수 리 영 역

넓이, 부피

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수 리 영 역

넓이, 부피

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 적분 (넓이,부피)

성명			수험번호

16

반지름의 길이가 [eqn: r``]인 공이 잔잔한 물 위에 떠 있다. 오른쪽 그림과 같이 공의 수면 아래 부분의 깊이가 [eqn: scale 90 r over 3`]일 때, 다음 중에서 수면 위에 있는 부분의 부피를 나타내는 수학적 표현은?

②

구하는 부피는

원 [eqn: x^2 + y^2 = r^2 ``]을 [eqn: - 2 over 3 r <= r <= r ``]의 범위에서

[eqn: y``]축으로 회전한 입체의 부피와 같다.

[eqn: THEREFORE ```V= pi int _{- {2} over {3} r} ^{2r} {} (r ^{2} -y ^{2} ``)dy]

[1.5점][1996년 수능]

①　[eqn: pi`int_{r over 3}^{2`r}``(r`^2`-`y`^2`)``d`y``]

②　[eqn: pi`int_{- 2 over 3 r}^r``(r`^2`-`y`^2`)``d`y``]

③　[eqn: pi`int_{- 2 over 3 r}^r``(r`-`y`)^2``d`y``]

④　[eqn: pi`int_{r over 3}^{2`r}``(r`-`sqrt{r`^2`-`y`^2`}`)^2``d`y``]

⑤　[eqn: pi`int_{r over 3}^r``(r`-`sqrt{r`^2`-`y`^2`}`)^2``d`y``]

그림과 같이 두 직선 [eqn: x=p,~x=q``와~x]축 및 곡선 [eqn: y=log_a x]로 둘러싸인 부분을 곡선 [eqn: y=log_b x]가 두 부분 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]로 나눈다. [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 넓이를 각각 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, [eqn: {alpha } over {beta }]의 값은?
(단, [eqn: 1<a<b,```1<p<q)]

③

[eqn: beta = int _{p} ^{q} {} log _{b} `x`dx``][eqn: = {1} over {lnb} int _{p} ^{q} {} lnx`dx``][eqn: = 1 over lnb [x`lnx -x `]_p^q `]

[eqn: = {1} over {lnb} (q`lnq-q-p`lnp+p`)]

[eqn: alpha = int _{p} ^{q} {} log _{a} `x``dx``- beta][eqn: = 1 over lnb int_p^q lnx `dx `` β]

[eqn: = 1 over lnb [x`lnx -x `]_p^q `-β]

[eqn: = 1 over lna (q lnq -q-p lnp+p `)][eqn: - 1 over lnb (q lnq -q-p lnp+p `)]

[eqn: =left( 1 over lna - 1 over lnb right) (q lnq -q-p lnp+p `)][eqn: THEREFORE ``` {alpha } over {beta } = {LEFT ( {1} over {lna} - {1} over {lnb} RIGHT )} over {{1} over {lnb}}][eqn: = lnb over lna - 1][eqn: = log_a` b -1]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: LEFT ( {b} over {a} -1 RIGHT ) (q-p)]	②　[eqn: a overb -1]	③　[eqn: log_a b-1]

④　[eqn: log_b a-1]	⑤　[eqn: (q-p)`log _{b} a]

함수 [eqn: f`(x)=e ^{-x}]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rm P _{itn} `,``` rm Q _{itn}]을 각각 [eqn: rm P _{itn} (itn,```f`(n))], [eqn: rm Q _{itn} (itn+1,```f(n))]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm P _{itn} ` rm P _{itn+1} ` rm Q _{itn} `]의 넓이를 [eqn: A_n `], 선분 [eqn: rm P _{itn} ` rm P _{itn+1}]과 함수 [eqn: y=f`(x`)`]의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: B_n ``]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: int_n^n+1 f(x) dx]는 곡선 [eqn: y=f(x)]와 두 직선 [eqn: x=n,```x=n+1] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

두 점 [eqn: P_n , ~Q_n]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: P'_n , ~Q'_n]이라 하면 직사각형 [eqn: P_n P'_n Q'_n Q_n]의 넓이는 [eqn: (n+1-n)×f(n) = f(n)]이다.

[eqn: THEREFORE ``` int _{n} ^{n+1} {} f(x)dx=f(n)-(A _{n} -B _{n} )] (참)

ㄴ. [eqn: A_n = 1 over 2 ․ 1․ left{ f(n)-f(n+1)right}]

[eqn: = 1over 2 left(e^-n - e^-n-1 )][eqn: = {e ^{-n-1}} over {2} (e-1)]

[eqn: = e-1 over 2 ․ 1over e^n+1]

따라서 수열 [eqn: LEFT { A _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: e-1 over 2e^2], 공비가 [eqn: 1over e]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ``` sum _{n=1} ^{INF } A _{n} = {{e-1} over {2e ^{2}}} over {1- {1} over {e}} = {1} over {2e}] (참)

ㄷ. [eqn: int_n^n+1 f(x) dx = int_n^n+1 e^-x dx][eqn: =left[ -e^-x right]_n^n+1]

[eqn: =-e^-n-1 +e^-n = 2 A_n]

이므로 ㄱ에서 [eqn: B_n = f(n)- 3 A_n]

그런데,

[eqn: sum_n=1^inf f(n) = sum_n=1^inf e^-n][eqn: = {1over e } over { 1- 1over e }][eqn: = 1 over e-1]이므로

[eqn: sum_n=1^inf B_n = sum_n=1^inf f(n) - 3 sum_n=1^inf A_n][eqn: = 1over e-1 - 3over 2e]

[eqn: ={2e-3(e-1)} over {2e(e-1)}= 3-e over {2e(e-1)}] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[4점][2006년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: int _{n} ^{n+1} {} f`(x)``dx=f`(n)-(A _{n} +B _{n} )] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } A _{n} = {1} over {2e}] ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } B _{n} = {3-e} over {2e(e-1)}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림에서 두 곡선 [eqn: y=e^x], [eqn: y=x`e^x ``]과 [eqn: y``]축으로 둘러싸인 부분 [eqn: A``]의 넓이를 [eqn: a], 두 곡선 [eqn: y=e^x], [eqn: y=x`e^x ``]과 직선 [eqn: x=2``]로 둘러싸인 부분 [eqn: B``]의 넓이를 [eqn: b``]라 할 때, [eqn: b-a``]의 값은?

③

두 부분의 넓이의 차 [eqn: b-a]는 [eqn: y=xe^x - x]의 정적분 결과와 같다.

[eqn: b-a= int_0^2 (xe^x -e^x )dx]
[eqn: =int_0^2 (x-1)e^x dx]
[eqn: =left[(x-1)e^x right]_0^{`2} - int_0^2 e^x dx]
[eqn: = 1-(-e^2 ) -(e^2 -1)=2]

[4점][2012년 수능]

① [eqn: 3over2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 5over2]	⑤ [eqn: e]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= int_0^x (a-t)e^t dt]의 최댓값이 [eqn: 32]이다. 곡선 [eqn: y=3 e^x]과 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: y=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

96

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(a-t)e ^{t} `dt`}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)=(a-x)e ^{x}]

[eqn: f`'(x)=0] 에서 [eqn: x=a`]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 최댓값을 갖는다

[eqn: f(a)= int _{0} ^{a} {(a-t)e ^{t} dt= LEFT [ (a-t)e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{a} - int _{0} ^{a} {(-e ^{t} )dt}}]

[eqn: =`-a- LEFT [ -e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{a} `=`-a-(-e ^{a} +1)]

[eqn: e ^{a} -a-1=32]   [eqn: CDOTS CDOTS `(ㄱ)]

따라서, 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{a} {(3e ^{x} -3)dx= LEFT [ 3e ^{x} -3x RIGHT ] _{0} ^{a} `=3e ^{a} -3a-3}]

[eqn: =3(e ^{a} -a-1)=96````````````````````(``` BECAUSE (ㄱ)```)]

[4점][2015년 수능]

자연수 [eqn: n `]에 대하여 구간 [eqn: LEFT [ `(n-1) pi ,~n pi`` RIGHT ] `]에서 곡선
[eqn: y= left( 1 over 2 right)^n ``sinx `]와 [eqn: x `]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _n `]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^inf S _n =α `]일 때, [eqn: 50α `]의 값을 구하시오.

[eqn: 100]

[eqn: S_n = int_(n-1)pi ^ {n pi} left| left( 1over 2 right)^n sin x right vert dx]  [eqn: = left( 1over 2 right)^n int_(n-1)pi ^ {n pi} left|sin x right vert dx]

이 때, [eqn: y= vert sin x ` vert]는 주기가 [eqn: pi`]인 주기함수이므로 임의의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: int_(n-1)pi ^ {n pi} left|sin x right vert dx = int_0 ^pi sin x dx] [eqn: = left[ - cos x right]_0 ^pi][eqn: =2`]

∴ [eqn: S_ n = left( 1over 2 right)^n int_(n-1)pi ^ {n pi} left|sin x right vert dx] [eqn: = 2 cdot left( 1over 2 right)^n] [eqn: = left( 1over 2 right)^n-1]

∴ [eqn: SUM_n=1 ^inf S_n = SUM_n=1 ^inf left( 1over 2 right)^n-1][eqn: = 1over { 1- 1over 2 }][eqn: =2]

∴ [eqn: alpha = 2`]

∴ [eqn: 50 alpha = 100]

[4점][2006년 9월]

어떤 그릇에 깊이가 [eqn: h `rm cm`]가 되도록 물을 넣을 때 수면은  반지름의 길이가 [eqn: rm sqrt {9+it h ^{2} `} cm`]인 원이 된다. 이 그릇에 매초 [eqn: 260` pi ` rm cm ^{3}`]의 비율로 물을 넣을 때, 수면의 높이가 [eqn: 2` rm cm`]인 순간의 수면이 상승하는 속도는 몇 [eqn: rm cm/초]인지 구하시오.
(단, 그릇의 높이는 [eqn: 2` rm cm`]보다 크다.)

20

그릇에 깊이가 [eqn: h rm`cm`]가 되도록 물을 넣었을 때 물의 부피 [eqn: V`]는 [eqn: V= it int _{0} ^{h} {} pi ( sqrt {9+h ^{2}}`) ^{2} dh][eqn: = int _{0} ^{h} {} pi (9+h ^{2} )dh `]

[eqn: = pi LEFT[ 9h+ {1} over {3} h ^{3} right] _{0} ^{h}][eqn: = pi left(9h + 1over3 h^3 right) `]

[eqn: V`= pi left( 9h+ 1over3 h ^{3} right)`] 따라서 [eqn: {dV} over {dt} = pi (9+h ^{2} ) {dh} over {dt}]

[eqn: {dV} over {dt} =260 pi `]이고 [eqn: h=2`]이므로 [eqn: 260pi`= pi (9+4) LEFT [ {dh} over {dt} ` RIGHT ] _{h=2}]

∴ [eqn: LEFT [ {dh} over {dt} ` RIGHT ] _{h=2} = {260pi`} over {13 pi } = 20``(`\cm]/초)

[4점][2006년 10월]

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1m]인 구를 반으로 자른 모양의 그릇에 [eqn: 0.2 pi ` rm m sup 3 /초]의 속도로 물을 채우려고 한다. 수면의 높이가 [eqn: 3 over4 ` rm m]가 되는 순간에 수면의 상승속도를 [eqn: v `]라고 할 때, [eqn: 75v `]의 값을 구하시오.

16

채워지는 물의 양 [eqn: V `]는

[eqn: V `=` pi int from -1 to h { ( 1- x sup 2 ) dx } `=` pi left [ x - 1 over 3 x sup 3 right ] sub -1 sup h][eqn: `=` pi left ( h- 1 over 3 h sup 3 + 2 over 3 right )]

양변을 [eqn: t`]에 대하여 미분하면

[eqn: dV over dt `=` pi (1 - h sup2 ) dh over dt]

여기에 부피의 증가량 [eqn: 0.2 pi]와 높이가 [eqn: { 3} over {4 }]이므로

[eqn: h `=`- 1 over 4]를 대입하면

[eqn: 0.2 pi `=` pi left ( 1- 1 over 16 right ) dh over dt]

∴[eqn: dh over dt `=` 16 over 75]이므로 [eqn: 75 v `=` 75 times 16 over 75 `=` 16]

[4점][2007년 10월]

[eqn: rm 1m]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y={xe^x^2}_` over {e^x^2 +1}]과 직선 [eqn: y={2_`} over {3`} x`]로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합은?

①

곡선과 직선의 교점의 좌표를 구한다.

[eqn: { xe^{x^2 }} over {e^{ x^2 } +1} = 2over3 x`]에서

[eqn: x`e^{ x^2 } = 2over3 x `e^{ x^2 } + 2over3 x`], [eqn: 1over3 x left( e^{x^2 } - 2`right)` =0`]

[eqn: x=0`] 또는 [eqn: e^{ x^2 } -2 =0`]

[eqn: e^{x^2 } = 2`]에서 [eqn: x^2 = ln 2`]  ∴ [eqn: x = +- root ln2 }`]

따라서, 구하는 넓이[eqn: S`]는

[eqn: S = 2 int_0^{root ln2} left( 2over3 x - {xe^{x^2 } } over{e^{x^2 } +1}`right)`dx`]

[eqn: = int_0^{root ln2} 4over3 x `dx - int_0^{root ln2} {2xe^{x^2 }} over{ e^{x^2 } +1}``dx`]

[eqn: = left[ 2 over 3 x^2 right]_0^{root ln2} `- left[ln(e^{x^2 } +1 )`right]_0^{ root ln2`}`]

[eqn: = 2over3 ` ln 2` - ( ln3 - ln2 )`]

[eqn: = 5over3 `ln2 - ln3`]

[3점][2008년 9월]

① [eqn: {5_`}over {3`} ln2 -ln3]	② [eqn: 2ln3 - {5_`}over {3`} ln2]

③ [eqn: {5_`}over {3`} ln2 +ln3]	④ [eqn: 2ln3 + {5_`}over {3`} ln2]

⑤ [eqn: {7_`}over {3`} ln2 -ln3]

곡선 [eqn: y= ln(x+1)]과 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: y = a``]로 둘러싸인 부분의 넓이와 곡선 [eqn: y= ln(x+1)]과 두 직선 [eqn: x=e-1], [eqn: y = a``]로 둘러싸인 부분의 넓이가 서로 같을 때, 실수 [eqn: a``]의 값은?

①

[eqn: int _{0} ^{e-1} {} LEFT { ln(x+1)-a`` RIGHT } dx`=0]  ∴ [eqn: a= 1 over e-1]

[3점][2009년 10월]

① [eqn: 1 over e-1]	② [eqn: 2 over e-1]	③ [eqn: 2over e]

④ [eqn: 1over e+1]	⑤ [eqn: 2 over e+1]

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 곡선 [eqn: y=(lnx)^n```(x>=1)``]과 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축 및 [eqn: y=1``]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: {rmS}_n ``]이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: 1 LEQ x LEQ e]의 범위에서 [eqn: 0 LEQ lnx LEQ 1]

[eqn: (lnx) ^{n} -(lnx) ^{n+1} =(lnx) ^{n} (1-lnx) GEQ 0]

[eqn: (lnx) ^{n} GEQ (lnx) ^{n+1}](참)

ㄴ.[eqn: 1<x<e]에서 [eqn: (lnx) ^{n} >(lnx) ^{n+1}]이므로

[eqn: int _{1} ^{e} {(lnx) ^{n} dx} > int _{1} ^{e} {(lnx) ^{n+1} dx}]

[eqn: - int _{1} ^{e} {(lnx) ^{n} dx} <`- int _{1} ^{e} {(lnx) ^{n+1} dx}]

[eqn: e- int _{1} ^{e} {(lnx) ^{n} dx} <`e- int _{1} ^{e} {(lnx) ^{n+1} dx}]

[eqn: THEREFORE S _{n} <S _{n+1}]

ㄷ. 주어진 그래프를 [eqn: y=x]에 대하여 대칭시키면

[eqn: S _{n} = int _{0} ^{1} {g(x)dx}](참)

[4점][2011년 6월]

[보 기]

ㄱ. [eqn: 1<=x<=e``]일 때, [eqn: (ln x )^n >= (ln x )^n+1 ``]이다.

ㄴ. [eqn: {rmS}_n < {rmS}_n+1]

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)= (ln x )^n` ``(x>=1)``]의 역함수를 [eqn: g(x)``]라 하면

[eqn: {rmS}_n = int _{ 0} ^{ 1} {g(x) }``dx ``]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ,ㄷ

곡선 [eqn: y=e ^{x} -1] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( 1,~e-1 RIGHT ) `]에서의 접선을 [eqn: l`]이라 하자. 이때, 곡선 [eqn: y=e ^{x} -1]과 [eqn: y]축, 접선 [eqn: l`]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

①

곡선 [eqn: y=e ^{x} -1]에서 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y-(e-1)=e(x-1)] [eqn: THEREFORE `y=ex-1]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {(e ^{x} -ex)} `dx= {e} over {2} -1]

[3점][2011년 7월]

① [eqn: {e} over {2} -1]	② [eqn: e- {3} over {2}]	③ [eqn: {e} over {2}]
④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: {e} over {2} +1]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x`sinx````` LEFT ( 0 LEQ x LEQ {pi } over {2} RIGHT )]에 대하여 이 곡선과 [eqn: x]축, 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 이 곡선과 직선 [eqn: x=k], 직선 [eqn: y= {pi } over {2}]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같을　때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: 0 LEQ k LEQ {pi } over {2}])

③

[eqn: int_0^k x sinx dx = int_k^{pi over 2} ( pi over 2 - x sinx dx ) dx]

[eqn: int_0^k x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx - int_k^{pi over 2 } x sinx dx]

[eqn: int_0^k x sinx dx + int_k^{pi over 2 } x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx]

[eqn: int_0^{pi over 2} x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx]

이때, [eqn: f(x)= x], [eqn: g``'(x)= sinx]라고 하면

[eqn: f``'(x)=1], [eqn: g(x)= - cosx] 이므로

(좌변)[eqn: = [ - x cosx ]_0^{pi over 2} - int_0^{pi over 2} (- cosx)dx] [eqn: = int_0^{pi over 2} cos x`dx]

[eqn: = [ sinx]_0^{pi over 2} = 1]

(우변)[eqn: = [ pi over 2 x ]_k^{pi over 2} = pi^2 over 4 - pi over 2 k]

따라서 [eqn: 1 = pi^2 over 4 - pi over 2 k] 이므로

[eqn: pi over 2 k = pi^2 over 4 - 1]

[eqn: therefore] [eqn: k = pi over 2 - 2 over pi]

[4점][2011년 9월]

① [eqn: {pi } over {4} - {1} over {pi }]	② [eqn: {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {2} - {2} over {pi }]

④ [eqn: {pi } over {4} + {1} over {pi }]	⑤ [eqn: {pi } over {2} - {1} over {pi }]

연속함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 세 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 0`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]이다. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 두 부분 [eqn: A`], [eqn: B`]의 넓이가 각각 [eqn: 6`], [eqn: 2`]일 때, [eqn: int _{0} ^{2} {f(2x)dx}`]의 값은?

①

[출제의도] 치환적분을 이해한다.

[eqn: 2x=t]라 하면 [eqn: 2 = dt over dx]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {f(2x)dx} `= {1} over {2} int _{0} ^{4} {} f(t)dt][eqn: = {1} over {2} LEFT { int _{0} ^{3} {f(x)dx} + int _{3} ^{4} {f(x)dx} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { 6+(-2) RIGHT }` =2]

[3점][2012년 10월]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: A`]

[eqn: B]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x)=e^x ``]이 있다. [eqn: 2``]이상인 자연수 [eqn: n``]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [`1,```2`]``]를 [eqn: n``]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: 1=x _{0} ``,`````x _{1} ``,`````x _{2} ```,````` CDOTS ```,```x _{n-1} ``,`````x _{n} ````=``2``] 라 하자. 세 점 [eqn: (0,```0)], [eqn: left(x_k `,```0 right)], [eqn: left(x_k `,```f left(x_k right) right)``]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: A_k ```(k= 1,```2,```cdots`,```n)``]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf 1 over n sum from k=1 to n A_k ``]의 값은?

③

[eqn: x_k = 1 + k overn]

따라서, 넓이 [eqn: A_k = 1 over2 left( 1 + k overn right) f left( 1+ k overn right)]

[eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n A_k = lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n 1 over2 left( 1 + k overn right) f left( 1+ k overn right)]

[eqn: = 1 over2 lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n left(1 + k overn right) f left( 1 + k overn right)]

[eqn: = 1 over2 int_1^2 x f(x) dx]

[eqn: = 1 over2 int_1^2 x e^x dx]

[eqn: = 1 over2 left{ [ x e^x ]_1^2 - int_1^2 e^x dx right} = 1 over2 e^2]

[4점][2013년 6월]

① [eqn: 1 over 2 e^2 -e]	② [eqn: 1 over 2 left(e^2 -e right)]	③ [eqn: 1 over 2 e^2]
④ [eqn: e^2 -e]	⑤ [eqn: e^2 - 1 over 2 e]

좌표평면에서 꼭짓점의 좌표가 [eqn: O`(0,```0)], [eqn: A`left(2^n ,```0 right)], [eqn: B`left(2^n ,```2^n right)], [eqn: C`left(0, ```2^n right)``]인 정사각형 [eqn: OABC``]와 두 곡선 [eqn: y=2^x], [eqn: y=log_2``x``]에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: n``]은 자연수이다.)

②

곡선 [eqn: y=2 ^{x}]와 곡선 [eqn: y=log _{ 2}x]는 직선 [eqn: y=x]에 대해 대칭이므로 각각의 곡선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축, 직선 [eqn: BC]와 직선 [eqn: AD]에 의해 정해지는 넓이는 [eqn: int _{1} ^{8} {log _{2} x`dx}]로 같다.

∴[eqn: 64-2 int _{1} ^{8} {log _{2} x`dx} `=`64- {2} over {ln2} [x`lnx-x] _{1} ^{8} =16+ {14} over {ln2}]

정사각형 [eqn: OABC``]와 그 내부는 두 곡선 [eqn: y=2^x], [eqn: y=log_2 ``x``]에 의하여 세 부분으로 나뉜다. [eqn: n=3``]일 때 이 세 부분 중 색칠된 부분의 넓이는?

[4점][2013년 9월]

① [eqn: 14 + 12 over {ln``2}]	② [eqn: 16+ 14 over {ln``2}]	③ [eqn: 18+ 16 over {ln``2}]
④ [eqn: 20+ 18 over {ln``2}]	⑤ [eqn: 22+ 20 over {ln``2}]

곡선 [eqn: y= 2n over x]과 직선 [eqn: y=`- {x} over {n} +3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_n+1 - S_n]의 값은?

①

[출제의도] 정적분을 이해하고 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.

곡선 [eqn: y= 2n overx`]과 직선 [eqn: y=`- x overn +3`]의 교점이

[eqn: {\A}_n (n,`` 2)], [eqn: rm B it rm _{n} (2n,``1)]

이고, [eqn: n le x le 2n`]에서 [eqn: 2n over x` le - x overn +3]이므로

[eqn: S_n][eqn: = int_n ^2n left{ left(- x overn +3right)- 2n overx right}`dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {2n} x ^{2} +3x-2n`ln` LEFT | `x` RIGHT | RIGHT ] _{n} ^{2n}]

[eqn: =left( - 2n +6n-2n ln2n right) -left( - 1over2 n+3n - 2n lnn right)]

[eqn: =n left( 3over2 - 2 ln2 right)]

∴ [eqn: S _{n+1} -S _{n} = {3} over {2} -2ln2]

[4점][2013년 10월]

① [eqn: 3over2 - 2ln 2]	② [eqn: 1- `ln2]	③ [eqn: 3over2 -`ln 2]

④ [eqn: 1+ln2]	⑤ [eqn: 3over2 + 2ln 2]

함수 [eqn: y = e^x ``]의 그래프와 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축 및 직선 [eqn: x=1``]로 둘러싸인 영역의 넓이가 직선 [eqn: y = a x ```( 0 < a < e ) ``]에 의하여 이등분될 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

③

[eqn: {1} over {2} int _{0} ^{1} {`e ^{x} `dx} ``=` {1} over {2} a]

[eqn: THEREFORE e-1=a]

[3점][2014년 6월]

① [eqn: e - 1 over 3]	② [eqn: e - 1 over 2]	③ [eqn: e-1]
④ [eqn: e - 4 over 3]	⑤ [eqn: e - 3 over 2]

그림과 같이 중심이 [eqn: O`], 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: OAB`]가 있다.
자연수 [eqn: n`]에 대하여 호 [eqn: AB`]를 [eqn: 2n`]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: P` _{0} `(=A)`,``P _{1} `,``P _{2} `,`` CDOTS `,``P _{2n-1} `,``P _{2n} `(=B)`]라 하자.
주어진 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S _{k} ``(1 LEQ k LEQ n)`]을
삼각형 [eqn: O`P _{n-k} `P _{n+k} `] 의 넓이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k} ``}]의 값은?

①

[eqn: S_k`=` 1over2 times 1^2 times sin{2k pi}over{4n}][eqn: = 1over2 `sin {k pi}over{2n}]

[eqn: lim _{n`->`inf} {1overn} sum_k=1 ^n {S}`_k `=`lim _{n`->`inf} {1overn} sum_k=1 ^n 1over2 rmsin it{k pi}over{2n}]

[eqn: =lim _{n`->`inf} sum_k=1 ^n rmsin it{k pi}over{2n} times 1over2n]

([eqn: x_k `=`k over2n `], [eqn: TRIANGLE x`=` 1over2n]로 놓으면)

[eqn: =int_0 ^{1over2} sin pix` dx]

[eqn: =`left[ - 1overpi `cos `pix right]_0 ^{1over2}`=`1overpi]

[3점][2014년 9월]

① [eqn: {1} over {pi }]	② [eqn: {13} over {12 pi }]	③ [eqn: {7} over {6 pi }]	④ [eqn: {5} over {4 pi }]	⑤ [eqn: {4} over {3 pi }]

그림과 같이 원점을 지나고 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta ``][eqn: left(0 LEQ theta < {pi } over {4}right )]인 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 곡선 [eqn: y`=`-x ^{3} +x`][eqn: (`x ge0`)]과 직선 [eqn: l`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S`(` theta `)`]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` -> ` {pi } over {4} `-`} {`` {S`(` theta `)} over {` LEFT ( ` theta `- {pi } over {4} RIGHT ) ^{2} `}}]의 값은?

④

[출제의도] 정적분을 이용하여 삼각함수의 극한값 구하는 문제를 해결한다.

직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y`=`(tan theta )`x]이므로

[eqn: -x ^{3} +x=(tantheta)x]에서 [eqn: x(x ^{2} +tan` theta -1)=0]

[eqn: x`ge0]에서 [eqn: x`=` 0] 또는 [eqn: x= root {1-tan theta }]이다.

따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: S( theta )`=` int _{0} ^{sqrt {1-tan theta }} left{(-x ^{3} +x)-(tan theta )x right}`dx}]

[eqn: =][eqn: left[ ` - 1 over 4 x^4 + 1 over 2 (1-tan theta ) x^2 right] _0 ^ {root { 1- tan theta } }]

[eqn: =][eqn: 1 over 4 ( 1 -tan theta ) ^2]

이므로[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {} {S( theta )} over {LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =][eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{1} over {4} LEFT ( {tan theta -1} over {theta - {pi } over {4}} RIGHT ) ^{2}}]이다.

[eqn: f(theta)=tantheta]라 하면 [eqn: f`'(theta)=sec ^{2} theta], [eqn: f LEFT ( {pi} over {4} RIGHT ) =1]이므로

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{tan theta -1} over {theta - {pi } over {4}}}][eqn: = lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{f( theta )-f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )} over {theta - {pi } over {4}}}][eqn: =f`' LEFT ( { pi} over {4 } RIGHT )][eqn: =2]

따라서[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {} {S( theta )} over {LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {1} over {4} LEFT ( f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT ) ^{2}][eqn: = {1} over {4} TIMES 2 ^{2} =1]

[4점][2014년 10월]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 8]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 호 [eqn: rm AB]를 [eqn: n]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmA]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: rm P _{it `n-1}]이라 하자.
[eqn: 1 LEQ k LEQ n-1]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: rm B]에서 선분 [eqn: rm OP _{it k`}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{it k`}]라 하고, 삼각형 [eqn: rm OQ _{it k` rm} B]의 넓이를 [eqn: S _{k`}]라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} `= {alpha } over {pi }]일 때, [eqn: alpha]의 값을 구하시오.

32

[출제의도] 무한급수와 정적분을 활용하여 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rm OQ _{it k rm} B]에서

[eqn: ANGLE rm OBQ _{it k rm} it = ANGLE rm AOP _{it k rm} it = {k pi } over {2n}]이고 [eqn: {bar{rm OB it}} =8]이므로

[eqn: {bar{rm OQ _{it k rm} it}} =8sin {k pi } over {2n}], [eqn: {bar{rm BQ _{it k rm} it}} =8cos {k pi } over {2n}]

[eqn: S _{k`} = {1} over {2} TIMES ` {bar{rm OQ _{it k rm} it}} TIMES ` {bar{rm BQ _{it k rm} it}}# = {1} over {2} TIMES 8sin {k pi } over {2n} TIMES 8cos {k pi } over {2n} =16sin {k pi } over {n}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} =16 lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} sin {k pi } over {n}}]

[eqn: =16 int _{0} ^{1} {sin pi x``dx}][eqn: =16 LEFT [ - {1} over {pi } `cos pi x RIGHT ] _{0} ^{1} = {32} over {pi }]

따라서 [eqn: alpha =32]

[4점][2015년 4월]

[eqn: rm P _{it n rm -1}]

[eqn: rm Q _{it k rm}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm P _{it k rm}]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P _{it 3 rm}]

[eqn: rm P _{it 2}]

[eqn: rm P _{it 1}]

[eqn: 8]

닫힌 구간 [eqn: {[0,~4]}] 에서 정의된 함수
[eqn: {f(x) = 2 root 2 `sin {pi over 4 } x]
의 그래프가 그림과 같고 직선 [eqn: {y = g(x)]가 [eqn: {y = f(x)] 의 그래프 위의 점 [eqn: {\A(1,~2)] 를 지난다.
직선 [eqn: y =g(x)] 가 [eqn: x]축에 평행할 때, 곡선 [eqn: y= f(x)]와 직선 [eqn: y = g(x)]에 둘러싸인 부분의 넓이는?

①

[eqn: g(x)]가 [eqn: x]축에 평행하므로 [eqn: g(x)=2]

[eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = g(x)] 에 의해 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: y = f(x)]가 [eqn: x =2] 에 대칭이므로

[eqn: int _{ 1} ^{3 } { (2 root 2 `sin pi over 4 x -2 }) dx]

=[eqn: 2int _{ 1} ^{2 } { left (2 root 2`sin pi over 4 x -2 } right) dx]

= [eqn: 16 over pi - 4]

[3점][2015년 6월]

① [eqn: 16 over pi - 4]	② [eqn: 17 over pi -4]	③ [eqn: 18 over pi - 4]
④ [eqn: 16 over pi - 2]	⑤ [eqn: 17 over pi -2]

양의 실수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=k`lnx]와 직선 [eqn: y=x]가 접할 때, 곡선 [eqn: y=k lnx], 직선 [eqn: y=x] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: ae^2`-be]이다. [eqn: 100ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.[eqn: )]

50

[출제의도] 정적분과 접선의 기울기를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f(x)=k`lnx]라 하자.

[eqn: y]

[eqn: RMO]

[eqn: x]

[eqn: RMP]

[eqn: rm Q]

[eqn: y=x]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

접점의 좌표를 [eqn: rm P LEFT ( ITp,``p RIGHT )]라 하면

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) =k`lnp=p]                … ㉠

[eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {x}]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( p RIGHT ) = {k} over {p} =1] … ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: p=e], [eqn: k=e]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e`lnx]

구하고자 하는 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S=](삼각형 [eqn: RMOPQ]의 넓이)-[eqn: int _{1} ^{e} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = {1} over {2} e ^{2} - int _{1} ^{e} {e`lnxdx}]

[eqn: = {1} over {2} e ^{2} -e LEFT [ x`lnx-x RIGHT ] _{1} ^{`e}]

[eqn: = {1} over {2} e ^{2} -e LEFT ( e`lne-e+1 RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} e ^{2} -e]

따라서 [eqn: a= {1} over {2}], [eqn: b=1]이므로

[eqn: 100ab=50]

[4점][2015년 7월]

[해설] 미적분2-(6)적분-(b)넓이,부피