04

급수의 활용

		2016학년도 9월 평가원 A형 20

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=left( {1} over {2} right) ^{n-1} (x-1)]과 이차함수

[eqn: y=3x(x-1)]의 그래프가 만나는 두 점을 [eqn: rmA(1,~0)]과 [eqn: RMP _{itn}]이라 하자. 점 [eqn: rmP _{itn}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH _{itn}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {bar{rmP _{itn} rmH _{itn} }}]의 값은? [4점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {14} over {9}]	③ [eqn: {29} over {18}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {31} over {18}]

정답 ②

		2012학년도 3월 교육청 나형 19

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 네 직선 [eqn: x=1],

[eqn: x=n+1], [eqn: y=x], [eqn: y=2x]로 둘러싸인 사각형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {1} over {S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

정답 ③

		EBS 연계 2012학년도 수능 나형 28

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rmP _{itn}]의 좌표를 [eqn: (n,~3 ^{n} )], 점 [eqn: rmQ _{itn}]의 좌표를 [eqn: (n,~0)]이라 하자. 사각형

[eqn: rmP _{itn} Q _{itn+1} P _{itn+1}]의 넓이를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {1} over {a _{n}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold37]

		2012학년도 10월 교육청 가형 21

그림과 같이 중심이 [eqn: (1,~0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rmO _{1}]이 있다. 원 [eqn: rmO _{1}]이 직선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rmA _{1}]이라 하고 직선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x]의 위쪽에 있는 호 [eqn: rmOA _{1}]의 길이를 [eqn: l _{1}]이라 하자. 중심이 [eqn: (l _{1} ,~0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: l _{1}]인 원 [eqn: rmO _{2}]를 그린다. 원 [eqn: rmO _{2}]가 직선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rmA _{2}]라 하고 직선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x]의 위쪽에 있는 호 [eqn: rmOA _{2}]의 길이를 [eqn: l _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 호의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {1} over {l _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {pi-3}]	② [eqn: {2} over {pi-3}]	③ [eqn: {1} over {2pi-3}]

④ [eqn: {2} over {2pi-3}]	⑤ [eqn: {3} over {2pi-3}]

정답 ⑤

		2011학년도 7월 교육청 나형 16

그림과 같이 중심이 [eqn: rmA(0,~1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점 [eqn: rmP _{itn}]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmQ _{itn}]은 다음 규칙을 만족시킨다.

㈎ 점 [eqn: rmP _{0}]은 원점이고, 점 [eqn: rmP _{itn}]은 제[eqn: 1]사분면의 점이다.

㈏ 호 [eqn: rmP _{itn-1} P _{n}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: l _{n+1} =rl _{n}]이다.

㈐ 점 [eqn: rmQ _{itn}]은 점 [eqn: rmB(0,~2)]와 점 [eqn: rmP _{itn}]을 이은 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점이다.

[eqn: rmQ _{2} (2,~0)]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} `l _{n} = {8} over {15} pi]일 때, 상수 [eqn: r]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

정답 ③

		2012학년도 6월 평가원 가형, 나형 14

두 수열 [eqn: left{a _{n} right}], [eqn: left{b _{n} right}]의 일반항이 각각

[eqn: a _{n} =left( {1} over {2} right) ^{n-1}], [eqn: b _{n} = sum _{k=1} ^{n} left( {1} over {2} right) ^{k-1}]

이다. 좌표평면에서 중심이 [eqn: (a _{n} ,~b _{n} )]이고 [eqn: y]축에 접하는 원의 내부와 연립부등식 [eqn: {cases{eqalign{`y`leb _{n}# # `2x+y-2le0}}}]이 나타내는 영역의 공통부분을 [eqn: P _{n}]이라 하고, [eqn: y]축에 대하여 [eqn: P _{n}]과 대칭인 영역을 [eqn: Q _{n}]이라 하자. [eqn: P _{n}]의 넓이와 [eqn: Q _{n}]의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: {5(pi-1)} over {9}]	② [eqn: {11(pi-1)} over {18}]

③ [eqn: {2(pi-1)} over {3}]	④ [eqn: {13(pi-1)} over {18}]

⑤ [eqn: {7(pi-1)} over {9}]

정답 ③

		2010년 이전 수능 나형

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원 [eqn: RMO _{1}]을 그리고, 원 [eqn: RMO _{1}]이 좌표축과 만나는 네 점을 각각 [eqn: RMA _{1} (0,~3)], [eqn: RMB(-3,~0)], [eqn: RMC _{1} (0,~-3)], [eqn: RMD _{1} (3,~0)]이라 하자. 두 점 [eqn: RMB _{1}], [eqn: RMD _{1}]을 모두 지나고 두 점 [eqn: RMA _{1}], [eqn: RMC _{1}]을 각각 중심으로 하는 두 원이 원 [eqn: RMO _{1}]의 내부에서 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: RMC _{2}], [eqn: RMA _{2}]라 하자.

호 [eqn: RMB _{1} A _{1} D _{1}]과 호 [eqn: RMB _{1} A _{2} D _{1}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{1}], 호 [eqn: RMB _{1} C _{1} D _{1}]과 호 [eqn: RMB _{1} C _{2} D _{1}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: T _{1}]이라 하자.

선분 [eqn: RMA _{2} C _{2}]를 지름으로 하는 원 [eqn: RMO _{2}]를 그리고, 원 [eqn: RMO _{2}]가 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: RMB _{2}], [eqn: RMD _{2}]라 하자. 두 점 [eqn: RMB _{2}], [eqn: RMD _{2}]를 모두 지나고 두 점 [eqn: RMA _{2}], [eqn: RMC _{2}]를 각각 중심을 하는 두 원이 원 [eqn: RMO _{2}]의 내부에서 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: RMC _{3}], [eqn: RMA _{3}]이라 하자.

호 [eqn: RMB _{2} A _{2} D _{2}]와 호 [eqn: RMB _{2} A _{3} D _{2}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{2}], 호 [eqn: RMB _{2} C _{2} D _{2}]와 호 [eqn: RMB _{2} C _{3} D _{2}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: T _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 호 [eqn: RMB _{itn} rmA _{itn} rmD _{itn}]과 호 [eqn: rmB _{itn} rmA _{itn+1} rmD _{itn}]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{n}], 호 [eqn: rmB _{itn} rmC _{itn} rmD _{itn}]과 호 [eqn: rmB _{itn} rmC _{itn+1} rmD _{itn}]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: T _{n}]이라 할 때

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} (S _{n} +T _{n} )]의 값은? [4점]

① [eqn: 6( sqrt {2} +1)]	② [eqn: 6( sqrt {3} +1)]

③ [eqn: 6( sqrt {5} +1)]	④ [eqn: 9( sqrt {2} +1)]

⑤ [eqn: 9( sqrt {3} +1)]

정답 ④

		2010년 이전 평가원 나형

그림과 같이 원점 [eqn: rmO]를 지나고 기울기가 [eqn: sqrt {3}]인 직선 [eqn: l _{1}]과 점 [eqn: rmA(0,~4)]가 있다.

점 [eqn: RMO]를 중심으로 하고 선분 [eqn: RMOA]를 반지름으로 하는 원이 직선 [eqn: l _{1}]과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: RMO _{1}]이라 하자. 점 [eqn: RMO _{1}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO _{2}]라 하자. 점 [eqn: RMO _{1}]을 중심으로 하고 선분 [eqn: RMO _{1} O _{2}]를 반지름으로 하는 원이 선분 [eqn: RMOO _{1}]과 만나는 점을 [eqn: RMA _{1}]이라 하자. 선분 [eqn: RMA _{1} O], 선분 [eqn: RMOO _{2}], 호 [eqn: RMO _{2} A _{1}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.

점 [eqn: RMO _{2}]를 중심으로 하고 선분 [eqn: RMO _{1} O _{2}]를 반지름으로 하는 원이 점 [eqn: RMO _{2}]를 지나고 직선 [eqn: l _{1}]에 평행한 직선 [eqn: l _{2}]와 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: RMO _{3}]이라 하자. 점 [eqn: RMO _{3}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO _{4}]라 하자. 점 [eqn: RMO _{3}]을 중심으로 하고 선분 [eqn: RMO _{3} O _{4}]를 반지름으로 하는 원이 선분 [eqn: RMO _{2} O _{3}]과 만나는 점을 [eqn: RMA _{2}]라 하자. 선분 [eqn: RMA _{2} O _{2}], 선분 [eqn: RMO _{2} O _{4}], 호 [eqn: RMO _{4} A _{2}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: 4 sqrt {3} -2pi]	② [eqn: 8 sqrt {3} -4pi]

③ [eqn: 4 sqrt {3} -pi]	④ [eqn: 8 sqrt {3} -2pi]

⑤ [eqn: 16 sqrt {3} -4pi]

정답 ②

		2010년 이전 수능 나형

좌표평면에 원 [eqn: C _{1} ``:``(x-4) ^{2} +y ^{2} =1]이 있다. 그림과 같이 원점에서 원 [eqn: C _{1}]에 기울기가 양수인 접선 [eqn: l]을 그었을 때 생기는 접점을 [eqn: rmP _{1}]이라 하자.

중심이 직선 [eqn: l] 위에 있고 점 [eqn: rmP _{1}]을 지나며 [eqn: x]축에 접하는 원을 [eqn: C _{2}]라 하고 이 원과 [eqn: x]축의 접점을 [eqn: rmP _{2}]라 하자.

중심이 [eqn: x]축 위에 있고 점 [eqn: rmP _{2}]를 지나며 직선 [eqn: l]에 접하는 원을 [eqn: C _{3}]이라 하고 이 원과 직선 [eqn: l]의 접점을 [eqn: rmP _{3}]이라 하자.

중심이 직선 [eqn: l] 위에 있고 점 [eqn: rmP _{3}]을 지나며 [eqn: x]축에 접하는 원을 [eqn: C _{4}]라 하고 이 원과 [eqn: x]축의 접점을 [eqn: rmP _{4}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속할 때, 원 [eqn: C _{n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자.

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? (단, 원 [eqn: C _{n+1}]의 반지름의 길이는 원 [eqn: C _{n}]의 반지름의 길이보다 작다.) [4점]

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

정답 ③

		2010년 이전 수능 나형

[eqn: n ge 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 2over n]만큼 평행이동시킨 원을 [eqn: C_n]이라 하자. 원 [eqn: C]와 원 [eqn: C_n]의 공통인 현의 길이를 [eqn: l_n]이라 할 때 [eqn: sum _{n=2} ^{inf} {1} over {(nl _{n} ) ^{2}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold19]

		2016학년도 6월 평가원 A형 18, B형 15

반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: O _{1}]에 내접하는 정삼각형 [eqn: RMA _{1} B _{1} C _{1}]이 있다. 그림과 같이 직선 [eqn: RMA _{1} C _{1}]과 평행하고 점 [eqn: RMB _{1}]을 지나지 않는 원 [eqn: O _{1}]의 접선 위에 두 점 [eqn: RMD _{1}], [eqn: RME _{1}]을 사각형 [eqn: RMA _{1} C _{1} D _{1} E _{1}]이 직사각형이 되도록 잡고, 직사각형 [eqn: RMA _{1} C _{1} D _{1} E _{1}]의 내부와 원 [eqn: O _{1}]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에 정삼각형 [eqn: RMA _{1} B _{1} C _{1}]에 내접하는 원 [eqn: O _{2}]와 원 [eqn: O _{2}]에 내접하는 정삼각형 [eqn: RMA _{2} B _{2} C _{2}]를 그리고, 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: RMA _{2} C _{2} D _{2} E _{2}]를 그리고 직사각형 [eqn: RMA _{2} C _{2} D _{2} E _{2}]의 내부와 원 [eqn: O _{2}]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때 [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 4 sqrt {3} - {16} over {9} pi]	② [eqn: 4 sqrt {3} - {5} over {3} pi]

③ [eqn: 4 sqrt {3} - {4} over {3} pi]	④ [eqn: 5 sqrt {3} - {16} over {9} pi]

⑤ [eqn: 5 sqrt {3} - {5} over {3} pi]

정답 ①

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 대각선 [eqn: RMBD]의 [eqn: 5]등분점을 점 [eqn: RMB]에서 가까운 순서대로 각각 [eqn: RMP _{1}]. [eqn: RMP _{2}]. [eqn: RMP _{3}], [eqn: RMP _{4}]라 하고, 선분 [eqn: RMBP _{1}], [eqn: RMP _{1} P _{3}], [eqn: RMP _{4} D]를 각각 대각선으로 하는 정사각형과 선분 [eqn: RMP _{1} P _{2}], [eqn: RMP _{3} P _{4}]를 각각 지름으로 하는 원을 그린 후, 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: RMP _{2} P _{3}]을 대각선으로 하는 정사각형의 꼭짓점 중 점 [eqn: RMA]와 가장 가까운 점 [eqn: RMQ _{1}], 점 [eqn: RMC]와 가장 가까운 점을 [eqn: RMQ _{2}]라 하자. 선분 [eqn: RMAQ _{1}]을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 [eqn: RMCQ _{2}]를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 [eqn: 2]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에서 선분 [eqn: RMAQ _{1}]을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 [eqn: RMCQ _{2}]를 대각선으로 하는 정사각형에 그림 [eqn: R _{1}]에서 그림 [eqn: R _{2}]를 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {24} over {17} (pi+3)]	② [eqn: {25} over {17} (pi+3)]	③ [eqn: {26} over {17} (pi+3)]

④ [eqn: {24} over {17} (2pi+1)]	⑤ [eqn: {25} over {17} (2pi+1)]

정답 ②

		2016학년도 9월 평가원 B형 20

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 정삼각형 [eqn: RMABC]의 외심을 [eqn: RMO]라 할 때, 중심이 [eqn: RMA]이고 반지름의 길이가 [eqn: RMBARAO]인 원을 [eqn: O _{RMA}], 중심이 [eqn: RMB]이고 반지름의 길이가 [eqn: RMBARBO]인 원을 [eqn: O _{RMB}], 중심이 [eqn: RMC]이고 반지름의 길이가 [eqn: RMBARCO]인 원을 [eqn: O _{RMC}]라 하자. 원 [eqn: O _{RMA}]와 원 [eqn: O _{RMB}]의 내부의 공통부분, 원 [eqn: O _{RMA}]와 원 [eqn: O _{RMC}]의 내부의 공통부분, 원 [eqn: O _{RMB}]와 원 [eqn: O _{RMC}]의 내부의 공통부분 중 삼각형 [eqn: RMABC] 내부에 있는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에 원 [eqn: O _{RMA}]가 두 선분 [eqn: RMAB], [eqn: RMAC]와 만나는 점을 각각 [eqn: RMD], [eqn: RME], 원 [eqn: O _{RMB}]가 두 선분 [eqn: RMAB], [eqn: RMAC]와 만나는 점을 각각 [eqn: RMF], [eqn: RMG], 원 [eqn: O _{RMC}]가 두 선분 [eqn: RMBC], [eqn: RMAC]와 만나는 점을 각각 [eqn: RMH], [eqn: RMI]라 하고, 세 정삼각형 [eqn: RMAFI], [eqn: RMBHD], [eqn: RMCEG]에서 [eqn: R _{1}]을 얻는 과정과 같은 방법으로 각각 만들어지는 모양의 도형 [eqn: 3]개에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에 새로 만들어진 세 개의 정삼각형에 각각 [eqn: R _{1}]에서 [eqn: R _{2}]를 얻는 과정과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형 [eqn: 9]개에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: (2pi-3 sqrt {3} )( sqrt {3} +3)]	② [eqn: (pi- sqrt {3} )( sqrt {3} +3)]

③ [eqn: (2pi-3 sqrt {3} )(2 sqrt {3} +3)]	④ [eqn: (pi- sqrt {3} )(2 sqrt {3} +3)]

⑤ [eqn: (2pi-2 sqrt {3} )( sqrt {3} +3)]

정답 ③

		2014학년도 6월 평가원 A형 18

직사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rmbar{AB}=1], [eqn: rmbar{AD}=2]이다. 그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD]의 한 대각선에 의하여 만들어지는 두 직각삼각형의 내부에 두 변의 길이의 비가 [eqn: 1:2]인 두 직사각형을 긴 변이 대각선 위에 놓이면서 두 직각삼각형에 각각 내접하도록 그리고, 새로 그려진 두 직사각형 중 하나에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 새로 그려진 두 직사각형 중 색칠되어 있지 않은 직사각형에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 직사각형 중 하나에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {37} over {61}]	② [eqn: {38} over {61}]	③ [eqn: {39} over {61}]

④ [eqn: {40} over {61}]	⑤ [eqn: {41} over {61}]

정답 ④

		2014학년도 수능 A형 17, B형 15

직사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에서 [eqn: RMBAR{A _{1} B _{1} }=1], [eqn: RMBAR{A _{1} D _{1} }=2]이다. 그림과 같이 선분 [eqn: RMA _{1} D _{1}]과 선분 [eqn: RMB _{1} C _{1}]의 중점을 각각 [eqn: RMM _{1}], [eqn: RMN _{1}]이라 하자. 중심이 [eqn: RMN _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: RMBAR{B _{1} N _{1} }]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: RMN _{1} M _{1} B _{1}]을 그리고, 중심이 [eqn: RMD _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: RMBAR{C _{1} D _{1} }]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmD _{1} M _{1} C _{1}]을 그린다. 부채꼴 [eqn: rmN _{1} M _{1} B _{1}]의 호 [eqn: rmM _{1} B _{1}]과 선분 [eqn: rmM _{1} B _{1}]로 둘러싸인 부분과 부채꼴 [eqn: rmD _{1} M _{1} C _{1}]의 호 [eqn: rmM _{1} C _{1}]과 선분[eqn: rmM _{1} C _{1}]로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmM _{1} B _{1}] 위의 점 [eqn: rmA _{2}], 호 [eqn: rmM _{1} C _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 변 [eqn: rmB _{1} C _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmB _{2}], [eqn: rmC _{2}]를 꼭짓점으로 하고

[eqn: rmbar{A _{2} B _{2} }:RMBAR{A _{2} D _{2} }=1:2]인 직사각형 [eqn: RMA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 그리고, 직사각형

[eqn: RMA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에서 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {25} over {19} left( {pi} over {2} -1right)]	② [eqn: {5} over {4} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]	③ [eqn: {25} over {21} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]

④ [eqn: {25} over {22} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]	⑤ [eqn: {25} over {23} LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT )]

정답 ③

		2015학년도 9월 평가원 A형 18, B형 16

중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: {2} over {3} pi]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 그림과 같이 호 [eqn: rmAB]를 이등분하는 점을 [eqn: rmM]이라 하고 호 [eqn: rmAM]과 호 [eqn: rmMB]를 각각 이등분하는 점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴 [eqn: rmOAB]에 내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 [eqn: 120DEG]인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 [eqn: 120DEG]인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {2pi-3 sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {pi - sqrt {2}} over {3}]	③ [eqn: {2pi-3 sqrt {2}} over {3}]

④ [eqn: {pi- sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {2pi-2 sqrt {3}} over {3}]

정답 ④

		2013학년도 6월 평가원 가형, 나형 12

한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1}]이 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rmAB _{1}]과 선분 [eqn: rmAC _{1}]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmB _{2}], [eqn: rmC _{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]를 지름으로 하는 원의 호 [eqn: rmB _{2} C _{2}]와 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.

정삼각형 [eqn: rmAB _{2} C _{2}]에서 선분 [eqn: RMAB _{2}]와 선분 [eqn: RMAC _{2}]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: RMB _{3}], [eqn: RMC _{3}]이라 하고, 선분 [eqn: RMB _{3} C _{3}]을 지름으로 하는 원의 호 [eqn: RMB _{3} C _{3}]과 선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: {3pi-5 sqrt {3}} over {10}]	② [eqn: {6pi-9 sqrt {3}} over {20}]

③ [eqn: {4pi-5 sqrt {3}} over {10}]	④ [eqn: {8pi-9 sqrt {3}} over {20}]

⑤ [eqn: {10pi-9 sqrt {3}} over {20}]

정답 ②

		2011학년도 수능 가형, 나형 10

[eqn: rmbar{A _{1} B _{1} }=1], [eqn: RMBAR{B _{1} C _{1} }=2]인 직사각형 [eqn: RMA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]이 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: RMB _{1} C _{1}]의 중점을 [eqn: RMM _{1}]이라 하고, 선분 [eqn: RMA _{1} D _{1}] 위에

[eqn: ANGLE rm A _{1} M _{1} B _{2} =ANGLEC _{2} M _{1} D _{1} =15DEG], [eqn: RMANGLEB _{2} M _{1} C _{2} =60DEG]가 되도록 두 점 [eqn: RMB _{2}], [eqn: RMC _{2}]를 정한다. 삼각형 [eqn: RMA _{1} M _{1} B _{2}]의 넓이와 삼각형 [eqn: RMC _{2} M _{1} D _{1}]의 넓이의 합을 [eqn: S _{1}]이라 하자.

사각형 [eqn: RMA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]가 [eqn: RMBAR{B _{2} C _{2} }=2RMBAR{A _{2} B _{2} }]인 직사각형이 되도록 그림과 같이 두 점 [eqn: RMA _{2}], [eqn: RMD _{2}]를 정한다. 선분 [eqn: RMB _{2} C _{2}]의 중점을 [eqn: RMM _{2}]라 하고, 선분 [eqn: RMA _{2} D _{2}] 위에 [eqn: RMANGLEA _{2} M _{2} B _{3} =ANGLEC _{3} M _{2} D _{2} =15DEG], [eqn: rm ANGLE B _{3} M _{2} C _{3} =60 DEG]가 되도록 두 점 [eqn: RMB _{3}], [eqn: RMC _{3}]을 정한다. 삼각형 [eqn: RMA _{2} M _{2} B _{3}]의 넓이와 삼각형 [eqn: RMC _{3} M _{2} D _{2}]의 넓이의 합을 [eqn: S _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: S _{n}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: {2+ sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {3- sqrt {3}} over {2}]

③ [eqn: {4+ sqrt {3}} over {9}]	④ [eqn: {5- sqrt {3}} over {2}]

⑤ [eqn: {7- sqrt {3}} over {8}]

정답 ②

		2011학년도 9월 평가원 가형, 나형 12

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: 45DEG]인 부채꼴 [eqn: RMA _{0} A _{1} B _{1}]이 있다. 점 [eqn: RMA _{1}]에서 선분 [eqn: RMA _{0} B _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMB _{2}]라 하고, 선분 [eqn: RMA _{0} A _{1}] 위의 [eqn: RMBAR{A _{1} B _{2} }=RMBAR{A _{1} A _{2} }]인 점 [eqn: RMA _{2}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: RMA _{1} A _{2} B _{2}]를 그린다.

점 [eqn: RMA _{2}]에서 선분 [eqn: RMA _{1} B _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMB _{3}]이라 하고, 선분 [eqn: RMA _{1} A _{2}] 위의 [eqn: RMBAR{A _{2} B _{2} }=RMBAR{A _{2} A _{3} }]인 점 [eqn: RMA _{3}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: 45DEG]인 부채꼴 [eqn: RMA _{2} A _{3} B _{3}]을 그린다.

이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: RMA _{itn}]에서 선분 [eqn: rmA _{itn-1} B _{itn}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB _{itn+1}]이라 하고, 선분 [eqn: rmA _{itn-1} A _{itn}] 위의

[eqn: rmbar{A _{itn} B _{itn+1} }=rmbar{A _{itn} A _{itn+1} }]인 점 [eqn: rmA _{itn+1}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: 45DEG]인 부채꼴 [eqn: rmA _{itn} A _{itn+1} B _{itn+1}]을 그린다.

부채꼴 [eqn: rmA _{itn-1} A _{itn} B _{itn}]의 호 [eqn: rmA _{itn} B _{itn}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} l _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: (4- sqrt {2} )+ pi]	② [eqn: (2+ sqrt {2} )pi]

③ [eqn: (2+2 sqrt {2} )pi]	④ [eqn: (4+ sqrt {2} )pi]

⑤ [eqn: (4+2 sqrt {2} )pi]

정답 ②

		2011학년도 10월 교육청 가형 21

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: RMA _{1} B _{1} C _{1}]이 있다. 꼭짓점 [eqn: RMA _{1}]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {3} RMBAR{A _{1} B _{1} }]인 원이 삼각형 [eqn: RMA _{1} B _{1} C _{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: RMP _{1}], [eqn: RMQ _{1}]이라 하고 삼각형 [eqn: RMA _{1} B _{1} C _{1}]의 내부에 있는 호 [eqn: RMP _{1} Q _{1}]을 이등분하는 점을 [eqn: RMA _{2}]라 하자. 점 [eqn: RMA _{2}]를 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 [eqn: RMB _{2}], [eqn: RMC _{2}]가 변 [eqn: RMB _{1} C _{1}] 위에 있는 정삼각형 [eqn: RMA _{2} B _{2} C _{2}]를 그린다.

꼭짓점 [eqn: RMA _{2}]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {3} RMBAR{A _{2} B _{2} }]인 원이 삼각형 [eqn: RMA _{2} B _{2} C _{2}]와 만나는 점을 각각 [eqn: RMP _{2}], [eqn: RMQ _{2}]라 하고 삼각형 [eqn: RMA _{2} B _{2} C _{2}]의 내부에 있는 호 [eqn: RMP _{2} Q _{2}]를 이등분하는 점을 [eqn: RMA _{3}]이라 하자. 점 [eqn: RMA _{3}]을 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 [eqn: RMB _{3}], [eqn: RMC _{3}]이 변 [eqn: RMB _{1} C _{1}] 위에 있는 정삼각형 [eqn: RMA _{3} B _{3} C _{3}]을 그린다.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 호 [eqn: RMP _{itn} Q _{itn}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} l _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: sqrt {3} pi]	② [eqn: {3 sqrt {3}} over {2} pi]	③ [eqn: 2 sqrt {3} pi]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3} pi]

정답 ①

		2015학년도 6월 평가원 A형 18, B형 15

그림과 같이 [eqn: rmBAR{A _{1} D _{1} }=2], [eqn: RMBAR{A _{1} B _{1} }=1]인 직사각형 [eqn: RMA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에서 선분 [eqn: RMA _{1} D _{1}]의 중점을 [eqn: RMM _{1}]이라 하자. 중심이 [eqn: RMA _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: RMBAR{A _{1} B _{1} }]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: rm {A _{1} B _{1} M _{1}}]을 그리고, 부채꼴 [eqn: rm {A _{1} B _{1} M _{1}}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 부채꼴 [eqn: rm {A _{1} B _{1} M _{1}}]의 호 [eqn: RMB_1 M_1]이 선분 [eqn: RMA_1 C_1]과 만나는 점을 [eqn: RMA_2]라 하고, 중심이 [eqn: RMA_1], 반지름의 길이가 [eqn: RMBAR{A_1 D_1]인 원이 선분 [eqn: RMA_1 C_1]가 만나는 점을 [eqn: RMC_2]라 하자. 가로와 세로의 길이의 비가 [eqn: 2:1]이고 가로가 선분 [eqn: RM A_1 D_1]과 평행한 직사각형 [eqn: RMA_2 B_2 C_2 D_2]를 그리고, 직사각형 [eqn: RMA_2 B_2 C_2 D_2]에서 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {16} pi]	② [eqn: {11} over {32} pi]	③ [eqn: {3} over {8} pi]

④ [eqn: {13} over {32} pi]	⑤ [eqn: {7} over {16} pi]

정답 ①

		2013학년도 수능 가형, 나형 14

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: RMO]가 있다. 원 [eqn: RMO]의 중심을 지나고 선분 [eqn: rmAB]와 수직인 직선이 원과 만나는 [eqn: 2]개의 점 중 한 점을 [eqn: RMC]라 하자.

점 [eqn: RMC]를 중심으로 하고 점 [eqn: RMA]와 점 [eqn: RMB]를 지나는 원의 외부와 원 [eqn: RMO]의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 [eqn: RMO]의 반원을 이등분한 [eqn: 2]개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 [eqn: 2]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 [eqn: 2]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에서 새로 생긴 [eqn: 2]개의 원의 색칠된 부분을 포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 [eqn: 4]개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 [eqn: 4]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 [eqn: 4]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {5+2 sqrt {2}} over {7}]	② [eqn: {5+3 sqrt {2}} over {7}]	③ [eqn: {5+4 sqrt {2}} over {7}]

④ [eqn: {5+5 sqrt {2}} over {7}]	⑤ [eqn: {5+6 sqrt {2}} over {7}]

정답 ③

		2014학년도 9월 평가원 A형 16

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 중심각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴을 서로 겹치지 않게 [eqn: 4]개 그린 후 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 [그림 [eqn: 1]]이라 하자.

[그림 [eqn: 1]]에서 색칠되지 않은 각 부채꼴에 두 반지름과 호에 모두 접하도록 원을 그린다. 새로 그린 각 원에 중심각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고 반지름의 길이가 새로 그린 원의 반지름의 길이와 같은 부채꼴을 서로 겹치지 않게 [eqn: 4]개씩 그린 후 새로 그린 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 [그림 [eqn: 2]]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림에서 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {7} over {15} pi]	② [eqn: {8} over {15} pi]	③ [eqn: {3} over {5} pi]

④ [eqn: {2} over {3} pi]	⑤ [eqn: {11} over {15} pi]

정답 ③

		2014학년도 예비평가 A형 16, B형 14

중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원이 있다. 그림과 같이 [eqn: rm ANGLE AOB=90DEG]인 원 위의 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 호 [eqn: rmAC]와 호 [eqn: rmBC]의 길이가 같은 점을 [eqn: rmC]라 하자. 선분 [eqn: rmOC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하고, 네 선분 [eqn: rmOA], [eqn: rmAD], [eqn: rmDB], [eqn: rmBO]로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 두 반지름 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]를 각각 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 두 반원 안에 지름의 길이가 최대인 내접원을 각각 그린다. 두 내접원 안에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에서 그린 두 내접원의 [eqn: 4]개의 반지름을 각각 지름으로 하는 [eqn: 4]개의 반원을 그리고, [eqn: 4]개의 반원 안에 지름의 길이가 최대인 내접원을 각각 그린다. [eqn: 4]개의 내접원 안에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 4]개의 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 모든 모양의 도형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {11 sqrt {2}} over {7}]	② [eqn: {12 sqrt {2}} over {7}]	③ [eqn: {13 sqrt {2}} over {7}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: {15 sqrt {2}} over {7}]

정답 ②

		2013학년도 9월 평가원 가형, 나형 9

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: O]가 있다. [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 원 [eqn: O]와 반지름의 길이가 같은 두 원의 외부와 원 [eqn: O]의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2]등분한 선분을 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 4]등분한 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 네 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 모양의 모든 도형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 3 sqrt {3} - {4} over {3} pi]	② [eqn: 2 sqrt {3} - {2} over {3} pi]

③ [eqn: 2 sqrt {3} - {pi} over {2}]	④ [eqn: 3 sqrt {3} -pi]

⑤ [eqn: 3 sqrt {3} - {2} over {3} pi]

정답 ②

		2012학년도 9월 평가원 나형 9

그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각 [eqn: 8], [eqn: 4]인 마름모 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 [eqn: {1} over {2}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에 있는 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 [eqn: 2]개 그린다.

새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 [eqn: {1} over {2}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에 있는 작은 두 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로 부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 [eqn: 4]개 그린다.

새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 [eqn: {1} over {2}]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 방법으로 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 있는 모든 원의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {16} over {13} pi]	② [eqn: {32} over {25} pi]	③ [eqn: {4} over {3} pi]

④ [eqn: {32} over {23} pi]	⑤ [eqn: {16} over {11} pi]

정답 ④

		2012학년도 수능 가형, 나형 14

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 있다. 그림과 같이 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 [eqn: 3:1]인 직사각형을 이 원에 내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 [eqn: 2]개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록 원 [eqn: 4]개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {4} pi- {5} over {3}]	② [eqn: {5} over {4} pi- {3} over {2}]

③ [eqn: {4} over {3} pi- {8} over {5}]	④ [eqn: {5} over {4} pi-1]

⑤ [eqn: {4} over {3} pi- {16} over {15}]

정답 ②

		2011학년도 6월 평가원 가형, 나형 10

가로의 길이가 [eqn: 5]이고 세로의 길이가 [eqn: 4]인 직사각형에서 그림과 같이 가로의 폭 [eqn: a]가 직사각형의 가로의 길이의 [eqn: {1} over {4}], 세로의 폭 [eqn: b]가 직사각형의 세로의 길이의 [eqn: {1} over {5}]인 모양의 도형을 잘라내어 얻은 [eqn: 4]개의 직사각형을 [eqn: R _{1}]이라 하고, 그 [eqn: 4]개의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{1}]이라 하자.

[eqn: R _{1}]의 각 직사각형에서 가로의 폭이 각 직사각형의 가로의 길이의 [eqn: {1} over {4}], 세로의 폭이 각 직사각형의 세로의 길이의 [eqn: {1} over {5}]인 모양의 도형을 잘라내어 얻은 [eqn: 16]개의 직사각형을 [eqn: R _{2}]라 하고, 그 [eqn: 16]개의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 [eqn: R _{n}]의 [eqn: 4 ^{n}]개의 직사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 26]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 42]

정답 ②

		2010년 이전 평가원 나형

그림과 같이 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원을 그리고, 선분 [eqn: RMAB]의 [eqn: 3]등분점을 각각 [eqn: RMP _{1}], [eqn: RMP _{2}]라 하고 선분 [eqn: RMAP _{1}]을 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 [eqn: RMAP _{2}]를 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 [eqn: RMP _{2} B]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원, 선분 [eqn: RMP _{1} B]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 경계로 하여 만든 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: RMAB] 위의 색칠되지 않은 두 선분 [eqn: RMAP _{1}], [eqn: RMP _{2} B]를 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에서 두 선분 [eqn: RMAP _{1}], [eqn: RMP _{2} B] 위의 색칠되지 않은 네 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 네 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 모든 모양의 도형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때 [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {25} over {7} pi]	② [eqn: {27} over {7} pi]	③ [eqn: {29} over {7} pi]

④ [eqn: {31} over {7} pi]	⑤ [eqn: {33} over {7} pi]

정답 ②

		2010년 이전 평가원 나형

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심이 [eqn: RMO _{1}], [eqn: RMO _{2}], [eqn: RMO _{3}], [eqn: CDOTS]인 원들이 있다. 모든 원들의 중심은 한 직선 위에 있고,

[eqn: BAR{RMO _{ITn} rmO _{itn+1} }=1] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots])이다.

두 원 [eqn: RMO _{1}], [eqn: RMO _{2}]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: RMP _{1}], [eqn: RMQ _{1}]이라 하고, 부채꼴 [eqn: RMO _{2} P _{1} Q _{1}]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.

두 점 [eqn: RMP _{1}], [eqn: RMQ _{1}]에서 원 [eqn: RMO _{3}]의 중심과 연결한 선분이 원 [eqn: RMO _{3}]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: RMP _{2}], [eqn: RMQ _{2}]라 하고, 부채꼴 [eqn: RmO _{3} P _{2} Q _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.

두 점 [eqn: RMP _{2}], [eqn: RMQ _{2}]에서 원 [eqn: RMO _{4}]의 중심과 연결한 선분이 원 [eqn: RMO _{4}]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: RMP _{3}], [eqn: RMQ _{3}]이라 하고, 부채꼴 [eqn: RMO _{4} P _{3} Q _{3}]의 넓이를 [eqn: S _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 부채꼴 [eqn: rmO _{itn+1} rmP _{itn} rmQ _{itn}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: pi over 2]	② [eqn: 2 over 3 pi]	③ [eqn: 5over 6 pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: 7 over 6 pi]

정답 ②

		2010년 이전 평가원 나형

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형을 [eqn: A_1], 그 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자. 정사각형 [eqn: A_1]에 대각선을 그어 만들어진 [eqn: 4]개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 [eqn: A_2], 그 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 같은 방법으로 정사각형 [eqn: A_2]에 대각선을 그어 만들어진 [eqn: 4]개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 [eqn: A_3], 그 넓이를 [eqn: S_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: (n-1)])번째 얻은 정사각형을 [eqn: A_n], 그 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} S _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: {64} over {7}]	② [eqn: {21} over {2}]	③ [eqn: {72} over {7}]

④ [eqn: {27} over {2}]	⑤ [eqn: {81} over {7}]

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원 나형

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형 [eqn: RMOB _{1} C _{1} A _{0}]이 있다. 삼각형 [eqn: RMOA _{1} D _{1}]이 [eqn: RMANGLED _{1} OA _{1} =30DEG]인 이등변삼각형이 되도록

변 [eqn: RMB _{1} C _{1}], [eqn: RMA _{0} C _{1}] 위에 각각 점 [eqn: RMA _{1}], [eqn: RMD _{1}]을 잡고 변 [eqn: RMOA _{1}]의 길이를 [eqn: l _{1}]이라 하자.

선분 [eqn: RMOA _{1}]을 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: RMOB _{2} C _{2} A _{1}]에서 삼각형 [eqn: RMOA _{2} D _{2}]가 [eqn: RMANGLED _{2} OA _{2} =30DEG]인 이등변삼각형이 되도록 변 [eqn: RMB _{2} C _{2}], [eqn: RMA _{1} C _{2}] 위에 각각 점 [eqn: RMA _{2}], [eqn: RMD _{2}]를 잡고 변 [eqn: RMOA _{2}]의 길이를 [eqn: l _{2}]라 하자.

선분 [eqn: RMOA _{2}]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: RMOB _{3} C _{3} A _{2}]에서 삼각형 [eqn: RMOA _{3} D _{3}]이 [eqn: RMANGLED _{3} OA _{3} =30DEG]인 이등변삼각형이 되도록 변 [eqn: RMB _{3} C _{3}], [eqn: RMA _{2} C _{3}] 위에 각각 점 [eqn: RMA _{3}], [eqn: RMD _{3}]을 잡고 변 [eqn: RMOA _{3}]의 길이를 [eqn: l _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 이등변삼각형 [eqn: RMOA _{ITn} D _{itn}]에서 변 [eqn: rmOA _{itn}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} {1} over {l _{n}} = sqrt {3}]일 때, [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 1+ sqrt {3}]	③ [eqn: 2+ sqrt {3}]

④ [eqn: 3+ sqrt {3}]	⑤ [eqn: 6+ sqrt {3}]

정답 ③

		2010년 이전 수능 나형

아래와 같이 직각을 낀 두 변의 길이가 [eqn: 1]인 직각이등변삼각형이 있다. 이 직각이등변삼각형의 빗변에 [eqn: 2]개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2]개의 꼭짓점이 있는 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 합동인 [eqn: 2]개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에 [eqn: 2]개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2]개의 꼭짓점이 있는 [eqn: 2]개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R _{2}]에서 합동인 [eqn: 4]개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에 [eqn: 2]개의 꼭짓점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2]개의 꼭짓점이 있는 [eqn: 4]개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 모든 정사각형의 넓이의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {`S _{n}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {3 sqrt {2}} over {20}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: {2} over {5}]

정답 ⑤