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정적분의 활용

		2016학년도 6월 평가원 B형 13

닫힌 구간 [eqn: [0,~4]]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=2 sqrt {2} `sin`` {pi} over {4} x]

의 그래프가 그림과 같고, 직선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA(1,~2)]를 지난다.

직선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x]축에 평행할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x)]에 의해 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① [eqn: {16} over {pi} -4]	② [eqn: {17} over {pi} -4]	③ [eqn: {18} over {pi} -4]

④ [eqn: {16} over {pi} -2]	⑤ [eqn: {17} over {pi} -2]

정답 ①

		2015학년도 6월 평가원 B형 9

함수 [eqn: y=e ^{x}]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 영역의 넓이가 직선 [eqn: y=ax] [eqn: (0<a<e)]에 의하여 이등분될 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: e- {1} over {3}]	② [eqn: e- {1} over {2}]	③ [eqn: e-1]

④ [eqn: e- {4} over {3}]	⑤ [eqn: e- {3} over {2}]

정답 ③

		2011학년도 7월 교육청 가형 14

곡선 [eqn: y=e ^{x} -1] 위의 점 [eqn: rmP(1,~ite-1)]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 이때 곡선 [eqn: y=e ^{x} -1]과 [eqn: y]축, 접선 [eqn: l]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① [eqn: {e} over {2} -1]	② [eqn: e- {3} over {2}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: {e} over {2} +1]

정답 ①

		2012학년도 6월 평가원 가형 18

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=(ln`x) ^{n}] [eqn: (x ge 1)]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하자. |보기|에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: 1 le x le e]일 때, [eqn: (ln`x)^n ge (ln`x)^n+1]이다.

ㄴ. [eqn: S_n < S_n+1]

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)=(ln`x)^n ``(x ge 1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하면

[eqn: S _{n} = int _{0} ^{1} {g(x)dx}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

		2015학년도 수능 B형 28

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(a-t)e ^{t} dt}]의 최댓값이 [eqn: 32]이다. 곡선 [eqn: y=3e ^{x}]과 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: y=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold96]

		2015학년도 7월 교육청 B형 28

양의 실수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=k`ln``x]와 직선 [eqn: y=x]가 접할 때, 곡선 [eqn: y=k`ln``x], 직선 [eqn: y=x] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: ae ^{2} -be]이다. [eqn: 100ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold50]

		2013학년도 10월 교육형 B형 14

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= {2n} over {x}]과 직선 [eqn: y=- {x} over {n} +3]의 두 교점을 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]이라 하자. 곡선 [eqn: y= {2n} over {x}]과 직선 [eqn: y=- {x} over {n} +3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n+1} -S _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: {3} over {2} -2`ln``2]	② [eqn: 1-ln``2]	③ [eqn: {3} over {2} -ln``2]

④ [eqn: 1+ln``2]	⑤ [eqn: {3} over {2} +2`ln``2]

정답 ①

		EBS 연계 2012학년도 수능 가형 16

그림에서 두 곡선 [eqn: y=e ^{x}], [eqn: y=xe ^{x}]과 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분 [eqn: A]의 넓이를 [eqn: a], 두 곡선 [eqn: y=e ^{x}], [eqn: y=xe ^{x}]과 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분 [eqn: B]의 넓이를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: b-a]의 값은? [4점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: e]

정답 ③

		2012학년도 9월 평가원 가형 16

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x`sin``x `left( 0 le x le pi over 2 right)]에 대하여 이 곡선과 [eqn: x]축, 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 이 곡선과 직선 [eqn: x=k], 직선 [eqn: y= pi over 2]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0 le k le {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

① [eqn: {pi} over {4} - {1} over {pi}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: {pi} over {2} - {2} over {pi}]

④ [eqn: {pi} over {4} + {1} over {pi}]	⑤ [eqn: {pi} over {2} - {1} over {pi}]

정답 ③

		2010년 이전 교육청 가형

곡선 [eqn: y=ln``(x+1)]과 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: y=a]로 둘러싸인 부분의 넓이와 곡선 [eqn: y=ln``(x+1)]과 두 직선 [eqn: x=e-1], [eqn: y=a]로 둘러싸인 부분의 넓이가 서로 같을 때, 실수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {e-1}]	② [eqn: {2} over {e-1}]	③ [eqn: {2} over {e}]

④ [eqn: {1} over {e+1}]	⑤ [eqn: {2} over {e+1}]

정답 ①

		2010년 이전 수능 가형

곡선 [eqn: y=3 sqrt {x-9}]와 이 곡선 위의 점 [eqn: (18,~9)]에서의 접선 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold27]

		2010년 이전 수능 가형

함수 [eqn: f(x)=e ^{-x}]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rmQ _{itn}]을 각각 [eqn: rmP _{itn} (itn~f(n))], [eqn: rmQ _{itn} (itn+1,~f(n))]이라 하자.

삼각형 [eqn: RMP _{ITn} P _{ITn+1} Q _{ITn}]의 넓이를 [eqn: A _{n}], 선분 [eqn: rmP _{itn} P _{itn+1}]과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: B _{n}]이라 할 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: int _{n} ^{n+1} {f(x)dx=f(n)-(A _{n} +B _{n} )}]

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} A _{n} = {1} over {2e}]

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} B _{n} = {3-e} over {2e(e-1)}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원 가형

좌표평면에서 곡선 [eqn: y= {xe ^{x ^{2}}} over {e ^{x ^{2}} +1}]과 직선 [eqn: y= {2} over {3} x]로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합은? [4점]

① [eqn: {5} over {3} rmln``2-ln``3]	② [eqn: 2`ln``3- {5} over {3} `ln``2]

③ [eqn: {5} over {3} `ln``2+ln``3]	④ [eqn: 2`ln``3+ {5} over {3} `ln``2]

⑤ [eqn: {7} over {3} `ln``2-ln``3]

정답 ①

		2010년 이전 평가원 가형

그림과 같이 두 직선 [eqn: x=p], [eqn: x=q]와 [eqn: x]축 및 곡선 [eqn: y= log _a `x]로 둘러싸인 부분을 곡선 [eqn: y= log_b `x]가 두 부분 [eqn: A]와 [eqn: B]로 나눈다. [eqn: A]와 [eqn: B]의 넓이를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha over beta]의 값은?

(단, [eqn: 1<a<b], [eqn: 1<p<q]) [3점]

① [eqn: left( b over a -1 right) (q-p)]	② [eqn: a over b -1]

③ [eqn: log_a `b -1]	④ [eqn: log_b `a-1]

⑤ [eqn: (q-p) `log_b `a]

정답 ③

		2010년 이전 평가원 가형

연속함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 그림과 같다. 이 곡선과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 두 부분 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 넓이가 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]일 때, 정적분

[eqn: int _{0} ^{p} {xf(2x ^{2} )dx}]의 의 값은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: p> {1} over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

① [eqn: {1} over {2} (alpha+beta)]	② [eqn: {1} over {2} ( alpha - beta )]	③ [eqn: alpha + beta]

④ [eqn: {1} over {4} ( alpha + beta )]	⑤ [eqn: {1} over {4} ( alpha - beta )]

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원 가형

자연수 [eqn: n]에 대하여 구간 [eqn: [(n-1)pi,~n{pi}]]에서 곡선

[eqn: y= left ( 1 over 2 right) ^n sin ``x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } S_n = alpha]일 때, [eqn: 50 alpha]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold100]

		2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 윗면의 반지름의 길이가 [eqn: 5], 아랫면의 반지름의 길이가 [eqn: 3], 높이가 [eqn: 4]인 원뿔대 모양의 그릇이 있다. 이 그릇에 물을 가득 채울 때, 다음 중 담긴 물의 양을 나타낸 식으로 옳은 것은?

(단, 그릇의 두께는 무시힌다.) [4점]

① [eqn: pi int _{0} ^{4} {left(3+ {x} over {4} right) ^{2} dx}]	② [eqn: pi int _{0} ^{4} {LEFT ( 3+ {x} over {3} RIGHT ) ^{2} dx}]

③ [eqn: pi int _{0} ^{4} {LEFT ( 3+ {x} over {2} RIGHT ) ^{2} dx}]	④ [eqn: pi int _{0} ^{4} {LEFT ( 3+x RIGHT ) ^{2} dx}]

⑤ [eqn: pi int _{0} ^{4} {LEFT ( 3x RIGHT ) ^{2} dx}]

정답 ③

		2010년 이전 교육청 가형

어떤 그릇에 깊이가 [eqn: h``rmcm]가 되도록 물을 넣을 때 수면은 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {9+h ^{2}} ``rmcm]인 원이 된다. 이 그릇에 매초 [eqn: 260pi``rmcm ^{3}]의 비율로 물을 넣을 때, 수면의 높이가 [eqn: 2``rmcm]인 순간의 수면이 상승하는 속도는 몇 [eqn: rmcm/초]인지 구하시오.

(단, 그릇의 높이는 [eqn: 2``rmcm]보다 크다.) [3점]

정답 [eqn: bold20]