수 리 영 역

미분활용 그래프

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수 리 영 역

미분활용 그래프

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (미분활용 그래프)

성명			수험번호

16

사각형 모양의 철판 세 장을 구입하여, 두 장은 원 모양으로 오려 아랫면과 윗면으로, 나머지 한 장은 몸통으로 하여 오른쪽 그림과 같은 원기둥 모양의 보일러를 제작하려 한다.
철판은 사각형의 가로와 세로의 길이를 임의로 정해서 구입할 수 있고, 철판의 가격은 [eqn: rm 1m^2]당 [eqn: 1]만원이다. 보일러의 부피가 [eqn: rm 64m^3]가 되도록 만들기 위해 필요한 철판을 구입하는데 드는 최소 비용은?

④

그림과 같이 원기둥의 밑면의 반지름을 [eqn: x`,] 높이를 [eqn: y `]로 놓으면 부피 [eqn: V = pi x^2 `y `][eqn: =64]

철판의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S = (2x)^2 ×2 + 2pi ` x`y ``][eqn: = 8x^2 + 2x ․ pi ` y `]

[eqn: = 8x^2 + 2x ․ 64 over {x^2 }][eqn: = 8 x^2 + 128 over x `]

이것을 [eqn: S(x)]로 놓으면

[eqn: S`'(x) = 16x - 128 over {x^2 }][eqn: = {16x^3 - 128} over x^2][eqn: = {16(x^3 - 8)} over x^2 `]

[eqn: = {16(x-2)(x^2 + 2x +4 )} over x^2]

[eqn: x=2]에서 극소이면서 최소이다.

[eqn: S(x)]의 최소값은

[eqn: S(2) = 8 × 4 + 128 over 2][eqn: = 32 + 64][eqn: =96]

[eqn: THEREFORE ```96]만원

[2점][1995년 수능]

①　[eqn: 110]만원	②　[eqn: 104]만원	③　[eqn: 100]만원

④　[eqn: 96]만원	⑤　[eqn: 90]만원

[eqn: {a>3}]인 상수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선 [eqn: { y=a^x-1]과 [eqn: {y=3^x]이 점 [eqn: P] 에서 만난다. 점 [eqn: P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

④

[eqn: y=3 ^{x} `]에서 [eqn: y`'=3 ^{x} `ln3`]이므로 곡선 [eqn: y=3 ^{x} `]위의 점 [eqn: P`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-3 ^{x} `=(3 ^{k} `ln3)(x-k)`]

위 식에 [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: -3 ^{k} `=(3 ^{k} `ln3)(x-k)]

[eqn: THEREFORE x=k- {1} over {ln`3}]

[eqn: THEREFORE `A(k- {1} over {ln`3} `,`0`)]

[eqn: y=a ^{x-1} ``]에서 [eqn: y`'=a ^{x-1} `ln`a] 이므로 곡선 [eqn: y=a ^{x-1} `]위의 점[eqn: P`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-a ^{x-1} `=(a ^{k-1} `ln`a)(x-k)`]

위 식에 [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: -a ^{k-1} `=(a ^{k-1} `ln`a)(x-k)]

[eqn: THEREFORE x=k- {1} over {ln`a}]

[eqn: THEREFORE `B(k- {1} over {ln`a} `,`0`)]

이때, [eqn: bar{AH} ``=2` bar{BH} ``]이므로

[eqn: {1} over {ln`3} = {2} over {ln`a} ``,````````ln`a=2`ln3]

[eqn: THEREFORE a=3 ^{2} `=9]

점 [eqn: rmP]에서 곡선 [eqn: y=3^x]에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], 점 [eqn: rmP]에서 곡선 [eqn: y=a^x-1]에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자. 점 [eqn: {rm H}(k , ``0)]에 대하여 [eqn: rm barAH = 2 barBH]일 때, [eqn: a]의 값은?

[4점][2015년 수능]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

아래 그림은 [eqn: 5`]차 다항함수 [eqn: f``(`x`)`]의 도함수 [eqn: f``prime (`x`)`]의 그래프이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
(단,[eqn: f``prime (4) `=` 0`]이고 [eqn: f '' (1)=f '' (4)=f '' (6)=0`]이다.)

⑤

[eqn: y=f``'(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: α,1,β`]라 놓으면

ㄱ. [eqn: x=α`]에서 극소, [eqn: x=β`]에서 극대이지만 [eqn: x=1`]에서는 극대 또는 극소는 아니다. (거짓)

ㄴ. [eqn: 4＜x＜6`]에서 [eqn: f``''(x)＞0`]이므로 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 아래로 볼록하다.

따라서 [eqn: f``left( {x_1 +x_2}over2 right) ＜ {f(x_1 )+f(x_2 )}over2`] (참)

ㄷ. [eqn: y=f(x)`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: y=f(x)`]와 직선[eqn: y=a`]가 서로 다른 두 점에서 만나면

[eqn: f(x)`]의 극대값은 [eqn: a`]이다.   (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[4점][2005년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f``(`x`)`]는 서로 다른 세 점에서 극값을 갖는다. ㄴ. [eqn: 4``＜` `x_1 `＜``x_2 `＜`6]인 [eqn: x_1 ,``` x_2 `]에 대하여 [eqn: f ``left({x_1 + x_2 } over 2 right) `＜` {f``(`x_1 `) + f``(`x_2 `)} over 2]이다. ㄷ. [eqn: f``(`0`)=0``]일 때, 양의 실수 [eqn: a``]에 대하여 [eqn: y`=f``(`x`)`]의 그래프와 [eqn: y`=a`]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나면 [eqn: f``(`x`)`]의 극대값은 [eqn: a``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

그림과 같이 단면이 등변사다리꼴 모양인 물이 흐르는 통로를 만들려고 한다. 통로의 단면에서 밑변과 등변의 길이가 모두 [eqn: 2` rm m`]이고 단면의 넓이가 최대가 되도록 설계할 때, 단면의  최대 넓이는 몇 [eqn: rm m ^{2} `]인가?

②

사다리꼴의 윗변과 등변이 이루는 각의 크기를

[eqn: rm theta `][eqn: ` LEFT ( `0< theta <` {pi } over {2} ` RIGHT ) `]라 하면 높이는 [eqn: 2`sin theta `], 윗변의 길이는 [eqn: 2 TIMES 2cos theta +2``]이므로 사다리꼴의 넓이는

[eqn: S```( theta )`=` {1} over {2} `(4+4cos theta ) TIMES 2sin theta `][eqn: =4(1+cos theta )sin theta `]

[eqn: S`` ' `( theta )`=4`(-sin theta )sin theta `+4`(1+cos theta )cos theta `]

[eqn: =4(2cos` ^{2} ` theta `+cos theta -1)`][eqn: =4(2cos theta-1)(cos theta +1)``]

[eqn: S``` ' `( theta )=0`]에서 [eqn: cos theta `=` {1} over {2} `]일 때, 극대이면서 최대이다. 따라서 단면의 최대 넓이는 [eqn: theta `=` {pi } over {3} `]일 때 [eqn: 3 sqrt {3} `]이다.

[3점][2006년 10월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 3 sqrt {3} `]	③ [eqn: 4 sqrt {2} `]

④ [eqn: 4+ sqrt {3} `]	⑤ [eqn: 2+2 sqrt {2} `]

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: 90°]이고 반지름의 길이가 [eqn: 10]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. 점 [eqn: rm P]가 점[eqn: rm A]에서 출발하여 호 [eqn: rm AB]를 따라 매초 [eqn: 2]의 일정한 속력으로 움직일 때,

[eqn: rm ∠AOP =30°]가 되는 순간 점[eqn: rm P]의 [eqn: y``]좌표의 시간(초)에 대한 변화율은?

④

[eqn: rm ANGLE AOP `=` theta `]라 하면 [eqn: rm arch {AP}^` `=` 10 theta]

A의 속력이 2이므로 [eqn: d over dt (10 theta )`=`10 ~{d theta} over dt `=`2]

[eqn: THEREFORE ~ {d theta} over dt `=` {1_`} over 5]

P의 좌표는 [eqn: (10 sin theta , ~10cos theta`)]이므로

[eqn: y`=`10cos theta]

[eqn: dy over dt `=` d over dt (10 cos theta`)]

[eqn: =`10․(-sin theta` ) ․{d theta} over dt]

[eqn: =`-2sin theta `=` -1]

[3점][2007년 9월]

① [eqn: - {1``}_` over 2]	② [eqn: - sqrt{2 ``}_`over 2]	③ [eqn: - sqrt{3 ``}_`over 2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

그림과 같이 함수 [eqn: y=lnx+4,`````y=e ^{x-4}]의 그래프의 두 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a`,```b`]라 하자. 일차함수 [eqn: y=-x+k`]의 그래프가 [eqn: a <= x <= b]에서 두 함수의 그래프와 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 될 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

④

[출제의도] 미분을 이용하여 수학내적 문제해결하기

직선 [eqn: y=-x+k]와 [eqn: y=x]가 수직이다.

직선 [eqn: y=-x+k]와 두 함수[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 만나는 두 점 사이의 거리가 최대가 되려면

직선 [eqn: y=-x+k]가 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]와 만나는 점에서 접선의 기울기가 [eqn: 1]일 때이다.

[eqn: f'(x)= { 1} over {x }=1]  ∴ [eqn: x=1]

[eqn: g'(x)= e^x-4`=`1] ∴ [eqn: x=4]

[eqn: (1,~4),~(4,~1)]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=-x`+`5]이므로 [eqn: k]의 값은 [eqn: 5]이다.

[4점][2009년 7월]

① [eqn: 7 over 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 9 over 2]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 11 over 2]

아래 그림은 밑면 [eqn: \PQRS]가 정사각형인 사각기둥에 대한 전개도이다. 옆면의 대각선의 길이가 [eqn: 4]일 때, 사각기둥의 부피가 최대가 되게 하는 밑면의 한 변의 길이는?

⑤

[eqn: BAR{\PS}`=x],

(기둥높이)[eqn: =sqrt { 16-x ^{ 2} }],

사각기둥의 부피 [eqn: V(x)=x^{ 2} sqrt { 16-x ^{ 2} }]이다.

미분하면

[eqn: V``'(x)][eqn: =] [eqn: 2x sqrt { 16-x ^{ 2} }+x ^{ 2} { -x} over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }]

[eqn: = { 2x(16-x ^{ 2}) -x ^{ 3} } over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }][eqn: ={32x-3x ^{ 3} } over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }]

[eqn: {\V}`'(x)=0]의 해는 부피를 최대로 만든다.

∴  [eqn: x=][eqn: {4 sqrt { 6} } over { 3 }]

[4점][2007년 10월]

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: { sqrt { 3}} over {2 }]	③  [eqn: 1]	④ [eqn: { 2sqrt { 6}} over {3 }]	⑤ [eqn: {4 sqrt { 6} } over { 3 }]

밑면의 지름의 길이가 [eqn: 8]이고 높이가 [eqn: 6` pi]인 원기둥이 있다. 그림과 같이 평행한 두 선분 [eqn: rm AB`]와 [eqn: rm DC`]는 서로 다른 두 밑면의 지름이고, 두 선분 [eqn: rm DA``]와 [eqn: rm `AB`]는 수직이다.

점 [eqn: rm P]가 매초 [eqn: pi`]의 일정한 속력으로 원기둥의 옆면을 따라 점 [eqn: rm A`]에서 출발하여 선분 [eqn: rm CB`]위의 점을 지나 점 [eqn: rm D`]까지 최단거리로 움직인다. 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm AB`]를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하고, 삼각형 [eqn: rm PAH`]의 넓이를 [eqn: S``]라 하자.

점 [eqn: rm P`]가 점 [eqn: rm A`]에서 출발한 지 [eqn: rm 5``]초가 되는 순간, 넓이 [eqn: S``]의 시간(초)에 대한 변화율은 [eqn: {q} over {p} ` pi ``]이다. [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 17]

점 [eqn: rmP]가 [eqn: 1]초에 [eqn: pi]씩 움직이므로 점 [eqn: rmH]는 [eqn: 1]초에 [eqn: 4OVER5`pi] 씩 움직인다. 따라서 점 [eqn: rmH]가 [eqn: t]초 동안 움직인 거리는 [eqn: 4OVER5`pi`t]이다. 좌표공간에서 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 원점 [eqn: rmO]라 하고 점 [eqn: rmA` ( 4 ,``0 ,``0)], [eqn: t]초 후의 점 [eqn: rmH,~P]를 [eqn: rm H left( 4 cos pit over 5 ,~ 4 sin pit over 5 ,~ 0 right) ,~ rm P left( 4 cos pit over 5 ,~ 4 sin pit over 5 ,~ 3pit over 5 right)]

[eqn: rmbarHA`=`ROOT{left(`4`cos`pit over5 `- `4 `right) ^2 `+` LEFT(`4`sin `pit over5 right)^2}][eqn: =` 8`sin `pit over10``]

[eqn: S][eqn: rm=``1over2``barHA cdot`BARPH][eqn: =``4`sin```{pi t }over10 cdot{3 pi t}over5]

[eqn: dS over dt][eqn: =` 4` LEFT ( cos `pit over10 cdot piover10 cdot 3pit over5 + sin pit over10 cdot 3pi over5 RIGHT )]

따라서 [eqn: t=5]일 때 [eqn: dS over dt = 12over5`pi``={q}over{p}`pi]	∴[eqn: p`+`q``=``17]

[4점][2010년 10월]

그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 사분원 [eqn: rm OAB``]에 대하여 각 [eqn: rm AOB``]를 이등분하는 직선이 사분원과 만나는 점을 [eqn: rm C``]라 하자. 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q``]는 점 [eqn: rm C``]에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시계 방향, 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: {pi } over {36} ``]의 일정한 속력으로 움직인다. 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q``]가 점 [eqn: rm C``]에서 출발하여 [eqn: t``]초[eqn: `(0<t<9)`]가 되는 순간, 선분 [eqn: rm PQ``]를 한 변으로 하고 사분원 [eqn: rm OAB``]에 내접하는 직사각형의 넓이를 [eqn: S`(`t`)``]라 하자. 출발한 지 [eqn: 6``]초가 되는 순간, 넓이 [eqn: S`(`t`)``]의 시간(초)에 대한 변화율은?

①

내접하는 사각형의 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위의 두 꼭짓점을 각각 [eqn: rmS], [eqn: rmR]라 하고 선분 [eqn: rm {OC} `]와 선분 [eqn: rmPQ], 선분 [eqn: rm {RS}]의 교점을 각각 [eqn: rm{D}], [eqn: rmE]라 하자.

삼각형 [eqn: rm DOP]에서

[eqn: rm bar{DP} = bar{OP} sin {pi } over {36} it t][eqn: rm =sin {pi } over {36} t]

[eqn: rm bar{OD} = bar{OP} cos {pi } over {36} it t][eqn: =cos {pi } over {36} t]

[eqn: rm ANGLE EOS= {pi} over {4}]이므로 [eqn: rm bar{OE} `= bar{ES} `(= bar{DP} )]

이다. 그러므로 [eqn: rm□PQRS]의 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t)= rm bar{PQ} `cdotbarPS]

[eqn: = rm 2 bar{DP} ` CDOT LEFT ( bar{OD} - bar{OE} RIGHT )]

[eqn: =2sin {pi } over {36} t` LEFT ( cos {pi } over {36} t-sin {pi } over {36} t RIGHT )]

[eqn: =2sin {pi } over {36} t``cos {pi } over {36} t-2sin ^{2} {pi } over {36} t]

[eqn: =sin {pi } over {18} t`-2sin ^{2} {pi } over {36} t]

[eqn: S`` prime (t)= {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {18} t-2sin {pi } over {36} t``cos {pi } over {36} t RIGHT )]

[eqn: = {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {18} t-sin {pi } over {18} t RIGHT )]

[eqn: S`` prime (6)= {pi } over {18} LEFT ( cos {pi } over {3} -sin` {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: = {1- sqrt {3} `} over {36} pi]

[4점][2011년 3월]

① [eqn: {1- sqrt {3} } over {36} pi]	② [eqn: {1- sqrt {3} } over {72} pi]	③ [eqn: { sqrt {3}-1 } over {72} pi]

④ [eqn: { sqrt {3}-1 } over {36} pi]	⑤ [eqn: { sqrt {3} } over {36} pi]

그림과 같이 좌표평면에서 최고차항의 계수가 양수이고 원점을 지나는 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점을 [eqn: rm A(`it a,~ f(a)`)`]라 하고 원점을 지나는 직선 [eqn: y=g(x)`]가 점 [eqn: rm B(`it b,~f(b)`)`]에서 곡선 [eqn: y=f(x)`]에 접할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  [eqn: 0<a<b`])

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)=px ^{3} +qx ^{2} +rx```(p>0)]라 하고
[eqn: g(x)=mx][eqn: (m != 0)]라 하자.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - {q} over {3p}]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a]이다. (참)

ㄴ. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 그래프는 원점을 지나고 [eqn: x=b]에서 [eqn: x]축에 접하므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =px(x-b) ^{2}]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: b]

[eqn: {b} over {3}]

[eqn: y=f(x)-g(x)]

[eqn: LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } { prime } =p(x-b)(3x-b)]이므로

함수 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: x= {b} over {3}]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: h(x)=f(x)-g(x)= px(x-b)^2]
이라 하면 ㄱ 에서 [eqn: h prime prime(a) =0]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= 2b over 3]이므로 [eqn: {b-a} over {a} `= {1} over {2}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[4점][2011년 4월]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: rm A]

		보 기
ㄱ. 곡선 [eqn: y=f(x)-g(x)`]의 변곡점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: a`]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)-g(x)`]는 [eqn: x= {b} over {3}`]에서 극댓값을 갖는다. ㄷ. [eqn: {b-a} over {a} `= {1} over {2}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다항함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

[출제의도] 도함수를 이용하여 그래프의 개형 추론하기

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 원점 [eqn: rmO]와 [eqn: x`=`b], [eqn: c], [eqn: e]에서 변곡점을 가진다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x`=`d] 에서 극대가 된다. (참)

ㄷ. 구간 [eqn: [a`,~e]``]에서 최댓값은 [eqn: f(d)]이다. (거짓)

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: e]

[eqn: f]

[eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]

		<보 기>
	ㄱ. 구간 [eqn: [a`,~f]`]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 변곡점은 [eqn: 4]개이다. ㄴ. 구간 [eqn: [a`,~e]``]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 극대가 되는 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 1]개이다. ㄷ. 구간 [eqn: [a`,~e]``]에서 [eqn: f(x)`]의 최댓값은 [eqn: f(c)]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

점 [eqn: A(1,```0)``]을 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l``]이 곡선 [eqn: y=2rootx``]와 만나는 점을 [eqn: B], 점 [eqn: B``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: C], 직선 [eqn: l``]이 [eqn: y``]축과 만나는 점을 [eqn: D``]라 하자.

⑤

[eqn: A(1`,```0) `,```B (t`,```2 root2 ) `,```C (t`,```0)]이므로

[eqn: f(t) = 1 over2 (t-1) cdot2 roott = (t-1) roott]

[eqn: f prime (t) = roott + {t-1} over{ 2 roott}] 이므로

[eqn: f prime(9) = 3+ 8 over6 = 13 over 3]

점 [eqn: B`left(t,```2roott right)``]에 대하여 삼각형 [eqn: BAC``]의 넓이를 [eqn: f(t)``]라 할 때, [eqn: f`'(9)``]의 값은?

[3점][2013년 6월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 10 over 3]	③ [eqn: 11 over 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 13 over 3]

그림과 같이 [eqn: bar{\AB} = 2], [eqn: bar{rm AD it} =2 sqrt {3}]인 직사각형 [eqn: \ABCD]가 있다. 선분 [eqn: \BC] 위의 점 [eqn: \P]에 대하여 선분 [eqn: \AP]의 수직이등분선이 두 직선 [eqn: \AB], [eqn: \AD]와 만나는 점을 각각 [eqn: \Q], [eqn: \R]라 하자. 선분 [eqn: \QR]의 길이의 최솟값이 [eqn: k`]일 때, [eqn: 4k^2`]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm P`]는 점 [eqn: rm B`]가 아니다.)

[eqn: 27]

[출제의도] 미분법을 이용하여 최솟값 문제를 해결한다.

선분 [eqn: rmAP`]의 중점을 [eqn: rmM`], [eqn: anglermBAP` =it theta`][eqn: LEFT ( 0 < theta le piover3 RIGHT )]라 하면

[eqn: bar{rm AP it} = {2} over {cos` theta }`], [eqn: bar{rm AM it} = 1over2 bar{\AP} = {1} over {cos` theta } `], [eqn: bar{rm AQ it} `= {bar{rm AM it}} over {cos theta } = {1} over {cos ^{2} ` theta }]

삼각형 [eqn: rmAQR`]에서 [eqn: bar{rmAM}`][eqn: bot][eqn: bar{rmQR}`]이므로 [eqn: angle rmARQ =it theta`]

∴ [eqn: bar{rm QR it} `= {bar{rm AQ it}} over {sin` theta } = {1} over {cos ^{2} theta `sin theta }][eqn: = { 1} over {sin theta - sin ^3 theta }]

[eqn: sin`theta`=t`]라 하면 [eqn: bar{rm QR it}= {1} over {t -t^3 }]

[eqn: f(t) =][eqn: t - t^3][eqn: LEFT ( 0 < t le { sqrt { 3} } over {2 } RIGHT )]이라 하자.

[eqn: f`'(t) =1-3t^2 =0`]에서 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}] 또는 [eqn: t=` -{sqrt {3}} over {3}]

[eqn: f`(t)`]는 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}]일 때, 최댓값 [eqn: f LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT )]을 가진다.

[eqn: bar{rm QR it} = {1} over {f(t)} GEQ {1} over {f LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT )}][eqn: = {3 sqrt {3}} over {2} `]

∴ [eqn: 4`k ^{2} =4 timesLEFT ( {3 sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2} =27]

[다른 풀이]

[eqn: bar{\AQ} = x]라 하면 [eqn: bar{\AQ} = bar{\QP}][eqn: =x]이므로

[eqn: bar{\BP} = sqrt {x^2 - LEFT ( 2-x RIGHT )^2 } = sqrt { 4x-4}][eqn: = 2 sqrt { x-1}]

∴ [eqn: bar{\AP} = sqrt { 2^2 + (4x-4)} = 2sqrt {x }]

두 직각삼각형 [eqn: \ABP], [eqn: \RAQ]는 서로 닮은 도형이므로

[eqn: bar{rm AQ it} : bar{rm QR it} = bar{rm BP it} : bar{rm PA it}]에서

[eqn: bar{rm QR it} = {bar{rm AQ it} · bar{rm PA it}} over {bar{rm BP it}} = {2x sqrt {x}} over {2 sqrt {x-1}}][eqn: ={ x sqrtx} over { sqrt { x-1} }]

[eqn: {bar{rm QR it}}^2 =f(x)]라 하면 [eqn: f(x)= { x^3} over { x-1}] (단, [eqn: 1<x LEQ 4])

[eqn: f` prime (x)= {3x ^{2} (x-1)-x ^{3}} over {(x-1) ^{2}}][eqn: = {x ^{2} (2x-3)} over {(x-1) ^{2}}]

함수 [eqn: f(x)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (1)]	…	[eqn: {3} over {2}]	…	[eqn: 4]
[eqn: f``'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↘	[eqn: 27 over 4]	↗	[eqn: 64 over 3]

∴ [eqn: 4k ^{2} ``=4f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) `=27`]

[4점][2013년 10월]

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 3,~0 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 3,~2 RIGHT )], [eqn: rm D LEFT ( 1,~2 RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다.
한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 수직이다.)

④

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점을 [eqn: rmP]라 하자.

동경 [eqn: {rm OP it}]가 나타내는 각을 [eqn: theta]라 하면 공통부분이
생기는 [eqn: theta]의 범위는 [eqn: - {pi} over {2} <theta< {pi} over {2}]이다.

점 [eqn: rm P it LEFT ( cos theta `,``sin theta RIGHT )], 점 [eqn: rm G it LEFT (cos theta +1,``sin theta +1 RIGHT )]이므로

공통부분의 넓이 [eqn: LEFT . S` LEFT ( theta RIGHT ) =cos theta LEFT ( sin theta +1 RIGHT ) RIGHT .]

[eqn: S` prime LEFT ( theta RIGHT ) =cos2 theta -sin theta]

[eqn: =`- LEFT ( sin theta +1 RIGHT ) LEFT ( 2sin theta -1 RIGHT ) =0]

[eqn: sin theta =`-1] 또는 [eqn: sintheta= {1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: theta = {pi } over {6}] [eqn: LEFT ( BECAUSE ```- {pi } over {2} < theta < {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: theta]	[eqn: - {pi } over {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi} over {6}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi} over {2}]
[eqn: S` prime ( theta )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]는 [eqn: theta= {pi} over {6}]에서 극대이고 최댓값을 갖는다.
따라서 최댓값은 [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]

[4점][2014년 4월]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

① [eqn: {2+ sqrt {3}} over {4}]	② [eqn: {1+ sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {2+ sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {2}} over {4}]

그림과 같이 함수 [eqn: {f(x)=log _{`2} ` LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) `} `]의 그래프와 함수 [eqn: {g(x)=a ^{`x} `(a>1)`}]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=g(x)`]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: A], 점 [eqn: A]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 만나는 점 중 점 [eqn: A]가 아닌 점을 [eqn: B], 점 [eqn: B]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=g(x)`]와 만나는 점을 [eqn: C]라 하자.
곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: rmC`]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 하자. [eqn: rm {bar{AD}} = {bar{BD}} `]일 때, [eqn: g(2)`]의 값은?

③

[출제의도] 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: g(x) = a^x `]에 대하여 [eqn: g`'(x) = a^x lna`]이므로

곡선 [eqn: y=g(x) `] 위의 점 [eqn: rm C`left( 3 over2`,~ it a^{3 over2} ``right)]에서 이 곡선에 접하는 직선의 방정식은

[eqn: y- a^{3 over2} = a^{3 over2} lna`` left( x- 3 over2 `right)]

이 식에 [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: - a^{3 over2} = a^{3 over2} lna`` left( x- 3 over2 `right)]

[eqn: x - 3 over2` =` - 1 over lna]

[eqn: x= 3 over2 - 1 over {ln a}]

따라서 점 D의 좌표는 [eqn: rm`` LEFT ( 3 over2 - 1 over {ln a}``,```0` RIGHT )`] … ㉠

조건에서 [eqn: rm bar AD = bar BD`]이므로

점 [eqn: rmD`]는 두 점 [eqn: rmA(0,~1)], [eqn: rmB LEFT ( 3 over2 ,``1` RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: \AB`]의 수직이등분선과 [eqn: x]축의 교점이다.

그러므로 점 [eqn: rmD`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {3} over {4} ,~0 RIGHT )]이다.

㉠에서 [eqn: 3 over2 - 1 over {ln a} = 3 over4`]이므로

[eqn: 1 over {ln a}`=`3 over4],[eqn: `] [eqn: lna = 4 over3],  [eqn: a= e^{4 over3}]

따라서 [eqn: g(x) = e^{4 over3 `x}]이므로 [eqn: g(2) = e^{8 over3}]이다.

[참고]

[eqn: rmA(0,~1)], [eqn: rmB LEFT ( 3 over2`,``1` RIGHT )], [eqn: rmD`` LEFT ( 3 over2 - 1 over {ln a}``,```0` RIGHT )`]에 대하여

[eqn: rm{ bar AD} ^2 = {bar BD}^2`]이므로

[eqn: LEFT ( 3 over2 - 1 over {ln a}` RIGHT )^2 ` + 1^2 = LEFT ( 1 over {lna}` RIGHT )^2 + 1^2`]

[eqn: 3 over2 - 1 over {ln a} = 1 over {ln a}]

[eqn: 1 over {ln a}`=`3 over4],  [eqn: lna = 4 over3],  [eqn: a= e^{4 over3}]

따라서 [eqn: g(x) = e^{4 over3 `x}]이므로

[eqn: g(2) = e^{8 over3}]

[4점][2015년 3월]

① [eqn: e^{2 over3}]	② [eqn: e^{5 over3}]	③ [eqn: e^{8 over3}]	④ [eqn: e^{11 over3}]	⑤ [eqn: e^{14 over3}]

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: t]에 대하여 그림과 같이 점 [eqn: rm P LEFT ( ` it t+ {1} over {t} ,``0 RIGHT )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {1} over {2t ^{2}}]에 접선을 그었을 때, 원과 접선이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm Q], 원 위의 점 [eqn: {} _{rm } LEFT ( `0,``- {1} over {sqrt {2} it t rm } RIGHT )]을 [eqn: rm R]라 하자.
[eqn: {bar{rm OP it}} TIMES rm {bar{OQ}}]를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: f` prime LEFT ( sqrt {2} RIGHT )]의 값은?

②

[출제의도] 몫의 미분법 이해하기

[eqn: rm {bar{OP}} =itt+ {1} over {t}], [eqn: rm {bar{OQ}} =it {sqrt {2}} over {2t}]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = rm {bar{OP}} TIMES {bar{OQ}} = it {sqrt {2}} over {2} + {sqrt {2}} over {2t ^{2}}]

[eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =- {sqrt {2}} over {t ^{3}}]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) =- {1} over {2}]

[3점][2015년 4월]

[eqn: x]

[eqn: rmP]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {8}]	⑤ [eqn: - {1} over {16}]

그림과 같이 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 10]인 원이 있다. 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]와 원이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하자. 점 [eqn: rmP]는 원점 [eqn: rmO]를 출발하여 [eqn: x]축을 따라 양의 방향으로 매초 [eqn: 2]의 일정한 속력으로 움직인다. 점 [eqn: rmP]가 원점 [eqn: rmO]를 출발하여 [eqn: t]초가 되는 순간, 점 [eqn: rm P]를 지나고 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]에 평행한 직선이 제[eqn: 1]사분면에서 원과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
세 선분 [eqn: rm AO], [eqn: rm OP], [eqn: rm PQ]와 호 [eqn: rm QA]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 5]가 되는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(초)에 대한 변화율을 구하시오. (단, [eqn: 0<t<5])

10

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: t]초가 되는 순간 점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `2t,``0 RIGHT )]

[eqn: ANGLE rm QOP it = theta]라 하면, [eqn: ANGLE rm AOQ it = {pi } over {3} - theta]

부채꼴 [eqn: rmOQA]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times10 ^{2} times LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT ) =50 LEFT ( {pi} over {3} -theta RIGHT )]

삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 10 TIMES 2t` TIMES `sin theta =10t`sintheta]

[eqn: S=50 LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT ) +10t`sin theta]

양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: {dS} over {dt} =-50 {d theta } over {dt} +10`sin theta +10t`cos theta {d theta } over {dt}][eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

점 [eqn: rm P LEFT ( `2 it t`,``0 RIGHT )]을 지나고 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]에 평행한 직선을 [eqn: l]이라 하면

직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y= sqrt {3} LEFT ( x-2t RIGHT )]이고

직선 [eqn: l]과 원이 만나는 점 [eqn: rmQ]의 좌표는

[eqn: rm Q LEFT ( `10cos theta `,``10sin theta RIGHT )]이므로 직선 [eqn: l]에 대입하면

[eqn: 10sin theta = sqrt {3} LEFT ( 10cos theta -2t RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: 10cos theta {d theta } over {dt} = sqrt {3} LEFT ( -10sin theta {d theta } over {dt} -2 RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 5]이므로

[eqn: sintheta= {1} over {2}], [eqn: costheta= {sqrt {3}} over {2}]이고

[eqn: ㉡]에서 [eqn: t= {5 sqrt {3}} over {3}]이고

[eqn: ㉢]에서 [eqn: {d theta } over {dt} =- {1} over {5}]이다.

[eqn: ㉠]에 의하여 [eqn: {dS} over {dt} =10]

[4점][2015년 4월]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: y= sqrt { 3}x]

닫힌 구간 [eqn: {[0,~4]}] 에서 정의된 함수
[eqn: {f(x) = 2 root 2 `sin {pi over 4 } x]
의 그래프가 그림과 같고 직선 [eqn: {y = g(x)]가 [eqn: {y = f(x)] 의 그래프 위의 점 [eqn: {\A(1,~2)] 를 지난다.
일차함수 [eqn: g(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,4]]에서 [eqn: f(x) le g(x)]를 만족시킬 때, [eqn: g(3)]의 값은?

③

[eqn: y = f(x)]가 위로 볼록한 함수이므로

닫힌 구간 [eqn: [0,~4]]에서 [eqn: f(x) le g(x)]를 만족하는 직선 [eqn: g(x)]는

[eqn: f(x)]의 [eqn: (1,~2)]에서의 접선이다.

[eqn: f`'(x) = {2 root 2 } over 4 pi cos pi over 4 x] 이므로 [eqn: f'`(1) = pi over 2]

[eqn: g(x)= pi over 2 (x-1) + 2]

[eqn: therefore g(3) = pi +2]

[4점][2015년 6월]

① [eqn: pi]	② [eqn: pi +1]	③ [eqn: pi+2]
④ [eqn: pi +3]	⑤ [eqn: pi+4]

좌표평면에 함수 [eqn: f(x)= sqrt {3} `ln`x`]의 그래프와
직선 [eqn: l`:`y=`- {sqrt {3}} over {2} x+ {sqrt {3}} over {2} `]이 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A( alpha ,~ it f`( alpha ))`], [eqn: rm B( beta ,~ it f`( beta ))`]에서의 접선을 각각 [eqn: m`], [eqn: n`]이라 하자. 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n`]으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, [eqn: 6( alpha + beta )`]의 값을 구하시오.

[eqn: 32]

[출제의도] 정삼각형의 성질과 미분법을 이용하여 접점의 좌표를 구하는 문제를 해결한다.

직선 [eqn: l`]의 기울기가 [eqn: - {sqrt {3}} over {2} `]이고, 세 직선 [eqn: l,``m,``n`]으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형이므로 두 접선 [eqn: m,``n`]과 직선 [eqn: l`]이 이루는 예각의 크기는 [eqn: 60°`]이다.

직선 [eqn: l`]과 이루는 예각의 크기가 [eqn: 60°`]인 직선의 기울기를 [eqn: k`]라 하면 삼각함수의 덧셈정리에 의하여

[eqn: LEFT | {- {sqrt {3}} over {2} -k} over {1- {sqrt {3}} over {2} k} RIGHT | = sqrt {3}], [eqn: `k= {sqrt {3}} over {5}] 또는 [eqn: k=3sqrt3]

[eqn: f(x)=sqrt3`lnx`]에서 [eqn: f` prime (x)= {sqrt3} over {x}]이므로

[eqn: {sqrt3} over {alpha } = {sqrt {3}} over {5}], [eqn: {sqrt3} over {beta} =3 sqrt {3}]

[eqn: alpha =5], [eqn: beta= {1} over {3}`]이므로 [eqn: `6( alpha + beta )=32]

[4점][2015년 10월]

[해설] 미적분2-(5)미분-(e)미분활용 그래프