05

이항정리와 분할

		2013학년도 6월 평가원 가형 2

다항식 [eqn: (1+x)^5]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는? [2점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

정답 ④

		2015학년도 7월 교육청 A형 9

다항식 [eqn: (1+3x)^5]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수는? [3점]

① [eqn: 180]	② [eqn: 210]	③ [eqn: 240]

④ [eqn: 270]	⑤ [eqn: 300]

정답 ④

		2014학년도 7월 교육청 A형 23

다항식 [eqn: (x+2)^6]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold160]

		2012학년도 7월 교육청 가형 22

[eqn: left( x + 2over x right)^6]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold60]

		2011학년도 6월 평가원 나형 19

[eqn: left( x over 2 + 2 over x right)^6]의 전개식에서 상수항을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold20]

		2010학년도 10월 교육청 나형 18

다항식 [eqn: (x^2 -1 ) ^7]의 전개식에서 [eqn: x^6]의 계수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: BOLD35]

		2010년 이전 수능 나형

[eqn: LEFT( x + 1over x^3 right) ^4]의 전개식에서 [eqn: 1over x^4]의 계수는? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

정답 ②

		2010년 이전 수능 나형

[eqn: left( 2x + 1over 2x right) ^7]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는? [3점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 70]

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원 나형

[eqn: (3x + y) ^6]의 전개식에서 [eqn: x^2 y^4]의 계수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold135]

		2010년 이전 평가원 나형

다항식 [eqn: (1-x)^4 ( 2-x )^3]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold102]

		2010년 이전 평가원 나형

다항식 [eqn: (1+2x)^6 (1-x)]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는? [3점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 80]

정답 ⑤

		2015학년도 6월 평가원 B형 23

[eqn: left( ax+ 1over x right)^4]의 전개식에서 상수항이 [eqn: 54]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold3]

		EBS 연계 2015학년도 수능 A형 7

다항식 [eqn: (x+a)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수가 [eqn: 60]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ②

		2013학년도 9월 평가원 나형 24

다항식 [eqn: (1+ax) ^5]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1440]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

		2010년 이전 수능 나형

다항식 [eqn: (1+x)^n]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 45]일 때 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold10]

		2010년 이전 평가원 나형

다항식 [eqn: (x-1)^n]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수가 [eqn: -12]일 때 [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold12]

		EBS 연계 2012학년도 수능 나형 8

다항식 [eqn: (x+a)^7]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수가 [eqn: 280]일 때, [eqn: x^5]의 계수는? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 84]	② [eqn: 91]	③ [eqn: 98]

④ [eqn: 105]	⑤ [eqn: 112]

정답 ①

		2012학년도 9월 평가원 나형 27

다항식 [eqn: (x+a)^5]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수와 [eqn: x^4]의 계수가 같을 때, [eqn: 60a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 양수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold30]

		2010년 이전 평가원 나형

다항식 [eqn: (x+a)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수가 [eqn: x^5]의 계수의 [eqn: 50]배일 때 양의 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold20]

		2010년 이전 수능 나형

다항식 [eqn: (x-a)^5]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수와 상수항의 합이 [eqn: 0]일 때 양의 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원 나형

다항식 [eqn: (1+ax)^7]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수가 [eqn: 14]일 때 [eqn: x^2]의 계수를 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold84]

		2010년 이전 수능 나형

다항식 [eqn: 2(x+a)^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수와 다항식

[eqn: (x-1)(x+a)^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 [eqn: (a,~n)]에 대하여 [eqn: an]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 자연수이고, [eqn: n]은 [eqn: n ge 2]인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold12]

		2010년 이전 평가원 나형

[eqn: 50] 이하의 자연수 [eqn: n]중에서 [eqn: sum _{k=1} ^{n} ` _{n} rmC _{itk}]의 값이 [eqn: 3]의 배수가 되도록 하는 [eqn: n]의 개수를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold25]

		2010년 이전 평가원 나형

자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(n)= sum _{k=1} ^{n} ( _{2k} rmC _{1} + _{it2k} C _{3} + _{it2k} C _{5} +cdots+ _{it2k} C _{it2k-1} )]

일 때 [eqn: f(5)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold682]

		2010년 이전 평가원 나형

다음은 두 자연수 [eqn: m]과 [eqn: n] ([eqn: m<n])에 대하여

[eqn: {} _{m} rmC _{itm} + _{itm+1} C _{itm} +cdots+ _{itn} C _{itm}]

의 값을 이항정리를 이용하여 구하는 과정이다.

[eqn: x]는 [eqn: 0]이 아닌 실수라 하자.

[eqn: {} _{m} rmC _{itm}]은 다항식 [eqn: (1+x) ^{m}]에서 [eqn: x ^{m}]의 계수이다.

[eqn: {} _{m+1} rmC _{itm}]은 다항식 [eqn: (1+x) ^{m+1}]에서 [eqn: x ^{m}]의 계수이다.

⋮

[eqn: {} _{n} rmC _{itm}]은 다항식 [eqn: (1+x) ^{n}]에서 [eqn: x ^{m}]의 계수이다.

따라서

[eqn: {} _{m} rmC _{itm} + _{itm+1} C _{itm} +cdots+ _{itn} C _{itm}]

은 다항식 [eqn: box{~~㈎~~}]에서 [eqn: x ^{m}]의 계수이다.

그러므로

[eqn: {} _{m} rmC _{itm} + _{itm+1} C _{itm} +cdots+ _{itn} C _{itm} =box{~~㈏~~}]

이다.

위의 과정에서 ㈎와 ㈏에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은? [4점]

㈎	㈏

① [eqn: {(1+x) ^{n+1} -(1+x) ^{m}} over {x}]	[eqn: {} _{n+1} rmC _{itm+1}]

② [eqn: {(1+x) ^{n+1} -(1+x) ^{m}} over {x}]	[eqn: {} _{n+1} rmC _{itm}]

③ [eqn: (1+x) ^{n+1} -(1+x) ^{m}]	[eqn: {} _{n+1} rmC _{itm}]

④ [eqn: {(1+x) ^{n+1} -1} over {x}]	[eqn: {} _{n+1} rmC _{itm+1}]

⑤ [eqn: {(1+x) ^{n+1} -1} over {x}]	[eqn: {} _{n+1} rmC _{itm}]

정답 ①

		2010년 이전 평가원 가형, 나형

다음은 [eqn: n]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k( _{n} rmC _{itk} ) ^{2}]의 값을 구하는 과정이다.

두 다항식의 곱

[eqn: (a _{0} +a _{1} x+cdots+a _{n-1} x ^{n-1} )(b _{0} +b _{1} x+cdots+b _{n} x ^{n} )]

에서 [eqn: x ^{n-1}]의 계수는

[eqn: a _{0} b _{n-1} +a _{1} b _{n-2} +cdots+a _{n-1} b _{0}]	⋯⋯(*)

이다.

등식 [eqn: (1+x) ^{2n-1} =(1+x) ^{n-1} (1+x) ^{n}]의 좌변에서 [eqn: x ^{n-1}]의 계수는 [eqn: box{~~㈎~~}]이고, (*)을 이용하여 우변에서 [eqn: x ^{n-1}]의 계수를 구하면 [eqn: sum _{k=1} ^{n} ( _{n-1} rmC _{itk-1} times{box{~~㈏~~}})]이다.

따라서 [eqn: box{~~㈎~~}= sum _{k=1} ^{n} ( _{n-1} rmC _{itk-1} times{box{~~㈏~~}})]이다.

한편 [eqn: 1 le k le n]일 때 [eqn: k times _n rmC_{itk} = itn times _ n-1 rmC_{itk-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k( _{n} rm C _{it k rm} ) ^{2} = sum _{itk=1} ^{itn} ( it n TIMES _{n-1} rm C _{it k-1 rm} TIMES BOX{~~㈏~~} )]

[eqn: =n{times} sum _{k=1} ^{n} ( _{n-1} rmC _{itk-1} {times}box{~~㈏~~})]

[eqn: =box{~~㈐~~}]

이다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은? [4점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: {} _{2n} rmC _{itn}]	[eqn: {} _{n} rmC _{itn-k+1}]	[eqn: {n} over {2} times _{2n} rmC _{itn+1}]

② [eqn: {} _{2n-1} rmC _{itn-1}]	[eqn: {} _{n} rmC _{itn-k+1}]	[eqn: {n} over {2} times _{2n} rmC _{itn}]

③ [eqn: {} _{2n-1} rmC _{itn-1}]	[eqn: {} _{n} rmC _{itn-k}]	[eqn: {n} over {2} times _{2n} rmC _{itn}]

④ [eqn: {} _{2n} rmC _{itn}]	[eqn: {} _{n} rmC _{itn-k+1}]	[eqn: {n} over {2} times _{2n} rmC _{itn+1}]

⑤ [eqn: {} _{2n-1} rmC _{itn-1}]	[eqn: {} _{n} rmC _{itn-k}]	[eqn: {n} over {2} times _{2n} rmC _{itn}]

정답 ③

		2010년 이전 교육청 가형

원소의 개수가 [eqn: 6]인 집합을 공집합이 아닌 두 개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

정답 ①

		2011학년도 수능 나형 20

서로 다른 [eqn: 6]개의 공을 두 바구니 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에 [eqn: 3]개씩 담을 때, 그 결과로 나올 수 있는 경우의 수를 구하시오. [3점]

정답 [eqn: BOLD30]

		2010년 이전 평가원 가형, 나형

수련회에 참가한 여학생 [eqn: 5]명과 남학생 [eqn: 6]명을 [eqn: 4]개의 방에 배정하려고 한다. 여학생은 [eqn: 1]호실에 [eqn: 3]명, [eqn: 2]호실에 [eqn: 2]명을 배정하고, 남학생은 [eqn: 3]호실과 [eqn: 4]호실에 각각 [eqn: 3]명씩 배정하는 방법의 수를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD200]

		2010년 이전 수능 나형

다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 투명한 유리 상자 [eqn: 12]개로 직육면체를 만들었다. 이 중에서 [eqn: 4]개의 유리 상자를 같은 크기의 검은색 유리 상자로 바꾸어 넣은 직육면체를 위에서 내려다본 모양이 ㈎, 옆에서 본 모양이 ㈏와 같이 되도록 만들 수 있는 방법의 수는? [4점]

㈎	㈏

① [eqn: 54]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 30]

정답 ④

		2010년 이전 평가원 가형

아시아 [eqn: 4]개국과 아프리카 [eqn: 4]개국이 있다. [eqn: 8]개국을 [eqn: 2]개국씩 짝지어 [eqn: 4]개의 그룹으로 나누려고 한다. 적어도 한 개의 그룹이 아시아 국가만으로 이루어지도록 [eqn: 4]개의 그룹으로 나누는 경우의 수를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD81]

		2010년 이전 교육청 가형

서로 다른 종류의 [eqn: 7]송이 꽃이 있다. [eqn: 2]송이, [eqn: 2]송이, [eqn: 3]송이씩 포장하여 [eqn: 3]명의 친구에게 각각 선물하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 600]	② [eqn: 610]	③ [eqn: 620]

④ [eqn: 630]	⑤ [eqn: 640]

정답 ④

		2011학년도 수능 가형 이산수학 26

자연수 [eqn: 7]의 분할 중에서 [eqn: 3] 이하의 자연수의 합으로 나타내어지는 서로 다른 분할의 수는? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ③

		2010년 이전 수능 가형

[eqn: 9]의 분할 중에서 홀수의 합으로만 만들어지는 서로 다른 분할의 형태의 개수는? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

정답 ②

		2010년 이전 평가원 가형

자연수 [eqn: 11]의 분할 중 같은 수가 [eqn: 5]개 이상 포함된 분할의 서로 다른 형태의 개수는? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

정답 ③

		2010학년도 10월 교육청 가형 이산수학 29

자연수 [eqn: n]을 [eqn: k]개의 자연수의 합으로 나타내는 서로 다른 분할의 형태의 개수를 [eqn: P(n,~k)]로 나타내자. 예를 들어

[eqn: 6=1+5=2+4=3+3]이므로 [eqn: P(6,~2)=3]이다. 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? (단, 더하는 순서가 바뀐 것은 같은 분할의 형태로 본다.) [4점]

ㄱ. [eqn: P(4,~2)=2]

ㄴ. [eqn: P(10,~3)= P(7,~1)+P(7,~2)+P(7,~3)]

ㄷ. [eqn: k_1 < k_2 < n]을 만족시키는 세 자연수 [eqn: k_1], [eqn: k_2], [eqn: n]에 대하여

[eqn: P(n,~k_1 ) le P (n,~k_2 )]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

		2010년 이전 수능 가형

같은 종류의 사탕 [eqn: 9]개를 같은 종류의 봉지 [eqn: 5]개에 빈 봉지가 없도록 나누어 넣는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

정답 ④

		2010년 이전 교육청 가형

같은 종류의 [eqn: 7]개의 공과 [eqn: 3]개의 상자가 있다. 공을 상자에 모두 나누어 넣으려고 할 때, 빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정답 ①