn: =12 TIMES {11 TIMES 12} over {2} - {11 TIMES 12 TIMES 23} over {2} =286`]이다.

[4점][2010년 4월]

[eqn: rm ` _{10} C _{`0} + _{10} C _{`2} + _{10} C _{`4} + _{10} C _{`6} + _{10} C _{`8} + _{10} C _{`10}]의 값은?

④

[eqn: rm ` _{10} C _{`0} + _{10} C _{`2} + _{10} C _{`4} + _{10} C _{`6} + _{10} C _{`8} + _{10} C _{`10}]
[eqn: = rm ` _{9} C _{`0} +( _{9} C _{`1} + _{9} C _{`2} )+CDOTS+( _{9} C _{`7} + _{9} C _{`8} )+ _{9} C _{`9} =512]

[[eqn: 3]점][2010년 4월]

① [eqn: 64]	② [eqn: 128]	③ [eqn: 256]

④ [eqn: 512]	⑤ [eqn: 1024]

[eqn: LEFT ( {x} over {2} + {2} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 상수항을 구하시오.

[eqn: 20`]

[eqn: left({x}over2`+`2over{x}right)^6`]의 전개식의 일반항은
[eqn: `_6`C_r`left({x}over2right)^6-r`left(2over{x}right)^r`=`_6`C_r`2^2r-6`cdot`x^6-2r`]이므로
[eqn: r=3`]일 때 상수항이다.

[eqn: r=3`]을 대입하면 [eqn: `_6`C_3`=20`]

[3점][2010년 6월]

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 } {left( x+ 1 over x^3 right)^k `]의 전개식에서 상수항을 구하시오.

[eqn: 32]

[eqn: {} _{4} rm C _{1} ` it `x ^{3} TIMES ` {1} over {x ^{3}} +` _{8} rm C it rm _{2} ```x ^{6} TIMES left( {1} over {x ^{3}} right) ^{2} `][eqn: = _{`4} rm C it rm _{1} + _{8} rm C it rm _{2} ```]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 32]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

다항식 [eqn: LEFT ( `x ^{2} ``-``1` RIGHT ) ^{7} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{`6} `]의 계수를 구하시오.

[eqn: 35]

[eqn: LEFT ( `x ^{2} ``-``1` RIGHT ) ^{7}]의 전개식에서 일반항은 [eqn: ` _{7} rm C _{it r rm} LEFT ( it x ^{2} RIGHT ) ^{7-r} (-1) ^{it r rm }]이므로 [eqn: x ^{6}]의 계수는 [eqn: ` _{7} rm C _{4} (-1) ^{4} =35`]이다.

[3점][2010년 10월]

[eqn: left(x ^{2} + {1} over {x} right) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수는?

⑤

[eqn: {} _{6} ` {rm C} it _{r} `(x ^{2} ) ^{6-r} ` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r`} = _{6} ` {rm C} it _{r} `x ^{12-3r}]

[eqn: 12-3r=3], [eqn: r=3]

따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: {} _{6} rm C _{3} `=20 it]

[3점][2011년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 20]

다항식 [eqn: (x+a)^5``]의 전개식에서 [eqn: x^3 ``]의 계수와 [eqn: x^4``]의 계수가 같을 때, [eqn: 60`a``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a``]는 양수이다.)

[eqn: 30]

[eqn: x^3]의 계수는 [eqn: `_5 C_3 times a^2 = 10 a^2]이고,

[eqn: x^4]의 계수는 [eqn: `_5 C_4 times a = 5 a]이다.

따라서 [eqn: 10a^2 = 5a]에서

[eqn: a= 1over 2] (∵ [eqn: a>0])

∴ [eqn: 60 a = 30]

[4점][2011년 9월]

[eqn: (`1`+`x`)`^10 `]의 전개식에서 [eqn: x`^3 `]의 계수를 구하시오.

[eqn: 120]

[eqn: {} _{10} `{rmC}` _{3} = {10 times 9 times 8} over {3 times2 times 1} =120]

[3점][2011년 10월]

다항식 [eqn: (1+x)^5 ``]의 전개식에서 [eqn: x^2 ``]의 계수는?

④

다항식 [eqn: (1+x) ^{5}]의 전개식의 일반항은
[eqn: {} _{5} C _{r} `x ^{r} ````(r=0,``1,``2,``3,``4,``5`)]
[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: `_5 C_2 =10]

[2점][2012년 6월]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: LEFT ( x+ {2} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수를 구하시오.

60

[eqn: {} _{6} {rm C } _{{itr}} ``x ^{6-r} ` LEFT ( {2} over {x} RIGHT ) ^{r} ``=` _{6} {rm C} _{r} ``2 ^{r} `x ^{6-2r}]

[eqn: 6-2r `=` 2] [eqn: therefore ` r=2]

[eqn: x^2]의 계수는 [eqn: rm {}_6 C_2 ``2^2 `=` 60]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

다항식 [eqn: (1+ax)^5]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1440]일 때, 양수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

12

[eqn: (1+ax)^5]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{5} C _{r} ``1 ^{5-r} (ax) ^{r}][eqn: = {} _{5} C _{r} ``a^r x^r]

이때, [eqn: x^2]항은 [eqn: r=2]일 때이므로 [eqn: x^2]의 계수는

[eqn: `_5 C_2`` a^2 = { 5 times 4} over{ 2 times 1}times a^2] [eqn: =10a^2][eqn: =1440]

[eqn: a^2 = 144]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=12]

[3점][2012년 9월]

다항식 [eqn: (`x^{`2}+1`)^{`5} `]의 전개식에서 [eqn: x^{`2} `]의 계수는?

①

[eqn: (x ^{2} +1) ^{5} `]의 전개식에서 [eqn: {} _{5} rm C _{it r rm} ( it x ^{2} ) ^{5-r} 1 ^{r} `][eqn: = _{5} rm C _{it r rm} ` it x ^{10-2r} `]이므로 [eqn: x ^{2} `]의 계수는 [eqn: r=4`]일 때 [eqn: {} _{5} rm C _{it 4 rm} `][eqn: =5]

[3점][2012년 10월]

① [eqn: 5 `]	② [eqn: 6 `]	③ [eqn: 7 `]	④ [eqn: 8 `]	⑤ [eqn: 9`]

[eqn: (a+b+c)^4 (x+y)^3``]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 60]

[eqn: (a+b+c)^4 ``]에서 [eqn: 3``]개의 문자에서 중복을 허용하여 [eqn: 4``]개를 선택하는 경우의 수만큼 서로 다른 항이 존재하므로
[eqn: `_3 H _4 = _6 C_4 = 15]
마찬가지로 [eqn: (x+y)^3``]에서 [eqn: `_2 H_3 = _4 C_3 =4``]
[eqn: therefore```15 times 4 =60]

[4점][2012년 5월]

[eqn: LEFT ( x ^{2} - {2} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 상수항을 구하시오.

240

[eqn: LEFT ( x ^{2} - {2} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식의 일반항

[eqn: {} _{6} rm C _{it r rm} it LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{6-r} LEFT ( - {2} over {x} RIGHT ) ^{r}]에서 상수항은 [eqn: r=4]인 경우이므로

[eqn: {} _{6} rm C _{it 4 rm} it (-2) ^{4} =240]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4}]의 계수를 구하시오.

60

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{6}]의 전개식의 일반항

[eqn: ` _{6} rm C _{it r rm}`` it x^6-r (-2)^r]에서

[eqn: x ^{4}]의 계수는 [eqn: r `=` 2]인 경우이므로

[eqn: {} _{6} rm C _{2} (-2) ^{2} =60]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

[eqn: n``]이 [eqn: 3``]이상의 자연수일 때, [eqn: x``]에 대한 다항식 [eqn: left(1+ x over n right)^n ``]의 전개식에서 [eqn: x^3 ``]의 계수를 [eqn: a_n ``]이라 하자. [eqn: lim_n->inf 1 over a_n ``]의 값을 구하시오.

[eqn: 6]

[eqn: a _{n=} ` _{n} C _{3} CDOT 1 ^{n-3} CDOT LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{3} `= {n(n-1)(n-2)} over {6n ^{3}}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {a _{n}}} = lim _{n -> INF } {{6n ^{3}} over {n(n-1)(n-2)} =6}]

[4점][2013년 9월]

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{7} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{2} `]의 계수는?

⑤

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{7} `]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{7} rm C _{it `r rm} it LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{7-r} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r} `][eqn: = _{7} rm C _{it `r rm} ` it x ^{14-3r} `]

[eqn: 14-3r=2`]에서 [eqn: r=4`]

따라서 [eqn: x ^{2} `]의 계수는 [eqn: ` _{7} rm C _{4} `][eqn: =35`]이다.

[3점][2013년 10월]

① [eqn: 7`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 21`]	④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 35`]

[eqn: rm `` _{5} C _{0} `+ _{5} C _{1} + _{5} `C _{2} +` _{5} `C _{3} `+ _{5} `C _{4} `+ _{5} `C _{5} `]의 값을 구하시오.

[eqn: 32]

[eqn: (1+x) ^{5} =][eqn: `` _{5} {\C} _{0} `+ _{5} {\C} _{1} x+ _{5} `{\C} _{2} x^2 +` _{5} `{\C} _{3} `x^3 + _{5} `{\C} _{4} `x^4 + _{5} `{\C} _{5} `x^5]

양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: rm `` _{5} C _{0} `+ _{5} C _{1} + _{5} `C _{2} +` _{5} `C _{3} `+ _{5} `C _{4} `+ _{5} `C _{5} `][eqn: =2 ^{5} =32`]

[3점][2013년 10월]

[eqn: LEFT ( ax+ {1} over {x} RIGHT ) ^{4}``]의 전개식에서 상수항이 [eqn: 54``]일 때, 양수 [eqn: a``]의 값을 구하시오.

3

[eqn: LEFT ( ax+ {1} over {x} RIGHT ) ^{4}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{4} C _{r} ` LEFT ( ax RIGHT ) ^{4-r} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r}][eqn: = _{4} C _{r} `a ^{4-r} `x ^{4-2r}]

상수항은 [eqn: r=2]일 때 이므로

상수항은 [eqn: {} _{4} C _{2} cdot `a ^{2} =`54]

[eqn: a ^{2} =9]

[eqn: THEREFORE a=3```( BECAUSE a>0)]

[3점][2014년 6월]

다항식 [eqn: (x+2) ^{6} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} `]의 계수를 구하시오.

160

[eqn: (x+2) ^{6} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} `]의 계수는

[eqn: {} _{6} rm C _{3} ·`` it 2 ^{3}][eqn: =160`]

[3점][2014년 7월]

다항식 [eqn: ( x+1)^{`10} `]의 전개식에서 [eqn: x^{`2} `]의 계수를 구하시오.

45

[eqn: ( x+1)^{`10} `][eqn: = sum_{r=0} ^10 `_10 rm C _{` it r}```` it x^{`r} cdot 1^{`10-r} `]

따라서 [eqn: x^{`2} `]의 계수는 [eqn: rm `_10 C _{`2}`][eqn: =45 `]이다.

[3점][2014년 10월]

다항식 [eqn: ` LEFT ( 1+3x RIGHT ) ^{5} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} `]의 계수는?

④

[출제의도] 이항정리 이해하기

다항식 [eqn: (1+3x) ^{5}]의 전개식의 일반항은 [eqn: rm _{5} rm C _{it r rm} ``1 ^{5- it r rm} ` it `(3x) ^{r}][eqn: LEFT ( r=0,``1,``2,``3,``4,``5 RIGHT )]

따라서 [eqn: r=3]일 때 [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: 270]

[3점][2015년 7월]

① [eqn: 180]	② [eqn: 210]	③ [eqn: 240]	④ [eqn: 270]	⑤ [eqn: 300]

[해설] 확통-(1)확률-(e)이항정리