12

도함수의 활용(1)

		EBS 연계 2015학년도 수능 B형 14

[eqn: a>3]인 상수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=a^x-1]과 [eqn: y=3^x]이 점 [eqn: rmP]에서 만난다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하자.

점 [eqn: rmP]에서 곡선 [eqn: y=3^x]에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmP]에서 곡선 [eqn: y=a^x-1]에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmH(itk,~0)]에 대하여 [eqn: rm bar{AH} =2 bar {BH}]일 때, [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

정답 ④

		EBS 연계 2016학년도 수능 B형 7

곡선 [eqn: y=3e ^{x-1}] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 원점 [eqn: rmO]를 지날 때, 선분 [eqn: rmOA]의 길이는? [3점]

① [eqn: sqrt {6}]	② [eqn: sqrt {7}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt {10}]

정답 ⑤

		2016학년도 9월 평가원 B형 10

곡선 [eqn: y=ln``5x] 위의 점 [eqn: left( {1} over {5} ,~0right)]에서의 접선의 [eqn: y]절편은? [3점]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

정답 ④

		2016학년도 6월 평가원 B형 14

닫힌 구간 [eqn: [0,~4]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=2 sqrt {2} `sin`` {pi} over {4} x]의 그래프가 그림과 같고, 직선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA(1,~2)]를 지난다.

일차함수 [eqn: g(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,~4]]에서 [eqn: f(x) le g(x)]를 만족시킬 때, [eqn: g(3)]의 값은? [4점]

① [eqn: pi]	② [eqn: pi+1]	③ [eqn: pi +2]

④ [eqn: pi+3]	⑤ [eqn: pi+4]

정답 ③

		2015학년도 3월 교육청 B형 14

그림과 같이 함수 [eqn: f(x)= log_2 ` left( x + 1over 2 right)]의 그래프와 함수

[eqn: g(x)= a^x ``(a>1)]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점 중 점 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: RMB], 점 [eqn: RMB]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=g(x)]와 만나는 점을 [eqn: RMC]라 하자.

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: rmC]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: RMBAR AD = BAR BD]일 때, [eqn: g(2)]의 값은? [4점]

① [eqn: e ^{{2} over {3}}]	② [eqn: e ^{{5} over {3}}]	③ [eqn: e ^{{8} over {3}}]

④ [eqn: e ^{{11} over {3}}]	⑤ [eqn: e ^{{14} over {3}}]

정답 ③

		2012학년도 교육형 3월 가형 23

곡선 [eqn: y=e ^{3-x}] 위의 점 [eqn: (3,~1)]에서의 접선 및 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.) [3점]

정답 [eqn: bold8]

		2010학년도 7월 교육청 가형 미분과 적분 28

함수 [eqn: f(x)=ln` {x} over {k}] ([eqn: k]는 자연수)의 역함수를 [eqn: y=g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점과 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 사이의 최단 거리를 [eqn: l _{k}]라 하자. [eqn: l _{k} {ge}3 sqrt {2}]를 만족시키는 [eqn: k]의 최솟값은? (단, [eqn: e=2.7]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 7]

정답 ④

		2010년 이전 수능 가형

곡선 [eqn: y=e ^{x}] 위의 점 [eqn: (1,~e)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y=2 sqrt {x-k}]에 접할 때, 실수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {e ^{2}}]	③ [eqn: {1} over {e ^{4}}]

④ [eqn: {1} over {1+e}]	⑤ [eqn: {1} over {1+e ^{2}}]

정답 ②

		2010년 이전 평가원 가형

[eqn: 0<x< {pi} over {4}]인 모든 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: tan``2x>ax]를 만족하는 [eqn: a]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

정답 ④

		2010년 이전 예비평가 가형

그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]의 접선 [eqn: l]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0]과 [eqn: x=8]로 둘러싸인 사다리꼴의 넓이의 최솟값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold16]

		2015학년도 10월 교육청 B형 29

좌표평면에 함수 [eqn: f(x)= sqrt {3} `ln``x]의 그래프와

직선 [eqn: l``:``y=- {sqrt {3}} over {2} x+ {sqrt {3}} over {2}]이 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A( alpha ,~itf( alpha ))], [eqn: rmB(beta,~itf(beta))] 에서의 접선을 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 하자. 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, [eqn: 6(alpha+beta)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold32]

		2012학년도 6월 평가원 가형 8

함수

[eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} -a`ln`x] [eqn: (a>0)]

의 극솟값이 [eqn: 0]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {2} over {e}]	③ [eqn: sqrt {e}]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

정답 ④

		2013학년도 4월 교육청 B형 5

열린 구간 [eqn: (0,~2pi)]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=e ^{x} (sin``x+cos``x)]

의 극댓값을 [eqn: M], 극솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: Mm]의 값은? [3점]

① [eqn: -e ^{2pi}]	② [eqn: -e ^{pi}]	③ [eqn: {1} over {e ^{3pi}}]

④ [eqn: {1} over {e ^{2pi}}]	⑤ [eqn: {1} over {e ^{pi}}]

정답 ①

		2010년 이전 수능 자연

함수 [eqn: y= {ln``x} over {x}]가 최댓값을 가질 때의 [eqn: x]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: e]	③ [eqn: {1} over {e}]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: e ^{2}]

정답 ②

		2010년 이전 교육청 가형

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a`sin``x+bx+1]이 극값을 가질 때, 다음 중 항상 옳은 것은? [3점]

① [eqn: a>b]	② [eqn: a<b]	③ [eqn: a ^{2} >b ^{2}]

④ [eqn: a ^{2} <b ^{2}]	⑤ [eqn: a ^{2} =b ^{2}]

정답 ③

		2016학년도 9월 평가원 B형 30

양수 [eqn: a]와 두 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수

[eqn: f(x)=(ax ^{2} +bx+c)e ^{x}]은 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(x)]는 [eqn: x=- sqrt {3}]과 [eqn: x= sqrt {3}]에서 극값을 갖는다.

㈏ [eqn: 0 le x_1 < x_2]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여

[eqn: f(x_2 ) - f(x_1 ) + x_2 - x_1 ge0]이다.

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 최댓값을 [eqn: k over e^3]라 할 때, [eqn: 60k]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold15]

		2013학년도 3월 교육청 B형 19

열린 구간 [eqn: (0,~2pi)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {sin``x} over {e ^{2x}}]가 [eqn: x=a]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: cos``a]의 값은? [4점]

① [eqn: - {2 sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

정답 ①

		2011학년도 9월 평가원 가형 미분과 적분 27

곡선 [eqn: y=left(ln` {1} over {ax} right) ^{2}]의 변곡점이 직선 [eqn: y=2x] 위에 있을 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: e]	② [eqn: {5} over {4} e]	③ [eqn: {3} over {2} e]

④ [eqn: {7} over {4} e]	⑤ [eqn: 2e]

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원 가형

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=cos ^n ``x] [eqn: left( 0< x < pi over 2 ,~n=2,~3,~4,~cdots right)]의 변곡점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e}]	③ [eqn: {1} over {sqrt {e}}]

④ [eqn: {1} over {2e}]	⑤ [eqn: {1} over {sqrt {2e}}]

정답 ③