15

실전 대비 평가

		2016학년도 사관학교 A형 3

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +2x ^{2} +13x+10]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값은? [2점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

정답 ⑤

		2014학년도 9월 평가원 A형 23

함수 [eqn: f(x)=7x ^{3} -ax+3]에 대하여 [eqn: f`'(1)=2]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold19]

		2011학년도 6월 평가원 가형 18

함수 [eqn: f(x)=2x ^{4} -3x+1]에 대하여

[eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT { f left ( 1+ 3over n right) - f left( 1- 2over n right) right}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold25]

		2014학년도 4월 교육청 B형 8

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,~f(1))]에서의 접선과 직선 [eqn: y=- {1} over {3} x+2]가 서로 수직일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {`n} left { f left( 1+ 1over 2n right) - f left( 1- 1over 3n right) right}]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {6}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

정답 ⑤

		2011학년도 수능 가형 24

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: f(0)=3], [eqn: f`'(3)<0]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여 집합 [eqn: S]를

[eqn: S= left{ a``|]함수[eqn: |`f(x)-t`|]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않다.[eqn: LEFT. ` RIGHT }]

라 하고, 집합 [eqn: S]의 원소의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=3]과 [eqn: t=19]에서만 불연속일 때, [eqn: f(-2)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold147]

		2013학년도 사관학교 인문, 자연 18

모든 실수 [eqn: x]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하기 위한 필요충분조건인 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: lim _{h->0} {` {f(a+h ^{2} )-f(a)} over {h ^{2}}}]의 값이 존재한다.

ㄴ. [eqn: lim _{h->0} {` {f(a+h ^{3} )-f(a)} over {h ^{3}}}]의 값이 존재한다.

ㄷ. [eqn: lim _{h->0} {` {f(a+h)-f(a-h)} over {2h}}]의 값이 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ②

		2015학년도 10월 교육청 A형 29

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: M ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

㈎ 점 [eqn: (-4,~a)]를 지나고 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는 직선이 세 개 있다.

㈏ 세 접선의 기울기의 곱은 음수이다.

정답 [eqn: bold9]

		2010년 이전 평가원 가형

다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 항상 지나는 점들의 [eqn: y]좌표의 합을 구하시오. [4점]

㈎ [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1]이다.

㈏ 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (2,~f(2))]에서 직선 [eqn: y=2]에 접한다.

㈐ [eqn: f`'(0)=0]

정답 [eqn: bold13]

		2011학년도 3월 교육청 가형 18

곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +2x]에 기울기가 [eqn: m]인 접선을 두 개 그었을 때, 두 접점을 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 서로 다른 점이다.) [4점]

ㄱ. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: 2]이다.

ㄴ. [eqn: m>{-1}]

ㄷ. 두 접선 사이의 거리와 [eqn: rmbarPQ]가 같아지는 실수 [eqn: m]이 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

		2015학년도 수능 A형 21

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(2)]의 최솟값은? [4점]

㈎ [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1]이다.

㈏ [eqn: f(0)=f`'(0)]

㈐ [eqn: x ge -1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) ge f`'(x)]이다.

① [eqn: 28]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 48]

정답 ⑤

		2011학년도 9월 평가원 가형 21

함수 [eqn: f(x)=x^3 - (a+2) x^2 +ax]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,~f(t))]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 열린 구간 [eqn: (0,~5)]에서 증가할 때, [eqn: a]의 최솟값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold13]

		2011학년도 9월 평가원 가형 16

함수 [eqn: f(x)= -3 x^4 + 4 (a-1) x^3 + 6ax^2] [eqn: (a>0)]과 실수 [eqn: t]에 대하여, [eqn: x le t]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ①

		2011학년도 6월 평가원 가형 16

다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{`f(x)~~(x GEQ 0)# # `g(x)~~(x<0)}}}]

라고 하자. [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: f(0)=g(0)]

ㄴ. [eqn: f`'(0)=g`'(0)]이면 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

ㄷ. [eqn: f`'(0)g`'(0)<0]이면 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 극값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원

세 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]에 대하여 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: f(0)=0]이면 [eqn: f`'(0)=0]이다.

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)=g(-x)]이면 [eqn: g`'(0)=0]이다.

ㄷ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: |`h(2x)-h(x)`| LEQ x ^{2}]이면

[eqn: h`'(0)=0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

		2012학년도 사관학교 인문 20

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: x left { f(x+y)-f(x-y)=4y left { f(x)+g(y) right}]를 만족시킨다.

[eqn: f(1)=4], [eqn: g(0)=1]일 때, [eqn: f`'(2)]의 값은? [4점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 36]

정답 ①

		2012학년도 경찰대 24

곡선 [eqn: f(x)= x^4 - 3x^2 + 6x+1] 위의 서로 다른 두 점에서 접하는 직선의 방정식은?

① [eqn: y=6x- {5} over {4}]	② [eqn: y=3x- {5} over {2}]

③ [eqn: y=6x+ {5} over {4}]	④ [eqn: y=3x+ {5} over {4}]

⑤ [eqn: y=3x+ {5} over {2}]

정답 ①

		2014학년도 사관학교 A형 4

두 함수 [eqn: y=-x ^{2} +4], [eqn: y=2x ^{2} +ax+b]의 그래프가 점 [eqn: rmA(2,~0)]에서 만나고, 점 [eqn: rmA]에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

정답 ①

		2015학년도 경찰대 19

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: RMABCD]가 있다. 점 [eqn: RMP]는 [eqn: RMB]를 출발하여 매초 [eqn: 1]의 속력으로 정사각형 [eqn: RMABCD]의 변을 따라 [eqn: RMB] → [eqn: RMC] → [eqn: RMD] → [eqn: RMA]의 방향으로 움직이고, 점 [eqn: RMQ]는 [eqn: RMC]를 출발하여 매초 [eqn: {2} over {3}]의 속력으로 정사각형 [eqn: RMABCD]의 변을 따라 [eqn: RMC] → [eqn: RMD] → [eqn: RMA] → [eqn: RMB]의 방향으로 움직인다. 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]가 각각 [eqn: RMB], [eqn: RMC]에서 동시에 출발한 후 시각 [eqn: t]초일 때 삼각형 [eqn: RMAPQ]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하자. 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT (]단, [eqn: 0<t le {3} over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [5점]

ㄱ. [eqn: f(t)]는 구간 [eqn: left(0,~ {3} over {2} right)]에서 미분가능하다.

ㄴ. [eqn: f(t)]는 [eqn: t= {3} over {4}]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: f(t)]는 [eqn: t=1]에서 극댓값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ④

		2011학년도 6월 평가원 가형 12

서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 사차방정식 [eqn: f(x)=0]의 근일 때, 옳은 것만을 |보기|에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. [eqn: f`'(alpha)=0]이면 다항식 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x-alpha) ^{2}]으로 나누어떨어진다.

ㄴ. [eqn: f` prime ( alpha )f` prime ( beta )=0]이면 방정식 [eqn: f(x)=0]은 허근을 갖지 않는다.

ㄷ. [eqn: f`'(alpha)f`'(beta)>0]이면 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 네 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤

		2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 20]인 정사각형 [eqn: RMABCD]에서 점 [eqn: RMP]는 [eqn: RMA]에서 출발하여 변 [eqn: RMAB] 위를 매초 [eqn: 2]씩 움직여 [eqn: RMB]까지, 점 [eqn: RMQ]는 [eqn: RMB]에서 [eqn: RMP]와 동시에 출발하여 변 [eqn: RMBC] 위를 매초 [eqn: 3]씩 움직여 [eqn: RMC]까지 간다. 이때 사각형 [eqn: RMDPBQ]의 넓이가 정사각형 [eqn: RMABCD]의 넓이의 [eqn: {11} over {20}]이 되는 순간의 삼각형 [eqn: RMPBQ]의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold18]