12

도함수의 활용(1)

		2013학년도 수능 나형 15

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +9x+3]의 그래프 위의 점 [eqn: (1,~f(1))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=2x+b]이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ①

		2016학년도 6월 평가원 A형 13

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=(x-3)^2]일 때 함수 [eqn: g(x)]의 도함수가 [eqn: f(x)]이다. 곡선 [eqn: g(x)] 위의 점 [eqn: (2,~g(2))]에서의 접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: -5]일 때, 이 접선의 [eqn: x]절편은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 ⑤

		2015학년도 6월 평가원 A형 27

곡선 [eqn: y=-x^3 +2x] 위의 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선이 점 [eqn: (-10,~a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold12]

		2013학년도 7월 교육청 A형 7

곡선 [eqn: y=x ^{3} +6x ^{2} -11x+7] 위의 점 [eqn: (1,~3)]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=mx+n]이라 할 때, 상수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m-n]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

정답 ①

		EBS 연계 2012학년도 수능 나형 26

곡선 [eqn: y=-x ^{3} +4x] 위의 점 [eqn: (1,~3)]에서의 접선의 방정식이

[eqn: y=ax+b]이다. [eqn: 10a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold12]

		2012학년도 6월 평가원 나형 27

곡선 [eqn: y=x ^{3} -x ^{2} +a] 위의 점 [eqn: (1,~a)]에서의 접선이 점 [eqn: (0,~12)]를 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold13]

		2014학년도 7월 교육청 A형 10

곡선 [eqn: y=2x ^{3} +ax+b] 위의 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선과 수직인 직선의 기울기가 [eqn: - {1} over {2}]이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? [3점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

정답 ①

		2012학년도 10월 교육청 나형 15

곡선 [eqn: f(x)= {2} over {3} x ^{3} +ax] 위의 두 점 [eqn: (0,~f(0))], [eqn: (1,~f(1))]에서의 접선이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정답 ②

		2010년 이전 평가원 가형

곡선 [eqn: y=x^3 +2] 위의 점 [eqn: rmP(ita,~-6)]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=mx+n]이라 할 때, 세 수 [eqn: a], [eqn: m], [eqn: n]의 합을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold28]

		2010년 이전 사관학교 자연

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 1} {` {f(x ^{2} )+f(x)+12} over {x-1} =12}]를 만족할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,~f(1))]에서의 접선의 [eqn: y]절편은? [3점]

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

정답 ②

		2010년 이전 수능 가형

사차함수 [eqn: f(x)=x ^{4} -4x ^{3} +6x ^{2} +4]의 그래프 위의 점 [eqn: (a,~b)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 4]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold50]

		2011학년도 4월 교육청 가형 23

곡선 [eqn: y=2x ^{2} +1] 위의 점 [eqn: (-1,~3)]에서의 접선이 곡선

[eqn: y=2x ^{3} -ax+3]에 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold10]

		2010년 이전 평가원 가형

곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: (-2,~4)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y=x ^{3} +ax-2]에 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]
④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

정답 ②

		2012학년도 9월 평가원 나형 15

점 [eqn: (0,~-4)]에서 곡선 [eqn: y=x ^{3} -2]에 그은 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 좌표를 [eqn: (a,~0)]이라 할 때, [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

정답 ②

		2010년 이전 평가원 가형

양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: (a,~0)]에서 곡선 [eqn: y=3x ^{3}]에 그은 접선과 점 [eqn: (0,~a)]에서 곡선 [eqn: y=3x ^{3}]에 그은 접선이 서로 평행할 때, [eqn: 90a]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold20]

		EBS 연계 2016학년도 수능 A형 28

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: g(x)=x ^{3} f(x)-7]

㈏ [eqn: lim _{x->2} {` {f(x)-g(x)} over {x-2} =2}]

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (2,~g(2))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold97]

		2015학년도 7월 교육청 A형 14

두 함수 [eqn: f(x)=x^2]과 [eqn: g(x)=-(x-3)^2 +k] ([eqn: k>0])에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP(1,~1)]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 직선 [eqn: l]에 곡선 [eqn: y=g(x)]가 접할 때의 접점을 [eqn: rmQ], 곡선 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 두 점을 각각 [eqn: RMR], [eqn: RMS]라 할 때, 삼각형 [eqn: RMQRS]의 넓이는? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

정답 ⑤

		2016학년도 사관학교 A형 21

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선을 [eqn: l]이라 할 때, 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmB]라 하자. 또 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmB]에서의 접선을 [eqn: m]이라 할 때, 직선 [eqn: m]이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmC]라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 서로 수직이고 직선 [eqn: m]의 방정식이 [eqn: y=x]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmC]에서의 접선의 기울기는? (단, [eqn: f(0)>0]이다.) [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

정답 ②

		2014학년도 9월 평가원 A형 27

곡선 [eqn: y=x^3 +2x +7] 위의 점 [eqn: rmP(-1,~4)]에서의 접선이 점 [eqn: rmP]가 아닌 점 [eqn: (a,~b)]에서 곡선과 만난다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold21]

		2014학년도 6월 평가원 A형 17

곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +x+1] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서의 접선이 서로 평행하다. 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 3]일 때, 점 [eqn: rmB]에서의 접선의 [eqn: y]절편의 값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

정답 ②

		2011학년도 10월 교육청 나형 24

곡선 [eqn: y=x ^{3} -2x] 위의 점 [eqn: (2,~4)]에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 10S]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold128]

		2014학년도 6월 평가원 A형 26

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,~1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]이다. [eqn: g(x)=x ^{3} f(x)]일 때, [eqn: g`'(2)]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold28]

		2014학년도 예비평가 B형 18

[eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하고 [eqn: 2x le f(x) le 3x]이다. [eqn: f(1)=2]이고 [eqn: f(2)=6]일 때, [eqn: f`'(1)+f`'(2)]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

정답 ④

		2015학년도 수능 A형 14

다음은 함수 [eqn: f(x)=x(x+1)(x-4)]의 그래프이다.

직선 [eqn: y=5x+k]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 양수 [eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

정답 ①

		2013학년도 10월 교육청 A형 20

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점

[eqn: rmA(-1,~-1-ita)]에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 [eqn: rmB]라 하자. 또, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmB]에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 [eqn: rmC]라 하자. 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: f(b)+f(c)=-80]을 만족시킨다. 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

정답 ③

		2013학년도 9월 평가원 나형 19

닫힌 구간 [eqn: left[0,~2right]]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=ax(x-2) ^{2}] [eqn: left(a> {1} over {2} right)]

에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]의 교점 중 원점 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmA]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 원점으로부터 점 [eqn: rmA]까지 곡선 [eqn: y=f(x)] 위를 움직일 때, 삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이가 최대가 되는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {1} over {2}]이다. 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {17} over {12}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {19} over {12}]

정답 ②

		2013학년도 6월 평가원 나형 17

곡선 [eqn: y=x ^{3} -5x] 위의 점 [eqn: rmA(1,~-4)]에서의 접선이 점 [eqn: rmA]가 아닌 점 [eqn: rmB]에서 곡선과 만난다. 선분 [eqn: rmAB]의 길이는? [4점]

① [eqn: sqrt {30}]	② [eqn: sqrt {35}]	③ [eqn: 2 sqrt {10}]

④ [eqn: 3 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]

정답 ④

		2010년 이전 평가원 가형

삼차함수 [eqn: f(x)=x(x-1)(ax+1)]의 그래프 위의 점 [eqn: rmP(1,~0)]을 접점으로 하는 접선을 [eqn: l]이라 하자. 직선 [eqn: l]에 수직이고 점 [eqn: rmP]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위는? [3점]

① [eqn: -1<a < - 1over 3] 또는 [eqn: 0<a<1]

② [eqn: - 1over 3 <a <0] 또는 [eqn: 0<a<1]

③ [eqn: -1<a< 0] 또는 [eqn: 0<a< 1 over 3]

④ [eqn: -1<a<0] 또는 [eqn: 1 over 3 < a <1]

⑤ [eqn: -2<a < - 1over 3] 또는 [eqn: 1over 3 < a< 2]

정답 ③

		2010년 이전 평가원 가형

두 다항함수 [eqn: f_1 (x)], [eqn: f_2 (x)]가 다음 세 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4점]

㈎ [eqn: f_1 (0)=0], [eqn: f_2 (0)=0]

㈏ [eqn: f _{i} ` prime (0)= lim _{x -> 0} {` {f _{i} (x)+2kx} over {f _{i} (x)+kx}}] ([eqn: i=1,~2])

㈐ [eqn: y=f _{1} (x)]와 [eqn: y=f _{2} (x)]의 원점에서의 접선이 서로 직교한다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: - {1} over {4}]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

정답 ①

		2010년 이전 평가원 가형

곡선 [eqn: y=x ^{3}] 위의 점 [eqn: rmP(itt,~t ^{3} )]에서의 접선과 원점 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 하자. [eqn: lim _{t->inf} {` {f(t)} over {t} =alpha}]일 때, [eqn: 30alpha]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold20]

		2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 삼차함수 [eqn: f(x)=-x ^{3} +4x ^{2} -3x]의 그래프 위의 점 [eqn: (a,~f(a))]에서 기울기가 양의 값인 접선을 그어 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: RMB(3,~0)]에서 접선을 그어 두 접선이 만나는 점을 [eqn: RMC], 점 [eqn: RMC]에서 [eqn: x]축에 수선을 그어 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하고 [eqn: rm bar{AD} : rm bar DB = 3:1]일 때, [eqn: a]의 값들의 곱은? [4점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

정답 ⑤

		2010년 이전 교육청 가형

그림은 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +3x]의 그래프이다.

원점을 지나고 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는 직선은 두 개다.

두 접선과 곡선 [eqn: y=f(x)]의 교점 중 원점이 아닌 점들의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: S]라 하자. 이때 [eqn: 10S]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold45]