07

삼각함수의 성질과 덧셈정리의 활용(1)

		2014 예비평가 A형 18

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: a _{1} =0]이고 [eqn: a _{n+1} =(-1) ^{n} a _{n} +sin`left( {n{pi}} over {2} right)] ([eqn: n{ge}1])을 만족시킬 때, [eqn: a _{50}]의 값은? [4점]

① [eqn: -50]	② [eqn: -25]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 50]

정답 ④

		2010년 이전 평가원 나형

수열 [eqn: left{a _{n} right}]에서 [eqn: a _{n} =3+(-1) ^{n}]일 때 좌표평면 위의 점 [eqn: rmP _{itn}]을 [eqn: rmP _{itn} left(ita _{n} `cos` {2n{pi}} over {3} ,~a _{n} `sin` {2n{pi}} over {3} right)]라 하자. 점 [eqn: rmP _{2009}]와 같은 것은? [3점]

① [eqn: RMP _{1}]	② [eqn: RMP _{2}]	③ [eqn: RMP _{3}]

④ [eqn: RMP _{4}]	⑤ [eqn: RMP _{5}]

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원 나형

[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT . ` {1} over {n} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} sin` {k} over {2} pi RIGHT . RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {sqrt {2}}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

정답 ①

		2010년 이전 교육청 나형

음이 아닌 정수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점의 좌표를 [eqn: rmP _{itn} (ita _{n} ,~b _{n} )]이라 하자.

㈀ [eqn: a _{0} =1], [eqn: b _{0} =0]

㈁ 점 [eqn: rmP _{itn+1} (ita _{n+1} ,~b _{n+1} )]은 점 [eqn: rmP _{itn} (ita _{n} ,~b _{n} )]에서 원

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]의 호를 따라 시계 반대 방향으로 [eqn: {pi} over {18}]만큼 이동한 점이다.

이때, [eqn: a _{n} =b _{n}]을 만족시키는 [eqn: n]은 [eqn: box{~~㈎~~}] 그리고 [eqn: c _{k} =a _{18k}]

([eqn: k=1,~2,~3,~cdots])라 하면, 수열 [eqn: left{c _{k} right}]는 공비가 [eqn: box{~~㈏~~}]인 등비수열이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 것은? [4점]

㈎	㈏

① 존재하지 않는다	[eqn: - {1} over {2}]

② 존재하지 않는다	[eqn: -1]

③ 존재한다	[eqn: - {1} over {2}]

④ 존재한다	[eqn: -1]

⑤ 존재한다	[eqn: {1} over {2}]

정답 ②

		2010년 이전 수능 나형

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]이 각각

[eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n-1}} rm cos` {(itn-1) pi } over {2}]

[eqn: b _{n} = {1+(-1) ^{n-1}} over {2 ^{n}}]

일 때 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{3k} <0]이다.

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{4k-1} +b _{4k-1} =0]이다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} = {3} over {5} sum _{n=1} ^{inf} b _{n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

		2010년 이전 (고2)

함수 [eqn: y=-4`cos ^{2} `x+4`sin`x+3]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ⑤

		2010년 이전 수능 예체능

함수 [eqn: f(x)=sin`left(x+ {pi} over {2} right)-cos ^{2} `(x+pi)]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

정답 ①

		2016학년도 6월 평가원 B형 7

함수 [eqn: f(x)=a`sin``x+ sqrt {11} `cos``x]의 최댓값이 [eqn: 6]일 때 양수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ⑤

		EBS 연계 2015학년도 수능 B형 3

함수 [eqn: f(x)=sin``x+ sqrt {7} `cos``x- sqrt {2}]의 최댓값은? [2점]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: sqrt {5}]	⑤ [eqn: sqrt {6}]

정답 ①

		2014학년도 9월 평가원 B형 3

함수 [eqn: f(x)= sqrt {7} `sin``x-3`cos``x]의 최댓값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

		2015학년도 6월 평가원 B형 5

함수 [eqn: f(x)= sqrt {5} `sin``x+2`cos``x+a]의 최댓값이 [eqn: 7]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ④

		2013학년도 6월 평가원 가형 13

함수 [eqn: f(x)=2`cos``left(x- {pi} over {6} right)+3`sin``x]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: sqrt {17}]	③ [eqn: 3 sqrt {2}]

④ [eqn: sqrt {19}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

정답 ④

		EBS 연계 2013학년도 수능 가형 23

함수 [eqn: f(x)=2`cos``left(x- {pi} over {3} right)+2 sqrt {3} `sin``x]의 최댓값은 [eqn: a]이다. [eqn: a ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold28]

		2012학년도 6월 평가원 가형 11

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ {pi } over {6} ,~ {5} over {6} pi RIGHT ]]에서 함수

[eqn: f(x)= sqrt { 3} `sin``x+cos``x+1]

의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

정답 ④

		EBS 연계 2014학년도 수능 B형 7

함수 [eqn: f(x)=2`cos ^{2} ``x+k`sin``2x-1]의 최댓값이 [eqn: sqrt {10}]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ③

		2014학년도 예비평가 B형 12

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +2x-1], [eqn: g(x)=sin``x-cos``x]에 대하여 합성함수 [eqn: ( f circ g ) (x)]의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점]

① [eqn: sqrt { 2 }-1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: 2sqrt { 2 }-1]

④ [eqn: sqrt { 2}+1]	⑤ [eqn: 2sqrt { 2}+1]

정답 ③

		EBS 연계 2012학년도 수능 가형 20

좌표평면에서 직선 [eqn: y=mx] [eqn: (0<m< sqrt {3} )]가 [eqn: x]축과 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta _{1}], 직선 [eqn: y=mx]가 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]와 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta _{2}]라 하자. [eqn: 3`sin``theta _{1} +4`sin``theta _{2}]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: m]의 값은? [3점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {7}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {8}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {9}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {10}]

정답 ①

		2015학년도 3월 교육청 B형 24

함수 [eqn: y=2`sin``x+cos``x-1]은 [eqn: x=alpha]에서 최댓값을 가질 때 [eqn: 30`sin``2alpha`]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold24]

		2016학년도 사관학교 B형 10

[eqn: 0 le x le pi]에서 함수 [eqn: f(x) = 2`sin `left(x + pi over 3 right) + root 3 rmcos ``itx]는

[eqn: x=theta]일 때 최댓값을 갖는다. [eqn: tan ``theta]의 값은? [3점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {12}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {6}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

정답 ②

		2012학년도 3월 교육청 가형 28

그림과 같이 [eqn: rmbar{AB}=5], [eqn: rmbar{AC}=4]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 꼭짓점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: RMAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMD]라 할 때, 선분 [eqn: RMCD]의 연장선 위에 [eqn: RMBAR{DE}=3]을 만족시키는 점 [eqn: RME]를 잡는다. 두 삼각형 [eqn: RMABC], [eqn: RMAED]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}]라 할 때, [eqn: S _{1} +S _{2}]의 최댓값을 [eqn: M]이라 하자. [eqn: M ^{2}]의 값을 구하시오. (단, 각 [eqn: RMCAB]는 예각이다.) [4점]

정답 [eqn: BOLD136]

		EBS 연계 2016학년도 수능 B형 15

좌표평면에서 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (1,~0)]이고, [eqn: 0<theta < pi over 2]인 [eqn: theta]에 대하여 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: (cos ``theta,~sin``theta)]이다. 사각형 [eqn: RMOACB]가 평행사변형이 되도록 하는 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: RMC]에 대하여 사각형 [eqn: RMOACB]의 넓이를 [eqn: f(theta)], 선분 [eqn: rmOC]의 길이의 제곱을 [eqn: g(theta)]라 하자. [eqn: f(theta)+ g(theta)]의 최댓값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 2+ sqrt { 5}]	② [eqn: 2+ sqrt { 6}]	③ [eqn: 2+ sqrt { 7}]

④ [eqn: 2+2 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 5]

정답 ①

		2012학년도 9월 평가원 가형 27

평면에 있는 사각형 [eqn: rmABCD]가

[eqn: RMBAR{AB}=BAR{AD}=1], [eqn: RMBAR{BC}=BAR{CD}=BAR{DB}]

를 만족시킨다. [eqn: RMANGLEDAB=theta]라 할 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: 60`sin ^{2} ``theta]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold15]

		2010년 이전 수능 인문, 자연

[eqn: 4`cos ^{2} ``x+4`sin``x=5]일 때 [eqn: sin``x]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {sqrt {2}}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: - {1} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {sqrt {2}}]

정답 ②

		2010년 이전 수능 인문, 예체능

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2 sqrt {3} x+2=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha>beta])라고 할 때, [eqn: tan``theta= {alpha-beta} over {alpha+beta}]를 만족하는 [eqn: theta]는?

[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: - {pi} over {2} < theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [2점]

① [eqn: {pi} over {6}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: {pi} over {3}]

④ [eqn: - {pi} over {4}]	⑤ [eqn: - {pi} over {3}]

정답 ①

		2011학년도 3월 교육청 가형, 나형 28

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: cos``x= {1} over {(2n-1)pi} x] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots])의 양의 실근의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {(a _{n} +1)(a _{n} +3)}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold120]

		2010년 이전 평가원 가형

두 함수 [eqn: f(x)= lim _{x->inf} {` {2x ^{2n+2} +1} over {x ^{2n} +2}}], [eqn: g(x)=sin`(k{pi}x)]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]가 실근을 갖지 않을 때, [eqn: 60k]의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold10]

		2010년 이전 수능 인문

[eqn: a], [eqn: b]는 양수이고 [eqn: alpha+beta+gamma=pi]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2} =3ab`cos``gamma]일 때 [eqn: 9`sin ^{2} `( pi + alpha + beta )+9`cos``gamma]의 최댓값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold11]

		2010년 이전 수능 인문, 예체능

부등식 [eqn: cos ^{2} `theta-3`cos``theta-a+9ge0]이 모든 [eqn: theta]에 대하여 항상 성립하는 실수 [eqn: a]의 범위는? [3점]

① [eqn: -1 le a le 9]	② [eqn: a ge 0]	③ [eqn: a ge 5]

④ [eqn: a le 7]	⑤ [eqn: a le 9]

정답 ④

		2010년 이전 수능 예체능

[eqn: 0<theta < pi over 2]일 때, [eqn: log``(sin`theta)-log``(cos`theta)= {1} over {2} `log``3]을 만족시키는 [eqn: theta]의 값은? (단, [eqn: log]는 상용로그) [3점]

① [eqn: {1} over {6} pi]	② [eqn: {1} over {4} pi]	③ [eqn: {2} over {7} pi]

④ [eqn: {1} over {3} pi]	⑤ [eqn: {2} over {5} pi]

정답 ④

		2010학년도 3월 12 (고2)

포물선 [eqn: y=x ^{2} -2x`cos``theta-sin ^{2} `theta]의 꼭짓점이 직선 [eqn: y=2x] 위에 있기 위한 모든 [eqn: theta]값들의 합은? (단, [eqn: 0 le theta < 2pi]) [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: 3over 2 pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: 5over 2 pi]	⑤ [eqn: 3pi]

정답 ③

		2014학년도 9월 평가원 B형 5

[eqn: 0 le x le 2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin``2x-sin``x=4`cos``x-2]의 모든 해의 합은? [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: {5} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

정답 ③

		2015학년도 9월 평가원 B형 8

[eqn: 0 le x le pi]일 때, 삼각방정식 [eqn: sin``x=sin``2x]의 모든 해의 합은? [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: {7} over {6} pi]	③ [eqn: {5} over {4} pi]

④ [eqn: {4} over {3} pi]	⑤ [eqn: {3} over {2} pi]

정답 ④

		2010년 이전 평가원 가형

닫힌 구간 [eqn: [0,~2pi]]에서 삼각방정식 [eqn: sin `left( 2x - pi over 2 right) =2`cos^2 ` x]의 모든 해의 합은? [3점]

① [eqn: 2pi]	② [eqn: 3pi]	③ [eqn: 4pi]

④ [eqn: 5pi]	⑤ [eqn: 6pi]

정답 ③

		2010년 이전 수능 가형

[eqn: 0 le x <2pi]일 때 방정식 [eqn: sin ``2x= 2`cos ``x - 2` cos^2 `x]를 만족시키는 서로 다른 모든 [eqn: x]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: 5over 4 pi]	③ [eqn: 3over 2 pi]

④ [eqn: 7over 4 pi]	⑤ [eqn: 2pi]

정답 ⑤

		2011학년도 6월 평가원 가형 미분과 적분 27

삼각방정식 [eqn: 2`sin``x-4`sin``x`cos ^{2} ``x-cos``2x+1=0]을 만족시키는 모든 근의 합은? (단, [eqn: 0 le x <2pi]) [3점]

① [eqn: {5} over {2} pi]	② [eqn: {11} over {4} pi]	③ [eqn: 3pi]

④ [eqn: {13} over {4} pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

정답 ⑤

		2013학년도 6월 평가원 가형 23

[eqn: 0<x<2pi]일 때, 방정식

[eqn: (cos``2x-cos``x)sin``x=0]

을 만족시키는 모든 해의 합은 [eqn: k pi]이다. [eqn: 10k]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold30]

		2015학년도 3월 교육청 B형 7

[eqn: 0le x le 2pi]일 때 삼각방정식 [eqn: sin ``2x= cos ``x]의 모든 해의 합은? [3점]

① [eqn: 3over 2 pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 5over 2 pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: 7over 2 pi]

정답 ④