수 리 영 역

부정적분, 정적분

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수 리 영 역

부정적분, 정적분

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년) 기출

단원 : 적분 (부정적분, 정적분)

성명			수험번호

16

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f`(x)]가 다음 조건을 만족한다.
[eqn: f`(1-x)=1-f(x)]
다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?

⑤

[eqn: f(1-x)=1-f(x)``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(1-x)=f`'(x)``` CDOTS CDOTS ```㉡]

① [eqn: x=0]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: f(0)+f(1)=1]

② [eqn: x=0]을 [eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: f`'(0)+f`'(1)]

④ [eqn: x= {1} over {2}]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]

③ [eqn: ㉠]의 양변을 정적분하면

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)} ``dx= int _{0} ^{1} {1} ``dx- int _{0} ^{1} {f(x)} ``dx]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)} ``dx= int _{0} ^{1} {f(x)} ``dx]이므로

[eqn: THEREFORE ``` int _{0} ^{1} {f(x)} ``dx= {1} over {2}]

[참고]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)} ``dx]에서

[eqn: 1-x=t]로 치환하고 [eqn: t]에 관하여 미분하면 [eqn: -dx=dt]

[eqn: THEREFORE ``` int _{0} ^{1} {f(1-x)} ``dx= int _{0} ^{1} {f(t)} ``(-dt)]

[eqn: = int _{0} ^{1} {f(t)} ``dt= int _{0} ^{1} {f(x)} ``dx]

[별해]

주어진 함수는 점 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,``` {1} over {2} RIGHT )]에 대하여 대칭인 연속함수이다.

① [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f``(1-0) = 1- f``(0)]

[eqn: THEREFORE ```f`(1)+f`(0)=1]

② [eqn: -f` prime (1-x)=-f` prime (x),```f` prime (1-0)=-f` prime (0)]

[eqn: THEREFORE ```f` prime (1)=f` prime (0)]

③ [eqn: int _{0} ^{1} {} f`(x)dx=(f`(0)+f`(1)) TIMES 1 TIMES {1} over {2}][eqn: = 1 over 2]

④ [eqn: f``left(1- 1 over 2 right) = 1- f``left( 1 over 2 right)] [eqn: RARROW ````2f`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =1]

[eqn: THEREFORE ```f`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]

⑤ [eqn: f``(0)=0]이라고 반드시 말할 수는 없다.

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: f`(0)+f`(1)=1]	②　[eqn: f`'(0)=f` prime (1)]
③　[eqn: int _{0} ^{1} {} f`(x)``dx= {1} over {2}]	④　[eqn: f`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `= {1} over {2}]
⑤　[eqn: f`(0)=0]

다음 그림은 [eqn: 0 LEQ x LEQ 4]에서 정의된 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프이다. 정적분[eqn: INT _{0}^{1} f``(2x+1)dx]의 값은?

④

[eqn: 2x+1=t ``]로 놓으면

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t =1], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t =3]

[eqn: 2 dx = dt ``], [eqn: dx = 1 over 2 dt ``]

[eqn: int_0^1 f``(2x+1) `dx``][eqn: = int_1^3 f``(t) `. 1 over 2 dt``][eqn: = 1 over 2 int_1^3 f``(t) ` dt``]

[eqn: = 1 over 2 left( int_1^2 f``(t) ` dt`+ int_2^3 f``(t) ` dt`` right)][eqn: = 1 over 2 left( int_1^2 (2t-1) ` dt`+ int_2^3 3 ` dt`` right)]

[eqn: = 1 over 2 left( left[ t^2 -t ` right]_1^2 + [3t]_2^3 ``right)][eqn: = 1 over 2 (2+3)][eqn: = 5 over 2]

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 3 over 2]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 5 over 2]	⑤　[eqn: 3]

정적분 [eqn: INT _{ 0}^{ pi} (1-cos^3 `x) cosx``sinx``dx] 의 값은?

③

[eqn: cosx=t ``]로 치환하면[eqn: - sinx `dx = dt ``]

[eqn: cases {x=0``→``t=1#x=pi ``→``t =-1}]

(준식)[eqn: = int_-1^1 (1-t`^3 `) t `(-dt `)][eqn: = int_-1 ^1 t `(1-t`^3 `) dt ``]

[eqn: = int_-1 ^1 (t - t`^4 `) dt ``][eqn: = 2 int_0^1 (-t`^4 `) `dt ``] [eqn: = 2 left[ - {t`^5} over 5 right]_0^1][eqn: = - 2 over 5]

[1점][1995년 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: - 1 over 5]	③　[eqn: - 2 over 5]

④　[eqn: - 3 over 5]	⑤　[eqn: - {4} over {5}]

정적분 [eqn: int_-1^1 |`x`|`e^x``d`x`]의 값은?

②

[eqn: int _{-1} ^{1} {} |``x``|`e ^{x} `dx``][eqn: = int _{-1} ^{0} {} -x`e ^{x} `dx``+ int _{0} ^{1} {} x`e ^{x} `dx``]

[eqn: = LEFT [ -x`e ^{x} RIGHT ] _{-1} ^{0} - int _{-1} ^{0} {} (-1`e ^{x} `)dx``][eqn: + LEFT [ x`e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {} (1`e ^{x} `)dx``]

[eqn: =0-e ^{-1} +[e ^{x} ] _{-1} ^{0} +e-0-[e ^{x} ] _{0} ^{1}]

[eqn: =2-2e ^{-1}][eqn: = 2(1-e^-1 `)]

[1점][1996년 수능]

①　[eqn: 2(e+1)]	②　[eqn: 2(1-e^-1 )]	③　[eqn: 2(1-e-e^-1 )]

④　[eqn: 2(e^-1 -e)]	⑤　[eqn: 2(e+e^-1 )]

다음 정적분 중 그 값이 [eqn: int_a ^b 1 over x `dx ``]와 같은 것은?
(단, [eqn: 0<a<b``])

②

[eqn: int_a ^b 1 over x `dx ``][eqn: = left[ln|x`| right]_a^b = lnb - lna][eqn: = ln{b over a }]

① [eqn: int_a+1 ^b+1 1 over x `dx ``][eqn: = ln b+1 over a+1]

② [eqn: int_2a ^2b 1 over x `dx ``][eqn: = ln 2b over 2a = ln b over a]

③ [eqn: int_{a^2} ^{b^2} 1 over x `dx ``][eqn: = ln b^2 over a^2 = 2 ln b over a]

④ [eqn: int_{sqrt a} ^{sqrt b} 1 over x `dx ``][eqn: = ln sqrtb over sqrta = 1 over 2 ln b over a]

⑤ [eqn: int_{1 over a} ^{1 over b} 1 over x `dx ``][eqn: = ln {1 over b} over {1 over a} = ln a over b]

[3점][1999년 수능]

① [eqn: int_a+1 ^b+1 1 over x `dx ``]	② [eqn: int_2a ^2b 1 over x `dx ``]	③ [eqn: int _{a ^{2}} ^{b ^{2}} {} {1} over {x} `dx]

④ [eqn: int_{sqrt a} ^{sqrt b} 1 over x `dx ``]	⑤ [eqn: int_{1 over a} ^{1 over b} 1 over x `dx ``]

정적분 [eqn: INT _{ e}^{e^2 } { 3(ln`x)^2} over {x }dx]의 값은?

⑤

[eqn: ln x =t`]라 하면 [eqn: 1over x d x=dt`]

[eqn: x=e^2]일 때 [eqn: t=2], [eqn: x=e`]일 때 [eqn: t=1]이므로

준 식 [eqn: =int from1to2 3t^2 dt =7]

[2점][2000년 수능]

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 4]	③　[eqn: 5]

④　[eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

두 함수 [eqn: f(x)=ax+b]와 [eqn: g(x)= { e}^{x }]가
[eqn: f(g(x))= INT _{ 0}^{x }f(t)g(t)dt-x {e }^{x }+3]
을 만족할 때, [eqn: f(2)]의 값은?

①

주어진 식 [eqn: f(g(x)) = int_0^x f(t)g(t) dt - xe^x + 3]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f ``prime (g(x))` g`prime(x) = f(x)g(x) - (1+x)e^x]

이 때, 두 함수 [eqn: f`(x)=ax+b,```g`(x)=e ^{x}]을 대입하면

[eqn: ae ^{x} =(ax+b)e ^{x} -(1+x)e ^{x}][eqn: = LEFT { (a-1)x+(b-1) RIGHT } ·e ^{x}]

[eqn: THEREFORE ```a-1=0,```a=b-1]

즉, [eqn: a=1,```b=2]

따라서 [eqn: f(2) = 1・2 + 2 = 4]이다.

[3점][2002년 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: -2]	⑤　[eqn: -4]

포물선 [eqn: y= x^2] 위의 한 점 [eqn: rmP(itx,```y)]에서 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `(x)]라 할 때, [eqn: INT _{ 0}^{1 } tan theta`(x) dx]의 값은?

⑤

포물선 [eqn: y= x^2] 위의 한 점 [eqn: P LEFT ( x,```y RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta left ( x right )]이므로 [eqn: tan theta left ( x right )]는 이 접선의 기울기가 된다.

[eqn: y = x^2]의 도함수는 [eqn: y'=2x]이므로 [eqn: tan` theta left ( x right ) = 2 x`]

[eqn: THEREFORE ~ int _{0} ^{1} {} tan theta LEFT ( x RIGHT ) dx`= int _{0} ^{1} {} 2xdx= LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} `=1]

[2점][2002년 수능]

①　[eqn: {root 3} over {3}]	②　[eqn: {1} over {3}]	③　[eqn: {1} over {2}]

④　[eqn: {root 2} over {2}]	⑤　[eqn: 1]

함수 [eqn: f`(x`)]는 연속함수이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 등식이 성립한다.
[eqn: f`(x)-2 int _{0} ^{x} {} e ^{t} `f`(t)``dt=1]
이때, [eqn: f` '' (0)]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이고, [eqn: f` '' (x)]는 [eqn: f`(x)]의 이계도함수이다.)

③

[eqn: f`(x`)-2 int_0^x e^t`f`(t`)` dt`=1`]에서

① [eqn: f`(0`)-0`=`1~~ THEREFORE ~f`(0`)=1]

② [eqn: f``'`(x`)-2e^x cdot f`(x`)=0]이므로 [eqn: f``'`(0`)-2f`(0`)=0]

[eqn: THEREFORE ~f``'`(0`)=2]

③ [eqn: f``''`(x`)-2 LEFT ( e^x cdot f`(x`)+e^x cdot f``'`(x`) RIGHT )=0]이므로

[eqn: f``''`(0`)-2 LEFT ( f`(0`)+ f``'`(0`) RIGHT )=0]

[eqn: THEREFORE ~f``''`(0`)=2(1+2`)=6]

[3점][2003년 수능]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

곡선 [eqn: y=3 sqrt {x-9}]와 이 곡선 위의 점 [eqn: (18,```9)]에서의 접선 및 [eqn: x``]축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

[eqn: 27]

[eqn: y=3 sqrt {x-9}]에서 [eqn: y` prime = {3} over {2} `· {1} over {sqrt {x-9}}]

[eqn: x`=`18`]에서의 접선의 기울기 [eqn: m`]은

[eqn: m`=`3 over 2`× 1 over root9`=`1 over 2]

따라서, 접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} (x-18)+9= {1} over {2} x]

따라서, 구하는 넓이는

[eqn: {1} over {2} ` TIMES 18` TIMES 9- int _{9} ^{18} {} 3 sqrt {x-9} `dx][eqn: =81-3 TIMES {2} over {3} TIMES LEFT [ (x-9) ^{{3} over {2}} RIGHT ] _{9} ^{18}][eqn: =81-2 TIMES 9 sqrt {9} =27]

[4점][2005년 수능]

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: f`(a)= int _{ 1}^{a }{ SQRT { ln`x`}}_` over {x }dx`]라 할 때, [eqn: f`(a^4 )]과 같은 것은?

②

[eqn: f`(a`)= INT _{1 }^{ a} { SQRT { ln x``} } over {x}`dx]

[eqn: sqrt {lnx} =t]라 하면 [eqn: ln`x=t ^{2}]

[eqn: x`=1``` -> ```t`=0], [eqn: x`=a``` -> ```t`= sqrt {lna}]

[eqn: {1} over {x} dx``=2t`` dt]

[eqn: f`(a`)= INT _{ { 0``} }^{SQRT {ln a }} 2t^2``dt``= LEFT [ {2} over {3} t^3 RIGHT ]_0^ {SQRT {ln a }}][eqn: = {2} over {3} (ln`a)^{3 over 2}]

[eqn: THEREFORE ```f`(a ^{4} )= {2} over {3} (lna ^{4} ) ^{{3} over {2}} = {2} over {3} CDOT 4 ^{{3} over {2}} (lna) ^{{3} over {2}} =8f`(a)]

[3점][2007년 수능]

① [eqn: 4f`(a)]	② [eqn: 8f`(a)]	③ [eqn: 12f`(a)]

④ [eqn: 16f`(a)]	⑤ [eqn: 20f`(a)]

폐구간 [eqn: [0,```1]]에서 정의된 연속함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: f`(0)=0], [eqn: f`(1)=1]이며, 개구간 [eqn: (0,```1)]에서 이계도함수를 갖고 [eqn: f``'(x)＞0], [eqn: f``''(x)＞0]일 때, [eqn: int _0 ^1 {LEFT { f ^{-1} (x)-f`(x) RIGHT } dx}]의 값과 같은 것은?

②

[eqn: f`'(x)>0,~f''(x)>0]이므로 연속함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 구간 [eqn: LEFT [ 0,```1 RIGHT ]]에서 아래로 볼록하게 증가한다.

또, 역함수 [eqn: f^-1 (x)]의 그래프는 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 다음 그래프와 같다.

이때, [eqn: int_0^1 "{"f^-1 (x) - f(x) "}"dx]의 값은 위 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같고, 이는 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이의 [eqn: 2]배와 같다. 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는 정적분의 정의에 의해

[eqn: int_0 ^1 "{" x - f(x)"}"dx][eqn: = lim_n->inf sum_k=1^n left{ k over n - f left( k over n right) right} 1 over n]이므로

[eqn: int_0^1 "{"f^-1 (x) - f(x) "}"dx][eqn: =2 int_0 ^1 "{" x - f(x)"}"dx]

[eqn: =2 lim_n->inf sum_k=1^n left{ k over n - f left( k over n right) right} 1 over n][eqn: = lim_n->inf sum_k=1^n left{ k over n - f left( k over n right) right} 2 over n]

[3점][2009년 수능]

① [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {2n}}]	② [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT. sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT . ` RIGHT } {2} over {n}}]

③ [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT. sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT . ` RIGHT } {1} over {n}}]	④ [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT. sum _{k=1} ^{n} LEFT { {k} over {2n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT . ` RIGHT } {1} over {n}}]

⑤ [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT. sum _{k=1} ^{n} LEFT { {2k} over {n} -f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT . ` RIGHT } {1} over {n`}}]

함수 [eqn: f`(x)]를 [eqn: f`(x)=INT _a^x \{ 2+sin(t^{2} ) \}dt]라 하자.
[eqn: f``''(a)=SQRT { 3`}a`]일 때, [eqn: (f^{-1} )'(0)]의 값은?

④

[eqn: f(x) = int_a^x "{"2+ sin (t^2 )"}"dt]에서 [eqn: f`'(x) = 2+sin x^2]이고

[eqn: f`''(x)= cos x^2 (2x ) = 2x `cos x^2]이다.

이때 [eqn: f`''(a) = 2a cos a^2 = root 3 a]에서 [eqn: cos a^2 = root3 over 2]

∴ [eqn: a^2 = pi over6]

한편, [eqn: f^-1 (0)= b]로 놓으면

[eqn: f(b) = int_a^b "{"2+ sin (t^2 )"}"dt =0]에서 [eqn: b=a]이다.

이때 [eqn: f`'(b) =f`'(a) = 2+sin a^2][eqn: =2+sin pi over 6 = 5 over 2]이므로

[eqn: (f^-1 )`' (0) = 1 over {f`'(b) }= 2over 5]

(단, [eqn: a`]는 [eqn: 0＜a＜ sqrt {{pi } over {2}}]인 상수이다.)

[4점][2009년 수능]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]

④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 두 함수 [eqn: f`` LEFT ( x RIGHT )``]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 정적분	[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f `' LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( 1-x RIGHT ) -g ' LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( 1-x RIGHT ) RIGHT }} dx]의 값을 [eqn: k``]라 하자. 옳은 것만은 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. (참)

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { f` prime (x)g(1-x)-g prime (x)f`(1-x) RIGHT } dx=k``` CDOTS CDOTS ```㉠]에서

[eqn: 1-x=t]로 놓으면 [eqn: -dx=dt]이고,

[eqn: x=0]이면 [eqn: t=1], [eqn: x=1]이면 [eqn: t=0]이므로

㉠에서 [eqn: -int from 1 to 0 left{f`'(1-t)g(t`)-g'(1-t)f`(t`) right}dt=k]

[eqn: int from 1 to 0 left{g'(1-t)f`(t`)-f`'(1-t)g(t`) right}dt=k]

[eqn: int from 0 to 1 left{f`(x)g'(1-x)-g(x)f`'(1-x) right}dx][eqn: =-k]

ㄴ. (참) [eqn: int from 0 to 1 left{f``'(x)g(1-x)-g'(x)f`(1-x) right}dx]

[eqn: = left[f`(x)g(1-x)right]_0^1 + int from 0 to 1 f`(x)g'(1-x)dx]

[eqn: - {left { left[g(x)f`(1-x)right]_0^1 + int from 0 to 1 g(x)f`'(1-x)dx right}}]

[eqn: =2 left{ f`(1)g(0)-f`(0)g(1)right}]

[eqn: + int from 0 to 1 left{f`(x)g'(1-x)-g(x)f`'(1-x)right} dx]

[eqn: =2 left{ f`(1)g(0)-f`(0)g(1)right}-k]

[eqn: THEREFORE ```2k=2 LEFT { f`(1)g(0)-f`(0)g(1) RIGHT } ``` CDOTS CDOTS ```㉡]

이때, [eqn: f`(0)=f`(1)], [eqn: g(0)=g(1)]이므로 [eqn: k=0]

ㄷ. (참) [eqn: g(0)=sin 0 =0], [eqn: g(1)=sin pi =0]이므로

㉡에서 [eqn: 2k=0]  ∴ [eqn: k=0]

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[4점][2010년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) g ' LEFT ( 1-x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) f `' LEFT ( 1-x RIGHT ) RIGHT }} dx=-k] ㄴ. [eqn: f`` LEFT ( 0 RIGHT ) =f``LEFT ( 1 RIGHT )]이고 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT )]이면, [eqn: k=0]이다. ㄷ. [eqn: f`` LEFT ( x RIGHT ) = rm ln LEFT ( 1+ it x ^{4} RIGHT )]이고 [eqn: LEFT . g(x RIGHT ) =`sin` pi x]이면, [eqn: k=0]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전제의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다.  모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2x)=2f(x)f'(x)]이고,
[eqn: f(a)=0,~ int _{ 2a} ^{4a } { f(x)}dx=k~(a>0,~0<k<1 )] 일 때,
[eqn: int _{ a} ^{2a } {{left{f(x) right}^2 }over x^2 }dx]의 값을 [eqn: k]로 나타낸 것은?

④

조건에서 [eqn: f(a)=0]이고 [eqn: f(2x)=2f(x)f'(x)]이므로
[eqn: f(2a)=2f(a)f'(a)=0] 또한 [eqn: f(4a)=2f(2a)f'(2a)=0]이다.

[eqn: int _{ a} ^{2a } {{left{f(x) right}^2 }over x^2 }dx] [eqn: = int_{a} ^{2a} {x^-2}{left{f(x) right}^2 dx]
[eqn: =[-x ^{-1} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} ] _{a} ^{2a} - int _{a} ^{2a} {-x ^{-1} BULLET 2f(x)f prime (x)dx}] [eqn: (BECAUSE]부분적분법)
[eqn: =0+ int _{a} ^{2a} {x ^{-1} BULLET 2f(x)f prime (x)dx}]
[eqn: = int _{ a} ^{2a } {{2f(x)f'(x) }over x }dx = int _{ a} ^{2a } {{f(2x)}overx }dx]
여기서 [eqn: 2x=t]로 치환하면 [eqn: 2dx=dt```` LRARROW````dx= 1over2 dt]
[eqn: cases{{x=a```->```t=2a}#{x=20```->```t=4a]로 변환되므로
[eqn: =int _{ 2a} ^{4a } {1over2 {f(t)}over{1over2 t} }dt = int _{ 2a} ^{4a } {f(t) overt }dt = k]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

① [eqn: k^2 over4]	② [eqn: k^2 over2]	③ [eqn: k^2]

④ [eqn: k]	⑤ [eqn: 2k]

실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx}]의 최솟값은

③

[해설]주어진 조건 (가), (나), (다)에 의하여 구간 [eqn: LEFT ( 0,`1 RIGHT )]에서 [eqn: f(x)=e ^{x}]임을 알 수 있다.

그런데 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 연속이다.

따라서 구간 [eqn: 1 LEQ x<2]에서 [eqn: f(e)=1,```f prime (1)=e]이고 (나) 조건에 의하여 [eqn: f prime (x)]는 증가하는 함수이므로 [eqn: e=f prime LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ f prime (x)]이다.

이 때, [eqn: 1 LEQ x<2]인 구간에서 이 식의 양변을 적분하면

[eqn: int _{1} ^{x} {e`dx LEQ int _{1} ^{x} {f prime LEFT ( x RIGHT ) dx}}] 즉 [eqn: ex LEQ f(x)]이므로 다음 부등식이 성립한다.

[eqn: int _{1} ^{2} {e`xdx LEQ int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{2} {f(x)dx= int _{0} ^{1} {f(x)dx`+ int _{1} ^{2} {f(x)dx}}}]

[eqn: GEQ int _{0} ^{1} {e ^{x} dx+ {3e} over {2} `= {5e} over {2} `-1}]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: {5e} over {2} `-1]이다

[[eqn: 4]점][2011년 수능]

(가) [eqn: f(0)=1,``f prime (0)=1]

(나) [eqn: 0<a<b<2]이면 [eqn: f prime (a) LEQ f prime (b)]이다.

(다) 구간 [eqn: LEFT ( 0,`1 RIGHT )]에서 [eqn: f prime prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x}]이다.

① [eqn: {1} over {2} `e-1]	②  [eqn: {3} over {2} `e-1]	③ [eqn: {5} over {2} `e-1]

④ [eqn: {7} over {2} `e-2]	⑤ [eqn: {9} over {2} `e-2]

연속함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x)= {pi } over {2} int _{1} ^{x+1} {f(t)dt}]
이다. [eqn: f(1)=1]일 때, [eqn: pi ^{2} int _{0} ^{1} {xf(x+1)dx}]	의 값은?

①

[출제의도] 주어진 조건과 부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)= {pi } over {2} int _{1} ^{x+1} {f(t)dt}]    ……… ㉠

㉠의 양변을 □에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)= {pi } over {2} f(x+1)]이므로  [eqn: f(x+1)= {2} over {pi } f`'(x)]

[eqn: pi ^{2} int _{0} ^{1} {xf(x+1)dx= pi ^{2} int _{0} ^{1} {{x TIMES {2} over {pi } f`'(x)}dx=2 pi int _{0} ^{1} {xf`'(x)dx}}}]

[eqn: int _{0} ^{1} {xf`'(x)dx}]에서 [eqn: u=x,```v`'=f`'(x)]로 놓으면

[eqn: u`'=1,```v=f(x)]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {xf` prime (x)dx} = LEFT [ xf(x) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {f(x)dx} =f(1)- int _{0} ^{1} {f(x)dx}]

한편, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: f(1)=1]에서 [eqn: f(-1)=-1]이다.

[eqn: -1=f(-1)= {pi } over {2} int _{0} ^{1} {f(t)dt}]에서 [eqn: int _{0} ^{1} {f(t)dt= {2} over {pi }}]

[eqn: THEREFORE ` pi ^{2} int _{0} ^{1} {xf(x+1)dx`=2 pi TIMES {f(1)- int _{0} ^{1} {f(x)dx}}]

[eqn: =2 pi TIMES (1- {2} over {pi } )=2( pi -2)]

[4점][2014년 수능]

① [eqn: 2( pi -2)]	② [eqn: 2 pi -3]	③ [eqn: 2( pi -1)]

④ [eqn: 2 pi -1]	⑤ [eqn: 2 pi]

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=e ^{x ^{2}} + int _{0} ^{1} {t`f(t)} `dt] 를 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{1} {x`f(x)} `dx]의 값은?

④

[eqn: f(x)= e^x^2 + int from 0 to 1 t f(t)dt]에서 [eqn: int from 0 to 1 t f(t)dt=a]라 하면

[eqn: f(x)=e ^{x ^{2}} +a]이므로

[eqn: a= int _{0} ^{1} {t`cdot`f(t)} `dt][eqn: = int _{0} ^{1} {t LEFT ( e ^{t ^{2}} +a RIGHT )} `dt]

[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( t` CDOT `e ^{t ^{2}} +at RIGHT )} `dt][eqn: = LEFT [ {1} over {2} e ^{t ^{2}} + {1} over {2} at ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = {1} over {2} e+ {1} over {2} a- {1} over {2}]

[eqn: a= {1} over {2} e+ {1} over {2} a- {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ```a=e-1]

[3점][2013년 수능]

① [eqn: e-2]	② [eqn: {e-1} over {2}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: {e+1} over {2}]

[eqn: int_0^1 3 sqrt { x} dx]의 값은?

②

[eqn: int _{0} ^{1} {3 sqrt {x} `dx=3 int _{0} ^{1} {x ^{{1} over {2}}} dx=3 LEFT [ {2} over {3} x ^{{3} over {2}} RIGHT ] _{0} ^{1}} `=3 TIMES {2} over {3} =2]

[3점][2015년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = 1 overx]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} `` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) {2} over {n}]의 값은?

②

[eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} `f(1+ {2k} over {n} ) {2} over {n} = int _{1} ^{3} {f(x)dx= int _{1} ^{3} {{1} over {x} dx= LEFT [ ln`x RIGHT ] _{1} ^{3}}} `=ln`3}]

[3점][2015년 수능]

① [eqn: ln`2]	② [eqn: ln`3]	③ [eqn: 2 ln`2]	④ [eqn: ln`5]	⑤ [eqn: ln`6]

[eqn: int_0 ^e {5 overx+e }dx]의 값은?

⑤

[출제의도] 정적분의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: int_0 ^e {5 overx+e }dx][eqn: = LEFT [ 5ln LEFT ( x+e RIGHT ) pile{it#it} RIGHT ] _{0} ^{e}]
[eqn: =5ln2e-5lne]
[eqn: =5ln2]

[3점][2016년 수능]

① [eqn: ln`2]	② [eqn: 2`ln`2]	③ [eqn: 3`ln`2]
④ [eqn: 4`ln`2]	⑤ [eqn: 5`ln`2]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 35]

[출제의도] 정적분의 성질과 연속함수의 성질을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

(나)에 주어진 등식에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]	[eqn: ······] ㉠

(나)에 주어진 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)= sqrt {4-2f LEFT ( x RIGHT )}]

[eqn: THEREFORE ~ LEFT { f`'(x) RIGHT } ^{2} =4-2f LEFT ( x RIGHT )] (단, [eqn: f`'(x) GEQ 0,~f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 2])[eqn: ······] ㉡

[eqn: x LEQ b`]일 때

[eqn: f`'(x)=2a LEFT ( x-b RIGHT )]이므로 ㉡에서

[eqn: 4a ^{2} LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} =4-2 LEFT { a LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +c RIGHT }]	[eqn: ······] ㉢

㉢이 [eqn: x LEQ b`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로

[eqn: 4a ^{2} = it -2a`]이고 [eqn: 4-2c=0]이다.

[eqn: THEREFORE ~a= it - {1} over {2} ,~c=2]

따라서 [eqn: x LEQ b`]일 때

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it - {1} over {2} LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +2]

이때 [eqn: b<0]이면 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =2]이고 ㉠에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`'(x) GEQ 0]이라는 ㉡의 조건에 모순이다.

[eqn: THEREFORE ~b GEQ 0]

㉠에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = it - {1} over {2} b ^{2} +2=0]

[eqn: THEREFORE ~b ^{2} =4]

[eqn: THEREFORE ~b=2` LEFT ( BECAUSE ~b GEQ 0 RIGHT )]

이때 ㉡에서 [eqn: f`'(x) GEQ 0]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2]이므로

[eqn: x>b`]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]이다.

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{it - {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#~~~~~~2&LEFT ( x>2 RIGHT )}}]

이므로

[eqn: int _{0} ^{6} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx]
[eqn: = int _{0} ^{2} {} LEFT { - {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2 RIGHT } dx+ int _{2} ^{6} {} 2dx]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {6} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3} +2x RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ 2x pile{it#it} RIGHT ] _{2} ^{6}]
[eqn: = LEFT ( 4- {8} over {6} RIGHT ) + LEFT ( 12-4 RIGHT )]
[eqn: =12- {4} over {3} = {32} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~p+q=3+32=35]

(가) [eqn: x le b]일 때, [eqn: f(x)=a(x-b)^2 +c`]이다. (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=int_0^x {root4-2f(t)} dt]이다.

일 때, [eqn: int_0^6 {f(x)}dx = q overp]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2016년 수능]

[eqn: int _{2pi} ^{3 pi } `{x ``sin`x `}`dx``]의 값은?

⑤

부분적분법에 의해

[eqn: int x sin x dx = x(-cos x ) - int 1․(-cosx ) dx =]

[eqn: -x cos x +sinx +C] 이므로

[eqn: int_2pi ^3pi x sin x dx][eqn: = left[ -x cos x + sin x right]_2pi ^3pi ``]

[eqn: =-3π(-1)+0-(-2π)․1-0 ``][eqn: = 5pi]

[3점][2005년 9월]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 3 pi]	④ [eqn: 4 pi]	⑤ [eqn: 5 pi]

정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {2x`e ^{x ^{2}}} ``dx``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑)

①

[eqn: x ^{2} `=t``]로 치환하면 [eqn: 2x`dx=dt``]

[eqn: x=0``]일 때 [eqn: t=0``], [eqn: x=1``]일 때 [eqn: t=1``]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{1} {2xe ^{x ^{2}} `dx} = int _{0} ^{1} {e ^{t} `dt= LEFT [ e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{1} =e-1``}]

[3점][2005년 10월]

① [eqn: e-1``]	② [eqn: e``]	③ [eqn: e+1``]
④ [eqn: e^2 -1``]	⑤ [eqn: e^2 ``]

실수전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f`(x`)``]가
[eqn: f`(x`)=e ^{x} -1+ int _{0} ^{x} {f`(t`)} ``dt``]
를 만족할 때, <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?(단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑)

④

ㄱ.주어진 식에 [eqn: x=0``]을 대입하면

[eqn: f(0)=e ^{0} -1+ int _{0} ^{0} {f(t)dt} =1-1+0=0``]   ∴ 참

ㄴ. 주어진 식을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f` prime (x)=e ^{x} +f(x)``], [eqn: f` prime (0)=e ^{0} +f(0)=1``] ∴ 거짓

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: f` prime (x)-f(x)=e ^{x} >0``]이므로

[eqn: f` prime (x)>f(x)``]   ∴ 참

[4점][2005년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f``(0`)=0``]이다. ㄴ. [eqn: f`` prime (0`)=0``]이다. ㄷ. 모든 실수 [eqn: x ``]에 대하여 [eqn: f`` prime (x`)>f`(x`)``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[eqn: a _{n} `= int _{0} ^{{pi } over {4}}}{}`tan ^{n} ``x~dx``(`n`=`1,~2,~3,~ CDOTS `)`]으로 정의할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: a _{1} `+`a _{3} `=` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan`x``dx```+` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan ^{3} `x``dx``]

[eqn: `=` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan`x`(1`+`tan ^{2} `x`)`dx``][eqn: `=` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan`x`````sec ^{2} `x``dx``]

[eqn: tan`x`=`t`]일 때, [eqn: sec ^{2} `x`=` {dt} over {dx} ``]이므로

[eqn: `` int _{0} ^{{pi } over {4}} {} `tan`x`````sec ^{2} `x``dx```=` int _{0} ^{1} {} `t```dt`] [eqn: `=` LEFT [ {1} over {2} `t ^{2} ` RIGHT ] _{0} ^{1} `=` {1} over {2} `] (참)

ㄴ. 마찬가지로 생각하면

[eqn: a _{2} `+`a _{4} `][eqn: ``=` int _{0} ^{1} {} `t ^{2} ```dt`][eqn: `=` LEFT [ {1} over {3} `t ^{3} ` RIGHT ] _{0} ^{1} `=` {1} over {3} `]

∴ [eqn: a _{1} `+a _{2} `+a _{3} `+a _{4} `=` {1} over {2} `+` {1} over {3} `](참)

ㄷ. 일반적으로 [eqn: a _{4k+1} `+a _{4k+2} `+a _{4k+3} `+a _{4k+4} ``]

[eqn: =`(a _{4k+1} `+a _{4k+3} `)+(a _{4k+2} `+a _{4k+4} `)`]

[eqn: ``=` int _{0} ^{1} {} `t ^{4k+1} ````dt`][eqn: ``+ int _{0} ^{1} {} `t ^{4k+2} ````dt`][eqn: =` {1} over {4k+2} `+` {1} over {4k+3} `]

∴ [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} `=`][eqn: sum _{k=0} ^{24} (a _{4k+1} `+a _{4k+2} `+a _{4k+3} `+a _{4k+4} `)``]

[eqn: =` sum _{k=0} ^{24} LEFT ( ` {1} over {4k+2} `+` {1} over {4k+3} ` RIGHT ) ``]

[eqn: =` {1} over {2} `+` {1} over {3} `+` {1} over {6} `+` {1} over {7} `+` CDOTS `+` {1} over {98} `+` {1} over {99} `] (거짓)

[4점][2006년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a _{1} `+a _{3} `=` {1} over {2} `] ㄴ. [eqn: a _{1} `+a _{2} `+a _{3} `+a _{4} `=` {1} over {2} `+` {1} over {3} `] ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} `=` {1} over {2} `+` {1} over {3} `+` {1} over {4} `+` CDOTS `+` {1} over {51} `]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` LEFT ( `n int _{0} ^{{1} over {n}} {{1} over {sqrt {x+1}}} dx RIGHT )``]의 값은?

①

[eqn: int _{ 0} ^{1over n } {1over{root{x+1}} } dx = int _{ 0} ^{1over n } { (x+1)^{- 1over2}} dx] [eqn: = {2(root n+1 -root n `)} over root n]

∴ [eqn: lim _{ n->inf} `left(n int _{ 0} ^{1over n } {1over{root{x+1}} } dx right)][eqn: =lim _{ n->inf} {2 root n }over {root n+1 + root n } =1]

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2root2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f`(x)`=INT _{ 0}^{ x} 1over{1+t`^6}`dt`]에 대하여 상수 [eqn: a`]가 [eqn: f`(a)= 1over2`]을 만족시킬 때, [eqn: INT _{ 0}^{ a} {e`^{f`(x)}}over{1+x`^6}`dx`] 의 값은?

②

[eqn: f(x) = int _{ 0} ^{x } { 1 over{1+t^6}}dt] 이므로 [eqn: f'(x) = 1 over {1+x^6}]

[eqn: e^f(x) = t] 로 치환하면

[eqn: int _{ 0} ^{a } {e^f(x) over {1+x^6} }dx = int _{ 1} ^{sqrte } {1 }``dt =sqrte -1]  ([eqn: because `~e^f(x) f'(x) `dx =dt])

[3점][2009년 9월]

① [eqn: {sqrt e -1}over2]	② [eqn: sqrt e -1`]	③ [eqn: 1`]
④ [eqn: {sqrt e +1}over2]	⑤[eqn: sqrt e +1`]

함수 [eqn: f`(x)= sin x^2 over 2]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: 0<x^2 <1] 이므로, [eqn: x^2 sin x^2 over2 ``<``sin x^2 over2]  [eqn: cdotscdots①]

[eqn: 0< x^2 over 2 < 1over 2 < pi over 6] 이므로, [eqn: sin x^2 over2 <cos x^2 over2] [eqn: cdotscdots②]

①, ② 에 의해 [eqn: x^2 sin x^2 over2 ``<``f(x)``<``cos x^2 over2]   (참)

ㄴ. [eqn: f'(x) =x cos x^2 over 2] , [eqn: f''(x) =cos x^2 over 2 - x^2 sin x^2 over 2 >0]

([eqn: ~because `]ㄱ. 에 의해 )

따라서, [eqn: y=f(x)] 는 [eqn: 0<x <1] 에서 아래로 볼록. (거짓)

ㄷ.

[eqn: sin 1 over 2]

[eqn: 1]

[eqn: O]

[eqn: y=left(sin 1 over 2right) x]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 0<x <1] 에서 아래로 볼록이므로, [그림1]에서 [eqn: f(x)<= left(sin 1 over 2right) x]

따라서, [eqn: int _{ 0} ^{ 1} {f(x) }``dx <= int _{ 0} ^{1 } {left(sin 1 over 2right) x }``dx = 1 over 2 rm sin 1 over 2]   (참)

[4점][2009년 9월]

[보 기]

ㄱ. [eqn: 0`<x`<1`]일 때, [eqn: x`^2`sin x^2 over2 `< f`(x)`< cos x^2 over2`]이다.

ㄴ. 구간 [eqn: (0,``1)`]에서 곡선 [eqn: y=f`(x)`]는 위로 볼록하다.

ㄷ. [eqn: INT _{0 }^{1 } f`(x)`dx`≦ 1over2 `sin 1over2`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

다항함수 [eqn: f(`x`)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(-x)`=`-f(`x`)``]를 만족시킨다. 함수 [eqn: g(`x`)``]를

[eqn: g`(`x`)`=` {d} over {d`x} ` int _{- {pi } over {2}} ^{x} {cosx CDOT f`(`t`)`dt`} ``]

라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

[eqn: g`(`x`)`=`-sinx int _{- {pi } over {2}} ^{x} {} f(t)dt+cosx CDOT f(x)]

ㄱ. [eqn: g`(`0`)`][eqn: =``0`] (∵[eqn: f(`0`)=0]) (참)

ㄴ. [eqn: g(-x)=-sin(-x) int _{- {pi } over {2}} ^{-x} {} f(t)dt+cos(-x) CDOT f(-x)]

[eqn: =sinx`` LEFT ( int _{- {pi } over {2}} ^{-x} {} f(t)dt+ int _{-x} ^{x} {} f(t)dt right)-cosx CDOT f(x) RIGHT .]

[eqn: =sinx int _{- {pi } over {2}} ^{x} {} f(t)dt-cosx CDOT f(x)]=[eqn: -g(x)] (참)

ㄷ. [eqn: g `LEFT (` - {pi } over {2} `RIGHT ) `=`g`(`0`)]이므로 평균값의 정리에 의해 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ,``0 RIGHT )]에서 [eqn: g`'(c) =0]인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다. 마찬가지로 [eqn: LEFT ( 0,~ {pi } over {2} RIGHT )]에서 [eqn: g`'(c) =0]인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다. (참)

[4점][2010년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: g`(`0`)``=``0`] ㄴ. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g`(`-x`)`=`-g`(`x`)``]이다. ㄷ. [eqn: g` prime (`c`)`=`0``]인 실수 [eqn: c``]가 개구간 [eqn: left( - pi over 2`,`pi over 2`right )``]에서 적어도 두 개 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(0)=1], [eqn: f(1)=2]

(나) [eqn: f`'`(x)>0],  [eqn: f`''(x)>0] (단, [eqn: 0<x<1])

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. 구간 [eqn: (`0,``1`)]에서 [eqn: {d` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx} `=2f(x)f` prime (x)`]

[eqn: {d ^{2} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx ^{2}} `=2 LEFT { f` prime (x) RIGHT } ^{2} `+2f(x)f` '' (x)]이므로

[eqn: {d ^{2} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx ^{2}} >0]

[eqn: THEREFORE `]함수 [eqn: y= LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}]의 그래프는 구간 [eqn: (`0,```1`)]에서 아래로 볼록하다. (참)

ㄴ. [eqn: 1-x=t]라 하면

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)dx= int _{0} ^{1} {f(t)dt}}]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx=2 int _{0} ^{1} {f(x)dx}}]

조건에 의해 구간 [eqn: (`0,```1`)]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같고

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm`A(`1,``0`)]

[eqn: rm`B(`1,``2`)]

[eqn: rm`C(`0,``1`)]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}]의 값은 사다리꼴 [eqn: rm COAB]의 넓이보다 작다.

[eqn: therefore] [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx<3}] (참)

ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해

[eqn: {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n}][eqn: GEQ int _{{k-1} over {n}} ^{{k} over {n}} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx}]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n}][eqn: GEQ int _{0} ^{1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx}](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[4점][2011년 4월]

		보 기
ㄱ. 함수 [eqn: y= LEFT { f(x) RIGHT } ^{`2}`]의 그래프는 구간 [eqn: (`0,~1)]에서 아래로 볼록하다. ㄴ. [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx<3}] ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n} GEQ int _{0} ^{1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} `dx}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: int _{0 } ^{ 1} {left( 1+2e^-x right) }`dx - int _{1} ^{e} {` {lnx} over {x ^{`2}} `} dx`]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

[eqn: int _{0 } ^{ 1} {left( 1+2e^-x right) }`dx - int _{1} ^{e} {` {lnx} over {x ^{`2}} `} dx`][eqn: = LEFT [ x-2e ^{-x} RIGHT ] _{0} ^{1} - LEFT { LEFT [ - {ln`x} over {x} RIGHT ] _{1} ^{e} - int _{1} ^{e} {LEFT. LEFT ( - {1} over {x ^{2}} RIGHT ) dx` RIGHT }} RIGHT .]

[eqn: =2]

[4점][2011년 4월]

정의역이 [eqn: LEFT { `x`` LEFT | ```x>-1`` RIGHT } ``]인 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여
[eqn: f`'`(x)= 1 over {(1+x^3 )^2 } ``]이고, 함수 [eqn: g(x)= x^2 ``]일 때,

[eqn: int _{ 0} ^{1 } {f(x) g`'`(x) dx } = 1 over6]

이다. [eqn: f(1)``]의 값은?

④

[eqn: int _{0} ^{1} {eqalign{f(x)g prime (x)dx# }}]

[eqn: = LEFT [ f(x)g(x) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {f'(x)} g(x)dx]

[eqn: =f(1)g(1)-f(0)g(0)- int _{0} ^{1} {{x ^{2}} over {(1+x ^{3} ) ^{2}}} dx]

[eqn: g(1)=1,``g(0)=0]이고

[eqn: 1+x ^{3} =t]로 치환하면

[eqn: f(1)- int _{1} ^{2} {{1} over {t ^{2}} `dt}][eqn: =f(1)- {1} over {6}]

[eqn: f(1)- {1} over {6} = {1} over {6}]이므로

[eqn: f(1)= {1} over {3}]

[4점][2011년 6월]

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 2 over 9]	③ [eqn: 5 over 18]	④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 7 over 18]

[eqn: LEFT . lim _{n` -> ` INF } {} `` sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {4n ^{2} - LEFT ( n+k RIGHT ) ^{2}}} RIGHT .]의 값은?

④

[eqn: lim _{n` -> INF } {` sum _{`k=1} ^{n} {1} over {sqrt {4n ^{2} - LEFT ( n+k RIGHT ) ^{2}}}}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {{1} over {sqrt {4-x ^{2}}} dx} = int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {2}} {`d theta = {pi} over {3}}]

[4점][2011년 7월]

① [eqn: {pi } over {12}]	② [eqn: {pi } over {6}]	③ [eqn: {pi } over {4}]	④ [eqn: {pi} over {3}]	⑤ [eqn: {pi } over {2}]

구간 [eqn: LEFT [ 0,`` {pi } over {2} RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값은?

④

[출제의도]정적분과 미분의 관계를 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가?

조건(나)에서

[eqn: cos x `int_0^x`f(t)`dt` = - sin x `int_{pi over 2 }^x`f(t)`dt`]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: - sin x `int_0^x`f(t)`dt`+ cos x` cdotf(x)`] [eqn: = - cos x `int_{pi over 2 }^x`f(t)`dt` - sin x cdot``f(x)`]

등식의 양변에 [eqn: x= pi over 4`]를 대입하면

[eqn: - root2 over 2 int_0^{ pi over 4 }` f(t)`dt` + root2 over 2 `f left( pi over 4 right)`][eqn: = - root2 over 2 int_{pi over 2}^{pi over 4 }`f(t)`dt` - root2 over 2` f left( pi over 4 right)`]

[eqn: root2` f left( pi over 4 right) = root2 over 2 int_0^{ pi over 4 }`f(t)`dt` + root2 over 2 int_{ pi over 4 }^{pi over 2 }`f(t)`dt`]

[eqn: = root2 over 2 int_0^{ pi over 2 } `f(t`)dt`] [eqn: = root2 over 2 times 1 `] (∵ 조건(가) )

∴ [eqn: f left( pi over 4 right) = root2 over2 times 1over root2` = 1 over 2`]

[4점][2011년 9월]

(가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =1]

(나) [eqn: cos`x` int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sinx` int _{x} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} ` LEFT ( 단,`0 LEQ x LEQ {pi } over {2} RIGHT )]

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f`(`x`)]의 도함수가 [eqn: f`'(`x`)=sin`x`]일 때, [eqn: f( `pi `)-f(`0` )]의 값은?

⑤

[출제의도] 삼각함수의 부정적분을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)][eqn: = int _{} ^{} {sinxdx}][eqn: =``-cosx+C`] ([eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: THEREFORE] [eqn: f( pi )-f(0)][eqn: =`-cos pi +`cos0``=`2]

[3점][2011년 10월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin2x(sinx+1)dx} `]의 값은?

⑤

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin2x(sinx+1)dx=} int _{0} ^{{pi } over {2}} {2sinx`cos`x(sinx+1)dx}]

[eqn: sinx=t]로 치환하면 [eqn: cosx`dx=dt]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0]이고, [eqn: x= {pi } over {2}]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {(2t ^{2} +2t)`dt}][eqn: = LEFT [ {2t ^{3}} over {3} +t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} = {5} over {3}]

[3점][2012년 4월]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③  [eqn: 1]	④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -1]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} `= LEFT [ e ^{x} -x RIGHT ] _{0} ^{1} =e-2] (참)

ㄴ. [eqn: g(x)=f(x)-x]라 하자.

[eqn: x>0]에서 [eqn: g prime (x)=e ^{x} -1>0]이므로

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 0,` INF RIGHT )]에서 증가한다.
따라서 [eqn: g(0)=0]이므로 [eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)>x]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x+1 RIGHT )]이므로
[eqn: rm TRIANGLE OAB= {5(ite ^{5} -1)} over {2} ` it <` int _{0} ^{e ^{5`} -1} {f ^{`-1} (x)dx} `],

[eqn: ` int _{0} ^{e ^{5`} -1} {f ^{`-1} (x)dx} `< {(e ^{5} -1) ^{2}} over {2} = rm TRIANGLE OAC] (참)

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: 5]

[eqn: rm A LEFT ( ite ^{5} -1,`0 RIGHT )]

[eqn: e ^{5} -1]

[eqn: y=x]

[eqn: y=ln LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: y= {5} over {e ^{5} -1} x]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[4점][2012년 4월]

		보 기
ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} `=e-2] ㄴ. [eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)>x]이다. ㄷ. [eqn: {5 LEFT ( e ^{5} -1 RIGHT )} over {2} `<` int _{0} ^{e ^{5} -1} {f` ^{`-1} (x)dx} `< {(e ^{5} -1) ^{2}} over {2}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연속함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여
[eqn: int from a to x f(t)`dt=e^x +ax+a``]
를 만족시킬 때, [eqn: f(ln``2)``]의 값은? (단, [eqn: a``]는 상수이다.)

①

[eqn: int from 0 to 0 f(t)`dt =0``]이므로 [eqn: therefore```a=`-1]
준식의 양변을 미분하면 [eqn: f(x)=e^x -1``]
따라서 [eqn: f(ln``2)= 2-1 =1``]이다.

[3점][2012년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: e]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2e]

양의 실수를 정의역으로 하는 두 함수 [eqn: f(x)=x], [eqn: h(x)=lnx`]에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 [eqn: g(x)`]가 있다. 이때, [eqn: g(e)`]의 값은?

③

[출제의도] 미분과 적분의 관계를 이용하여 함수 추론하기

[eqn: LEFT { f(x)g(x) RIGHT } '`=`h(x)]이므로

[eqn: f(x)g(x)`=` int _{} ^{} {h(x)`} dx]

[eqn: x`g(x)`=` int _{} ^{} {ln`x``dx}]

부분적분법을 이용하여 정리하면

[eqn: x ` g(x) `=` x` ln x - x + C]

[eqn: 1timesg(1)`=`-1+C`=`-1]  [eqn: therefore ` C `=` 0]

[eqn: therefore ` g(x) `=` ln x - 1]

[eqn: therefore g(e) `=` 0]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

	(가) [eqn: f` prime (x)g(x)+f(x)g` prime (x)=h(x)] (나) [eqn: g(1)=`-1]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f(x)]는
[eqn: int _{ a} ^{b } {f(x)}`dx=3`,] [eqn: int _{a} ^{c} {f(x)} `dx=0]
을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F``(x)]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx} `=` LEFT [ pile{#} F(x) pile{#} RIGHT ] _{a} ^{b}][eqn: =F(b)-F(a)]

[eqn: THEREFORE F(b)-F(a)=3] [eqn: cdots]㉠

[eqn: int _{a} ^{c} {f(x)dx} `=` LEFT [ pile{#} F(x) pile{#} RIGHT ] _{a} ^{c}]

[eqn: =F(c)-F(a)]

[eqn: =F(c)-F(b)+F(b)-F(a)]

[eqn: =F(c)-F(b)+3][eqn: =0]

[eqn: THEREFORE F(c)-F(b)=-3] [eqn: cdots]㉡

㉠[eqn: +]㉡에서 [eqn: F(c)-F(a)=0]

[eqn: THEREFORE F(a)=F(c)] [eqn: cdots]㉢

ㄱ. ㉠에서 [eqn: F(b)=F(a)+3]  (참)

ㄴ. [eqn: f(x)]가 [eqn: x=d]에서 극솟값을 갖는다고 하면, [eqn: x>d]일 때, [eqn: F`primeprime(x)=f`prime(x)>0]이므로 점 [eqn: (c,`F(c))]는 곡선 [eqn: y=F(x)]의 변곡점이 아니다.  (거짓)

ㄷ. [eqn: -3<F(a)<0]이면 ㉠, ㉢에서

[eqn: 0<F(b)<3], [eqn: -3<F(c)<0]

이므로 [eqn: y=F(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: O]

[eqn: a]

-3

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: c]

[eqn: b]

[eqn: y=F(x)]

3

위 그림에서 [eqn: y=F(x)]의 그래프와 [eqn: x]축이 서로 다른 네 점에서 만나므로 방정식 [eqn: F(x)=0]은 서로 다른 네 실근을 갖는다.  (참)

따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[3점][2012년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: F``(b)=F``(a)+3] ㄴ. 점 [eqn: left(`c`,```F``(c)right)`]는 곡선 [eqn: y=F``(x)`]의 변곡점이다. ㄷ. [eqn: -3<F``(a)<0`]이면 방정식 [eqn: F``(x)=0`]은 서로 다른 네 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 함수 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(0)`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

④

[출제의도] 함수와 정적분의 관계를 이해한다.

(나)에서 [eqn: int _{} ^{} {}_0 ^{pi over 2} f(t) dt =k]라 두면 [eqn: g(x) =k cos x +3]

(가)에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: -k =(k+3+a)cdot0 -2]이므로 [eqn: k=2]이고, [eqn: x= pi over 2]를 대입하면 [eqn: 0=(3+a)cdot1 -2]이므로 [eqn: a=`-1]이다. 따라서 [eqn: g(x) = 2cos x +3]이므로

[eqn: int _ {piover2} ^x f(t) dt = (2cosx+2) sin x -2]

[eqn: f(x) =` -2 sin ^2 x + (2cos x +2 )cos x] ∴ [eqn: f(0) = 4]

[4점][2012년 10월]

(가) [eqn: int _{{pi } over {2}}^{`x} {} f(t)dt= LEFT { `g(x)+a RIGHT } `sinx-2]

(나) [eqn: g(x)= int _{0} ^{ { pi} over {2 } } {} f(t)dt`cosx `+3`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

ㄱ. (참) 최소의 주기가 [eqn: 2``]이므로
[eqn: int from -2 to -1 f(x) `dx = int from 0 to 1 f(x) `dx] [eqn: cdots cdots] [eqn: ㉠]
[eqn: int from -1 to 0 f(x) `dx =int from 1 to 2 f(x) `dx] [eqn: cdots cdots] [eqn: ㉡]
[eqn: f(x)``]가 우함수이므로 [eqn: int from -1 to 0 f(x)`dx= int from 0 to 1 f(x)`dx]
따라서 [eqn: ㉠]과 [eqn: ㉡]은 같다.
[eqn: therefore```][eqn: int from -2 to 2 f(x)`dx &=4 int from 0 to 1 f(x)`dx]
ㄴ. (참) [eqn: f`'(x) &= {4x(x^2 -1)(x^4 +1)-(x^2 -1)^2 cdot 4x^3 } over {(x^4 +1)^2} #&= {4x(x^4 -1)} over {(x^4 +1)^2}]
최소의 주기가 [eqn: 2``]이므로
[eqn: 1<x<2``]에서 [eqn: f`'(x)``]는
[eqn: -1<x<0``]에서 [eqn: f`'(x)``]와 같고
이때 [eqn: f`'(x)>0``]
ㄷ. (참) [eqn: 0<x<1``]에서 [eqn: f`'(x)<0``]이므로

[eqn: int _{1} ^{3} {} x`` LEFT | ``f` prime (x)`` RIGHT | ``dx= int _{1} ^{2} {} x`f` prime (x)`dx- int _{2} ^{3} {} x`f` prime (x)`dx][eqn: = LEFT [ x _{`} ^{`} f(x) RIGHT ] _{1} ^{2} - int _{1} ^{2} {} f(x)`dx- LEFT [ x _{`} ^{`} f(x) RIGHT ] _{2} ^{3} + int _{2} ^{3} {} f(x)`dx][eqn: =2f(2)-f(1)- int _{-1} ^{0} {} f(x)`dx-3f(3)+2f(2)+ int _{0} ^{1} {} f(x)`dx][eqn: =4f(2)-4f(1)=4f(0)-4f(-1)=4f(0)=4]

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.

(가) [eqn: -1<=x<1``]일 때 [eqn: f(x)= {left(x^2 -1 right)^2 } over {x^4 +1} ``]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)``]이다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2012년 5월]

	<보기>
ㄱ. [eqn: int from -2 to 2 f(x)`dx=4 int from 0 to 1 f(x)`dx] ㄴ. [eqn: 1<x<2``]일 때, [eqn: f`'(x)>0``]이다. ㄷ. [eqn: int from 1 to 3 x ``left|``f`'(x)``right|``dx=4]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) `= {1} over {x} `-2}]에 대하여 [eqn: int _{1} ^{e} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값은?

③

[출제의도] 분수함수의 정적분 이해하기

[eqn: int _{1} ^{e} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} ``= int _{1} ^{e} {LEFT ( {1} over {x} -2` RIGHT ) `dx}]                                   [eqn: = LEFT [ lnx-2x _{{} _{`}} ^{{} ^{`}} RIGHT ] _{1} ^{e} =3-2e]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: 2-3e]	② [eqn: 1-2e]	③ [eqn: 3-2e]

④ [eqn: 1-e]	⑤ [eqn: 2-e]

그림은 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{```````````1 _{`}&```` LEFT ( x LEQ 0 RIGHT ) _{`}#`-x+1 ^{`}&```` LEFT ( x``>`0 RIGHT ) ^{`}}}]의 그래프이다.

③

[출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: x LEQ 0]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]이므로

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) `= int _{-1} ^{``0} {e ^{t} f LEFT ( t RIGHT ) `dt} ``= int _{-1} ^{``0} {e ^{t} `dt}]
[eqn: = LEFT [ e ^{t} RIGHT ] _{-1} ^{``0} =1- {1} over {e}] (참)

ㄴ. [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) =0]이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]이므로 [eqn: x=1]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: g prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(x)]	↗	[eqn: e-1- {1} over {e}]	↘

[eqn: THEREFORE] [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값 [eqn: e-1- {1} over {e}]을 갖는다. (거짓)

ㄷ. ㄴ의 증감표에 의하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=0]은 많아야 [eqn: 2]개의 실근을 갖는다.

ⅰ) [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) `=0]이므로 한 실근을 갖는다.
ⅱ) [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) `=e-1- {1} over {e} `>0], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) `=`-1- {1} over {e} `<0]
이므로 중간값의 정리에 의하여 열린 구간
[eqn: LEFT ( 1,``2 RIGHT )]에서 적어도 한 실근을 갖는다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=0]의 실근의 개수는 [eqn: 2] (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `= int _{-1} ^{x} {e ^{t} `f LEFT ( t RIGHT ) `dt}]
라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2013년 4월]

		보 기
ㄱ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) `=1- {1} over {e}] ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값 [eqn: e`- {1} over {e}]을 갖는다. ㄷ. 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=0]의 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= 1 over 1+x ``]에 대하여 [eqn: F(x)= int from 0 to x t`f(x-t)`dt`````(x>=0)``]일 때, [eqn: F`'(a)=ln``10``]을 만족시키는 상수 [eqn: a``]의 값을 구하시오.

[eqn: 9]

[eqn: x-t =u]라 하면 [eqn: t= x-u]

[eqn: cases{ t=0,```````&u=x#t=x, ```````&u=0]

[eqn: dt = - du]이므로

[eqn: F(x) = int_0^x t f( x-t) dt = - int_x^0 (x-u) f(u) du]

[eqn: = int_0^x (x-u) f(u) du]

[eqn: = x int_0^x f(u) du - int_0^x u f(u) du]

[eqn: F' (x)= int_0^x f(u) du + x f(x) - xf(x)][eqn: = int_0^x f(u) du]

[eqn: F``' (a) = int_0^a 1 overu+1 du = left[ ln (u+1) right]_0^a = ln (a+1) = ln 10]

∴ [eqn: a=9]

[4점][2013년 6월]

[eqn: int _{0} ^{{pi} over {4}} {sin2x`dx`}]의 값은?

①

[출제의도] 정적분 계산하기

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {4}} {sin2x`dx`} =`- {1} over {2} LEFT [ `cos2x` RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} `` ``=` {1} over {2} `]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over2]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0`], [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =0`], [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =0`]이고 함수 [eqn: g`(x)`]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( {alpha } over {3} RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: alpha `]는 양수이다.)

⑤

[출제의도] 부정적분을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: f(x) `=` x(x-alpha)^2]이고,

[eqn: g`` prime (x)``=``(`x`f(x)`) prime]이므로

[eqn: g(x) `= xf(x) +C]

[eqn: g(x)`=`x^2 (x-alpha)^2 +C]

[eqn: g` prime (x)`=`2x(x- alpha ) ^{2} +2x ^{2} (x- alpha )`# ````````````````````=`2x(x- alpha )(2x- alpha )]

[eqn: y`=` g(x)]는 [eqn: x=0], [eqn: x=alpha]에서 극솟값,

[eqn: x`=`` alpha over {2}]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: ``g LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT ) `=`81], [eqn: g(0) `=` g (alpha) `=` 0]

이를 이용하여 [eqn: alpha]와 [eqn: g(x)]를 구하면

[eqn: alpha `=` 6], [eqn: g(x)`=` x^2 (x-6)^2]

[eqn: therefore ` g left ( alpha over 3 right) `=` g(2) `=` 64]

(별해) 함수 [eqn: f(x)]를 구하면

[eqn: f(x) `=` x(x-alpha)^2]이므로,

[eqn: f`'(x) `=` (x-alpha)^2 + 2x(x-alpha)]

[eqn: g`'(x) `=`f(x)+xf`'(x)]이므로

[eqn: g` prime (x)`=`4x ^{3} -6 alpha x ^{2} +2 alpha ^{2} x`# ```````````````````=`2x(x- alpha )(2x- alpha )]

[eqn: y`=` g(x)]는 [eqn: x=0], [eqn: x`=` alpha]에서 극솟값,

[eqn: x`=`` alpha over {2}]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: ``g LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT ) `=`81], [eqn: g(0) `=` g (alpha) `=` 0]

이를 이용하여 [eqn: alpha]와 [eqn: g(x)]를 구하면

[eqn: alpha `=` 6], [eqn: g(x)`=` x^2 (x-6)^2]

[eqn: therefore ` g left ( alpha over 3 right) `=` g(2) `=` 64]

[[eqn: 4]점][2013년 7월]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: alpha]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

	(가) [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +xf` prime LEFT ( x RIGHT ) `] (나) [eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) `]의 극댓값이 [eqn: 81`]이고 극솟값이 [eqn: 0`]이다.

① [eqn: 56]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 60]	④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 64]

두 연속함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)``]가
[eqn: g`left(e^x right) ``= cases{&f(x)~~~~~~~~&(0<=x<1) #&g`left(e^x-1 right)`+5 &(1<=x<=2)]
를 만족시키고, [eqn: int_{1}^{e^{2}}{g(x)}dx=6e^{2}+4]이다.
[eqn: int_{1}^{e}f(lnx)dx=ae+b]일 때, [eqn: a^2 +b^2 ``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b``]는 정수이다.)

[eqn: 17]

[eqn: y=e ^{x}]로 고치면,

[eqn: g(y)`=`` {cases{f(lny)& left (1 LEQ y LEQ e right )#g left ( {y} over {e} right)+5&(e LEQ y LEQ e ^{2} )}}]

[eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {g(y)dy} `=` int _{1} ^{e} {f(lny)} dy+ int _{e} ^{e ^{2}} {LEFT { g left ( {y} over {e}right )+5 RIGHT } dy} `=6e ^{2} +4]

[eqn: {y} over {e} =t`,`dy`=`e`dt]라 두면, [eqn: int _{e} ^{e ^{2}} {LEFT { g LEFT ( {y} over {e} RIGHT ) +5 RIGHT } dy`} =e int _{1} ^{e} {g(t)} dt+5e ^{2} -5e]

[eqn: int _{1} ^{e} {g(t)dt`=` int _{1} ^{e} {f(lnt)dt}}]이므로

[eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {g(y)dy} `=`(1+e) int _{1} ^{e} {f(lny)dy+5e ^{2} -5e`=`6e ^{2} +4}]

∴[eqn: int _{1} ^{e} {f(lny)dy} `=`e+4]   ∴[eqn: a=1,`b=4]

∴[eqn: a ^{2} +b ^{2} `=`17]

[4점][2013년 9월]

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: int _{0} ^{x} {f(t)} dt=cos` 2x +ax^2 +a]
를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( piover2 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

②

[출제의도] 정적분의 성질을 이해하고 함숫값을 구한다.

[eqn: int _{0} ^{0} {} f(t)dt=0]이므로 주어진 식에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: cos0+a`times0 ^{2} +a=0]

∴ [eqn: a=`-1]

[eqn: int _{0} ^{x} {`f(t)`dt`=`cos2x`-x ^{2`} -1}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f(x)`=`-2sin`2x-2x]

∴ [eqn: f LEFT ( ` {pi } over {2} ` RIGHT ) `=`-2sin` pi - pi =`- pi]

[3점][2013년 10월]

① [eqn: - 3over2 pi]	② [eqn: - pi]	③ [eqn: - pi over2]	④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: pi over2]

[eqn: int _{e ^{2}} ^{e ^{3}} {{a+ln`x} over {x} dx`} = int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( 1+sinx RIGHT ) cosx`dx`}]가 성립할 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

②

[출제의도] 치환적분법 이해하기

주어진 등식의 좌변에서 [eqn: lnx=s]라 하면

[eqn: int _{e ^{2}} ^{e ^{3}} {{a+lnx} over {x} `dx} `= int _{2} ^{3} {LEFT ( a+s` RIGHT ) `ds}]

[eqn: = LEFT [ as+ {1} over {2} s ^{2} RIGHT ] _{2} ^{3} =a+ {5} over {2}]

주어진 등식의 우변에서 [eqn: sinx=t]라 하면

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( 1+sinx RIGHT ) cosx`dx`} = int _{0} ^{1} {left(1+t right)dt}]

[eqn: =` LEFT [ t+` {1} over {2} `t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} = {3} over {2}]

[eqn: a+ 5over2 = 3over2] [eqn: therefore] [eqn: a=`-1]

따라서 [eqn: a]의 값은 [eqn: -1]

[4점][2014년 4월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2`]

[eqn: int _ e ^ e^3 ` lnx over x `dx ``]의 값은?

④

[eqn: ln`x`=t]로 치환하면 [eqn: dt over dx = 1 over x``]이고

[eqn: x=e]일 때 [eqn: t=1,~][eqn: x=e ^{3}]일 때 [eqn: t=3] 이므로

[eqn: int _ e ^ e^3 ` lnx over x `dx ``][eqn: `=`][eqn: int _{1} ^{3} {``t``dt``= LEFT [ {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{1} ^{3} =4}]

[3점][2014년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

삼차함수 [eqn: y=f(x)] 와 꼭짓점의 좌표가 [eqn: (1,`-1)]인 이차함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같다.
함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 세 점에서 만나고 그 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -2], [eqn: 0], [eqn: 3]이고, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 두 점에서 만나고 그 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0], [eqn: 3]이다.

[eqn: int _{1} ^{e} {sqrt {g LEFT ( lnx RIGHT ) +1} dx}]의 값은?

①

[출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -1]이고

[eqn: 1` LEQ x` LEQ e`]에서 [eqn: lnx`-1` LEQ 0`]이므로

[eqn: int _{1} ^{e} {sqrt {g(ln`x)+1} `dx`= int _{1} ^{e} {sqrt {LEFT . LEFT ( lnx-1 RIGHT . RIGHT ) ^{2}} `dx`}}]

[eqn: = int _{1} ^{e} {` LEFT | `lnx-1 RIGHT | `dx`} = int _{1} ^{e} {LEFT ( 1-lnx RIGHT ) dx}]

[eqn: = LEFT [ x`-x`lnx`+x pile{`#`} RIGHT ] _{1} ^{e} `=e-2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=x]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[3점][2014년 4월]

① [eqn: e-2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: 2e-3]

④ [eqn: 2e-2]	⑤ [eqn: 2e-1]

[eqn: x>0`]에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

②

[출제의도] 부분적분법을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: LEFT { xf LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime =f(x)+xf` prime (x)=x`cosx`]에서

[eqn: int _{} ^{} {LEFT { xf(x) RIGHT } prime dx} = int _{} ^{} {x`cosx} `dx]

[eqn: xf(x)=x`sinx+`cosx+C] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

(가)에서 [eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =1]이므로

[eqn: {pi } over {2} f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) = {pi } over {2} `sin {pi } over {2} +`cos {pi } over {2} +C]

[eqn: {pi } over {2} = {pi } over {2} +C`]이므로 [eqn: C=0`]

[eqn: pi f( pi )= pi `sin pi +`cos pi]에서

[eqn: f(pi)=- {1} over {pi}]

	(가) [eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) =1] (나) [eqn: f(x)+xf` prime (x)=x`cosx]

[eqn: f LEFT ( pi RIGHT )]의 값은?

[3점][2014년 7월]

① [eqn: - {2} over {pi }]	② [eqn: - {1} over {pi }]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {pi}]	⑤ [eqn: {2} over {pi }]

[eqn: int _{0} ^{1} {2e ^{2x} `dx``}]의 값은?

①

[eqn: int _{0} ^{1} {} 2e ^{2x} `dx`= LEFT [ 2 TIMES {1} over {2} e ^{2x} RIGHT ] _{0} ^{1} =e ^{2} -1]

[3점][2014년 9월]

① [eqn: e ^{2} -1]	② [eqn: e ^{2} +1]	③ [eqn: e ^{2} +2]
④ [eqn: 2e ^{2} -1]	⑤ [eqn: 2e ^{2} +1]

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

127

[eqn: (`0`,~0`)`,~(`t`,~f(t)`)`,~(`t+1`,~f(t+1)`)`]을 꼭짓점으로 하는

삼각형의 넓이는

[eqn: { 1} over {2 }`` LEFT |``t`f(`t+1)-(t+1)`f(t)`` RIGHT |= { t+1} over {t }``]

양변을 [eqn: t(t+1)``]로 나누면

[eqn: { 1} over {2 }`` LEFT |`` {f(`t+1) } over {t+1 } - {`f(t) } over { t} `` RIGHT |= {1} over {t^2 }``]

[eqn: f(t)``]는 감소함수이고 [eqn: f(t)``>`0``]이므로 [eqn: {f(t)} over {t }``>`` { f(t+1)} over {t+1 }``]

[eqn: THEREFORE ` {f(`t) } over {t } - {`f(t+1) } over { t+1} ` = {2} over {t^2 }``]

[eqn: {`f(t+1) } over { t+1} ` - {f(`t) } over {t } = - 2 over t^2 `] [eqn: cdots] ㈀

㈀ 은 [eqn: int _t ^t+1 f(x) over x ` dx ` = 2 over t + C ``]를 양변 미분한 것이다.

[eqn: t=1 `]일 때, [eqn: int_1 ^2 f(x) over x dx = 2 + c = 2`]에서 [eqn: C=0]

[eqn: ∴ ```int _t ^t+1 f(x) over x ` dx ` = 2 over t]

[eqn: int _{ { 7} over {2 } } ^{ { 11} over { 2} } { {f(`x) } over {x }}``dx`` =int _{ { 7} over {2 } } ^{ { 9} over { 2} } { {f(`x) } over {x }}``dx``+ int _{ { 9} over {2 } } ^{ { 11} over { 2} } { {f(`x) } over {x }}``dx``]

[eqn: = 4 over 7 + 4 over 9][eqn: = 64 over 63]

[eqn: THEREFORE ~p+q=127``]

(가) 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)>0`]이다

(나) 임의의 양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 세점
[eqn: (`0`,``0`)`,``(`t`,``f(t)`)`,``(t+1`,``f(t+1)`)`]
을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 [eqn: {t+1} over {t}] 이다

(다) [eqn: int _{1} ^{2} {{f(x)} over {x} dx`=2}]

[eqn: int _{{7} over {2}} ^{{11} over {2}} {{f(x)} over {x} dx`=` {q} over {p} ``}]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014년 9월]

함수 [eqn: f`(`x`)`=`x`e ^{`x}`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{1} {f`(`x`)`dx`}]의 값은?

①

[출제의도] 부분적분법을 이용하여 적분값을 구한다.

[eqn: int_0^1 f(x) dx][eqn: = int_0^1 x e^x dx][eqn: = left[x e^x right]_0^1 - int_0^1 e^x dx]

[eqn: = e - left[ e^x right]_0^1][eqn: = e- (e-1)][eqn: =1]

[3점][2014년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: e]	④ [eqn: e+1]	⑤ [eqn: e+2]

12

연속함수 [eqn: y`=`f`(`x`)`]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이고, 모든 실수 [eqn: a`]에 대하여
[eqn: int _{a-1} ^{a+1} {f`(`a-`x`)`dx} `=`24]
일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f`(`x`)`dx} `]의 값은?

①

[출제의도] 치환적분법을 이용하여 적분값을 구한다.

[eqn: t=a-x]로 놓으면 [eqn: {dx} over {dt}` =`-1]이고,

[eqn: x=a+1]일 때 [eqn: t=`-1], [eqn: x=a-1]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{a-1} ^{a+1} {} f(a-x)dx= int _{1} ^{-1} {} f(t)(-1)dt][eqn: = int _{-1} ^{1} {} f(t)dt]

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {} f(t)dt][eqn: =2 int _{0} ^{1} {} f(t)dt=24]

따라서[eqn: int _{0} ^{1} {} f(x)dx=12]

[3점][2014년 10월]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = int _{1} ^{n} {x ^{3} e ^{x ^{2}} dx}]라 할 때,
[eqn: {f LEFT ( 5 RIGHT )} over {f LEFT ( 3 RIGHT )}]의 값은?

③

[출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: x ^{2} =t]라 하면 [eqn: 2x= {dt} over {dx}]이고

[eqn: x=1]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=n]일 때 [eqn: t=n ^{2}]이므로

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `= int _{1} ^{n} {LEFT ( x ^{2} e ^{x ^{2}} TIMES x RIGHT )} dx= int _{1} ^{n ^{2}} {{1} over {2} te ^{t}} dt]

[eqn: = {1} over {2} LEFT [ te ^{t} -e ^{t} RIGHT ] _{1} ^{n ^{2}}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( n ^{2} e ^{n ^{2}} -e ^{n ^{2}} RIGHT )]

[eqn: = {e ^{n ^{2}}} over {2} LEFT ( n ^{2} -1 RIGHT )]

따라서 [eqn: {f LEFT ( 5 RIGHT )} over {f LEFT ( 3 RIGHT )} = {12 TIMES e ^{25}} over {4 TIMES e ^{9}} =3e ^{16}]

[4점][2015년 4월]

① [eqn: e ^{14}]	② [eqn: 2e ^{16}]	③ [eqn: 3e ^{16}]

④ [eqn: 4e ^{18}]	⑤ [eqn: 5e ^{18}]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f` prime (x)= {cases{`3 sqrt {x}&(x>1)#`2x&(x<1)}}]
이다. [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =13]일 때, [eqn: f LEFT ( -5 RIGHT )]의 값을 구하시오.

23

[출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`2x ^{{3} over {2}} +C _{1}&~ LEFT ( x>1 RIGHT )#`x ^{2} +C _{2}&~ LEFT ( x<1 RIGHT )}}] (단, [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =16+C _{1} =13]

[eqn: C _{1} =-3]

[eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `1-} {LEFT ( x ^{2} +C _{2} RIGHT ) = lim _{x` -> `1+} {LEFT ( 2x ^{{3} over {2}} -3 RIGHT )}}]

[eqn: 1+C _{2} =-1]

[eqn: C _{2} =-2]

따라서 [eqn: f LEFT ( -5 RIGHT ) =25-2=23]

[3점][2015년 4월]

[eqn: int _{0} ^{1} {e ^{x+4} `dx}] 의 값은?

①

[eqn: int _{0} ^{1} {e ^{x+4} `dx} =][eqn: LEFT [ e ^{x+4} RIGHT ] _{0} ^{1}]=[eqn: e ^{5} -e ^{4}]

[3점][2015년 6월]

① [eqn: e ^{5} -e ^{4}]	② [eqn: e ^{5}]	③ [eqn: e ^{5} +e ^{4}]
④ [eqn: e ^{5} +2e ^{4}]	⑤ [eqn: e ^{5} +3e ^{4}]

정의역이 [eqn: "{"x `|`0leqx leq 8"}"]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: int _0 ^8 f(x)`dx]의 최댓값은 [eqn: p+ q overln2``]이다.
[eqn: p+q``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`,~q``]는 자연수이고, [eqn: ln2``]는 무리수이다.)

128

[eqn: 0le k le 7``]인 각각의 정수 [eqn: k``]에 대하여

① [eqn: f(k+t)`=`f(k) ~(0<t le1)``]인 경우

[eqn: k<x le k+1``]에서 [eqn: f(x)`=`f(k)] : 상수함수

② [eqn: f(k+t)`=`2^t timesf(k) ~(0<t le1)``]인 경우

[eqn: k<x le k+1``]에서 [eqn: f(x)`=`f(k) times 2^x-k] : 지수함수

주어진 조건에서 함수 [eqn: f(x)``]는 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 2``]개

이므로 ① ⇨ ② ⇨ ① 또는 ② ⇨ ① ⇨ ②처럼 변화되는

지점이 2번 있어야 한다. 또한 ②가 7번이상 나오면 [eqn: f(8)>100]

이 되므로 조건을 만족하지 않는다.

가능한 경우 중에 ②가 그려지는 구간이 많이 들어가 있을수록

[eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]의 값이 커지므로 8개의 소구간이 ①②②②②②②①

의 순서로 이어지는 연속함수일 때, [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]가 최대가 된다.

따라서, 주어진 조건을 만족하는 함수 중 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]가 최대가

될 때, 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)`=`cases{f(0)=1 ~~~~~~~~``~~(0 le x le 1) # f(1)times2^x-1 `=`2^x-1 ````(1 le x le 7) # f(7)`=`64 ~~~~~~``` `````~( 7 le x le 8 )]

이다.

따라서 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]의 최댓값은

[eqn: int_0 ^8 f(x)dx]

[eqn: `=`int_0 ^1 1`dx +int_1^7 2^x-1 dx + int_7^8 64`dx]

[eqn: =` LEFT [`x` RIGHT ]_0^1 + LEFT [`2^x-1 overln2 `RIGHT ]_1^7 + left[`64x` right]_7^8]

[eqn: =`65 + 63overln2]

[eqn: therefore``p+q`=`65+63`=`128]

[4점][2015년 6월]

(가) [eqn: f(0)`=`1``]이고 [eqn: f(8)le 100``]이다.

(나) [eqn: 0 le k le 7``]인 각각의 정수 [eqn: k``]에 대하여
[eqn: f(k+t)`=`f(k)~(0<t le 1)``] 또는
[eqn: f(k+t)`=`2^t times f(k)~(0<t le1)``]이다.

(다) 열린 구간 [eqn: (0`,~8)``]에서 함수 [eqn: f(x)``]가 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2``]이다.

구간 [eqn: left( 0`,``inf right)]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 한 부정적분을 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

[출제의도] 부분적분법을 활용하여 추론하기

[eqn: F(x)+xf(x)=F(x)+xF`` prime (x)= LEFT { xF`(x) RIGHT } ` prime]

주어진 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: xF`(x)= int _{} ^{} {(2x+2)e ^{x} dx}]

[eqn: =(2x+2)e ^{x} - int _{} ^{} {2e ^{x} dx}]

[eqn: =(2x+2)e ^{x} -2e ^{x} +C]

[eqn: =2xe ^{x} +C] ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: F`(1)=2e]이므로

[eqn: F`(1)=2e+C=2e]에서 [eqn: C=0]

[eqn: F(x)=2e ^{x}]

따라서 [eqn: F`(3)=2e ^{3}]

	(가) 모든 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) +xf LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x+2 RIGHT ) e ^{x} `] (나) [eqn: F` LEFT ( 1 RIGHT ) =2e]

[eqn: F` LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

[4점][2015년 7월]

① [eqn: { 1} over { 4}e^3]	② [eqn: { 1} over { 2}e^3]	③ [eqn: e^3]	④ [eqn: 2e^3]	⑤ [eqn: 4e^3]

[eqn: int _ 1 ^ 16 1 over { root x } dx ``]의 값을 구하시오.

６

[eqn: int_1 ^16 1overrootx dx `=` LEFT [ 2rootx RIGHT ]_1^16 `=`8-2`=`6``]

[3점][2015년 9월]

함수 [eqn: f(x) `]를

[eqn: f(x)= {cases{``|``sinx``|-sinx~~ LEFT ( - {7} over {2} pi LEQ x LEQ 0 RIGHT )##``sinx-|``sinx``|~~` LEFT ( 0 LEQ x LEQ {7} over {2} pi RIGHT )}}]

라 하자. 닫힌 구간 [eqn: left[ - 7 over 2 pi ,~ ~ 7 over 2 pi right] ``]에 속하는 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: int_ a ^ x `` f(t) `dt ge 0 ``]이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값을 [eqn: alpha ,~]최댓값을 [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: beta - alpha `]의 값은? (단, [eqn: - {7} over {2} pi LEQ a LEQ {7} over {2} pi])

①

[eqn: f(x)]를 범위에 따라 정리해보면

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{0```` (- {7 pi } over {2} LEQ x LEQ -3 pi ,`-2 pi LEQ x LEQ - pi ,`0 LEQ x LEQ pi ,`2 pi LEQ x LEQ 3 pi )# -2sinx(-3 pi LEQ x LEQ -2 pi ,`- pi LEQ x LEQ 0`)}#2sinx````( pi LEQ x LEQ 2 pi ,`3 pi LEQ x LEQ {7 pi } over {2} )}} ``]

그래프는 다음과 같다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{x} {f(t)dt GEQ 0}]이 되도록 하는

실수 [eqn: a]의 최솟값 [eqn: alpha=][eqn: - {7} over {2} pi], 최댓값 [eqn: beta =][eqn: -3 pi]

[eqn: THEREFORE ```` beta - alpha`=` -3 pi - left(- {7} over {2} pi right)= {1} over {2} pi]

[4점][2015년 9월]

① [eqn: pi over 2]	② [eqn: 3 over 2 pi]	③ [eqn: 5 over 2 pi]	④ [eqn: 7 over 2 pi]	⑤ [eqn: 9 over 2 pi]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {`3`cos`x`dx} `]의 값은?

③

[출제의도] 적분의 성질을 이해하여 정적분의 값을 구한다.

[eqn: int _{`0`} ^{` {pi } over {2} `} {`3`cos`x`dx`} `][eqn: =3 LEFT [ pile{`#`} `sinx`` RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}][eqn: =3]

[3점][2015년 10월]

① [eqn: 0]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)=sin` pi x`]와 이차함수 [eqn: g(x)=x(x+1)`]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h(x)`]를

⑤

[출제의도] 적분법을 이용하여 방정식의 근의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

함수 [eqn: f(x)`]는 주기가 [eqn: 2`]이고, 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 실수 [eqn: t`]와 정수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: int _{t} ^{t+2k} {f(x)dx=0}], [eqn: int _{-t} ^{t+2k} {f(x)dx=0}`]

따라서 구간 [eqn: [-1,``1]`]에서 방정식 [eqn: h(x)=0`]

즉 [eqn: int _{g(x)} ^{g(x+1)} {f(t)`dt`} =0`]을 만족시키려면

[eqn: g(x+1)-g(x)=2n`]([eqn: n`]은 정수)

또는 [eqn: g(x+1)+g(x)=2m`]([eqn: m`]은 정수)이어야 한다.

[eqn: g(x)=x(x+1)`]이므로 [eqn: g(x+1)-g(x)=2(x+1)]

[eqn: g(x+1)+g(x)=2(x+1) ^{2}]

구간 [eqn: [`-1,``1]`]에서 두 함수 [eqn: y=2(x+1)],

[eqn: y=2(x+1) ^{2}`]의 그래프는 그림과 같으므로

[eqn: 2(x+1)=2n]([eqn: n`]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1`]이고, [eqn: 2(x+1) ^{2} =2m]([eqn: m`]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: sqrt {2} -1], [eqn: sqrt {3} -1], [eqn: 1`]이다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 5`]

[eqn: h(x)= int _{g(x)} ^{g(x+1)} {f(t)`dt`}]

라 할 때, 닫힌 구간 [eqn: [-1,~1]`]에서 방정식 [eqn: h(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수는?

[4점][2015년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 6]

[출제의도] 치환적분법과 부분적분법을 이해하여 정적분의 값을 구한다.

[eqn: int _{0} ^{1} {(x-1)f` prime (x+1)dx} =-4`]에서 [eqn: x+1=t`]로 놓으면

[eqn: {dx} over {dt} =1`]이고, [eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=1`]일 때 [eqn: t=2`]

[eqn: int _{0} ^{1} {(x-1)f` prime (x+1)dx`}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {(t-2)f` prime (t)dt}][eqn: = LEFT [ pile{`#`} (t-2)f(t) RIGHT ] _{1} ^{2} - int _{1} ^{2} {f(t)dt`}]

[eqn: =f(1)- int _{1} ^{2} {f(t)dt}][eqn: =2- int _{1} ^{2} {f(t)dt}` =`-4]

따라서[eqn: ` int _{1} ^{2} {f(x)dx} `=`6]

(가) [eqn: f`(1)=2`]

(나) [eqn: int _{0} ^{1} {(x-1)`f` prime (x+1)`dx} `=`-4`]

[eqn: int _{1} ^{2} {f(x)`dx} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: f` prime (x)`]는 연속함수이다.)

[4점][2015년 10월]

[해설] 미적분2-(6)적분-(a)부정적분, 정적분