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정적분의 정의와 성질의 응용

		2013학년도 6월 평가원 가형 10

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt} =e ^{x} +ax+a]

를 만족시킬 때, [eqn: f(ln`2)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: e]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2e]

정답 ①

		EBS 연계 2013학년도 수능 가형 12

연속함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=e ^{x ^{2}} + int _{0} ^{1} {tf(t)dt}]

를 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)dx}]의 값은? [3점]

① [eqn: e-2]	② [eqn: {e-1} over {2}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: {e+1} over {2}]

정답 ④

		2013학년도 10월 교육청 B형 7

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt=cos``2x+ax ^{2} +a}]

를 만족시킬 때, [eqn: f left( pi over 2 right)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: - {3} over {2} pi]	② [eqn: -pi]	③ [eqn: - {pi} over {2}]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

정답 ②

		2010년 이전 수능 자연

함수 [eqn: f(x)]는 연속함수이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 등식이 성립한다.

[eqn: f(x)-2 int _{0} ^{x} {e ^{t} f(t)dt=1}]

이때 [eqn: f`''(0)]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

정답 ③

		2010년 이전 평가원 가형

함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {{1} over {1+t ^{6}} dt}]에 대하여 상수 [eqn: a]가 [eqn: f(a)= {1} over {2}]을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{a} {{e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}} dx}]의 값은? [3점]

① [eqn: {sqrt {e} -1} over {2}]	② [eqn: sqrt {e} -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {sqrt {e} +1} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {e} +1]

정답 ②

		2010년 이전 교육청 가형

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=e ^{x} -1+ int _{0} ^{x} {f(t)dt}]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: f(0)=0]이다.

ㄴ. [eqn: f`'(0)=0]이다.

ㄷ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>f(x)]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ④

		2012학년도 10월 교육청 가형 15

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

㈎ [eqn: int _{{pi } over {2}} ^{x} {f(t)dt= LEFT { g(x)+a right} sin``x-2]

㈏ [eqn: g(x)= int _{0} ^{{pi} over {2}} {f(t)dt`cos``x+3}]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

		2014학년도 6월 평가원 B형 27

함수 [eqn: f(x)= {1} over {1+x}]에 대하여

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {tf(x-t)dt~~(x} GEQ 0)]

일 때, [eqn: F`` prime (a)=ln`10]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold9]

		2012학년도 9월 평가원 가형 20

닫힌 구간 [eqn: left[0,~ {pi} over {2} right]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f left ( pi over 4 right)]의 값은? [4점]

㈎ [eqn: int _{0} ^{{pi} over {2}} {f(t)dt=1}]

㈏ [eqn: cos``x int _{0} ^{x} {f(t)dt} =sin``x int _{x} ^{{pi} over {2}} {f(t)dt}] [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0 le x le {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ④

		2011학년도 9월 평가원 가형 미분과 적분 28

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{2} {xf(tx)dx=4t ^{2}}]

을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

		2010년 이전 수능 가형

함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= int _{a} ^{x} {(2+sin``t ^{2}} )dx]라 하자.

[eqn: f`''(a)= sqrt {3} a]일 때, [eqn: (f ^{`-1} )'(0)]의 값은?

[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: a]는 [eqn: 0<a< sqrt {{pi} over {2}}]인 상수이다.[eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]

④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

정답 ④

		EBS 연계 2015학년도 수능 B형 9

함수 [eqn: f(x)= {1} over {x}]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f} left( 1+ 2k over n right) 2 over n]의 값은? [3점]

① [eqn: ln`2]	② [eqn: ln`3]	③ [eqn: 2`ln`2]

④ [eqn: ln`5]	⑤ [eqn: ln`6]

정답 ②

		2015학년도 사관학교 B형 13

모든 실수에서 연속이고 역함수가 존재하는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 제[eqn: 1]사분면에 있는 두 점 [eqn: (2,~a)], [eqn: (4,~a+8)]을 지난다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,

[eqn: lim _{n->inf} {` {2} over {n} sum _{k=1} ^{n} f{left(2+ {2k} over {n} right)+ lim _{n->inf} {` {8} over {n} sum _{k=1} ^{n} g{left(a+ {8k} over {n} right)=50}}]

을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

정답 ③

		2015학년도 9월 평가원 B형 13

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 호 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2n]등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: rmP _{0} (=A)], [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP_2], [eqn: cdots], [eqn: rmP_{2itn-1}], [eqn: rmP _ {it2n} (=rmB)]이라 하자. 주어진 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_k ``(1 le k le n)]를 삼각형 [eqn: rmO P_{itn-k} P_{itn+k}]의 넓이라 할 때,

[eqn: lim _{n->inf} {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {pi}]	② [eqn: {13} over {12pi}]	③ [eqn: {7} over {6pi}]

④ [eqn: {5} over {4pi}]	⑤ [eqn: {4} over {3pi}]

정답 ①

		2014학년도 6월 평가원 B형 18

수 [eqn: f(x)=e ^{x}]이 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌　구간 [eqn: [1,~2]]를 [eqn: n]등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례로

[eqn: 1=x _{0}], [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: cdots], [eqn: x _{n-1}], [eqn: x _{n} =2]

라 하자. 세 점 [eqn: (0,~0)], [eqn: (x _{k} ,~0)], [eqn: (x _{k} ,~f(x _{k} ))]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: A _{k}] [eqn: (k=1,~2,~cdots,~n)]라 할 때,

[eqn: lim _{n->inf} {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} A _{k}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2} e ^{2} -e]	② [eqn: {1} over {2} (e ^{2} -e)]	③ [eqn: {1} over {2} e ^{2}]

④ [eqn: e ^{2} -e]	⑤ [eqn: e ^{2} - {1} over {2} e]

정답 ③

		2010년 이전 수능 가형

닫힌 구간 [eqn: [0,~1]]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=1]이며, 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 이계도함수를 가지고

[eqn: f`'(x)>0], [eqn: f`''(x)>0]일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {left{f ^{`-1} (x)-f(x)right}dx}]의 값과 같은 것은? [3점]

① [eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} left{ {k} over {n} -f{left( {k} over {n} right)right} {1} over {2n}}]

② [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {2} over {n}}]

③ [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n}}]

④ [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {2n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n}}]

⑤ [eqn: lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT { {2k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n}}]

정답 ②

		2010년 이전 수능 가형

다음은 연속함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다.

구간 [eqn: [0,~1]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]가 존재하고 연속일 때, 극한값

[eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} left{g{left( {k} over {n} right)-g{left( {k-1} over {n} right)right} {k} over {n}}]

와 같은 값을 가지는 것은? [4점

① [eqn: int _{0} ^{1} {g(x)dx}]	② [eqn: int _{0} ^{1} {xg(x)dx}]

③ [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}]	④ [eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)dx}]

⑤ [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx]

정답 ③

		2011학년도 7월 교육청 가형 20

[eqn: lim _{n->inf} {` sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {4n ^{2} -(n+k) ^{2}}}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {pi} over {12}]	② [eqn: {pi} over {6}]	③ [eqn: {pi} over {4}]

④ [eqn: {pi} over {3}]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

정답 ④

		2016학년도 사관학교 B형 14

[eqn: x ge 0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = 4 over { 1+x^2 }]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} g{left(1+ {3k} over {n} right)}]의 값은? [4점]

① [eqn: {pi- sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {pi+ sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {4pi-3 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: {4pi+3 sqrt {3}} over {9}]	⑤ [eqn: {2pi- sqrt {3}} over {3}]

정답 ③