20

실전 대비 평가

		2010년 이전 교육청 가형

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 10], 모선의 길이가 [eqn: 30]이고 꼭짓점이 [eqn: RMO]인 직원뿔이 있다. 밑면의 둘레 위의 한 점 [eqn: RMA]에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 점 [eqn: RMA]로 되돌아오는 최단경로를 [eqn: L]이라 하자. [eqn: L] 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]에 대하여 점 [eqn: RMB]가

[eqn: rm vec{AB} = {1} over {3} vec{AO} + {2} over {3} vec{AP}]를 만족시킬 때, 점 [eqn: RMB]의 자취의 길이는? [4점]

① [eqn: 10 sqrt {2}]	② [eqn: 10 sqrt {3}]	③ [eqn: 20 sqrt {2}]

④ [eqn: 20 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 20 sqrt {6}]

정답 ④

		2010학년도 10월 교육청 가형 21

그림은 한 모서리의 길이가 [eqn: 6]인 두 정사면체 [eqn: RMABCD]와 [eqn: RMBCDE]에 대하여 면 [eqn: RMBCD]를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. 두 벡터 [eqn: RM vec { BA}]와 [eqn: RM vec { DE}]에 대하여 [eqn: |` rm vec{BA} + vec{DE} `|` ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: BOLD12]

		2010년 이전 교육청 자연

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmbar AB =1], [eqn: RMBAR BF =2], [eqn: RMBAR FG =3]인 직육면체 [eqn: RMABCD-EFGH]에서 두 벡터 [eqn: RM vec { DF}]와 [eqn: RM vec { HF}]의 내적 [eqn: RM vec{DF} CDOT vec{HF}]의 값은? [3점]

① [eqn: -10]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 10]

정답 ⑤

		2010년 이전 사관학교 자연

다음은 좌표공간에 있는 세 점 [eqn: RMA(3,~0,~2)], [eqn: RMB(0,~2,~1)], [eqn: RMC(1,~1,~1)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: RMABC]의 외접원의 중심 [eqn: RMP]의 좌표를 벡터를 이용하여 구하는 과정이다.

[eqn: vec{RMCA} = vec{a}], [eqn: vec{rmCB} = vec{b}]라 하면 적당한 실수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: vec{rmCP} =p vec{a} +q vec{b}]로 나타낼 수 있다.

[eqn: |` vec{RMCP} `|=|` vec{RMAP} `|]에서

[eqn: |` vec{RMCP} `|` ^{2} =|` vec{RMCP} - vec{a} `|` ^{2}]

∴[eqn: |` vec{a} `|` ^{2} = BOX{~~㈎~~} TIMES (p`|` vec{a} `|` ^{2} +q` vec{a} CDOT vec{b} `)]	……㉠

마찬가지로

[eqn: |` vec{rm CP it} `|=|` vec{rm BP it} `|]에서

[eqn: |` vec{b} `|` ^{2} = BOX{~~㈏~~} TIMES (q`|` vec{b} `|` ^{2} +p` vec{a} CDOT vec{b} `)]	……㉡

[eqn: vec{a} =(2,~-1,~1)], [eqn: vec{b} =(-1,~1,~0)], [eqn: vec{a} cdot vec{b} =-3]이므로

㉠, ㉡으로부터

[eqn: p=box{~~㈐~~}], [eqn: q=box{~~㈑~~}]

따라서 [eqn: RM vec{CP} =(1,~2,~3)]이므로 삼각형 [eqn: RMABC]의 외접원의 중심은 [eqn: RMP(2,~3,~4)]이다.

위 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑에 해당하는 수를 모두 더하면? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ②

		2010년 이전 수능 자연

두 벡터 [eqn: vec{a} =(2,~-3,~2)], [eqn: vec{b} =(1,~-4,~0)]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은? [2점]

① [eqn: {2} over {17}]	② [eqn: {5} over {17}]	③ [eqn: {8} over {17}]

④ [eqn: {11} over {17}]	⑤ [eqn: {14} over {17}]

정답 ⑤

		2010년 이전 교육청 가형

그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 [eqn: RMA(0,~3,~3)], [eqn: RME(0,~3,~0)], [eqn: RMF(3,~3,~0)], [eqn: RMH(0,~6,~0)]이다.

점 [eqn: RMM(1,~5,~6)]과 정육면체의 모서리 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]에 대하여 직선 [eqn: RMMP]가 [eqn: xy]평면과 만나는 점을 [eqn: RMQ]라 하자. 이때 선분 [eqn: RMMQ]의 길이의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 2sqrt { 11}]	② [eqn: 2sqrt { 13}]	③ [eqn: 2sqrt { 14}]

④ [eqn: 2sqrt { 15}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 17}]

정답 ⑤

		2010년 이전 평가원 자연

그림과 같이 지면과 수직인 벽면에 대형 스크린을 붙여 세우고 투명 스크린을 벽면과 지면에 모두 수직이 되도록 설치하여 벽면과 투명 스크린이 만나는 경계선을 [eqn: l]이라고 하자. 벽면으로부터 [eqn: 5``rmm], 투명 스크린으로부터 [eqn: 3``rmm] 떨어진 지면 위의 점 [eqn: rmX]에 레이저 발생장치를 설치하고, 경계선 [eqn: l]로부터 [eqn: 4``rmm], 지면으로부터 [eqn: 2``rmm] 떨어진 투명 스크린 위의 점 [eqn: rmP]를 향해 레이저 광선을 비춘다. 점 [eqn: RMP]를 통과한 레이저 광선이 지면으로부터 [eqn: a``~rmm], 경계선 [eqn: l]로부터 [eqn: b``rmm] 떨어진 대형 스크린 위의 점 [eqn: rmQ]에 도달할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, 레이저 광선이 투명 스크린을 통과할 때의 굴절은 무시한다.) [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

정답 ④

		2010년 이전 사관학교 자연

좌표공간에서 집합

[eqn: LEFT { RIGHT . (x,~y,~z)``|``x^2 + (z-1)^2 le 1 ,~y=0,~0 le z le 1 right}]

이 나타내는 도형을 [eqn: C]라 하자. 점 [eqn: RMA(0,~-1,~2)]와 도형 [eqn: C] 위의 점 [eqn: RMP]를 지나는 직선이 [eqn: xy]평면과 만나는 점을 [eqn: RMQ]라 하면 점 [eqn: RMQ]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: b over a]이다. 이때 [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 [eqn: bold11]

		2011학년도 9월 평가원 가형 2

좌표공간에서 직선 [eqn: x-1 over 2 = y+1 over 3 = z-2]가 평면 [eqn: z=4]와 만나는 점의 좌표를 [eqn: (a,~b,~c)]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은? [2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ④

		2010년 이전 교육청 가형 8

좌표공간에서 점 [eqn: RMA(1,~4,~2)]가 직선 [eqn: {x+1} over {a} = {y-2} over {b} = {z-1} over {2}] 위에 있을 때, 점 [eqn: rmA]와 평면 [eqn: ax+by+2z+48=0] 사이의 거리는? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

정답 ②

		2011학년도 수능 가형 21

좌표공간에서 직선 [eqn: x over 2 =y = z+3]과 평면 [eqn: alpha ``:``x+2y+z=6]의 교점을 [eqn: rmA]라 하자. 중심이 점 [eqn: (1,~-1,~5)]이고 점 [eqn: rmA]를 지나는 구가 평면 [eqn: alpha]와 만나서 생기는 도형의 넓이는 [eqn: k pi]이다. [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

정답 [eqn: bold53]

		2010년 이전 수능 가형

구 [eqn: x^2 +y^2 + z^2 =4]와 평면 [eqn: z=-1]이 만나서 생기는 원을 [eqn: C]라 하자. [eqn: x]축을 포함하는 평면 [eqn: alpha]와 구 [eqn: x^2 +y^2 + z^2 =4]가 만나서 생기는 원이 [eqn: C]와 오직 한 점에서 만날 때, 평면 [eqn: alpha]의 한 법선벡터를 [eqn: vec{n} =(a,~3,~b)]라 하자. [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: bold27]

		2010년 이전 수능 자연

[eqn: (a,~b,~c)]를 구 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 =4] 위의 한 점의 좌표라고 할 때, 두 평면 [eqn: ax+by+cz=1], [eqn: ax+by+cz=3] 사이의 최단 거리는? [2점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {11} over {3}]

정답 ②

		2014학년도 사관학교 B형 28

좌표공간에 여섯 개의 점 [eqn: RMA(0,~0,~2)], [eqn: RMB(2,~0,~0)], [eqn: RMC(0,~2,~0)], [eqn: RMD(-2,~0,~0)], [eqn: RME(0,~-2,~0)], [eqn: RMF(0,~0,~-2)]를 꼭짓점으로 하는 정팔면체 [eqn: rmABCDEF]가 있다. 이 정팔면체와 평면 [eqn: x+y+z=0]이 만나서 생기는 도형의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S^2]의 값을 구하시오. [4점]

정답 [eqn: BOLD27]

		2013학년도 10월 교육청 B형 15

그림과 같이 좌표공간에 세 점 [eqn: rm A(0,~0,~3)], [eqn: rmB(5,~4,~0)], [eqn: rmC(0,~4,~0)]이 있다. 선분 [eqn: rmAB] 위의 한 점 [eqn: RMP]에서 선분 [eqn: RMBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH]라 할 때, [eqn: RM BAR PH =3]이다. 삼각형 [eqn: RM PBH]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

① [eqn: {14} over {5}]	② [eqn: {16} over {5}]	③ [eqn: {18} over {5}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {22} over {5}]

정답 ③

		2010년 이전 사관학교 자연

구 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 =1]과 평면 [eqn: {sqrt {3}} over {4} x- {3} over {4} y+ {1} over {2} z=0]이 만나서 생긴 도형의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

① [eqn: {pi} over {2}]	② [eqn: {pi} over {3}]	③ [eqn: {pi} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {2} pi]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2} pi]

정답 ①